汕头市金山中学2015届高三上学期摸底考试数学理试题（理数）

汕 头 市 金山中学 2015 届高三摸底考试 理 数试题 试卷说明、参考公式略 本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 .满分 150 分 .考试时间 120 分钟 . 第 I 卷（选择题 共 40 分） 一 .选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.若全集 UR ,集合 01,022 xxNxxxM ,则下图中阴影部分表示的集合是（ ） A ,1 B 1, C ,2 D ( 2,1) 2.如果 biia 2 3, Rba , , 则 a 等于（ ） A. 6 B. 6 C. 3 D. 4 3.下列函数 中 ，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( ) A.xy 1 B. xxy 221 C. xy sin D. xxy 3 4.函数 )21(lo g 2 axxxf a有最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A. 1,0 B. 2,11,0 C. 2,1 D. ,2 5.已知 ba, 为异面直线 , a 平面 , b 平面.直线 l 满足 llblal , ,则（ ） A. 与相交 ,且交线平行于 l B. /,且l C. 与 相交 ,且交线垂直于 l D. ,且l 6.函数 1lo g25.0 xxf x的零点个数为 （ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 平面直角坐标系上有两个定点 BA, 和动点 P ，如果直线 PA 和 PB 的斜率之积为定值 0mm ，则点 P 的轨迹不可能是（ ） (下列轨迹的一部分 ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 8.设 S 是至少含有两个元素的集合，在 S 上定义了一个二元运算 “ ”（即对任意的 Sba , ，对于有序元素对 ba, ，在 S 中有唯一确定的元素 ba 与之对应 )，若对任意的 Sba , ，有 baba )( ，则 对任意的 Sba , ，下列等式中 不 恒成立的是 ( ) A. abaaba )( B. bbbb )( C. aaba )( D. bbabba )()( 第 卷（非选择题 共 110 分） 二 .填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .将答案填在 答案卷的相应的 横线上 . （一）必做题（ 913 题） 9.函数 xxy 2s in322s in 的最小正周期 T 为 * . 10.已知 ,32121 xxf且 6mf ，则 m * . 11. 若 函数 xf 的导函数 342 xxxf , 则函数 xf 1 的单调减区间是 * . 12.在等比数列 na中 , 21 a 且 2764 4aaa ,则3a的值是 * . 13.今有直线 0 myx 0m 与圆 222xy+=交于不同的两点 A 、 B ， O 是坐标原点， 且 ABOBOA ，则实数 m 的取值范围是 * . （二）选做题（ 14-15 题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题 ) 在极坐标系中 ,已知圆 cos4 的圆心为 A ,点 )43,26( B, 则线段 AB 的长为 * . 15.(几何证明选讲选做题 ) 如图所示 , 过 O 外一点 A 作一条直线与 O 交于 DC, 两 点 , AB 切 O 于 B ,弦 MN 过 CD 的中点 P , 已知 ,6,4 ABAC 则 NPMP * . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16 （本题 12 分） 已知函数 ( ) 2 c o s ( ) ( 0 , 0 )f x x 的最小正周期为 ，其图象的一条对称轴是直线8x 1)求 ()fx的表达式； 2)若 2,0 且25148 f，求2f的值 . 17（本题 12分） 已知函数 ()y f x 和 ()y g x 的图象关于 y 轴对称，且 2( ) 2 4f x x x 1）求函数 ()y g x 的解析式； w. w. w. k. s.5. u. c.o.m 2）解不等式 ( ) ( ) | 1 |2f x g x x ； 18.（本题 14 分） 如图，在平行四边形 ABCD 中， BCAB 2 2， .120 ABC M、 N 分别为线段CDAB, 的中点，连接 DMAN, 交于点 O ，将 ADM 沿直线 DM 翻折成 DMA ， 使平面 DMA 平面 BCD， F 为线段 CA 的中点。 1）求证： ON 平面 DMA 2）求证： BF平面 DMA ； 3）直线 FO 与平面 DMA 所成的角 . 19.（ 本题 14 分） 已知函数 bxaxxxf 23 1)若函数 xfy 在 2x 处有极值 6 ,求 xfy 的单调递 增 区间 ； 2)若 xfy 的导数 xf 对 1,1x 都有 2 xf ,求1ab的取值范围 . 20.（ 本 题 14 分） 已知 1F 、 2F 是双曲线 115:22 yxC 的两个焦点，若离心率等于54的椭圆 E 与双曲线C 的焦点相同 . 1)求椭圆 E 的方程； 2)如果动点 ),( nmP 满足 1021 PFPF，曲线 M 的方程为 : 12222 yx . 判断直线 1: nymxl 与曲线 M 的公共点的个数，并说明理由；当 直线 l 与曲线 M 相交时，求直线 1: nymxl 截曲线 M 所得弦长的最大值 . 21.（本 题 14 分） 已知 数列 na的各项均为正值， ,11 a 对任意 )1(41, 21 nnn aaaNn， )1(log 2 nn ab 都成立 . 1)求数列 na、 nb的通项公式； 2)令nnn bac ，求数列 nc的前 n 项和nT； 3)当 7k 且 Nk 时，证明对任意 ,Nn 都有231111 121 nknnn bbbb 成立 . 2014 届 第一学期 高三理科 摸底考试 理数 答案卡 2013-8 班级 :_ _ 姓名 :_ _ 学 号 : 评分 : 一 .选择题 ： 18 题，每题 5 分，共 40 分 , 每题只有一个正确答案，把正确答案填入表格内 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二 .填空题 ： 本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .答案填在 答案卷相 应的 横线上 . 9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； (在选做的题目前标涂 ) 14. ； 15. . 三 .解答题 ： 本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16. （本小题满分 12 分） 17 （本题 12 分） 班级 :_ _ 姓名 :_ _ 学 号 : 18.（本题 14 分） 19.（ 本题 14 分） 20、 21 题在背面作答 20.（ 本 题 14 分） 21.（ 本 题 14 分） 理 数 答 案 选择题 ： 18 题，每题 5 分，共 40 分 , 每题只有一个正确答案，把正确答案填入表格内 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B A D C A B D C 二 .填空题 ： 本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .答案填在 答案卷相应的 横线上 . 9. ； 10. 41 ； 11. 2,0 ； 12. 1 ； 13. 22 m ； (在选做的题目前标涂 ) 14. 10 ； 15. 425 . 三 .解答题 ： 本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16. （本小题满分 12 分） 解析： (I)由 ( ) 2 c o s ( ) ( 0 )f x x 的最小正周期为 ，得 2 ，即 2 ， （ 2 分） )2c o s (2 xxf 又 ()fx图象的一条对称轴是直线8x ，有 2 k ，则4k ， kZ ， 而 0 ， 令 0k ， 得4 ， （ 5 分） ( ) 2 c o s ( 2 )4f x x ； （ 6 分） (II) 由25148 f得25142c o s24)8(2c o s2 ，2572cos ， （ 7 分 ） 而 2,0 ， 0c o s,0sin ， （ 8 分 ） 257s in211c o s22c o s 22 54s i n,53c o s （ 10 分 ） 527)s i n( c o s2)4c o s (22 f （ 12 分 ） 17.解：（ I）设函数 ()y g x 图象上任意一点 ( , )P x y ， w. w. w. k. s. 5. u. c. o. m 由已知点 P 关于 y 轴对称点 ( , )P x y 一定在函数 ()y f x 图象上， 代入得 224y x x，所以 ()gx 224xx （ II） ( ) ( ) | 1 |2f x g x x 22 | 1 |xx 22110xxx 或 22110xxx w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 1xx 或 11 21xx 112x 不等式的解集是 211 xx 另解：由 ( ) ( ) | 1 |2f x g x x 得， 12 2 xx 221 xx 或 221 xx 012 2 xx 中，开口向上， 07 ，解集为 012 2 xx 解得211 x 不等式的解集是 211 xx 18.（本题 14 分） （ 1）证明：连接 MN ，由平面几何知 AMND 是菱形 AN DM 1 平面 A DM 平面 ABCD ， DM 是交线 AN 平面 ABCD 2 AN 平面 ADM ，即 ON 平面 ADM 3 （ 2）证明：取 AD中点 E ，连接 、EF EM F 是 AC中点 1/2 EF CD 4 又 M 是 AB 中点 在菱形 ABCD 中， 1/2BM CD / EF BM 5 EFBM 是平行四边形 / BF EM 6 EM 平面 ADM ， BF 平面 ADM 7 /BF 平面 ADM 8 （ 3）解： 22A B B C ， M 是 AB 中点 1 A D A M 菱形 ADNM 中 O 是 DM 中点 A O DM 平面 A DM 平面 ABCD AO 平面 ABCD 9 以 ON 为 x 轴， OM 为 y 轴， OA 为 z 轴建立如图空间直角坐标系， 0120 A D N A B C 在 ADN 中 1AD DN ， 2 2 02 c o s 1 2 0 3 A N A D D N A D D N 同理求得 1 D M A D A M 3 1 3( , 0 , 0 ) ( 0 , , 0 ) ( 0 , 0 , )2 2 2 、 、N D A M 是 CD 中点 1( 3 , , 0)2C F 是 AC中点 3 1 3( , , )244 F 11 NO 平面 ADM 平面 ADM 的一个法向量 3( , 0 , 0 )2ON 3 1 3( , , )244OF 1 1 3| | 14 1 6 1 6 OF 设 OF 与平面 ADM 所成的角为 ， 02 12 则 s i n | c o s , | | | | O F O NO F O NO F O N 13 333222312 3 14 直线 FO 与平面 ADM 所成的角为3 19.解： 32()f x x a x b x 2( ) 3 2f x x a x b 1 1） 在 2x 处有极值 6 ( 2 ) 1 2 4 0( 2 ) 8 4 2 6f a bf a b 解得 522ab 3 325( ) 22f x x x x 2 ( ) 3 5 2 0f x x x 得 1 23xx 或 当 x 变化时， ,yy变化如下 x 1( , )3 13 1( ,2)3 2 (2, ) y + 0 0 + y 极 极 5 大值 小值 ()fx 的单调增区间是 1( , )3 ， (2, ) , 1 4 1( ) , ( 2 ) 63 5 4y f y f 极 大 极 小 7 2） ( 1 ) 3 2 2(1 ) 3 2 2f a bf a b 2 1 02 1 0abab 9 不等式组 确定的平面区域阴影部分如图所示 10 由 2 1 02 1 0abab 得 01ab (0, 1)Q 设1bz a ，则 z 表示平面区域内的点 ( , )ab 与点 (1,0)P 连线的斜率 12 1PQk 由图可知 12zz 或 ,12,1a b 14 20.解： 1） 1F 、 2F 是双曲线 115:22 yxC 的两个焦点 4151 c 不妨设 )0,4(1 F 、 )0,4(2F 椭圆 E 与双曲线 C 的焦点相同 . 设椭圆 E 的方程为 12222 byax 0 ba 根据已知得222544cabacc，解得9542bac 椭圆 E 的方程为 192522 yx 2）直线 1: nymxl 与曲线 M 有两个公共点 . 理由 是 : 动点 ),( nmP 满足 1021 PFPF, ),( nmP 是椭圆 E 上的点， 192522 nm 222599 mn ， 250 2 m 曲线 M 是圆心为 0,0 ，半径为 2r 的圆 圆心 0,0 到直线 01: nymxl 的距离 221 nmd2251691m23109 1 直线 1: nymxl 与曲线 M 有两个公共点 . 设直线 1: nymxl 截曲线 M 所得弦长 t ， 222251691222mdrt 在 250 2 m 上递增 当 ,25