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硕士论文 图像结构保持的变分p d e 处理模型及应用研究 摘要 图像处理中图像恢复等不适定反问题的研究，掀起了一股研究基于变分偏微分方程 ( 变分p d e ) 的图像处理模型与方法的热潮。如何在图像处理过程中有效地保持图像重 要边缘等几何结构和纹理细节视觉特征是其中一个重要的研究课题，也成为图像处理领 域中的一个研究热点。 本文以图像恢复为应用背景，以图像结构保持的变分p d e 处理模型为研究主线， 在比较全面地概述国内外变分p d e 图像恢复模型和算法研究现状的基础上，对基于局 部和上下文结构驱动和非局部化思想展开研究，主要内容包括基于局部与上下文结构驱 动的p d e 模型与图像恢复算法、结构保持的全变差模型及其自适应保真项，以及非局部 正则化的图像恢复模型研究，取得了如下成果： 在局部与上下文结构驱动的p d e 模型方面，首先研究了经典的线性扩散与非线性 各向异性扩散偏微分方程，通过实验对比分析了其滤波机制和去噪性能；然后从图像中 结构上的不连续类型出发，通过引入定义局部结构与上下文结构的两种不连续度量建立 双重加权机制，推导了自适应平滑的迭代算法，大量实验结果证明了局部结构与上下文 结构驱动机制能提高图像边缘结构保持性能。 在结构保持的全变差模型及基于自适应保真项的改进t v 模型方面，在经典的t v 模型基础上，研究了纹理保持的自适应保真项，并根据数值离散化的模型进行实验，结 果表明经过改进的模型能够更好地在去噪过程中有效保持图像的纹理结构。 在非局部正则化的图像恢复模型方面，首先介绍了非局部均值滤波，其次利用非局 部的思想给出了两种正则化函数，根据变分方法推导出这两种函数的e u l e r - l a g r a n g e 方 程，并分析了e u l e r - l a g r a n g e 方程中线性算子l 的数学性质。最后给出基于像素间几何 距离、基于像素间灰度关系和基于像素间灰度关系以及几何距离的相似性函数作为正则 化函数中的权重函数进行综合比较。实验结果表明了在不同权重函数的基础上，经改进 的正则化函数对于不同纹理和细节的图像的有效性。 关键词：变分法，p d e ，结构和纹理保持，非局部正则化函数，权重函数 硕士论文 图像结构保持的变分p d e 处理模型及应用研究 a b s t r a c t w i t ht h er e s e a r c ho fi m a g ep r o c e s s i n gt a s k ss u c ha si m a g er e s t o r a t i o na n di m a g e d e n o i s i n g ，t h er e s e a r c ho fi m a g em o d e l sb a s e do nv a r i a t i o n a lp d e m e t h o d sh a sb e e nd r a wa g r e a ta t t e n t i o n 舶mi n t e r n a t i o n a lv i e w s h o w t op r e s e r v et h eo r i g i n a ls t r u c t u r e so fa ni m a g e d u r i n gt h ei m a g ep r o c e s s i n gi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n ti s s u e sa n di th a sb e c o m eap o p u l a r t o p i ci ni m a g ep r o c e s s i n g w i t ht h ea p p l i c a t i o n sf o ri m a g er e s t o r a t i o n , t h ep a p e rf o c u s e so nt h ei m a g ep r o c e s s i n g w h i c hb a s e do nv a r i a t i o n a lp d em o d e l sw i t l ls t r u c t u r ep r e s e r v i n ga b i l i t ya n dh a sa no v e r v i e w o f t h er e s e a r c hs t a t u so f v a d a t i o n a lp d em o d e l sa n da l g o r i t h m b a s e do nt h ei d e ao f l o c ma n d c o n t e x t r u a ls t r u c t u r ed f i v e dp d em o d e la n dn o n l o c a lm o d e l ，t h ep a p e ri n c l u d e st h ei m a g e r e s t o r a t i o na l g o r i t h mb a s e do nl o c a la n dc o n t e x t n m ls t r u c t u r ed r i v e dp d em o d e l ，t h es t r u c t u r e p r e s e r v e dt v m o d e la n di t sa d a p t i v ef i d e l i t yt e r ma n dt h en o n l o c a lr e g u l a r i z a t i o no fi m a g e r e s t o r a t i o nm o d e l 1 1 1 ef o l l o w i n gr e s u l t sa r ea c h i e v e d ： i nt h ea s p e c to fl o c a la n dc o n t e x t u a ls t r u c t u r ed r i v e dp d em o d e l ，t h ec l a s s i c a ll i n e a ra n d n o n l i n e a rd i f f u s i o np d em o d e l sa r ei n v e s i t i g a t e df i r s t l ya n dt h ef i l t e r i n gm e c h a n i s ma n d d e n o i s i n gp e f f o r m a n a c ea r ed i s c u s s e d b a s e do nt h ed i s c o n t i n u i t i e so fi m a g es t r u c t u r e ，t w o d i s t i n c tm e a s u r e sa c c o r d i n gt ot h el o c a ls t r u c t u r ea n dc o n t e x t u a ls t r u c t u r ea r ei n t r o d u c e dt o e s t a b l i s ht h eb i l a t e r a lf i l t e r i n gm e c h a n i s m f u r t h e r m o r ea ni t e r a t i v ea l g o r i t h mf o ra d a p t i v e s m o o t h i n gi sd e r i v e d al o to fe x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h el o c a la n dc o n t e x t u r a l f i l t e r i n gm e c h a n i s mc a np r o v i d eb e t t e rs t r u c t u r ep r e s e r v i n ga b i l i t yi ni m a g ed e n o i s i n g i ns t r u c t u r ep r e s e r v i n gt o t a lv a r i a t i o nm o d e la n di m p r o v e dt vm o d e lw i t ha d a p t i v e f i d e l i t yt e r m ，t h es t r u c t u r ep r e s e r v i n ga d a p t i v ef i d e l i t yt e r mi sd i s c u s s e db a s e d0 1 1t h ec l a s s i c a l t vm o d e l t h e nan u m e r i c a la l g o r i t h mi sp r e s e n t e df o ro u re x p e r i m e n t 1 h er e s u l t sp r o v et h a t i nt h er e s p e c to fs t r u c t u r ep r e s e r v i n g ，t h ei m p r o v e dm o d e lh a sab e t t e rp e r f o r m a n c eo fi m a g e t e x t u r ep r e s e r v i n g f o rt h en o n l o c a lr e g u l a r i z a t i o no fi m a g er e s t o r a t i o nm o d e l ，f i r s tt h en o n l o c a lm a l lf i l t e r i si n t r o d u c e d s e e m 、砘也t h ei d e ao fn o n l o c a lf i l t e r i n gw ep r o p o s et w ok i n d so fr e g u l a r i z i n g f u n c t i o n a l s ，d e r i v et h e i re u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o na n da n a l y s ep r o p e r t i e so f t h el i n e a ro p e r a t o r l a tl a s tt h es i m i l a r i t yf u n c t i o nb a s e do np i x e le u c l i d e a nd i s t a n c e ，p i x e li n t e n s i t ya n db o t h e u c l i d e a nd i s t a n c ea n di n t e n s i t ya r ep r o p o s e da sw e i g h tf u n c t i o ni nr e g u l a r i z i n gf u n c t i o n a l s a f t e rc o m p r e h e n s i v ec o m p a r e ，o u re x p e r i m e n t a lr e s u l t sp r o v et h a tw i t hd i f f e r e n tw c d g h t f u n c t i o n s ，t h ei m p r o v e dr e g u l a r i z i n gf u n c t i o n a li se f f e c t i v ef o ri m a g e sw i t hd i f f e r e n tt e x t u r e s m 竺墅坚一一二堕主：! 生 - - _ - - _ _ l _ - _ _ _ _ i _ - - _ _ - _ _ _ _ - _ - _ _ - _ _ _ - _ - - - - _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - 一一一 a n dd e t a i l s k e y w o r d s ：v a r i a t i o n a lm e t h o d ，p d e ，s t r u c t u r e a n dt e x t u r e p r e s e r v i n g , n o n l o c a l r e g u l a r i z i n gf u n c t i o n a l ，w e i g h tf u n c t i o n。： i v 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明j 研究生签名：三口d 8 年6 月22 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容；对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：矽i ) 挥6 月l l 日 硕士论文图像结构保持的变分p d e 处理模型及应用研究 1 绪论 1 1 引言 随着科技的进步以及人类需求的多样化发展，多学科的交叉、融合成为现代科学发 展的突出特色和重要途径。图像以其信息量大、传输速度快、作用距离远等一系列优点， 成为人类获取信息的主要来源及利用信息的重要手段。在当今的信息时代，图像作为一 种广泛使用的通讯媒介，是表达我们所生活的物理世界的最简易、最普遍的方法，图像 无时无刻不存在于我们的生活中。近些年来，图像采集设备的进步，使我们能够获取各 种丰富的数字图像信息，同时计算机的处理能力日益增强，使我们能够处理的数据量不 断增大，促进了数字图像处理技术迅速发展。图像处理不仅在理论研究上取得了很大进 展，而且其应用领域日益扩大，目前已经成为工程学、计算机科学、信息科学、统计学、 物理学、化学、生物学、医学甚至社会科学等领域各学科之间学习和研究的对象。数字 图像处理科学与技术逐步向其他学科领域渗透，并为其他学科所利用是科学发展的必 然。 偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p d e ) 在现代科学中扮演了重要的角色， 它是从基本自然规律、应用数学、数学物理以及工程技术中产生的，很多问题都可以用 偏微分方程来描述。偏微分方程现已经应用于图像处理和计算机视觉的许多方面，包括 图像恢复、图像分割、抠图、运动物体跟踪、物体检测等等。偏微分方程在图像处理领 域中的应用，具体涉及到微分几何、变分理论、数值分析等多个数学领域。 图像处理的目的，就是对数字化后的图像信息进行某些运算或处理，以提高图像的 质量或达到人们所要求的预期效果。用偏微分方程进行图像处理的基本思想就是根据实 际问题，建立数学模型( 变分模型或p d e 模型) 。而变分方法( v a r i a t i o n a lm e t h o d s ) 将 研究问题归结为一个泛函求极值问题，目的是使图像能量最小化。 由于偏微分方程可以准确对图像建模，从而能够很好的解决图像处理中许多复杂的 问题，比如，用偏微分方程进行图像处理是对图像进行整体处理，在去除噪声的同时可 以较好地保持边缘形状和位置不变。在计算方面，可以很好地利用现在已有的一些非常 完备的数值分析和偏微分方程的计算方法来进行运算。使用偏微分方程的突出优点就是 图像处理和分析的速度、准确性和稳定性都有很大提高。使用偏微分方程方法进行图像 处理不仅对偏微分方程理论研究提出了新的研究课题，而且对图像处理、信号分析等问 题的发展起到了重要的促进作用，因此，它有着重要的理论价值，又有着广阔的应用前 景。 目前，使用偏微分方程进行图像处理的应用十分广泛，但这一领域又存在着许多需 1 绪论 硕士论文 要解决的问题。由于人对图像中的高频部分，即边缘细节部分是很敏感的，图像的大部 分有用信息都存在于边缘轮廓细节部分。对噪声图像进行恢复的时候，一些重要的细节 特征会和噪声一起被去除掉，使得图像整体或是局部的结构不能很好的保持。因此在这 方面还有大量工作有待于进一步研究。 1 2 基于偏微分方程的图像恢复模型现状 偏微分方程在图像处理中的应用与数学研究的进展是密切相关的，如偏微分方程中 的粘性解理论、微分几何、变分方法和数学形态学等。基于偏微分方程的图像处理在使 用偏微分方程理论的同时也相应地推动了偏微分方程理论的发展。 g a b o r 和其后的j a m 【1 】最先在图像处理中采用偏微分方程，后来k o e n d e j 1 l k 和 w i 呔i n 【2 】【3 】等人在图像处理中引入了尺度空间的理论，这项工作使偏微分方程图像处理 领域有了实质性的开始。尺度空间的理论是今天图像处理中对偏微分方程研究的基础， 他们将多尺度图像表示为g a u s s i a n 滤波器处理的结果，这等效于将原图像经过热传导方 程使之变形，获得各向同性的扩散流。在2 0 世纪8 0 年代后期，h u m m e # 1 注意到满足极 大值原理的演化方程也能定义一类尺度空间。p e r o n a 和m a l i k t 5 ) 7 1 入异向扩散方程，提 出用保边界的具有方向性的( 异性) 热扩散方程来代替g a u s s i a n 平滑滤波器，他们的研 究开辟了图像处理中偏微分方程理论和应用的很多新领域。在此基础上o s h e r 和r u d i n 【6 j 等提出的冲击滤波器，r u d i n l 7 提出的全变差下降法，p r i c e n 等提出的反应扩散方程， 都成为当前偏微分方程在图像恢复领域成功应用的典范与当前的研究热点。 在计算机视觉发展早期，m a r rd 等人1 9 将原图像与几个带不同参数的g a u s s 核做卷 积，以检测该图像在不同灰度范围内的边缘。后来，a w i t k i n t 2 1 ，提出了尺度空间的概 念，他指出当高斯滤波器方差增加( 尺度t 增加) 时，高斯滤波器和信号卷积所得的结 果中的尺度信息会被压制，信号会随着平滑尺度的增大越来越平滑。k o e n d e r i n k 3 等人 指出了图像与具有递增方差的高斯函数做卷积实现低通滤波，等价于求解以原图像为初 值的标准热传导方程，然而高斯滤波是各向同性扩散的，在去噪声的同时也模糊了图像 的特征。h u m m e l t a l ) ：舌来提出热传导方程并不是唯一可以构成尺度空间的方程，事实上满 足极大值原则的演化方程均可以对尺度空间作出定义，而极大值原则是因果性准则的数 学表达。p e r o n a 和m a l 擞【5 】提出了非线性各向异性扩散方程来代替高斯平滑，其扩散过 程有选择地保留边缘，用像素点的梯度大小与梯度门限作比较，来决定是否在该像素点 作扩散，以实现各向异性。若该点的梯度值大于门限值，在迭代过程中其梯度值随着迭 代次数的增加而增加，使边缘锐化。这样的平滑有选择性，在一定程度上保持了边缘信 息。但当图像存在噪声时，由于噪声的梯度值比较大，扩散系数较小，不利于去除噪声， 且模型本身在数学上是病态的，存在方程解的适定性问题和噪声下性能的稳定性问题。 非线性各向异性扩散方程的思想开辟了图像处理中偏微分方程理论与应用的很多领域， 2 硕士论文图像结构保持的变分p d e 处理模型及应用研究 c a r e 1 0 】等人对模型进行修改，提出了一种具有自适应性选择光滑的模型，并证明了方程 解的存在性、唯一性、稳定性，且模型提高了去噪水平，性能优于p e r o n a - m a l i k 模型。 a l v a r e z 1 l 】等人后来指出c a t t e 模型在数学上是适定的，但是当。一o 时，模型并不稳定， 同时散度算子括号中包含梯度估计和梯度，模型不具有明确的几何解释。在a l v a r e z 给 出的非线性退化扩散模型中，只在与梯度正交的方向上进行扩散，若像素点位于灰度变 化不大的区域，则梯度图像的高斯平滑值相对较小，扩散速度也相对较小，反之，在图 像边缘点上扩散速度就相对较大。但若像素点的邻域内不包含重要图像信息时，可以采 用各向同性的热扩散方程方法以提高扩散效率。因此他们在给出的非线性扩散方程中预 设定一个门限，使得灰度变化剧烈的区域内，模型为扩散方程，它在与梯度正交的方向 上进行平滑，梯度变化平缓的区域内，模型为热扩散方程，在各个方向上进行相同的扩 散。c h e n - v e m u r i w a n g 1 2 】结合了a l v a r e z 等人的图像去噪方法和c a s s e l l e s ，k i m m e l 和 s a p i r o 的测地模型，得到一个含有反应项的非线性扩散模型，并讨论了基于这一偏微分 方程模型的粘性解的存在性，唯一性和稳定性。l y s a k e r 、l t m d e r v o l d 和t a i 乃j 提出了一 个四阶偏微分方程模型( l l t 模型) ，在去噪效率、保护图像渐变区域及消除阶梯效应 方面都有突出优点。 总的来说，基于扩散方程的图像恢复技术的发展过程经历了从均匀线性扩散到线性 非均匀扩散，再到非线性扩散，以及边缘增强、关联增强扩散的各向异性扩散的过程， 近年来还出现了向前向后扩散、复数域扩散【1 4 】等方法，这些基于偏微分方程的图像恢复 方法都有比较完善的理论框架。 除了在图像恢复方面有应用外，偏微分方程在图像分割、抠图、修补、边缘检测方 面也有着广泛的应用 1 3 变分方法 1 3 1 变分与泛函 变分方法( v a r i a t i o n a lm e t h o d ，讧) 是1 7 世纪末发展起来的一门数学分支，它的 理论较为完整，在图像处理、力学、光学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制理论 等诸多方面有广泛的应用。变分法【1 5 】是研究依赖于某些未知函数的积分型泛函极值的普 遍方法，简而言之，求泛函极值的方法称为变分方法，求泛函极值的问题称为变分问题 ( v a r i a t i o n a lp r o b l e m ) 。变分法是泛函分析的一个重要组成部分，但变分法出现在前， 泛函分析出现在后。 历史上第一个出现的变分问题是最速降线或捷线( b r a c h i s t o r o n eo rc u r v eo f s t e e p e s t d e s e n t ) 伺题，是在1 6 9 6 年由j o h a n nb e r n o u l l i 在写给他哥哥j a c o bb e r n o u l l i 的一封公 开信中提出的，问题要求一条连接两点a 和b 的曲线，使得在一定条件下质点沿这条 3 1 绪论硕士论文 曲线从a 运动到b 所需的时间最短。之后j o h a n nb e r n o u l l i 又提出一个测地线( g e o d e s i c l i n e ) 问题，也是要在一定条件下求曲面上连接两点的一条最短曲线。测地线的变分问 题也称为约束极值问题或条件极值问题。在这些问题中要求取极值的并由积分给出的变 量都取决于所取的未知曲线或未知曲面的选取，这些未知曲线或曲面通常是由若干个函 数给出的，因此这些由积分给出的变量可以看作是依赖于这些未知函数的变量，而这些 未知函数都是独立变化的，起着自变量的作用，称为独立函数或自变函数( i n d e p e n d e n t f u n c t i o n ) ，这种依赖于自变函数的函数就称为泛函( f u n c t i o n a l ) ，简单的说，就是以函 数作为白变量的函数称为泛函。以积分形式出现的泛函称为积分型泛函。仅有泛函还不 足求解所研究的变分问题，还应提出某些附加条件对所研究的变分问题加以限制，这些 对变分问题加以限制的附加条件称为约束( c o n s t r a i n t ) ，如果给出的是未知函数在区间 的端点或区域的边界上应满足的附加条件，则称为变分问题的边界条件( b o u n d a r y c o n d i t i o n ) ，其他的附加条件称为变分问题的约束条件( c o n s t r a i n tc o n d i t i o n ) 。 如果一个函数类中的某个函数能够使某个泛函取得极值或可能取得极值，则该函数 类称为变分问题的可取函数类( a d m i s s i b l ef u n c t i o nc l a s s ) 。能使泛函取得极值或可能取 得极值的函数或曲线称为极值函数或极值曲线，也称为变分问题的解。对于任意定值 x 【x o ，五】，可取函数y ( x ) 与另一可取函数y o ( x ) 之差y ( x ) - y o ( x ) 处的变分，记作曲， 这时有8 y = y ( x ) 一y o ( x ) = 研( 功，其中占为一小参数，r ( x ) 为x 的任意函数。由于可取 函数都通过区间的端点，即它们在区间的端点的值都相等，因此在区间的端点，任意函 数，7 ( 功满足，7 ) = 刁( 五) = 0 。如果y ( 力与另一个函数y 0 ( x ) 都可导，则 缈= y ( x ) - y o t ( 功- 【y ( x ) - y o ( 瑚= ( 刚 由此可得8 y = ( 缈) - 研( 力。 设f ( x ，y ( x ) ，y ( x ) ) 是三个独立变量墨y o ，y 缸) 在区间，x d _ l ：的已知函数，且二 阶连续可微，则泛函a l l y ( x ) = r f ( x , y ，y - ) 出称为最简泛函，被积函数f 称为泛函的核， 1 1 由于对f 的积分得到的j 的值取决于函数y ( x ) 的形式，所以j 是y ( 功的泛函。若j 具有 一阶连续性，且其增量可表示为a j = z y ( x ) 缈】+ d 【y ) ，8 y 】，其中， 三眇( 功，别= r ( e 西，+ c 。砂i ) 凼是泛函增量的主要部分，d 眇( 功，s y 】为j y 的高阶无穷 小量，则这个泛函称为在y = y ( 力处可微，z l y ( x ) ，8 y 称为泛函m ( 瑚在y 上的一阶 变分( f i r s tv a r i a t i o n ) ，简称变分，一般记作8 j y ( x ) 】或甜，即： 4 硕士论文 图像结构保持的变分p d e 处理模型及应用研究 硼y ( x ) 】= p 暇o ，y , y i ) s y + f y ( x ，y ，少i ) 缈丁 2 r ( s 曲+ c 万y 出 = 占( c 刁+ c 刀 ) 出 由上述定义可知，泛函j 的变分8 1 具有下面两个性质： 1 、泛函的变分8 j 是泛函增量的线性主要部分。 2 、变分甜的被积函数是关于刁和r l 的线性函数。 在上述泛函的变分定义中，函数y ) 和y i ( x ) 都是独立变量，这与高等数学中函数 的定义是不同的，泛函与函数的对应关系如下表所示： 表1 3 1 1 泛函与函数对应关系 函数泛函 函数八x )泛函以y ( x ) 】 变量y = ( 功变量，= ，眇( 工) 】 自变量x 函数y ( x ) 自变量x 的增量a x 函数y ( x ) 的变分8 y 函数的微分咖泛函的变分 变分法的关键定理是欧拉一拉格朗日( e u l c r - l a g r a n g e ) 方程。使泛函 以y ( x ) 】= i f o ，y ，y ) d x 取极值且满足固定边界条件y ( x o ) = ，y ( x o = y l 的极值曲线y = y ( x ) 应满足必要条件 e 一! ：o 的解，式中，是x ，y ，y 的已知函数并有二阶连续偏导数。e 一! ：o 就 7 傲 7 a x 称为泛函以y ( 功】的欧拉方程，是瑞士数学家欧拉在1 7 3 6 年得到的，后来法国数学家拉 格朗日以十分简洁的方式改进了欧拉的证明。上述欧拉一拉格朗日方程还可以写为 c 一- 一易j ，- e y y ”= 0 。 1 3 2 基于变分模型的图像恢复模型现状 o s h e r 、r u d i n 、f 绯i m i 【7 】于1 9 9 2 年提出全变差最小化( t o t a lv a r i a t i o nm i n i m u m ) 的 方法，简称r o f 模型，通过最小化泛函来达到去噪恢复的目的。图像的全变差被定义 为u 的向量值r a d o n 测度d u 在q 上的积分，将有界变差和有界振幅结合起来就能得到 b v 图像模型。从几何的观点来看，b v 图像模型是将图像建模为具有典型水平集和有限 长度的“轮廓”。b v 模型较好地刻画了图像中视觉重要边缘结构，但对于图像中小尺度 1 绪论 硕士论文 的重复结构模式，如纹理描述，h a u s d o r f f 维数在0 1 部分并不能包含图像所有小尺度 信息。2 0 0 1 年，小波的奠基人之一y m e y e r 进一步提出了基于“甜+ v ”模式的全变差 最小和振动模式的纹理建模理论【1 6 】，其中：u 称为图像的卡通部分，可由b v 空间函数 来表示，而v 表示图像的部分纹理，必须通过与b v 空间一定意义上的对偶空间进一步 一建模。在该模型中，纹理通过两个振荡函数蜀和来表示，并可构造 ，g l ，g ：) 的能量 泛函，而图像的卡通和纹理的分解可通过该能量泛函的最小化导出的三个耦合的 e u l a r - l a g r a n g e 方程进行迭代求解。另一个著名的模型是m u m f o r d 和s h a h 提出的“目 标与边缘模型”，即m u m f o r d s h a h 模型【1 7 】【1 8 】，该模型认为理想的图像应该是由分片均 匀的目标与正则的边缘曲线组成。p e r o n a - m a l i k 方程和t v 模型在进行图像平滑时，图 像中物体轮廓会变得过分尖锐，显得不自然。y u - l i 和m k a v e h 1 9 】提出了基于变分问题 的图像恢复模型，他们把变分问题转化为一个四阶偏微分方程来解决。这样做的优点在 于用分段斜面来近似边界，消除了p e r o n a - m a l i k 方程和t v 模型平滑时产生的轮廓不自 然现象。但是该方法对椒盐噪声没有去噪效果，且在去除较平滑区域的噪声时会产生色 块。 基于正则化理论，人们提出了一系列与b v 模型和m u m f o r d s h a h 模型类似的变分 模型。在这些模型中正则化泛函i 缈 ，甜，v “，v 2 轧) 出对应于图像模型，人们从不同途径 q j 寻找合适的正则化形式，并导出了一系列图像模型【2 0 】。由于变分模型往往可以导出非线 性p d e ，而图像处理中的偏微分方程往往能够找到相应的变分泛函形式，因此，基于变 分模型和基于p d e 的图像处理方法，被统称为变分p d e 方法。 1 4 本文的主要工作 本论文主要围绕偏微分方程图像处理模型，特别是变分p d e 模型进行研究。主要 内容包括经典的p d e 图形处理模型、局部与上下文结构驱动的图像滤波与噪声抑制算 法、基于非局部正则化的图像恢复模型与算法。 本论文结构安排如下： 第一章：主要介绍论文的研究背景、基于偏微分方程的图像恢复模型的研究现状、 变分方法的基本概念与基于变分模型的图像恢复模型的现状和本文的主要工作。 第二章：主要研究局部与上下文结构驱动的图像滤波与噪声抑制算法。首先介绍经 典的线性扩散与非线性扩散偏微分方程，然后对自适应平滑中的上下文结构与空间梯度 进行研究，对控制平滑效果的局部不连续和上下文不连续程度进行分析，推导迭代算法， 分析实验效果。 第三章：主要研究结构保持的全变差模型及其自适应保真项。首先介绍经典的全变 差模型( i v ) ，然后研究基于自适应保真项的改进t v 模型，最后给出两种模型的数值 6 硕士论文图像结构保持的变分p d e 处理模型及应用研究 算法，并对实验效果进行分析。 第四章：主要研究非局部正则化的图像恢复模型。首先给出一个非局部均值滤波， 并对正则函数及e u l e r - l a g r a n g e 方程中的线性算子进行分析。在图像恢复模型中对非局 部函数中的权重函数的选取进行讨论。最后分析本文中各个模型之间的联系，并对其进 行综合比较。 结束语：总结全文，指出今后工作的方向。 7 2 基于局部与上下文结构驱动的p d e 模型与图像恢复算法研究硕士论文 2 基于局部与上下文结构驱动的p d e 模型与图像恢复算法研究 2 1 引言 自适应平滑作为一种经典的非线性平滑方法，其基本思想就是基于图像的不连续性 测度，使像素的灰度值与图像局部特征相符。本章我们在经典线性与非线性扩散偏微分 方程的基础上，研究梯度与上下文结构这两种不连续性测度。一方面，图像局部梯度上 的变化反映了目标对象在平滑中的不连续程度。如果单独使用梯度作为像素的不连续性 测度的话，图像中一些不连续点就有可能被当作噪声，或者梯度较大的噪声也有可能被 当作是目标对象的边缘。另一方面，上下文结构上的不连续性测度可以用于保留图像主 体目标特征并控制平滑速度，是一种多尺度的方法。k ec h e n 2 1 】认为这基于两种不连续 性测度的去噪方法耦合在一起可以强制进行各向异性扩散，有效地保留图像中重要特 征，提高图像边缘结构保持性能。 2 2 经典线性扩散与非线性扩散偏微分方程 尺度空间的方法【2 】【3 1 是对图像结构进行分析的一种多分辨率技术，理论较为完善。 用标准偏差盯= 2 f 的高斯函数与输入图像做卷积实现低通滤波，相当于解一个线性扩 散方程： = c a ，1 k = 厶，0 0 ，则函数i 是光滑的，可得 ：昙( 五) = 昙( ) = 丢( 昙( ) = 矽一+ 舻k 在边界上l 0 ，由于在拐点处曲线斜率变化最大，l = o k 乙0 ，则在拐点的邻域 中兰( l ) 的符号与矽i ( j l r ) 相反，若( l ) o 则边界的斜率会随着迭代次数增加而变小， f ( l ) o ，由图2 - 2 1 b ) 可以看出，存在一个关于k 和口的 门限值，在门限左侧痧是单调递增的，在门限右侧单调递减。 p - m 的非线性扩散模型为各种基于偏微分方程的图像处理方法开拓了一个新的方 向，同时，p m 模型也不可避免的存在着一些缺点与局限性。c a t t c 1 0 1 指出了应用p m 扩散系数的扩散方程的病态问题，并提出一个正则的方法，将系数变为平滑梯度的一个 函数：= 咖( c ( 1 w 母q i ) 叨。w r e i c k e n 【2 刁用空间离散的方法研究了p - m 方程的稳定性， 提出一个连续域中的普遍正则形式。 2 3 基于局部与上下文结构驱动的p d e 模型 一般来说，一幅图像中不连续的地方，即梯度变化较大的地方往往很有可能对应着 一些重要特征。然而噪声干扰也有可能造成一些不连续，因此确定哪些不连续是需要保 持的图像的特征，哪些不连续是需要消除的噪声，是一个值得关注讨论的话题。我们在 这里研究两种不连续类型：局部不连续和上下文结构不连续。局部不连续性测度对任何 局部区域上的灰度变化都非常敏感，可以用于探测局部结构上的变化。但是这种局部不 l o 硕士论文 图像结构保持的变分p d e 处理模型及应用研究 连续探测法并不总是很稳定的，如果一幅图像中的噪声过多的话，该方法就不能将重要 特征和噪声区别开。另一方面，图像的上下文信息，即邻域像素的信息，可以用来校正 平滑过程中的模糊效果。图像中的所有像素，只要彼此有联系，都可以用来探测目标对 象的重要特征结构。实质上，局部不连续性测度的主要作用在于指出局部结构的细节， 而上下文不连续性测度提供一个平滑的大致方向，指出给定图像中重要特征的位置。模 型的形式与p - m 模型类似，基本思想是要在纹理细节区域减缓平滑速度，而在相对光滑 的区域加大平滑力度。 2 3 1 局部不连续性测度 在基于偏微分方程的图像处理中，梯度是图像像素点处灰度变化最快的不连续性测 度，在数值计算中可用邻域像素的信息来近似估计。对于一个像素( x ，y ) ，我们定义其 邻域n 删伍) 为： n 矽( r ) = 骶列i x - i o ( r z ) 且使得( r ) 在图像之内。如吲中定义，像素( x ，y ) 与其岛( 灭) 中 全体像素的一致性准则为： ( r ) = ( 2 3 2 2 ) 其中i ( r ) f 为( 尺) 的势，吒为参数，反映给定图像中局部灰度差。s a h a 等人瞄1 指出 该参数是由整个图像局部灰度差的统计估计值决定的。对图像中每个像素( x ，y ) ，先根 据( f ，歹) ( 1 ) 算出局部灰度差i ，( x ，y ) - i ( i ，歹) l 。假设图像中的边界部分占整个图像的百 分之十，对剩余百分之九十部分的局部灰度差的均值心和方差进行估计，假定剩余 的局部灰度差是服从高斯分布的，参数瓯定义为： 吒= 1 t a + 3 ( 2 3 2 3 ) 式( 2 3 2 2 ) 反映了像素与其邻域边界区域中所有像素之间的一致性，像素f x ，y 1 与 其( r ) 中的像素( f ，) 的灰度越相似， ) 似) 的值就越大，而吒可看作是对噪声或 内部对象微小细节的估计。这相当于一个基于式( 2 3 2 2 ) 寻找每一像素最大邻域的问 题，在寻找最大邻域时，中心像素与其邻域的边界区域中的像素要一致，即对于像素 ( x ，y ) ，其最优邻域大小为： 如2 a r g m ，p ) 正j ( 2 3 4 ) , a x v , 2 使得v 犬z ( 1 r o ， 丸w = 渺蝴。o 枷, 姗i fi ( v i s , e w 卜“v i ，们 o ， ； ，和河司以用采反匝像素【z ，y ) 和【f ，j f ) 邻域内部和邻域之间像素灰度变化，着 似y ) 和( f ，) 邻域内的像素差别不大，则河和；l f 的值就比较小洲，由此定义两相 邻像素( x ，y ) 和( f ，歹) 间的不连贯性为： 甲 伍n ( f d = 上d 两 ( 2 3 2 1 2 ) 9 一叫一罨j 这里，我们用甲 河似力，搿o ) 1 表示像素( x ，y ) 和( f ，j ) 的邻域k 盯( x ，力和 ( f d 之间的不一致程度。如果像素似y ) 和( l ) 位于边界附近或者是纹理结构上显 1 3 2 基于局部与上下文结构驱动的p d e 模型与图像恢复算法研究 硕士论文 示不连续的地方，甲 0 ；驴( x ，y ) ， 0 ：扩( f 歹) 的值就会比较大，否则，其值就比较小。定 义像素( x ，y ) 的上下文不连续性测度为： = k 哗铲型 它反映一个像素与其周围环境之间的不连贯性。 然后对皿) 作归一化处理： = 罄老 其中日一和k 分别是一幅图像中最大和最小的皿训) 。对于一幅图像，所有归一化的 豆) 都单调地分布在【o ，l 】区间中以保证最大值为l ，最小值为0 。为使结构纹理更容易 分辨出来，一般可以使用非线性变换来突出一些较微弱的上下文不连续结构，在这里， 我们使用正弦变换： h 4 0 , y ) = s m ( 孔，) ，。- 2 3 3 耦合的局部与上下文结构驱动非线性滤波算法 一般自适应平滑通过对邻域像素灰度做加权平均来更新中心像素的灰度值，与中心 像素灰度值越相似的像素，其权重就越大。在这里同时结合上下文不连续结构与梯度来 构造权重，迭代过程如下： 础哦饵鼍一 3 3 t ， 础= 端) + 鱼等掣竺岩掣 ( 2 3 3 1 ) 1 4 硕士论文 图像结构保持的变分p d e 处理模型及应用研究 其中也) 为像素( x ，y ) 在第t 次迭代时的灰度值。o t ( x , y ) 和尸f l ( ( ( ，o 。力定义如下： 嗷圳= g ( 反”) ，办) ( 2 3 3 2 ) 臃_ - g l r e _ l ，s ) ( 2 3 3 3 ) 其中h ( o h o ) 为参数，g ( ，) 为一个非负的单调递增函数，常用以下两种形 式： g ( z ，k ) = 州一南 ( 2 3 3 4 ) g ( z ) 2 走 眨3 3 5 ) ( a )( b ) 图2 3 3 1 当k = o 5 ，z 【0 ，1 】时函数g ( z ，目的曲线图， ( a ) 式( 2 3 3 4 ) ，( b ) 式( 2 3 3 5 ) 从图2 3 3 1 中可以看出两个函数的曲线是相似的，我们在后面实验中选用第一种。 通过上面的非线性变换，口项代表了图像本身上下文结构上的不连续效果，而项 表示平滑过程中，局部不连续性在每次迭代时的效果。 在式( 2 3 3 1 ) 中，像素( 五y ) 的灰度值会根据其上下文的不连续结构和局部不连续 结构，不断地更新a 在更新的过程中，嗷和鹏) 以及像素( x ，y ) 的最小邻域一起控制 着加权平均。当( x ，y ) 所有相邻像素的上下文结构都相似时，卢如)