（运筹学与控制论专业论文）一类非线性系统的高增益输出反馈控制设计.pdf

西南大学硕：卜学位论文 摘要 一类非线性系统的高增益输出反馈 控制设计 运筹学与控制论专业硕士研究生张孟英 指导教师谢成康教授 摘要 非线性控制领域一个值得研究的问题是全局输出反馈稳定( 或镇定) 。与线性 系统不同，状态反馈全局稳定加上观测器，并不意味着输出反馈全局稳定。因 此，线性系统的分离的原理，通常并不适用于非线性系统的情况。出于这个原 因，输出反馈的全局稳定性问题比状态反馈的全局稳定性问题更具有挑战性。 本文较系统地研究了一类非线性单输入单输出系统的高增益输出反馈控制 设计问题。所用的基本理论方法是根据l y a p u n o v 稳定性理论，通过构造合适的 l y a p u n o v 函数来研究非线性系统的稳定问题。内容安排如下： 首先简述了非线性系统发展的概况、反馈控制的概况及本文研究的主要内 容。 其次预备知识介绍了本文所涉及的基础理论，其中包括基本概念、基本定理 和重要的不等式。另外介绍一类典型的非线性系统，即线性部分是下三角的形 式，其非线性项满足下三角的依赖条件。通过采用采取虚拟控制和反步技术得到 控制器，使闭环系统达到全局指数稳定。 主要工作是对一类改进的非线性系统，即线性部分含有参数，非线性项部分 有未知有界扰动的系统，其非线性项满足比下三角条件更广的条件进行输出反馈 设计。首先利用线性状态变换，原系统变为典型的非线性新系统，然后设计线性 高增益观测器，得到线性动态的控制器，使得新系统全局渐进稳定，进而得到原 闭环系统全局渐进稳定。 最后，对本文的工作以及取得的主要成果进行归纳和总结，并提出了有待进 一步研究的问题。 关键词：非线性系统；输出反馈；观测器；控制器；全局稳定 h c o n t r o l 1 l l n e a r m a j o r ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s n a m e ：m e n g y i n gz h a n g s u p e r v i s o r ：p r o f c h e n g k a n gx i e a b s t r a c t i nn o n l i n e a rc o n t r o la r e a ，g l o b a lo u t p u tf e e d b a c ks t a b i l i z a t i o ni sa ni n t e r e s t i n g a n dv a l u a b l er e s e a r c hi s s u e f o rl i n e a ro u t p u tf e e d b a c ks y s t e m s ，t h r o u g ht h es e p a r a - t i o np r i n c i p l e ，c o n t r o ld e s i g n sc a nb es e p a r a t e di nt o ws t e p s ，d e s i g n so fs t a b l es t a t e f e e d b a c kl a w sa n do b s e r v e r s u n l i k el i n e a rs y s t e m s ，f o rn o n l i n e a ro u t p u tf e e d b a c k s y s t e m s ，i td o e sn o th o l da n ys e p a r a t i o np r i n c i p l e f o rt h i sr e a s o n ，g l o b mo u t p u t f e e d b a c ks t a b i l i t yo rs t a b i l i z a t i o no fn o n l i n e a rs y s t e m si sm o r ec h a l l e n g i n g t h i st h e s i sa d d r e s s e sd e s i g n so fo u t p u tf e e d b a c kc o n t r o lf o rac l a s so fs i n g l e - i n p u t s i n g l e - o u t p u tn o n l i n e a rs y s t e m s l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r yi se m p l o y e dt o t h er e s e a r c ho ft h ew o r k b yc o n s t r u c t i n gs u i t a b l el y a p u n o vf u n c t i o n s ，t od e s i g n c o n t r o l l e r sa n do b s e r v e r st oa c h i e v es t a b i l i t yo rs t a b i l i z a t i o no fc l o s e d - l o o ps y s t e m s t h i sa r t i c l ec o n t e n t si sa sf o l l o w s f i r s t ，t h eb r i e fo v e r v i e wo fd e v e l o p m e n to fn o n l i n e a rs y s t e m s ，f e e d b a c kc o n t r o l a n dm a i nc o n t e n t so ft h i st h e s i si so u t l i n e d s e c o n d ，t h ep r e p a r a t o r yk n o w l e d g et h a ti n v o l v e di nt h i st h e s i si sp r e s e n t e d i t i n c l u d e sr e l a t e dc o n c e p t s ，t h e o r e m s ，t h e o r ya n ds o m ei n e q u a l i t i e s at y p i c a ln o n l i n - e a rs y s t e m ，n a m e l yt h el i n e a rp a r ti st h el o w e rt r i a n g u l a rf o r m ，a n dt h en o n l i n e a r t e r m ss a t i s f 3 rt h el o w e rt r i a n g l ec o n d i t i o n ，i sa l s oi n v o l v e d t h r o u g ht h ev i r t u a lc o n - t r o la n db a c k s t e p p i n gt e c h n i q u et oe s t a b l i s hac o n t r o l l e rw h i c ha c h i e v e sg l o b a la n d e x p o n e n t i a ls t a b i l i z a t i o no ft h ec l o s e d - l o o ps y s t e m n e x t ，t h em a i np a r to ft h i st h e s i sc o n t r i b u t e st ot h ec o n t r o ld e s i g no fa c l a s s o fn o n l i n e a rs y s t e m s i nw h i c ht h el i n e a rp a r tc o n t a i n sp a r a m e t e r s ，t h en o n l i n e a r p a r tc o n t a i n sa nu n k n o w nb o u n d e dd i s t u r b a n c e s ，a n ds a t i s f yaw e a k e rc o n d i t i o n l l t h a nt h et r i a n g u l a rr e s t r i c t i o n b yal i n e a rt r a n s f o r m a t i o n ，t h eo r i g i n a ls y s t e mi s t r a n s f o r m e di n t oas y s t e mw i t hs t a b i l i z a b l el i n e a rp a r t t h e n ，ah i g h - g a i no b s e r v e r i sd e s i g n e d a n dal i n e a rd y n a m i cc o n t r o l l e ri sc o n s t r u c t e d t h ec o n t r o l l e ra c h i e v e s g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ec l o s e d 1 0 0 po ft h et r a n s f o r m e ds y s t e m ，a n df u r t h e r g u a r a n t e e st h eg l o b a l l ya s y m p t o t i cs t a b i l i z a t i o no ft h eo r i g i n a lc l o s e d - l o o ps y s t e m f i n a l l y , m a i nr e s u l t se s t a b l i s h e da r es u m m a r i z e d ，a n df u r t h e rr e s e a r c hp r o b l e m s a r ed i s c u s s e d k e y w o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m ；o u t p u tf e e d b a c k ；o b s e r v e r ；c o n t r o l l e r ；g l o b - a l l ys t a b i l i t y 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：雨欠交英签字日期：擗朋胗日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：尧陆芡导师签名：云柯俄廓 签字日期：嗡夕月肜日签字日期： 加lo 年厂月l d 日 西南大学硕士学位论文 第1 章绪论 第1 章绪论 非线性控制系统是普遍存在的。因为非线性特性千差万别，所以不可能有统 一的普遍适用的处理方法。对于线性系统，通常可用线性常微分方程来描述，而 解线性常微分方程已经有比较成熟的方法，因此对于线性系统的分析比较简单。 线性控制系统理论的研究已经取得了巨大的成就。相比之下，非线性系统是由非 线性微分方程来描述，而非线性微分方程般不能通过解析求解，只在个别情况 下才有解析解，因此很难对非线性系统的特性有个全面的理解，还有象拉普拉斯 变换和傅里叶变换这类强有力的数学工具不适用于非线性系统，这些都给非线性 控制系统理论的研究带来了极大的困难。因此，非线性系统的控制问题得到了广 泛的重视，控制学者们为此做了大量的工作，提出了各种各样的控制方法，这极 大地推动了非线性控制理论及其应用的发展。 本章主要参考了 1 】， 3 1 ， 1 0 】，【2 7 】和 3 3 】等文献。 1 1非线性系统控制概述 控制理论自上个世纪三十年代产生以来，经过几十年的发展，到现在为止已 经经历经典控制和现代控制两个阶段。目前对于线性系统的分析与设计已经形成 了一套完整的理论体系，并在现实中得到了广泛的应用，在一定的范围内取得了 比较满意的效果，获得了巨大的成就。 但严格的讲，几乎所有的控制系统或多或少有非线性存在，线性是在一定范 围内和一定程度上对实际系统的近似描述。在早期，由于对控制系统的精度和性 能要求较低，因此当系统的非线性因素被忽略或被局部线性化后，在一定范围内 仍可以满足对控制系统性能的要求，但是，非线性系统没有形成像线性系统那样 完整、系统的理论体系。 经典控制理论所涉及的被控对象是线性单输入单输出系统，现在控制系统理 论研究的重点是多变量的线性系统和单输入单输出的非线性系统。2 0 多年来， 非线性系统理论的建立和发展引起了国内外控制学科学者的极大兴趣，相平面 理论、描述函数法、l y a p u n o v 运动稳定性理论都受到了极大的重视。从1 9 8 2 年 前后p o i n c a r e 等人创立奇异扰动以来，经过2 0 多年的发展，非线性系统的研究 在一些重要的方面取得了令人瞩目的成就，建立了一系列系统分析和设计的方 法( 【1 卜【4 】，【l o ，【2 4 ) ，其中设计方法有精确反馈线性化、微分代数方法、滑膜变结 构控制理论、自适应控制理论、鲁棒控制理论、逆系统方法、神经网络方法和非 1 西南大学硕士学位论文 1 2 反馈控制概述 线性频域控制理论。同时计算机技术的飞速发展和数学工具的突破，也为研究一 般非线性控制理论提供了可能性。 控制理论发展到今天，面临着一系列的挑战。最明显的挑战是被控对象的本 质非线性控制，而且要求被控对象的运动时大范围的，比如机器人控制、卫星的 定位与姿态控制、精密数控机床的运动控制等，这些都不可能采用线性模型。对 于非线性系统的控制问题，不能通过泰勒展开线性化的方法化为一般的线性问 题，而必须采用非线性控制方法。同时，现代非线性科学所揭示的大量有意义的 事实，例如分岔、混沌、奇异吸引子等，均远远超过人们熟知的非线性现象一自 振，且无法用线性系统理论来解释。所有的这些都要求人们在非线性控制理论和 应用方面取得突破性进展。 研究非线性控制有很重要意义，其主要表现在：第一，改善控制性能一非线 性控制器可能直接处理大范围运行时出现的非线性问题，克服了用线性控制器可 能出现性能低下或者不稳定的情况；第二，分析强非线性一包括哥氏摩擦、饱 和、死区、啮合间隙和迟滞等所谓的“强非线性”，在控制工程中经常碰到；第 三，处理模型的不确定性一不确定可以包括：未知参数、建模时忽略掉的因素、 测量误差、外界扰动、动态未建模等，这些不确定可能是建模之始就存在的，也 可能是在系统运行过程中不断变化的；第四，简化控制系统设计一非线性控制器 的设计扎根于被控对象的物理特性中，可能比线性控制设计更简单直观。 1 2 反馈控制概述 有很多控制需要用到反馈，根据不同的设计目的，控制问题有几种不同的表 示，如稳定性控制、跟踪性控制及扰动抑制控制( 3 7 】， 4 0 ) ，由此，产生了多种控 制问题。无论哪个问题都可以用状态反馈和输出反馈，前者的所有状态变量都是 可测的，后者只有输出向量是可测的，且其维数通常小于系统状态维数。 在许多实际问题中，系统的所有状态都可测量且可用于反馈的假设通常是不 现实的，所以系统控制用状态反馈控制很难进行。有时即便系统的状态可以直接 测量，但考虑到实施控制的成本和系统的可靠性等因素，如果可以用系统输出反 馈来达到闭环系统的性能要求，则通常选择输出反馈的控制方式。所以，不确定 性非线性系统的输出反馈稳定研究及其控制器设计具有重要的理论意义和实际应 用价值。 输出反馈使用对象的输入输出模型，对线性系统来说，对象的数学模型就是 2 西南大学硕士学位论文1 3 本文的主要研究内容 传递函数。输出反馈只取对象能检测到的输出信号作为反馈信号，很多控制系统 实际上都是输出反馈。对于非线性系统而言，输出反馈全局稳定往往是很难解决 的问题。但是，也存在一些系统，当基于观测器的控制时可以实现全局稳定。 输出反馈有两种途径( f 3 3 1 ) ：一种是静态输出反馈即直接利用测量输出反馈， 一般地，静态输出反馈简单易行，但由于测量输出只是系统局部信息的反映，因 而其反馈只能是局部信息的反馈，所以在很大程度上静态输出反馈不易实现系统 的全局稳定；另一种途径是动态输出反馈。动态输出反馈兼有观测器的思想，并 采用补偿的设计方法，具有全局反馈和可靠稳定的效果。 1 3本文的主要研究内容 本文利用高增益观测器较系统的研究了一类非线性系统输出反馈控制问题。 全文分为三章，第一章简述了非线性系统发展的概况、反馈控制的概况及本文研 究的主要内容。第二章预备知识介绍了本文所涉及的基础理论，包括基本概念、 基本定理和重要的不等式，为后面的研究讨论做好准备；还介绍了一类典型的系 统非线性项满足下三角条件限制的，通过设计控制器使闭环系统全局稳定。第三 章是在第二章系统的基础上，线性部分加入控制参数和非线性部分加入扰动，并 且将限制条件放宽，使其更接近现实的复杂系统，首先通过线性状态变换，将原 系统变为一个线性部分形如第二章的新系统，然后设计观测器和控制器，控制器 保证了闭环系统的状态全局渐进稳定。最后，对本文的工作以及取得的主要成果 进行归纳和总结，并提出了有待进一步研究的问题。 3 西南大学硕士学位论文第2 章预备知识 第2 章预备知识 本章主要介绍了在本文涉及到的一些基本概念、基本定理、重要的不等式和 基础系统，主要参考了 1 】，f 2 】，【3 】， 1 0 ， 2 7 】和 3 4 】等文献。 2 1基本概念 一个非线性系统通常可以用下面的非线性微分方程描述： 圣= f ( t ，z ) ，x ( t o ) = x 0 ( 2 1 1 ) 定义1 若在( t o ，x 0 ) 的某个邻域内，对于所有( t ，z ) 和( t ，可) ，f ( t ，z ) 满足不等式 f ( t ，z ) 一f ( t ，y ) l i l l l x 一l | ( 2 1 2 ) 其l | 0 中表示p 范数，l 0 。 ( 1 ) 满足( 2 1 2 ) 式的函数称为对于z 是l i p s c h i t z 的，且l 称为l i p s c h i t z 常数。 ( 2 ) 在定义域d ( 开连通集) ，若dc p 内的每一点都有一个邻域d o ，使得，对 于d o 内各点都满足l i p s c h i t z 条件式( 2 1 2 ) ，则称函数f ( x ) 是局部l i p s c h i t z 的。 ( 3 ) 如果一个函数f ( x ) 在p 内是l i p s c h i t z 的，即认为该函数是全局l i p s c h i t z 的。 注如果非线性系统( 2 1 1 ) 式的，不显含时间t ，则该系统为自治的，否则为非自 治的。下面都以自治为列。 定义2 如果z 。满足f ( x 。) 兰0 ，则称z 。是个平衡点。 如果x ( t ) 一旦处于平衡状态z 。，则在未来时间内状态永远停留在z 。 定义3 如果对于任意选定的实数e 0 ，都对应存在另一个实数6 ( g ) 0 ，使得 i i x ( o ) 一x e l l 6 ) 号l i x ( t ) 一z 。l f ，v0 t 0 ，使得 l i x ( o ) 一x e | i 6 ) ，1 i mi l x ( t ) l i = 0 4 西南大学硕士学位论文 2 2 基本定理 则称该平衡点。= 0 在t o 是渐进稳定的。 渐进稳定性意味着平衡点口。= 0 是不仅是稳定的，而且是从靠近z 。= 0 处出 发的状态轨线，当t _ 0 0 时将收敛于z 。= 0 。 定义5 如果存在两个正数n 和a ，使得 x ( t ) l i a l i z ( o ) | i e 一，t t o 则称该平衡点z 。= 0 在t o 是指数稳定的。 注需要指出的是，指数稳定性蕴含着渐进稳定性。但渐进稳定性并不能保证指数 稳定。 定义6 如果非线性系统式( 2 1 1 ) 某个平衡点z 。= 0 是稳定的，且对所有的 z o 即，都有 1 i m 忙( t ) | i = 0 那么该平衡点z 。= 0 是全局渐进稳定的。 定义7 如果标量函数y ( x ) ：u _ 兄满足 v ( o ) = o ；。0 令v ( x ) o ( 0 ) 则称y ( x ) 为正( 半正) 定函数。 负( 半负) 定函数与正( 半正) 定函数的符号正好相反。 定义8 连续可微标量函数y ) ，v ( o ) = 0 ，并满足v ( x ) 是正定函数，它的导数 矿( 茁) 为半负定的，则称y ( z ) 为l y a p u n o v 函数。 定义9 矩阵a 的所有的特征值的实部都为负的( r e a i 0 和( z ，y ) r 2 ，有 z y i p + 壶” ，p1 其中p 1 ，q 1 ，且满足p 一1 ) ( g 一1 ) = 1 特别的，令p = 口= 2 ，2 = 2 a ( a 0 ) ，则不等式变为 。y a x 2 + 壶可2 此不等式可以任意变形，在本文控制器的设计过程中起了很大的作用。 2 4基础系统 非线性控制领域一个非常重要问题是全局输出反馈稳定。与线性系统不同， 状态反馈全局稳定加上观测器，并不意味着输出反馈全局稳定，因此，所谓的分 离的原理，通常并不适用于非线性系统的情况。或许是出于这个原因，输出反馈 的全局稳定性问题比状态反馈的全局稳定性问题更具有挑战性和困难。近年来， 6 西南大学硕士学位论文2 4 基础系统 出现了许多关于非线性系统输出反馈全局稳定的文章，并取得了一些有趣的结 果。例如，可检测的双线性系统 8 】或仿射与非仿射动态不稳定系统 1 2 】，通过输 入饱和技术【1 2 】输出反馈全局稳定被证明是可以解决。在【1 1 】中，给出了只依赖 于输出和输入的非线性系统扰动的向量场可等价于观察线性系统的充分必要条 件。因此，一类微分同胚于 1 1 1 ， 1 3 】和 1 8 】形式非线性观测器的非线性系统是输 出全局稳定的。 在 2 0 1 中，给出了最小相位非线性系统在对不可测状态不加入额外的增 长条件下输出全局稳定是不可能的反例。自那时以来，许多后来的研究工作 一直集中在各种结构或增长条件非线性系统的输出反馈稳定。常见的假设 之一是，非线性系统必须是输出反馈f 1 4 1 形式或具有一定的三角形式增长条 件 9 】， 7 】，f 17 】， 5 】，【1 6 】。另一个条件是，该系统有不可测状态非线性可以取决 于系统的线性输出 5 】。后者不可测状态放宽到全局利普希茨条件 1 6 】。 在这一节，介绍下列单输入单输出系统的控制设计： 圣1 = x 2 + 0 1 ( t ，z ，u ) 圣2 = x 3 + 妒2 ，z ，u ) 圣n 一1 = 。n + 妒n l ( t ，z ，u ) 圣n = “+ 妒n ( t ，z ，u ) j i ，2z 1 ( 2 4 1 ) 其中。= ( z l ，x 2 ，z n ) t p ，札r 和y r 分别代表系统状态，控制输入和 输出：忱( t ，z ，u ) ，r 即xr r ，i = 1 ，n 是连续且满足下面条件： 假设1 对t = 1 ，n ，存在一个常数c 0 ，使得 妒i ( ，z ，u ) isc ( x l i + i x 2 i + + i 砚i ) 成立。 此条件就是典型的下三角条件限制条件。 7 2 4 1 观测器 我们设计的线性观测器如下： 盒1 = 岔2 + r a l ( x l 岔1 ) 奎2 = 圣3 + r 2 口2 ( z l 一圣1 ) 未n 一1 = 岔几- i - r n - - 1 0 竹一l ( z l 一仝1 ) 圣n = 乱+ t u a n ( x l 一岔1 ) 其中r l 是后面确定的增益常数；啦，i = 1 ，2 ，凡是使多项式 s 忭+ a 1 8 n l + + a n - 1 8 + a n 是h u r w i t z 的控制参数。即多项式的所有根具有负实部。定义 邑= 可( x i - 岔i ) ，江l ，2 ，扎 再由( 2 4 1 ) ，( 2 4 2 ) 和( 2 4 4 ) 式经计算可得 r 芒= r a e + l l ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) = ( 妻。 ，a = ( 兰。i 兰 ；茎 4 t p + p a = i 8 “0 叻一 ；小心 屯 一h (2 h 妒 嚣抓却 考虑l y a p u n o v i 函数： ( g ) = ( 佗+ 1 ) t 尸 ( 2 4 5 ) 对( 2 4 5 ) 式求微分，并由假设1 可知，存在不依赖于7 的常数c l 0 使下式成立 坼卜”珍忙酽州川矿p 羼 一( 礼+ 1 ) 1 1 1 1 2 + 1 2 1 l k ( k i + 扣i + + 芦1k i ) 由( 2 4 4 ) 式可知x i = 筑+ r i - l e i ，因此 习1 鼢i l 万1 龟i + i 矗i ，江1 ，2 ，n 再由( 2 4 6 ) 和( 2 4 7 ) 式可得 1 名 ) 一( ( n + 1 ) r c ，何) 1 1 1 1 2 + c 1 1 1 一( ( 卅1 ) r 咱而一釉 怕( 扫+ 萨1 钟+ 2 4 2 控制器 2 2 r 2 n 2 ( 陬i 铭2 ) 1 起始步骤：构造新的l y a p u n o v 函数： + 拗+ - + 芦1 i ) ( e ，圣1 ) = v o ( ) + 互1 z 2 1 对( 2 4 9 ) 求微分，并由( 2 4 8 ) 得 协一( ( 时1 ) r 咱何一釉i 怕( 扣+ 甭1 孙+ s 一( 礼r 一( 而+ ) i + 岔。畲z + 去r 。；圣 + 互i c - 圣i 2 2 r 2 = - 2岔n 2 ) + 岔1 ( 仝2 + r a l 1 ) 1 2 + c l ( 扣+ + 9 2 r 2 n 一22 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 4 1 0 ) h j 1 1 令r c 1 和定义已= 金2 一定，其中岔；为虚拟控制。则我们可以得到 三c 。岔；三c ，岔；，c ，而1 以 。2 c 刍髫+ c - 去仝；2 由( 2 4 1 0 ) 和( 2 4 1 1 ) 式得 讶一( 几r 一( 而+ 虿n ) c 1 ) j le i l 2 + c l ( 去针+2 r 2 n - 2 + c 。熹器十c ，刍岔；2 + 圣，+ 畲，+ r ( 五1 。；+ i 17 ：2 。 选择虚拟控制器 ：e 2 - - - - r m ，b l = r ta - 夏1 。i + 壶 代入( 2 4 1 2 ) 式得 奶一( n r 一( 何+ 扣n ) 1 1 1 1 2 怕( 扣- - 4 - 弼1 2 ) 一( n r c - 6 ；) 岔； 岔：) 怕知柏已 2 归纳步骤：假设到第k 步，存在正定光滑l y a p u n o v 数： k ( ，1 ，靠) = v k 一1 ( ，1 ，靠一1 ) + 得到一系列虚拟控制器童；，x 2 ，圣“1 ，其中定义 2 r 2 k - 22 ( 2 4 。1 1 ) ( 2 4 1 2 ) 圣；= 0 ，1 = 圣l 一岔：； 龟= - r b i 一1 筑一1 ，& = 龟一圣：，i = 2 ，七十1 ( 2 4 1 3 ) 其中玩 0 不依赖于增益常数l ，则 魄一( ( 1 一七) r 一( 何+ 扣) f 。 + c ll 2 r 2 k + 2 岔：+ 2 + + 现在考虑下面l y a p u n o v 函数： 2 r 2 n - 2 ( ( n + 1 一七) r c 螃) g 岔i ) 怕去鼠。+ 南 k + 。( ，“一，氟1 ) = k ( ，“，+ 两1 “ 2 m 定义靠+ 1 = 岔知+ l 一岔0 1 ，其中圣“1 为虚拟控制。由( 2 4 1 3 ) 式可推得 & = 岔知+ r b k 一1 岔| | c l + r 2 巩一l b 七一2 岔七一2 + + r 南一1 6 一1 6 知一2 6 1 宕1 1 0 ( 2 4 1 4 ) 南 知芦 一 2 则，对( 2 4 1 4 ) 式第二项求微分 ，1 亡2 、 l 丽瓴+ 1 1 ， 蕊舌七+ 1 1 产 两乞七+ l + r k + l a k + l 1 + r k + l a 七+ 1 1 + 慨一 而) ) 产一玩( i + 1 - r b i 5 + r i a i 1 ) ) = 两1 靠+ l ( 圣七+ 2 + r k + 1 如$ 1 n kr k + l d l 1 + 一d 2 已+ + r d 七+ 1 南+ 1 ) 其中d o ，d 1 ，d 七+ 1 不依赖于增益常数r 的合适实数，且以+ l 0 对( 2 4 1 4 ) 式 求微分，由上面的式子可得 饥，一( + 1 一尼) r 一( 而+ 扣) 2 f + e ll l2 r 2 k + 4 金2 + 3 + +2 r 2 n 。22 ) n + l 一后) r c 螃) g + c 。南岔爵。+ c 1 两岔算2 + 去& + ，& + 2 + 万1 氛+ 。金：+ 2 十七+ 。( 鲁。+ 再d i l 。+ 毒笔z + + 鍪3 汹+ r 2 七一、拧一上 + 革“k ) 十矿乞+ 1 j 一( n - 七) r 一( 何+ i n ) c ) 2 一( ( n 一忌) r 器一再1 ( ( n 叫r 咱吲2 针2 c t ( c 。6 粥一刍( ( n 一庇) r - c 1 6 1 ) 2 r 2 k + 4 岔2 + 3 + + + c ，再b + 2 + c 1 r ：一x 辱：+ 刍靠+ 。靠+ z + 万1 靠+ ，+ 。 懈，南( 譬+ - 诉t + + 警 从前面的不等式，可以得到下面线性控制器： 其中 岔+ k + 22 - - r b k + l k + l - - r o k + l 乞k + lz + 2 2 b k + l = n - - k 1 - 譬+ 譬+ + 孥+ 1 1 十“+ 1 ) ( 以+ 1 ) 2 2 r 2 n - 2 + 靠+ l + 1 0 圣n 2 ) d 一出 坠眠 。汹 也 卜 七越 2 2 + + 七 七 z z 籍 学 + 4 西南大学硕士学位论文 2 4 基础系统 i ；i i ；i ；i ；i ；i ；i i i 宣i ；i i i j 酋i i i i i ；i i i i i i i i i i i l i 1 i ；i i i i 葛 不依赖于增益常数7 ，代入上式 s 一( n - k ) r 一( 何+ 弘n ) l l e l l 2 一( ( n 一后) r _ c 1 6 粥 一刍( ( 佗一后) r - - c l b l ) 2 2 一万1 ( ( 仃一忌) r - - c 1 6 j ：+ 1 ) + c l 2 r 2 k + 4仝2 + 3 + +2 r 2 n - 2岔i i 1 2 + 。+ 去氟缸+ ： 这就是递推的一般过程。 上面方法一步一步的递推，推到第步我们可以得到线性控制器 其中矗可由( 2 4 1 3 ) 式推得 u = - r b n 靠 矗= 岔n 一岔：= 岔竹- t - r b n 一1 矗一1 矗一1 = 金n 一1 一x n 一1 = 岔n 一1 + r b n 一2 厶一2 已= 岔2 + r b l l = 仝2 + r b l & , l 玩 0 ，i = 1 ，礼不依赖于增益常数r ，则 亿一( r 一( 而十i n ) c ，) i 忙1 1 2 一( r l c l b 2 ) 酲一去( r c - 6 ；) g 一南r - - c 1 6 ：一。一面1 r 器2 此时l y a p u n o v i 函数为： 啡点，= 啡) + 喜南毋 如果我们选择增益常数r r + = m a x 1 ，( 何+ 詈) c l ，c 1 堵，c 1 6 i 一1 ，则上式的 右边将变为负定。 因此，闭环系统是全局指数稳定。 1 2 西南大学硕士学位论文 第3 章一类改进非线性系统输出反馈控制设计 第3 章一类改进非线性系统输出反馈控制设计 3 1引言及问题的提出 由于在许多控制系统中所有的变量并不能完全测量，所以输出反馈控制在近 些年中得到极大的关注。然而分离原理对非线性系统并不适用，这对控制设计和 状态分析带来极大的不便。 在这一章，考虑下列类型系统的控制设计： 圣l = p l z 2 - t - 6 1 ( 亡，z ，u ) 妒1 ( 芒，z ，u ) 圣2 = 如z 3 - t - 6 j ，z ，u ) 妒2 ( ，z ，口) ( 3 1 1 ) j c , ，- z = 以一l z n 十6 一1 ( t ，z ，让) 妒n 一1 ( t ，z ，让) 圣n = 如u + “ ，z ，u ) 妒n ( t ，z ，让) 掣2x l 其中z = 1 ，z 2 ，z 。) t 研，u 冗和y r 分别代表系统状态，控制输 入和输出；晚0 ，i = 1 ，n 是常数；瓯( t ，z ，u ) ，i = l ，n 是有界未知 扰动；仇( t ，z ，u ) ，i = 1 ，礼是局部利普希茨连续且满足慨( t ，0 ，u ) = 0 ，i = 1 ，n 。 注局部利普希茨条件意味着对任何控制输入u 闭环系统都存在解。条件 慨( t ，0 ，u ) = 0 ，i = 1 ，n 是系统初始的平衡点。 系统( 3 1 1 ) 是输出反馈系统的一类，如果吼= 1 ，i = 1 ，n 和坑( t ，z ，u ) = 1 ，i = 1 ，n ，这个系统在 1 9 】中有过研究， 2 1 】是其另一种形式的系统。如果 反( t ，z ，u ) ，i = 1 ，扎不依赖于t ，z ，u ，即，是未知常数，系统( 3 1 1 ) 与 2 3 】研究 较相似。系统( 3 1 1 ) 的特列如下 主1 = x 2 + 妒1 ( t ，z ，u ) 圣2 = x 3 + 1 0 2 ( t ，z ，u ) 宕n 一1 = z n + c 如一1 ( ，。，u ) 圣n = t 正+ 妒n ( ，z ，u ) 2z 1 1 3 ( 3 1 2 ) 西南大学硕士学位论文 3 1 引言及问题的提出 i i i i i ；i i i ；i i i i i ；i i i i ；i i i i i ；i i i ；i i i i i i a l i , f i ；i 暑i i ；i i ；i i i i i i i ；i ；i ；i i i 也是一个非常重要的输出反馈系统但是，在【1 9 ，2 1 】和( 3 1 2 ) 研究的系统与 ( 3 1 1 ) 大不相同在上述系统中，其线性部分是稳定的，然而，系统( 3 1 1 ) 的线性 部分因为有“控制参数”吼，i = 1 ，n 变得可能不稳定。因为在实际的控制系 统中控制参数是存在的，所以带控制参数的控制系统近来受到极大关注。 一般的，输出反馈系统的非线性项依赖于不可测量的状态变量，为了建立控 制器需要很强的限制条件( 见 2 0 】) 。所以，许多的研究工作中系统的非线性项基 于特殊的结构或增长的限制条件( 见( 2 2 ，2 4 ，2 6 ，1 9 ，2 1 ) 。比如，非线性项满足全 局利普希茨条件( 见 2 4 】) ，或满足下三角形式( 见( 3 4 0 ，或更广的下三角形式( 见 f 1 9 ，2 1 】) 。在这一章，非线性项条件我们假设条件如下： 假设1 存在一个常数7 0 ，对忱( t ，z ，u ) ，i = 1 ，n 和任意的s ( 0 ，1 ) ，都有 n r l , s 扣1 t ，z ，u ) l ，y s 弘1 蚓 i = 1i = 1 成立。 非线性项的假设条件同文献 1 9 ，2 1 】的假设条件是相同的。 比如，一类满足下三角条件的函数 i t 以( ，z ，u ) l c ( 1 2 1 i + i x 2 i + + l 鼢i ) ( 3 1 3 ) 满足假设1 ，其中c 0 事实上，如果满足条件( 3 1 3 ) ，则对任何0 8 l ，都有 s 一1 i 慨( t ，z ，) i i 妒1 ( t ，z ，u ) i + s i 妒2 ( t ，z ，u ) l + + s n 一1 i 妒n ，z ，u ) i i = 1 c x l l + c s ( i z l l + l x 2 ) + + c s n - 1 ( 1 2 1 i + i x 2 i + + i z n i ) c ( 1 + s + + s n - 1 ) l z l l + c s ( 1 + s + + 8 n - 2 ) i x 2 i + + c 8 n - 1 i l c n l x l i + c n s x 2 i + + c ? z 8 n - 1 l z n i t l c n s 扛1 蚓 i = l 令，y = n c 这就满足假设1 在这一章，非线性项在假设1 的条件卞，我们考虑带有控制参数和未知扰动 的系统( 3 1 1 ) 的输出反馈稳定控制设计。首先，我们用文献【2 3 】中的线性变换， 把系统( 3 1 1 ) 变成一个线性部分稳定的新系统；其次，设计观察器估计不- t n 量 的状态变量；最后，设计出控制器。控制器使闭环系统全局渐进稳定。 1 4 西南大学硕士学位论文 3 2 控制设计 i - = - 一_ mit i i i ；i i i i i i i 3 2控制设计 首先，我们需要处理系统( 3 1 1 ) 中的控制参数o i 。通过状态变换，系统 ( 3 1 1 ) 变为一个线性部分稳定的系统。 3 2 1状态变换 令 已2 丽x i ，t 。上l i j = i i = 1 ，礼 ( 3 - 2 1 ) 则( 3 1 1 ) 变为 f l = 已+ 1 妒1 岛= 岛+ 2 妒2 ( 3 2 2 ) 厶一1 = 矗+ n 一1 l p n 一1 矗= u + n 妒n 可= 0 6 系统的线性部分是稳定的，其中 百= n o i 3 2 2 高增益观测器 为了估计系统( 3 2 2 ) 的不可测量的状态变量，首先设计观测器。设g i ，i = l ，2 ，礼是使多项式 s n - i - n l s n 一1 + + a n 一1 s + a n( 3 2 3 ) 是h u r w i t z 的常数。即，多项式的所有根具有负实部。假定r 1 是后面决定的 增益参数。则，观测器定义为 1 = 已+ r a t ( 6 一f 1 ) = 已+ 7 - 2 0 。( 。一a ) 己一l = 己+ r n 一口n 一1 ( ，一a ) 己= u + 7 n o n ( 1 一毒1 ) 1 5 ( 3 2 4 ) 西南大学硕士学位论文 3 2 控制设计 i i i i i i i ；i i i i - 一i - i n i i i ；i i i ；i i ；i i i i i i ；i i i 接下来，令为观测误差，即 毫= 6 6 ，i = 1 ，扎 由( 3 2 2 ) 式减去( 3 2 4 ) 式，可得 令 则( 3 2 5 ) 式变为 记 二_ l = 已一r a l l + 1 妒1 己= 己一r 2 a 2 6 + a 2 妒2 己一1 = 己一r n - 1 0 。一1 a + a n 一1 妒n 一1 二 一 矗= 一r n a n 1 + a n 妒n 白= 击邑，t = ”一，n 白= r ( 已一a 1 ( 1 ) + a 15 i o l