深圳市第二高级中学2015届高三上学期第一次月考试题（文数）

深 圳市第二高级中学 2015 届高三 第一次 月考 文 数 本试卷共 4 页，满分为 150 分 ， 考试用时 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用 黑色字迹的钢笔或 签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题 目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5考生必须保持答题卡的整洁。 一、 选择题（本大题共 10 小题 ,每小题 5 分 ,共 50 分 . ） 1 设全集 1, 2 , 3, 4 , 5U ,集合 1,2A , 2,3B ,则 UAB A 4,5 B 2,3 C 1 D 2 2. 设 i 为虚数单位 ,则复数 3+4ii A 4 3i B 4 3i C 4 3i D 4 3i 3. 函数 2()f x x 在点 (2, (2)f 处的切线方程为 A 44yx B 44yx C 42yx D 4y 4. 已知1F、2F分别为椭圆 C 的两个焦点 ,点 B 为 其短轴的一个端点 ,若12BFF为等边 三角形 , 则 该 椭圆的离心率 为 A 32 B 12 C 2 D 3 5一个几何体的三视图中主视图和左视图是边长为 2 的等边三角形 ,俯视图为圆 ,则该几何体的体积是 A 3 B 334 C 34 D 33 6. 定义在 R 上的偶函数 ()fx 满足：对任意12,xx 0, ),且12xx都有1212( ) ( ) 0f x f xxx ,则 A ( 3 ) ( 2 ) (1 )f f f B (1 ) ( 2 ) ( 3 )f f f C ( 2 ) (1 ) ( 3 )f f f D ( 3 ) (1 ) ( 2 )f f f 7 已知 xxf2log)( ,函数 )(xgy 是它的反函数 ,则函数 )1( xgy 的大致图象是 8. 有下列四个命题： 对于 xR ,函数 ()fx满足 (1 ) (1 )f x f x ,则函数 ()fx的最小正周期为 2； 所有指数函数的图象都经过点 (0,1) ； 若实数 ba、 满足 1ba ,则ba 41的最小值为 9； 已知两个非零 向量 a ,b ,则“ a b ”是“ a =0b ” 的充要条件 . 其中真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 9. 设变量 ,xy满足约束条件20701xyxyx ,则 yx的最大值为 A 6 B 3 C 95 D 1 10 已知定义域 在 ( 1,1) 上 的奇函数 ()fx是减函数 ,且 2( 3 ) ( 9 ) 0f a f a ,则 的取值范围 是 A (2 2 ,3) B (3, 10 ) C (2 2 ,4) D ( 2,3) 二、填空题 (本大题共 5 小题 ,其中 14-15 为选做题 ,考生选做其中一道 ,每小题 5 分 ,共 20分 .) 11. 函数 1lnxy x的定义域为 . 12 函数212( ) l o g ( 2 3 )f x x x 的单调递增区间是 . 13. 已知函数 )(xfy ()xR 满足 1( 1 )()fx fx ,且 1 , 1 x 时 , 2)( xxf ,则)(xfy 与 ( ) lgg x x 的图象的交点个数为 _. 14（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中 ,点 )23,2( P到直线 3s in4c o s3: l的距离为 15.（几何证明选讲选做题） 如图 , AB 是 O 的直 径 ,点 C 在 AB 的延长线上 ,CD 与 O 相切于点 D . 若 18C ,则 CDA _. 三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 80 分 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ) 16. （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) c o s ( )4f x x. （ 1） 求 函数 fx在区间 ,12 2上的最大值和最小值 ； （ 2）若 3()5f ,其中 3 ,44 求 sin 的值 . 17. （本小题满分 12 分） 在 ABC 中 ,角 A B C、 、 的对边分别为 abc, ,且满足 2 cos .c b A （ 1）求证： AB ； ABOCD15 （ 2）若 ABC 的面积 152S, 4cos5C , c求 的值 . 18.（本小题满分 14 分） 某年某省有 23 万多文科考生参加高考 ,除去成绩为 670 分（含 670 分）以上的 6 人与成绩 为 350 分（不含 350 分）以下的 38390 人 ,还有约 4.19 万文科考生的成绩集中在)670 , 350 内 ,其成绩的频率分布如下表所示： （ 1）请估计该次高考成绩在 )670 , 350 内文科考生的平均分（精确到 1.0 ）； （ 2）考生 A 填报志愿后 ,得知另外有 4 名同分数考生也填报了该志愿 .若该志愿计划录取 2人 ,并在同分数考生中随机录取 ,求考生 A 被该志愿录取的概率 . （参考数据： 610 0.061+570 0.154+530 0.193+490 0.183+450 0.161+4100.133=443.93） 19（本小题满分 14 分） （ 1）已知命题 2: 2 3 1 0p x x 和命题 2: ( 2 1 ) ( 1 ) 0q x a x a a ,若 p 是 q 的必要不充分条件 ,求 实数 a 的取值范围 . （ 2）已知命题 :s 方程 2 ( 3 ) 0x m x m 的一根在 (0,1) 内 ,另一根在 (2,3) 内 . 命题 :t 函数 2( ) l n ( 2 1 )f x m x x 的定义域为全体实数 . 若 st 为真命题 ,求实数 m 的取值范围 . 20. （本小题满分 14 分） 已知二次函数 ()y f x 的图象经过坐标原点，其导函数为 ( ) 6 2f x x ,数列 na的前 n 项和为 nS ,点 ( , )( )nn S n N均在函数 ()y f x 的图像上 . 分数段 )390 , 350 )430 , 390 )470 , 430 )510 , 470 频率 0.108 0.133 0.161 0.183 分数段 )550 , 510 )590 , 550 )630 , 590 )670 , 630 频率 0.193 0.154 0.061 0.007 （ 1）求 ()y f x 的解析式； （ 2）求数列 na的通项公式； （ 3）设13n nnb aa,nT是数列 nb的前 n 项和 ,求使得20n mT 对所有 n N 都成立的最小正整数 m . 21 （ 本题满分 14 分 ） 已知 ( ) ln af x xx( aR ). （ 1）当 0a 时 ,判断 ()fx在定义域上的单调性； （ 2）若 ()fx在 1,e 上的最小值为23 ,求 a 的值； （ 3）若 2()f x x 在 (1, ) 上恒成立，试求 a 的取值范围 . 文科数学答案 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B D B D C A A 二、填空题 11. (0 ,1) (1 )， ； 12 ( 1,1) （ 1 可以取等号， 1 不可以） ； 13. 9； 14 1； 15. 126 三、解答题 16. 解：（ 1） ,1 2 2x 1分 ,4 3 4x 2 分 当43x 时取得最小值 12； 4 分 当 04x 时取得最大值 1 . 6分 （ 2） 3( ) c o s ( )45f ，且 042 ， 7 分 4s in45. 8 分 9分 11分 12分 17. 解：（ 1）由 2 cosc b A ，根据正弦定理，得： s i n 2 s i n c o s .C B A 2 分 又在 ABC 中 ， A B C ，则 s i n s i n ( )C A B，所以s i n ( ) 2 s i n c o s .A B B A 即 s i n c o s c o s s i n 2 s i n c o s .A B A B B A 4 分 s i n s i n44 s i n c o s c o s s i n4 4 4 47 210 所以 s i n c o s c o s s i n 0A B A B，即 sin ( ) 0AB 又 AB、 为三角形内角，所以 AB 。 5分 （ 2）由（ 1）得 AB ，所以 ab 6 分 角 C 为三角形内角且 4cos5C ，所以 2 3s i n 1 c o s5CC 8 分 又 152S，即： 21 1 3 1 5s i n2 2 5 2S a b C a 解得： 5a 10 分 由余弦定理得： 2 2 2 2 c o s 1 0c a b a b C 所以 10c 12 分 18. 解： （ 1）由所给的数据估计该年广东省文科考生成绩在 )670 , 350 内的平均分为 161.0450183.0490193.0530154.0570061.0610007.0650 4.48844.488108.0370133.0410 6分 （列式 3 分，计算 2 分，近似值 1 分 .列式无计算而写 4.488 扣 1 分；列式无计算而写4.488 扣 2 分） （ 2 ）设另外 4 名考生分别为 b 、 c 、 d 、 e ，则基本事件有：),(),(),(),( eAdAcAbA ),(),(),(),(),(),( edecdcebdbcb 10 分 共 10种 11分 考生 A 被录取的事件有 ),(),(),(),( eAdAcAbA ，共 4 种 13 分 所以考生 A 被录取的概率是 4.0104 P 14分 19 解：（ 1）对于命题 2: 2 3 1 0p x x ，解得： 1 12 x 1 分 对于命题 2: ( 2 1 ) ( 1 ) 0q x a x a a ，解得： 1a x a 3 分 由 p 是 q 的必要不充分条件，所以 qp 且 pq . 于是所以 pq 且 qp . 5 分 所以 1211aa .解得 120aa ，即： 102a 所以实数 a 的取值范围是 102a. 7 分 （ 2）对于命题命题 :s 方程 2 ( 3 ) 0x m x m 的一根在 (0,1) 内，另一根在 (2,3) 内， 设 2( ) ( 3 )g x x m x m ，则：(0) 0(1) 0(2) 0(3) 0gggg ，即：01 3 04 2 6 09 3 9 0mmmmmmm 9 分 解得： 203m 10 分 对于命题命题 :t 函数 2( ) l n ( 2 1 )f x m x x 的定义域为全体实数， 则有： 04 4 0mm 12分 解得： 1m 13分 又 st 为真命题，即 s 为真命题或 t 为真命题。 所以所求实数 m 的取值 范围为 203m或 1m . 14分 20. 解：（ 1）设二次函数 2()f x a x b x c ，则 ( ) 2f x ax b . 1 分 由于 ( ) 6 2f x x ，得： 3, 2ab 2 分 所以 2( ) 3 2f x x x. 3分 （ 2）由点 ( , )( )nn S n N 均在函数 ()y f x 的图像上，又 2( ) 3 2f x x x， 所以 232nS n n. 4 分 当 2n 时， 221 ( 3 2 ) 3 ( 1 ) 2 ( 1 ) 6 5n n na S S n n n n n ； 6 分 当 1n 时， 211 3 1 2 5aS . 7 分 所以， 65nan()nN 8 分 （ 3）由（ 2）得知13nnn aab 33( 6 5 ) 6 ( 1 ) 5 ( 6 5 ) ( 6 1 )n n n n 9 分 )16 156 1(21 nn， 11 分 故12nnT b b b 21 )16 156 1(. . .)13171()711( nn 11(1 )2 6 1n . 12 分 要使 1 1 1 1(1 )2 6 1 2 2 ( 6 1 )nT nn 20m （ nN ）成立，需要满足 21 20m， 13 分 即 10m ，所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 14 分 21解： (1)由题意得 0x ，且21() afx xx 1分 显然，当 0a 时， ( ) 0fx 恒成立， ()fx 在定义域上单调递增； 3分 (2)当 0a 时由（ 1）得 ()fx 在定义域上单调递增，所以 ()fx在 1,e 上的最小值为 (1)f ， 即 3 3 3(1 )2 2 2f a a （与 0a 矛盾，舍）； 5 分 当 0a ， ( ) lnf x x 显然在 1,e 上 单 调 递增 ，最 小 值为 0，不合题意； 6 分 当 0a ，221() a x afx x x x ， ( 0 , ) , ( )