（应用数学专业论文）同伦理论在非线性动力系统中的应用研究.pdf

西北工业大学硕士学位论文 摘要 论文将代数拓扑中的同伦理论引入到动力系统的分析中， 提出一种可以求解 强非线性动力系统响应的方法， 即 p e - h a m 方法。 通过构造同 伦映 射，将对原 来强非线性动力 系统的求解问 题转化为对一组线性微分方程的求解。内容如 下: 第一章， 我们对非线性动力系统的 发展现状进行了归纳， 总结了 确定性拟线 性动力系统和随 机系统的研究现状和存在的问题; 总结了强非线性动力系统在确 定性谐和激励或者在随机激励下的研究现状和存在的问题; 并且简单介绍了 拓扑 学中同伦论的历史和思想，为后面提出新的解析方法进行理论上的铺垫。 第二章， 将同伦理论引入非线性动力系统， 提出了一种基于参数展开的新的 同 伦分析技术 ( p e - h a m) 。 研究了 保守的d u f f i n g 系统的响应问 题， 得到了 零阶 和一阶近似解。 在与精确周期的比 较中， 可以得出 : 在非线性强 度a很大时， 近 似周期与精确周期的误差也非常地小。数值模拟，说明了新方法的有效性。 第三章，将 p e - h a m方法进行了 推广: 并用此方法研究了带有激励项的 耗 散的d u f f i n g 系统的响应问 题， 得到了 一阶近似解。使用数值模拟验证了新方 法 的有效性。 第四章，本章进一步推广了 p e - h a m 方法，使之适用于同时带有谐和与随 机噪声激励的强非线性动力系统。并研究了受到谐和与 g a u s s i a n白噪声激励的 耗散的强非线性d u f f in g 振子， 将所得结果和四阶r u n g e - k u t t a 数值解以 及w u a n d y k l i n , 1 9 8 4 所得精确平稳解进行了比 较， 结果说明了p e - h a m方法的有效性， 以及 在求 解强非线性随 机动力系统响应方面所具有的巨 大潜力。 第 五 章 ， 研 究了 谐和 激 励 与 随 机 噪 声 作 用 下 具 有0 6 势 的d u ff in g 振 子 的 动 力学性质:首先，由 p e - h a m 方法推导了系统的近似周期解，得到了近似解过 程和稳态概率密度的解析表达式: 其次， 结合随 机 me t n i k o v 方法研究了 该系统 的混沌运动， 推导了 系统发生混沌的必要条件; 并对上面两种情况分别 进行了 数 值模拟加以 验证。 最后， 在第六章给出了 全文的总结 和有待进一步展开的 研究。 关 键词 : p e - h a m方 法同 伦理 论随 机噪 声稳 态 概 率密 度 必 势混 沌 西北t业人学硕十学位论文 abs t r a c t a n e w h o mo t o p y t e c h n i q u e b a s e d o n t h e p a r a m e t e r e x p a n s i o n ( s o - c a l l e d p e - h a m) i s p r o p o s e d t o s t u d y s t r o n g l y n o n l i n e a r o s c i l l a t i o n . b y m e a n s o f c o n s t r u c t i n g a n e w h o m o t o p y m a p p i n g a n d i n t r o d u c i n g t h e t e c h n i q u e o f p a r a m e t e r e x p a n s i o n w i t h t h e t h e o r y o f h o m o t o p y , w e t r a n s f o r m t h e o r i g i n a l n o n - l i n e a r d y n a m i c a l s y s t e m i n t o a s e t o f l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w h i c h c a n b e s o l v e d e a s i l y . t h e o r e t i c a l l y , o n e c a n o b t a i n t h e m t h - o r d e r a p p r o x i m a t i o n s o l u t i o n s u k ( t ) a n d t h e m o r e a c c u r a t e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n c a n b e f o u n d u s i n g t a y l o r e x p a n s i o n w i t h t h e i n c r e a s e o f m. t h e c o n t e n t s o f t h i s p a p e r a r e : i n c h a p t e r 1 , w e g i v e a s u m ma r i z a t io n o f n o n l i n e a r d y n a mi c s s y s t e m. t h e o v e r v i e w o f d e t e r mi n i s t i c a n d s t o c h a s t i c n o n l i n e a r d y n a mi c s s y s t e m i s m a d e a n d t h e c u r r e n t s i t u a t i o n a n d p r o b l e m s o f s t r o n g l y n o n l i n e a r d y n a m i c s s y s t e m u n d e r h a r mo n i c o r r a n d o m e x c i t a t i o n i s i n v e s t i g a t e d . f i n a l l y , a s i m p l e i n t r o d u c e o f h o m o t o p y i s e m p lo y e d i n c h a p t e r 2 , a n e w h o m o t o p y t e c h n i q u e w h i c h i s b a s e d o n t h e p a r a m e t e r e x p a n s i o n , t h a t i s p e - h a m , i s p r o p o s e d f i r s t l y t o s t u d y s t r o n g l y n o n l i n e a r o s c i l l a t i o n s . t h e n e w m e t h o d i s v a l i d f o r p r o b l e m s w h i c h a r e i n d e p e n d e n t o f s m a l l p a r a m e t e r s .a t y p i c a l s y s t e m i n t h e f o r m o f c o n s e r v a t i v e d u f f i n g o s c i l l a t o r i s e m p l o y e d t o s h o w t h e b a s i c i d e a o f t h i s m e t h o d . t h e z e r o - t h a n d t h e f i r s t a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s o f t h e d u ff n g o s c i l l a t o r a r e o b t a i n e d w h i c h a r e g o o d a g r e e m e n t s w i t h t h e n u me r i c a l s o l u t i o n s b y m e a n s o f 4 - t h r u n g e - k u t t a r o u t i n e . w h e n a i s n o t a s m a l l p a r a m e t e r , w e p r o o f t h a t t h e r e l a t i v e e r r o r o f p e r i o d e x c e e d s n o m o r e t h a n 2 . 1 7 p e r c e n t c o m p a r e d t h e e x a c t p e r i o d w i t h t h e z e r o - t h a p p r o x i m a t e o n e . t h e n u m e r i c a l s i mu l a t i o n s h o w s t h e a c c u r a c y , t o o i n c h a p t e r d i s s i p a t e d 3 , t h e p e - ham me t h o d i s d u f fi n g s o s c i l l a t o r w i t h p r o p o s e d t o s t u d y t h e s t r o n g l y n o n - l i n e a r h a r mo ni c e x c i t a t i o n o f t h e f o r m u + (3 w i, + w ; u + a u = k c o s o t to o b ta in th e a p p r o x i m a t e s o lu ti o n . a ls o , b y m e a n s o f 4 - t h r u n g e - k u t t a r o u t i n e , t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n i s c a r r i e d o u t t o o b t a i n t h e 西北工业大学硕十学位论文 n u me r i c a l s o l u t i o n a n d e x c e l l e n t a g r e e m e n t b e t w e e n t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t a n d t h e n u me r i c a l o ne i s f o u n d . i n c h a p t e r 4 , t h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o c o n t i n u e o u r i n v e s t i g a t i o n i n t o o b t a i n i n g a n a l y t i c a p p r o x i m a t e s o l u t i o n o f s t r o n g l y n o n l i n e a r o s c i l l a t i o n s p e - ii am me t h o d . t h e p e - ham me t h o d i s n o n l i n e a r d i s s i p a t e d o s c i l l a t o r w i t h h a r m o n i c p r o p o s e d e xc i t a t i o n t o i n v e s t i g a t e t h e 勿 t h e s t r o n g l y a n d s t o c h a s t i c e x c i t a t i o n . a s t r o n g l y n o n l i n e a r d i s s i p a t e d d u f f m g s o s c i l l a t o r s u b j e c t e d t o h a r m o n i c e x c i t a t i o n a n d g a u s s i a n w h i t e n o i s e i s s t u d i e d u s i n g t h i s m e t h o d , a n d i t s a p p r o x i ma t e a n a l y t i c s o l u t i o n p r o c e s s a n d s t e a d y - s t a t e p r o b a b i l i t y d e n s i t y a r e o b t a i n e d . c o m p a r i n g t h e r e s u l t s a t t a i n e d b y t h e p r e s e n t m e t h o d w i t h t h e o n e s g i v e n b y 4 - t h r u n g e - k u tt a r o u t i n e a n d wu a n d y .k . l i n , 1 4 8 4 , e x c e l l e n t a g r e e m e n t s c a n b e f o u n d . in c h a p t e r 5 , th e d y n a m ic s o f a p a r tic le in a tr ip le w e ll 6 p o t e n t ia l s u b j e c t t o h a r m o n i c e x c i t a t i o n a n d s t o c h a s t i c e x c i t a t i o n a r e i n v e s t i g a t e d . t h e p e - h a m m e t h o d i s p r o p o s e d t o o b t a i n t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n . b y c o n s t r u c t i n g a n a p p r o p r i a t e h o m o t o p y m a p p i n g , t h e s t o c h a s t i c s o l u t i o n p r o c e s s a n d s t e a d y - s t a t e p r o b a b i l i t y d e n s i ty a r e a c h i e v e d s u c c e s s f u l l y . t h e n , t h e c h a o t i c b e h a v i o r s a r e d i s c u s s e d in d e t a i l . f o l l o w i n g m e l n i k o v t h e o ry , c o n d i t i o n s f o r t h e e x i s t e n c e o f t r a n s v e r s e i n t e r s e c t i o n o n t h e s u r f a c e o f h o m o c l i n ic o r h e t e r o c l i n i c o r b i t s f o r t r i p l e p o t e n t i a l w e l l c a s e a r e d e r iv e d , w h i c h a r e c o m p l e me n t e d b y t h e n u m e r i c a l s i mu l a t i o n s i n s e c t i o n 5 . 3 . f i n a l l y t h e c o n c l u d i n g r e ma r k s a r e e m p l o y e d t o c l o s e t h i s p a p e r . k e y w o r d s : p e - h a m m e t h o d , h o m o t o p y , s t o c h a s t i c n o i s e , s t e a d y - s t a t e p r o b a b i l i t y d e n s i t y , 必 e p o t e n t i a l , c h a o s 西北工业大学硕士学位论文 第一章 绪 论 引言与研究现状 非线性科学的崛起，特别是分叉和混沌的发现是 2 0世纪后半叶自然科学最 重要的成就之一，也是 ? 0世纪科学发展史上最光辉的一页。其影响所及，不仅 使应用数学、力学和物理学获得巨大的进展， 也涉及到几乎所有的自然科学、 工 程技术和社会科学的各领域， 因此非线性科学己成为跨许多专业的一门极重要的 新型学 科。非线性科学旨 在揭示非线性系统的 共同性质、 基本特征 和运动规 律， 以达到控制和利用规律的最终 目的。 振动是非线性科学的一个分支， 也是中外广大学者研究最多、 工程技术人员 关注最多的一门学科。自然界和工程实际中，振动现象可以区分为两大类: 确定 j险振动和随机振动。 所谓确定性振动是指那些运动时间历程可以用确定性函数来 描述的振动， 最简单的例子是单自由度无阻尼线性系统的自由振动， 它可以用简 谐函 数描述为: x = a s i n ( ce t + (p ) ， 一旦确定了a , m , ( p ， 那么对应任意时刻t 的: 都 是 确定的: 确随# 1 l 振动则不同， 它的响 应是随机过程， 对这类随机振动系统的响 应， 只能 通过统计特性来刻画。 随 机振动的 探讨开始地比较晚， 特别是机械系统 的随机振动的研究基本上是上世纪 5 0年代才开始的，由于路面、波浪、阵风、 地震 等激励也具有随机性， 因而随机振动的研究随后也遍及车辆工程、 船舶与海 洋工程、桥梁与 建筑工程、核反应堆工程等领域1 .2 1 。 对振动 现象的研究最终归 结为求解描述振动现象的微分方程或偏微分方程， 随机振动问题中待求量是随机 的， 因而归结为随机微分方程的求解。 一般来说这些方程式大多是非线性的， 线 性系统只是现实世界的某种程度的近似。 由于非线性项的存在， 线性方程的叠加 原理不再适用，这就给方程的求解带来了巨大的困难，事实上，到目前为止，只 有极少数的 非线性动力系统存在精确解。 因此， 包括经典摄动法13 ,1 ,5 1 在内 的各 种 近似解析方法被广泛应用到工程技术中。 两北 t _业大学硕 卜 学位论文 1 . 1 . 1拟线性系统的响应问 题 有关确定性非线性系统响应的研究一直是确定性和随机动力学研究的一个 重要课题。 由 于绝大多 数确定 性非线性系统的微分方程没有求得精确解的有效方 法，自 二十世纪二十年代以来，人们发展了多种近似方法， 如小参数法、坐标变 换法、多尺度法、慢变参数法、k b m 法、等效线性化法、谐波平衡法、里茨一 伽辽金法， 等1 3 ,4 ,5 1 。 近年来的 研究 主要集中 在各种共振情况下 多自由 度系统和强 非线性系统的响应。 t s 。 和 a s m i s 1 6 1利用了 平均法研究了 参数激励下带有三次 非 线性项的两自 由度系统在没有共振情况下的响应， 在此基础上， t e z a k . m o o k 和n a y fe h 17 用 多 尺 度 法 研究 了 上 述 系 统 在 共 振 情 况 下的 响 应， 并 利 用 所 得 到的 结 果 研 究 了 常 驻 在 周 期 激励 下 的 横向 振 动。 f e n g 和s e t h n a 18 1研 究了 具 有: ， : : 对 称 性的 四 阶h a m ilt o 。 系 统的 响 应 和 全 局 分 岔。 b a n e rj e 。 和b a j a j 19 1用m e ln ik o ， 方 法 研 究了1 :2 内 共 振 的 两自 由 度 系 统 的 混 沌 运 动 。 h a q u a n g h 研 究了 参 激与 强 迫 外 激作用下 具有三次非 线性项多自 由度非线 性系统的响 应和混沌动力学。 c h e u n g y k 和l a u s . l . 1 1用 谐 波 平 衡 方 法 研 究了 强d 咖n g 系 统 的 响 应 。 李 骊1 21给出了 有 关强非线性振动系统研究的最新结论。 还有许多学者的工作， 这里不再一一列举 随 机振动已日 益成为振动力学的一个重要分支， 它是结构力学和概率及其分 支学科相结合的产物，爱因斯坦在 1 9 0 5年的一篇论文中，首次对布朗运动作了 理论 解释， 这是将自 然现象随机模型化的 开端。 在二十世纪的前四 十年中， 相继 发展了统计力学，通讯噪声和流体湍流理论，这三种理论移植到振动中， 就逐步 形成了随机振动这门学科。 开始时大多数随机振动理论都基于确定性时不变线性 动态模型。1 9 6 2年美国声学会的一次讨论会有效的促进了非线性振动理论的研 究， 发 展了多种预测非线性系统随机响应方 法。 与此同 时， 随 机系统的稳定 性理 论与参数激励振动理论也有较大发展， 还发展了结构对宽带随机激励响应的渐进 方 一 法，在估计线性和非线性随机振动系统的可靠性方面也提出了多种近似方法。 随机振动理论的应用也越来越广泛， 开始阶段主要应用于飞行器， 汽车的设计制 造等， 后来扩展到高层建筑， 离层结构等。 总而言 之， 随机振动理论己 发展 成为 一 门 内容十 分丰富的学科， 并有着越来越广泛的应用前景。 对非线性随机动力系统响应的研究也是广大学者和工程技术人员关注的一 西北工业大学硕 : 学位论文 个热点 非线性随机振动系统响应的分析 方法大致可分为两大 类: ( 1 ) 将确定性非 线性系统振动的分析方法推广到随机振动领域， 如统计线性化方法 ( 又称为等效 线性化方法) 11 3 1 和随机平均法12 1 等。 统计线性化方法是用一个具有精确解的线性 系 统 代 替 给 定非 线 性 系 统 ， 使 两 方 程 之 差 在 统 计 意 义 上 为 最 小。 a ta lik a n d u tk u i i 用 这 种 方 法 研究 了 多自 由 度 系 统 的 响 应 ; r o b e rt s a n d s p a n o s 11 5 1用它 对各 种 激 励 下 系 统的 01.1应作了 研究 ; 而 s p a n o s 11 6 则 对统 计 线性 化 方 法 作出 了 全 面的 综 述 。 这种 方法是工程中应用最广泛的预测非线性系统随机响应的近似解析法。 在等效 线性化方法的基础上还发展了二阶线性化、 广义等效线性化和等效非线性化等各 种响应预测的方法。 随机平均法是一类方法的总称。这种方法在随机振动中获得 应用的有三种:标准随机平均法、能量包线随机平均法及f p k方程系数平均法。 有 关 随 机平 均 法 及 应 用已 有 若 干 综 述 如 朱 位 秋 117 1 , s p a n o s p r 1则 对 随 机 平 均 法的 最 新进展作出了 详细的综述。 x u 1 1 9 ! 用广义平均法研究了 强非线性系统的响应。 ( 2 ) 将概率论，随机过程及随机微分方程运用于非线性系统的振动分析中，如 f p k 法、 矩闭合法、函数级数法和随机数字模拟法等。 f p k方程法是研究随机响应稳 态概率密度的重要方法， 它是 根据随机过程和随机微分方程理论以 求解一非线性 系统的随机响应过程的概率密度函数为目标而建立起来的一种方法。 有关这方面 的 基础理论可见胡岗12 0 1 , r i s k e n i l , f p k方程 精确解的求解方法的最新进展及在 随 机振动中的应用参见12 1 。能求 得精确解的f p k方程只有少数几类 2 1 1 ， 不能满 足随机振动的需要，因此，发展了许多近似求解方法，有关这方面早期结果的详 细 讨 论可 参见 12 ， 最 近u tz v o n w a g n e r 12 2 1先 用 随 机 平 均 法 求出 系 统 稳 态响 应 密 度 函数的近似解，再用正交函数展开法对近似解加以修正得到较好结果。 s . m c w i l l i a m 1 2 3 !将小波函数引入到f p k 方程的 求解中。 n a e s s 1 2 4 - 2 5 则 对路径积分法 作出了改进，将样条函数法引入到路径积分中， 使尾部精度得到了提高而计算时 间大大减少。 矩方程法在文献1 2 6 有详细的 讨论。 函数 级数 法是 将系 统响 应函数展 开 为 多 项 式的 函 数， 如m e n e r -h e r m ite 函 数 序 列， 并 对 其 进 行 计 算。 在 文 献 12 7 -2 9 1 用这种方法对d u f f u m g 方程的响 应作出了 研究。 2强非线性系统的响应问题 当前， 对非线性动力系统的研究绝大多 数集中 在对拟线性系 统又称为弱非 线 西北工业大学硕 : 学位论文 个热点 非线性随机振动系统响应的分析 方法大致可分为两大 类: ( 1 ) 将确定性非 线性系统振动的分析方法推广到随机振动领域， 如统计线性化方法 ( 又称为等效 线性化方法) 11 3 1 和随机平均法12 1 等。 统计线性化方法是用一个具有精确解的线性 系 统 代 替 给 定非 线 性 系 统 ， 使 两 方 程 之 差 在 统 计 意 义 上 为 最 小。 a ta lik a n d u tk u i i 用 这 种 方 法 研究 了 多自 由 度 系 统 的 响 应 ; r o b e rt s a n d s p a n o s 11 5 1用它 对各 种 激 励 下 系 统的 01.1应作了 研究 ; 而 s p a n o s 11 6 则 对统 计 线性 化 方 法 作出 了 全 面的 综 述 。 这种 方法是工程中应用最广泛的预测非线性系统随机响应的近似解析法。 在等效 线性化方法的基础上还发展了二阶线性化、 广义等效线性化和等效非线性化等各 种响应预测的方法。 随机平均法是一类方法的总称。这种方法在随机振动中获得 应用的有三种:标准随机平均法、能量包线随机平均法及f p k方程系数平均法。 有 关 随 机平 均 法 及 应 用已 有 若 干 综 述 如 朱 位 秋 117 1 , s p a n o s p r 1则 对 随 机 平 均 法的 最 新进展作出了 详细的综述。 x u 1 1 9 ! 用广义平均法研究了 强非线性系统的响应。 ( 2 ) 将概率论，随机过程及随机微分方程运用于非线性系统的振动分析中，如 f p k 法、 矩闭合法、函数级数法和随机数字模拟法等。 f p k方程法是研究随机响应稳 态概率密度的重要方法， 它是 根据随机过程和随机微分方程理论以 求解一非线性 系统的随机响应过程的概率密度函数为目标而建立起来的一种方法。 有关这方面 的 基础理论可见胡岗12 0 1 , r i s k e n i l , f p k方程 精确解的求解方法的最新进展及在 随 机振动中的应用参见12 1 。能求 得精确解的f p k方程只有少数几类 2 1 1 ， 不能满 足随机振动的需要，因此，发展了许多近似求解方法，有关这方面早期结果的详 细 讨 论可 参见 12 ， 最 近u tz v o n w a g n e r 12 2 1先 用 随 机 平 均 法 求出 系 统 稳 态响 应 密 度 函数的近似解，再用正交函数展开法对近似解加以修正得到较好结果。 s . m c w i l l i a m 1 2 3 !将小波函数引入到f p k 方程的 求解中。 n a e s s 1 2 4 - 2 5 则 对路径积分法 作出了改进，将样条函数法引入到路径积分中， 使尾部精度得到了提高而计算时 间大大减少。 矩方程法在文献1 2 6 有详细的 讨论。 函数 级数 法是 将系 统响 应函数展 开 为 多 项 式的 函 数， 如m e n e r -h e r m ite 函 数 序 列， 并 对 其 进 行 计 算。 在 文 献 12 7 -2 9 1 用这种方法对d u f f u m g 方程的响 应作出了 研究。 2强非线性系统的响应问题 当前， 对非线性动力系统的研究绝大多 数集中 在对拟线性系 统又称为弱非 线 西北丁业大学硕士学位论文 1比系统的研究上， 系统在确定性激励或者随机激励下的响应问题都己经得到了比 较充分地研究，也得到了许多比较深刻的结果。但是应当看到，在系统不含有小 参数的所谓强非线性动力系统， 不管是确定性激励下的确定性系统还是随机激励 下的随机系 统的响应问题，特别是多自 由度强非线性随机参激系统的响应问题， 还很少见到研究，更没有一般普适的方法。因此提出一种不依赖于小参数的能对 强非线性动力系统的响应进行求解的新的解析方法就显得非常有必要。 谐波平衡 法13 0 ,3 1 .32 1 k b m 法13 .4 .1 1、 加权 线 性 化 法 13 3 1、 参 数 变 换 法(3 4 1、改 进 的 l p 方 法 13 ,51 等 己经用来求解确定性强非线性动力系统的响应问题， 然而如何提高上述方法的精 度仍然是一个有待解决的问 题。 1 9 9 2 年， l i a o 13 6 1 在博士论文中 首次将同伦理沦 运 用到非线性动力系统中， 提出了 一种崭新的不依赖于系统参数的方法: 同 伦分析 技术( h a m ) ,并用它研究了著名的b l a s i u s 方程， 得到了高精度的近似解。 1 9 9 9 年l i a o 13 1 运用改 进的同伦分析技术再次研究了 b l a s i u s 方程. 2 0 0 3 年l i a o 3 8 1 通过将 系统状态展开成 ( 1 + 2 ,t i s i n ( n w t ) , ( 1 + , i t 犷 . c o s ( n w t ) i m _ l , n _ 0 的级数形式用 h a m 研究了 不带激励项的自 治系统。 h e (3 9 1 结合摄动法和同伦理论提出了同 伦摄 动 法 ( h p m ) ; 2 0 0 3 年 h e 14 0 1比 较了 同 伦 分 析 法 和 同 伦 摄 动 法的 异同 已 有的 算 例 充分说明了同伦理论在确定性非线性动力系统研究中的有效性和沿力。 但是，当 系统同时受到谐和激励与随机激励时，不管h a m还是h p m都不再适用。众所周 知， 对非线性随机动力系统响应的 研究， 现在正 吸引着 越来越多 学者的 注意， 井 逐渐成为国际上一 个新的研究热点和前沿， 主要有两个原因: 一是线 性叠加 原理 对非线性微分方程不再适用， 并且振子振动的频率一般是依赖于振幅的， 而且在 某些条件下振幅具有多 值性;另外一个原因是绝大多数激励展示了 随机波动特 征 ， 这 使 得 振 动 更 加 不 可 预 测 。 一 些 方 法 14 1,4 2 1， 例 如 ， 等 效 线 性 化 法 14 3 .44 ,4 5 1、 多 尺 度法14 6 ,4 1 ,4 8 1等己 经被用来 解决随机问题， 然而正像前面所分析的对小参数的依 赖限制了摄动方法在强非线性随机动力系统中的应用，当然，也有一些方法，例 如， 随机平均法14 9 1 等已 经用来求解强非线性随机动力系 统的响应、 但是巨 大的计 算量让人望而却步。 综上所述， 对强非线性动力 系统的响 应的 研究方法， 无论是从方法的 数量上 还是从方法的适用程度上， 与拟线性动力系统都有巨大的差别，因此如何给出强 非线性动力系统在谐和激励或随机激励下的响应， 显得非常有必要。 西北工业大学硕士学位论文 1 . 2同伦理论概述 2 . 1 同 伦论的发展历程 同伦论是代数拓扑的主 要内容， 它开 始于 1 9 3 5 年w . h u r w i c z 引进同 伦群; 稍迟， s . r i l e n b e r g 用同 伦群引 进关于映 射扩充的阻 碍类。 随后的几十年里， 同 伦 实质上始终沿着同 伦群以及阻碍类的 有效计算展开。 1 9 7 9 年m .k u j in a , h .n is h in o 和n .a r im a 将同 伦 技 术 应 用 到 方 程 求 根中 。 1 9 8 5 年和 1 9 8 7 年，t .y l i 和t . s a u e : 将同伦技术应用到求矩阵的特征值和特征向 量问 题 中。1 9 9 2 年l i a o 在博 士论文中 首次将同伦应用于求解强非 线性系统中，并成功 的求解 了 ( 1 +4 q十 、 二 十 4 q z 阵) z 二 一 。 ai 在随后的工作中， l i a o 运用改进的同伦分析技术对流体力学中著名的 b l a s s i u s 方 程 进行了 研究。 2 0 0 0 年h e 基于l i a o 的工 作提出了同 伦摄动方法 ( h p m) ， 并对 上式进行了求解。 己有研究表明:将同伦理沦运用到非线性动力系统的分析中是比较成功的 l . 2 . 2同伦论原理 设x与f 是拓扑空间， 连续映 射f : x- + y ， 设x, x一 是x的子空间， y, y 是y 的子空间，如果映射f : x- y 适合f ( x ,) g y , f ( x ) c_ y，则 记 f : ( x , x , x ) c( y , y, y . ) 。用i 表示直线上的区间 0 , 1 。 定义:设f 与厂:( y , x, x ) -4( y , y ., y , ) 是两个映 射， 如果 存在 映射 f : ( x * i , x * 1 , 厂* i ) - ). ( y , y , y .) 使 得f ( x ,0 ) 一 f ( x ) ， f (x ,l ) 一 厂 ( x ) ， 对 任 意 的: e x 成立， 则 称f 与厂 相 对 于( x , x ) , ( y . , y ) 来 说 是同 伦的 。 注1 当y. 厂, y . , y 0 是空集时， 称为 ( 绝对)同 伦。 注 2 映 射 / 与厂同伦具有明 显的几 何直 观，即连接i 到厂的一 连续变形。 西北工业大学硕士学位论文 1 . 2 . 3同伦分析技术 ( h a m )和同伦摄动法 ( h p m )思想 .l i a 。 同伦分析技术 ( h a m ) 我 们考虑如下著名的b l a s s i u s 方程， 并用它来阐 述同 伦分析技术的 基本原 理 : f 十 粤 f f = 。 乙 ( 1 . 1 ) 作同 伦映射h ( t , 川 1 1 ( t , p ) 一 ( : 一 : ) : ” ( ， ， ) 一 f o ( t ) + : 二 二 ( ， ， : ) 一 1 二 ( t , p ) f ,. ( t , p ) 乙 这里f 、 为原系统的 初始估计解，p e 0 , 1 o 再 令h ( t , p ) 二 0 ，则有 ( 卜 p ) f ” ( t , p ) 一 t o ( t) 十 ， f ., ( t , p ) 一 粤 ; ( ;， ， ) : (， ， : ) 二 。 ( ， . : ) 乙 对( i i ) ; 、 进 行 变 形 ， 并 令 a l (t) = a 迄 (r,p ) n=o op m a c i a u r i n 级数展开 则将f ( t , p ) 在p = 。 点 f (t,i)二 ， _ 鑫 ( ) pk(t) j? l tl .k=u k!、 一 鑫 华 ( 1 . 3 ) . h e 同伦摄动法 ( h bo 将方 程 ( i i )中p看成小参数， 最 后令 p 。， 则 f ( t , p ) se ti , 并对 ( i i ) 运用经典的l p 法展开求 解， f ( t ) 。 l . 3本文主要内容 本论文将代数拓扑中的同 伦理论引入到动力系 统的 分析中， 提出 一种可用于 求解强非线性动力系统响应的方法，即 p e - h a m 方法。将对原来强非线性动力 系统的求 解问 题转化为对一组线性微分方程的 求解。 主要内容如下: 第一章我们对非线性动力系统的发展现状进行了总结，1 . 1 . 1节简单总结了 确定性拟线性动力系统和随机系统的响应问题的研究现状和存在的问题;1 . 1 . 2 节中总结了强非线性动力系统在确定性谐和激励或者在随机激励下的响应问题 西北工业大学硕士学位论文 1 . 2 . 3同伦分析技术 ( h a m )和同伦摄动法 ( h p m )思想 .l i a 。 同伦分析技术 ( h a m ) 我 们考虑如下著名的b l a s s i u s 方程， 并用它来阐 述同 伦分析技术的 基本原 理 : f 十 粤 f f = 。 乙 ( 1 . 1 ) 作同 伦映射h ( t , 川 1 1 ( t , p ) 一 ( : 一 : ) : ” ( ， ， ) 一 f o ( t ) + : 二 二 ( ， ， : ) 一 1 二 ( t , p ) f ,. ( t , p ) 乙 这里f 、 为原系统的 初始估计解，p e 0 , 1 o 再 令h ( t , p ) 二 0 ，则有 ( 卜 p ) f ” ( t , p ) 一 t o ( t) 十 ， f ., ( t , p ) 一 粤 ; ( ;， ， ) : (， ， : ) 二 。 ( ， . : ) 乙 对( i i ) ; 、 进 行 变 形 ， 并 令 a l (t) = a 迄 (r,p ) n=o op m a c i a u r i n 级数展开 则将f ( t , p ) 在p = 。 点 f (t,i)二 ， _ 鑫 ( ) pk(t) j? l tl .k=u k!、 一 鑫 华 ( 1 . 3 ) . h e 同伦摄动法 ( h bo 将方 程 ( i i )中p看成小参数， 最 后令 p 。， 则 f ( t , p ) se ti , 并对 ( i i ) 运用经典的l p 法展开求 解， f ( t ) 。 l . 3本文主要内容 本论文将代数拓扑中的同 伦理论引入到动力系 统的 分析中， 提出 一种可用于 求解强非线性动力系统响应的方法，即 p e - h a m 方法。将对原来强非线性动力 系统的求 解问 题转化为对一组线性微分方程的 求解。 主要内容如下: 第一章我们对非线性动力系统的发展现状进行了总结，1 . 1 . 1节简单总结了 确定性拟线性动力系统和随机系统的响应问题的研究现状和存在的问题;1 . 1 . 2 节中总结了强非线性动力系统在确定性谐和激励或者在随机激励下的响应问题 西北工业人学硕士学位论文 的研究 现状和存在的问 题;1 . 2 节简单介 绍了拓扑中同伦理论的 历史 和思 想，为 后面提出新的解析方法进行理论上的铺垫。 第二 章2 . 1 节首先基于同伦 理论 和h a m方法， 提出了p e - h a m方法， 并在 2 . 2 节研 究了具 有精确周期的 保守d u ff i n g 振子的响 应问题; 2 . 3 节， 对原系统用 四阶 龙格 一 库塔进行了 数值积分并与文中 所得到的理论解进行了比较，结果说明 了 p e - h a m 方法在求解强非线性 自由振子响应的有效性和精确性;本章最后， 2 . 4 节对 全章进行了 简单总结。 第三章 3 . 1 节首先基于同伦理论和 h a m方法，推广了第二章所提 p e - h a m 方 法，并 在3 . 2 节研究了 确定性谐和激励下耗散的d u f fi n g 振子的 响应问 题; 3 . 3 节，对原系统用四阶龙格一 库塔进行了数值积分并与文中所得到的理论解进行了 比较，结果也说明了 p e - h a m 方