（计算机应用技术专业论文）多目标优化的pareto解的表达与求取.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 近年来有关多个目标的优化问题得到了广泛的关注，涌现了多种来解决多目标优化问 题的方法，主要分为两类：数学常规方法和基于智能优化的方法。 首先，本文概述了目标优化问题的数学模型、相关概念以及多目标优化问题的发展和 研究方向。 其次，本文讨论了多目标优化问题的数学常规解法，分别是直接法和间接法。本文首 次利用图示的方法直接地揭示了线性多目标凸优化问题的p a r c t o 最优前沿位置的规律；接 着阐述了几种求解多目标优化问题的常规间接解法的基本思想，并说明其缺陷和不足；此 外，还详细地讨论了基于人工智能方法( 遗传算法、粒子群算法、蚁群算法、免疫算法和 神经网络) 的多目标优化算法。 然后，本文设计了一种新的高效求解均匀分布的p a r c t o 最优解集的多目标遗传算法。 它的主要特点是使用了一种新的个体适应值的计算方式，该方式是通过群体中某一个体与 该群体的最优非劣解集的最小距离来刻画该个体的适应值的。 最后，本文通过测试函数和度量准则对上述算法仿真实验，并且与其它的多目标遗传 算法进行了性能( 收敛性和多样性) 比较。由实验结果可知，该算法的实现，可以应用于 具有各种特点( 凸或非凸、均匀或不均匀、连续或不连续) 的p a r e t o 最优前沿的多目标 优化问题中，并且具有非常突出的收敛性。 关键词：多目标优化问题；多目标遗传算法；p a r e t o 最优；收敛性；多样性 第1 i 页武汉科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h er e l a t i v eh i g hv o l u m eo fr e s e a r c hc o n d u c t e do nm a n ym e t h o d ss o l v i n gm u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o np r o b l e m s ( m o p ) i nt h el a s tf e wy e a r s 1 1 1 em e t h o d sm a i n l ya r ed i v i d e di n t ot w o k i n d s ：c o n v e n t i o n a lm a t h e m a t i c a lm e t h o d sa n dm e t h o d sb a s e do na r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e f i r s t l y , t h ep a p e rp r o v i d e sa no v e r v i e wo fm o p f o ri t sm a t h e m a t i c a lm o d e l ，h i s t o r ya n d r e s e a r c hd i r e c t i o n s e c o n d l y , t h ep a p e rd i s c u s s e sc o n v e n t i o n a lm a t h e m a t i c a lm e t h o d s ( d i r e c ta n di n d i r e c t ) o f m o et h i sp a p e rf i r s tr e v e a l sg r a p h i c a l l yt h el a wo ft h el o c a t i o no ft h ep a r e t oo p t i m a lf r o n t i e ro f t h el i n e a rm o pt h a th a sc o n v e xp a r e t oo p t i m a lf r o n t i e r t h e n ，t h ep a p e re l a b o r a t e sb a s i ci d e a so f m a n yk i n d so fc o n v e n t i o n a lm a t h e m a t i c a ld i r e c tm e t h o d so fm o p , a n dd e s c r i b e st h e i rd e f e c t s b e s i d e s ，t h ep a p e rd i s c u s s e si nd e t a i lm a n yk i n d so fm e t h o d sb a s e do na r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ( g a ， a s o ，p s o ，a n ds oo n ) t l l i r d t h i sp a p e rp r o p o s e san o v e lm u l t i - o b j e c t i v eg e n e t i ca l g o r i t h m ( m o g a ) w h i c ho b t a i n s e f f i c i e n t l yd i s t r i b u t e du n i f o r m l yp a r e t on o n - d o m i n a t e ds o l u t i o n s t l l i sa l g o r i t h mi sm a i n l y c r i t i c i z e df o ran e wf i t n e s sf u n c t i o nt h a tu s e st h em i n i m u md i s t a n c eb e t w e e na ni n d i v i d u a la n d o p t i m a ln o n - d o m i n a t e ds o l u t i o n st oc o m p u t e t h ei n d i v i d u a lf i t n e s si nap o p u l a t i o n f i n a l l y , t h ep a p e ru s e st e s t i n gf u n c t i o n sa n dp e r f o r m a n c em e t r i c s ( c o n v e r g e n c ea n dd i v e r s i t y ) t oe v a l u a t ee x p e r i m e n t a l l yt h ea l g o r i t h ma b o v e ，a n dc o m p a r e si tw i t ho t h e rm o g a s i tc a nb c s e e nf r o mt h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t st h a tt h ea l g o r i t h mc a nb ea p p l i e dt oc o n v e xo rn o n - c o n v e x , u n i f o r mo rn o n - u n i f o r m ，a n dc o n t i n u o u so rn o n - c o n t i n u o u sm o p s ，a n di th a sm o r ee x c e l l e n t c o n v e r g e n c ec o m p a r i n gw i t ho t h e rm o g a s k e y w o r d s ：m u l t i o b j e c t i v ep r o b l e m ，m u l t i - o b j e c t i v eg e n e t i ca l g o r i t h m ，p a r e t oo p t i m a l i t y , c o n v e r g e r e n c e ，d i v e r s i t y 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研 究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的 工作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：童矗日期： 加开3 - 研究生学位论文版权使用授权书 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位 的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研究生学位论文收录 工作的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅， 同意学校将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索。 论文作者签名：童釜垦 指导教师签名多型竖墨一 日 期： 础。s 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 第一章引言 在国民经济各部门和科学技术的各个领域中普遍存在着最优化问题，最优化问题就是 从所有可能的方案中选择出最合理的、达到最优目标的方案，即最优方案，搜索最优方案 的方法就是最优化方法。自2 0 世纪4 0 年代以来，由于生产和科学研究突飞猛进地发展， 最优化理论和方法日益受到人们的重视，特别是计算机日益广泛地应用，使最优化问题的 研究不仅成为一种迫切的需要，而且有了求解的有力工具，因此最优化理论和算法迅速发 展起来，形成了一门新的应用数学分支学科，已经渗透到生产、管理、商业、军事、决策 等各领域。至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规 划、网络流等许多分支，最优化理论和算法在实际应用中正在发挥着越来越重要的作用。 一般说来，现实世界中的优化问题大多是多目标优化问题( m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n p r o b l e m ，m o p ) 。多目标优化问题涉及到多个目标的优化，这些目标并不是独立存在的， 它们往往是通过决策变量耦合在一起且处于相互竞争的状态，而且每个目标具有不同的单 位和量纲，因此很难客观地评价多目标问题的解。它们的竞争和复杂性使得对其优化变得 十分困难。与单目标优化问题不同的是，多目标优化问题的解不是唯一的，而是一组均衡 解，称为最优非劣解集或p a r c t o 最优解集，并且这组解是无差别的。换言之，当对所有的 目标函数考虑时，在搜索空间中不存在比这些解更优的解，我们称这样的解是最优的【2 4 1 ， 并且这些解之间是没有绝对地优劣之分的。因此，要从中选择一个合适的解，还需要参照 与问题相关的领域知识。不同的决策者或是同一个决策者在不同的情况下可能倾向于不同 的解。因此，需要找到一组解供决策者选择。 1 1 多目标优化问题 多目标优化也称为多准则优化、多指标优化或向量优化，其目的就是要找到一组这样 折中解。a o s y c z k a 给出了多目标优化的定义f 7 1 1 ：寻找一个由决策变量构成的向量，使其 能够满足所有的约束条件和由目标函数组成的向量函数，这些目标函数是对性能指标的数 学描述，而且它们之间往往是相互冲突的。 1 1 1 多目标优化问题的基本概念 由于最小化与最大化问题是可以相互转化的，因此，本文主要描述了最小化多目标优 化问题以及其相关概念【7 l 】。 定义1 1 川m o p ：一般的m o p 由n 个变量参数、m 个目标函数和k 个约束条件组成， 目标函数、约束条件与变量之间是函数关系，数学定义如下： 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 m i n y = f ( x ) = ( ( x ) ， ( x ) ，二( x ) ) s u b j e c t t o p ( x ) = ( p - ( x ) ，e l ( z ) ，e k ( 石) ) o ，x q ( 1 1 ) w h e r e x = x i ，x2 ，x ) y = y l ，y2 ，y 。) 其中，x q ，y a ，q 是决策空间，人是目标函数空间。决策空间是由决策变量组成的， 目标函数空间是由目标函数值组成的。m o p 涉及两个空间：决策空间和目标函数空间，通 常优化的搜索过程发生在目标函数空间。 一般m o p 在优化的过程中，各目标往往都是相互冲突的，一个能满足所有约束条件， 并且能够使所有的目标函数达到全局最优的解可能并不存在。解决m o p 的最终手段只能 是在各个目标之间进行权衡和折中处理，使得各个目标值尽可能的为决策者所接受。由于 m o p 的解的多样性，所以就要求一些新的能适应的优化技术。在定义m o p 的解集时，p a r e t o 最优解是一个关键的概念。 定义1 2 1 7 1 i 可行解集：可行解集x ，是由能够满足所有约束条件的决策向量x 所组成的 集合，即 x j , = z h i e ( x ) o ) ( 1 2 ) 在单目标优化问题中，可行解集中的解完全可以根据目标函数值的优劣来进行排序， 即对任意两个决策向量口，b x ，根据它们之间的函数关系f ( a ) 八功或者( 6 ) 厂( 口) 来 决定两者的优劣，优化的目的就是寻找能使厂取得最小值的解。但是对于m o p 而言，情 况就有所不同了，由于多个目标函数的存在，可行解集中的解很难通过 、= 这样简 单的关系进行评价。针对这一问题，法国经济学家vp a r e t o 于1 8 9 6 年提出了p a r e t o 最优 的概念。 定义1 3 1 7 1 ip a r e t o 占优或者p a r e t o 支配：对于任意向量”，人，“= 恤i ，u 2 ，u i ) ， 1 ，= 1 ，l ，1 ，2 ，1 ，t ) ，对于v f 1 , 2 ，k ) 满足吩v i 并且影 1 , 2 9 o-o 9 k ) 使得“， 0 ，b k 0 ；半正定矩阵a k o ；f = 1 m ，m 为目标函数个数；k = l n ， 为限制条件的个数；决策向量x = 瓴，x 2 ，x ，n 为决策变量的个数。线性多目标凸 优化是由决策变量线性组合，可行性区域是由一组( 条) 折线组成的不规则凸的闭区域。 1 解的支配关系 图2 1 线性多目标凸优化 本文以图2 1 中的双目标优化且双决策变量的问题为例进行讲解。图2 1 描述的是决策 变量空间， a o ( 起点) 到口( 终点) 的折线组成的凸区域是问题的可行性区域，横坐标 为五，纵坐标为而。 取任意解 a = o _ i ，x 2 ) ， 其对应的目标函数向量为 y = ( 4 ，a 2 ) 。 其中，乞分别代表目标函数l 与目标函数2 的等高线y ，= a i ，y 2 = a 2 ，用垂直箭头指向 的方向表示目标函数值的变化方向。 在本例中，将等高线分别沿着箭头方向平移至可行性区域外，得出点口叻= ( 艺。，x 孟) 、 a 啦= ( x ：，：) 分别代表目标函数l 、目标函数2 的最小值。，：将可行域空间分成了四个 第1 0 页武汉科技大学 硕士学位论文 部分( 包括边界) ，依次命名为墨、s 2 、马、只，如图2 1 所示。 分别在区域墨，s ：，岛，瓯中任取解 b = ( x ：，x ；) ，c = ( ，石c 2 ) ，d = ( x 三，x d 2 ) ，e = ( x ：，x 2 ) ， 对应的目标函数向量分别为 y b = ( b l ，b 2 ) ，y c = ( c l ，c 2 ) ，y d = ( d i ，d 2 ) ，y = ( 巨，e 2 ) 。 由图2 1 中箭头方向可以看出 b l a 1 ，b 2 a 2 c l a 1 ，c 2 a l ，9 2 a 2 根据p a r e t o 解占优的定义得知 彳 e ，c 0 9( 2 7 ) ) x q ，q 为可行域； 当要优化的目标优先权相同时这一方法能产生最好的折中解。然而通常可以通过引入 小范围权重改变每一目标的优先权。 2 3 常规数学方法的总结 常规数学方法中的直接法能够很好的且精确的求解出m o p 的p a r e t o 最优前沿的具体位 置，但是目前只能运用于解决一些满足特定条件的简单的m o p 中，并且局限性大，其中 解的表达规律难以寻找。 间接法又称为传统方法，一些成熟的单目标优化技术可以直接被使用，这是其具有一 定的吸引力和优越性的主要原因。在单目标优化问题中有许多启发式方法能够处理这种问 题，例如随机搜索算法f 7 4 1 、启发式局部搜索算法【5 羽、模拟退火算法【7 4 1 、禁忌搜索算法【6 3 】 等等。这些方法都可以直接应用于传统的多目标优化技术中，其优点在于它继承了求解单 目标优化问题的一些成熟算法的机制。然而，这些方法存在着很多明显的缺点，总结如下： 1 ) 不同性质的目标之间量纲不一致，不易作出比较。为了避免其中一个目标函数支配 其他目标函数，精确的给出所有目标函数的标量信息，就必须有每个目标的全局先验知识， 计算量巨大，难以实现。 2 ) 对于p a r e t o 最优前沿的形状很敏感，无法处理p a r e t o 最优前沿为非凸的问题。例如： 加权和方法。 本文以双目标优化问题的加权和方法为例，优化问题则转化为： m i n y = w l z ( z ) + w 2 六( z ) ， ( 2 8 ) 目标函数转化为最小化： f 2 ( x ) = 一w l ：( 曲+ y 。 职嬲 ( 2 9 ) 优化过程是选取，w 2 ，让这条直线尽可能地向下移动直至可行性区域的边界；然后调整 不同的权值w l ，w 2 进行下次优化，直至求出能够获得的全部非劣解。但是，无论如何取得 武汉科技大学硕士学位论文第1 3 页 权值，都无法求出形状为非凸部分的非劣解( 如图2 2 ) 。 图2 2 加权和 3 ) 优先权值的分配带有较强的主观性。由于是人为规定各个目标函数的权值，因此带 有很强的主观意识。 除此之外，d e b 也曾提到了使用这些方法其它的潜在问题，如使用领域范围的限制等 问题，也就是说这些方法的使用是受约束的。另外，这些方法通常要求多次运行算法获得 p a r e t o 最优解集的近似解集，由于每次优化过程是相互独立的，因此在每次独立运行的时 候，会因为不能相互协调而这又可能引起很高的计算开销，而且这又依赖于不同的应用。 可以说对于大规模的m o p ，真正能够解决问题的常规数学方法并未出现。 2 4 本章小结 本章将首先重点分析某些问题的直接求法，然后详细地讲述间接法中主要的方法，最 后讨论一些m o p 的常规数学解法的主要缺陷。 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 第三章基于智能优化的多目标算法 许多多目标优化问题性质十分复杂，传统数学规划原理的多目标优化方法在实际优化 问题中往往表现出了一定的脆弱性和局限性，因此，有必要研究高效的多目标优化的算法 及理论。 随着人工智能技术的兴起以及在科研和实践中的广泛应用，运用智能优化技术求解 m o p 成为当前一个热门的研究领域。现在，越来越多的学者将智能优化算法运用于解决 m o p ，如遗传进化算法、群集智能算法( 蚁群、粒子群) 、人工免疫算法、神经网络等， 尤其是遗传算法逐步成为了求解m o p 的常用方法。在过去已出现了大量的多目标遗传算 法( m u l t i o b j e c t i v eg e n e t i c a l g o r i t h m ，m o g a ) 。由于这些方法具有高度的并行机制，可以对 多个目标同时进行优化。因此，m o p 的求解方法也开始由目标组合方式逐步向基于p a r e t o 的向量优化方法发展，期间出现了一批优秀的多目标优化方法。 3 1 多目标遗传算法 遗传算法( g e n e t i ca l g o r i t h m g a ) 是一种模拟自然生物进化过程的随机优化方法，可在 大规模复杂的搜索空间上搜索，与传统的多目标优化方法的显著不同在于g a 能够每代处 理一组解，能够满足m o p 的需求，弥补传统方法的不足。因此g a 在处理m o p 方面具有 极大的优越性。理想的多目标优化过程的目标之一是找到尽可能多的p a r e t o 最优解。由于 g a 处理的是一组解，所以，理论上它应该能够在一次仿真运行中得到一组p a r e t o 最优解。 另一方面，可以利用g a 的种群方法来同等地强调种群中的所有非劣解并且同时使用小生 境策略保留一组互异的非劣解。用这种方式可以在种群中发现并保持多样性较好的解。在 若干代以后，算法可能导致种群收敛到p a r e t o 最优前沿并且得到一个均匀分布。 3 1 1 多目标遗传算法的关键技术 我们可以总结出，当把g a 应用到多目标优化问题中的时候主要需要解决三个关键阀 题： 1 ) 为了指引搜索向p a r e t o 最优解集的方向进行，如何正确的进行适应值赋值和选择。 2 ) 为了防止早熟( 过早收敛) 并且要获得较好的分布性和扩展性的非劣最优解集，如何 维持群体的多样性。 3 ) 如何在求解过程中防止获得的p a r e t o 最优解丢失。 针对这些问题，可以判断m o g a 中需要解决的关键部分为如下几个方面： 1 编码方式 如何将问题的解编码成为染色体是m o g a 中的一个关键问题。根据采用何种符号作为 基因的等位基因，编码方式包括：二进制编码、实数编码、整数或字母排列编码、一般数 武汉科技大学硕士学位论文第1 5 页 据结构编码四种。 对于工业工程领域里的许多问题而言，几乎不可能用二进制编码来表示它们的解。实 数编码对于函数优化问题最为有效，这已经得到了广泛的验证【4 7 1 。由于实数编码基因型空 间中的拓扑结构与其表现型空间中的拓扑结构一致，因此很容易从传统优化方法中借鉴好 的技术来形成有效的遗传算子。大多数m o g a 采用的是实数编码方式。 2 选择算子 在生物的遗传和自然进化过程中，对生存环境适应程度较高的物种将有更机会遗传到 下一代；而对生存环境适应程度较低的物种遗传到下一代的机会相对较小。模拟这个过程， g a 使用选择算子( 或称复制算子) 来对种群个体进行优胜劣汰操作；适应度较高的个体被遗 传到下一代种群中的概率较大，适应度较低的个体被遗传到下一代种群中的概率较小。遗 传运算中的选择操作用来确定如何从亲代种群中按某种方法选取哪些个体遗传到下一代 种群中的一种遗传运算。目前已经提出、验证并比较了许多的选择方式，通常采用的选择 方法有：轮盘赌选择、( + 名) 选择、联赛选择、稳态复制、排序与比例变换、共享等。不 同m o g a 使用的选择操作不相同。 3 交叉算子 在生物的自然进化过程中，两个同源染色体通过交配而重组，形成新的染色体，从而 产生出新的个体或物种。交叉重组是生物遗传和进化过程中的一个主要环节。模拟这个环 节，在g a 中也使用交叉算子来产生新的个体。 交叉运算是指对两个相互配对的染色体按某种方式相换其部分基因，从而形成两个新 的个体。前面介绍的选择算子不能在种群中任何新的个体，它只能以不复制适应度较差的 个体为代价复制多个适应度较个体，新个体的建立只能通过交叉算子和变异算子来实现。 交叉运算是g a 区别于其他进化算法的重要特征，它在g a 中起着关键作用，是产生新个 体的主要方法。 在遗传进化算法中，在交叉运算之前还必须先对种群中的个体进行配对。目前常用的 i rl 配对策略是随机配对，即将种群中的n 个个体以随机的方式组成l 竺l 对配对个体组，交叉 l2j 操作是在这些配对个体组中的两个个体之间进行的。 交叉算子的设计和实现与所研究的问题密切相关，一般要求它既不要太多地破坏个体 编码串中表示优良性状的优良模式，又要能够有效地产生出一些较好的新个体模式。另外， 交叉算子的设计要和个体编码设计统一考虑。 与选择算子一样，在g a 的文献中也存在多种交叉算子，主要有：单点交叉算子、线 性交叉、自然交叉、混合交叉、模拟二进制的交叉等。 4 变异算子 在生物的遗传和自然进化过程中，其细胞分裂复制环节有可能会因为某些偶然因素的 影响而产生一些复制差错，这样就会导致生物的某些基因发生某种变异，从而产生出新的 染色体，表现出新的生物状。虽然发生这种变异的可能性比较小，但是它也是产生新物种 第1 6 页武汉科技大学 硕士学位论文 的一个不可忽视的原因。模拟生物遗传和进化过程中的这种变异环节，在g a 中也引入了 变异算子来产生新的个体。 变异运算是指将个体染色体编码串中的某些基因座上的基因值用该基因座的其他等位 基因来替换，从而形成一个新的个体。 从遗传运算过程中产生新个体的能力方面来说，交叉运算是产生新个体的主要方法， 它决定了g a 的全局搜索能力，而变异运算只是产生新个体的辅助方法，但它也是必不可 少的一个运算步骤，因为它决定了g a 的局部搜索能力。交叉算子与变异算子的相互配合， 共同完成对搜索空间的全局搜索和局部搜索，从而使得g a 能够以良好的搜索性能完成最 优化问题的寻优过程。 与其他遗传算子一样，同样存在多种变异算子，主要有：基本位变异算子、随机变异、 非均匀变异、多项式变异等。 5 多样性维护 为了能一次运行后逼近p a r e t o 最优解集，g a 必须进行多模式的搜索，从而发现大量 多样化的解。因而，保持种群的多样性成为影响m o g a 效率的一个关键问题。然而，简 单的g a 倾向于收敛到一个解，它往往会由于三个原因在运行过程中丢失个体【2 9 】：选择压 力、选择噪音和算子破坏。为了克服这个问题，研究者提出了很多方法，最常用的是小生 境技术。 小生境技术的原理是：一个个体的周围的个体越多，该个体越差，反之，周围的个体 越少，该个体就越好。在p a r e t o 解集中的位于越稀疏区域的个体越好，这种方法使得解集 中的个体分布均匀，多样性好。小生境技术有很多的实现方法，大抵分为两类：共享机 制，如适应值共享函数、小生境数等；拥挤策略，如拥挤距离等。对于这两种策略，不 同的m o g a 使用的衡量度量可能会不同。 6 精英策略 d ej o n g 【8 0 】提出了一种保持优秀个体的策略，这种策略总是将父代中好的个体保存到子 代中，从而防止在选择的过程中丢失最优个体。这一策略称为精英策略。在多目标遗传算 法中，精英策略起到了至关重要的作用。 3 1 2 早期多目标遗传算法 m o g a 的研究可以追溯到19 6 7 年，r s r o s e n b e r g 在其博士论文提出了使用g a 解决 m o p ，然而当时并没有建立实际的多目标优化算法，m o p 只是被表述为单目标问题，并 用g a 求解。直到1 9 8 4 年，由d a v i ds c h a f f e r 提出的第一个多目标遗传算法一向量评价遗 传算法【| 7 1 7 1 ，它开创了使用g a 处理m o p 的先河。在v e g a 之后，很多学者的研究真正将 p a r e t o 最优与g a 结合【_ 7 5 】，形成了早期一代经典的多目标优化算法，主要包括： 1 向量评价遗传算法( v e c t o re v a l u a t e dg e n e t i ca l g o r i t h m ，v e g a ) v e g a 是最简单的m o g a ，只是单目标遗传算法的扩充，其基本思想是：在每一代将 种群随机地分成m ( 目标函数的个数) 个大小相等的子种群。根据各个目标函数对每个子 武汉科技大学硕士学位论文第1 7 页 种群分配一个适应值。这样每个目标函数用于评估一个子种群的所有个体，然后使用只适 用于子种群内部的选择算子。既然一个子种群的所有个体都是根据一个特定的目标函数来 分配适应值，而选择算子又被限制在子种群内部，因此，强调了依据特定目标函数的优秀 个体。而且，因为没有根据不同目标函数的个体的比较，所以在不同目标函数之间的不均 衡也不会有问题。在完成选择并生成多个子种群后，对于子种群使用通常的交叉和变异