（机械电子工程专业论文）3rrrt并联机器人精度设计与运动学参数辨识.pdf

摘要 本文对3 一r r r t 并联机器人精度设计和运动学参数辨识作了比较深入的研究。主要 涉及的内容有： 利用n h 法对3 一r r r t 并联机器人机构进行了分析，并用解析的方法给出了该并 联机器人的8 组位置反解，采用数值方法给出了该并联机器人的位置正解。并利用 m a t l a b 语言及其工具箱，验证了该数学模型的正确性。同时分析了该机器人的零点 误差。 系统的研究了一种基于球杆仪检测信息的并联机器人运动学标定方法，分析了3 一 r r r t 并联机器人的几何误差源，并建立了3 一r r r t 并联机器人位姿误差模型，将非线性 问题转化为线性化问题。通过该模型的建立，给出了该机器人误差参数识别的算法，并 进行了数值仿真，进一步分析了误差参数识别的可行性。该方法也可用于其它并联机构 的运动学误差参数识别。 利用s o l i d w 6 r k s 和m a t l a b 中的s i m m e c h a n i c s 工具箱建立3 一r r r t 并联机器人的 机构模型，并在s i m m e c h a n i c s 环境下对机器人进行了运动学的动态仿真，同时进行了 轨迹跟踪控制。 关键词：3 - r r r t 并联机器人，位置分析，误差参数辨识，s i m m e c h a n i c s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ek i n e m a t i c so ft h e3 一rrr tp a r a l l e lm a n i p u l a t o rh a sb e e ns t u d i e d ，a n d i t sc o n t e n t sm a i n l yi n v o l v e sa sf o l l o w s ： f i r s t l y ，t h i sp a p e rh a ss o l v e dt h ed i r e c ta n di n v e r s ed i s p l a c e m e n tp r o b l e m so ft h e 3 一r r r tp a r a l l e lm a n i p u l a t o r t h ed - hm e t h o di sa p p l i e dt os t u d y i n gt h es t r u c t u r eo ft h i s m a n i p u l a t o r p o s i t i o ne q u a t i o n sa r eb u i l tb ya n a l y z i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es t a t i c p l a t f o r ma n dt h em o v i n gp l a t f o r m n ed i r e c ta n di n v e r s ed i s p l a c e m e n tp r o b l e m sa r es o l v e d a n dt h es e to fr o o t sa r ef o u n do u t 1d i r e c ts o l u t i o na n d8i n v e r s es o l u t i o n sa r eg o t a n di s v e r i f i e dt h ea c c u r a c yo ft h em a t h e m a t i c s m o d e lw i t hm a t a l ba n di t st o o l b o x e s s e c o n d l y , t h em e t h o df o rk i n e m a t i cc a l i b r a t i o ni si n v e s t i g a t e db a s e do nt h em e a s u r e d d a t au s i n gd o u b l e - b a l l b a r , t h eg e o m e t r i cs o u r c e se r r o ri sa n a l y z e d ，a n dt h ee r r o rm o d e l i n g o ft h e3 r r r tp a r a l l e lm a n i p u l a t o ri sb u i l tu p t h e nc h a n g et h ee r r o rc a l i b r a t i o nt ol i n e a r p r o b l e m w i t ht h ee s t a b l i s h m e n to ft h em o d e l i n g t h ea l g o r i t h mf o ri d e n t i l y i n gt h ee r r o r c a l i b r a t i o ni sg i v e n ，a n dt h en u m e r i cs i m u l a t i o ni s a p p l i e d ，t h ep o s s i b i l i t yo ft h e e r r o r c a l i b r a t i o ni sf u r t h e ra n a l y z e d t h a tm e t h o da l s oc a nb eu s e df o rt h ei d e n t i f i c a t i o ne r r o r p a r a m e t e r so fo t h e rs i m i l a rp a r a l l e lm a n i p u l a t o r t h i r d l y , t h e3 一r 剐订p a r a l l e lm a n i p u l a t o rm o d e l i n gi sb u i l tu pb ym a k i n gu s eo ft h e s o l i d w o r k sa n ds i m m e c h a n i c si nm a t l a b a n dt h ek i n e m a t i c ss i m u l a t i o no ft h i sk i n d m a n i p u l a t o ri sc a r d e do nu n d e rt h ee n v i r o n m e n to fs i m m e c h a n i c s ，a n dt h et r a j e c t o r yt o f o l l o wt h ec o n t r o li sc a r d e do na tt h es a m et i m e k e yw o r d s ：3 - r r r tp a r a l l e lm a n i p u l a t o r , p o s i t i o na n a l y s i s ，e r r o rc a l i b r a t i o n ， s i m m e c h a n i c s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取 得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津理工大学或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 hi 。 学位论文作者签名：套桷豇签字日期：叫年 罗月己日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 墨盗墨兰太鲎有关保留、使用学位论文 的规定。特授权墨盗堡兰太堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编， 以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复本和电子 文件。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：名事 ! ；l 豇 签字日期：如j 5 7 年了月乙日哆1弓年 、古 ， 客卅 名 期 签 日 师 字 导 签 第一章绪论 第一章绪论 1 1 并联机器人发展现状及应用 机器人的诞生是人类2 0 世纪最具代表性的高技术之一，对机器人技术的研究和应 用形成了一门新的综合性的工程技术学科一机器人学，它是一门边缘学科，综合了机械 学、生物学、人类学、计算机科学与工程、控制理论与控制工程学、电子工程学、信息 科学、人工智能等学科领域打机器人技术的逐步成熟，机器人从能完成一些简单的抓取、 放置、焊接操作，发展到现在能行走、进行语言交流和简单思维等智能行为的高级机器 人，目前机器人的应用情况已成为衡量- 个国家综合实力的指标之一。机器人的诞生和 机器入学的建立及发展使现代工业生产的面貌发生了翻天覆地的变化，同时对人类生活 的诸多方面产生了深远的影响。 工业机器人自2 0 世纪6 0 年代初问世以来，得到十分迅速的发展，已广泛应用于各 个工业领域以及服务行业、医疗卫生等方面。在工业( 串联) 机器人方兴未艾时，又出现 了一种全新的并联机器人种类。并联机器人与串联机器人相比有以下特点：1 刚度大， 结构稳定；2 承载能力大；3 运动负荷小；4 微动精度高；5 在位置求解上，串联机器 人正解容易，但反解十分困难，而并联机器人正解困难反解却非常容易n 3 。与目前广泛 应用的串联机器人在应用上构成互补关系，因而扩大了整个机器人的应用领域。国内外 研发机构和学者对它的研究与开发给予了高度重视，做了大量的研究工作，取得了一 系列的成果。 目前，并联机构已在飞行模拟器、空间站对接、射电望远镜、强力承载装置、智能 手爪、外科手术、数控机床和机器人以及微操作等方面得到深入研究和应用瞄1 。例如位 于法国的欧洲同步加速器辐射研究所( e s r f ) 研制的一台并联机器人样机 e r s f - - i n r i a ，在2 3 0 k g 负荷下其重复精度超过0 1 l x m 。瑞士联合技术学院研制的 d e l t 卜5 8 0 型直接驱动并联机器人，可以承受5 0 0 m s 2 的加速度。日本r i t s u m e i k a n 大学科学与工程学院研制的一种超高速并联机器人f a l c o n - - - 7 ，最高速度可达1 3 m s ， 最高加速度可达4 3 g 。法国国家信息与自动化研究所研制的样机m a i ng a u c h e ，最 大可承受1 0 0 k g 的载荷，绝对定位精度达到1 0 岬h 1 。 并联机器人在工程应用领域最成功范例是虚拟机床，它集成了数控机床与机器人技 术和现代系统控制技术，与传统数控机床相比较，具有结构简单、易于加工、刚性好、 节约原材料、系统刚度重量比大、响应速度快、机械本体的体积精度较高、成本低和可 变通性强、技术附加值高等优点哺1 。1 9 9 4 年，在美国芝加哥国际机床展览会上，美国 g i d d i n g s & l e w i s 公司首次展出了v a r i a x 型并联运动机床，引起轰动。它是一台以s t e w a r t 平台为基础的5 坐标立式加工中心，标志着机床设计开始采用并联机构，是机床结构重 大改革的里程碑，其内部结构如图l 所示。 第一章绪论 从图中可见，6 根由伺服电动机驱动的伸缩杆，借助万向铰固定在下平台上，这种 结构也被称为“6 条腿( h e x a p o d ) ”，丝杆的螺母通过万向铰支承着上平台。杆件长度 的伸缩使带有主轴部件的上平台完成加工零件所需的运动。 圉1v a f i a x 型加工中心图2k h m 7 5 0 型涮量机 俄罗斯l a p i e 公司将s t e w a r t 平台并联机构用于t m 1 0 0 0 型精密加工中心和 k i f m 一7 5 0 型3 坐标测量机，k h m 一7 5 0 型测量机的外观如图2 所示。从图中可见，上平 台就是测量机的框架，6 根伸缩杆是由伺服电动机驱动的滚珠丝杆，它们共同与装有测 量头的f 平台连接。在固定的上平台和运动的下平台之间安装有6 根激光干涉坝瞳尺， 对伸缩杆的位移进行测量，并实时反馈，工作精度可达o0 0 1 00 0 2 m m 。工作空间为 7 5 0 r a m x 5 5 0 m m x 4 5 0 m m 。采用并联机构的测量机的特点是可以很方便地将测量头偏转 一个角度，测量斜孔的直径。 德国m i k r o m a t 公司的6 xh e x a 立式加工中心的研制由欧共体e s p r i t 高科技研究计 划资助。该机床的外观如图3 所示。从图中可见，工作台在机床的底座上可前后移动， 咀便于装卸工件。底座上有3 根按照1 2 0 。分布的立柱，用于支承并联机构。该并联机构 的特点是采用变型s t e w a r t 平台，分别将上下平台都分为两层，两层上平台固定在3 根 立柱的侧面两层下平台共同支持主轴部件。采用伺服电动机驱动滚珠丝杆实现6 根杆 的同时或单独伸缩，以控制主轴部件完成6 个自由度的空间运动。这种变型结构改善了 工作空间与机床所占体积之比，使主轴姿态变化时受力更加均匀。该机床主要用于模具 加工，可以实现5 坐标高速铣削，加工精度可达o 0 1 o 0 2 m m 。德国i n d e x 机床公司 2 0 0 0 年率先推出采用并联机构的车削中心。2 0 0 2 年又将其联成加工回转体零件的流水 线，在生产中应用效果照好。机床的外观如图3 所示。该机床的结构特点是3 根立柱固 定在机床底座上，顶端由多边形框架连接。每根立柱上有导轨，滑板在滚珠丝杆驱动下 沿导轨移动，通过6 根固定杆长的杆件将主轴部件吊住。使主轴实现3 个直角坐标的移 动。从并联机构分析的角度看，这种配置属于3 杆并联机构( t r i p o d ) 。 第一章绪论 图36 xh e x a 型并联运动机床图4v 1 0 0 型车削加工中心 图5p 2 0 0 0 型5 坐标立式铣床 美国h e x e l 公司致力于并联运动机床和并联机构应用的普及化，推出低价位的 t o r n a d o 型5 坐标加工中心和p 2 0 0 0 铣床工作台，以及6 自由度的定位平台和微型机器 人等一系列产品。p 2 0 0 0 铣床工作台是一个采用并联机构的6 自由度动平台，它可以作 为单独部件提供给用户，也可以配置成为完整的5 坐标立式铣床。将p 2 0 0 0 铣床工作 台与旧的普通立式铣床相配合将主轴部件转1 8 0 。，就能够很快构成一台全新的5 坐标 数控立式铣床，适用于加工小型模具或样件制造。数控系统软件由该公司自行开发，硬 件采用w i n d o w 操作系统的微机和d c l t a - t a u 公司的控制卡。机床外观如图5 所示。 第一章绪论 1 2 国内外研究现状 1 2 1 并联机器人位置分析研究现状 目前，国内外关于并联机器人的研究主要集中于机构学、运动学、动力学和控制策 略研究等几个领域。其中并联机器人的机构学与运动分析主要研究并联机器人的运动学 问题、奇异位形、工作空间和灵巧度分析等方面。这项研究是实现并联机器人控制和应 用研究的基础，因而在并联机器人的研究中占有重要的基础性地位。动力学分析及控制 策略的研究主要是对并联机器人进行动力学分析和建模，并且研究利用各种可能的控制 算法，对并联机器人实施控制，从而达到期望的控制效果。 机器人的位置分析就是求解机器人的输入构件、输出构件之间的位置关系，这是机 器人运动分析的最基本的任务，也是机器人速度、加速度、受力分析、误差分析、工作 空间分析、动力分析和机器人综合等的基础。由于并联机构的复杂性，使得对并联机构 的位置分析要比串联机构的复杂得多。当已知一机构的原动件的位置时，求解该机构的 输出位置与姿态，称之为位置分析的正解；若已知一机构的输出位置和姿态，求解原动 件的位置时，称之为位置分析的反解。在串联机器人的位置分析中，正解比较容易获取， 而反解比较困难得到，而并联机器人的位置分析与串联机器人的正好相反。 并联机器人位置正解分析主要可分为数值法和解析法两种。数值法主要采用迭代的 策略进行编程，数值法的优点是它可以应用于任何结构的并联机器人，计算方法简单， 但是此法的缺点是，不能保证获得全部解，而且存在局部极小点的问题和计算时间长等 问题。 1 2 2并联机器人运动学误差参数辨识研究现状 常用的误差建模方法有矩阵法和矢量链法。矩阵法是以d h 法为基础，以齐次变换 矩阵作为相邻构件间的坐标转换矩阵，通过矩阵间的乘积、微分等运算，来建立末端执 行器位姿误差模型。w a n g 3 利用这种方法建立了s t e w a r t 平台的误差模型，模型中考虑了 球铰位置误差和杆长误差。并得到在等同零部件制造精度等级条件下，s t e w a r t 平台与相 同尺寸串联装备的末端精度处于同一量级的结论。其研究结果还表明，最大误差发生在 工作空间边界上。p a t e l 盯1 利用矢量链法建立了更完整的s t e w a r t 平台的运动学误差模型， 在模型中考虑了加工误差、热和弹性变形引起的误差、控制误差，并将其分解成影响支 链长度和铰链位置误差两个部分，并通过灵敏度分析研究了零部件公差分配问题。 w a n g 陋3 建立了s t e w a r t 平台的一阶和二阶误差模型，并得出前者即可获得足够精度的结 论。此外，他还借助灵敏度分析法揭示了各几何参数误差对末端位姿误差的贡献。在此 基础上，k i m 提出了误差区间分析法，建立了末端位姿误差区间与铰链位置误差区间的 映射关系，利用这种关系可指导零部件的公差分配。对于少自由度并联机构，由于其末 端存在不可补偿误差，使误差建模和分析工作显得更加重要。m a u r i n e 一1 和v e m e r n 们分别 研究了少自由度并联机构误差建模方法，但是都没有指出影响末端不可补偿误差的几何 误差源。黄田等指出在采用平行四边形欠约束支链的平动并联机构中，由平行四边形对 第一章绪论 边误差和共面误差所引起的末端姿态误差是不可控的。 目前国内外学者大多致力于对误差建模方法和利用补偿器等问题的研究。特别是少 自由度并联机器人的末端操作器具有更加复杂的误差特性，国内外学者通常采用精度标 定法和附加冗余传感器等方法。精度标定法通过对机器人进行误差建模，利用并联机构 操作空间与关节空间非线性映射的性质进行位姿误差监测、参数识别和修改系统输入实 现末端误差补偿。附加冗余传感器方法是增加位置和角度传感器，利用冗余传感数据对 机构进行自标定，以提高机器人的位姿精度的一种方法。gp r i t s c h o w 已把附加冗余传 感器法用在了t r i e e p t s 0 5 并联机床上，实践表明它是一种有效的方法。j i a nw a n g 和 m a s o r y 分析了加工误差、安装误差和连杆偏置对机器人精度的影响，并提出了采用参 数识别进行误差补偿。h a n q iz h u a n g 利用附加传感器，实现了并联机器人的自校准系统。 国内，邹豪等从并联机构与串联机构的运动学等效、并联机构本身特征与并联机构 实际工作空间出发，考虑各分支末端误差对最终运动平台末端误差的影响，提出了并联 机构位姿误差放大因子分析法。黄真等利用影响系数法分析了机构的误差，并开发了并 联式机器人误差补偿器。 并联机构运动学标定方法可大致分为自标定法和外部标定法。自标定方法是利用安 装在主动或从动铰链上的内部传感器( 如编码器) 检测系统内部运动变量，并据此构造 相应的辨识模型。外部标定法利用外部传感器( 如双频激光干涉仪、精密经纬仪，倾角 仪或球杆仪等) 检测末端位姿信息，构造其与模型计算值间的误差范函，进而通过相应 的逆解或正解辨识模型来识别几何参数。按操作空间位姿或关节变量的实测值与其计算 值问误差泛函不同，外部标定法又可分为正、逆两类方法。z h u a n g 开发了一种每次保 持一条支路不变而让其他支路变化的标定方法，并利用电子经纬仪和5 维激光干涉仪测 量了s t e w a r t 平台的位姿误差全集，所用检测设备极其昂贵。d a v i d 和l o a r m i s 在对s t e w a r t 平台建模时采用多项式结式消元来减少冗余的标定量，避免测量姿态误差，但只是限于 数值仿真。s o o n 提出了一种基于最d - 乘的标定算法，并探讨了仅检测部分误差信息 以期识别几何参数误差的可行性。然而，他仅从负面证明了若在整个工作空间内保持末 端关于固定参考系某轴的名义姿态不变而测量其误差，则所构造的辨识雅可比矩阵非满 秩。h u a n g 针对一种三平动自由度的并联机床，建立仅考虑末端位置的简化误差模型， 并提出一种基于末端单轴位置误差信息的运动学标定方法，取得一定效果。但该方法在 建模时仅记入了部分几何参数误差，且未能正确处理机架坐标系与标定坐标系间的刚体 位移信息。黄田和汪劲松提出一种基于末端误差最小子集检测信息的运动学标定方法， 系统地研究了s t e w a r t 平台几何参数误差的可辨识性，仅需检测末端在历经所有可控自 由度时沿单轴的相对位置误差、及其在初始标定位形下的姿态误差便可辨识出系统的全 部几何参数。刘得军提出一种基于逐次逼近算法的运动学标定方法，并对3 自由度并联 坐标测量机的3 3 个主要运动学参数进行了辨识。o t a 等人提出一种利用d b b ( d o u b l e b a l lb a r ) 系统检测末端误差，进而借助正解辨识模型识别几何参数的方法。该方法虽 可有效地避免检测末端姿态，但因受到装置检测范围的限制，故仅适于位姿空间较小的 场合。h a iw a n g 等利用3 dl b b 球杆仪测量了一类3 - p r s 混联机床的体积误差，并借助 于运动学逆解模型，建立了该机床的误差辨识模型，并取得满意结果。mw e e k 和d 第一章绪论 s t a i m e r 利用西门子8 4 0 d 型球杆仪对i n g e r s o l lh o h6 0 0 型并联机床进行测量，并有效解 决了机床的运动学误差、重力负载和热变形。y u k i ot a k e d a 借助傅立叶级数推导出一种 适合于一类d b b 测量六杆并联平台的算法，并优化测量路径共3 4 条测量路线n 。 1 2 3 并联机器人仿真研究现状 计算机仿真技术是一门科技含量很高的学科，其方法是建立在计算机的硬、软件的 发展基础上的，随着计算机的发展，仿真技术也得到了迅速的发展，其应用领域及其作 用也越来越大。尤其在航空、航天、国防及其他大规模复杂系统的研制开发过程中，计 算机仿真是一直不可缺少的工具。与物理实验相比，它可以大大的缩减开发经费、缩短 开发周期、保证产品质量、减少试制损失等方面发挥了巨大作用。 机器人仿真技术为机器人的设计和研究提供了一种方便的工具，同时也为机器人的 开发应用提供了方便而安全的试验手段。随着机器人研究的不断深入和机器人领域的不 断扩展，以及计算机技术的不断发展机器人仿真系统作为机器人设计和研究过程中安全 可靠、灵活方便的工具，发挥着越来越重要的作用。 随着计算机性能的提高，机器人仿真技术从最初的数字仿真，n - - 维机构简图仿真， 到目前的三维图形仿真，使机器人研究有了新的手段机器人三维仿真技术是8 0 年代开 始发展起来的一门新兴学科，它是计算机技术、机器人学和仿真图形学相结合的产物。 目前机器人仿真系统主要进行两方面的工作：运动学仿真和动力学仿真。机器人三维仿 真使人的研究工作更直观，它不但可以较为逼真地显示机器人本身的结点和运动细节， 还可以模拟机器人所在的环境状况，使机器人的设计符合实际使用的要求。 1 2 4m a t l a b 的仿真研究现状 m a t l a b 是以复数矩阵作为基本编程单元的一种高级程序设计语言，它提供了各 种矩阵的运算与操作，有很强的绘图功能，所以得以广为流传，成为当今国际科学与工 程领域应用最广、最受人们喜爱的一种软件环境。m a t l a b 是一个高度集成的软件系 统，它集科学与工程运算、图形可视化、图像处理、多媒体处理于一身，并提供了使用 的w i n d o w s 图形界面设计方法，使用户能设计出友好的图形界面。m a t l a b 语言在自 动控制、航天工业、汽车工业、生物医学工程、语言处理、图像信号处理、雷达工程、 信号分析、计算机技术等各行各业都有极广泛的应用u 副。 1 3 本文主要研究内容 本课题是属于国家自然科学基金( 5 0 6 7 5 1 5 6 ) 、天津市应用基础与前沿技术研究计 划( 0 7 j c z d j c 0 9 1 0 0 ) 和国家高技术研究发展计划( 8 6 3 ) ( 2 0 0 7 a a 0 4 2 2 0 3 ) 中的一部 分。 本课题研制的空间3 自由度并联机器人3 一r r r t 并联机器人属于少自由度并联机器 人，这种机构不存在高副和虚约束，由于少自由度并联机器人具有结构简单、形式对称、 第一章绪论 造价低廉以及可能具有高速度和高刚度的性质，使其与有良好的发展前景。 本文主要内容如下： 1 对3 一r r r t 并联机器人进行了位置分析，推导出了该机器人的位置解析反解， 采用m a t l a b 及其工具箱推导出该机器人的位置数值正解，并进行了相应的数值仿真 验证了算法的准确性。 2 研究了3 一r r r t 并联机器人的几何误差建模、参数辨识算法，并进行了数值仿 真和分析。还对其提出了精度补偿方法，提供了一种有效的补偿策略，并进行了数值仿 真和实验研究。 3 利用s o l i d w o r k s 和m a t l a b s i m m e c h a n i c s 软件，建立了3 一r r r t 并联机器人 的实体模型，给出了运动学仿真，还给出了轨迹规划进行了轨迹跟踪的智能控制策略的 研究。 第_ _ _ = 章3 - r r r t 并联机器人位置分析及其仿真 2 1 引言 第二章3 - r r r t 并联机器人位置分析及其仿真 机器人的位置分析是求解机构的输入与输出构件之间的位置关系，也可咀说是 工作空间与关节空间相互转化问题，这是机器人运动分析的最基本的任务，也是对 机器人的运动学、动力学、工作空间、奇异位形、精度分析等其他各项性能进行分 析的前提。由于并联机构属于空间多环封闭形机构，这就促成了其机构结构的复杂 性，对并联机构进行位置分析要比空间单封闭形机构复杂得多。 机器人的位置分析包括正解和反解两个部分。当已知机构各驱动副的长度( 转 角) ，而求解动平台( 末端执行器) 的位置和姿态时，称之为正解；若已知动平台 ( 末端执行器) 的位置和姿态，而求各个驱动副的长度( 转角) 时，称之为机构位置 的反解。在串联机器人机构的位置分析中，正解比较容易而反解比较困难。并联 机器人相对串联机器人的位置求解从总体上看是比较困难的，但是就并联机器人来 说其位置反解比较容易，而其正解是十分复杂的，这也正是并联机器人机构分析 的特点和难点所在。 图2 一i3 - r r r t 并联机器人样机 并联机器人位置正解分析主要有数值法和解析法。数值法的优点是它可以应用 第二章3 一r r r t 并联机器人位置分析及其仿真 于任何结构的并联机器人，计算方法简单，但此法不能保证获得全部解，存在局部 极小点问鹿，计算时问比较长，但是随着计算机硬件的发展和程序的优化这个问 题是可以解决的。解析法主要是通过消元法消去机构约束方程中的未知数从而使 得机构的输入输出方程成为只含一个未知数的高次方程。这种方法的优点是可以求 解机构的所有可能的解，但是，上述的消元过程是非常烦琐的，求解一元高次方程 时对计算精度要求非常高，若要获得高精度的解，则相对需要比较大量的计算时间。 本章运用了齐次坐标系法和空间矢量法对3 一r r r t 并联机器人机构进行了分析， 用解析的方法给出了该并联机器人的8 组位置反解i 采用数值方法给出了该并联机器 人的位置正解。应用m a t l a b 语言及其优化工具箱，实例验证了该数学模型的正确 性。 图2 23 - r i i 】i t 并联机器人几何模型 图2 - 1 为3 一r r r t 并联机器人的样机。囤2 - 2 为3 一r r r t 并联机器人的实体模型，由 s o l i d w o r k s 软件制作而成。其中，上平台为固定平台，下平台是动平台。与上下平 台连接的每条支链，自上而下，都含有3 个转动副( 用r 表示) 和1 个虎克铰( t ) ， 根据结构类型可知，3 - r r r t 并联机器人在运动过程中，动平台相对于静平台仅能实 现三维( x ，y z 方向) 的平动“。 2 23 - r r r t 并联机器人坐标系的建立 为了便于分析，把虎克铰转化为垂直相交的2 个转动副( t m r r ) 。图2 - 2 所 示为3 _ r r r t 并联机器人第一支链转化后的几何结构简图。为了叙述的便洁本文采 用取下标的表述方式t 如i 表示为第j ( 1 、2 、3 ) 支链的第j ( 0 、i 、2 ，3 、4 、5 ) 第二章3 - r r r t 并联机器人位置分析及其仿真 构件的长度矢量。其中l 。= o 、忆。l l r 、旺，0 = r ，下脚标j 相同的构件的长度相同。 口。为各构件连接的铰点，也是相应的体坐标系的原点。固定平台的三个铰点a 。、口，。、 a 3 l 位于同一平面上，且q 。口2 。口，为正三角形；动平台的三个铰点a 15 、a 2 5 、口，位 于同一平面上，且口l ，口，玛，为正三角形。其中连杆l ( 厶，) 通过转动副与固定平台 和连杆2 ( 厶，) 连接，连杆2 ( 厶，) 与连杆3 ( 厶，) 通过转动副连接，厶，与上平台通过 虎克铰连接。向量p i l 、e 。2 、e 1 3 、e l 。、e 1 5 为通过回转副轴线的单位矢量，它们有 如下的关系： e l l2 e 1 22 e l s ，e 1 32 e 1 4 ，e 1 1 - 岛320 z l 焉 图2 33 一r r r t 并联机器人结构简图 本文采用齐次坐标矩阵的方法来描述3 - r r r t 并联机器人各刚性构件的位姿( 位 置和姿态) 。如图2 3 所示，o 一五y 。磊为绝对坐标系，o 为上平台的几何中心，o z 垂 直于上平台，p x t y 毛为动坐标系，p 为下平台的几何中心，胆垂直于下平台。 以支链1 为例，在各构件的下关节建立相应的体坐标系如图2 - 2 所示。杆件厶， 的体坐标系 j ) 固定在i 杆件下关节j 之处，它的原点o ，在关节j 的轴线上( 与铰点 口f 、a l ，。) 重合) ；o i z ，轴与关节j 的轴线重合，方向由单位矢量e ，指定；o i x ，轴位于 杆件厶，上，方向以延长方向为正向；o ，y ，轴方向由右手坐标系的原则来决定。 第二章3 一r r r t 并联机器人位置分析及其仿真 a 矩阵( d e n a v i t - h a r t e n b e r gm a t r i x ) 是二相邻两构件体坐标系的齐次坐标变 换矩阵，其将上编号杆件体j 坐标系向下编号杆件j 一1 体坐标系变换，也可以称为 旧基改变为新基的过渡矩阵。矩阵a 的参数说明如下： ( 1 ) 杆件几何参数： 杆件长度q n 两关节转轴轴线间公垂线之长度。 杆件扭角a m 将杆件j 的任意轴线向另一轴线平移，使之相交，则此二直 线决定一个与该杆件垂直的平面，此二直线的平面交角就是杆件的扭角a 小。 ( 2 ) 关节变量及偏置量： 关节变量q i 、将i 杆件的长度线平移至i 1 杆件长度线处与之相交，它们决 定一个与关节j 轴线相交的平面，q 就在此平面内测量。具体情况如图2 - 2 所示。 偏置量哝l j ) 杆件j 的偏置量是杆长线a o , j ) 及口( 1 j - 1 ) 在j 号关节轴线上截取的距 离。表2 - i 所示为3 - r r r t 并联机器人的矩阵a 的参数。 表2 - 1 矩阵a 的参数 构件编关节量构件扭角构件长度偏置量 号厶，q 1 j ，5 ( 1 i 1 )口f l ，i 1 )4 1 j ) c o s 0 ( i ，j 1 ) s l n a ( i ，j 1 ) 厶，q 。 9 0ro0l 厶：1 9 l ： o l l olo 厶，q ， 9 0 l 2 oo1 厶。q 。 o l 3 o10 厶，b ， 9 0000l 将表2 - i 中的参数代入到下面的公式中： 4 = r o t ( x j 一。，a 。，一。弦砌s 【口l ，一。，0 ，o ) r o t ( z j ，q ，) t f g n s ( 0 ，0 ，西，) a l = a 42 妒r l a 5 = 0 l l 00 l0 0l 0r l0 o0 0l a 3 = a 6 = 一s 3 0 一g 0 l00 0 0一l olo 0 0o 三2 0 0 1 o 1 o o、r o o 1 心q o o 心o g o q 是o o g o 墨0 尺o 0厶o o o o 0 o o o l 0 _ o q o 书q o o q o s 0 g 0 0 第二章3 - r r r t 并联机器人位置分析及其仿真 f ，一1 00 、 丁：l o-1o 砂i l 三三三? j 其中c j = c o s o lj ，s j = s i n o , j t 为动平台相对于绝对坐标系的位姿，向量 p x ，p y , p z ，1 为点p 在绝对坐标系下的 齐次坐标表示。 2 33 - r r r t 并联机器人位置反解 2 3 1 位置反解分析 t = 4 a 2 4 么。4 以 此式为3 - r r r t 并联机器人的运动学方程。 由上式可得： c r , 6 = 4 1 t a 2 - a 3 4 4 以= 0 从c 互。( 3 ，3 ) = o 和c 正。( 3 ，4 ) = o 可以得出： 一c l 0 s 、 4 1 - i t = 1 s o c l l 010 i ( 0 00 f c 2 ( c 3 c 4 一s 3 s 4 ) c 5 一s 2 sc 2 ( c 3 墨+ $ 3 c 4 ) 如“由以。is 2 ( c ( 粥3 c 4 - $ 鄙3 s 4 ) c 。5 ) c 5 + c 2 墨攀嚣 1 00 得到： c 2 k 4 一s 3 s 0 s5 + s s s 2 4 一s 3 s j ss c s 卜s # 4 一c 3 s j s 5 0 所以有： c 2 【c 3 ( r c 4 c s + l 3 ) 一心3 s 4 c 5 + 三2 卜心2 s 5 + 厶 s 2 【c 3 ( r c 4 c 5 + 三3 ) 一心3 s 4 c 5 + l 2 】+ ，c 2 s 5 一是( ，c 4 c 5 + 厶) 一r c 3 s 4 c 5 1 i( 一s c 4 一c 3 蜀) 墨= 0 【$ 3 ( r c 4 c 5 + 厶) + r c 3 s 4 c 5 = b y 1 2 ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) 、| i ( 2 - 3 ) j ( 2 - 4 ) 印鄙 嚣7 + 一 嚣 第二章3 - r r r t 并联机器人位置分析及其仿真 is c 4 + c 3 墨= 0 【r ( s 3 c , + c 3 & ) c 5 + 岛厶= b y 所以有s = b y 厶 r 一 那么f h - - 角公式得到c 3 = 厶2 一砂2 厶 又c 正6 ( 1 ，1 ) = 0 ，可得： c i = s 2 s 5 一c 2 4 一s 3 s i ) c s 又c 互6 ( 2 ，1 ) = o ，可得： s l = c 2 s s + s 2 ( c 3 c 4 一s 3 s 4 ) c s 由c 互6 ( 1 ，2 ) = o 和c 互6 ( 2 ，2 ) = 0 ，可得： ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) c 3 墨+ s c 4 = 0 ，( 即t 9 4 = 一留3 ) ( 2 一1 0 ) 又c 五。( 2 ，4 ) = o ，同时代入( 2 9 ) ，得到： s 2 c 3 ( ，c 4 c 5 + 厶) 一 墨c 5 + l 2 】+ 厂c 2 s 2 一s 取+ c l 心+ s , r 仅( c 3 c 4 - s , s 4 b + c 2 s 户+ s 2 c 3 厶+ 是厶) = 一s i p x + c l p z + s , r 即s + p x 一尺) + ( c 3 厶+ 三2 波一c l 化= 0 令m = ，+ 一r ，n = c 3 厶+ 厶 m s , 一c l 心= 一n s 2 ( 2 1 1 ) 又c 互。( 1 ，4 ) 2 0 ，可同理得到： 朋c l + s 儿= n c 2 + 厶 ( 2 1 2 ) 由( 2 - 11 ) 2 + ( 2 - 1 2 ) 2 可以得到：。 m 2 + p z 2 = 力2 + 厶2 + 2 厶n c 2 c 2 = k 2 + p z 2 一刀2 一厶2 ) ( 2 ，? 厶) ( 2 1 3 ) 还可得到： m 2 + p z 2 一珂2 + 厶2 2 厶历c l 一2 l 1 s , ? z = 0 设，= 辔( q 2 ) ，则由三角函数的万能公式c l = ( 1 - t 2 ) “1 + f 2 ) ，s = 2 t ( 1 + t 2 ) ，得到： m 2 + p z 2 一刀2 + 厶2 2 z ，l ( m o t 2 ) 0 + f 2 ) + 2 t p z ( 1 + f 2 ) ) = 0 化简得： ( 口+ 所y 2 2 t p z + 口一m = 0 ( 2 1 4 ) 其中：a = ( m 2 + p z 2 一刀2 + 厶2 ) ( 2 厶) 得至0 f = ( p z 4 7 2 2 一a 2 + m 2 ) ( a + m ) ( 2 1 5 ) 令： n l1 = n 1 2 = 口11 = ( m 2 + p z 2 一刀11 2 + 厶2 ) ( 2 厶) a 1 2 = ( 聊2 + p z 2 一n 1 2 2 + 厶) ( 2 i i ) 这样就得到了t 的四组解： t l = ( p z + 4 p z 2 一a 1 1 2 + m 2 ) ( a l l + ，竹) t 2 = ( p z + 4 p z 2 一a 1 2 2 + m 2 ) ( a 1 2 + ，竹) t 3 = ( p z 一4 7 2 2 一a 1 1 2 + m 2 ) ( a 1 1 + ，竹) t 4 = ( p z 一心2 一a 1 2 2 + m 2 ) ( a 1 2 + ，”) 1 3 - 第二章3 - r r r t 并联机器人位置分析及其仿真 在实际中b 。应该满足： 一9 0 。s 0 1 3 9 0 。 所以c 3 ：厄c 可厶 f ：( 戌打f j 丽) 他1 2 + m ) 有两组解，1 9 l l = 2 t a n 。1 0 ) 1 8 0 z ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) 以上分析都是基于第一条支链，相应的方法应用于第二第三条支链。 上平台的体坐标系绕p z l 顺时针旋转2 4 0 0 ，下平台绕o z l 顺时针旋转1 2 0 0 后可得： c 正6 = b 1 = r o t ( p z l ，2 4 0 ) = b 2 = r o t ( o z l ，1 2 0 ) = 1 24 3 20 0 一压2 1 20 0 o o 01o oo1 1 2 4 3 2 压21 2 o o o o 0o o0 l0 ol t = b 2 4 a 2 4 4 4 以b 1 c t 2 6 = i n v ( a 1 ) i n v ( b 2 ) 丁i n v ( b 1 ) 一a 2 4 4 4 以= 0 一c 1 一c 2 c 5 c 3 c 4 + c 2 c 5 墨墨+ 是s c 2 ( 8 3 c 4 + q s 4 ) s s ：g g c , + 是c 5 墨墨一c 2 s一是仅c 4 + g s , ) b 4 + c 3 s 沁s1 + s 3 s 4 一c 4 0o ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) s l c 2 s 4 + c 2 s 5 s 3 s 4 一s # s c l s 2 s i + s 2 s s s 3 s 4 + c 5 峪f 4 + c 3 s 4 ) s 5 0 - 1 2 c i p x + 4 3 2 c l b y + s p z c i r r c 5 c 2 c 3 c 4 + r c 5 c 2 8 3 s 4 + 心2 岛一c 2 c 3 岛一c 2 l 2 1 2 s i p x 一4 3 2 s 1 b y + c i p z + s i r r c 5 s 2 c 3 c 4 + r c 5 s 2 & & 一r c 2 s 5 一s 2 c 3 三3 一l 2 q 3 2 p x + l 2 b y + r c s s 3 c 4 + r c 3 s 4 + s 3 l 3 u 由c 疋。0 ，2 ) = o e q m s 4 + c 3 s 4 = 0 由c 互。( 3 ，2 ) = o 得出 c 4 一s 3 s 4 = 1 又由c 互。( 3 ，4 ) = , f i 2 p x + l 2 p y + g 4