（电工理论与新技术专业论文）产生薄片型均匀磁场永磁机构的优化设计.pdf

沈阳工业大学硕士学位论文 1 1 l ed e s 细锄do p t i m i z a t i o no f p e 珊a i l e n t 脚l e ts 仃u c t u r ep r o d u c i n ga s l i c eo f h o r n o g e n e o u sm a g t i cf i e l d m p e m 啵c n tm a g n e tm a g 如l k n 觚蛔a g ：i n g d e v i i sa 虹n d “ a d 朔m e dm e d 玉c a ld i a g n o s t i cd e = v i c e 谢l i c h 咖o b t a i nm ei m a g 豁o f 衄c c i i o r 吐s 踟eo f h u m m b o d y d u et oi 招9 0 0 d0 l 蛾曲髂sa n dl o 、 ，盱m a i m 粕c e ，t h e 锄p l e t e l yo p 融p t 舶m 缸i e n l m a 耐心i s 砒慨蟛t i n gm o 坞锄dm o 她p p l e s 砒屺n t i o nt h em a i nm 耐i s 伽e o f 曲昭 m a i np a r t so fm r i t h cp e 】础珊斌m a g n e t 咖i l c t 嘴嘶o l v 耐i i lt b i sp a p 砌c hc 锄 p i o c i u as h o fh i 瑚o g u sm a 雩皿c t i cf i e l d ，i s j u s t 越，0 l l tt 0u 嬲1 b 喀m a i nm 碰舛c to f 姗础n e d 砒h o w 协o b t a i na 蛐m a i nm a 列蛐，t b i sp a p e rh a sd o n em e 向喇n g 他鲫c hw o r k ： 珊r s t l y ，t h eb a s i so f i n l d i n gt h c1 h f yo f i t e s p 仰鹃s u 血c em e m ) d o i o 舒h d ， 曲峙钺t v 舡血- 窖韶锄dd i 韶d 硼n t a g e so fs e v e m lh n d so fi n t e r p o l 撕b a s i sf i l 蚯咄u s e dt o c 0 础佃】c tr 镪p o n 辩鲫d h c cm o d e li np i 删b 船b 咖跚m m a r i z c d ，a n dk 啊t o 嬲s 岫e 也e s b a p e 肼哦m l c t 朗av d i 圮w h c nu s i n gi 翟l d i a lb a s i sf m k 吐o i la st h ei m e r p o l 撕f h n c t i o nh 嬲 b 黜d i 蚓b s c d 细m o r v 贸r s ma n dt h ei m p l o v e dg 蜘e 如g o 血h m ( g a ) h a wb e 吼 伽衄i b i n e d t o 誉慨a n da n 肿l 【i n d o fo l 砌m i z 抵m e 主h o d w h i c hc 趾l v e 姆m 蛳 丘e i di n v 粥ep r o b l 锄sh 嬲b 咖珥o p o s e d ，a n dw 鹤f m 丘i i e db yp i = o 掣铷珈n i n g s d l y ，t h e 钺i v 孤l t a g e sa n dm 鞠d 、慨n t a g 船o fc l a s s i c a lm t l l 矗州硎v e0 l m m i z a d o n 删h a sb 嘲a n a l y z e d ，m e 枷州硎w 删蛐删h o db a s e d g ah a sb 啪 蜥l e m y 硫o d u c e d f 岫m e 嘶c a l n - p 蝴0 p t 岫眦曲“- v e 咖 酬u 龇e dg a ，t h eo l 硝m i z 撕o nm e i h o dh i s e d p j e 幻n m h 如m i n a 圭e ds 血唱g a ( n s g a ) a n dn ”f 奴e l 砸s tn 伽4 伽i n 砷e ds 0 r t i 玛g a 供s g a - 田h 撇b 咖m a i l d y d i 珊s e 正m v e r ，n 坞r s mw 粥i n 心哦t u c c di n t ot h en s g a - ，w h i c hm a k e st h e m l d d - o 坷。c 吐v e0 l 蚶m i 翻虹o fl a r g em g 蒯c 矗e i d 如v 盯m d b i e mm o e 伍c i e ma n d t i i 鼢、，i n g a tt h e 锄ct i i ma i m e da tt h ec h 蹦| c l 耐啦i co f m e 删a l i 伽so f n ”n s g a _ n o td i s p 般鲫u g h ，l h e 岫则啪s s 嗍咖o ft h en s g a h a sb 咖岫懒砚 n l l 加崩c a l r p 盯i m 即t 陀s l l l t s 曲棚rt h ei 玎邛咖哪e dm 础o di 8 、嘲r ye 缅随既止 一i i i 产生薄片型均匀磁场永磁机构的优化设计 a t l a s t ，ak i n d o f p e 姗曲e n t 城i 鲫s 虹咖w h i c h c 纽聊烛1 c e as l i o f h o m o g a 瑚燃 m 娜m 鲥c 丘c l dh a sb 咖p i 髑加t e d ，a n dap r o c so fs i n g l e - o b j e c 6 v eo p t i n l i z a t i h 嬲b 眦 f m f i l k d a f ho l ，t i m i z a t i o n 也e 托s i l l t sh 钾eb e e n 锄i a l y z e db ye l e c t m a g n e 吐cf i e l da n a l ，m c a l t o o l s ，趣di th 鹤b e e n 班o v e dt h 址t h em a 驴e t i cf i e l dn l 血郴i t y ，t h eh 锄。掣厕t yo fe 扯h l a y 盯锄dt h eg r a d i c n tb c 咖c a c hl a y 盯c o l 埘h i e v et h ed e s i 醇帕1 u i r c 蛐t h i sm a k c s 也em o d e i 锄u 鹤am a i nm a 掣俄o fm r i f m t h 烈m o r e ，am u n i - o 巧髑吐v e0 l 坩m i z a d 蛐 p l o c e 懿o ft h ep 肛n 锄跚tm a 掣l c t 蛐m c t l l 托劬gt h ep i d p o s e dm e t h o dh 鹪b 蜘c o m p l e t e d 锄d t h e s l l l 埝啪础s 玲d i 航n t d e s i 印北q 1 1 i l 捌n 饥乜a n d a 3 d m o d e lb 薯嘲证o n 删m o d e l h 嬲b e 匝盯e 龇e db ya n s 0 f t ，c 锄p a r i s b e t w 黜f i n 如e l e m e n t 卸蛐a l 舱s u l 忸肌d 跚功t c 麟p c r i m 酬m i 招s h o wt h ea n a l 州c a lt l i sv a h 正 k e yw o r d o ：m 瞰，o p e n - ym 咖m a 弘e t r s m ，m u m - o b j t i y eo p 吐m j z a 髓蛆 一i v 独创性说明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 沈阳工业大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表 示了谢意。 签名：逸：丝魄颦望三 关于论文使用授权的说明 本人完全了解沈阳工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的论文在解密后应遵循此规定) 鹳：越导师獬：驻鉴吼啤塑 沈阳工业大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 课题的背景及意义 众所周知，在一个开放的区域里放置磁体，能产生一个非均匀的，发散的磁场，但 这个磁场基本上没有实际应用价值。因为在实际产品中，往往要求在规定的区域内产生 一定强度或均匀度的磁场。例如在永磁电机里的磁场需要固定在特定的区域且有一定的 强度；在磁共振成像仪中的磁场需要有很高的均匀度等。本课题所涉及的薄片型均匀磁 场，是一种特殊的磁场，其特点是在具有一定面积和很小厚度的规定空间内，磁场应达 到很高的均匀度，并且具有一定的强度。为产生这种磁场，需要精心设计磁体结构。本 文的目的正是要设计出一种用于磁共振成像装置中的永磁机构，该机构能产生符合上述 要求的磁场 磁共振成像( m a 驴e t i c 涮娜蛔a g i n g ，简称m 融) ，是八十年代初期发展起来 的一种先进的医疗诊断方法。它通过激发人体中水分子的氢核产生核磁共振，然后收集 核磁共振信号，并用断层成像的形式表现出来f 。人体中的水是体内生化反应和代谢过 程得以进行的基本条件，它存在于细胞内外、血液、和体液中，故水的密度分布、存在 状态和运动情况包含着丰富的人体生理信息。磁共振仪正是通过收集这些水的核磁共振 信号来扫描成像的，它除能显示人体任意断层的解剖图像外，还能显示内脏功能状态和 生化过程信息的空问分布，二十多年来广泛用于医院临床，是诊断肿瘤、急性心肌梗塞 等疾病的重要手段1 2 j 主磁体是核磁共振成像仪韵重要组成部分，它的性能直接关系到仪器的信噪比。磁 场越强，越均匀，成像系统所得的信噪比越高，这样扫描图像的分辨率就越高，图像质 量越好。因此设计好的磁体以产生均匀的磁场十分重要。传统的m 阻主磁体是在封闭 的区域内产生一个球型或椭球型的成像样品区，由于成像区是封闭的，容易使病人产生 幽闭感，且不容易实施介入式治疗。故近年来对m m 磁体提出了提高开放性的新要求。 要在开放式的磁体系统中产生一个高均匀度的“体积型”的静磁场灵敏区域，而同 时与现有磁体系统相比又不会明显地增加磁体的重量是比较困难的。如果放弃传统磁共 振成像仪主磁体的设计模式，而只构建一个薄片型的灵敏区，就将比构建体积型的球型 产生薄片型均匀磁场永磁机构的优化设计 或椭球型容易的多。而且还能大大减少主磁体的体积和重量，使设备成本大幅降低。这 一方面将大大促进我国的磁共振仪的普及，使全民族医疗、健康水平得到提高。另一方 面也能使我国的磁共振成像仪制造工业摆脱受制于人的局面，在国际经济竞争浪潮中赢 得一席之地。目前我国m r i 市场几乎被美国g e ，荷兰蹦l i p s 、德国s e 鲷瑚l 乜公司和 几家日本公司所垄断搠，美国通用电气、德国西门子等跨国公司也已经在我国设立子公 司，吸引我国科技精英人才发展m l u 仪器系统。国内虽有几家m 生产企业，但公司 实力也非常小，而且研发工作很少，在高场强磁共振仪上基本很难与国外跨国企业抗衡。 尽管国外公司在传统m i u 系统设计制造方面拥有资本、人才、技术优势，但在低场的 非常规医用磁共振成像系统的研究上尚处于萌芽阶段，目前还没有得到普遍重视，若能 抓住这一可贵时机，积极开展这一领域的研究，则将对发展我国自己的医学仪器制造工 业起到重要的推动作用。 本课题是国家自然科学基金项目“反传统医用核磁共振成像磁体系统关键问题研 究”中的一部分。此项国家自然科学基金项目主要研究目标是研制一种全新的用于医学 磁共振成像的磁体系统，而本课题的主要内容是研究主磁体的设计及优化。 1 2 目前国内外发展现状 1 2 1 磁共振磁体结构的研究现状 通常磁共振成像仪采用的磁体有常导磁体、永磁磁体和超导磁体三种。其中，常导 m i u 系统由于需要消耗较多电能来产生磁场，其运行费用高，而稳定性又不如超导m 魁 系统，因而正在逐步被淘汰永磁磁体的优点是价格相对便宜、维护简便、无须磁场电 源和杂散场较弱，但是其场强有限、磁场均匀度较差以及灵敏体积相对较小而超导磁 体则更容易产生高场强、高均匀度的灵敏区域，但是其价格较贵，而且维护较为麻烦。 尽管如此，目前超导磁体已经成为磁共振成像和波谱仪器的主流嘲。 鉴于常规m 阻已趋于淘汰，而超导m 心又太昂贵，不利于在我国普及，故这两种 磁共振仪的磁体结构均不在本文的讨论范围。永磁主磁体虽然产生的磁场场强较小，但 对于我国基层医院来说，毕竟成本低廉是第一位，故以下将主要讨论永磁主磁体的结构。 最早的永磁m 魁磁体呈“h ”形，它是一种水平卧式结构，首先应用于f ( ) 嫒公 司的m r j 系统。随着近年来对主磁体的性能提出开放性的新要求，又出现了四柱式永 一2 一 沈阳工业大学硕士学位论文 磁磁体。四柱开放式永磁磁体最早出现于硪1 a c m 公司的o 0 6 4 t 的m 魁系统，这种 磁体结构的最大优点是结构开放、“四面通风”，因此在很长一段时间内成为用量最多 的永磁m r i 磁体。随后，西门子公司推出了电磁式c 型m m 磁体，这使得m 融系统 的开放性进一步提高，也直接导致了c 型永磁m r i 磁体的产生目前，深圳迈迪特公 司已经研制成o 3 5 tc 型单臂开放式永磁m 阻磁体。此外，如果把“c ”字逆时针旋转 。，就成了“u ”字。以色列o d i n 公司对c 型永磁m m 系统作了适当改进，得到了可 在常规神经外科手术室中进行手术导航的u 型永磁m 系统，有力地推动了介入式m 魁 的发展。 “薄片型”医用非常规核磁共振成像仪的创意源自北京大学重离子物理研究所的包 尚联教授，中国科学院电工研究所的车文华博士也对构建片状均匀磁场区进行了研究， 其博士论文嘲于2 0 0 2 年完成，该论文设计出了一个单边磁体模型，其灵敏区域大小为 1 5 3 1 2 删咀3 ，磁通密度的值为o 0 1 6 8 8 叩。尽管其磁场强度较低，均匀区面积很小， 距离医学诊断目的的磁体设计还有很长的路要走，但在这方面开始了可贵的探索。美国 的y u ym p 1 u y e r 等人也在2 0 0 2 年发表论文阐，讨论了开放式或称单侧型( u m l a t c r a l ) 均匀场磁体，在“将磁体放在样品一侧”的问题上其思路与文献【5 】有共同之处，对实现 此类磁体设计思想的可能性做了理论上的进一步探讨，肯定了其可行性。另外，沈阳工 业大学工程电磁场与新技术研究所的张艳丽博士也对构建薄片型磁场进行了深入的研 究，并且设计出了一个能产生薄片型磁场的永磁机构但是，由于问题的难度较大以及 时间、人力、物力的限制，构造高均匀度“薄片型”磁场的问题无论在理论上和实践上 都远未完成，还需要后继者不断的尝试和努力 1 2 2 优化技术的发展现状 磁体设计，即通过给定目标磁场设计出磁体的形状，它属于计算电磁学的逆问题， 是一种特殊形式的优化设计。它是从上世纪年代发展起来的，目前是计算电磁学研 究的热点问题之一它需要经过两个重要的步骤，一是对方案进行磁场分析：二是利用 恰当的优化方法搜索最佳的方案。 目前，在电磁场逆问题数值计算中，分析电磁场通常采用解析解法和数值解法解 析解法在一定条件下能获得精确解，但只能应用于比较特殊的边界情况，对于复杂边界 产生薄片型均匀磁场永磁机构的优化设计 的电磁场问题却无能为力或收效甚微，并且所得的解冗长复杂，较难计算，因此，它的 应用范围受到一定的限制。随着计算机技术的飞速发展，数值解法用得越来越广泛，常 用的数值解法有差分法和有限元法。差分法适用于边界比较规则的电磁场问题；有限元 法可适应各种复杂的不规则边界的情况，是目前工程上广泛应用的数值算法。有限元法 的计算精度取决于网格单元插值函数的阶数、网格剖分的密度及边界条件的处理情况 等，因此如何提高有限元计算的精度也是近年来研究的热点。常用的有限元分析工具有： a n s y s ，a n s o f t 等著名有限元分析软件。由于数值解法存在数据前处理繁琐复杂， 计算精度不易提高的缺点，目前也有将数值解法与解析解法相结合的趋势。 常用的全局优化方法有模拟退火算法( s i m l l l a m e da l 珊蹦i 呜，简称s a ) 、遗传算法 ( g 黜啦灿鲷删脚，简称g a ) 、禁忌搜索法算法( 1 纰u ) 以及最近几年出现的蚁 群算法等忉。其中，遗传算法是应用的最广泛的一种优化方法，它通过模拟自然界的生 物进化过程，依据适者生存的进化规则，以全局搜索的方式来搜索优化群体中的最优个 体，直到求得满足要求的最优解。它与其它随机搜索方法相比，具有算法简单，鲁棒性 强，搜索空间大等优点但是常规的遗传算法也存在着缺点，其中主要的问题是收敛速 度慢，应用于工程上无确定函数表达式的优化问题时目标函数评价时间长等缺点。目前， 为了克服上述缺点，一些改进遗传算法的措旄不断出现，如将二进制编码改进为实数编 码，在选择时引入小生境技术，最优保留技术，逐步减小搜索范围等。这些技术的引入 无疑将使遗传算法更加的完善。 虽然恰当应用这些算法可以得到近似的全局最优解，但对较复杂系统的电磁场逆问 题的分析，它们都有共同的缺点：计算规模庞大且计算时间长。将表面响应模型与随机 类优化算法相结合是近年来电磁场优化问题研究的新趋势，出现了表面响应模型和禁忌 算法相结合的快速全局优化算法跚。这种优化策略采用半解析方式构建目标函数，用对 这一目标函数的寻优，代替每次迭代都进行电磁场分析的寻优方式，从而在可以获得近 似全局最优解的同时大大节省计算时间。另外，由于在工程问题中往往需要同时考虑若 干不同的优化目标，在遗传算法领域也呈现出另外一个研究热点，即多目标优化遗传算 法。著名的算法有s c h a 触的矢量评价遗传算法( g a ) 阴，f 0 越a 和f l e m i n g 的分 级遗传算法( f f g a ) 【l o 】，h o m 和n 娟) l i 砸s 的小生境p 蹦蛐。遗传算法( n p g a ) 【1 n ， 4 一 沈阳工业大学硕士啦论文 s 血i v 私和d e b 的非劣分类遗传算法( n s g a ) 【1 2 1 等。虽然这些算法都在数值实验中得 到了很好的结果，但大都有待于在工程实际问题中进一步验证算法的有效性 1 3 本论文的主要工作 本论文的主要工作可以概括成以下几条： ( 1 ) 详细地介绍了表面响应算法的原理，总结了当前用于构造表面响应模型的几种 插值函数的优缺点，指出多二次曲面函数插值的本质是利用一系列小曲面去拟合实际的 未知曲面。探讨了用径向基函数作插值基函数时形状参数的取法，且将表面响应算法与 改进的遗传算法相结合， ( 2 ) 提出了一种适用于大型电磁场逆问题单目标优化的方法，并且通过c 语言编程 实现。 ( 3 ) 详细地介绍了基于遗传算法的多目标优化方法，分析了经典多目标优化方法的7 优缺点，并且重点分析了典型的非p a 咖方法一向量评估遗传算法，及基于p a f 咖的 方法一非劣分类遗传算法和快速最优保留非劣分类遗传算法( n s g a ) 且将表氲 响应算法引入n s o j a 中，使大型电磁场逆问题的多目标优化变得高效省时。同时针对 n s g m i i 中种群不够分散的特点，将原有的交叉算子进行了改进。 ( 4 ) 提出了一种能产生薄片型均匀磁场的永磁机构，并利用本文提出的优化方法对 其进行了单目标优化，之后利用磁场分析工具对优化结果进行了验证，结果表明优化后 的模型产生的磁感应强度，薄片型磁场沿其厚度方向每层的均匀度，以及每层之间的梯 度均能达到设计要求，使该模型能用作m 魁主磁体并利用本文提出的基于遗传算法 的多目标优化方法实现了该永磁机构的多目标优化，给不同的设计要求提供了不同的选 择结果。通过对实体模型进行三维有限元分析，并对其精确测量，证明了a n s o f t 分 析的有效性。 一5 一 产生薄片型均匀磁场永磁机构的优化设计 2 表面响应算法 2 1 表面响应算法简介 表面响应算法( r e 印s u 舭em e 山o d o l o g y ，简称船m ) 是将数理统计知识用于 建立系统( 装置) 输入输出关系的一种方法【1 3 1 。这种方法需要构造一个易于计算的函 数，该函数根据一系列的采样点( 即系统输入) 估计出系统的响应( 即系统的输出) 。 “响应”可以是任意的具体的未知信息，比如科学试验的结果，有限元分析的结果等。 它起源于1 9 5 1 年，由b o x 和w i l s 蚰共同建立和推导了其数学模式，至1 9 6 6 年在 i i 和 h l m l 盯等的相关研究下，其理论模式的建立与应用趋于完整。在1 9 6 6 年至1 9 8 8 年期间， 与表面响应算法相关的研究延伸到探讨模式的健壮性和正交性、与最优化设计自变量相 关的因子实验或混和实验中的常见问题，以及表面响应算法分析中的正规分析、脊线分 析与双表面响应系统等，这些古典的r s m 研究成果成为以后用于求解实验设计或作业条 件的有利工具，使r s m 广泛地应用于电子、机械、农业、化学工业、生物科技、材料科 学、食品科学及工业流程改善等各项研究领域中。1 9 8 0 年以后，由于计算机仿真技术在 决策科学应用上渐受欢迎，r s m 成为分析复杂系统中重要变量的一项工具。2 0 0 0 年后， 多响应最优化设计与多响应同时最优化问题成为r s m 研究的主流。 一般来说，当系统的输入输出之间的关系十分复杂且系统的输入为多维变量 时，输入输出之间没有明确的函数关系表达式，要对系统进行优化将十分困难。常 用的解决方法是将系统看作一个“黑箱”，将其内部复杂的关系屏蔽掉，而用另外一种 相对简单的函数关系替代二者之间的关系，再对该简单的函数关系进行估计与优化。 骼m 正是这样的一种比较通用的方法【1 4 1 。 i 峪m 基本上分为两个阶段，第一阶段为表面响应模型的设计阶段；第二阶段为表面 响应模型的最优化阶段。在第一阶段中，利用系统输入输出子集内采样点的值进行 曲线或曲面拟合，探讨各自变量与响应变量之间的数学函数关系表达式。先由实验者在 所关心的实验区域内以采样的方式进行实验，得到所需的自变量值与响应值，然后根据 采样点的值，选择合适的插值基函数，构造表面响应模型。目前构造表面响应模型常用 的基函数有低阶多项式( 一阶或二阶) 、有理函数和径向基函数。 一6 一 沈阳工业大学硕士学位论文 2 1 1 利用低阶多项式构造表面响应模型 构造表面响应模型时，采用低阶多项式构造相对比较简单，由一阶多项式构造的函 数形式如下 ) ，= c o + c l 毛+ c 2 屯+ + c i 以+ g ( 2 1 ) 该式又称为线性模型，其中) ，即代表响应( 系统输出) ，而( i - l 2 k ) 即系统的l r 个输 入q ( 瑚，l k ) 为待定的系数，8 为模型的误差。当只有一个输入变量时，构造的 表面响应模型是曲线，当有两个输入变量时，此模型描述的是一个响应曲面，如图2 1 。 当输入变量为三个以上时，此模型描述的是一个超曲面。 图2 1 两个输入变量时的响应曲面 所昏2 1r 船p 鲫i s e 矾缸eo f t 帅、， 鼬l 鹪 当输入与输出的关系无法用线性模型进行精确的拟合时，可以用更高阶的二阶多项 式嘲 t y = c o + c 。而+ 4 # + f ( 2 2 ) mm 其中z 为二次项的待定系数，其它各量的含义与式2 1 中各量相似。一旦确定了输 入输出之间的模型，就可以在取值范围内对输入变量进行优化，从而得到局部最优 一7 一 产生薄片型均匀磁场永磁机构的优化设计 点。由于线性模型形式简单，计算量小，因此对这种模型的优化问题比较简单，一般的 优化算法就可以实现，如梯度法、单纯形法等。其基本流程图如下 图2 2 低阶多项式构造表面响应模型的一般流程图 f 喀2 2m e 铲n c f a l 玎d wc h a f to f c 0 璐咖c t i n g 慨；p 蛐墒m o d e lm l o 、h 帕e l e dp o l y l i 伽l i a l 沈阳工业大学硕士学位论文 上图中，为了合理地对线性模型与二阶模型进行利用，第一个过程利用线性模型拟 合输入输出之间的关系，直到此模型的拟合误差不能满足要求。在第二个过程中， 用二阶模型进行拟合，逐渐缩小输入子集范围直到搜索到全局最优解。 2 1 2 利用有理函数构造表面响应模型 利用有理函数构造的一维表面响应模型的形式如下 虢= 哿= 若曾精 晓， 、d ( r )d o + d l ，+ + d 厶r 4 “+ r 4 式中一和d 分别表示孝在分子和分母中的最高阶数，m 和b 是待定系数，可以用点匹 配法确定利用有理函数构造表面响应模型是一种递归方法，它的支撑点是已知的采样 点，比如已知采样点，o 和吒，在区间【，o ，i 】任选一点，2 ，则2 个初始模型就由这3 个支 撑点确定下来了，即( ，) = o + l ，可以由点( ，孵“) ) 和( ，9 t “) ) 确定， 孵l ( ，) = ( o + l 厂) ( d o + ，) 由点( ，吼瓴) ) 、( ，吼( 吒) ) 和( 吒，婀也) ) 确定这时 再计算2 个初始模型之间的误差，如果小于给定值，则表面响应模型已经构造出来，否 则，将继续加入支撑点，直到满足模型误差【垌。当有两个输入变量时，可以构造二维的 表面响应模型形式【1 7 l 如下 “舻蒜等鬻兰拶 泣4 ， j ，( a ) = 川t o + u a + + f p 矿，= o ，1 ，2 - 朋( 2 5 ) 【b ( = b ，o + q 一+ + b ，_ ，= ，2 棚一2 式中m 和栉分别表示f 在分子和分母中的最高阶数；p 代表f ) ，卢0 ，l 肿l 和 d ，( ，卢o l 肿l 中五的最高阶数，可以设为常数；g 随着支撑点的增加而增加，它 是。似) 和( 的最高阶次。式中分子和分母部分的f 的阶次随着采样过程的深入而 增加，但分子中f 的阶次不会高于分母中f 的阶次当。以) 的阶次到达p 时，下一个 支撑点开始增加三i ) 的阶次，也就是d i _ ( = 仇- o ，同时分母中善的最高阶次升为 朋+ 1 类似的，如果当前的支撑点使分母中m 阶善的系数多项式的阶次到达p ，则下一 一9 一 产生薄片型均匀磁场永磁机构的优化设计 个支撑点将开始增加。+ 。( a ) 的阶次，即。( = 。式2 4 中所有的未知系数都 可以利用在采样区域内匹配一系列采样点来确定，最终是求解类似下式的方程组 m 纠= m ( 2 6 ) 利用有理函数构造表面响应模型较容易构成自适应算法，缺点是程序实现起来比较 复杂，且有病态矩阵问题存在。 2 1 3 利用径向基函数构造表面响应模型 利用径向基函数( r a d i a lb 勰i sf i l n c t i o n ，简称砌强) 构造表面响应模型其实就是利 用现有的散乱数据，选用合适的径向基函数构造一个插值函数，这个插值函数就是一个 表面响应模型。因此本文将首先从径向基函数插值开始研究。径向基函数插值最早源于 k r i g e ，他在1 9 5 1 年把矿藏的沉积看作是一个各向同性的稳定的随机函数的实现，从而 导出了广泛应用于地质领域的k d g i n g 方法，在这方面的进一步深入的理论工作主要是 由m a i l 嘞完成的。1 9 7 1 年 i a r d y 用多二次方法来处理飞机外形设计曲面拟合问题， 取得了非常好的效果1 9 7 5 年d u c h 从样条弯益能量最小的理论出发提出了解决多元 问题的薄板样条函数方法。所有这些方法都是径向基函数的插值方法应用于不同领域的 产物。此外，径向基函数插值除了可以直接应用于地质勘探和外形设计等散乱数据插值 或逼近的领域外，径向基函数还在求解偏微分方程数值解和构造径向基函数神经网络两 个方面得到了很好的应用，并在这些领域发展成了非常有效的方法。 与多项式插值相比，径向基函数插值具有很多优点。例如，当采用相同数目的插值 节点，径向基函数逼近的精度更高；随着插值项的增加，多项式插值中的系数矩阵变化 比较大，不利于计算，而径向基函数的插值中系数矩阵变化很小，计算比较简单。下面 是径向基函数插值的基本过程。 对于任意一组散乱数据k ，z 且4o 胄，卢l ，2 ，给定函数矿：震+ 斗孟，要得 到一个函数b ) 具有如下的形式1 恻 m ) = 窆乃矿舡一吩l i ) ( 2 7 ) j - l 且满足插值条件 沈阳工业大学硕士学位论文 z ：壹乃矿舡。一x 朋 滓l ，2 ， - i ( 2 8 ) 其中，墨代表正数集合，置4o 孟代表舟l 维的乘积空间，是节点个数乃，_ ，= l ，2 是待定系数，矿即为径向基函数，式2 8 是i i a l d y 在1 9 7 1 年提出的，1 9 9 2 年 c a d s 和f o l e y 又提出了更一般的形式 b ) ：艺乃0 卜一_ 1 ) + 杰p 。o ) ( 2 9 ) - l 叫 这里几o ) ，肝吣，l ，| 是x 的多项式形式，求解上式还需要下面的约束方程 p 。( 力= o 所卸，1 ，j ( 2 1 0 ) 其实在实际应用中，这个附加的多项式并不是必须的，因为它并不能代表精度上的 提高，事实上它在某些数据集的插值上还降低了精度。故1 9 9 2 年m a d y c h 将该附加的多 项式改为一个常数口o ，并且由f o k = y 加上了约束条件 ，( ：壹乃妒0 卜一_ 1 ) + 嘞 ( 2 1 1 ) j - l 丑= o ( 2 1 2 增加常数项提高了船f 插值的精度，特别是当数值相近的数据的个数很少时 实际上嘞就代表了数据数值的平均值口1 1 。这样，方程2 1 2 和2 1 3 就组成了一个( + 1 ) ( + 1 ) 的线性方程组，写成矩阵形式： 。办： 九t 屯 毋n t 争n l ll a 办 l鬟 石 五 ： l w o 其中系数矩阵中的元素如= 啦一_ i ) 令 中= 瓴) 名= “，如，如，口o ) r，= “， ，厶，o ) r ( 2 1 3 ) 产生薄片型均匀磁场永磁机构的优化设计 则式2 1 4 可以表示为 似= ( 2 1 4 ) 由此可得 名= o - 1 ， ( 2 1 5 ) 只要矩阵中是非奇异的，则其逆阵m “就存在，这样式2 1 2 中的待定系数五， 产l 二及就能求出，插值函数的表达式就能确定下来了。其实在实际应用中，散 乱数据插值常取为o ，因为这时口0 存在与否基本不影响插值的精度，有时插值的精度 还因口0 的存在而变差，插值精度主要与形状参数有关，这将在后面详述。 常用的径向基函数见下表圆 表2 1 一些常用的径向基函数 t 曲2 1s 粕e r b f i i i m m o n u 函数名径向基函数形式 薄盘样条函数 自然立方样条函数 高斯样条函数 多二次曲面函数 多自然对数样条函数 逆多二次曲面函数 线性函数 指数函数 其中，= 肛一x ，虬表示欧氏范数， 为形状参数。在上表的几种径向基函数中，1 9 7 l 。 z 年 i a r d y 提出的多二次曲面( m u l 佃岫d 魁吐c ，简称m q ) 函数应用最为广泛。利用m q 分析的基本假设是任意光滑曲面都可以利用大量不同的正规的数学上定义的曲面函数 求和近似，并且这种近似可以达到任何精度，特别是二次曲面形式。二次曲面形式虽然 不是最简单的一种，但在不规则曲面的近似上却是最有效的彩l 。1 9 舵年，r 趾k e 对当 时几乎所有的散乱数据插值方法进行了研究，通过精确度、视觉效果、参数的灵敏性、 执行的时间、存储量要求和编程实现的简易性等方面的比较，认为利用 i a r d y 的m q 基 ， o 州埘 ，一一一一，一 沈阳工业大学硕士学位论文 函数的逼近精度最好，其次是d i l c h 的薄盘样条函数。其实m q 函数插值的本质就是 利用一系列小曲面去拟合实际的未知曲面。由于m q 方法的出色的逼近精度及理论研究 上的成熟，本文将选用m q 函数作为插值的径向基函数，用于构造表面响应模型。在这 里要特别指出的是i m f 虽然是基于全局的定义，但是在局部估计上也能得到好的结果。 表2 1 中给出的8 种常用的径向基函数中，有3 种l m f 是包含形状参数i l 的，它们 是多二次曲面函数，多自然对数样条函数和逆多二次曲面函数。形状参数j l 一般是人为 给定或用排除法确定闭，并且与采样点有关，对插值精度的影响较大。因此研究者对形 状参数| i l 的优化展开了广泛的研究，并且给出了不同的优化原则，但是遗憾的是到目前 为止还没有发展成为一般的数学理论。归纳起来，对于参数 的选取不外乎两种观点： 一种是认为参数i l 是与采样点无关的量，即参数厅是常数。c d s 帆和f o l e y 认为l i l 的 最佳值依赖于函数值z ，它与扛0 几乎是无关的。他们给出了一个计算j l 的经验关系式， 但是仍然缺少这方面的理论推导。另一种观点则认为参数 是可变的叨，k 趾豫首先采 用这种可变参数的m q 方法来求解偏微分方程，发现为了获得对应于远点的较小的系数 矩阵而改变i i l 时，精度会得到改进。t a r w a t e f 还发现随着 增加至最佳值，m q 方法的 拟合精度的均方根误差会降至最小值；随后，当j l 继续增加，均方根误差也会急剧增加， 要解的线性方程组就会变成病态的。关于可变参数厅，文献【2 7 】给出了更为详尽的分析 和阐述。本文采用了第一种观点，取_ i l 为常数， 为了得到合适的j l 本文做了下面的数值实验：已知4 4 1 个采样点的坐标值x ，弘石 要求利用这些数据，通过r b f 插值将另外的4 4 1 个点的函数值求出已知的，取自 乜) ，) = s i n ( 工一力，即利用4 4 1 个点的坐标代入该式算出。插值后用m 朋r u 旧绘出了 三维曲面图。图2 3 a 是原始函数的图像，图2 3 b 是形状参数 取o o o l 后的插值函数图 像，比较两个图可知，插值函数的图像基本与原始函数图像一致，这说明 取的比较合 适，值得一提的是：图2 3 b 的插值函数根本就没有加上常数项口o ，图2 3 d 是加上了口。 的插值函数的图像。比较图2 3 b 和图2 3 d 可知，加与否对插值精度的影响很小。图 2 3 c 是i i 取1 时得到的插值函数的图像比较图2 3 b 和图2 3 c 可知，形状参数_ i l 的选 取对插值精度的影响非常大 产生薄片型均匀磁场永磁机构的优化设计 a ) 原始函数的图像 a ) 1 k 矗g i o f i i i i 僦f i | r i c t i c ) 由取l 时插值函数的图像 c ) 1 1 l e 丘蛐o f 娜l 撕f h l 洲址h 蛐l b ) 由取o 0 0 1 后的插值函数图像 ”m 矗g l l r eo f i 岬i 砸o n 如n c t i 吼a l he q l l a l s o 0 0 1 d ) 加上了口0 的插值函数的图像 d ) m 矗霉鹏o f i 岬l 甜矗h 州w b 肋a d d e d 口。 翻2 3 原始函数和插值函数的图像 f 培2 3 血e 矗g 哪o f 嘶g i n a l 缸1 c t i 帆锄d i n t 盱p o l 撕缸洲 2 2 改进的遗传算法 本文选用一种改进的遗传算法作为优化方法，用于对构造出来的表面响应模型进行 优化，遗传算法( g 铋硝c 灿9 0 血h m ，简称g a ) 由美国m i c b i 鲫大学的h o a n d 教授于 1 9 7 5 年首先提出，是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化论的计算模型。它采 用简单的编码技术来表示各种复杂的结构，并通过对一组编码表示进行简单的遗传操作 和优胜劣汰的自然选择来指导学习和确定搜索方向。遗传算法简单实用，适应性好，并 沈阳工业大学硕士学位论文 具有隐含的并行性质，恰当运用遗传算法可以获得全局最优解。 实现遗传算法的过程是，首先，随机产生由一定数目的初始染色体( 即设计方案) 构成的种群，然后，用评价函数( 又称适应值) 来评价每一个染色体的优劣，即染色体 对环境的适应程度，用来作为以后遗传操作的依据。接着，进行选择过程，目的是为了 从当前种群中选出优良的染色体；通过选择过程，产生新的种群，对这个种群进行交叉 操作。交叉操作是遗传算法中主要的遗传操作之一再接着，进行变异操作，变异操作 的目的是挖掘种群中的多样性，克服有可能陷入局部最优解的弊病。经过上述运算产生 的染色体成为新种群。然后，对新的种群重复进行选择、交叉和变异操作，经过若干代 进化，把最好的染色体作为优化问题的最优解。 但常用的标准遗传算法( s g a ) 存在收敛速度慢，不易达到最优解的缺点。本文为 了加快遗传算法的收敛速度，采用了一种改进的遗传算法逐步缩小搜索范围的遗传 算法口羽。该方法在1 9 9 5 年提出，它在原有的s g a 步骤中加上加速循环的措旌，即在收 敛较慢的搜索开始阶段压缩搜索范围。其后在2 1 年金菊良等人又提出了改进的方案 并且命名为加速遗传算法鲫，其实这两种算法在本质上都是一样的，他们都在标准遗传 算法的最后加了一个加速循环的步骤，只不过文献【2 9 】在压缩搜索范围时，用第一次和 第二次进化迭代后所产生的优秀个体的变量变化空间作为变量新的初始变化区间。本文 将采用文献【2 8 】的方案，下面是其详细的压缩搜索区域过程： 首先在第一次迭代以后，找出进化后种群的当前最优解和最劣解，原来寻优的区域 记为i o ，k 。】，j r 。表示原搜索区域的变量的下限，k 。表示原搜索区域的变量的 上限，当前寻优区域记为阢，j 乙。j ，其中j o 表示当前搜索区域的变量的下限，j o 表示当前搜索区域的变量的上限。然后用下面二式进行压缩： 砧= k - + ( 当前最优值一工_ ) 仍 ( 2 1 6 ) 砧= k 。+ ( 五。一当前最优值) ，d ( 2 1 7 ) 式中d 是个压缩因子，必须保证d 2 ，这样才能起到压缩的效果。将该新的压缩后的 搜索区域作为新的搜索区域，如此加速循环，直到满足终止条件。d 的选择对压缩效果 有很大的影响，当d = 2 时是比较快速的压缩方案，每次去掉的区域比较大为了安全 产生薄片型均匀磁场永磁机构的优化设计 起见，可取d = 3 或4 ，但是经搜索范围的压缩后，真值的领域也将相应地缩小，当前 最优值可能会位于真值的领域之外。如果马上进行下一次，就有可能把真值排除在新的 搜索范围之外，所以，在每做一次压缩后，应先迭代几次，使种群对新的环境有个适应 的过程，然后再做下一次压缩。其具体框图见图2 4 。 图2 4 改进遗传算法的流程 f i 昏2 4l h en o wc h a r to f i m p f o v e dg a 沈阳工业大学硕士学位论文 上图中，适应值是与一般优化问题的目标函数相对应，可以等于也可以不等于目标函数。 适应值越大，越接近最优点。种群是编码后的参数集集合，一个参数集又称为一个个体， 表示一个可行解。繁殖是将已有的优良个体复制后添入新种群中，删除劣质个体；交叉 是将选出的两个个体进行交叉，所产生的新个体添入新种群中；变异是随机地改变某一 个体的某个编码后添入新种群中所有这些都和标准遗传算法一样。 2 3 基于r b f 和改进的遗传算法的r 翱 虽然上述改进的遗传算法能够大大的减少寻优时间，但是对于大型的电磁场逆问题 计算时间还是非常长，特别是采用有限元分析( f e m ) 进行函数评价时。将表面响应模 型与随机类优化算法相结合是近年来电磁场优化问题研究的新趋势，这种优化策略采用 半解析方式构建目标函数，用对这一目标函数的寻优，代替每次迭代都进行电磁场分析 的寻优方式；从而在可以获得近似全局最优解的同时大大节省计算时间。本文通过将表 面响应模型和改进遗传算法相结合，提出了一种单目标多变量优化的新方法。具体的执 行过程简述如下： 第一步：离散目标变量的可行域，即在设计变量的可行域内产生一系列采样点，取 每个变量的一个采样点组成一个方案，利用a n s y s 建模，通过a n s y s 的有限元分析 计算这些方案上的目标函数的值，并将方案的采样点坐标和目标函数值保存在文件中。 第二步：读取文件中采样点坐标和目标函数值，并利用这些采样点上的目标函数值， 根据式2 1 5 ，确定式2 1 l 的系数五，产= l ，2 ，) ，将2 ，代入式2 1 l ，并且取口o = o ，即 得重构后的目标函数表达式。至此完成了表面响应模型的构建。 第三步：将重构后的目标函数表达式用于遗传算法的目标函数评价。即利用上述逐 步缩小搜索范围的遗传算法对该重构后的目标函数寻优，当算法找到了最优解，程序终 止。 第四步：将最优解的方案用a n s y s 建模，进行有限元分析并输出目标函数值，验 证第三步的最优解。 上述迭代过程