（基础数学专业论文）拓扑空间中广义rkkm定理聚合不动点定理及其应用.pdf

学科专业。 指导教师t 拓扑空间中广义r , - k k m 定理 聚合不动点定理及其应用 基础数学 邓磊教授 研究方向t 泛函分析及应用 研究生t 夏霞( 2 0 0 1 2 7 9 ) 摘要 最近，d e n g 5 6 】和作者在拓扑空间中引入了广义r - k k m 映象的概念，借助这一 映象的表达，我们在不具有任何凸性结构的拓扑空间中建立了广义r - k k m 定理，这 些定理改进、统一和推广了很多重要的已知结果主要结果如下： 定理2 1 1 设x 是非空集，1 ，是h a u s d o r $ $ 拓扑空间，t ：x _ + 2 y 是具有非 空紧闭值的集值映象 ( i ) 若t 是广义r - k k m 映象，则对任意n = 1 = o ，$ l ，。) ( x ) 有 i o n ( a 。) o ( nt ( 。) ) 口， x e n 其中i o n 是广义r - k k m 映象的定义中与相关的连续映象 ( i i ) 若集合族 t ( $ ) ：。x ) 具有有限交性质，则t 是广义r - k k m 映象 定理2 1 2 设x 是非空集，y 是t t a u s d o r $ $ 拓扑空间，t ：x - + 2 y 是具有非 空紧闭值的集值映象若存在m ( x ) 使得n 。m t ( z ) 是紧集，则o 。x t ( z ) o 的 充要条件是t 是广义r - k k m 映象 定理2 1 3 设x 是非空集，y 是紧h a u s d o r f f 拓扑空间，t ：x _ + 2 7 是具有 非空紧闭值的广义r - k k m 映象若存在一个集值映象s ：x _ + 2 y 和y 的非空紧子 集k 使得对任意n = z o ，x ：1 ，z 。) ( x ) 有ncs ( i o n ( z x 。) ) ，并且 n t ( x ) c 五 x 6 s 一1 ( 9 ( n ) ) 其中妒是广义r - k k m 映象的定义中与相关的连续映象，则k a ( n 。xt ( 。) ) 0 定理2 1 4 设x 是非空集，y 是h a u s d o r f f 拓扑空间，t ：x _ 2 y 是具有非 空转移紧闭值的广义r - k k m 映象若存在m ( x ) 使得n 。j l fc c l c t ( x ) ) 是紧的，则 o 。x t ( z ) 0 定理2 1 5 设x 是非空集，y 是紧h a u s d o r f f 拓扑空间，t ：x _ + 2 y 是具有 非空转移紧闭值的广义r - k k m 映象若存在映象s ：x _ + 2 y 和y 的非空紧子集k 使得对任意n = 2 0 , 。1 ，) x ) 有ncs 一1 ( 妒( 。) ) ，并且 n c d ( t 缸) ) c 耳 x e s 一1 ( p ( n ) ) 则n ( n 。 爿t c x ) ) 口 作为广义r - k k m 定理的应用，我们有下面的极大极小不等式定理和鞍点定理： 定理2 2 1 设x 是非空集，y 是h a u s d o r f f 拓扑空间， r ，若映象 f ，g ：x y - r u 士o o ) 满足t ( i ) 对任意( z ，封) x k ，( z ，y ) g ( z ，掣) ； ( i i ) ，( z ，可) 关于管是 转移紧下半连续的； ( i i i ) 口( 。，y ) 关于茁是a 广义戽对角拟凹的 ( a ) 若存在m 僻) 使得n 。m c c l ( 0 y ：，( 。，们a ) 是y 的紧子集，则存在 珈y 使得，( 。，y o ) s a 对切z x 都成立 ( b ) 设y 是紧的，若存在y 的非空紧子集耳和映象s ：x _ + 2 r 使得对任意 n = z o ，。l ，。n y ) 有nc s 一1 ( j p ( n ) ) 且n ；e s 一1 ( 妒( 。) ) c c l ( 暑，y ：f ( x ，y ) a ) ) c k ，贝4 存在y o k 使得，( 毛y o ) a 对一切。x 都成立，其中妒是a 广义尼 对角拟凹定义中与相关的连续映象 定理2 2 2 设x ，y 是两个h a u s d o r f l 拓扑空间，映象，：x y 叶r u 仕o o 满足； ( i ) ，亿) 关于$ 是m 转移紧上半连续的，关于l ，是0 转移紧下半连续的； ( n ) ，k 掣) 关于。是o - 广义尼对角拟凹的，关于轳是m 广义b 对角拟凸的； ( i i i ) 存在m ( x ) 和n ( y ) 使得n 。mc c l ( 臼y ：f ( z ，”) o ) ) 是y 的紧子 集，n ，e c c l ( 扛x ：，( z ，w ) o ) ) 是x 的紧子集 则，存在鞍点( x 0 ，y o ) ( x ，y ) ，即 ，( 2 ，y o ) f ( z 0 ，y 0 ) f ( z o ，)v ( z ，) ( x ，y ) 特别的。我们有 ：n y f 。s u p x ，( 。，v ) = 。s e u x p p i e n y f ，( 。，! ，) = o 本文第三部分在h d o r f f 拓扑空间中使用连续单位分解技巧和t y e h o n o f f 不动 点定理，对定义在非紧拓扑空间的乘积空间上的一族d 。凸映象证明了新的聚合不动 点定理，我们有如下结果t 2 定理3 1 1 设t 噩h ，是族h a u s d o r f f 拓扑空间。其中j 是一( 有限或无限) 指 标集，令x = r l j 五对每一i ，若集值映象最，倪：x - + 2 墨满足t ( i ) g i 是关于鼠的d 一凸映象； ( i i ) 最满足引理1 3 2 的任何一个条件； ( i i i ) 存在墨的非空子集砷使得d i = n ( e i n t 巧1 ) ) 。：9 i x t 是空集或x 的 紧子集，其中( t i n t 巧一1 慨) ) 。表e i n t f f - 1 渤) 在x 内的补集； ( i v ) 对每一婀( r ( x ) ) ，存在墨的包含j 印u 的紧子集l n ；使得对任意 必( l 肚n 晟( 彳1 ( 三) ) ) ，j m d = ”i + 1 有妒慨( 。) c 上娥成立，其中妒尬是d - 凸 映象定义中与坛相关的连续映象，霹是条件( i i i ) 中墨的非空子集，只是x 到五 上的投射 则存在壹= ( 氟) 诞j x 使得血g i ( 童) 对一切i j 都成立 定理3 1 2 设 丑k ，是族紧h a u s d o r f f 拓扑空间，其中，是一( 有限或无限) 指标集，令x = y i 科五对每一i j - ，若集值映象晟，g i ：x - + 2 墨满足定理3 1 1 的 条件( i ) 和( i i ) ，则存在童= ( 磊) ，x 使得最国( 蠡) 对一切 ，都成立 定理3 1 3 设 x i i 1 是族h a u a d o r f l 拓扑空间，其中j 是一( 有限或无限) 指标 集，令x = n f j 置对每一i ，d i 是墨的非空紧子集若集值映象最，g ：x _ + 2 皿 满足： ( i ) g i 是关于足的d 一凸映象； ( i i ) r 满足引理1 3 2 的任何个条件 则存在岳= ( 磊) 诞，d = 1 1 讵f d i 使得最q ( 童) 对一切i i 都成立 定理3 1 4 设 五k ，是族紧h a u s d o r $ 拓扑空间，其中j r 是一( 有限或无限) 指标集t 令x = n 谢x i 若对每一i j ，集值映象毋，g ：x _ 2 置满足。 ( i ) & 是关于皿的d 凸映象； ( i i ) 对每一e ，若，是有限集，毋满足引理1 3 2 的任何一个条件；若j 是无 限集，定义的集值映象f ：x - + 2 x ，f 一1 扛) = 爪，巧1 ( ) ，扛= ( z d 拒，x ) ，满足 引理1 3 2 的任何一个条件 则存在i = ( 氟) 叫x 使得毛g i ) 对一切i j r 都成立 定理3 1 5 设 置) l j 是一族h a t 8 a o r $ l 拓扑空间，其中j 是一( 有限或无限) 指 标集，令x = 兀斛置对每一i ，若集值映象毋：x _ + 2 墨满足定理3 1 1 的条件 ( i i ) 、( i i i ) 和( i v ) 令 & 扛) 2 u 括：暑，妒晒( 帆n 毋p ) ) ，磁( 最( x ) ，f 坛f = m f + 1 ，m i ：0 ，1 ，2 ， 其中m n r ( z ) 表m ；的对应于坛n 最( 。) 的面，i p 帆：m - + 墨是与尬慨) ) ， 3 l m l = m i + 1 相关的连续映象则存在岔= ( 磊) 讵j x 使得赢q ( 孟) 对一切i j 都 成立。 定理3 1 6 设( x d 科是一族h a u s d o r h 拓扑空间，x = 1 1 t e f 噩是仿紧的，对 每一i i ，若集值映象晟，g i ：x _ 2 x a 满足t ( i ) g i 是关于毋的d 一凸映象； ( i i ) 最满足引理1 3 1 的任何一个条件； ( i i i ) 存在尬( f d x ) ) 和x 的紧子集甄，使得x 墨co i n t 巧一1 ( y ) ：em ) 则存在面= ( 函) 坨，x 使得a t i g t ( 量) 对一切i j 都成立 作为上述聚合不动点定理的应用，我们有下面的叠合点定理、抽象经济平衡点存 在性定理： 定理3 2 1 设 x i h r ， 巧b j 是两族h a u s d o r f f 拓扑空问，其中j ，j 是( 有 限或无限) 指标集。令x = 兀谢墨，y = n j j 巧若对每一i i ，j j 集值映象 眄，马：x _ 2 巧，s ，五：y _ + 2 魁满足： ( i ) 墨是紧拓扑空间； ( i i ) 噩是关于鼠的d - 凸映象； ( i i i ) 对y 的任意非空紧子集d ，d = u 啦x , ( ( c i n t s f l ) ) nd ) ； 马是关于的d 一凸映象； ( v ) x = u 鲫巧c i n t 町1 ( 蜥) - 则存在岳= ) i 五和= ( 彩) 批，y 使得磊五( 口) ，易马( 童) 对一切i j j 都成立 定理3 2 2 设n = ( x i ，a i ，b i ，p i ) i j 是一抽象经济使得对每一 j 满足； ( i ) 墨是h a u s d o r h 拓扑空间； ( i i ) 鼠是关于a 的d 一凸映象； ( m ) 对x 的任意非空紧子集耳， k = u ( f c i n t ( a f l ( 弧) n ( 。f 1 ( 骄) uw d ) in 研 噩 其中暇= 。x ：a i ( z ) n p d z ) = 0 ，； ( i v ) 对任意z x 眦，就g q ( 。) ，其中 口0 ) = u 暑，：! ，i p 以( n ( ；) n r ( 。) ) ， 以( 以i ( x ) ) ，i 磊f = r n + l ，m = 0 ，1 ，2 ，) a m i n a t 扛) n p ( z ) 表a m ，的相应于尬na ( 。) nb ( z ) 的面，如是d 一凸映象定义中与 舰相关的连续映象； 4 ( v ) 存在五的非空子集砰使得d i = n ，。砰( c i n t 阿1 恤) n ( 碍一1 ( 弘) u 磁) 】) c 是空 集或x 的紧子集； ( v i ) 对任意t ( a i ( x ) ) ，存在墨的包含砰u f 的紧子集工m 使得妒舰( 。；) c l l 对一切她( 工拙) 且i 尬i = m i + l 都成立，其中卿是条件( v ) 中置的非空子 集 则抽象经济n 有平衡点面x ，即存在一点童x 使得最取和a n 最：0 对一切 i 都成立 关键词：广义r - k k m 映象； 广义皿对角拟凸；a 一广义皿对角拟凹；a 转 移紧下半连续； 一转移紧上半连续；d - 凸映象；聚合不动点；抽象经济 5 g e n e r a l i z e dr - k k mt h e o r e m s a n d c o l l e c t i v e l yf i x e dp o i n tt h e o r e m s i n t o p o l o g i c a ls p a c e s a n dt h e i r a p p l i c a t i o n s m a j o r 。 s p e c i a l i t y s u p e r v i s o r2 a u t h o r l b a s i cm a t h e m a t i c s f u n c t i o n a la n a l y s i sa n di t sa p p l i c a t i o n s p r o f l e id e n g x i a x i a a b s t r a c t r e c e n t l y ，d e n g s f i 】a n da u t h o ri n t r o d u c e dg e n e r a l i z e dr - k k mm a p p i n g i nt o p o l o g i c a l s p a c e b yu s i n g t h en o t i o no f g e n e r a l i z e d 品k k m m a p p i n g w ep r o v e s o m en e w g e n e r a l i z e d r - k k mt h e o r e m so nt o p o l o g i c a ls p a c e sw i t h o u ta n yc o n v e xs t r u c t u r e t h e s et h e o r e m s i m p r o v e u n i f y , a n dg e n e r a l i z em a n y w e l lk n o w nr e u l t s t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n gt h e o r e m s t h e o r e m2 1 1 l e txb ean o n e m p t ys e ta n dyb eah a u s d o r f ft o p o l o g i c a ls p a c e l e tt ：x - - + 2 b eas e t - v a l u e dm a p p i n gs u c ht h a tt ( 。) i sn o n e m p t ya n dc o m p a c t l yc l o s e d i n y f o re a c ho x ( i ) 1 f t i sag e n e r a l i z e d r - k k m m a p p i n g ，t h e n f o re a c h n = 。o ，2 ；1 ，z ) x ) i p _ ( 。) n ( nt ( 。) ) 口 z 6 n w h e r e 妒_ i st h ec o n t i n u o u sm a p p i n gi nt o u c hw i t hn i nd e f i n i t i o no fg e n e r a l i z e dr - k k m m a p p i n g ( i i ) i ft h ef a m i l y t ( z ) ：。x ) h a sf i n i t ei n t e r s e c t i o np r o p e r t y , t h e nt i sag e n e r a l i z e d r - k k m m a p p i n g t h e o r e m2 1 2 l e txb ean o n e m p t ys e ta n dyb eah a u s d o r g t o p o l o g i c a ls p a c e l e tt ：x _ 2 b eas e t - v a l u e dm a p p i n gs u c ht h a tt ( z ) i s n o n e m p t ya n dc o m p a c t l yc l o s e d i nyf o re a c hz x s u p p o s et h a tn e mt ( z ) i sc o m p a c tf o rs o m em ( 可) t h e n n 。xt ( 。) 0i fa n do n l yi ft i sa g e n e r a l i z e dr - k k mm a p p i n g t h e o r e m2 - 1 3 l e txb ean o n e m p t ys e ta n dy b eac o m p a c th a u s d o r f f t o p o l o g i c a l s p a c e l e tt ：x _ 2 7b e ag e n e r a l i z e dr - k k m m a p p i n gw i t hn o n e m p t yc o m p a c t l yc l o s e d v a l u e s i ft h e r ee x i s t sa n o n e m p t yc o m p a c ts u b s e tk o fya n da m a p p i n gs ：x _ 2 y s u c h 6 t h a tf o re a c hn = 。o ，z l ，一，z ) ( x ) ，ncs - i ( p ( n ) ) a n d n t ( z ) c k $ 5 一t i 妒- ( 。) ) w h e r e p i st h ec o n t i n u o u sm a p p i n g i nt o u c hw i t hn i nd e f i n i t i o no fg e n e r a l i z e dr - k k m m a p p i n g ，t h e nkn ( n 。xt ( 。) ) 禽 t h e o r e m2 1 4 l e txb ean o n e m p t ys e ta n dy b eah a u s d o r f ft o p o l o g i c a ls p a c e l c tt ：x _ 2 yb eag e n e r a l i z e dr - k k mm a p p i n g w i t hn o n e m p t yt r a n s f e rc o m p t l yc l o s e d v a l u e s i fn $ mc c l ( t ( 。) ) i sc o m p a c tf o rs o m em ( x ) ，t h e nn 蚝xt 扛) 0 t h e o r e m2 1 5 l e txb ean o n e m p t ys e ta n dyb eac o m p a c th a u s d o r f ft o p o l o g i c a l s p a c e l e tt ：x - + 2 y b ea g e n e r a l i z e dr - k k mm a p p i n g w i t hn o n e m p t yt r a n s f e rc o m p a c t l y c l o s e dv a l u e s i ft h e r ee x i t san o n e m p t yc o m p a c ts u b s e tk o fya n da m a p p i n g s ：x _ 2 。， s u c ht h a tf o re a c hn ； x 0 ，x l ，一，z n ) ( x ) ，ncs - 1 ( 妒( n ) ) a n d n e c l ( t ( z ) ) c k z e s 一1 ( 妒( n ) ) t h e nk n ( n 。x t 和) ) o a ea p p l i c a t i o n s ，w eh a v et h ef o l l o w i n gn e wm i n i m a xi n e q u a l i t i e sa n ds a d d l ep o i n tt h e - o r e m t h e o r e m2 2 1 l e txb ean o n e m p t ys e t ，l ，b eah a u s d o r f ft o p o l o g i c a ls p a c e ，a n d r l e t ，i g ：x y - r u 士) b e t w om a p p i n g ss a t i s f y i n g ( i ) f o re a c h ( z ，l ，) x y ，( z ，) sg ( ，| ，) ， ( i i ) ，( 。，们i sa - t r a n s f e rc o m p a c t l yl o w e rs e m i - c o n t i n u o u si ni t ss e c o n dv a r i a b l e ， ( i i i ) g ( z ，y ) i sa - g e n e r a l i z e d r - d i a g o n a l l yq u a s i c o n c a v ei nz a n d ( a ) i f t h e r ee x i s t sm ( x ) s u c ht h a tn m c c l ( v y ：，( $ ，) a ) ) i sac o m p a c t s u b s e to f y ，t h e nt h e r ee x i s t sa 珈ys u c h t h a t ，( z ，v o ) 墨入f o ra l lz x ( b ) l e tyb ec o m p a c t i ft h e r ee x i s t san o n e m p t yc o m p a c ts u b s e tk o fya n da m a p p i n gs ：x 2 ys u c ht h a tf o re a c hn = 。o ，。h ，z n ( y ， nc s 一1 ( 妒( n ) ) a n dn z e s 一1 ( 妒( 。) ) c c l ( y y ：，( 霉，y ) ) ck ，w h e r e 妒i st h ec o n t i n u o u sm a p p i n g i nt o u c hw i t hni nd e f i n i t i o no f j - g e n e r a l i z e dr - d i a g o n a l l yq u a s i c o n c a v e ，t h e nt h e r ee x i s t sa y 0 ks u c ht h a tl ( x ，y 0 ) 茎af o ra l lz x t h e o r e m2 2 2 l e txa n dyb et w oh a u s d o r f f t o p o l o g i c a ls p a c e s l e tf ：x y - r u 仕。o ) b e am a p p i n g s a t i s l y i n g ( i ) ，( 卫，”) i s0 - t r a n s f e rc o m p a c t l yu p p e rs e m i c o n t i n u o u si ni t sf i r s ta r g u m e n t 正a n d 0 - t r a n s f e rc o m p a c t l yl o w e rs e m i c o n t i n u o u si ni t ss e c o n da r g u m e n t 毫， 7 ( i i ) ，( g ，y ) i s0 - g e n e r a l i z e dr - d i a g o n a l l yq u a s i c o n c a v ei n i t sf i r s ta r g u m e n tza n d0 - g e n e r a l i z e dr - d i a g o n a l l yq u a s i c o n v e xi ni t ss e c o n da r g u m e n ty ， ( i i i ) t h e r ee x i s tm x ) a n dn ( y ) s u c h t h a tn 。e m c c l c ( v y ：f ( x ，y ) so ) ) i s c o m p a c ti nya n d 几e n c c l ( x x ：( x ，) o ) ) i sc o m p a c t i nx t h e n ，h a sas a d d l ep o i n t ( $ o ，y 0 ) ( x ，】厂) s u c ht h a t ，( q y 0 ) ，( 。o ，y 0 ) ，( 。o ，y )v ( x ，y ) ( x ，y ) i np a r t i c u l a r ，w eh a v e j 。n ，f 裟m ，f ) 2 裟嚣m ，”) 2 o 。 b yu s i n gt h et e c h n i q u eo fac o n t i n u o u sp a r t i t i o no fu n i t ya n dt y c h o n o f f 8 缸e dp o i n t t h e o r e m ，w ee s t a b l i s hs o m en e wc o l l e c t i v e l yf i x e dp o i n tt h e o r e m sf o raf a m i l yo fs e t - v a l u e d m a p p i n g sd e f i n e do nt h ep r o d u c ts p a c e so fn o n c o m p a c th a n s d o r gt o p o l o g i c a ls p a c e sw h i c h h a v en oc o n v e xs t r u c t u r e w eh a v et h ef o l l o w i n gt h e o r e m s t h e o r e m 3 1 1 l e t x i fb e af a m i l yo f h a n s d o r f f t o p o l o g i c a ls p a c e 8w h e r eii sa n ( f i n i t eo ri n f i n i t e ) i n d e xs e t l e tx = n ，置a n df o re a c hi ，l e t 丑，q ：x _ + 2 墨b e t w os e t v a l u e dm a p p i n g s s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( i ) g ii sa d - c o n v e xm a p p i n gw i t hr e s p e c tt o 最； ( i i ) 最s a t i s f i e so n eo fc o n d i t i o n s ( i ) - ( v ) i nl e m m a1 3 2 ； ( i i i ) t h e r ee x i s t san o n e m p t ys u b s e t 霹0 f 墨s u c ht h a tt h es e td i = n ( ( c i n t 耳。1 慨) ) 。： y l z , 0 ) i se m p t yo rc o m p a c ti nx ，w h e r e ( c i n t 毋一1 ( 肌) ) 。d e n o t e st h ec o m p l e m e n to f c i n t 曩一1 ) i nx ； ( i v ) f o re a c h 旭慨( x ) ) ，t h e r ei sac o m p a c ts u b s e t 三肌o f 墨c o n t a i n i n g 础u 肌 s u c ht h a tf o re a c h 尬( l 吼n 最( j 7 1 ( 厶m ) ) ) w i t h 坛i = m i + 1 ，妒帆( a m ) 三批，w h e r e 毕m i st h ec o n t i n u o u sm a p p i n gc o r r e s p o n d i n gt om t i nd e f i n i t i o no fd - c o n v e xm a p p i n g x 2 i st h en o n e m p t ys u b s e to f 五i n c o n d i t i o n ( i i i ) a n db i st h ep r o j e c t i o no fx o n t o 丑 t h e nt h e r ee x i s t sap o i n t 奎= ( 孟) j xs u c ht h a t 孟g ( 童) f o re a c h i t h e o r e m 3 1 2 l e t x j t e lb e a f a m i l y o f c o m p a c th a u s d o r f f t o p o l o g i c a ls p a c e sw h e r e ，i sa n ( f i n i t e o r i n f i n i t e ) i n d e x s e t l e t x = l - h ，五a n d f o re a c h i i ，l e t 日，q ：x _ 2 墨 b et w os e t v a l u e dm a p p i n g ss u c ht h a tc o n d i t i o n s ( i ) a n d ( i i ) o f t h e o r e m3 1 1a r es a t i s f i e d t h e n t h e r ee x i s t s 量= ( 最) l j xs u c h t h a t 孟l g i ( 云) f o re a c h i i t h e o r e m 3 1 3 l e t x i i lb e af a m i l yo fh a u s d o r f f t o p o l o g i c a ls p a c e sw h e r eji sa n ( f i n i t eo ri n f i n i t e ) i n d e xs e t l e tx = 兀l j 丑a n dd ib ean o n e m p t y c o m p a c ts u b s e to fx i s u p p o s et h a tf o re a c hi i ，最，g i ：x - + 2 “a x et w os e t v a l u e dm a p p i n g s s a t i s f y i n g 8 ( i ) g ti sad c o n v e xm a p p i n g w i t hr e s p e c tt o 冠； ( i i ) 毋s a t i s f i e so n e o fc o n d i t i o n s ( i ) 一( v ) i nl e m m a1 3 2 t h e n t h e r ee x i s t sap o i n t 面= ( 童i ) ，d = 兀j d is u c h t h a t 孟i g ( 量) f o re s c h i i t h e o r e m 3 1 4 l e t 五) 炬，b e a f a m i l yo f c o m p a c th a u s d o r f f t o p o l o g i c a ls p a c e sw h e r e i i s a n ( f i n i t e o r i n f i n i t e ) i n d e xs e t l e t x = 兀i ，五a n d f o re a c h i i l e t 毋，q ：x _ 2 x b et w os e t - v a l u e dm a p p i n g ss a t i s f y i n g ( i ) g ti sad c o n v e xm a p p i n g w i t hr e s p e c tt o 置； ( i i ) f o ra n y j ，i fii sf i n i t e ，最s a t i s f i e so n e o fc o n d i t i o n s ( i ) 一( v ) i nl e m m a 1 3 2 ；i f ii si n f i n i t e ，t h es e t v a l u e dm a p p i n gf ：x _ 2 xd e f i n e db y f - - i ( 2 3 ) = n 诞j 墨一1 0 t ) f o r e a c h z = ( x i ) i e l xs a t i s f i e so n eo fc o n d i t i o n s ( i ) 一( v ) i nl e m m a 1 3 2 t h e n t h e r ee x i s t sap o i n t 孟= ( 孟t ) t j xs u c h t h a t 五g ( 量) f o re a c h i i t h e o r e m3 1 5 l e t x ) i ，b eaf a m i l yo fh a u s d o r f ft o p o l o g i c a ls p a c e sw h e r eii s a n ( f i n i t eo ri n f i n i t e ) i n d e xs e t ，a n dx = r i j 甄f o r e a c hi i ，s u p p o s e 毋：x _ + 2 x li s as e t - v a l u e dm a p p i n gs u c ht h a tc o n d i t i o n s ( i i ) ，( i i i ) a n d ( i v ) o ft h e o r e m3 1 1a r es a t i s f i e d l e tg i ( x ) = u v ：y 妒帆( 帆n 毋( ) ) ，尬( 最( x ) ) ，尬j = k + 1 ，m i = 0 ，1 ，2 ) w h e r e a m , ：n f , i ( ) d e n o t e st h ef a c eo fa m jc o r r e s p o n d i n gt o 尬n 晟扛) ，a n d p 晒：“_ 五i sa c o n t i n u o u sm a p p i n g c o r r e s p o n d i n gt o 施( 毋( x ) ) w i t hi 尬i = m i + 1 t h e n t h e r ee x i s t s a n 蠡= ：( 孟i ) i j xs u c h t h a t 磊g ( 蠡) f o re a c h i i t h e o r e m3 1 6 l e t 噩 t fb eaf a m i l yo ft o p o l o g i c a ls p a c e s x = 风f 墨i s p a r a c o m p a c t f o re a c hi i ，l e t 最，g i ：x _ + 2 爿b et w om a p p i n g ss a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n s ： ( i ) g ii sad c o n v e xm a p p i n gw i t hr e s p e c tt o 最； ( i i ) 皿s a t i s f i e so n e o f c o n d i t i o n s ( i ) - ( v ) i nl e m m a1 3 1 ； ( i 1 1 ) t h e r ee x i s t sac o m p a c ts u b s e t 甄o fx s u c ht h a tx 甄c u i n t f v ( ) ：m d f o rs o m e 必( 冠( x ) ) t h e n t h e r ee x i s t sa n 孟e ys u c h t h a t 牙兀i ，g t ( 牙) ，t h a ti s 面t i 嘬( 牙t ) f o ra l l i i s o m e a p p l i c a t i o n st oc o i n c i d e n c et h e o r e m s ，e q u i l i b r i u me x i s t e n c et h e o r e m sf o ra b s t r a c t e c o n o m i e sa r eg i v e n t h e o r e m3 2 1 l e t 五) 州a n df 巧b jb et w of a m i l i e so fh a u s d o r f f t o p o l o g i c a l s p a c e sw h e r ei ，ja r et w o ( f i n i t eo ri n f i n i t e ) i n d e xs e t s l e t 肖= r i i j 西a n d y = 兀j j 巧 s u p p o s e f o re a c h i i ，j z ，马：x - + 2 坼，s ，五：y - + 2 a r es e t v a l u e d m a p p i n g s s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( i ) 五i sc o m p a c t ； 9 ( i i ) 噩i sa d c o n v e xm a p p i n gw i t hr e s p e c tt o & ； ( i i i ) f o re a c hn o n e m p t yc o m p a c t s u b s e tdo f y ，d = u 目x , ( ( e i n t s f l ( q ) ) n d ) ； ( i v ) 马i sa d c o n v e xm a p p i n gw i t hr e s p e c tt o - 巧； ( v ) x = u 鲫bc i n t 町1 ( 协) t h e nt h e r ee x i s t 岔= ( 童f ) i f xa n d 好= = ( 毋) j ys u c ht h a t 雪j 上b ( 孟) a n d 童i 墨( 雪) f o re a c h i i ，j j t h e o r e m3 2 2 l e tn = ( 蜀，a ，b i ，最) i e ，b ea na b s t r a c te c o n o m y i ff o re a c hi j ， t h ef o l l o