（应用数学专业论文）basket+cds的迭代定价模型.pdf

ab s t r a c t t h i s a r t ic l e s y s t e m a t ic a ll y a n a l y z e s t h e p r o b l e m o f p r i c i n g b a s k e t c d s , a n d i n - t ro d u c e s a n e w i t e r a t i o n m o d e l . o n e o f t h e c r i t i c a l p r o b l e m s i n p r i c i n g b a s k e t c d s i s t o m o d e l t h e s t r u c t u r e o f d e p e n d a n c e a m o n g t h e r e f e r e n c e e n t iti e s . t h e r e f o r e , w e w i ll i n t r o d u c e s t h e c o p u l a i n c h a p t e r 2 . b y a p p l y i n g d i ff e r e n t c o p u l a s , d i ff e r e n t d e p e n - d a n c e s t r u c t u r e s a m o n g r e f e r e n c e e n t iti e s c a n b e e s t a b l i s h e d . i n c h a p t e r 3 , w e a n a l y z e t h e c a s h 8 o w s t r u c t u r e o f a t y p i c a l n - t o - d e f a u l t c d s , a n d g i v e s o m e i m p o r t a n t p a r a r n - e t e r s , s u c h a s t h e d e f a u l t t i m e , t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f d e f a u l t s a n d t h e 0 d e f a u l t t im e . hc h a p t e r 4 , w e w i ll p r o p o s e o u r n e w i t e r a ti o n m o d e l , w h i c h c a n h a n d l e n o n - h o m o g e n e o u s c d s . f i n a ll y , s o m e e x a m p l e s w i ll b e p r e s e n t e d i n c h a p t e r 5 . k e y w o r d s b a s k e t c d s , d e f a u l t d e p e n d e n c y , c o n d i t i o n a l i n d e p e n d e n t , c o p u l a , i t e r a t i o n mo d e l 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印 刷本和电子版， 并采用影印、 缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 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) 是到期日 为t i 的 折现因 子. 为了 简单 起见， 我们不考虑累 计权益金。 我们来考虑支付时间t , 是现金流， 如果no 而 则c d s 和约终止; 如果 n ( t i) t i v ) 对v 做条件， 可以 得到联合生存函 数: s (t, . 二 ， t rl v ) = 日q n v (3 .7 ) 3 .3 违约 个 数n ( t ) 的 概率 分布 设n ( t ) =z ,- t 1,!5t) ， 则n ( t ) 表 示时间t 前 违约发生的 个数， 同 时 我们 令 n i ( t ) = i ik 6 .1 ， 则no 为 第i 个 标的的 违约 示性函 数。 由 前面的 分析， 我们 知 道， 要求得n h c d s的 权益金， 我们需 要知 道n ( t ) 的 分 布函 数， 因 此我们可以 先求得 n ( t ) 的 特征函数: * n (l)(u ) = e tw (r) = 见q (n (t) = k ) u k ( 3 . 8 ) 注意n i ( t ) 是一个b e rn o u ll i 随 机变量， 并且有: e 0 1(1)1刁 = lv + 4 v 、 “ 其中卯 v 二 q ( t f 4 v ) 以 及讨 “ = q ( t i t lv ) 是 条 件 生 存 和 违 约 概 率， 利 用n i( t ) 的条件独立性以及多条件期望定理， 我们可以得到: 如( 1 ) ( u ) = 咖二 。 “ = 丁 加+ p,v x u)f (v)dv ( 3 . 9 ) 第三章 b a s k e t c d s 的定价 .f 表 示v 的 密 度函 数 . 由 于y n (o 可以 写 成e u o . ( v ) + . . . + o o ( v ) l ， 其中o k ( v ) 是 n 普 ( 扩+ 可 v ) 的 展 开 后 的 对 应 项 ， 所以 我 们 得 到 了 在 时 间; 前 发 生k 个 违 约 的 概率: q ( n ( t ) = k ) =e o k ( v ) l = 丁 o kf (v)d v 对 于 不 同 的c o p u la 模 型 ， 我 们 会 得 到 不 同 的 相 应 的 条 件 违 约 概 率讨 “ 般的， 我们可以通过快速傅立叶变换( f f r ) 来得到分布函数。 ( 3 . 1 0 ) 。 更一 3 .4 第k 次违约时间的生存分布 我们用t , 表示第k 次违约发生的时间， 并且令s k ( t ) =q ( t t ) ， f k ( t ) = 1 一 s 气 t ) 分别为t,的 生存函数和分布函 数。 我们有: s k (t) = q (t* r) = q (n (t) t) = 见q (n (t) = 。 ( 3 . 1 1 ) 因此， 我们只需要知 道q ( n ( t ) = k ) , k = 0 , 1 ， 二， n o 3 .5可 v 的 表 达 式 2 0 0 0 年l i 将高斯c o p u l a 运 用到 信用 衍生 物的 定价中 1 4 c r e d i t m e t ri c s 1 5 以 及新巴 塞尔 协议中 相关性结 构的 模型. 令 正态随机向 量， 满足: ” = p ,v + 万石蔽 ， 高 斯c o p u l a 还是 ( v . . . . , v . ) 是一组 其中v v q d ( v , ) , i= i =1 ， 二， n 是独立的标准正态变量. 我们定义随机边界 u i = . 1 2 ) 1一 1 , . . . , n , 。 是标准正态分布的分布函数. 这样， 得到违约时间t i = s 六u i) 或 者t i = f ,-. i ( ,d ( v i ) ) , i = 1 , . . . , n ， 因 此 可 以 得 到 : p v = 4d ( 二 b ;(p v + 币 下 声砌+ ( 1 一 b ;( f v 十( 3 . 1 5 ) i 二1 , . . . , n ， 尽为b e m o u l li 随 机变， v , v ; 为 独 立的 正 态随 机 变量， p , 8 是随 机 相 关系数参 数， 满足0 5 ,6 - p - 1 , p i 二 q ( b ; = 1 ) . 违约时间 关于v 独立， 我们可以 得到: “ = ， ! d - ( f i( t ) ) 一 p v 迈 二 p zn i t -7)+ (1 - p,) (ft -1(f i1r t) ,6v ) (3.16) t - 分 布c o p u la 1 3 , 假设( v , . . . , v ) 服从自 由 度为v 的t 分布， v , 二西氏; 并且， x ; = p v + 币 下 万v ( 3 . 1 7 ) 其中v v , 是 独 立 正 态 分 布， w和(x , , . , x . ) 独 立， 服 从 参 数 为羞 的g a m m a 分 布。 注 意 ， v , v ; 的 相 关 系 数 为六 沪 ， t 为 随 机 变 量v ; 的 分 布 函 数 . 随 机 时 间 t , = f ; ( t ( v ; ) ) 在( y w ) 条件下， 违约时 间 互相独 立， 满足: p iv.w = (w 1zt(f i(t) - p v l 4 1- -7 ( 3 . 1 8 ) 对于t 分 布c o p u la ,二 为: a r c s i n 价( 3 . 1 9 ) 前 面我 们己 经提 到了。 a y t o n c o p u l a 是 阿 基米德c o p u l a 的 一种， f r i e n d . r o g g e 以 及g re g o ry和l a u r e n t 提出了 该模型 1 3 0 令变量v 服从参数为1 / 0 的g a m m a 分布， 它的密度函数为: f (x ) 二 熹e s x o i l 言 ) ff ( x ) e s z d x = ( 1 ( 3 . 2 0 ) t为 f 的l a p l a c e 变换， 1 ( s ) =+ s ) - # ， 我 们 可以 定 义 v ; : 、 = t (_ 罕) ( 3 . 2 1 ) 第三章 b a s k e t c d s 的 定价 在这里， u l , . 凡1 ( v i) . t = 1 , 二 ， u n 为独立 均匀分布变量， 并且于v独 立， 定义违约时间t i = 二 ， ， 。 ， 这 时 ， 我 们 可 以 求 得可 “ 为 : p iq v = e z p ( v ( 1 一 f i( t) 一 ) ( 3 . 2 2 ) 注意到v i 同 分 布， 并且 违约时间 是v i 的 增函 数， 故违约时间 的c o p u l a 为v i 的 联 合分布。 对( u 1 , ， u n ) o , 1 r ， 有: q ( v i u 1 , ， 二， v n u n )=, f ( , f - t ( u l ) . . . . . . - t ( u . ) ) ( u -1 a + + u n 一 。 + 1 ) 一 v i 的 联合分布函数被 称为c l a y t o n c o p u l a , 得到 23)24) (3(3 袱t ) c b ( u 1 , , u n ) t o一1 0 - 1 ( 0 ( u 夕 8+2 1 ) +城u . ) ) k e n d a l i t : p k= ( 3 . 2 5 ) t 1 第四章 迭代模型 第四章 迭代模型 4 . 1 标的债务面值相等的 模型 j . h u ll 和a . wri t e 在他们2 0 0 3年的 一篇文章中 4 ， 提出了 一种迭代算法。 这种算法是建立在违约时间条件独立的 假设下， 而且c d s的 每个标的 债务的 面 值相等， 回复率也一样。 我们可以得到违约时间( , t . . . . . t . ) 的联合生存函数: s (ti , 一 ， tn iv ) = 几 9 7v ( 4 . 1 ) 定义x t ( k ) 表示在时间t 前有k 个违约发生的 概率， 由 于 违约时间t i 关于v独 立， 所以可以 得到在t 前所有标的债务均未发生违约的概率为: n t (o l v ) = ns i(t iv ) ( 4 . 2 ) 这 里s , ( t iv ) 二 砂， 等 于 第i 个 标 的 债 务 在t前 没 有 发 生 违 约 的 概 率 ， 类 似 地 有: .3)4) (4(4(4(4 ir r ( 1 lv ) = x t (o lv ) 艺 1 一 s i ( t i v ) s i ( t i v ) 定义: wi 递归地， 可以 求得在t 前正好有k 1 一s i ( t i 码 s i ( t i v ) 个违约发生的概率: n t (m= .v t (o l v ) 艺日 w ii ( i l . . . . . ik )片t 这里( i i , . . . , ik ) 表 示 从( 1 , 2 , . . . , n ) 中 取出k 个 不同 的 数， 共 有疏中 取 法。 设f v 是v的 密度函数， 可以得到: ;rt (k) = f ;rt (klv)f v(v)d v 第四章 迭代模型 设t 之前至少有n 个违约的概率为p ( t 5 t ) ， 则: p (t t ) = 艺 n t (k ) 几 = . 第n 次 违约 发 生在t , 和t 2 之间的 概率为p ( t , t t z ) ， 等于: ( 4 . 7 ) p ( t i “t 2) = p (t t 2 ) 一 p (t t ,) = e n t 2 (k ) 一 y, , t ,(k ) (4 .8 ) 4 .2 标的债务面值不相等的模型 当c d s 的 标的 债务的 面值不相 等时， 我 们设城= e , ( 1 一 6 ) 为第i 个标的 债 务的违约损失。 这时， 可以得到违约一边的支付现值为: a ( ) 二 艺艺 m jb q k )i l ()_ p ,t- , o )v kl ( 4 . 9 ) 而对于权益金一边， 令d r ., d u 为 两个常数， 满xd l d u 。 在每个时间t k , k = 1 . 2 , ， 二 ， 拼 ， 权益金的支付为: ( d u 一 d l ) x，i f ( d u一 l ( t k ) ) x ，i f 0，i f 以t k ) d l d l d u !、.、 一- pk 因此， 权益金的现值可以写成: a (， 二艺 b (tk )p k 二 x 见b o o (d u 一 d l )u o d j (u tk) 十 (d u 一 u tk ) i (dld u )(u tk ; l 其中a ( n ) = k , i f r) = e e $ d (z au)几 i(*kn r) k = n - n + 1 ( i ( 1 ) , . . . , t ( k ) ) n 扮1j = 1 万七 fl i (*f l 洲( i p ) . . . j i 幻 ) 。n 动 i 司 n 卜1介1户i i f ( i ( 1 ) , . . . j ( k ) ) h ( 1 + i(*k i e (m k )g (0 ) g (0 ) + 艺 见 几i ( r)a (m iu )8 (0 ) k = 1 ( i ( 1 ) , . . .j ( k ) ) j = 1 k 万艺 一一 盖 =n-n +1 艺 几 i (t, , r)0 ( m i(,)8 (0 ) 因此， 权益金一边的期望现值为: a ( n )= 见b (tk)8 d (s ra )i (*u ) rt) 全 b (tk) m b (tk) ne艺 n i (rrn 4 )a (m i(h )9 (0 ) 1 = n - n + l ( i ( t ) , . . . j ( ! j ) j = 1 n k =1l=n -n u t( i (t i = ，( ， . ， f l u + 诬 hn / 柑 -/ i (t ix ,) 0 ) f ( 0 ) l = a /k- 1-n一n 1 1 , v k + 1 j +价,( + 1二艺 c i a i(m ,) + 见 a 1+ 1 (m 1) e 几 c jn a (m 1cn ) . 肚) ) 川 j 户1 y, c iu ) a ( 城切 ) k-ln月 第四章 迭代模型 见 c ;e (m i) 叉 几c i(j)a (m i(n ) i = 1伏q , - l ( 幻 ) 目 户1 + c ia (m i) 见几c i(,) a (m i(,) )l a n ) , 一 a ( k - 1 ) ) 1 n t : = 1 e , o !(m i) i -1 s i 认 e ( i () , . . , 1 ( k - 1 ) ) g 润1 1 c i(j) o (m i(n ) 因此， 可以得到: v k ,l = ( v k ,l 十 v k - 1 ,2 一 ( v k - 1 ,2 十 ， s l u k 一1 一s 2 u k - 2 + s 3 正 v k - 2 ,3 认一 + 一+ ( - 1 ) k ( v 2 k - 1 + s k ) + ( _ 1 ) k + l s k + (-ws k - 1 u l + ( - 1 ) k + l s k = 艺 (一 ， )1+ s 1u k- 1 1 =1 其中u o *1 。 考虑下面集合: . f i = c i(1 )a ( m ic o ) : ( i ( 1 ) , . . . 以及集合: ， 一 icia (m i) 几 c iu ) e (m i(,) : = ， , n ; ( i( 1 ) , . . , i(k 一 ) n) 容易证明 只 =男 从这里我们可以得出 v k j = x ( i ( i ) , . . . j ( k - 1 ) ) rn j 左 -1 几c i(j) a ( m (i(n ) 艺 n c ic t(j) a (m i)0 (m (1w ) !区1= k e ( i a) . . . 洲 们 ) g b ( , k 姚 日c o u )a (m iu ) ) 1 8 第四章 迭代模型 因此， 得到了 见 (一 )l+ is lu k- l 1k 以及 u kf (x ) = 1 ( - 1 )e+ i(s iu k- l)f (x ) 凡 注意到: s ,f ( x ) 艺 c ie m l 一 l lf (x ) 眷 ， 石， . ,- a l l ， l c , 乙t - l r 1 i h + 1 =ij 司， 少 从) 我们有: u k f (x ) =李 k k n “ l ce i=i j=i(一 )e-jc. ) 客 客 “ 客 (- 1 -ig ) + j ml ) + j 从) ，二1.k k-i艺月 k-l甲自闻 才 -l(- 1 -i犷 j ) u f (., l + jm ;) 从上面的定理中 相等时， 看似很复杂， 我们可以 看到u k ( c i , ml, 但m 相等时， 我们有: 口 的值是定价的关键，m; 不 定理4 .3知果mi =m ， 对于v i =1 ， 二， n ， 这时， 我们有， 对于任意整数 11 _n: u i ( c ; , m , n ) s d ( o ) = x m h ( l , n m - d u , n m. 一 d l ) v l( c l , n ) 第四章 迭代模型 其中: o , n ( a ) a ( l , n ( a ) 一l a a( i 一1 , n( a ) 一1 ) , if 1 n ( a ) if n ( a ) n ( b ) 以及 : a (n , m ) = 分 _ 1) 口 n( 习 =i 二 i - m . - 证明 假设a 和b 是两个常数， 定义: 0 x 一 a b一a x口 ab 了.之、.、 一- x f n ( x ) 表 示示的 最 大 整 数 部 分 ， 并 假 设a = n ( a ) m , b = n ( b ) m . 这 样 ， 我 们 有 ， 对任意的整数i i i n ( a ) , 夕 ( m ) f ( 0 ) 二 0 对任意的 1 , n ( a ) n ( b ) ， 注意到。 ( 1 , 1 ) = 0 ， 我们得到: o ( m ) f ( 0 ) =a r l ( a ( i 一 1 , n ( b ) 一 1 ) 一 a ( l 一 1 , n ( a ) 一 1 ) 1 + a a ( l , n ( a ) ) 一 b a ( l , n ( b ) ) 定义h ( l , a , b ) 如定理中 所 述， 这样， 0 i ( m ) f ( 0 ) 可以 写 成 下面统一形式: d t ( m ) f ( 0 ) = m h ( 1 , a , b ) 第四 章 迭代模型 因此， u l ( c e , m , h ) f ( o ) =m h ( 1 , a , b ) v , ( c ; , p i ) 特别的， 令f ( x ) 二 8 n ( x ) i x ， 我们有: a =n m - d u b = n 材. 一d l n ( a )= l n一 n ( d u ) 1 n ( b )= l n一 n ( d l ) 1 所 以， u i ( c , , m , h ) s d ( o ) = x m- h ( 1 , m 一 d u , n m* - d l ) v i ( c n ) 口 21 第五章 实证分析 第五章 实证分析 我们首先考虑一个标的债务面值不等的c d s , 假设标的 债务的 面值分别为: 9 0 , 1 0 0 , 1 0 5 , 1 1 0 , 1 2 0 ， 它们的 违约强度d 都等于0 .0 2 ， 回复率为 4 0 % ， 在我们 介绍的 迭 代 模型中 运 用正态c o p u l a ， 利用m a t l a b 1 7 , 得到了: 表5 . 1 s p r e a d o f n h - t o - d e f a u lt c d s d e f a u l t l e g 1 9 . 0 1 2 4 6 . 0 5 3 0 p r e m i u m l e g 3 6 2 . 4 0 6 9 4 3 3 . 3 0 9 4 4 5 1 . 8 0 9 4 4 5 6 . 8 9 6 4 4 5 8 . 0 4 1 7 s p r e a d ( b p s ) 254039 5，1 : gj.卫 1 . 7 6 0 5 0 . 4 0 1 2 0 . 0 51 9 .且2345 下面， 我们通过一个例子， 来对比 迭代模型与h u ll 模型在处理面值相等的 c d s 时 所得到结果。 假设这个c d s 中 有5个标的 债务， 债务的面值均为1 0 0 ， 回 复率为4 0 % ， 每个标的债务的 违约时间的 边缘分布服从指数分布， 指数分布的 参 数a 都是0 .0 2 。 我 们 用正 态c o p u l a 来考虑 标的 债务 之间的 违约相 关性， 违约时间 之间 的 相关 系数为0 .3 ， 也就是 说沪= 0 .3 ， 我们 分别 运用h u l l 模型 和迭代模型， 得到了 下 面的表5 . 2 和表5 . 3 表5 . 2 h u l l mo d e l d e f a u l t l e g 1 8 . 1 0 8 6 5 . 7 7 5 2 1 .