（基础数学专业论文）关于meixner多项式和一些q正交多项式的一致渐近分析.pdf

摘要 摘要 在本文中，我们研究当多项式阶数n 趋于无穷大时，m e i x n e r 多项式和一 些口正交多项式的一致渐近性质。 利用d e i f t 和z l l o u 的最速下降线法，我们导出一些关于m e i x n e r 多项式的 一致渐近公式。其中有一个在原点的领域附近的渐近公式。据我们所知，这个 结果之前还没有被得到过。这个特殊的公式包含了一个特殊函数，这个特殊 函数实际上是一个一维r i e m 撇h i l b e r t 问题的一致有界的解，并且除了在原 点，它的取值都渐近地( 当n o 。) 等于常数“1 ”。利用我们的公式可以得到 一些数值的计算结果，同时我们还和前人的工作做了比较。 通过将l a p l a c e 逼近方法做一些改进，我们得到一些关于s t i e n j e s w g e r t 多项式，q h e n l l i t e 多项式和q l a g l l e r r e 多项式的一致渐近公式。在这些公 式里，g a 时多项式占了一个很显著的角色，它是通过截断口一蛳r 函数来定 义的。在经典正交多项式的一致渐近公式中我们通常要用到m 巧函数，这个 枷函数在一个极端零点的一边表现为指数函数，另一边又表现为三角函数。 同样地，口一a 岫多项式在一边表现为口a 的函数，另一边又表现为g n e t a 函 数。后面这两个特殊函数是出现在口正交多项式的局部渐近公式里的。所以， 我们可以很合理地预期g 柚r 多项式将在关于g 正交多项式的渐近理论中占 有很重要的一席之地。 关键词：一致渐近分析m e i ) 【n e r 多项式口正交多项式非线性最速下降线 法离散l a p l a c e 逼近方法 a b s t r a c t a b s t r a c t h lt ：i l i sm e s i s ，w es t u d yt l l eu i d f o 肌a s y m p t o t i cb e h a v i o ro f l em e i x n e rp o l y n o 武a l sa i l ds o m e 口- 耐h o g o n a lp o l y n o “a l sa sm ep o l y n o 血a 1d e g r e e 几t e n d st 0i n f i i l i 够 u s i n gn l es t e e p e s td e s c e n tm e t h o do fd e i f t - z h o u ，w ed e r i v eu i l i f 6 n na s y m p t o t i c f b 珊u l a sf o rt 1 1 em e i x i l e rp o l y n o i i l i a l s t h e s ei n c l u d ea i la l s y m p t o n cf o m m l ai na n e i g h b o r h o o d0 fm e 耐g i n ，ar e s u l tw l l i c ha sf 缸嬲w ea r ea w a r eh a sn o ty e tb e e n o b t a i n e dp r e v i o u s l y t l l i sp a r 吐c u l a rf 0 咖n u l ai m ，o l v e sas p e c i a lf u n c t i o n ，w 1 1 i c hi st t l e u r l i f o m l l yb o u n d e d s o l u t i o nt oas c a l a r 融e 撇皿一h i l b e r tp r o b l e m ，a n dw h i c hi sa s y n l p t o t i c a u y ( a s 凡一o 。) e q u a lt o 血ec o n s t 如t “1 ，e x c e p ta t 吐l eo r i g i n n u m e r i c a lc o m p u t a t i o nb yu s i n go u rf o 锄u l a s ，a n dc o m p a r i s o nw i t he 砌i e rr e s u l t s ，a r ea l s og i v e n w i t l ls o m em o d i 丘c a t i o n so fl a p l a c e sa p p r o x i m a t i o n ，w eo b t a i nu i l i f 0 珊a s y i n p t o t i cf 0 彻u l a sf o rm es t i e l l ；j e s w i g e r tp 0 1 y n o i l l i a l ，l e 口一一h e n i l i t ep 0 1 y n o 嘶a la i l dm e q l a g u e r r ep o l y n o i i l i a l i nm e s ef o m u l a s ，m e 口- a i r yp o l y n o 疵a l ，d e f i n e db yt n l n c a t i n gt l l e 口- 巧f h i l c t i o n ，p l a y sas i g m f i c a i l tr o l e w h i l em es t a n d a r d r yf u n c t i o n ， u s e df r e q u e n t l yi nm eu i l i f 0 册a s y m p t o d cf o m l u l a sf 研c l a s s i c a l lo m l o g o n a lp o l y n o i i l i a l s ，b e h a v e sl i k e 廿l ee x p o n e n t i a lf u n c t i o n0 no n e s i d ea i l dt l l et r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n s o nt h eo t l l e rs i d eo fa ne x t r e i n ez e r 0 ，t l l eg a 时p o l y n o i i l i a lb e h a v e sl i k em eg a 时 f u n c d o no no n es i d ea i l dd l eg t h e t af u n c t i o no nm eo t h e fs i d e ，n l el a s t 脚os p e c i a l f u n c t i o n sa r ei n v o l v e di nt h e1 0 c a la s y m p t o t i cf o m m l a so fm e 口- o r 山o g o n a lp o l y n o i n i a l s i ts e e i n sm e r e f o r er e a s o n a b l et 0e x p e c tm a tm eq - a i 】哆p o l y n o m mw i up l a y 觚 i m p o r t a n tr o l ei i lm ea s y i n p t o t i cm e o 巧0 fm e 口一o “h o g o n a lp o l y n o m i a l s k e y w o r d s ： u i l i f o ma u s y m p t o t i c s ，m e i x n e rp o l y n o i i l i a l s ，q o “h o g o n a lp 0 1 y n o i i l i a l s ， n o i l l i n e a rs t e e p e s t d e s c e n tm e m o d ，d i s c r e t el a p l a c e s 印p m x i m a t i o n 插图 插图 2 1 变换q 一冗及曲线r 2 2 s ( z ) 在曲线s 上的跳跃矩阵 2 3 区域q t 和曲线t 2 4 变换s _ t 2 5 r ( z ) 的跳跃矩阵 2 6 加r y 拟基本解和它的跳跃矩阵 2 7 曲线k 2 8 ( 佗z p 2 ) 的渐近区域 v 3 1 3 4 6 5 8 3 1 3 3 3 3 4 4 5 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位 论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 1 年岁月7 日 第1 章引言 第1 章引言 1 1 m e i n e r 多i 贝式相一些g 止父多i 贝瓦 给定口 0 和o c 1 ，m e i x n e r 多项式【1 7 】定义为 毗溉慨r ( 一卅1 一丢) = 砉铲( 1 一扩- ， 它们满足离散正交条件 薹警帅以c 腓即) = 蒜岛 ( 1 2 ) 七：0 “。 p n 。， 名( z ；p ，c ) = 竽坞“z ；p ，c ) 一型尝寺丝( z ；p ，c ) + 当一( z ；，c ) ( 1 3 ) 当礼很大时，关于m e i x n e r 多项式的渐近性质的结果并不多。当q 0 并且卢是一个正整数的时候，m a e j 妇a 和v 觚a s s c h e f l 9 】利用概率的方法给 出了眠( 觚；p ，c ) 的一个渐近表达式。他们的结果是用初等函数表示的。利 用关于积分的最速下降线法，j i n 和w 0 n g 【1 5 】导出两个关于坞( n q ；p ，c ) 的 渐近展开式。其中一个是在0 e 口1 + e 条件下一致成立，另一个在 1 一e 口m 。条件下一致成立。这两个展开式都用到抛物柱面函数及 其导数。 利用g a u s s 关于超几何函数的邻近关系式【1 1 ，我们只需用考虑1 2 的情况。给定任何0 c 1 及1 p 2 ，我们研究当n 很大 时，坛( 几z p 2 ；p ，c ) 在整个复平面上的渐近性质。我们主要利用关于振 荡慰e m 籼h i l b e r t 问题的非线性最速下降线法。这个方法最初是由d e i f t 和 z h o u 【7 】在研究非线性偏微分方程时引进的。随后这个方法被改进并且应用到 关于含有指数型权函数的正交多项式【6 】和一类含有离散型权函数的正交多项 式【2 3 】的研究中。 1 第1 章引言 在研究g 正交多项式的时候，我们需要引进一些记号。给定g ( o ，1 ) ，定 义 ( 。；g ) 。：= 1 ， ( n ；g ) n ：= ( 1 一。矿_ 1 ) ， n = 1 ，2 ， ( 1 4 ) 南= 1 当他为无穷大时这个定义依然有意义。通过这些记号，我们分别定义g h e n i l i t e 多项式k ( z i g ) ，s 石e l t j e s w i g e r t 多项式瓯( z ；q ) ，和口- l a g u e 盯e 多项式 坎( z ；g ) 为蚴 m s t 圳：= 熹挚扩幽( 砒”2 状， 卜塞志h 硪训) ：= 砉畿，诎( 计 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 和一般的正交多项式不同，这些口正交多项式并不满足任何二阶常微 分方程或者含有任何积分表达式。所以，常规的方法，比如关于微分方程的 w k b 方法和关于积分的最速下降线法，都不适用。最近，i s m a i l 和z l l a n g 【1 4 】 引进一个对数型变换：z = s i n h ：= ( g - 竹u 一乱- 1 ) 2 ，其中亡0 且让是一个 固定的非零复数。通过这个变换，他们导出关于g h e n i l i t e 多项式的三个渐 近表达式。这三个表达式分别是在如下三种条件下成立： 2 ) 0 亡 1 2 且亡q ； 3 ) 0 t 1 2 且亡q 他们的表达式里用到了口- 简r y 函数【1 3 】 删：= 薹志 和口一t h e t a 函数】 e 。( z ) ：= q 驴 ( 1 8 ) ( 1 9 ) 第l 章引言 关于s t i e l t j e s 晰g e r t 多项式和g l a g u e 盯e 多项式，他们也得到了类似的结果。 当0 亡 0 是一个固定的小量 我们的表达式里并没有用到q a 酊函数，而是用到了下面的多项式 t 1 驴 知 ) 2 三彘( - 力詹 ( 1 1 0 ) 考虑这个多项式仅仅是q a 埘的前佗项截断，我们把它叫做g - a 蚵多项式。同 样的，我们也可以改进i s m a i l 和z h a i l g 关于s t i e l l ；j e s w i g e r t 多项式和g - l a g u e 玎e 多项式的结果。 1 2 关于m e i x n e r 多项式的渐近分析的研究方法 这一节里我们简要地介绍关于m e i x n e r 多项式的渐近分析的研究方法。 首先，我们利用正交性( 1 2 ) 构造一个二维差值问题，这个二维差值问题的 唯一解是一个二阶矩阵值函数，这个函数可以用m e i x n e r 多项式表示。第二 步，我们将这个二维差值问题等价地转换为一个二维硒e m 锄h i l b e r t 问题。 于是，我们只需要研究这个等价融e m a l l l l h i l b e r t 问题的解。利用平衡测度，这 个慰e m a 衄h i l b e r t 问题可以转换为一个振荡融e m a 皿h i l b e r t 问题。最后，通过 d e i f t z h o u 非线性最速下降线法，我们把这个振荡鼬e m 锄h i l b e r t 问题转换为 另外一个整体的m e m 锄h i l b e r t 问题，而这个整体的黜e m 锄h i n ) e r t 问题可 以分解为许多局部的鼬e m 锄h i l b e r t 问题。考虑到这些局部黜e m a 皿h i l b e r t 问题的解并不唯一，我们需要选择合适的解使得它们在公共的区域里是渐近 相等。将这些选定的局部解拼凑成一个在整个复平面上都有定义的函数，这个 函数就是那个整体黜e m a i u l h i l b e n 问题的逼近解。通过前面的所有变换，我 们可以返回到最初的差值问题，并且得到关于m e i x n e r 多项式的渐近表达式。 3 第1 苹引言 1 3 关于一些g 正交多项式的渐近分析的研究方法 在这一节里，我们通过一个简单的例子来介绍离散l a p l a c e 逼近方法的思 想。这个方法将用来分析g 正交多项式的渐近性质。给定两个定义在有限区 间q z p 上的实值连续函数( z ) 和危( z ) 。假设九( z ) 在这个区间上有个极 小值点，不妨设其为z = q ，并且函数 ( z ) 在任何一个不包含q 的闭子区间 上的极小值都比九( q ) 大。同时，我们假设 ) 连续，( q ) = o 及( q ) o 。 当入一+ 时，l a p l a c e 逼近方法【4 厕给出关于积分 j ( 入) = ( z ) e 以h ( z ) 如 ( 1 1 1 ) 的渐近表达式 m 川( 咄砒 高 2 ( 1 1 2 ) 令入= 礼2 ，通过变量代换z = q + ( p 一口) 亡，积分( 1 1 1 ) 变为 j ( 礼2 ) = ( 卢一q ) 妒( q ) e n 2 ( 口，( 亡) e 一舻9 ( ) 出， ( 1 1 3 ) 其中厂( 亡) ：= ( z ) ( q ) 且9 ( 亡) ：= 九( z ) 一九( q ) 。如果设g ：= e ，后：= 疵，厶( 忌) ：= 击，( 喜) 并且鲰( 七) ：= n 2 9 ( 袅) ，那么( 1 1 3 ) 里的积分可以写为 z 1 ，( 亡) e n 2 夕 ) 出= z 竹厶( ) 口鼽( 动d 七 上式这个积分如果改成求和，就得到下面这个离散的形式 厶( 1 i g ) ：= ( 后) q 跏舢， ( 1 1 4 ) 其中厶( 后) 和9 n ( 忌) 是两个定义在非负整数集n 的函数，并且g ( 0 ，1 ) 。我们 研究当几一时，厶( 1 i 口) 的渐近性质。它的渐近表达式将包含口一n l e t a 函数 ( 1 9 ) e g ( z ) ：= g 舻z 南， o o 和正整数( 艿) 使得如( 尼) 凡n 2 对任 意丽七n 和n ( 6 ) 都成立； 似j 给定c 0 o 及任意5 o ，存在6 ( ) o 和( ) n 使得厶( 七) 一1 i ( e ) 都成立 于是当礼一o o 时，我们有 ，l 1 厶( 1 i g ) ：= a ( 尼) 口鲰砷一去 e 虿( 1 ) + 1 】， ( 1 1 5 ) 七= 0 一 其中彳：= 俨 证明对任意小的 0 ，选取与( i v ) 中一样的6 ：= 6 ( 5 ) 及( ) 。把厶( 1 i 口) 分 成两个和式厶( 1 l q ) = e + e ，其中 【凡刊 盯：= 厶( 忌) 9 9 m 知= 0 且 e ：= 并且 于是，我们有 忌= h 副+ 1 ( 后) 扩( m 孚卧刑+ 1 】兰e 凰e 孚刊+ 1 】- 他_ o o”一 _ 利用假设条件( i i ) 和( _ i i i ) ，我们可以得到 e l m g 枞6 礼m 矿2 儿 七= h 刊+ 1 5 0 一 七 g e+l m 脚 耳 第1 章引言 丛厶( 1 i q ) ，甄厶( 1 i q ) 半 e 妒。( 1 ) + 1 】 1 _ m n _ o o z 因为e 可以任意小，令s 一0 + 即可得到( 1 1 5 ) 。 6 口 且 1 并 h 簪 协 驸和 ，l _ 虬 ! 所 第2 章关于m e i x n e r 多项式的渐近分析 第2 章关于m e i x n e r 多项式的渐近分析 2 1 初始差值问题 从( 1 1 ) 可得，首一m e i x n e r 多项式为 ( 小= ( 鼽( 1 一丢) 哪坛( 邪，c ) ( 2 1 ) 利用( 1 3 ) 我们知道( 名) 满足递推式 z 丌h ( z ) = 丌n + - ( z ) + 竺警丌矗( z ) + 竺背丌h 一( z ) ( 2 2 ) 通过( 1 2 ) ，我们得到( z ) 的正交性质 其中 镌= 嵩器为 亿4 ， 7 n r ( 佗+ p ) r ( n + 1 ) 、7 且 科= 黼矿 ( 2 5 ) 定义p ( 名) 为如下2 2 矩阵 p ( z ) l f ( z ) l i 镌一1 一1 l 镌一1 7 r t l 一1 ( 忌) 叫( 后) z 一庇 ( 2 6 ) 为简便起见，我们用大写字母来表示一个函数说明它是和参数佗有关。于是， 下面的函数尸，q ，r ，s ，z m 和k 都是关于z 和n 的函数。在下面的命题中， 我们证明尸( z ) 是某个差值问题的唯一解。而这个差值问题可以看做是关于有 连续权函数的正交多项式的r i e m 锄h i l b e n 问题【9 1 0 】的离散形式。 7 筇q镌n如 = 埘 h 脚 动一 辫 一 脚 脚 、l ，0 第2 章关于m e i x n e r 多项式的渐近分析 命题2 1 在但印中定义的矩阵值函数p ( 名) 是如下差值问题的唯一解： f p j ) p ( 名) 在c n 中解析； 他j 当名= 七n 时，矩阵p ( 名) 的第一列是解析的，而第二列有单重奇性并 且留数为 警p c 名，= 娥尸c z ，( 兰叫) = ( 兰：；竺：三；) ； c 2 7 ， 留，当z 巫离n 并j l z 时，p c z ，( z ：n三) = j + 。c l z l 一1 ， 证明当七一+ o 。时叫( 七) 按指数阶递减到零，所以p ( z ) 的第二列中的级数 关于z 在c n 的任何紧子集中一致收敛。于是，条件( p 1 ) 得证。 给定七n ，我们有 脚p 1 2 ( z ) = ( 七) 伽( 后) = p 1 1 ( 尼) 伽( 七) ， 并且 r 筚马2 ( z ) = 镌一1 一1 ( 忍) 伽( 尼) = 马l ( 忌) 叫( 后) 所以，( p 2 ) 成立。 要证( p 3 ) 我们只需证明当z 一。并且名远离n 时，p 1 2 ( z ) 矿= 0 ( h _ 1 ) 和b 2 ( z ) 扩= 1 + 0 ( h _ 1 ) 成立。利用下面的展开式 圭：葚嘉+ 嘉南， z 一庇台“。扩“l 一七名 我们得到 只z c z ，z n = 萎z n 一 一1 薹七丌k c 七，叫c 忌，+ 三薹掣 = 0= 0_ i c = 0 7 由正交性( 2 3 ) 可知，对任意i = o ，1 ，n 一1 ，( 忌) 加( 忌) = o 。于是， 喇肚三妻掣喾 。南；0 ”，。 第2 章关于m e i x n e r 多项式的渐近分析 因为z 远离n ，上式中的级数是一致有界的。所以，当z o o 时，片2 ( z ) 扩= d ( h - 1 ) 。另外，我们还可以得到 恳。( z 矽：曼扩仁，镌一，壹“忌m 忌) + 三耋堡兰铲 扛= 0七= 0七= 0 同样地，通过正交性( 2 3 ) 可知，对任意z = o ，1 ，佗一1 ，一1 ( 七) 伽( ) = 瓯，n _ 1 镌一1 。所以，当z _ 。并且z 远离n 时，岛2 ( z ) 扩= 1 + d ( - 1 ) 。于 是，( p 3 ) 得证。 唯一性可以由l i o u v i n e 定理得出。首先，由( 2 7 ) 可知行列式d e tp ( z ) 在 七n 的留数为零。于是，d e t p ( z ) 可解析延拓为一个整函数。通过条件( p 3 ) 和l i o u v i l l e 定理我们得到d e t p ( z ) = 1 。所以，矩阵p ( z ) 在c n 中是可逆 的。假设差值问题( p 1 ) ( p 3 ) 还有另外一个解p ( z ) 。我们容易得到矩阵值函数 p ( z ) p 。( z ) 在忌n 的留数为零。于是，p ( 名) p - 1 ( 名) 是一个整函数。同样，用 ( p 3 ) 和l i 伽v i l l e 定理可得p ( z ) p _ 1 ( 名) = j 。这样就证明了唯一性。 口 2 2等价r i e m a n n b e r t 问题 这一节里，我们先介绍两个变换p _ q 和q r ，然后证明变换后的矩 阵值函数r ( z ) 其实是一个黜e m 锄h i l b e r t 问题的唯一解。最后，我们利用平 衡测度来构造第三个变换冗_ s 。 第一个变换p _ q 包含下面的变量代换： 佗一n0 、 叭小钏一p ( 毗邓2 ) = 【o矿) p ( 舭邓2 ) ( 2 8 ) 是一个p a u h 矩阵。在这一章里，我们还要用到另一个 定义x 为如下点集盯：= ( 呈丢) x ：= t 托) 是o ，w h e r e 凰：坠丝 n ( 2 9 ) 9 )八 o 1 1 0 ： = j i 吼 既 阵 的 矩 里 皿 这 n 第2 章关于m e i x n e r 多项式的渐近分析 这些凰叫做节点。我们的第一个变换为 q ( z ) ：= ( z ) n l 1 一a 3r 几一l1 一叮3 ( 名一玛) j = 佗哪a r 3 p ( n z 一俐i ( z 一玛) i ，= 0 jo j = 0 j n 哪0 、 l 矿) p ( n z 一卢2 ) 下列命题给出关于q ( z ) 的差值问题。 (j墓(z：a。)一1)亘e。z(：一a。，)。” c 2 。， l 产o“1 0 7 ( 2 1 0 i o 兀( z 一玛) j 命题2 2 定义在f 2 j f d j 中的矩阵值函数q ( z ) 是如下差值问题的唯一解： f q j jq ( z ) 在c x 中解析； f q 2 j 当尼n 且后n 时，q ( z ) 的第一列在节点托处解析，第二列在节点 处有一重奇性且留数为 里鬣q c z ，= 名望巍q c z ，( 三叫( n z p 2 雾。一j 砀户) ；c 2 - ， 当忌n 且七 n 时，q ( z ) 的第二列在节点k 处解析，第一列在节点 妊处有一重奇性且留数为 盟卜鄹( 叫( 佗z p 2 )；墓。za。，一2 三)； c 2 ，2 ， t l 一1i 11 ， 、 n ( z 一玛) - 2 oi ；u j 纠 j = o j j k， f q 圳当名_ o 。并且z 远离x 时，q ( z ) = j + 0 ( h - 1 ) 证明从定义( 2 1 0 ) 可知，( q 1 ) 和( q 3 ) 可以分别由( p 1 ) 和( p 3 ) 得到。 通过定义( 2 1 0 ) 我们还可以得到 及 1 0 q 1 1 ( z ) = 他一n p l l ( 几z p 2 ) q 1 2 ( z ) = 佗一n 只2 ( 佗z 一卢2 ) 一 秘 一孑 “舢 玛 一 州：豆 第2 章关于m e i x n e r 多项式的渐近分析 a te a c hn o d ez = 托w i m 当七n 且尼扎时，由( p 2 ) 可知，q 1 1 ( 名) 在节点 z = 甄处解析，而q 。2 ( z ) 有一重奇性且留数为 r 擘q 1 2 ( z ) = 礼一nr 擘r 2 ( 仡z p 2 ) 名= 五七：= 七 t l 一1 ( 瓦一墨) j = 0 n 一1 = n 一竹叫( 礼托一p 2 ) 尸1 ，( n k 一2 ) ( 一玛) n 一1 j = 0 = q ，1 ( 虬) 伽( 佗风一p 2 ) ( 凰一玛) 2 j = 0 同理，通过( p 2 ) 和( 2 1 0 ) 可知，q 2 1 ( 名) 在节点z = 甄处解析，而q 2 2 ( z ) 有一 重奇性且留数为 r 够q 2 2 ( z ) = q 2 l ( 瓦) 叫( 扎凰一2 ) 孑2 k 竹一1 ( 瓦一玛) 2 j = o 于是我们证明了( q 2 ) 的前半部分。 现在我们考虑尼n 且七 礼的情况。首先，由( p 2 ) 和( 2 1 0 ) 得，q 1 2 ( z ) 在节点z = x 南处连续且 ：嗽) 2 恕佗咄蹦舭卅2 ) 里( 卜玛) = 佗一nr 锣只2 ( 佗z p 2 ) ：= k ( 一冯) j = 0 j k n 一1 = n n 伽( 扎托一p 2 ) r ( 佗虬一卢2 ) ( 一玛) j = o j k 因为由( p 2 ) 可知只1 ( 佗z 一2 ) 在z = 解析，所以q ，( z ) 在z = 戳有一重 奇性。通过上式，我们得到 盟q t ( z ) = n 啪p 1 ( n 甄一p 2 ) 婴( 托一玛) - 1 j = q 2 ( 甄) 叫( n 凰一p 2 ) 一1 n 一1 ( 溉一码) j = o j 知 1 1 第2 章关于m e i x n e r 多项式的渐近分析 同理，通过( p 2 ) 和( 2 1 0 ) 可得，q 2 2 ( z ) 在节点z = 托处解析，而q 2 1 ( z ) 有一 重奇性且留数为 盟q 。，( z ) = 几哪马( n 甄一p 2 ) 娶( 妊一玛) - 1 j 七 = q 2 。( k ) 叫( 他地一p 2 ) _ 1 ( 托一码) j = 0 j k 这样就证明了( q 2 ) 的后半部分。 和命题2 1 一样，唯一性可以由l i o u v i u e 定理得到。 口 我们的第二个变换q _ r 是为了消去q ( z ) 的差值问题中的奇点。给定 0 c 1 和1 p 0 是个一足够小的常数，我们将在注2 中确 定南的选取。对任意0 j 晶，定义如下变换( 见图2 1 ) 。当z ( o ，1 ) 且 i mz ( o ，士6 ) ，令 冗c z ，：= q c z ，( 。，三) c 2 3 a ， 当r ez ( o ，1 ) 且i mz ( o ，士6 ) 时，令 r c z ，：= q c z ，( 三n 芋) c 2 3 b ， 当r ez 岳 0 ，。) 或i mz 岳 一6 ，司时，令 r ( z ) ：= q ( z ) ( 2 1 3 c ) 其中 n 7 r 硼( 佗彳一p 2 ) n ( z 一) 2 n 掌：一面丽砥蔫， ( 2 1 4 ) 1 2 o 等：= 一 e 士 r ( n ：一卢2 ) s i n ( n 7 r z p 丌2 ) 几一1 n 7 r 训( n z 一卢2 ) n ( z 玛) 2 j = 0 ( 2 1 5 ) 第2 章关于m e i x n e r 多项式的渐近分析 q ( 名) 0 一访 q ( z ) ，( 。知：)，( j 口筝) ，( 。知0 ) 。1 ，( 渖) q ( z ) 图2 1 变换q _ 冗及曲线r 引理2 3 对任意七n ，托= 瓮笋 说，r 电s 只( z ) = o ：= k 是矩阵值函数冗( z ) 的可去奇点，也就是 证明当后n 且后n 时，因为1 1 。对任意 风z ( 1 ，。o ) 且i mz ( o ，士6 ) ，由( 2 1 3 ) 可得r 1 1 ( z ) = q 1 1 ( z ) 且 兄1 2 ( z ) = q 1 2 ( z ) + q 1 1 ( z ) o 篝 ( 2 1 6 ) 由( q 2 ) 知q ，( z ) 在瓦解析，于是冗1 1 ( z ) 也是解析的。下证托是r 2 ( z ) 的 一个可去奇点。首先，由( q 2 ) 得 r 留q 2 ( 名) = q 1 1 ( 虬) 伽( n 冠一2 ) ：2 k 另外，由( 2 1 4 ) 得 r 凳so ；专) ： ：= x 七 1 n 一1 n 一1 ( 一玛) 2 ( 2 1 7 ) j = o 一叫( 礼妊一p 2 ) ( 诋一码) 2 把( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 应用到( 2 1 6 ) 可得 忌2 ( z ) 在节点甄处解析。 j = 0 ( 2 1 8 ) 脚r 1 2 ( 名) = 0 。同理可证，冗2 1 ( 名) 和 ：= 现在我们考虑忌n 及七 n 的情况。因为1 p o ，我们有 畴祭学_ 篝岛( 1 一c )1 一c 1 一j 竺亡 一一c 1 一c 足义 n ：= 蒜忙等 ( 2 3 - ) 0 ：。雨丢2 两丢 【z j l ) 显然0 6 = 1 。( k u i j l a a r s 和v 抽a s s c h e ，1 9 9 9 ) 中式( 1 8 ) 里的函数q ( ) 和卢( t ) 分别等于耐和6 t 。于是，由( k u i j l 哪和v a na s s c h e ，1 9 9 9 ) 中的定理1 4 可 知，当n 一t o 时，( z ) 的渐近零点分布为 化( z ) = 。u c 加，( z ) d s ， 其中，当z ( o s ，6 s ) ， 掣= 顽高 们 7 r 、( 6 s z ) ( z o s ) 对于其它z ，有塑罐掣= o 。于是肌 ) 的密度函数为：当z 0 ，口纠时， 咖。( z )1 产 如 d z 7 r ( 6 s z ) ( z o s i 。 第2 章关于m e i x n e r 多项式的渐近分析 当z 【o 亡，刎时， 批t ( z )1 岵 d s 一= 一 j - ! = = = ：= = = = = = = = = = = = = = ! = = = = 如 疵l 饥西i ) ( z j 两 我们只需要考虑= 礼的特殊情况，此时亡= l ，并且密度函数为 f 1 ，o 锄 口， 础) = = 掣= 1 卅n ) _ 2 ， 【；黜s1 阿认以6 ， 厂1 如 z ( 6 + n ) 一2 厶丽震菰盂罚2 呲咖i 矿丁； 见附录里的( a 1 ) 。我们的平衡测度即为咖1 ( z ) = j d ( z ) 如。注意到( 2 3 1 ) 中定 义的两个常数。及6 即为( j i n 和w r o n g ，1 9 9 8 ) 中的q 一和口+ 。这两个常数 被叫做m 切咖朋口她撇，l d v 扩数或者拐点。我们现在定义所谓的夕函数。当 z c ( 一o 。，6 时，令 9 ( z ) ：= 1 0 9 ( z z ) p ( z ) 如 ( 2 3 3 ) 由( 2 3 1 ) 及( 2 3 2 ) 可知，夕( z ) 的导数为( 见附录里的( a 2 3 ) ) 趴加z 6 圭出) 如 刊。g 坐坚某乎+ 半 亿3 4 ， 2 1 0 9 丽= 丁一+ 丁3 4 ) 命题2 6 式f 2 鲥j 中的函数9 7 ( z ) 是如下r f 绷口聆n - 胁f 沈疗问题的唯一解： 僧j j 夕7 ( z ) 在c o ，6 】中解析； f 9 2 j 把9 ( z ) 从上半平面趋于实数轴的极限值记做以( z ) ，从下半平面趋于实 数轴的极限值记做9 二( z ) ，我们有 1 8 以( z ) 一夕二( z ) = 一2 7 r z ，o z 口， 4 ( z ) + 夕二( z ) = 一l o g c ， o z 6 ； ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 第2 章关于m e i x n e r 多项式的渐近分析 僧圳当z _ o o 时，9 7 ( z ) = = + d ( i z i 2 ) 证明由( 2 3 4 ) 可得( 9 1 ) 。( 9 3 ) 可由如下等式得出： ，6 p ( z ) d z = 1 ； 见附录里的( a 2 2 ) 。对任意0 z 口由( 2 3 4 ) 知 批) - - 1 0 9 型盟斋筹型型砌+ 半 于是( 2 3 5 ) 得证。同理，对任意o z 6 ，由( 2 3 4 ) 得 蜘) - _ 魄坐坚杀乎+ 半 ( 2 3 6 ) 得证。最后，唯一性由l i o u v i l l e 定理可得。 口 注1 从( 2 3 2 ) 我们注意到m e i x n e r 多项式的平衡测度正好属于( b 址e t a 1 ，2 0 0 7 ) 中定义的s b - v 类型。值得指出的是，平衡测度p ( z ) 如其实还可以 通过另一种方法来求得。那就是，把j 9 p ) 如看着是在区间 0 ，) 上满足限制 条件 o p ) 1 ， 并且使得如下泛函取值最小的测度函数【8 ，2 2 】： z 。小g 南小m 帕劫+ 巾m 州z ， 其中u ) 是定义在( 2 2 1 ) 中的函数。按照( b a i ke ta 1 ，2 0 0 7 ) 中附录b 3 的步 骤，我们先通过如下方程组求解m h a s k 扑r a k h m a n o v s 撕数。和6 ： 出 如 z 口焘出= o ， 厂口，坠如：2 丌 厶抓再习万习呲儿 然后我们证明9 7 ( z ) 正好是( b a i ke ta 1 ，2 0 0 7 ) 中式( 7 l o ) 里的f ( z ) ，它具有如 下积分表达式： 畎栌z 口霸圭一6 1 9 壶 6 b 厂，地厂，地 第2 章关于m e i x n e r 多项式的渐近分析 最后，司以证明p ( z ) 如的紧支集为【o ，6 】，并且当z 【o ，6 】时， p ( z ) ：堂掣 通过计算可得在区间【o ，o 】里有j d ( z ) = 1 ，并且在区间 o ，6 j 里有p ( z ) = 妻a u r c c o s 错。这正好和( 2 3 2 ) 是吻合的。 由( 2 2 1 ) 知口( z ) = 一名1 0 9c 。所以通过( 2 3 4 ) 可得，当e c ( 一o o ，6 】时， 毗) + 华乩g 坐生杀字 我们定义所谓的妒函数。当z c ( 一o o ，6 】时，令 荆：厂= ( 一9 k ) + 掣) 必 = z z l o g 坐生杀严必 ( 2 - 3 7 ) ，6l 【，一“， 从帘! ； 可知 咖( z ) = 一夕( 2 ) + 口( z