（基础数学专业论文）一类椭圆型方程解的一维对称性研究.pdf

d i s s e r t a t i o n 五d r 1 1 l i l 1 i l l l 洲m 1 1 1 1 i i l l i l l l l l i y 19 0 3 7 4 8 c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 黜g 斌e rn 啪b e r ：5 1 0 8 0 6 0 1 0 3 5 刀o s t 观主观o 0 m o z 主移e 粥咖 o nt h eo n 争d i m e n s i o n a ls y m m e t wo fs 0 1 u t i o n so f 1 1 ol s o m ee 儿l d t l ce au a 七l o n 8 m a j o r ： 】a 七h e m a i t i c s p u r em a t h e m a t i c s s u b j e c t ：g e o m e t 珂a n dp a r t i a j ld i 髓r e n t i a le q u a t i o n n 锄e ： a s 8 0 p r o f p l i u y 抽c h a o m a 弘2 0 1 1 s h a n g h a i 。f 氐 i 学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文一类椭圆型方程解的一维对称性研究，是在华东师范大 学攻读i i 莲爿博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果除文 中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 学位论文授权使用声明 一类椭圆型方程解的一维对称性研究 系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导 下完成的硒柳博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有本人同意华东 师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所 和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被 查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学 位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文，于年月 日解密，解密后适用上述授权 ( v ) 2 不保密，适用上述授权 学位论文作者签名：l 司i 连 日期：! ! ! ：堇! 羔2 导师签名： 铡易 宰“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学 位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上述 部门审定的学位论文均为公开学位论文此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授 权) ir l i r 1 j， 闫超硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 幻穿苏携佯矗切琵久哆 主席 氍，结副放投华s y 矽。乞二学 惩兰亳坡言堰，习幕太学 f 摘要 本文主要研究了两个问题，首先是如下椭圆型偏微分方程有界整解的一维对称性问题： ， ；p t 一f ( u ) = o 协舯 i 巩u ，) o 饥舻 其中，f 俨( r ) ，2 ，n = 2 ，3 我们主要利用由h b 咖d d ，l c a 饪讯1 1 i 和l e n b e r g 发展出l 印l 蚴算子的l i u 们n e 性质，将其推广到更一般的p - l 印h 算子的情形，结合变分方法和校准理论，在对方程解的正则 性有较高要求的条件下，使用推广的l i u 、，i l l e 性质，得到有界解的一维对称性 另外我们研究了非线性方程f 如，让扛) ，v 让( z ) ，v 2 u 0 ) ) = o 在去掉有限个点的正方体区域 上解的单调性和对称性，主要利用移动平面法和极大值原理 关键词：p l a p h ，一维对称性，l i u 、r i l l e 性质，能量估计，校准理论，变分的极值场， 极值原理，移动平面法 a bs t r a c t t h i 8p a p e rm a j n l ys t u 碰鹪咖p r o b l 渊t h e 血鼬0 n ei 8t h eo n e - d i m 锄i o n a l 昭m m e 七巧 0 fb c y u m d e de n t i i es o l u t i 伽0 fe 1 1 i p t i ce q u a t i o 那： ， j 一尸( u ) = o 伽舻 i 巩u ( z ，) o i n 舻 w i t hf 俨( 哟，p 2 ，记住= 2 ，3 t h em e t h o di 8l i u 砌ep r o p 呻o nl 印l a o p 盱a t eo 脑e db yh b 饿8 劬c 】d ，l c 赶缸e m 衄dl n i r e n b 钟g ，w ee 】c t 姐di tt ot h ep - l 印l eo p 盱a t o r c 彻出i n i n g 丽t ht h et h 珂0 f c a u b r a t i 伽衄de 】c 七础凹d 丑e l d0 ft h ec a l c l l l 衄0 fv 撕a t i o 珊，锄d 瑚i n gt h e c 七髓d e dl i u 、，i 1 1 e p r o p e r 瓴w eg e tt h eo n e - d i m e n 8 i o n a l8 卵衄e t r yo ft h eb o u n d e d8 0 l u t i o n s ，w i t ht h e 啪d i t i o n 0 fh i g h 凹r e 叫撕锣0 ft h e l u t i o 瑚 o nt h e 0 t h e rh 衄d ，w e8 t u d yt h em o n o t o n i c i 毋衄d8 y m m 酏呵0 ft h e l u t i o 璐0 fn 幽e 缸 矗m c t i f ( z ，u ( z ) ，v u ( z ) ，v 2 u 扛) ) = o i nt h e 印e d a lc u b e 耐t h o u te n i t ep o i n t 8 ，瑚i n gm e t h o d 0 fm a v i n gp l 锄衄dm 蹦血叫mp r i n d p l 笛 k e yw 0 r d s ：p - l 印l a c e ，o n e - d i m e n b i o n a l8 驴蚴e 七r y ，l i l i v i u ep r o p e r t y e n e r g ye 8 七i m a t e ， t h r 锄0 fc a l i b r a t i 咄，e 】【t r e m a l 丑e l d0 ft h ec a l c t l l 瑚0 fv 酗a t i o 珊，m a 菌m 眦p r i n c i p l 豳， m e t h o d0 fm a 、，i n gp 1 粕馏 目录 中文摘要i a b s t r a c ti i 第一章引言1 1 1 背景介绍1 1 2 主要结果3 第二章预备知识6 第三章l i u v h u e 性质及定理1 2 的证明1 1 3 1 定理1 2 及其证明1 1 3 2l i u 讪e 性质的证明1 5 第四章定理1 3 的证明1 7 4 1 能量比较1 7 4 2 定理1 5 的证明2 1 第五章定理5 1 的证明2 7 参考文献3 3 后记3 5 华东师范大学硕士论文一类椭圆型方程解的一维对称性研究 1 1 背景介绍 第一章引言 椭圆型方程解的单调性和对称性是现代偏微分方程研究的一大主题，在过去的三十年 中，许多数学家参与了这一主题的研究b g i g 蠲，w e i m i l l g n i 和l n i r e n b e r g 做出了突破性 的工作，他们利用移动平面法( s e r r i n 【s 】) 得到了一类椭圆方程有界解的良好的对称性和单 调性，参见【g 删；在此基础之上，更重要的是由此而发展开来的移动平面法和滑动方法结 合各种类型的极大值原理为此类问题的研究提供了强大的工具，相继涌现出了一系列各种 类型前方程在各种区域的有界解的关于对称性和单调性结果：h b e r 毋c l d 和l n i n r 衄b 口g 研究了一般非线性方程f 白，u ，v u ，v 2 u ) = o 和u + ，( z ，u ，v u ) = o 在有界区域的情形， 参见【b n l 儿b n 2 】h b 嘞c l d ，l c 衄k e l l i 和l n i r e n b e r g 合作对该类问题做出了一系列 的研究，得到了在半平面、带状区域、在无界l i p 8 出t z 区域等各种非线性类型的结果，参 见 b c n l 】【b c n 2 1 【b c n 3 】【b c n 钏；此外，在不同条件下也有一系列结果，见 d 】 j j 】 一维对称性问题的研究，是为了解决d e g i o r 百猜想：若t | 是方程u + u 一矿= 0 讥r ， 的整解，满足l u l 1 讥r n ，九让 o ，o rz = ( 一，z n ) 瑕一且1 i 珥t ( 一，z n ) = 士1 则u 的 水平集是超平面，也就是说，存在g 俨( r ) ，口舯使得让( z ) = 夕( 口z ) 当f ( s ) = ；s 4 一s 2 时，方程u f ，( u ) = 0 即为d eg i o r g i 猜想中的方程u + u 一护= o ，从而解决了d eg i o r g i 猜想在n = 2 ，3 时的情形 d eg i o r 西猜想是d eg i o r g i 在1 9 7 8 年提出的，和极小超表面或者叫极小图的一b e 功8 t e i n 问题有关 现在已经知道，当仃7 时，d eg i o r 百猜想是不对的，n g b 0 1 1 8 鲫l b 和c g 1 l i 已经给出 反例，参见【g g 】更重要的，他们给出了当竹= 2 时d eg i o r g i 猜想的证明，实际上，他们得到了 更一般的结果，即方程如下时的解的一维对称性： u = f ( 牡) 饥r 2 ， 这里只要求f c 2 ( r ) 另外，再将条件1 i 珥u ( 一，) = 士1 加强为一致收敛，得到了n = 3 时的结果；其利用的是线性s 曲r 6 成竹口e r 算子谱的性质的方法 不久，l a m b r 耐。和x c a b r 舌 a c 】便给出了n = 3 时的d eg i o r g i 猜想的证明，对f 条 件是对于8 ( 时u ，8 u pu ) ，有f ( s ) m i n ( f ( 证让) ，f ( 8 u pu ) ) ，对存在或者不存在下列条件 h 珥t 正( ，z n ) = 士1 z “ i 两种情况给出了相应证明，利用的是h b e r 铭锣c 虹，l c a 缸m l l i 和l n 溉n b e r g 【b c n 4 】提出 的新型的l i u 、栅e 性质他们的主要结果如下： 1 华东师范大学硕士论文一类椭圆型方程解的一维对称性研究 定理1 1 ( a m b r i o - c a b 厄定理) 设让是以下方程的有界解， 满足 并且 u f ( u ) = 0 讥r 3 岛u 0 饥孵， f m i n 伊( 斌u ) ，f ( 8 u p t ) ) 饥( i n f u ，8 u p u ) 则u 的水平集是超平面，或者说存在n r 3 ，9 c 2 ( r ) 使得 u ( z ) = 9 ( a z )，o r 以lz 碾p 在证明定理时，要求对方程解的梯度有一个估计，l a m b r 喊。和x c a b 龙在另外一篇 文章【丸气q 中利用校准理论和变分的极值场的方法对于一般的维度的方程解给出了估计；并 且再此基础之上得到了推广的结论，即在没有对f 的特别要求下，在n = 2 ，3 情况下 t = f ，( t ) 饥r n ， 其解的一维对称性并注意到，作者在文章中将在半平面中：u f ，( u ) = 0 饥墨，且要求 u 0 饥珏鼍， u = 0i na 峰，解具有一维对称性的问题由h b e r 嘶d d ，l c 胡如e u i 和l n i r b e r g 【b c n 4 】的n = 2 ，3 的情况推广到n = 4 对于一般维度3 n ) 满足妒 o ，且有 出口( ( p 一1 ) i v u i p 一2 v 妒) 一y 妒0 其中y 三假设妒w 罂，妒o 满足 妒( 磁秒( ( p 1 ) i v t l p - 2 v 妒) 一g - 妒) o 并且妒= d ( h 1 _ 詈) ，川一 则有妒= c 妒，c 为常数 注记1 1 之前说到的要有梯度估计就是为了满足条件妒= d ( 1 一詈) ，h o o ，因为在证明 一维对称性的过程中，砂取为a 饥 在此基础之上，我们得到了主要结果之一，即在h 珥u ( 一，) = 士1 的条件之下的结 霉 士 果 定理1 2 设u w 3 ，口( p ) ，( 口 n ) 是以下方程的有界解， 满足 ，让一f ，( u ) = o i n 舯 a 0饥r n ， 1 i 理 u ( 一，z 。) = 士l，d r 口z z 一p 一1 2 n 。 3u 华东师范大学硕士论文一类椭圆型方程解的一维对称性研究 假设f 俨( r ) 并且 f 芝m i n f ( 1 ) ，f ( 一1 ) ) 饥( 一1 ，1 ) 则当p n 一1 时，有缸的水平集是超平面，或者说存在口舯，9 c 3 ( r ) 使得 u ( z ) = 夕( 口z )，o f 口z z 茹r n 对于没有条件l i 珥让( 一，) = 士l 的，以及更一般f 的情形，我们有结论： 2 + 土 定理1 3 若f 俨( r ) ，u 3 ，。( p ) ，( 窖哟是问题o ) 的有界整解则当n = 2 ，3 时，u 的水平集是超平面，或者说，存在口舯，9 伊( r ) 使得t ( z ) = 夕( 口。) ，d rn f lz 舻 注记1 2 相比a m b r 锵i o ，c a b 皑 a c 】的只要求解u 2 ，口结果，我们对于解的正则性 要求较强，要求达到3 一，从这方面看，我们的结果有待提高另外，( 木) 问题中的条件 九u ( 一，) ot n 舻是必要的，这也从一个侧面看到了方程解的单调性和对称性之间的密 切关系 此外，本文还研究了一个相关问题，即特定有界区域上非线性方程解的的单调性和对称 性 在这里我们研究的区域是正方体去掉内部有限个点，假设q 舻表示以原点0 为中心， 以2 为边长的正方体，k 表示超平面【z l = o 与正方体的交集平面qn 伽1 = o 上的有限 个点的集合 定理1 4 设u c 2 ( 矾k ) 是如下问题的有界解， f 可以写成以下形式： f 0 ，u ，v u ，v 2 1 工) = o 饥q k ， u o 伽q k t = 0帆a q f ( z ，8 ，p ，m ) = g ( z ，s ，p ，m ) + ，( z ，u )( 1 1 ) 其中，g c 1 ( ( 固r 舻铲n ) ，且关于( 8 ，p ，m ) 是凸的，( z ，u ) 在矾k 的紧子集上关 于u 局部l i p 8 c h i t z 连续 f 满足椭圆条件， ( 蔷) o v ( 佩m r 舻 ( 1 2 ) 4 rij、l 华东师范大学硕士论文 一类椭圆型方程解的一维对称性研究 对于v t ，歹，a ，7 ，p ，y ，v z q ，z 1 0 ，盒1 z 1 ，z l + 岔l 0 ，有 j ( 金1 ，z 2 ，s ，哨，仡，加，朋1 1 ，一朋l a ，一朋，1 ，朋所) j ( z 1 ，z 2 ，s ，m ，埘巧) ( 1 3 ) 且当n = 2 时，对于某个口 o 有u a 窑( 吼k ) ，且番毛在( _ k ) r 舯酽n 局部日魂d e r 连续 则当z 1 0 时，有 罢 o 如】 注记1 3 如果我们取k = o ，则我们很容易由单调性结果碧 o 得到解的对称性，所以我们 在一定意义下把单调性结果碧 o 看作是解的对称性 5 华东师范大学硕士论文一类椭圆型方程解的一维对称性研究 第二章预备知识 帚一早 珙冒刘联 本章主要介绍一些记号，以及在后面证明中要用到的定义、引理、定理等 首先是一些偏微分的记号： 侥= 矗， v u = 。u = ( 让v 一，吣 p 一二叫a c e 算子： ，u = 出口( 1 v t 正i p - 2 v t ) 在这里要求p 2 在本文中，我们用b 冗表示以圆点为圆心，以冗为半径的圆，用a 魄表示该圆的边界用 瓦笪表示函数t 关于第扎个变量的极限函数： 西( ) 2 姆u ( ，z n ) ，笪( z ) 2 坚( z 7 ，) 定义2 1 ( h 铝8 i o n 矩阵) 若牡俨，我们称 v 2 u ( z ) = 【t ( z ) 】 为h 嘲i o n 矩阵 u 的梯度与h 锶8 i o n 矩阵的乘法就是一般矩阵的乘法： vuv2u=c缸u2仳，(兰 vhv2uv让=c让，坳，(三兰 定义2 2 ( 水平集) 若u c ( 舻) ，t r ，称集合忙舻：u ( z ) = t ) 为u 的水平集 所以，若牡的水平集为超平面，则说明u 在超平面上取值为常数，函数值只在与超平面垂 直的方向上变动 下面介绍几个在本文定理的证明中要用到的几个定理： 6 、iil-li_、 住 n 肼 地 锄 一 2 2 2 姐 睨 一 一、llliili-， 毗也； ，j-li_if。一 、l一、 n n n 虬 锄 一 5 坳 一 华东师范大学硕士论文一类椭圆型方程解的一维对称性研究 定理2 1 ( c a u c b p s 出啪r z 不等式) 设口，6 舻，那么对于1 o ，且有 出口( ( p 一1 ) l v 仳l p - 2 v p ) 一y - 妒o 其中y 三盏假设妒w 麓，妒o 满足 妒( 出口( ( p 一1 ) l v u i p - 2 v 妒) 一y 妒) o 并且妒= d ( 川1 一詈) ，吲_ 则有妒= c 妒，c 为常数 3 1 定理1 2 及其证明 我们先给出关于解的能量估计： 定理3 1 设u 彬3 ，9 ( r n ) ，( g n ) 是下列方程的有界解 其中f 伊( r ) 设 u f ，( u ) = o 饥舯 a t i 。 oi n p ， 啦 u ( 一，z n ) = 士l，d r 以zz 7 妒一1 z “+ 土 对于任意的r 1 ，有 厶r 即u | p + 脚) 叫1 ) ) c 其中c 为和r 无关的常数 证明对于任意的t r ，考虑方程 则有下列式子成立： u 2 ( z ) = u ( 一，z n + t ) ， 一一( u 。) = o 讥舭， 1 l ( 3 1 ) 华东师范大学硕士论文一类椭圆型方程解的一维对称性研究 由椭圆函数解的估计和解的梯度估计，有； u t i + l v lsc讥r p ， 其中，c 表示与t ，冗无关的正常数并且注意到 t 乌( z ) = 1 ，d r 口z z z 种 用a 5 c u 2 ( z ) 表示( z ) 关于t 的导数，有： a | c ( z ) = 磊让( ，+ t ) o，d r 口l zz r n 我们考虑在球如= b r ( o ) 的能量： 满足 奶( u ) = 厶仕v u t l p + f ( u t ) - f ( 1 ) ) 如 。蛾如( ) = o ( 3 2 ) 实际上，由l e b 髑g u e 收敛定理知j k f ( u 2 ) 一f ( 1 ) ) 收敛到o ，当t 一十为验证另一项 j k ；i v 舻i p 也收敛到o ，我们在p o f ，( o ) = o 两边同时乘上一1 ，并在如上分部积 分，有： 厶( 一1 ) 出口( i v u 。l p _ 2 v u ) 一( 。一1 ) ，( ) = 上如( u t 1 ) i v 胡p 2 v u 。一厶 i v 。i p 一厶( 一1 ) 一( ) = 0 所以 厶i v u t l p = z 凰( 一1 ) i v 卅p - 2 v u 一厶( 一1 ) f 7 ( 舻) 显然地，由l e b 髑g u e 收敛定理知上式后两项都趋向于0 下面我们计算( 让2 ) 的关于t 的偏导，并利用方程p 一( u 2 ) = o 和，v t 。的三有界 性，并注意到a u 0 ，我们有： a 如( ) =厶a 黜u i ) 2 + + ( 甜| ) + 厶即矿 五矗三l ( 遁) 2 + 十( 砖) 2 i 孕( 2 斫a 迸+ + 2 a j c 破) + 厶f ，( u 。) a 5 厶i v u 2i p _ 2 v v a 。+ 厶f ，( 。) 侥u t 1 2 华东师范大学硕士论文一类椭圆型方程解的一维对称性研究 = z 岛i v l p 2 v t t 。z ，侥u t 一厶出口( 1 v t t 。i p - 2 v 舻) 侥。+ 上丑f ( ) a 矿 = 上如i v l p 2 v ，z ，a 5 c 一c 侥 j 8 b r 因此，对于任意t 0 ，有 如( u ) = 如( ，) 一f 砒侥既( o ) - ，0 勖( u 2 1 ) + c z 2 出上风据( z ) 侥u ( z ) = 勖( ，) + c z 如d s ( z ) z 2 出a ! c ( z ) = ( ，) + c 互b r d s ( z ) ( ，一u ) ( z ) = ( ，) + c 舻一1 令t 一+ 并利用( 3 2 ) 式子，我们得到估计 厶仕v 衅+ f ( u ) 一f ( 1 ) ) c 础 由以上定理3 1 ，以及l i u v 恤e 性质，可以证明定理1 2 ： 定理1 2 设u 3 ，9 ( p ) ，( q 死) 是以下方程的有界解， 满足 a t n 0 轨p ， 假设f 俨洱) 并且 p u f ，( u ) = o 伽卯 茁。避牡( 一，z n ) = 士1 ，。r 以2 一舻一1 f m j n f ( 1 ) ，f ( 一1 ) ) i n ( 一1 ，1 ) 则当p n 一1 时，有的水平集是超平面，或者说存在口舯，9 伊( r ) 使得 下面给出该定理的证明： u ( z ) = g ( a z )，d r 以zz r 3 1 3 证毕】 华东师范大学硕士论文一类椭圆型方程解的一维对称性研究 证明在方程一一一( t ) = o 两边同时求偏导鼠( 1 i n ) ， 侥陋u ( i v 训( p 一2 ) v 让) 一( t ) 】 = 出口魄( j v 牡p 一2 ) v t + j v 户一2 ) v q a 【f ，( 牡) 】 = 出口 0 2 ) i v u l 沪2 ) v 让+ l v t 工p ”2 ) v 啦】一，( u ) 讹 = 出口【0 1 ) i v u l 沪2 ) v u d 一，( u ) 嘶= o 当n = 2 时：考虑函数 妒2 如砂= a 1 让 因为 厶2 c 厶r 耐 所以条件成立应用l i 州】e 定理得如u = c a l t ，因此u 沿着方向( 1 ，一q 是常数即存在函 数9 和口= ( a 1 ) 使得u ( z l ，z 2 ) = 9 ( 口卫) 当n 3 时：考虑函数 妒= 岛u ，讥= 侥u ，i = 1 ，2 由假设，f 加i n f ( 1 ) ，f ( 一1 ) )i n ( 一l ，1 ) ，不妨设m i n f ( 1 ) ，f ( 一1 ) 】- = f ( 1 ) ，则有f ( 札) 一 f ( 1 ) 0 i n r 3 因为p 2 ，所以 皈i v u l 2 ) 詈皈陬l 旷 因此利用定理3 ，我们有 丘且l v u l 2 c ( 厶矗三l v u i ，) ；sc ( 厶r 三i v 让l p + f ( u ) 一f ( 1 ) ) ) ；c r 丛 所以当p n 一1 时，有估计 i v u l 2 c 舻， 对于m i n ( f ( 1 ) ，f ( 一1 ) ) = f ( 一1 ) 的情况，我们通过一札( 一，一z 3 ) ，f ( 一u ) 代替让( 一，z 3 ) ，f ( u ) 可以得到同样的结果利用l i u 讥u e 性质，我们有 磊t = c ：c 岛t 其中c 0 = 1 ，2 ) 为常数这样，u 在方向( 1 ，o ，一c 1 ) ，( o ，l ，一c 2 ) 上为常数，且u ( z ) = 夕( 口z ) ，其 中口= ( c 1 ，c 2 ，1 ) 证毕】 1 4 华东师范大学硕士论文一类椭圆型方程解的一维对称性研究 3 2 l i u v i l l e 性质的证明 下面直接给出l i u 饥u e 性质的证明 证明设矿= 考，下证盯兰c 将妒= 盯妒带入( 3 1 ) 式，得 盯妒( 出影( ( p 一1 ) i v u l p 一2 v ( 仃妒) ) 一y 仃妒) o 所以 口妒陋口( 0 1 ) i v u i ，一2 v ( 仃妒) ) 一y 口纠 = 仃妒陋口( ( p 一1 ) i v u i p 一2 ( v 口妒+ v 妒盯) ) 一y 口纠 = 盯妒【成口( ( p 一1 ) i v t i p 2 妒v 台+ p 一1 ) j v u i p 一2 盯v 妒) 一y 盯纠 = 口妒 妒出口( ( p 一1 ) l v u i p 一2 v 仃) + v 妒0 1 ) i v u i p _ 2 v 口 + 口出口( 0 一1 ) i v u l p - 2 v 妒) + v 盯( p 一1 ) l v t i p 一2 v 妒一y 仃纠 = 口 妒2 d t ( ( p 一1 ) l v 让l ，一2 v 盯) + 2 v 妒仃( p 一1 ) j v t 上j p 一2 v 】 + 矿妒【磁 ( ( p 一1 ) i v u i p 一2 v 妒一y 纠 口出口( 妒2 ( p 一1 ) l v u i p 。2 v 盯) o ( 3 3 ) 设e c 是定义在r + 上的函数，0 e ( t ) 1 ，且 e ： l 0 t 0 ，定义 ) = e ( 等) ，z 础 在( 3 3 ) 式子上乘以谣，并在p 上积分，利用格林公式： 磕仃出 ( 妒2 ( p 一1 ) l v 让l 坤v 盯) = 一v ( 品矿) 矿( p 一1 ) 酬p 一2 珊 = 一2 白v ( r 矿v 妒2 ( p 一1 ) l v u r 2 + 靠i v 仃1 2 妒2 ( p 一1 ) l v u r 2 0 1 5 华东师范大学硕士论文 一类椭圆型方程解的一维对称性研究 所以 矗f 珊附加一1 ) 酬，一2 2 l c r v c r 盯v 口妒2 ( p 一1 ) i v u r 2 i = 2 | 厶 矧 2 r ( r v 缸盯v 盯妒2 0 一1 ) i v u l p _ 2 i 2 ( 厶 2 r 鳋f 珊2 妇一1 ) i 乳r 2 ) 。 m 2 ri | 2 a r 2 妒2 白一1 ) f 孔i p _ 2 ) 5 2 ( 厶 川 2 冗矗i v 口1 2 妒2 白一1 ) i v u | p - 2 ) 言( i v 白1 2 仃2 妒2 ( p 一1 ) i v u | p - 2 ) 5 由定理2 6 在p 算子上的结论，即( 2 3 ) 式，加上解u 的有界性，我们有梯度估计i v 心l m ，并由条件妒= d ( 1 一詈) ，- ，我们有 其中c 与冗无关，所以有 l 附妒2 白一1 ) i 孔p c i v ( r 1 2 c r 2 伊 c 芹而2s c 馐i v 仃1 2 矿。一1 ) f 饥l p 2 c 0 伽r n ，设qc 舭是光滑的有界区域那么有下式成立 正 三i v u i p + f ( u ) 出上 三i v 训p + f ( t ，) ) 出 对于任意t ，c 1 ( 固， 三u 饥鲫，且 墅 7 ) t ，( 一，) 西( 一) ，卯耐zz = ( 一，) q “1 ) 其中 笪( 一) ：= z j 罂t t ( ，z n ) ，面( 一) ：= 2 n h 珥u ( 一，z n ) 证明我们用下式表示佃g 1 ( 固在区域q 上的能量 跏) = 上 三m l p + f ( 叫) ) 出 考虑集合 矿= ，8 ) 豆r ：笪( 一) s 瓦( z ) c 西r 和函数集 4 = 【伽c 1 ( n ) ：笪( z ) o ，所以t 存在且唯一的，且有( z ，s ) 驴，或者说 t 三( 正) = 笪( 一) 。 出， 对于任意的t t ，其中t = t ( 卫，伽( z ) ) 是式子( 4 3 ) 定义的，或者说满足舻 ) = 伽0 ) ，v 表 示相对于z p 的梯度 1 8 华东师范大学硕士论文 一类椭圆型方程解的一维对称性研究 下面验证( 口) ，( 6 ) ，( c ) ： ( n ) ：因为t ( z ，t ( z ) ) = o ，所以 砟) = 上 1 c 是与冗无关的常数 在证明该定理前，我们给出如下引理： 2 1 证毕】 华东师范大学硕士论文一类椭圆型方程解的一维对称性研究 引理4 1 设f c z ( r ) ，u w 南口( r n ) ，( 口n ) 是方程尹u 一( u ) = o 饥舭的有界整 解，满足巩u 0 饥融那么 面( z 7 ) = 姆让( 一，z n ) 是方程 耸西一一( 劭= o 饥舻一1 的一个有界解 并且存在妒 0 使得 一班u ( ( p 一1 ) l v 西i p 一2 v 妒) + f ( 霄) 妒o 饥舻一1 从而，当n = 3 时，西是关于一个变量变化的函数，或者说，是以下两种情况之一： ( 1 ) ，面= m ，m 为常数，满足p ( m ) o ， ( 2 ) ，存在6 r 2 ，和函数，l 伊( r ) 使得 o 饥r ，满足 豇( ) = ( 6 一) ，d r 础一略 证明令_ + o o ，显然有方程庐一( - ) = o 成立因为磊u o 且 渤( ( p 一1 ) l v u r 2 v ) 一( u ) = o 伽舻， 则对任意的专c 字( 舻) ，有 上。 如 = 一厶 0 ( 4 5 ) 下面证明对任意的叼掣( r n 一1 ) ，有 上一 0 ( 4 6 ) 由上式可知，算子一击t ，( 如一1 ) l 耽i p - 2 v ) + ( 动在任意球= f 一r 驴1 ：矽f 1 内的第一个特征值a 1 ，冗 o ，令妒r 是相应特征向量： j 一班t ，( 如一1 ) i p v 妒r ) + p ( _ ) 恤= a 1 ，r 彻饥， 【妒r = o o na j e i 乞， 不妨设仞z ( o ) = 1 注意到一a 1 ，矗是递减的，所以是有界的，我们利用l a m b r 0 8 i o 和x c a b r e a c 】的思想和方法，可以得到 一出口( 函一1 ) i 耽i p 一2 v 纠+ ，( _ ) 妒o 讯r 加1 最后，当竹= 3 时，对于每一个i 1 ，2 ，考虑方程 以：塑轨舻以= 0 nj r 妒 c r i 出口( 妒2 ( p 1 ) l v 西i p - 2 v 吼) ：民也 ( ，妒2 ( p 1 ) i 耽p 里学、1 护 = 仉出 ( 白一1 ) 妒f 耽i p 2 v 硪) 一以出 ( ( p 一1 ) 蕊i 耽l p 2 v 妒) = c r i v ( ( p 1 ) 妒l i p 一2 ) v 砺+ 以( p 一1 ) 妒i v 西i p 一2 蕊 一吼v ( 0 一1 ) 砚f v 玄i p 2 ) v 妒一以0 1 ) 砚i 咖i p 2 妒 = 吼白一1 ) v i p l 耽l p 一2 v 砺+ 吼0 1 ) 妒白一2 ) l 耽i p 一4 v _ v 2 面v 蕊+ 仉( p 一1 ) 妒l v 西l ，2 砺 一砚函一1 ) v 蕊i 珊i p 一2 v 妒一以( p 一1 ) 玩p 一2 ) i 耽f ，一4 耽v 2 西v 妒一以0 1 ) 蕊f i p 2 妒 = 吒妒( p 一1 ) ( p 一2 ) l 耽i p 一4 v 2 西v 磕+ c r i 妒0 1 ) l v - l ，一2 砜 一以蕊( p 一1 ) 一2 ) i 耽f p 一4 v 2 豇v 妒一以蕊白一1 ) l 耽l p 一2 妒 由于侥面= 吼妒，所以 原式= 侥面( p 一1 ) ( p 一2 ) l v 瓦i p 一4 耽v 2 面v 磁+ 岛瓦( p 一1 ) l v 豇i p 一2 蕊 2 4 华东师范大学硕士论文 一类椭圆型方程解的一维对称性研究 一以蕊0 1 ) ( p 一2 ) i v 西l p 一4 v 西v 2 西v 妒一以码( p 一1 ) i v 西l p z 妒 ( 4 7 ) 又因为邸一f ，( _ ) = o 饥破，所以有 一击口( 白一1 ) l 耽i p 一2 v 蕊) + 矿( - ) 砚= o ， 所以 ( a 萄2 ，( - ) 一( 侥- ) 2 言毗”( ( p 1 ) l 砚i p 2 v 访 = a 碱口( ( p 一1 ) i 耽l p 一2 v 砚) 一砜以出口( 一1 ) i 耽l p 一2 v 妒) = 侥豇白一1 ) 加一2 ) l v 西l p 一4 v 西v 2 西v 砚+ 侥西一1 ) i v 面l p 一2 硪 一c r i 蕊( p 1 ) ( p 一2 ) l l ，一4 v _ v 2 面v 妒一以砚( p 一1 ) i 珈i p 一2 妒 由式子( 4 7 ) 知 原式= ( 2 f ( 劭一( a 商2 丢凼u ( ( p 一1 ) i 耽i p _ 2 v 妒) = ( 侥_ ) 2 刍 ( 咖一酬( p 1 ) 例p 2 v 妒) ) 即 以出口( 妒2 ( p 一1 ) i 耽i p 一2 v c r i ) o 因为在二维空间中，所以( 3 4 ) 式成立，应用l i l i v i u e 性质，得到吮是常数，即 侥面= 色妒， c 是常数 当c 1 = c 2 = o 时，面= m 由( 4 6 ) 式子显然有f ，( m ) o 当至少有一个c 不为零时，面沿方向( c 2 ，一c 1 ) 为常数，因此取6 = l ( c 1 ，c 2 ) l - 1 ( c 1 ，c 2 ) ，对于某 个一维函数九有豇( 一) = ( 6 z ，) ，伽r 2 【证毕】 下面证明定理4 2 ： 定理4 2 的证明首先，我们先证明条件( 6 ) 的情况： ( 6 ) 设m = i n f u ，m = 8 u p t ，s 【仇，m 满足c l = f ( s ) ，其中c t 三m i n f ( s