（基础数学专业论文）拟线性以曲混合初边值问题的半整体经典解.pdf

摘要 3 6 2 3 s 7 对实际问题中提出的含两个独立变量t ，x 的型线性双曲型方程组的各 类定鲣问题的性质研究，要求考察在给定的区域上存在经典解的迈界条 件，而其中的混合初边值问题是研究其它各类问题的基础。本蓟在区 域r ( t o ) = ( t ，= r i o t 死，o z 1 上给出方程组 、 ，j 、 舟，匀，f ；= = ；+ a ( ) ；= = f ( “1 r -( 1 1 d td o 一 的混合初边值问题咐半整体经典解。论文共分6 节。前两节介绍定解问题的 两种提法及本文的主要结果。第3 节论证两种问题提法间的关系。第4 节我 们对于本问题的局部经典解的存在唯一性给出了一个较简洁的证明，并考 察了存在高度的性质。第5 、6 节是利用半整体经典解e 1 模的一致先验估计 最后得到其存在唯一性。、 关键词拟线性双曲组，半整体经典自氍混合初边值问题j s e m i g l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o nt om i x e di n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s a b s t r a c t f o rt h er e s e a r c ho fa p p l i e dm a t h e m a t i c so i lt h ep r o p e r t i e so fh y p e r b o l i es y s t e m so fq u a s i l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n t w o i n d e p e n d e n tv a r i a b l e s ，w eh a v et h en e e d st oc o n s i d e rt h eb o u n d a r y c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h ec l a s s i c a ls o l u t i o no ng i v e nd o m a i n a n dt h er e s e a r c ho nm i x e di n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi st h eb a s i s o fo t h e rp r o b l e m s t h i sp a p e rg i v e st h es e m i g l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o nt ot h em i x e d i n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h ee q u a t i o n s 筹+ a ( u ) 塞叫u ) ( 2 ) o ng i v e nr e c t a n g l ed o m a i nr ( ) = ( t ，z ) 1 0 t 蜀，0 z 1 ) t h e r ea r e6s e c t i o n si nt o t a j t h ef i r s tt w os e c t i o n si n t r o d u c et w o d i f f ；r e n tf o r m u l a t i o n so ft h ep r o b l e ma n dt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a - p e rt h et h i r ds e c t i o ne x p l a i n st h er e l a t i o no ft h et w of o r m u l a t i o n s i n t h ef o u r t hs e c t i o n ，w eg i v eas i m p l i f i e dp r o o fo ft h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h e1 0 c a lc l a s s i c a ls o l u t i o nt oo u rp r o b l e ma n dd i s c u s s t h ep r o p e r t yo ft h eh e i g h to ft h i ss o l u t i o nt h e1 a s tt w os e c t i o n so b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es e m i g l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n b yu s i n gu n i f o r map r i o r ie s t i m a t e so fi t sc 1n o r m k e y w o r d sq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n s ，s e m i g l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n m i x e di n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m 2 1引言 拟线性双曲组混合初边值问题的半整体经典解 金逸 在空气动力学，弹性力学等学科的实际问题中提出了带两个自变量t ，x 的一 阶拟线性双曲型方程组的各类定解问题。它们的局部c 1 解的存在唯一性结 果可见 4 ，而对于进一步的半整体g 1 解的研究结果很少( m c i r i n a 在【6 l 中 给出了一个结果，其对方程组的系数要求过于苛刻) 。但这个问题的研究 在理论和实际中均有重要的意义，特别对于做进一步的精确边界能控性研 究是一个很好的基础，有关文献见【5 】， 8 等。 本文考虑这种方程组的一个简单形式 豢圳“) 笔= f ( u ) ( 3 ) 下的混合初边值问题的半整体g 1 解，其中u = ( u 1 ) 一，u 。) t 为自变量( t ，x ) 的 未知函数向量，a ( u ) = ( a l ( u ) ) 是阶方阵，其元素) ( ，= l ，n ) 为u 的i n a l j ( u i j 适当光滑函数，f ( u ) = ( f 1 ( ”) ，咒( “) ) 了1 为“的适当光滑函数向量， 且f ( 0 1 = 0 根据双曲型方程组的定义，对于在所考察区域中的任一给定的u ，a ( “) 具 有1 1 个实特征值a ，( “) ，a ：( “) 、，a 。( u ) 以及一组完全的左特征向量 f ，( “) = ( 1 “( “) ，f i 。( u ) ) ( i = 1 ，t t ) ( 4 ) 和一组完全的右特征向量 n ( “) = ( r n ( “) ，一，f i n ( t ) ) t ( i = 1 ，n ) 满足 f ，( u ) a ( t z ) = a ，( “) f ，( “)( i = 1 ，n ) ， a ( “) r ，( “) = a 。( “) r ；( u )( i = l ，n ) 可以假设 4 ( i ，j = 1 ，一，n ) ( i = 1 ，一，n ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) f 7 及f 4 ，并且 = ( t ，3 2 ) 1 0 在唯一性的一 初边值问题半 2 问题的两种提法及主要结果 双曲组( 3 ) 可写为如下的特征形式： 塾小) ( 鲁“心) o 。u j ) = 壹b ( “) 脚) ( 注”一，。) i 考察的区域为r ( 品) = ( t ， =1x)fo t 8 0 ，0 z l 。 初始条件为 。 t = 0 ： = 妒( z ) 边值条件的第一种提法为： z = l ：u r = 西( ，讥+ 一，诧) + h r ( t ) ( r = l ， z = 0 ： 瓦二玑( f ，石1 ) 一，说) + 。( t )( s = h + 1 ， 其中0sh n 是给定整数，而 且不妨设 f 1 0 1 ( 1 1 ) ) ，( 1 2 ) n ) ( 1 3 ) f 1 4 1 g r ( t ，0 ，一，o ) = 吼( t ，0 ，。，0 ) 三0 ， v 1 r h ，h + 1 s nf 1 5 ) 相应的定向性条件为 衙譬1 r ( ) o ，v l r 冬 ，h + l s n ( 1 6 ) 这里的c o 怕| | 是某个给定的正常数。相应的相容性条件从略。 边值条件的第二种提法为： 。21 ：坼2 g r ( t ，v h + l ， n ) + h r ( t ) ( r = 1 ，一， ) ，( 1 7 ) 5 辫一 一一一 一一一一 一一一一一 一一一一一 0 j z 9 j 。川 | i x = 0 ：吼= g 。( ， 1 ) ，y h ) + 风( t ) ( s = h + 1 ，n ) ( 1 8 ) 其中o h n 是给定整数，而 且不妨设 g ，( t ，0 ，一，0 ) = g 。( t ，0 ，一，0 ) 三0 ，v 1 r h ，h + l s 冬n ( 2 0 ) 相应的定向性条件仍为 孵9 ta ，( “) o ， y l r h ，h + l s 礼( 2 1 ) i u i = o ol “l ! c o 这里的c o 怕i | 是某个给定的正常数。相应的相容性条件亦从略。 对于以上两种边值条件分别构成的混合初边值问题，我们的主要结果是 以下两个定理。 定理2 1假设a ( “) ，妒( z ) ，f ( u ) ， 及皿( i = l ，n ) 均为相关变量的连 续可微函数，a ，f ( u ) 及g ；是给定的，f ( o ) = o ，且( 2 j ) 和相容性条件成 立，贝对任意给定的t o 0 ，只要l l 妒l l , 以发| | 凰【o ，n j ( i = 1 ，n ) 适当 小，那么定解问题( o ) ，( 1 1 ) ，( j 7 ) ，( 1 8 ) 妣r ( t o ) = ( ( t ，x ) 1 0 tst o ，0 。 0 ，只要1 1 妒1 1 以及i i h & , t f o ，r o ( i = 1 ，- ，n ) 适当小，那么 定解问题( 口) ，( 巩( j 2 ) ，( ? ) 必在r ( 蜀) = ( t ，z ) l o t t o ，0s 。1 ) 上 存在难一的e 1 解u = “( t ，z ) 。 3问题的两种提法之间的关系 我们首先给出两种边值条件之间的关系。 定理3 1 假发( j 口) 中的l i j ( i ，j = 1 ，n ) 和g i ( 或矾) ，鼠( 鳓。) ( i = 1 ，n ) 均为相关变量的连续司微函数，t 。和g 文或确绘定，雨定解问虱o ) 0 1 1 ) l 2 ) ，1 1 乱 f 或定解问题( 口) ，( 巩( 7 ) ，( i s ) j 在r ( 品) = ( t ，x ) l o t 5 0 ，0 x 茎1 ) 上 存在c r l 觚t = “( t ，z ) ，则当i i u i | 竺，雹留。、i u ( t ，z ) l 充分小于一个仅依赖 于| | 凰l i ( i = l ，n ) ( 或l l h , l l ( i = 1 ，n ) ，的正常数 霸时，边值条件的两种 形式( 7 ) 一( 8 ) 和( 2 ) 一( s ) 是等价的。 6 9 0 忍l= “心如 。问 1 | ” 证明：i g l ( u ) = ( f 。，( “) ) 。，考察( 1 7 ) - 与( 1 2 ) 。 令z = i ，则i = 2 ( 妒( 1 ) ) “，u = 1 1 ( 妒( 1 ) ) i ，故 = f ( u ) u = l ( 1 。1 ( 妒( 1 ) ) i ) f “( 妒( 1 ) ) i ( 2 2 ) 分量形式为 nn q = f 皓( “) u 一l i k ( 1 “( 妒( 1 ) ) i ) 九妒( 1 ) ) 石。 ( 2 3 ) k = 1s = 1 其中f _ 1 ( u ) = ( 产( “) ) n 。n 是2 ( “) 的逆阵。从而 筹= k 虹= l ( + 。是n 。掣f m j ( 删产( 删玩 ( 2 4 ) 显然，当i i u | | _ o 时，象- j 。， 故j 常数m 0 ，当 | u i i 尬时，矩阵( 薏) n n 是可逆的，即石可表 成u 的f 1 函数 码= 乃( ”一，”。) ( j = 1 ，n ) ( 2 5 ) 现在假设我们已有( 1 7 ) ，则成立 i ，= f ( ”1 ，一， 。) = b ( g 1 ( t ， + l ，口。) + h i ( ) ，g 2 + h 2 ，g + 凰，v h + l ，一， 。) 竺f r ( t ，v h + ， 。) = 戽( t ，l h + l , k ( 1 1 ( 妒( 1 ) ) i ) 州妒( 1 ) ) i 一，f 。t ( f 。( 妒( 1 ) ) 石) 州妒( 1 ) ) 讥) 3 = 1s ，k = 1 ( r = l ， ) ，( 2 6 ) 故有 一a 只 6 ，一i = 。塞。瓢。， 到n 训气) ) + 。是。掣p 1 ) ) 1 ) ) 谠】 7 = k 一。塞。筹- - 噻t2 l 。( u q - - 妒q ( 1 ) ) 鬻限小一) ) + m ) ) 气) ) + 羹，掣1 ) ) 叫 ( r ，i = 1 ，h ) ，( 2 7 ) 其中0 0 娃 0 ，当l l u l l 尬时， 拙( ( 篆) n “叫o t 孙 ( 2 9 ) 综上，将t 作为参数，当恻j r a i n ( m 1 ，m 2 ) 时，诉( r = 1 ， ) 可写成 解出的形式( 1 2 ) 。易知，当2 ( “) 及g ，( i = 1 ，n ) 给定时，这里的尬，仅 - 与i i h , l i ( i = 1 ，n ) 有关，且不会随i i h , i i ( i = 1 ，n ) 的减小而减小。 反过来，由( 1 2 ) 得出( 1 7 ) 的过程是完全类似的。 同理可证( 1 8 ) 与( 1 3 ) 是可互化的。证毕。 定理3 2在定理，的假设下，可以互化的两种边值条件形式( 7 ) 一 ( 1 8 ) 和( 1 2 ) 一( 1 3 ) 中的h i 秉l l h i ( i = 1 ，一，n ) 有如下关系： l i 且m _ 0 倚i 旧f 1 1 _ 0 ，( i = 1 ，n ) ( 3 0 ) 证明：由于( 1 7 ) 一( 1 8 ) 矛1 ( 1 2 ) 一( 1 3 ) 同时成立，我们考察( 1 8 ) 与( 1 3 ) 先证必要性。令i - = 魂= 0 ，则 i 。= h s ( t )( 5 = h + t ，n ) ( 3 1 ) 利用( 2 3 ) 将此结果代入( 1 3 ) 得 g 。( t ，l l k ( h q ( t ) r 。( 垆( o ) ) ) 【i k q ( 妒( o ) ) k ( 吼， f t ( 。( t ) r 。( 妒( o ) ) ) 【l k q ( 妒( o ) ) h 。( t ) 】) + 皿( t ) q = h + l 口= + 1 nn = f 。k ( h q ( t ) ( 妒( o ) ) ) 【产( 妒( o ) ) k ( t ) ( s = h + 1 ，他) ，( 3 2 ) 8 其中( “) 的定义见( 5 ) 及( 9 ) 。 利用( 2 0 ) 进一步可得 凰( t ) = l s k ( 。( t ) r 。( 妒( o ) ) ) l k q ( 妒( o ) ) k ( t ) q = h + 1q = h + l 一薹 和弘“。塞。咖和( o ) ) ) 【脚p l k q 们肪小) 】 ，目。f n ( 。( f ) r 。( 妒( o ) ) ) 【l k q ( 妒( o ) ) 。( t ) 】) q 2 + 1q = h + l w 。( ) r 。( 妒( o ) ) ) 【l k q ( 垆( o ) ) a ( t ) ) ( s = h + 1 ，n ) ，( 3 3 ) 其中0 0 。 l 。 由f 3 2 ) 还可得 也( t ) = 瓦o l , k 。= 妻h - i - 。哪) f ”9 ( 妒( 咿9 ( 妒( 。) ) 。( t ) 】 扎。( 妻 ，( 咖。( ) ) ) 【$ 加( 们) ) 矗。( 驯+ 百o g s q = h + 1 口2 n 十1 + 圭。o 。g , 。o 。g = ：，= 壹h - i - ，m ) f m p ( 删f 9 ( 删 。( t ) 】 “女( h q ( t ) r 。( 妒( o ) ) ) 州垆( o ) ) 。( t ) 】) q = h + l q 2 + 1 ( s = h + l ，一，n ) ( 3 4 ) 注意到警( t ，o ，o ) 三o ( s = h + 1 ，n ) ，r e ( s 3 ) ，( 3 4 ) 显然可知 怕。( 圳l - 0 ( s = h + 1 ，n ) l i h s ( t ) l l l _ 0 ( 5 = h + l ，一，n ) _ 【3 5 ) 下面证明充分性。我们有 ”，一矾= i k ( u ) 一f 。k ( 妒( o ) ) u k = 。塞，瓦o l i k ( 郴) + 酣u - 妒( 0 ) ) ) ( “m 一州0 ) ) u t 9 。塞，o l i k ( 鲫m 小 妒。( o ) ) ( 加) q = l f 3 6 1 ， 、 ， 其中0 日。k 1 令们：”2 一= ” = 0 ，则= 屿( t ) ( j = h + 1 ，n ) 代入( 3 6 ) 得 西= 一：。：i 盟o u m ( 妒( o ) + 爵k ( “一妒( o ) ) ) n 二 + 1 凰( f ) f ”。一妒m ( o ) n _ + 1h q ( t ) l 均 ( r 2 1 h ) ，( 3 7 ) i 。= 皿( ) 一：。：。 旦o u k m ( 妒( o ) + 瓦k ( u 一垆( o ) ) ) 釜 + lh q ( t ) l ”9 一垆。( d ， 一n 。： + 1h q ( q i 。 ( s = h + 1 ，n ) ( 3 8 ) 将( 3 7 ) 及( 3 8 ) 代入( 1 3 ) 得 蹦t 卜。塞。 恚( 则) + 嘲u - o ( 0 ) ) ) ( 。塞。风l m q - - 妒m ( 0 ) 1 。塞，风产9 烈卜。塞。t 瓦o l l k ( ) + n ( u - 垆( 0 ) ) ) 【。妄。i m q - - 驴m ( o ) 。塞。扣 ， ，。塞， 毫( 鲫) 辄( u - 妒( 0 ) ) ) 。塞。剐) l ”q - c p , ( 0 ) 1 。妻。哪矿q ) ) + ，( t )( s = h + 1 ， ，n ) 础沪。塞， 瓮鲁。塞，刚矿9 + 筹( 们) + 弧u - 妒( 0 ) ) ) 【三n酬!mq(o)】蠹n(咖)lkq+hq筹釉q=h lq = n l 【h 。( t ) ! 一蛳( o ) 】( 乩( t ) ( t ) 吾五云) ) 上十 = 等一妻舞。塞。t 筹鲁。妄。峨一十嘉c 则，+ 嘲u - 妒( 0 m 妻踟) ( 0 ) 】，塞( 蚴蛔删t ) 筹釉枷) 口= h 4 - 1l m q - - 妒m h 4 -q = n 十1 ( 3 9 ) g u g n 。州 0 妒 其中一( “) = r 幻( “) 由( 5 ) 给出，并注意到( 9 ) ，易知此时有 u i i t t 。_ + e 。峨( 垆i i s n h + 1 m a 。x ! 。( 2 = 1 ，一，n ) ( 4 1 ) 及 警= 。妄，( 岛一+ 踟) 筹鲁) ( k _ 1 ，n ) ( 。z ) j 1 日l | 足够小时，i l 署| | sn | | 亩| | + 划韭o tl l ，即 嘞一2 r t r r t 垡a x 。 ( 4 3 ) 这样，由( 4 0 ) ，( 4 1 ) ，( 4 2 ) ，( 4 3 ) 即得 风( t ) | 1 1 寸0 ( s = h + 1 ，n ) i i h 。( t ) m _ 0 ( s = h + 1 ，一，n ) f 4 4 1 同理可证 ，( f ) l l - _ 0 ( r = 1 ，- ， ) 爿i i n ，( t ) l l 寸0 ( r = 1 ， )( 4 5 ) 故本定理得证。 4 混合初边值问题局部g 1 解的存在唯一性 现在我们讨论第一种边值条件下的混合初边值问题的局部c 1 解。 4 1线性问题及其解的先验估计 先考察如下线性问题 誊，州鲁“z ) 鲁) 孙。- l ，n ) 1 ( 4 6 ) t = 0 ：= 妒( 。) = ( 妒1 ( z ) ，一，妒。( z ) ) 7 ，( 4 7 ) 。= 1 ：j ( t ，t ) i t j = 协( ”( i = l ，h ，h n ) ，( 4 8 ) n z = o ：t ；- j ( t ，o ) ，= 议t ) ( ；= m + l ，- 一，n ，? t l o ) ， ( 4 9 ) j = l 在区域r ( 南) = o z l ，0 ts 品) 上的解u ( t ，z ) ，其中妒( z ) 满足 妒( o ) = c 2 ( 1 ) = 0 ，( 5 0 ) 且假设成立定向性条件 卜= 1 ：a f ( t ，1 ) o ( f = 1 ， 及相容性条件 p n - - - 。3 = l - n 如( o ) 妒；( 0 ) = 如( 0 = 姒o 0 ，1 ) 仍( o ，0 ) ( 8 = h + l ，一，n ) ， ；= m + 1 ，- 一，t t ) ( 5 1 ) 引理4 1 设在r ( 6 0 ) t - l i j ( i ，j = l ，n ) 连续可微，凡，m ，警，磐( i = 1 ，n ) 为 连续函数，惦( o f f = 1 ， ) ，呶t ) f f = m + 1 ，n ) ，妒( z ) 为连续可微 函数且定向性条件和相容性条件成立，刚定解阚题在r 1 6 小i 存在唯 一c 1 的解。 本引理的证明可见的引理3 1 。 为方便以后的讨论，引入下列函数集合： f 0 = 协，眦南，赢) ， 矧系恙蓑o x 纂：、, - - 2 羔- - ，u f 1 ， ， r z = 警朋，甏，南，南) ， 一 引理4 2 ( 第一估计式) 在引理4 j 的假设下，谩u ( t ，z ) 是定解问n ( 4 6 ) 一 ( 4 9 ) 在r ( 品) 上的c 1 解，则刖6 ( o 6sa o ) ，在冗( d ) 上成立估计式 f i | | s ( 1 + j ) 砂i i + k , 6 1 1 # l l + ( 1 + k , 5 ) l l z ( o ，x ) v l l( 5 4 ) 其中i = ( i 一，) 丁竺( = 1 f 1 ，( o ，x ) w ，一，凳1 1 j ( o ，茹) “，) 7 ，t ( o ，z ) = ( f 。( o ，z ) ) n 1 1 妒1 1 全。，。：篇。 。圳惦i i ，1 1 螗1 1 ，而2 是仅与兄( 南) 上的 模归。i 有关的常数 1 2 弛 ”叫胁肟 + + n 谚嘭 ” 协蝣 u 叫 o 0 ，灯肟划刨卜卜 证明；参照引理4 1 的证明过程，过( 0 ，0 ) 沿t 增加方向作第i 族特征线记 为i 一，过( o ，1 ) 沿t 增加方向作第i 族特征线记为i + 。将原区域r 0 0 ) 分成三 块冗i ，见，耐视不同i 的值，可能仅出现二个或一个区域，见f l 】中的图。 过点( t ，z ) 沿t 减少方向引的第i 族特征线= 五( r ；t ，z ) 满足 f ：i ；芝2a t ( r ， ( r ；t ，。) ) ， ( 5 5 ) if = ；f = o 、一叫 设此特征线与r ( 如) 的边界的交点的t 坐标为t ( t ，。) ，x 坐标为6 ( t ，z ) 则f 。= ( _ ；t ，z ) ，且 t ( f ，z ) = 0 ，。( t ，x ) = ，t ( o ；t ，x ) ( i = 1 ，n ) ， ( ，x ) = 1 ， ( t ( t ，。) ；t ，z ) = 1 ( i = 1 ，h ) ，( 5 6 ) f ，( t ，z ) = 0 ， ( _ ( f ，。) ；t ，z ) = 0 ( i = m + 1 ，- ，n ) 将( 4 6 1 的第i 个方程沿i 族特征线积分得 蛳心牡鼬如脚，圳+ ( 壹等 胁( ， = j i uj+#i2 1 f 5 7 1 其中各项被积函数的自变量均为( r ，f ) = ( r ，五( r ；，z ) ) ，且等= 导+ 凡箦 而 f 妒，( 砰( t ，z ) ) ，( t ，。) r ( i = i = l ， ) ， “t ，( 一，；) = l ；( t “t ，。) ) ，( t ，。) r i ( i = ；= m + 1 ，n ) ， 【譬1l i j ( o ，矗0 ，z ) ) 妒，( & ( t ，z ) ) ，( t ，。) 昆( i = 1 ，。，n ) f 5 8 1 对此积分式采用g r o n w a l l 估计显然得到 f 。，u ， ls ( 1 + a ，6 ) i 妒i l + a ，占i i p i i + ( 1 + a , 6 ) l l l ( o ，茁) 妒i l ( 5 9 ) j = l 这里及以后，a 。( i = l ，2 ，) 表示仅依赖于r ( 如) 上的模盯t i i 的常数 讯l | s | | l i j u j i i + | | ( f 巧( t j = tj = 1 n ( 1 + a 2 5 ) i i l o ( t ，。) ， ( 6 0 ) j = 1 1 3 +一； 凸= 冗r z ? oi 于是卒足王里得_ 【j e 。 以下，我们记 劣= 薹。( o ，z ) 鲁，嵋= 耋z j 、瓦o u j 陋1 7 ( 6 1 ) 蓦蒙，4 翕膏, j v 滢a ( o 罄i 蜀，编兹鬈珐舻步假设警，警是连续 函数，则 d d 。) ，在r f d ) 上成立估计式 l i p + | | + f i w 。l i ( 1 + d i l + k ：a ) ( i l 西l l + i i # 1 1 ) + k 2 6 ( 1 + j f 妒m ) + ：| | 妒川，( 6 2 ) 其中d o 兰 m 抽 一a ，( o ，1 ) ，a “o ，o ) ，$ 争雾瞻2 仅纯赖于氇( 品) 上的铡jr 2 1 r h m + 1 s n 。 圾f 1 警1 警忡= 1 ，n ) ，硝仅依赖于r ( 如) 上的模l l r o l l u 叭o ，z ) i f 。 舻等，炉瓦o u j ( ，川 n 2 前，毗5 瓦( 2 2 1 ，”) _ 将( 4 6 ) 关于x 求导得 静等从等m ， f 。( 等+ a 。等) = 西， 其中 胁= 一 瓦0 1 0 n 一壹掣+ i 。j = 1 w j u l u , - - 1 1 胁= 一i p j 一掣+ 1 = v mv u m 将边值条件( 4 8 ) 关于t 求导得 f 6 3 1 f 6 4 1 f 6 5 1 錾( f 1 1 ) p ，如一$ 鲁o t f j m 水，1 ) ( h ，坝(66)i 1 矧，1 ) p ，= 砖( f ) 一万( t ，1 ) “，( t ，1 ) ( i = l ， ) ， ( 6 6 ) 7 =，= 。 利用原方程即得在z = i 上有 势b2 志卅坠8 t 咖小1 ) 圳) 1 ) ( 6 7 ) 同理在z = 0 2 成立 姜吲枷) 屿= 琢b f 一豫t ) + 薹鲁( f 】。) ( f ，。) + 积邶) ) 垒础牡 1 4 又初始条件为 t = 0 ： w j = 戎( z ) ，j = 1 ，札( 6 9 ) 且有相容性条件 粼三蠢撩淼1 冀乩 ， i 砂；( o ) = b ( o ，o ) 妒；( o ) ( ；= m + ，n ) 、7 将( 6 4 ) 的第i 个方程沿i 族特征线积分得 势h 牡弧如h 枣，圳+ 厂i 一篇堕d o - w j + h i 渺( 。，n ) ( 7 1 ) 其中 f 妒i ( 耳( t ，z ) ) ，( t ，z ) f 寸( i = i = 1 ， ) ， d ；( r 。，已) = 1 i ；“丐( t ，。) ) ，( t ，z ) r i ( i = ；= m + 1 ，n ) ， 【e j l ll i j ( o ，已( t ，。) ) 妒“6 ( t ，z ) ) ，( t ，z ) r i ( i = 1 ，n ) ( 7 2 ) 再由原方程f 4 6 ) 即得 塾( f 咖加吐( f ，z ) 西舯，啪圳 z ) ，t ( 西d w l 0 ”m 洲r 协z ) ( 7 3 ) 利用g r o n w a l l 估计，再由( 7 1 ) 及( 7 3 ) 可得在上成立粗略估计 | i ”忆il pl l b - ( 1 + l 妒l i + l i 妒| i - ) ， 其中 垒。i 。器。 。似i i ，) ( 7 4 ) ( 7 5 ) 这里及今后，且( i = 1 ，2 ，) 表示仅与r ( 如) 上的a l l r z l l 2 乏l l 剐，i i 警i i ( i = 1 ，n ) 有关的常数。 由表达式( 6 7 ) ，( 6 8 ) 并注意到“( 0 ，0 ) = u ( o ，1 ) = 0 及( 7 4 ) 得 l 移，( t ) j ，i 每“t ) l ( d 0 1 + 岛6 ) ( i l p | | + 1 1 妒1 1 ) + b z ( 1 + i l w l l , ) 6 ， ( 7 6 ) 故有 i 声。( l ，6 ) l ( d i l + 口。6 ) ( 1 l p i + 1 1 妒1 1 ) + b 。( 1 + i i 妒【i - ) 5 + i i t ( o ，z ) l i 。l i 妒，( 7 7 ) 15 而且 一a i ( t ，z ) 砂i ( 耳( t ，。) ) + p i ( ，x ) l ，i a 文t ，。) 砂，( 略t ，。) ) + 肛“t ，? ) i 冬( 1 + b 3 j ) j 妒| | + b 3 ( 1 + | | 妒1 1 1 ) 6 ，( 7 8 ) 故有 i a 。( t ，z ) 砂，( n ( t ，。) ，6 ( t ，z ) ) + p ；( t ，z ) f ( 1 + b 3 a ) l l o l l + b 3 ( 1 + l l 妒1 1 1 ) j + i i a l l l l l ( o ，z ) l l 。| | 妒川+ | | p | | ( i = 1 ，- ，n ) ( 7 9 ) 又利用式( 7 4 ) 知( 7 1 ) 及( 7 3 ) 中被积函数项成立 | 耋券咐剐蚓1 m ) ( 8 0 ) 将以上结果代入( 7 1 ) 及( 7 3 ) ，即得估计式 j l i j p j i + i i l , , j w j l t ( 1 + d 0 1 + b s j ) ( i l 参i f + j i 肛1 1 ) j = 1j 5 1 + b s ( 1 + i 妒1 1 , ) d + ( 1 | a | | + 1 ) l i i ( o ，5 ) 1 1 。l i 妒川( v i ，i = l ，一，n ) ( 8 1 ) 再由 i i p ：| | + i u ，i i l | l l i j ( t ，x ) p j l i + i i n ，j ( t ，z ) ”川 j 2 1，= 1 + l l ( 1 l j ( t ，z ) 一l l j ( o ，x ) ) p j l i + l | ( f 订( t ，。) 一f ，j ( o ，z ) ) ，| | j = 1j = l ( v i ，i 7 = 1 ，n ) ( 8 2 ) 即可得 i i p i i + l l w | | s ( 1 + d 0 1 + 玩d ) ( i l 砂i i + | | p i i ) + 口e j ( 1 + lj 妒j 一) + ( j l a i l + 1 ) ( o ，z ) | | o 。i l 妒川 f 8 3 1 引理得证。 引理4 4v s ( o j 5 0 ) ，在r ( j ) 上成立估计式 i i 翱1 + 叫川知 d 0 1 + 叫， ( 8 4 ) 嘞1 1 a 1 1 似川i 舞1 他正( 8 5 ) 其中d + 仅依赖于d 0 ，忪i 嚣| | 及| | 筹i i 。 】6 本引理的证明见 1 】的引理3 4 。 以下我们引用函数的“连续性模”的记号和概念，具体参见4 第一章 笫3 节，并将其中的有界区域r 改为本文中的r ( 如) 。 引理4 5 偿三估计式) 在引理4 3 的假设下，对w ( o js5 0 ) ，在r ( j ) 上 成立估计式 u ( 叩i p ) + ( 叩l 埘+ ) s ( 3 + 4 d 0 1 + d 0 2 + 磁j ) u ( 叩j 够) + k u ( q l 妒7 ) + 磁( 1 + l i 砂1 i + l i 妒i i - ) ( q ) + d u ( q l r 2 ) ，( 8 6 ) 其中考飙；仅依赖于尉如) 上的搠f r z f f 及f 警i 警忡= 1 ，n ) ，而 9 ( q ) 兰眦| r o ) 銎“( 帆) ，u ( 圳丽赢j ”( 8 7 ) 证明：由( 6 7 ) 及( 6 8 ) 式并注意到u ( o ，0 ) = “( o ，1 ) = 0 可知 w ( 7 砂，( ) ) ，u ( _ i 曩) ) ( a 0 1 + 玩j ) p ( q f 砂) + j i p l l s u ( , l r i ) + ( q 胁) + b ；l l p f l q + ( 1 1 砂1 i + | i p l | + i i p l i a 。d ) u ( 1 l r o ) ( d i l + b 2 5 ) w ( q l 妒) + f l p l l 6 u ( q l r l ) + u ( q 1 肛) 】+ b s ( 1 + l i 妒1 l + i l 妒1 1 1 ) p ( q ) ( v 1 f h ，m + 1 ；sn ) ，( 8 8 ) 其中 u ( q f 妒) 兰，r n a z ， u ( q f 妒r 0 ) ) ，u ( q f 啦( f ) ) ，( 8 9 ) 1 ( i hm + 1 s ( n 一 再利用引理44 可得 u ( 叩i 妒。( 一( ，z ) ，：( t ，z ) ) ) 冬( 3 + d 0 1 + 2 d + 占) ，m n z ， u ( 叩i 咖，( t ) ) ，u ( 叩i 味t ) ) ) - i - b 9 【( 叩i 妒) + i i 妒，p ( 叩) 1 i h m + 1 s 0 ，使定解问题( 埘) 一( 功在r ( 6 ) 竺 0 t d ，0 冬。sl 上有难一的c r l 解u = u ( t ，。) 这里的i i h , i i 表示在z 0 ，吲上 取e o 模。 证明：作变换 “ ( t ，r ) = ( z ) “，( t ，z ) 一 v j ( o ) ( 1 一z ) 4 - 妒，( 1 ) z 1 ( j = l ，n ) ( 9 9 ) 其中 ，7 ( z ) = a j x + b j ( 1 一x )( j = l ，一，n )( 1 0 0 ) 而“，= 6 ，= l ，= 6 。= o 0 ，便 ，：m a x 1 1 著。j ( z ，妒1 ( z ) ) 妒；( z ) | | = m ，a x ，i ij ：，2 “( 妒( z ) ) 厶( 。) 妒，( 。) 【妒，( o ) ( 1 一z ) + 妒j ( 1 ) z ) | | n( 1 3 0 ) 对这个取定的q ，取7 7 0 小，使 稚( 1 + 枷峥执m 川a x 垡。 割瓤熹。1 1 舞1 1 ) ( 1 + 靠1 ) ( 伽瞎珈。m 、a xi i a i i i + i ) + d 。i i ( 1 一日) ( 1 3 2 ) 考虑到我们始终应有定向性条件( 1 6 ) 成立，故取0 6 1 品，使v 5 6 l ，当( 6 l n ，n 1 ) 时，有 m a x1 1 考+ 妒，( o ) ( 1 一z ) + 妒，( 1 ) zj j _ ，：m 。a x ，( 1 1 丝二二； 盟j j + i i ( 。) j j ) 剑列o y 丽5 + i i 妒i i c 。，v 0 5 5 1 ( 1 3 3 ) 根据( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 式知可使这个以= 6 - ( 1 l r + i i ，忪i i ，。m a x 。l 恳i i ) 注意到a 和毋是 给定的，则由( 1 2 6 ) 和( 1 2 7 ) 易知，j 6 ：= d 。( 1 l r + i i ，l j 妒- | j ，m a ，xj i h , i i ) 巩，使 1 m n 得对v d d 。，在冗( 6 ) 上有 终熙i i 2 0 ( w 1 ( z ) ) “j ( t ，z ) 1 1s n(134) 以及 盔i l 驴n w k ) ) 面孔- 1 i i 。m a ，xi i 脚帆) 釉蛐1 ( 1 3 5 ) 即1 = t y ( 6 l n ，n ) 这说明，算子t 将e ( 6 i n ，n 1 ) 映到自身。 另一方面，v y ( 6 l n ，n 1 ) ，记 酬=删n)mi，群，。删批(刑赢)，(136)3 1 dl ，= ，一p f i f ，- - l 、1 则伺 声( q ) c 4 【w ( q l r + ) + q ， ( 1 3 7 ) 其中u ( q i r + ) 表示r + 在。 o ，1 ，l u i 等上取的连续性模。 由( 1 1 6 ) 一( 1 1 7 ) ，_ ) , l v y ec + i r + ，n 1 ) 有 u ( q l 西) 垒，( r s m ， a + x 。s 。s 。 u ( q i 西r ) ，u ( q i 移s ) ) s 州吣+ 岫i 面o g ) - i - ，垡 m a 郴x 由噻吣l 舞) i 熹，岫l 舞胂t + 。蜓m m a 郴x 心嘻| | 篑叭。塞，1 1 簧1 1 m a x 吣喀职x , ( f l t ( 圳瓦( g y j ) 】 + c 5 d 毽答i 萎n 蜘妒1 ( 圳警) 删柙啪3 8 ) 其中 m i 瓦o g ) 全m 州。，爨唧i 鲁嘶小，1 ) 1 ，引u ) ) ) ， ，u ( q i 訾( t ，i 1 ( t ，o ) ，g ( to ) ) ) ) ，( 1 3 9 ) m a x iv h ( t , o 蚓， + 1 1 。! 。“( 1 瓦1 ” ， 州器) 全罐警m 1 簧( f 吣小，1 ) 1 ，引u