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第 3 章 弹性杆件横截面上的正应力分析31 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为 20mm 50mm 的矩形。试求杆 CE 和杆 DE 横截面上的正应力。解： 图（a）中，4cos （1）515 kN 5kN4m3m截面法受力图（ a）15 kN 5 kNM ， FCE 4 (15 5) 3 0 （2）0DC DFCE = 15 kNF ， F DE cos 40 （3）0xFDE（1）代入（ 3），得 FDE = 50 kNFCE3F 15 10CE CE 15 MPaA 0.02 0.05(a)F DE50 MPaDEA习题 3-1 图32 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度 p = 10kN/m ，在自由端 D-4m2，l = 4m。试求： 处作用有集中呼 FP = 20 kN 。已知杆的横截面面积 A = 2.0 10401A、B、E 截面上的正应力；N xA F (kN)2杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。解： 由已知，用截面法求得E 30FNA = 40 kNFNB = 20 kNFNE = 30 kNC203F 40 10NA（1） A 200 MPaA 2.0 104BF BNB MPa 100ADF ENE MPa 150A(a)（2） max A 200 MPa（A 截面）习题 3-2 图33 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷 F P 通过两端的刚性板加在杆上。试：1写出杆横截面上的正应力与 FP、d、D、Ec、Ea 的关系式；2若已知 d = 25mm，D = 60mm；铜和铝的单性模量分别为 Ec = 105GPa 和 Ea = 70GPa，FP = 171 kN 。试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。解： 1变形谐调：FNcEcAcFEaNaAa（1）F Nc F F （2）Na PFE Ac cNc FPE A E Ac c a aFE Aa aNa FPE A E Ac c a aFNcEcFPEcFPcAEAEAcccaaF E FNa aEcd42Ea42 2(D d )PaAaEcd42Ea2 2( D d )4习题 3-3 图9 34 105 10 171 102 c 83 .5 MPa9 2 9 2 2105 010 .025 70 10 (0 .06 0 .025 )a cEaEc83 .57010555.6MPa34 图示由铝板钢板组成的复合材料柱， 纵向截荷 FP 通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。 试：1导出复合材料柱横截面上正应力与 FP、b0、b1、h 和 Ea、Es之间的关系式； 58 2已知 F P = 385kN ；Ea = 70GPa，Es= 200GPa；b0 = 30mm ，b1 = 20mm，h = 50mm 。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。解： 变形谐调：FEsNsAsFEaNaAa（1）F Ns F F （2）Na PFNsEsEsAsAsEaAaFPFNaEsEAsaAaEaAaFP1sFNsAsE b hs 0EsFPEaEFsP2b h b hE 2b hE1 0 s 1aF ENaFaP习题 3-4 图aAab hE0s2b hE1a9 3200 0 385 102 s 175 MPa（压）9 90.03 0 .05 200 10 2 0.02 0 .05 70 10a175EsEa1757020061.25MPa（压）35 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下 h 与 b 的比值：1横截面上的最大正应力尽可能小；2曲率半径尽可能大。解： 1M M z 6M zzWzbh2 b d 2 b(2)6dW z 2 3 2 2d( bd b ) d 3bdb db0b33d22 2 2 2h d b d 3h 2b（正应力尽可能小）习题 3-5 图21Mz EIzzIz3 d h h2 2bh12 123dIz ，得0dhh234d212 2 2 2b d h d 4h 3b（曲率半径尽可能大）36 梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如图所示。梁在两端力偶 M z作用下发生弯曲。设正方形截面时，梁内最大正应力为0 ；去掉上、下角后，最大正应力变为 max k 0 ，试求：1k 值与 h 值之间的关系；2 max 为尽可能小的 h 值，以及这种情形下的 k 值。解：4h0I zh ，03W z03h03M 3Mz z0 0 m a xW30 h0zI4hh00 2zh I 2 2 ( )dzh z 02 I y h y y0 03h习题 3-6 图 59 4h0343h0(h30h3)(4h0h4)43h03 4h hh3(43h0h)M Mz zm a x h m a xWhh24( h0 3h)3h03 3 h h3k （1）m a x 0 04 42h ( 4h 3h) 2 20h ( h h) 3h ( h h )00 03 3dWhdhd (2h(43d hh0h)43h02 h23h08 8h ( h0 h ，h = 0（舍去）， 03 ) 0 h h 3 93h 1 81 30代入（ 1）： 0 .492k8 8 8 864 (12 8 ) 2 2( h ) (4 h 3 h ) ( ) ( 4 )0 0 09 9 9 364，其 37 工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受 Mz = 20 kN m 一个内力分量， I z = 11.3 10 mm他尺寸如图所示。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿 x 方向的合力。解：FM Mz zN x d d ydAA xA y AI IA z A z1 22MI0 .07 0.080z 0.006 d 0. 088 d y y y y0 0 .07zMIzz6127012 ( 80 2 70 2 ) 10 8829320 10 9 2 2 210 3 70 44 ( 80 70611 .3 10)143 103 kN1 4 3| N *F | yx cM2z习题 3-7 图yc*2201430. 0699 m 70 mm即上半部分布力系合力大小为 143 kN（压力），作用位置离中心轴 y = 70mm 处，即位于腹板与翼缘交界处。38 图示矩形截面（ b h）直梁，在弯矩 M z 作用的 Oxy 平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围， 假定在梁的纵截面上有 y 方向正应力y 存在，且沿梁长均匀分布。试：1导出 y ( y) 的表达式；yh2证明： max maxy x4， 为中性面的曲率半径。解： 1先求 y ( y) 表达式：F 0yyFy 2 y2y y h x1 d c o s s i n 1 d0222y M Mz z即 d 02 y 2 y s i n y ，（ ys i nyhx ）2 I 2 Iz z2习题 3-8 图yO 2M1 2 hz即 ) 02 s i n 2 s i n ( yy y2 I 2 2 4z-222 2d2M hz2 y ) （a）( y2 I 4y zxy xO 2 xdy ，得 y = 0，则 2由（ a）式，令 0dy(a) 60 y ,m a x8h2MIyzz4hyMIzz4hyMWzz4hx m a x（b）h239 图示钢管和铝管牢固地粘成复合材料管，在两端力偶 M z作用下发生平面弯曲，试：1导出管横截面上正应力与 Mz、D1、D2、D3和钢的 Es、铝的 Ea 之间的关系式；2已知 D1 = 20mm，D2 = 36mm，D3 = 44mm；Mz = 800N m；Es= 210GPa，Ea= 70GPa。求钢管和铝和铝管横截面上的最大正应力max 。解： 静力平衡：Ma （1）M Ms z变形谐调：a 得sMEaaIaMsEIss（2）4 4( D D )3 2I ，a644 4(DD )2 1I （3）s64由（2）E Ia aM （4）a MsE Is sE Ia )a代入（ 1），得 M M z(1sE Is s习题 3-9 图MsEEsIssIsMEz （5）Ia aE Ia a M zM a （6）E I E Is s a a1sMIssyEsEsIsM 64 E M yz ，（s zy4 4 4 4E I E (D D ) E ( D D )a as 2 1 a 3 2D1 D2y2 2）aM E M z 64 E M za a ay yI E I E I D4 4 E ( D ) Ea s s a as 2 1y(aD43D42)，（D2 D3y2 2）364 210 800 18 102 s 133 MPamax4 4 4 4 12 210 (36 20 ) 70 (44 36 ) 10364 70 800 22 10a MPamax54 .14 4 4 4 12210 ( 36 20 ) 70 (44 36 ) 10 310 由塑料制成的直梁，在横截面上只有 M z作用，如图所示。已知塑料受拉和受压时的弹性模量分别为 Et 和 Ec，且已知 Ec = 2Et；Mz = 600N m。试求：1梁内最大拉、压正应力；2中性轴的位置。解： 根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化 Ec = 2 Et， E 沿截面高度直线的斜率不同 中性轴不过截面形心。 1确定中性轴位置。设拉压区高度分别为 ht、hc1 1由 F 0 ，得： c h b h b 0max c t max tx2 2习题 3-10 图即ctm a xm a xhthchhchc（1）C C又E 2c 2max c c max c maxEt max t t max t maxhcht（2）hC由（1）、（2），得hhhcc 2 2hhch htchc即2(h h hc ) 22chhct(221)h2 ) h4158.4.6mmmm（中性轴的位置）htt t(a)2Mz y A y A yE A yE A yE A y E At c t t c c t t t cd d d d d 2 dA A A A A At c t c t c 61 EtAtyty y EtdA 2 y dA E y d A 2 y d A ( I t 2 I cc tA A Ac t c)3 33bh bh bht c其中 I 2 I 2 (6 4 2 )t c3 3 31MzEt (I 2 It)cc m a xEchcE McE It tz2IchcIt2MzI2chc32 600 41 .4 10MPa（压） 8.693501003( 6 4 2 ) 10123E M 600 (2 2 ) 100 10t z MPa（拉） t h 6.15hmax t tI 2 I 50 1003t c 12 10 (6 4 2 )3311 试求图 a、b 中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。解：（a）为拉弯组合FP4FPaaaFP43 a332 a a( a)2 262（b）为单向拉伸FPb 2aab43习题 3-11 图312 桥墩受力如图所示，试确定下列载荷作用下图示截面 ABC 上 A、 B 两点的正应力：1在点 1、2、3 处均有 40 kN 的压缩载荷；2仅在 1、2 两点处各承受 40 kN 的压缩载荷；3仅在点 1 或点 3 处承受 40 kN 的压缩载荷。3F 40 10解： 2.67N x Mpa6A 200 75 103M 40 10 0.125z MPa 40W275 1009 10633F 3 40 10N x1 A 8 MPaBA 200 75125 2380 1032F M 2 40 10N x z2 A 15 .3 MPa2A W 200 75 75 200习题 3-12 图63在点 1 加载：3 3F M 40 10 40 10 125N x zA MPa12. 672A W 200 75 75 20063 3F M 40 10 40 10 125N xzB 7.33 MPa2A W 200 75 75 2006由对称性，得在 3 点加载： A 7.33 MPa， B 12 .67 MPa313 图示侧面开有空洞的正方形截面管，管壁厚 = 5mm，管在两端承受轴向载荷 FP。已知开孔处截面的形心为 C，形心主惯性矩4，Fp = 25kN 。试求： 6I 0.177 10 mz1开孔处横截面上点 F 处的正应力； 62 2最大正应力。解： F N x F P 25 kN3M z N mF ( 25 18 .57 ) 10 160 .75p6 62A m(50 5 2 40 5) 10 700 10F MNx z 31 18 .57 10 18 .85FA IzMPa2maxFN xAMz3(50 18 .57 ) 10 Iz习题 3-13 图64 MPa（在 y 正向最大位置）.26314 图示矩形截面杆在自由端承受位于纵向对称面内的纵向载荷 FP，已知 FP = 60kN 。试求：1横截面上点 A 的正应力取最小值时的截面高度 h；2在上述 h 值下点 A 的正应力值。解：AFNAxMzWzFP40 hF (Ph2d)240h6FP202h 3d( )2h（1）26hd 2 hA ， 01令 0h h4 h = 3d = 75mm （2）2由（ 1）、（2）式得：习题 3-14 图360 10 2 75 3 25A MPa( ) 40220 75315 图中所示为承受纵向载荷的人骨受力简图， 假定实心骨骼为圆截面。试：1确定截面 BB 上的应力分布； 2假定骨骼中心部分 （其直径为骨骼外径的一半） 由海绵状骨质所组成， 且忽略海绵状承受应力的能力，确定截面 BB 上的应力分布；3确定 1、2 两种情况下，骨骼在截面 BB 上最大压应力之比。0. 795yyA BO14 .526 z(a) (b)13.73MP a 14.43MPayOOA C BBy ACOOBz12.6mm 14.1mm15.32MP a16.55MPazCz zC(c) (d)习题 3-15 图6F x 445 10N解： 1 0.795N1A 26 .721MPa4M max3M 445 61 10z3Wz1 2632.710914 .5 2 6MPa 63 m ax 14. 526 0. 795 13 .73 MPam ax MPa 14 .526 0.795 15. 32沿 y 方向应力分布如图（ c）所示，中性轴为 zc。2N 2F NxA2(264452.7664445101026.712 2.7 (1()262 4)40 MPa. 795 1.0634M 2 maxMWzz 2Wz1M(1z(124) )14 .526161515.494MPam ax Mpan 15. 494 1.06 14 .43m ax MPa 15 .494 1.06 16 .55zC 为中性轴，沿 y 轴应力分布如图（ d）16 .55 15 .322 ，或 0 .92613 1 .0815 .32 16 .551 2 316 正方形截面杆一端固定，另一端自由，中间部分开有切槽。杆自由端受有平行于杆轴线的纵向力 FP。若已知 FP =1kN ，杆各部分尺寸示于图中。试求杆内横截面上的最大正应力，并指出其作用位置。解：6 62A m5 10 10 50 1025 10 19 63W m10 10y6 12AMz210 5 196 3W m10 10z6 24FNx = 1 kN3M 1000 5 10 5 N myyC10My3M N m1000 2.5 10 2.5zzF NxMyMz5m a xA W Wyz习题 3-16 图 (a)100050512.51106 MPa1 4 012 24最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点 A，如图（ a）所示。3 17 钢制 立柱 上 承受 纵向 载荷 FP 如图 所示 。 现在 A 、B 、D 三处 测得 x 方向 的正 应 变6x ，( A) 300 106x (B) 900 10 ，6x 。若已知钢的弹性模量 E = 200GPa。试求：(D ) 100 101力 F P 的大小；2加力点在 Oyz 坐标中的坐标值。解：6 6 1032A m100 60 10260 1009 36W m10 100 10z62100 609 63W m10 60 10y6FN Fx PMFz PyMFy PyMF M F F y F zyN P P P ) 10 6x zA （1）(A W W 6000 100 60z y习题 3-17 图F F y F zP P P 6B ( ) 10 （2）6000 100 60F F y F zP P P 6D （3）( ) 10 6000 100 60E （4） 64 1 y zP P 6 9 6由（1）、（4）， ) 10 200 10 ( 300 10 )( FP6000 100 601 y zP P即 ( ) P 60F6000 100 60（5）1 y zP F由（2）、（4）， ) 081( P6000 100 60（6）1 y zP FP由（3）、（4）， ) 20(P6000 100 60（7）解（5）、（6）、（7）： z 0 .02 m 20 mmPy 0 .025 m 25 mmPFP = 240 kN318 矩形截面柱受力如图所示，试证明： 1当铅垂力 F P作用在下面方程所描述的直线上的任意点时，点 A 的正应力等于零：zPbyPh1习题 3-18 图A D6 62为了使横截面的所有点上都不产生拉应力， 其作用点必须位于由类似上述方程所描述的直线围成的区域内（图中虚直线围成的区域） 。Czh解： 1写出 K 点压弯组合变形下的正应力（图 a）。FP( y P .z)PFPA(FPz ) zP3hb12(F y )PP3bh12yBK( y.z)FybF z yP （1）P P1 z y2 2hb b h(a)n 12 12h b将 A ) 代入（ 1）式，并使正应力为零，得( , 2 2F P 所作用的直线方程1zPbyPh0zotyotz C6 6z yP P整理得： 1b hFPn 6 6 2若 FP 作用点确定，令（ 1）式等于零，得截面的中性轴方程（图 b）：1z yP yPz2 2b h0y(b)12 12（2）中性轴 nn 的截距：y0tz0t66hyhzPP（3）212说明中性轴 nn，与力 FP 作用点位于形心 C 的异Cz侧，说明 nn 划分为 F P 作用下的区域为压应力区，另一区域是拉应力区（见图 b）。z y如果将（ 2）改写为 z y 1（4 ）P P2 2b h1FPF2P112 12 并且把中心轴上一点（ y, z）固定，即中性轴可绕该点顺时针转动（从 11 转到 22）z 由（4）式， FP 作用必沿直线移动。由（ 3）式， 22 直线的截距值大于 11 直线的。所以，当中性轴 1(c) 65 1 顺时针转向中性轴 22 时，FP 作用点 F P1、F P2 沿直线，并绕形心也顺时针转向。1 2 如果中性轴绕 A 点从 11 顺时针转动至 33（中性轴始终在截面外周旋转），则截面内就不产生拉应力，将 A 坐标代入（ 4）式：3 3Az Py P，即 F F F F 沿该直线移动。从 ，反之铅垂力 P P1 P2 P31bh6 6F P 从 F P1FP2FP3 直线移动，截面不产生拉应力，同理过 B、F、D分别找另三条 F P 移动的直线。 这四条直线所围区域为截面核心。 铅垂2FP3FP1FP2z压力在截面核心内作用，则横截面上不会有拉应力。B F319 矩形截面悬臂梁受力如图所示，其中力 FP 的作用线通过截面形心。试：y1已知 F P、b、h、l 和 ，求图中虚线所示截面上点 a 的正应力；(d) 2求使点 a 处正应力为零时的角度 值。2hb解： M y F P l s i n ，Wy62bhMz P l c o s ，FWz6aMWzzMWyy6lFP b h( c o s s i n2 2b h)令 a 0 ，则btan ，htan1bh习题 3-19 图320 矩形截面柱受力如图所示。试：1已知 = 5 ，求图示横截面上 a、b、c 三点的正应力。2求使横截面上点 b 正应力为零时的角度 值。解： F c o sN Fx PM (a ) F sin 0 .04y PMy (b ) 2 M ( a ) ， M y (c) 3 M y (a)y1aFMN F cos 0. 04 Fx P PyA W 0. 1 0.04 0.1 0ysin.04260 .1FP0.04(cos 6 sin )360 10 ( c o 5s 6 si n5 )0.0047 .10 MPa习题 3-20 图bFNAx2M a) 3(y60 10W 0.004y(cos 5 12 sin 5 ) 0 .745MPacFNAx3 MyW(ya)8 .59MPaF xN2 (cos 12 sin ) 0bA1tan ， = 4.7612 321 交通信号灯柱上受力如图所示。 灯柱为管形截面， 其外径 D = 200mm，内径 d = 180mm。若已知截面 A 以上灯柱的重为 4kN。试求横截面上点 H 和 K 处的正应力。解：3 .25tan ， =22.627. 8F N( 400 900 1950 cos ) 6700N yM N m1 9 5 0s i n (7.8 0.6) 9 0 0 2.1 3 5 1 0 zF 6700N xH MPa1.12A 2 2 ( 0.2 0 .18 )4习题 3-21 图 66 KFNAyMWzz1.1232035103.2 (10.94)11 .87MPa 322 No. 25a 普通热轧工字钢制成的立柱受力如图所示。试求图示横截面上 a、b、c、d 四点处的正应力。解：42A m48 .5 103W m401 .88 106z3 6W m48 .283 10 yF kN100 N x 3 0 .125 25 10 3 0.5 25 10 3100 10M N mz3 0.6 9.6 103M N m(8 2) 10 yMzWz62 .6MPa习题 3-22 图MWyy1 9 9MPadF xN c 20 .6 MPaAzMzCaFN xAMWzz41 .6MPaMybFNAxMWzzMWyy240MPaa bdFNAxMWzzMWyy116 yMpa(a) 323 承受集度为 q = 2.0kN/m 均布载荷的木制简支梁，其截面为直径 d = 160mm 的半圆形。梁斜置如图所示。试求梁内的最大拉应力与最大压应力。解： q y q cos 20 ， q z q sin 20 ，y c2 d3Mq 1 qz max y y11qy22112q cos 20 940 N mq习题 3-23 图yA BqqyyCA B1M y N mmax q sin 20 3 4 22M(N.m)zqy939.7N.m2I4 4 121 d 1 10 1606 4y m16 .1 102 64 2 64(a)qy4 21 d d d22 64I z m ( ) 4 .4956 102 64 8 3qZAqZBm a xMIzzycMIyyd2MA C By342N m(4940.4956102 0. 16 3426 0. 08 ) 1063 16 .1 106(b)y8.80 MPa A （左下角 点）最大压应力点应在 CD 弧间，设为C DyCyCM (R s i n y ) M m a x R c o syz m a x cI Iz y（1）RBCdd0M I6 940 16. 1 10z max y，得： tan 9 .834I M64.4956 10 342z y maxZA84 .19 代回（ 1）式，(c) 67 2 1603940 (80 sin 84 .19 ) 103342 80 cos 84 .19 103 6max MPa 10 9 .716 64.4956 10 16 .1 10324 简支梁的横截面尺寸及梁的受力均如图所示。试求 N截面上 a、b、c 三点的正应力及最大拉应力。解： M N N 30 kN myc1602016010202218018020209016 2 2 18 2 9 65 .38 mm1.6 2 2 1.8 23160 20I ( 160 20 55 .38z122)320 1802 ( 20 180 (90 65 .38 )122)习题 3-24 图4 6 433725128 mm 33. 725 10 m330 10c MPa（压应力）0.05538 49 .3633 .725 1030000 3b MPa（拉应力）(180 65 .38 80 ) 10 30 .8 633 .725 10330 10 3a MPa（拉应力）(180 65 .38 40) 10 66 .4