（工程热物理专业论文）含相变微粒流体rb自然对流稳定性研究.pdf

摘要 在能源形势日趋紧张的今天，节能具有极其重要的意义。作为一种能强化对 流传热的相变储能材料，含相变微粒乳胶液具有很大的实际应用价值。本文主要 对含相变流体微粒r a y l e i g h b 6 n a r d 自然对流的稳定性进行了研究。 在不考虑边界影响的情况下，采用g a l e r k i n 方法对相变流体的热启动问题进 行了理论分析，得到了近似的解析解，并推导出了适于工程应用的临界数足口盯 计算公式。通过和已有数值解的对比，相对误差小于6 ，验证了其正确性。 在考虑边界影响时，采用数值微分方法对线性稳定性进行了求解，得到了临 界雷利数尺，同时对边界条件各种参数，如导热系数，厚度等对r 的影响进 行了数值求解分析。得到了不同边界条件下的临界参数，以及临界雷利数r a 仃 随相角帅比热容变化波幅b 的变化趋势。结果表明：和不考虑边界影响时的情 况相比，临界雷利数r 口仃随相角泖比热容变化波幅b 的变化趋势基本相同，但 是临界雷利数的值会随着边界条件的不同而改变。 格子波尔兹曼方法是近几十年来发展起来的一种新的数值计算方法。和传统 的数值方法相比，它具有很多优点。在对格子b o l t z m a n n 方法的概况、模型以及 边界条件处理等问题做了简要介绍的基础上。尝试采用l b m 对几种典型结构下 的流动和传热进行了模拟计算，通过与前人的结果进行对比，验证了程序的正确 性。先后对比热和粘度随温度变化的流体的r a y l e i g h b 6 n a r d 对流进行了初步模 拟计算，证实了通过改变r ，和l 来改变流体的粘度或者热扩散系数的方法的可 行性。同时，阐述了现有l b m 模型在研究复杂流体自然对流稳定性上的一个困 难。 在本文的结尾，基于本课题研究中遇到的问题，对今后的进一步研究提出了 建议。 关键词：相变流体自然对流热启动格子b o l t z m a n n 方法 a b s t r a c t i ns u c ha na g ea st h es h o r t a g eo fe n e r g yb e c o m e sm o r ea n dm o r es e r i o u s ，i ti so f g r e a ti m p o r t a n c et oa d v o c a t ee n e r g yc o n s e r v a t i o n a sak i n do fm a t e r i a lw h i c hc a n s t o r et h ee n e r g yv i ap h a s e c h a n g i n g ，t h em i c r o e n c a p s u l a t e dp c ms l u r r yc a na l s o e n h a n c et h e c o n v e c t i v eh e a tt r a n s f e rp e r f o r m a n c e 。i th a sap r o m i s i n gp o t e n t i a li nt h e p r a c t i c a la p p l i c a t i o n t h en e u t r a li n s t a b i l i t yo fr a y l e i g h b d n a r dc o n v e c t i o ni ns u c ha f l u i di ss t u d i e di nt h i st h e s i s w h e nt h eu p p e ra n dl o w e rb o u n d a r i e sa r et a k e nt ob ec a s eo fp e r f e c th e a t c o n d u c t o r s ，t h eo n s e to fr a y l e i g h b d n a r dc o n v e c t i o ni naf l u i dl a y e rw i t h p h a s e - c h a n g e - m a t e r i a lp a r t i c l e si sa n a l y z e du s i n gg a l e r k i nm e t h o d a na n a l y t i c a l s o l u t i o nh a sb e e no b t a i n e da n daf o r m u l as u i t a b l ef o rt h ee n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o nt o c a l c u l a t et h er a y l e i g hn u m b e rr ai sd e d u c e d i t sc o r r e c t n e s si s p r o v e db yt h e c o m p a r i s o nw i t ht h ep r e v i o u sn u m e r i c a lr e s u l t w h e nc o n s i d e r i n gt h ei n f l u e n c eo ft h eb o u n d a r i e s ，t h ec r i t i c a lr a y l e i g hn u m b e r r 钻i so b t a i n e dt h r o u g ht h es o l u t i o no fl i n e a rs t a b i l i t yb yan u m e r i c a ld i f f e r e n t i a l m e t h o d a tt h es a m et i m et h ee f f e c t so fv a r i o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n so n 灭铅a r e i n v e s t i g a t e d t h er e s u l ts h o w st h a tt h et e n d e n c yo fr sv a r i a t i o nw i t ht h ep h a s e a n g l e 罗a n dt h ea m p l i t u d ebi st h es a m ea st h es i t u a t i o nw i t h o u tb o u n d a r yc o n d i t i o n s b u tt h ev a l u eo f r a = w i l lv a r yw t hd i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s l a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o di san e ww a yo fn u m e r i c a ls i m u l a t i o nd e v e l o p e di n t h el a s tf e wd e c a d e s ，w h i c hh a sm a n ya d v a n t a g e so v e rt h et r a d i t i o n a ln u m e r i c a l m e t h o d i t sb a s i c si n c l u d i n gt h e b a c k g r o u n d ，m o d e l sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n t r e a t m e n ta r eb r i e f l yi n t r o d u c e di nt h i st h e s i s s e v e r a lt y p i c a lp r o b l e m si nf l u i df l o w a n dh e a tt r a n s f e r , s u c ha st h el i d d r i v e nc a v i t yf l o w , p o i s e u i l l ef l o w , c h a n n e le n t r a n c e f l o ww i t hd i f f e r e n tt h e r m a lb o u n d a r yc o n d i t i o na n dr bc o n v e c t i o na r en u m e r i c a l l y s i m u l a t e db yl b m ，t h er e s u l t sa r ev a l i d a t e db yc o m p a r i n gw i t ht h ep r e v i o u sw o r ki n l i t e r a t u r e t h er a y l e i g h - b r n a r dc o n v e c t i o nf o rf l u i d sh a v i n gav a r i a b l ev i s c o s i t yo r s p e c i f i ch e a ti ss i m u l a t e d t h er e s u l ts h o w st h a ti t sf e a s i b l et ou s el b mt od e t e r m i n e t h ec r i t i c a lc o n d i t i o n sf o rf l u i d sw i t hl a r g e f l u c t u a t i o no ft h e r m a lp r o p e r t i e sw i t h t e m p e r a t u r e ，b u ts o m ei m p r o v e m e n ta r en e e d e df o rt h ea v a i l a b l el b mm o d e l si n s t e a d o fb yc h a n g i n g1 7 fo r 1 7 9 a l o n e f i n a l y ，s e v e r a ls u g g e s t i o n sa b o u tt h ef u t u r ew o r ki nl b m m e t h o da r ep r o p o s e d b a s e do nt h ep r o b l e m se n c o u n t e r e dd u r i n gt h er e s e a r c h k e yw o l m s ：f l u i dw i t hp c m ，n a t u r a lc o n v e c t i o n ，i n s t a b i l i t y , l a t t i c e b o l t z m a n nm e t h o d 符号袁 英文字母符号 符号表 g e l a r k i n 方法中函数展开式的系数 g e l a r k i n 方法中函数展开式的系数 变比热流体中相变物质的相变波幅 = l n ( ) ，流体最大和最小粘度比值的对数 定压比热容，j ( k g k ) = ( 气，) ，l b m 中粒子的离散速度，m s 声速，m s 内能密度 密度分布函数 离散的密度分布函数 温度分布函数 离散的温度分布函数 重力加速度，l s 2 r a y l e i g h b 6 n a r d 自然对流中两平板间流体的高度，m 波频数 努塞尔数 压强，p a 普朗特数 = c y c p ，0 ，无量纲比热容比 普适气体常数 流体导热系数和平板导热系数之比 雷利数 温度，k 流体的速度，m s 流体中的速度绕动量，m s 空间坐标位置 垂直方向坐标 6 l 砚玩6 c g 一白 瓯 p 厂石 g 昏一b o 日 后 m p n q 尺 r 砌 丁 ” 矽一工 z 符号表 希腊字母 口 热扩散率，脚2i s 五 导热系数，w i r e k 口 热膨胀系数 p 运动粘度系数，坍2 s u 格子波尔兹曼分布函数中的权重系数 下，r 、壬， = ( 粤) 石，变比热流体发生相变时的相角 一j i n i o 6 平板的厚度和流体厚度之比 p 密度，k g l r a 3 f ，密度分布函数恢复到平衡态所需的松弛时间 t 温度分布函数恢复到平衡态所需的松弛时间 o 流体中的温度扰动量，k 角标 c r e q l u 临界值 平衡态 下平板 上平板 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤注叁堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论支作者签名：蝴签字日期：2 。了 年6 月j 上日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞苤堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：蝴 签字日期：2 唧年6 月l 箩e l 导师签名：- = 壹藉矿各易 签字日期：唧年石月日 第亭结沦 1 1 研究背景和意义 第一章绪论 能源是人类社会赖以生存的物质基础，是经济和社会发展的重要资源。人 们的各种生产活动和日常生活都离不开能源。中国要实现现代化，在很大程度上 取决于能源的供应和有效利用，因而它是我国现代化建设的战略重点。 中国是能源资源严重短缺的国家。石油、天然气人均剩余可采储量仅有世界 平均水平的7 7 和7 1 ，储量比较丰富的煤炭也只有世界平均水平的5 8 6 。 按目前探明储量和开采能力测算，中国煤炭、石油、天然气的可采年限分别只有 8 0 年、1 5 年和3 0 年，而世界平均水平分别是2 3 0 年、4 5 年和6 1 年。 近年来能源消费急剧增长，供需矛盾日益突出，已经成为中国经济社会持续 发展的最大制约，直接威胁国家经济安全。2 0 0 6 年煤炭产量达2 1 9 亿吨，比2 0 0 0 年翻了一番，仍不能满足需要。石油净进口量由2 0 0 0 年的0 7 6 亿吨，迅速增长 到2 0 0 6 年的1 4 3 亿吨。 与能源短缺形成强烈反差的是，能源浪费惊人。近年来单位国内生产总值能 耗不降反升，按2 0 0 0 年价格计算，2 0 0 3 年至2 0 0 5 年分别为1 3 0 、1 3 6 、1 4 3 吨 标准煤万元，2 0 0 6 年与2 0 0 5 年持平。 目前，我国能源形势相当严峻，节约优先的方针没有得到落实，节能工作远 不能适应中国能源短缺的基本国情和中国经济社会发展的基本要求。 在能量利用形式中，热能占有很大的比例，因此减少热能利用过程中的能量 损失，对于节约能源具有非常重要的意义。热量的传递过程是热能利用中非常重 要也是必不可少的一步，而对流换热则是热量传递的一种很常见的方式。 对流换热的强化可以通过两种途径来实现：第一种是改变换热表面的形状来 增加换热面积，即所谓的被动方法；第二种是增强流体或者对流换热介质的换热 性能，这种流体被称为功能性热流体。 实际上，所谓的功能性热流体分为显热型功能热流体与潜热型功能热流体两 种，前者是不含相变材料的流体，而后者是含有相变材料的混合流体，如冰水混 合流体、相变微粒乳液、相变微胶囊悬浮液等。含相变微粒乳胶液就是这样的一 种把微小的相变物质颗粒( 体积平均直径可小于l l u n ) 通过胶囊化分散在水中， 形成既能流动又能增强蓄热能力、甚至强化对流传热的有多重功效的功能性热流 体，是一种相变储能材料。 第审绍沦 相变储能材料及其相关传热机理研究在涉及宇航、空调制冷、供热工程、太 阳能热利用、建筑节能和纺织等诸多领域中有重要的应用价值，因此是传热工作 者特别感兴趣的研究课题之一。但与此相对应的，迄今为止已投入大规模商业运 行的相变储冷技术只有冰蓄冷。其它如有机化合物相变储冷，由于各种原因使用 范围很有限，水合物储冷技术尚处在理论和试验研究阶段。在相变储热材料方面， 中低温范围内多采用无机水合盐，它的缺点是传热较差，过冷度大且容易发生相 分离而导致储热能力降低。高温相变储热材料的应用则更加少见。 在传统观念上，储热( 冷) 材料和热( 冷) 输运流体一直是从功能上割裂开来考 虑的，即用一种材料作为储热( 冷) 材料，再由另一种流体通过换热设备取出热( 冷) 量。这种储( 放) 热( 冷) 方式造成了两个不利结果：首先，如果储热( 冷) 材料储热 ( 冷) 后呈固态，则其传热速率会受到严重限制，从而不能适应储热( 冷) 系统动态 负荷快速变化的情况：其次，储热( 冷) 材料与热( 冷) 输运流体之间的换热温差无 疑抬高了对热( 冷) 源的温度要求，从而对整个系统的效率带来不利影响。 由上述内容稍加推论就可发现，如果储热和传热功能可以由同一种材料实 现，就可以省掉一次换热过程，从而提高储热系统的效率。如果这种材料还兼具 强化传热的效果，就可以使储热系统的性能得到大幅提高。含相变微粒乳胶液由 包裹相变材料的微胶囊颗粒与载流体组成，融储热与传热环节于一体，恰是这样 一种潜热型功能热流体。 与一些传统意义上的储热及传热介质相比，含相变微粒乳胶液作为相变储热 与传热流体的主要优点是：实现了储热材料与热输运流体的统一，使得换热环节 减少一次，提高了系统的效率和能量的品质；它在小温度区间内吸收或释放潜热， 从而具有很大的表观比热容和很高的热量储存密度，使得所需要的泵送功率相应 减小；由于微对流效应，它的有效导热系数比单相流体大，而其表观比热容又比 单相流体大很多，于是对流换热的表面传热系数得以大幅提高；可以在基本恒定 或者事先预设的温度区间内实现储热和放热，使得系统的运行温度保持稳定；微 胶囊化导致固液间换热的比表面积非常大，使得换热速率得以提高；微胶囊化的 芯材与外界隔离，使得相变材料的长期存放和使用问题得以解决。因此，这种相 变多功能流体的储热和传热性能的理论研究在涉及传热、通风与空调( h v a c ) 制 冷和热交换器等诸多领域有着重要的实用价值，同时对于节能也具有重大的意 义。 对流换热可以分为强制对流和自然对流两种形式。自然对流是依靠温度或浓 度不同引起的流体密度不同，产生重力驱动的一种流动，由于这一问题涉及到许 多自然现象及工业技术问题( 比如大气层、海洋、浅层地幔内的热对流现象，太 阳能的利用、铸造、低温核供热、液晶制作等工艺过程) ，一个多世纪以来对其 第一章绪睑 研究从未问断过”。r a y l e i g h ，b 6 n a r d 分别从理论和实验上，首先研究了这种水平 放置的流体层的在有温差浮力作用下的流动，后来将这种流动称为 r a y l e i g h b 6 n a r d 对流。这个问题也是个典型的非线性问题，当四周绝热，下表面 的温度高于上表面的温度时，冷流体位于热流体的上方，即密度较重的流体位于 密度较轻的流体之上。虽然此时下部的热流体有上升的趋势。，但是在流体自身的 温度扩散和动量扩散的双重作用下，形成自然对流需要超越一定的条件，只有当 以封闭腔高度为特征尺度的r a y l e i g h 数超过某一临界值后，流体温度的水平分层 结构会丧失其稳定性，出现对流涡，如b 6 n a r d 图斑。 设计模拟流体运动和传热的数值方法有两种途径，即基于宏观连续模型的方 法和基于微观离散模型的方法。传统的计算流体力学中的数值方法大多是基于宏 观连续模型的方法设计的。这类方法以非线性的微分方程为出发点，采用有限差 分、有限体积、有限元或有限谱等离散方法对微分方程进行离散，得到代数方程 组或者常微分方程系统，然后再用标准的数值方法求解。虽然这类方法比较直观， 但仍然存在许多不足。例如，在这类方法中，人们往往着重分析从连续微分方程 到离散代数方程的截断误差，而忽视了离散过程中某些物理量的守恒。对某些系 统而言，为了得到合理的结果，这种守恒性要求是非常重要的。另外，数值稳定 性也是这类方法的一个重要问题。 与上述基于宏观连续模型的方法不同，基于微观离散模型的方法的出发点是 流体的微观离散模型。我们知道，流体的宏观运动是大量流体分子微观运动的统 计平均结果，单个分子的运动细节并不影响宏观运动的特性。例如气体和液体有 完全不同的微观分子结构，分子的运动方式也大不相同。但是，对于同一类流体， 只要流动的雷诺数相同，气体和液体的流动特性是完全相同的。因此，我们可以 构造这样一种人工微观模型，即使其在保持真实流体的基本前提下，结构尽可能 的简单，粒子运动的细节尽可能简化，且其宏观统计特性符合客观运动规律。这 样，我们就可以借助这种人工微观模型模拟真实的流体系统。近年来的备受人们 关注的格子方法( 包括格子波尔兹曼方法及其前身格子气自动机) 就属于这类模 型。 在格子方法中，流体被抽象为大量的微观粒子，并且这些粒子根据某些简单 的方式在规则的离散格子上碰撞和迁移。通过对粒子的运动进行统计，就可以得 到流体的宏观运动特性。从离散的网格来说，格子方法具有欧拉方法的属性；从 离散的粒子的观点来说，格子方法又有拉格朗日方法的属性。格子方法的这种粒 子特性也使其具有许多常规数值方法没有的独特优点，如物理图像清晰、边界处 理容易和本质并行等。格子方法还提供了联系宏观和微观的可能性和现实性。它 既能直接计算流体的粘性和热扩散系数，又可在一定条件下逼近n a v i e r - s t o k e s 第亭绍沦 方程。同时，格子方法这种用简单模型实现复杂系统的数学建模方法，也打破了 传统的建模概念，为其它复杂系统的建模提供了新途径。 1 2 国内外的研究现状 尽管目前对r a y l e i g h b 6 n a r d 热对流稳定性问题的研究文献较多，但在热物 性的变化对热对流稳定性的研究中大部分都是针对粘度随温度的变化，而对其它 热物性随温度变化对稳定性影响的研究较少。s t e n g e l 拒1 等对粘度是温度的强函 数即指数函数的流体和p a l m - j e n s s e n 流体的热对流启动问题进行了较系统的理 论分析。在小温差下其它热物性随温度线性变化的假设是适宜的，前人也进行了 研究。但热物性随温度线性变化的假设对含固液相变颗粒的流体不合适，将对结 果带来很大的误差。戴传山对表观比热是温度的强非线性函数流体的热稳定性问 题通过数值方法进行了研究口1 。但是这些结果都是数值解，物理意义不太清晰。 同时，在上述研究成果中，都没有考虑边界条件的影响。在实际问题中，当 边界平板的厚度较小或导热系数相对较大的时候，这样做是完全可以的。但在实 际问题中，会遇到各种各样的情况，因此我们有必要考虑边界的影响。在考虑边 界条件影响时，p c e r i s i e r t 4 】等对比热为常数的流体的自然对流热启动问题用 b u b n o v g a l e r k i n 方法进行了求解。而对于比热随温度变化的流体考虑边界条件 影响的情况，目前还没有文献进行报道。 格子b o l t z m a n n 方法是最近二十几年才发展起来一种新的数值计算方法。虽 然其提出的时间不长，但是由于其具有方程演化过程简单清晰，易于实现并行运 算，边界处理容易实现等独特的优点，已经在流体力学、多相流、化学反应扩散 等许多领域得到了迅速的应用和发展。在以往的研究中，它所模拟的多是常物性 的流体，对于比热容随温度变化的流体，至今还没有人进行研究。 1 3 本文的主要工作 根据r a y l e i g h b 6 n a r d 自然对流稳定性问题的国内外研究现状，在本文中认 为含固液相变颗粒流体的比热容随温度的变化函数为正弦函数，有针对性地对以 下前人没有做过的问题进行了尝试和研究： 1 、在不考虑边界条件影响的时候，采用b u b n o v g a l e r k i n 方法对含相变颗粒 的流体的r a y l e i g h b 6 n a r d 自然对流稳定性进行了研究，并提出了适于工程应用 的计算临界雷利数r a 。，的关系式； 第 亭结论 2 、在考虑边界条件影响时，采用数值微分方法对含相变颗粒的流体的 r a y l e i g h b 6 n a r d 自然对流稳定性进行了研究，并与以往的结果进行了对比，对 影响l 临界雷利数r a 。的因素进行了分析； 3 、对格子b o l t z m a n n 方法，包括其模型和边界处理等进行了介绍。并应用 格子b o l t z m a n n 方法对变物性流体的r a y l e i g h b 6 n a r d 自然对流问题进行了模拟 计算，与以往结果进行了对比，同时发现了格子b o l t z m a n n 方法现有模型所存在 的一些缺陷。 第章模型的建市 2 1 物理模型 第二章模型的建立 2 1 1 相变流体的热物性 含相变颗粒乳胶液是一种很有节能潜力的功能性热流体。对于这种流体，可 以认为其密度随温度线性变化即满足b o u s s i n e s q 假设，表观比热容和温度满足一 定的函数关系，其余物性参数均不随温度变化。 由于p c m 流体中相变物质的存在，流体的有效比热( 或称表观比热) 在一 定温度下有个峰值。在没有发生相变时，比热随温度的变化不大，可以视为常数。 但相变物质发生融化和凝固时，有效比热会随温度剧增，在某个温度下达到最大 值，然后开始下降。相变温度的范围主要与相变物质的成分及百分比有关系。 文献【5 】中指出，对于此类流体，根据实验数据拟和的结果，其比热容满足 高斯分布函数和正弦函数两种函数分布。 对于高斯分布函数，有： c 。= 3 8 8 + 7 5 7 e - 0 1 2 5 ( r 一4 6 0 5 r，、 ， l z l ， 图2 1 中所示的是实验数据和拟和公式的对比情况，由图中我们可以看出实 验所得数据和由公式( 2 1 ) 作出的曲线完全吻合，从而验证了其正确性。 o 。 里 ：， 王 ( ) 4 7 - ( o c ) 图2 1 含相变颗粒流体的比热容和温度的关系 6 第_ 亭模型的建市 为了得剑通用的关系式，对公式( 2 1 ) 中的四个拟和常数重新组合，将其 减为两个并无量纲化，可得： q = l + b e x p 一c ( 詈于一 ) 2 卜e x p ( 一号) ) ( 2 2 ) 其函数曲线关系如图2 1 和图2 2 所示。 ( 7 i 丁m h m l f l h ) 图2 - 2 不同b 值时根据公式( 2 2 ) 得到的拟和曲线 对于正弦函数分布，有： q = 1 + b s i n ( g = ) ，( 2 3 ) 在本文中，我们认为流体的无量纲比热比qec y q 。o ) 随温度遵循正弦函数 变化。 其中，g ，o 为参考比热容，本文取流体层冷却板温度下的比热容。b 为实验 拟合常数，b 值的大小反映流体内相变物质的潜热与在此温度范围内的显热的比 值，b 值越大意味着相变物质的浓度越大或相变过程中的焓值变化越大。油相 角，0 沙：( 二 土吐彷= x c 。在= 1 r r 2 时表示加热表面处有最大的比热容， 7 二一了 而当降t t 时加热表面和冷却表面有着相同的比热容。瓦i 。是由于p c m 的熔化而 造成的比热容开始增加时的温度，乙是表观比热恢复到初始值即 e i 强。2 q l r ；啊时的译度。对于本文中的流体，t 可以看作是部分p c m 开始 熔化时的温度，瓦。是p c m 全部变成液体时的温度，其中大部分的p c m 在温度 为( 。+ 矗a x ) 2 时熔化。瓦和死分别是流体上下边界的温度，当瓦= m 并且 t h = 时= 兀，对应的是一个完整的相变周期。此时p c m 在下平板的表面开 始成液体，在上平板的表面凝结为固体。这种工况可以通过调整上下平板的外表 7 第一章模型的建立 面黻辅兀来觌于是无量纲的峨于- ( 箍 ； 1 z 。在初始导热状 态下，温度是流体层高度的线性函数，因此o 也是高度的函数。 2 1 2 几何条件和边界条件 z 图2 - 3 物理模型示意图 死 下 丁 i d 土 下 l d i 上 r a y l e i g h - b 6 n h r d 对流问题是一个经典的复杂物理现象。r a y l e i g h ，b e n a r d 首先研究了一种两块水平放置的平板间的温差浮力流动，后来将这种流动称为第 一类自然对流或者r a y l e i g h b e n a r d 流动。而相应地，将两块竖直平板间的流动 称为第二类自然流动。这两类对流流动的唯一本质差别是前者的温度梯度和重力 方向平行，而后者则是温度梯度和重力方向垂直。 在本文中，我们主要对上下分别由保持恒温的固体面冷却和加热，中间充满 含相变颗粒乳浊液的自然对流进行研究。这种模型无论是在几何形状还是在边界 条件上都十分简单，然而正是由于这种结构上的简单易行使其可以很方便的在实 际问题中得到应用。 考虑两个中间充满变比热流体的无限大水平平板。如图2 3 所示，上下平板 的厚度分别为玩和西，导热系数分别为常数九和 。中间的变比热流体厚度为d ， 密度随温度线性变化且满足b o u s s i n e s q 假设。上下平板的外表面温度分别恒为 兀和乃，其中乃) 兀。因为上下两平板和中间的流体都具有恒定的导热系数， 因此在初始的稳态导热阶段其温度分包为图2 3 中所示的三段直线。 g 第_ 章模型的建寺 c o o l i n gp i a t e 1 0 ：i + b2 ) 。 h 6 叼p 。越。 i c o o l i n gr a i e 0 i l + 6 口 、 。 i h n n gp a t e c o o l i n gr a t e 0i l + b q i ，l 一 。 i h e a t i n gp i a t e 图2 - 4 不同下平板加热温度下q 和温度的曲线关系 取= 乃，则对应于不同的下平板加热温度q 有三种分布曲线。图2 4 所 示分别是( a ) | l c ， 时 情况。 其对应的表达式分别为： c 1 时，q = l + 6 s i n 刀c ( 妄一z ) (2-4) 二 此时表示加热的温度在相变温度范围内。 c 1 时， q = - ，一三s z 2 所 其中： 历2q l 。吃a s 3 - a l , 口4 3 p2 - a q ，一 h i 呸2 q 3 钆 g2a 3 1 口4 2 口1 3 旷等，q ，= 之矿一矿艮i 3 k 4 ，= 篙，= 一警一孚一篙 石2 + k 2 g t t ， 0 3 32 a 3 42 t 2k 2 2 一i i 三+ 丝 c ：1 3 万8 1 + 鱼c ：3 3 石8 46 6 s i n t c c 磊卜仃( c 2 - 1 ) ( c 2 - 9 ) 一昙6 ， 8 三玩 1 6 。 6 6 s i n 石c x ( c 2 4 ) ( c 2 1 6 ) c l 且c 3 c = 2 c = 4 c 2 且c 4 1 3 第三章h i 考虑边界影响h 寸f ng a l e r k i n 解 2 4b 一1 5 z + 丙， 4b 1 5 z + 3 2 ， 4b t 5 n 1 6 c = l c = 3 c = 5 壶+丽6bsi矿nrcc而(c2-5)x(c2 5 ) ，其它情况 1 5 万 2 一1 ) ( c 2 9 ) ( ( c 2 一 ( 4 3 u 3 4 其余项q 2 ，0 1 4 ，a 2 l ，a z 3 ，a 3 2 ，a 4 i 皆为零。 由此我们可得砌和k 的关系式r a = f ( k ，色6 - 3 。对于每一个固定的b 和c ， 当k 从0 到无穷大变化时，可以求得对应的r 口值，找出其最小值，即为r a 的 临界值瑞利数凡鼬。同时，r 风，所对应的k 值，即为其临界波频数k 。 经推导计算可知，采用这种函数形式逼近的计算结果平均比数值解啼1 高6 左 右。去掉展开式中的第二项，即采用 r v = b os i n 2 舵，o = a o s i n 石z( 3 - 8 ) 则矩阵彳变为：么：fq l 砌a l ，1 ( 3 9 ) l 口3 l巳3 令l a l = o ，则肋的表达式进一步简化为： r 口：鱼2 ：鱼2 ( 3 1 0 ) o l l a 3 3 通过计算验证发现，这种形式下的计算精度并未降低太多，因此完全可以在 工程应用中使用式( 3 1 0 ) 进行计算。 3 1 2 正弦函数展开 对于余弦函数展开，由于函数s i n m x 和函数c o s 饭在区间 丌，丌】上是正交 的，且s i n m x c o s n x 是该区间上的奇函数，所以在区间 0 ，t t 】上的积分为0 ，从而 消去了某些展开项，会增大误差。然而对于s i n m x 和s i n n x 则不存在这个问题， 故采用正弦函数对其进行展开，即： o = ( a 0 + qs i nx z ) s i n 万z ，= ( b o + 岛s i n z z ) s i n 2 肥 ( 3 1 1 ) 得到带有参数r 口，k ，a d ，a j ，b o ，b l 的函数式五( z ) 、2 ： 石( z ) = a o r a k 2s i n z z + a l r a k 2s i n 2x z + 6 0 ( 8 x 4 + 4 z m k ) c o s 2 z z k 4 s i n 2x z + 包【( 詈万4 + 3 n 2 k 2 ) s i n 3 z z + ( 妄万4 + 3 2 2 k 2 ) s i n z z c o s 2 z z k 4 s i n 3x z ( 3 1 2 ) 五( z ) = 一a o ( x 2 + 足2 ) s i n n ? z + a , ( 2 2 2c o s 2 z z - k 2s m 2 x z ) + b o q s i n 2x z + b i q s i n 37 r z ( 3 1 3 ) 第三章小考虑边界影响时的g a l e r k i n 解 采用和3 3 1 中相似的步骤，可得： 其中 一p 一 2 m m 2 a i i a 2 2 a ，3 a 4 4 - a l l a 2 2 a 3 4 a 4 3 - a 2 1 a 1 2 a 3 3 a 4 4 + a 2 l a l 2 a 3 4 a 4 3 p = 一a i i a 3 2 a 2 3 a 4 4 + a l l a 3 2 a 2 4 a 4 3 - i - a l i a 4 2 a 2 3 a 3 4 一a l l a 4 2 a 2 4 a3 3 + a 2 t a 3 2 a 1 3 a 4 4 - a 2 l a 3 2 a 1 4 a 4 3 - a 2 l a 4 2 a 1 3 a 3 4 + a 2 l a 4 2 a 1 4 a 3 3 f 鼍3 1 a 1 2 a 2 3 a 4 4 - a 3 1 a 1 2 a 2 4 a 4 3 一a 3 1 a 2 2 a 1 3 a 4 4 + a 3 l a 2 2 a 1 4 a 4 3 a 4 l aj 2 a 2 ，a 3 4 + a 4 l a l 2 a 2 4 a 3 3 + a 4 l a 2 2 a l3 4 - a 4 l a 趋a 1 4 a 3 3 q2a 3 1 a 4 2 a 1 3 a 2 4 。a 3 t a 4 2 a 1 4a 2 3 a 4 1 a 3 2 a 1 3 a 2 4 + a 4 l a 3 2 a 1 4 a 2 3 铲妻比铲主础2 喁= 之7 4 _ r 2 n q 。= 一詈矿一萼砝2 一蓑5 z 七4 ，呸。= 三8 七2 ，= 1 堕5 n 足2 ， ” 55 1 “ = 一丝5 矿一堕5 砝21 1 6 5 万七4a 2 4 - - 一- 4 加5 ) , l - 4 一詈七2 石2 一素后4 ， ” 1 5 万l o81 6 一互1 ( 万2 + k 2 ) ，一詈万一委以q 。= 一号仞+ 要) ， ：+ 扣 鸭32 c = l c = 3 1 一! ：丝：耋n _ c ；2 _ c o s 2 _ 至+ 7 ) c 。且c 3 3 z 石( c 2 一1 ) ( c 2 9 ) 。 1 5 695，1 j 6 o 3 8 c ； + + 4一切4一拓 第三章不考虑边界影响时的g a l e r k i n 解 q 42 2 3 c ：0 8 三+ 上6 c ：2 三+ 上6 c ：4 ， b ( 4 8 1 6 c z 一2 c 4c o s 2 三+ 2 0 c 2c o s 2i 万一4 c 2c o s 4 至+ c 4c o s 4 三+ c 4 ) 兰+ ：箕官 8 j r c ( c 2 4 ) ( c 2 1 6 ) 7 、。 4 + 上6 c ：1 1 6 + 0 0 1 5 8 b c ：3 1 6 + 0 0 0 1 b c ：5 2 6 _ 6 + b c s i n 要( 4 0 c 2c o s 2 三一3 0 c 2 + 1 4 9 3 8 c 0 8 2 三一2 c 4 c o s 2 兰 + c 4 c o s 4 = t 一1 0 c 2e o s 4n 。 + 9 c o s 4 要+ c 4 ) 刀( c 2 1 ) ( c 2 9 ) ( c 2 2 5 ) ，其它 ccc 7、 一 “。 。 可以看出，得到的表达式形式较为复杂，不太适于工程计算，但其精度可大 大提高，与数值精确解相比较，偏差小于1 。 3 2 结果对比 c 图3 - t两种函数逼近与数值解的比较 1 6 第三章不考虑边界影响时的g a l e r k i n 解 由图3 1 可以看出，随着y 的增加，临界雷利数只口。，先是逐渐卜降，在以 约为o 9 7 【的时候有最小值；然后逐渐升高，直到接近垆0 时的情况。这表明，在 相角滩近o 9 兀的时候，r 口仃有最小值。没有相变发生的流体可以看作是= 0 或者一时的特殊情况。 采用正弦函数展开的精度远高于余弦函数。采用余弦函数展开误差较大的主 要原因是速度项关于流体层中心z = 1 2 是对称分布的，导数在边界处为零；但 温度项分布并不对称，导数在边界处并不为零，故用余弦函数展开的误差较大。 而正弦函数却是非对称的，故采用正弦展开可大大提高精度。 3 3 本章小结 本章先后用余弦和正弦函数对含相变颗粒流体b 6 n a r d 对流中的速度和温度 绕动量进行了展开，采用g f l 删n 方法对其对流热启动问题进行了研究，通过求 出的近似解析解得到的一系列的临界瑞利数r 口仃，并和数值结果【5 】进行了分析和 对比，所得结果一致。 结果表明：对于本文中的比热容随温度正弦变化的流体，临界雷利数随正弦 波幅的增加而单调减小。这一结论说明，含潜热相变物质的流体，如含相变颗粒 的乳浊液流体，其临界雷利数随着相变物质浓度的增加而减小。 采用余弦函数展开时，精度较差，但是提出了满足工程应用精度要求的简洁 计算公式；采用正弦函数展开表达式比较复杂，但其精度得到了极大的提高。 第四章行边界条件影响的州流热启动 第四章有边界条件影响的对流热启动 对于r a y l e i g h b 6 n a r d 对流问题，在理论研究中往往不考虑固体边界的影响， 即认为上下平板的厚度为零。在某些特定的情况下，如固体面的导热系数远大于 流体的导热系数或其厚度远小于流体厚度时，可以认为自然对流热启动参数瑞利 数r a 不受边界条件如固体导热系数和壁厚的影响。但是在实际问题中，会遇到 各种各样的边界条件，因此有必要考虑更一般有边界影响的情况；另外，对于有 相变发生的流体，其对流热启动规律是否和无相变流体相同，如果不相同又受哪 些因素的影响。这些都是本章要解决的问题。 4 1 数值求解方法 公式( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 与边界条件( 2 1 9 ) _ ( 2 2 3 ) 一起，组成了一个完 整的微分方程的边值问题，采用标准的四阶r u n g e k u t t a g i l l 数值微分方法即可 对其进行求解。通常这种方法用来求解初值问题，但是也可以用它来求解边值问 题。通过求向前微分，得到一个边界的值。如果另一个边界值不满足条件，返回 并采用n e w t o n r a p l a s o n 方法重新赋初值，直至满足条件。收敛后，可计算。和形， 从而可以得到临界波频数k 和r 鼬。 4 2 求解结果 在考虑上下平板的厚度和导热系数影响的条件下，由于影响的参数也较多， 包括厂 点b 和y 等，分类讨论的情况比较复杂。因此为了简便起见，设上下壁面 具有相同的导热系数和厚度。 第四章仃边界条件影响的刈流热启动 4 2 1 程序正确性的验证( b = 0 时) 鼍a 厂 图4 1 不同壁厚时临界瑞利数随，的变化曲线 厂 图4 2 不同壁厚时波频数随，的变化曲线 为了验证程序的正确性，我们对比热不随温度变化的流体( q = 1 或者b = 0 ) 进行计算。对于此种流体，c e r i s i e r l 4 1 等人已经对其用g a l e r k i n 方法对其进行了求 解。其结果和用本程序所的得结果十