指数与对数 (初中).doc

指 数 运 算1整数指数幂概念(初中指数概念) 2运算性质：am.an = am+n (m，nZ) （am）n = amn (m，nZ) (ab)n=an.bn(nZ) aman可以看做am.a-n=am-n aman=am.a-n=am-n可看作 =3、进入高中后，将指数的概念由整数推广到有理数，又推广到全体实数，从而得到：（1）正分数指数幂的意义: (a0,m,nN*,且n1) （2）负分数指数幂：= (a0，m,nN*,且n1) （3）0的正分数指数幂等于0. 0的负分数指数幂无意义. （4）运算性质：am.an = am+n (m，nR) （am）n = amn (m，nR) (ab)n=an.bn(nR) aman=am.a-n=am-n=4、由于分数指数的引入，使得根式与分数指数幂可以互化。分数指数幂实际上就是根式的另一种表示形式，根式的意义也得到扩充：（1）定义：若 则x叫做a的n次方根。 记做，即x=。正数的正的方根，叫做算术根。零的算术根规定为零。负数没有算术根。这里的叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数。*理解：“算术根”中的“算术”，理解为“非负数”（因为小学里的“算术”课不研究负数，因此而得名）。（2）性质：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数记作： 当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）。记作： 。负数的n次方根在实数范围内不存在。即负数没有偶次方根。注：0的任何次方根为0（3）根据n次方根的定义，得到三组常用公式：当n为任意正整数时，()=a.例如，()=27，()=-32.当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.例如，=-2，=2；=3，=|-3|= -（-3）=3根式的基本性质：，（a0）.即=注意，中的a0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如.用语言记住上面三个公式： 实数a的n次方根的n次幂等于它本身. n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根等于a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根等于a的绝对值。若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变。（4）由于根式与分数指数幂可以互化。很多根式运算可转化为指数运算。指数运算也可转化为根式运算（便于进行分母有理化等运算）。练习：= = = = = = =解方程对 数一、如果ab=N（a0，且a1），那么数b叫做以a为底N的对数，记作log a N=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。以10为底的对数叫常用对数，记为lgN。以e为底的对数称为自然对数，记为lnN, e是一个无理数（无限不循环小数），e=2.71828根据对数定义知道：1、loga1=0 logaa=12、负数和零没有对数。 二、对数的运算性质：（1）logaMN= loga M+ loga N; （2）loga= loga M- loga N; （3）loga Mn=n loga M（nR） （4）两个换底公式：logN M=(b0且b1） (5) a=n 证明： 设a=nx ,则a=（nx）=n（x）=n =n (6)对数恒等式：a=N; =b （7）三、对数式与指数式的关系对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。它们的关系可由下图表示。 例: 1求值:(1) (2) 解:(1) (2) 2求值:(1) (2) (3) 解:(1) (2) 。(3) 法一： 法二： 3已知:log23=a，log37=b，求:log4256=? 解: ， 练习:12 3、已知:lg2=a，lg3=b，求:log51