（基础数学专业论文）邻域约定邻域网及它们的应用.pdf

山东大学博士学位论文 邻域约定，邻域网及它们的应用 许玉铭 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 自从c e d e r 于1 9 6 1 年发表了他的著名文章“s o m eg e n e r a l i z a t i o n so fm e t r i c s p a c e s ”，许多拓扑学家都把他们的注意力转移到m 空间这一问题的研究上 来十九世纪七十年代，g r u e n h a g e 1 9 7 6 】和j u n n i l a 1 9 7 8 1 分别利用不同的方 法独立地证明了 如一空间是m 2 一空间这一结果激励人们以更大的热情去研 究t 是否 ，2 + 空间也是帆一空间因为飓一空间就是 如一空间，我们通常把这 一问题称为蝎辛 矗问题最近，m i z o k a m i 和s h i m a n e 2 0 0 0 】证明了k - a 如一 空间是m 空间我们也尝试对这一问题进行了研究，利用邻域约定做工具 证明了具有垫状对基的拓扑空间是m 一空间，从而给出了该问题的一个部分 解答另一方面，鉴于j u n n i l a 在1 9 7 8 年他发表的论文“n e i g h b o r n e t s ”中以邻 预约定为工具出色地证明了a 如一空间是 如一空间，我们对邻域网及其相关的 应用做了较深入的研究，以期获得关于邻域网的更进一步的认识，并建立邻域 约定和邻域网之间的内部联系，为飓辛 以问题的研究提供方法和技术上的 支持 在第一章，我们利用邻域约定为工具研究了一类 厶一空间，即具有垫状对 基的拓扑空间我们的工作分为两个方面z 在第1 3 节，我们讨论了由j u n n i l a 所定义的u t t e r l y 正规空间的一些性质，证明了u t t e r l y 正规空间中的每一个闭 子集都有一个闭包保持的邻域基在第1 4 节，我们以邻域约定为工具给出了 m 3 空间的一个重要性质，证明了每一个具有垫状对基的拓扑空间是对称单 调正规的，然后利用第1 3 节的结论，我们得到本章的主要结果。每一个具有 垫状对基的拓扑空间是 矗一空间这一结论给出了m 3 辛m 问题的一个部分 解答，并且证明中所采用的技术很可能为我们完全解决这一问题提供了一个 可能的方法在第1 5 节，我们以邻域约定为工具给出了一空间的两个重要 性质，证明了具有垫状对基的拓扑空间是零维空间 山东大学博士学位论文 在第二章和第三章我们继续进行j u n n i l a 和k u n z i 在他们的论文“o r t h o - b a s ea n dm o n o t o n i cp r o p e r t i e s ”中所做的工作在这篇论文中，他们以邻域网 为技术工具获得了很多有价值的结论邻域网是一个很重要的工具，它曾经被 j u n n i l a 用来解决了著名的蝎辛肘；问题因此，我们认为对这一工具及其 应用的进一步研究是有价值的，并且对地辛m - 问题的研究也是有益的另 一方面考虑到第一章所取得的结果，我们还希望通过对邻域网的研究能够 发现邻域约定和邻域网之间的关系，从而在m 3 号a 矗问题的研究上有更大的 突破 在第二章中，我们主要研究了邻域网的一些性质和单调正交紧空间有 正交基的拓扑空间都是单调正交紧空间，单调正交紧空间是利用邻域网来定 义的在第2 2 节和第2 3 节，我们给出了邻域网的一些基本性质，证明了单 调正交紧空间的闭子空间也是单调正交紧的，并且单调正交紧空间在有限对 一的开映射下的象是单调正交紧空间在第2 4 节，我们得到了一个重要的结 果：每一个具有次无限秩的n o e t h e r i a n 基的拓扑空间是单调正交紧空间利 用这一结论。我们给出了一个不具有正交基的单调正交紧空间的例子，从而 解决了j u n n i l a 和k u n z i 在他们的论文“o r t h o - b a s ea n dm o n o t o n i cp r o p e r t i e s ” 中提出的一个公开问题 在第三章中，我们主要研究了邻域网的一些性质和正交加细空间有正 交基的拓扑空间是正交加细空间，正交加细空间是利用邻域网来定义的，在 第3 2 节，我们进一步讨论了邻域网的一些性质，证明了两个不相交的传递的 部分邻域网的并仍然是传递的部分邻域网在第3 3 节我们首先证明了正交 加细空间是不可约的，从而推出了一个重要的结论：每一个可数紧的正交加 细空间是紧空间然后，我们证明了正交加细空间的每一个闭子空间也是正 交加细空间，作为推论，我们得到了另一个重要结论：每一个正交加细空间是 等紧空间最后，我们证明了每一个具有正交基的拓扑空间在有限对一的开 映射下的象是正交加细空间 关键词：尬一空间；邻域约定；单调正交紧空间；正交加细空间；邻域网 山东大学博士学位论文 n e i g h b o r h o o da s s i g n m e n t n e i g h b o r n e ta n dt h e i r a p p l i ca ，i i o n x u y u m i n g ( s c h o o lo fm a t h s y s s c i s h a n d o n gu n i ；_ j i n a n2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t c e d e r sf a m o u sp a p e r s o m eg e n e r a l i z a t i o n so fm e t r i cs p a c e s w a sp u b l i s h e d i n 1 9 6 1 ，m a n yt o p o l o g i s t sh a v ed e v o t e dt h ( i r a t t e n t i o nt ot h eq u e s t i o n0 1 1a 曩一 s p a c es i n c et h e n i n1 9 7 0 s g r n e n h a g e 19 7 6 a n dj u n n i l a 1 9 7 8 u s ed i f f e r e n t m e t h o d sp r o wt h a t m 3 一s p a c e sa r e 、1 2 一s p a c e si n d e p e n d e l i t l y t h e i rr e s u l ti n - s p i r i t t l l em o r ee n t l m s i a s mo fp e o p l e w h ow a n tt os o h et h ep r o b l e mw h e t i m rt h e 1 2 一s p a c e s a r em 1 一s p a c e s s i n c e 、i r s p a c e sa r ea j 2 一s p a ( ；e s w e u s u a l l 3 s a yt h i s p r o b l e ma st h eq u e s t i o no f 厶辛m 1 r e c e n d 3 m i z o k a m ia n ds h i m a n e 2 0 0 0 1 h a x ep r o v e dt h a te 、e r 3 + k - m a s p a c ei sa n ，1 一s p a c e t h i sp a p e ri sa l s oa na t t e m p t t os o l v et h eq u e s t i o no f 厶j3 1 1 w eu s en e i g h b o r h o o da s s i g n l n e n t p r o 、| i n g t h a t s p a c e s1 1 a 、i n g ac u s h i o n e dp a i r - b a s pa r ej ，1 - s p a c e s a n dt h u sg i x ea p a r - t i a la n s w e rt ot h ep r o b l e m o nt h eo t h e rh a n d c o n s i d e r i n gt h a tj u n n i l ah a s e x ( e l l e n t l yp r o v e dt h a ta 如一s p a c e s a r ej 岛一s p a c e s h 、n e i g h b o r n e t si nh i sp a p e r “n e i g h b o r n e t s ”i n1 9 7 8 h ff o c u so nn e i g h b o r n e t sa n di t sa p p l i c a t i o n st oo b t a i n n l o r eu n d e r s t a n d i n go nn e i g h b o r n e t s a n de s t a b l i s ht h ei n t e r n a lc o n n e c t i o nb e t w e e nn e i g h b o r h o o da s s i g n m e n ta n dn e i g h b o r n e t 、a l lt h e s em a y p r o v i d en ss o m e n e wi d e a sa n dt e c h n i q u e s i nc h a p t e r1 me m p l o yt h en e i g h b o r h o o da s s i g n m e n t sa 8at 0 0 1 s t n d 3 r i n g as u b c l a s so f 眠一s p a c e s n a m e l yt h es p a c e sh a v i n gac u s h i o n e d p a i r b a s e 。w ed o o u rw o r k si nt w oa s p e c t s i ns e c t i o n1 3 r ed i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so fu t t e r l y n o lm a ls p a c e ，w h i c hi si n t r o d u c e db , vj u n n i l a a n dp r o v et h a te a c hc l o s e ds u b s e t o fa 1 n t t e r l 3n o r n a ls p a c eh a sac l o s m p p r e s e r x i n gn e i g h b o r h o o db a s e i ns e c t i o n 1 4 、( 、g i x e a ni m p o r t a n tp r o p e r t 3 ( 7 1 1 m a s p a ( e sb vn e i g h b o r h o o da s s i g n l n e n t 山东大学博士学位论文 p r o v et h a te v e r ys p a c eh a v i n gac u s h i o n e dp a i r - r b a s ei ss y m m e t r i c a l l ym o n o t o n i c a l l yn o r m a l b yt h er e s t to b t a i n e di ns e c t i o n1 3 ，w ec o n c l u d et h em a i nr e s u l t i nt h i sc h a p t e r ：s p a c e sh a v i n gac u s h i o n e dp a i r - b a s ea r em 1 一s p a c e s t h i sr e s u l t g i v eap a r t i a la n s w e rt ot h eq u e s t i o no f 蝎辛m 1 ，a n d t h et e c h n i q u ew ee m p l o y m a yp r o v i d eu sap o s s i b l ew a yt os o l v et h i sq u e s t i o nc o m p l e t e l y i ns e c t i o n1 5 ， w eg i v et w oi m p o r t a n tp r o p e r t i e s0 na 厶一s p a c e sb yn e i g h b o r h o o da s s i g n m e n t s ， p r o v et h a ts p a c e sh a v i n ga c u s h i o n e dp a i rb a s ea r ez e r od i m e n s i o n a ls p a c e s ， i nc h a p t e r2a n d3 w ec o n t i n u o u st h ew o r kw h i c hw a sc a r r i e db yj u n n i l a a n dk u n z ii nt h e i rj o i n tp a p e r ”o r t h o - b a s ea n dm o n o t o n i cp r o p e r t i e s ”i l lt h e i r p a p e rt h e ye m p l o yn e i g h b o r n e t s a 5at o o la n do b t a i nm a n yv a l u a b l er e s u l t s n e i g h b o r n e t l sa l li m p o r t a n tt o o l ，w h i c hh a sb e e nu s e db yj m m i l as o l x i n gt h e f a m o u sq u e s t i o no f ，3 号 岛w et h i n ki t i sv a l u a b l ef o ru st os t u d 3 t h et o o l a n di t sa p p l i c a t i o n se x t e n s i x e 1 ) a n da l s oh e l p f u lf o rt h es t u d ya b o u tt i l eq u e s t i o n o f 厶辛 ，l o nt h eo t h e rh a n d c o n s i d e r i n gt h ea c h i e v e m e n tw eo b t a i n e di n c h a p t e r l n ea l s oe a g mt of i n dt h er e l a t i o nb e t w e e nn e i g h b o r h o o da s s i g n m e n t s a n dn e i g h b o r n e t st h r o u g ho u r 、。o r k a n dt h u sm a k em o r ep r o g r e s si nt h er e s e a r c h o nt h eq u e s t i o no fm a 辛 “ i nc h a p t e r2 - e m a i n l 3 s t u d 3 s o m ep r o p e r t i e so fn e i g h b o r n e t sa n dt i l e m o n o t o n i c a l l 3 o r t h o c o m p a c ts p a c ee a c hs p a c eh a v i n ga no r t h o - b a s ei s al n o u o - t o n i c a l l yo r t h o c o m p a c ts p a c e m o n o t o n i c a l l yo r t h o c o m p a c ts p a c ei sd e f i n e db n e i g h b o r n e t i ns e c t i o n 2 2a n d2 3 w e g i v e s o n l eb a s i c p r o p e r t i e so fn e i g h b o r n e t s p r o v et h a tt h ec l o s e ds u b s p a c eo fam o n o t o n i c a l l 3 o r t h o c o m p a c ts p a c e i sa l s oam o n o t o n i c a l l 3 o r t h o c o m p a c ts p a c e a n dt h ei m a g eo fam o n o t o n i c a l l y o r t h o c o m p a c ts p a c eu n d e r af i n i t ei oo n eo p e nm a p p i n gi sm o n o t o n i c a l l yo r t h o - c o m p a c t i ns e c t i o n2 4 w e o b t a i na l li m p o r t a n tr e s u l t ：e y e d s p a c ew i t ha n o e t h e r i a nb a s eo fs u b i n f i n i t er a n ki sm o n o t o n i c a l l yo r t h o c o m p a c t b yt h i sr e s u i t ，w eg i v e8 1 1e x a m p l ew h i c hi sam o n o t o n i c a l l yo r t h o c o m p a c ts p a c eh a v i n gn o o r t h o - b a s e ，a n dt h u ss o l v ea l lo p e np r o b l e ma s k e db 5 j u n n i l aa n dk u n z ii nt h e i r j o i u tp a p e r o r t h o - b a s ea n dm o n o t o n i cp r o p e r t i e s “ i n c h a p t e r3 册m a i m ) s t u d ys o m ep r o p e r t i e so fn e i g h b o r n e t sa n dt h e 山东大学博士学位论文 o r t h o - r e f i n a b l es p a c e e a c hs p a c eh a v i n ga no r t h e - b a s ei sa no r t h e - r e f i n a b l e s p a c e ，o r t h o - r e f i n a b l es p a c ei s d e f i n e db yn e i g h b o r n e t s i ns e c t i o n3 2 ，w ed i s c u s sm o r ep r o p e r t i e so fn e i g h b o r n e t s ，p r o v et h a tt h eu n i o no ft w od i s j o i n tt r a n - s i t i v ep a r t i a ln e i g h b o r n e t si sa l s oat r a n s i t i v ep a r t i a ln e i g h b o r n e t i ns e c t i o n 3 3 w ef i r s tp r o v et h a tt h eo r t h o - r e f i n a b l es p a c ei si r r e d u c i b l e ，a n dt h u sd u d u c e a ni m p o r t a n tr e s u l t ：e a c hc o u n t a b l yc o m p a c to r t h o - r e f i n a b l es p a c ei sc o m p a c t n e x t 她f i n dt h a te a c hc l o s e ds u b s p a c eo fa no r t h o - r e f i n a b l es p a c ei sa l s oa n o r t h o - r e f i n a b l e a sac o r o l l a r y , w ec o n c l u d ea n o t h e ri m p o r t a n tr e s u l t ：e a c ho r t h o r e f i n a b l es p a c ei si s o - e o m p a c t f i n a l l y , w es h o wt h a tt h ei m a g eo fas p a c eh a v i n g a no r t h o - b a s eu n d e ra no p e nm a p p i n gf r o mf i n i t et oo n ei so r t h o r e f i n a b l e k e yw o r d s ：胍s p a c e ；n e i g h b o r h o o da s s i g n m e n t ：m o n o t o n i c a l l yo r t h o c o m p a c ts p a c e ；o r t h o - r e f i n a b l es p a c e ：n e i g h b o r n e t v 原创性声明， 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本 论文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担 论文储躲豳兰垫日期 论文作者签名：趟盔竺查：! 日期 ，、。，i 。2 d 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文和汇编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) l 论文作者签挑签名! 与巩七 n 砂，1 l 期：一 山东大学博士学位论文 d x ( a ) ： i n t x ( a ) ： d ( a 1o r 再 i n t ( a ) ： p ： g ( 十 ) ： 丁。： ( z ) b ： n p ： u p ： r0s ： ( c ) 。： a 1 ： r o ： i n t ( 五) ： n o t a l t i o ni n d e x t h ec l o s u r eo f a i nas p a c e x t h e i n t e r i o ro f ai nas p a c e x t h ec l o s u r eo f a t h ei n t e r i o ro fa a f a m i l yo fs e t s a b i n a r yo p e r a t o r t h ef a m i l yo fc o - s e t so fe l e m e n t si nt t h e n e i g h b o r h o o da s s i g n m e n tr e l a t i v et oza n db i n t e r s e c t i o no ft i mf a m i l yp u n i o no ft h ef a m i l yp c o m p o s i t i o no fs a n dr s u b c o i l e c t i o no fcw h o s ee l e m e n tc o n t a i nz c a r d i n a lo ft h ee l e m e n t so fa t h ef i r s tc o u n t a b l eo r d i n a l t h ef a m i l yo fi n t e r i o ro fe l e m e n t so f 瓦 v i c h a p t e r1 o nt h eq u e s t i o no fm 3 专尬 1 1 i n t r o d u c t i o n i n1 9 6 1 ，c e d e rf i r s ti n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so f 慨一s p a c ei nh i sf a m o u sp a p e r “s o m eg e n e r a l i z a t i o n so fm e t r i cs p a c e s ”，t h i sl e a dt ot h ep r e l u d eo ft h es t u d yo f g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s i n 1 1c e d e ra s kt h a tw h e t h e rt h e 蝇一s p a c ei s m i s p a c ea n dt h e 磊一s p a c ei s 如一s p a c e o b v i o u s l yt h e 3 a r ec o n s i d e r e d a so n eo ft h e m o s tc l a s s i c a lq u e s t i o n si ng e n e r a lt o p o l o g y h i1 9 7 0 s g r u e n h a g e 1 9 7 6 a r i d , j a n - n i l a 1 9 7 8 u s ed i f f e r e n tm e t h o d sp r o v et h a th i r s p a c ei s h 1 2 - s p a c ei n d e p e n d e n t l y i n 2 】a n d 【3 1 t h i sr e s u l t i n s p i r i tt h em o r ee n t h u s i a s mo fp e o p l e w h ow a n tt o s 0 1 、et h ep r o b l e mw h e t h e rt h e 如- s p a c ei s3 1 1 一s p a c e ，f r o mt h ee n do f1 9 7 0 st o t h ee a r l yo f1 9 8 0 s 、t h es t u d yo n s p a c eb e c o m em o r ea n dm o r ef l o u r i s h i n g a l t h o u g ht h eq u e s t i o n sp r o v i d e db 、c e d e rh a v en o tb e e ns o l v e dc o m p l e t e l y , b u t w eo b t a i nm a n 3 ，i m p o r t a n tr e s t i l t s w h i c hc o u l db ev e r yh e l p f u lf o ru st os o l v et h e q u e s t i o n sf i n a l l y i nt h ew o r k s b o r g e sa n dl u t z e r 1 9 7 3 ，h e a t ha n dj u n n i l a 1 9 8 1 h 5 1 9 8 4 1 9 8 5 m a k ea l o to fs i g n i f i c a n tc o n t r i b u t i o n s 4 5 ，6 孔o n ew a 3 i n s t u d ) r i n gt h eq u e s t i o nw h e t h e rt h e ，2 一s p a c ei sa l l s p a c ei s t od i s c u s sw h i c hk i n d o fj ，3 一s p a c ei s ，1 s p a c e f o rt h i s t o p o l o g i s t sd e f i n eas e r i e st 3 p e so ft o p o l o g i c a l s p a c e ：h e a t ha n dj u n n i l a 1 9 8 1 ld e f i n e 厶一s p a c ei n 【5 】_ g r u e n h a g e 1 9 8 0 d e f i n e s t r a t i f i a b l eb m e t r i z a b l es p a c ei n 8 _ m i z o k a m i 1 9 8 2 d e f i n es t r a t i f i a b l e “一s p a c e i n 9 ，t a m a n o 1 9 8 3 d e f i n er e g u l a rs t r a t i f i a b l es p a c ei n 1 0 1 m i z o k a m i 1 9 8 4 d e - f i n es t r a t i f i a b l es p a c eh a v i n gm - s t r u c t u r e 1 1 i t 5a n dt a m a n o 1 9 8 3 】d e f i n es p a c e h a v i n g 盯a l m o s tl o c a l l yf i n i t e b a s ei n 【1 2 】，y a m a t a 1 9 8 4 d e f i n ec p e x p e n d a b l e 盯一s p a c ei n 【1 3 1 ，t a m a n o 1 9 8 9 】d e f i n es t r a t i f i a b l em o s a i cs p a c ei n i 4 ，o h t a 1 9 8 9 d e f i n es p a c eh a v i n g 口f i n i t ec l o s u r e - p r e s e r v i n gb a s ei n 1 5 u n d e rt h ec o n d i t i o n o fr e g u l a rs p a c e s ，t h e i rr e l a t i o n sa r ea si nf i g u r e 1 1 i nr e c e n t l yy e a r s t h es t u d yo nt h i sq u e s t i o nh a sa l w a y sn o tb e e ni n t e r r u p t e d p e o p l eg e tm o r es i g n i f i c a n p r o g r e s s e sa n dr e s u l t s i n 1 6 m i z o k a m ia n ds h i m a n e 2 0 0 0 1h a v ep r o v e dt h a t e a c hj ，3 一s p a c ew h i c hi sk - s p a c ei sa l l 3 i ：一s p a c e 1 山东大学博士学位论文 r s t r a t i f 删b l ef - “惦t 出幽1 es p a c e s m e - s p a c e s 、- i s t r a t f f m b l eg - s p a c e s 。s l - a t 嫡m b es p a c e sh 枘唔m - s t r u c t u r e 一”g 血s t 衄i 丘；j b k l s p a c e s v s p a c e s 峨o a l m o s t1 0 c 由f m i t eb a s e 寸 s p a c 皑k 州n g of 蜥t ec l o s u r e l o r e s e n 恤b a s e 中 c p e 砷酬威b 】ee - s p a c e s f i g u r e 11 ：r e l a t i o no fd i f f e r e ms p a c e s t h e o r e m1 1 i 2 】s t r a t i f i a b l es p a c e sa r e 如 t h e o r e m1 1 2 3 】t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n tf o ras p a c ex ： ( i ) xi ss t r a t i f i a b l e ( i i ) xh a s as e q u e n c e u ) o f p o i n t f n i t eo p e nc o v e r ss u c ht h a tt h es e q u e n c e d v o i ss t r o n g l yc o - b a s i c 【i i i ) xi sa n ，2 一s p a c e t h e o r e m1 1 3 1 1 6 】ak - 厶一s p a c eh a sp r o p e r t y ( p ) a n dt h e r e f o r eak - a 如一 s p a c ei sa nm i s p a c e 1 2p r e l i m i n a r y d e f i n i t i o n1 2 i i l e tpb eaf a x n i l 3 o fs u b s e t so fx 。x t h e f a m i l y pi s c l o s u r e p r e s e r v i n ga tap o i n txi f ，f o re a c hp cp 、w h e nz 百秒，t h e n w eh a v ex u 矽 s u p p o s ep i s c l o s u r e - p r e s e r v i n ga te v e r yp o i n tzo fx ，w e s a yt h a tpi sac l o s u r e - p r e s e r v i n gf a m i l yo fx ar e g u l a rs p a c ew h i c hh a sa o c l o s u r e p r e s e r v i n gb a s ei sc a l l e dj ，l s p a c e d e f i n i t i o n1 2 2 i 1l e tbb eaf a m i l 3 o fs u b s e t so fx 丁b et h et o p o l 0 9 3 。fxt h ef a n f i l ybi sc a l l e daq u a s i b a s eo fxi f f o ra r b i t r a r 3 x u 、u 丁 山东大学博士学位论文 t h e r ee x i s ts o m eb bs u c ht h a tz i n t ( b ) c b c u ar e g u l a rs p a c ew h i c h h a sa 口一c l o s u r e - p r e s e r v i n g q u a s i b a s ei sc a l l e d 。m 2 - s p a e e ； 。d 商咄i 呻1 2 3 f 1 jl e t7 ) b ea 黼诅玲o fp a i r ：o fs u b s e t c ：so f x ，t 、，b et h e t o p o l o g y o fx t h ef a m i l ypi sc a l l e da p a i r - b a s eo fx i fp s a t i s f i e st h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n s ： 。 ( i ) f o re a c h ( p l ，p 2 ) p ，w eh a v ep 1cp 2 ，a n dp 1 t ( i i ) f o ra r b i t r a r yo p e ns u b s e tu o fxa n dz x ，t h e r ee x i s t ss o m e ( p l ：p 2 ) e 尹s u c ht h a to 马c 恳cu t i l ef a m i l ypi sc a l l e dc u s h i o n e di f f o ra r b i t r a r yp c - 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