（通信与信息系统专业论文）周期性多层膜电磁波透射特性的fdtd法模拟研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 中文摘要 周期性多层膜是种折射率在一维空间方向上呈周期性变化的分层介质， 这种材料的一个重要特征是具有电磁带隙，因而又被称为电磁带隙材料。利用 电磁带隙材料，可以抑制电路的路间耦合，提高谐振器的q 值，制作低通滤波 器、功分器等微波器件，还可以用来抑制天线旁瓣，提高天线增益和带宽，其 应用前景十分广阔。 以往在研究周期性多层膜电磁波透射特性时多采用传输矩阵法( t r a n s f e r m a t r i xm e t h o d ，简称1 m m ) ，该方法虽然在计算透射系数时十分方便，但是用 它求解电磁场的分布较为麻烦，效率不是很高，对于电磁带隙材料物理特性的 理解没有太大的帮助。因此，本文尝试采用适用范围更广的时域有限差分法 ( f i n i t ed i f f e r e n c et h n ed o m a i n ，简称f d t d ) 来计算周期性多层膜的电磁波透 射系数，通过对三种类型的周期性多层膜电磁波透射特性进行电磁仿真模拟， 并将得到的仿真结果与理论预期结果、传输矩阵法计算结果和实验测试结果比 较。最后，分析了采用f d t d 法对周期性多层膜进行电磁波透射特性模拟的有 效性。 本论文具体内容安排如下： 1 首先概述了周期性多层膜和相关电磁数值计算方法的研究背景、现状与 进展，提出了论文研究的主要内容和方法。 2 以一维光子晶体理论为基础，分析了周期性多层膜电磁带隙产生的机理， 包括：周期性多层膜结构模型、周期介质中的麦克斯韦方程、布洛赫波和布里 渊区以及光子带隙的产生机理，并简要介绍了电磁带隙的数值计算方法。 3 简述了电磁波时域有限差分法( 舯) 的基本原理，包括麦克斯韦方程 组的差分离散形式、y e e 元胞及f d t d 时域推进计算步骤、介质界面参数选择、 完全匹配层( p m l ) 吸收边界条件、总场边界条件、离散时间和空间间隔的约 束条件等。 4 运用o p t i f d t d 电磁仿真软件，分别对周期性介电多层膜全向带隙特性、 周期性介电多层膜缺陷模特性以及周期性金属一介电多层膜透光特性进行了仿 真分析，并对结果的有效性进行了分析。 5 对全文进行了总结并对进一步研究的前景进行了展望。 关键词：多层膜，时域有限差分法，电磁带隙，光子晶体 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t p e r i o d i cm u l t i l a y c rm mi sak i n do fl a y e r e dm e d i u m ，w h i c hh a sp e r i o d i c r e f r a c t i v ei n d e xi no n e d i m e n s i o n t h em o s ti m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i co ft h i sk i n do f m a t e r i a li se l e c t r o m a g n e t i cb a n dg a p ( e b g ) ，s ot h a ti ti sa l s oc a l l e de b gm a t e r i a l e b gv a nb eu s e dt or e s t r a i nc o u p l i n gb e t w e e nc i r c u i t s ，t oi n c r e a s eqv a l u eo f r e s o n a n c ec a v i t ya n dt of a b r i c a t em i c r o w a v ed e v i c el i k el o w - p a s sf i l t e ra n dp o w e r s p l i t t e r i tc a n a l s ob eu s e dt os u p p r e s sa n t e n n as i d e l o b e ，t oi n c r e a s ea n t e n n ag a i na n d b a n d w i d t h s ot h ea p p l i c a t i o no fe b gi sv e r yw i d e i nt h ep a s t , r e s e a r c ho np e r i o d i cm u l t i l a y e rf i l ma l w a y su s e dt r a n s f c rm a t r i x m e t h o d ( t m m ) a l t h o u g ht h i sm e t h o di sv e r yc o n v e n i e n c et oc o m p u t et r a n s m i s s i o n r a t i o ，b u ti ti st o oh a r dt oc o m p u t ed i s t r i b u t i o no fe l e c t r o m a g n e t i cf i e l d ，a n dh a sl o w e f f i c i e n c y t h i si sn o th e l p f u lt ou n d e r s t a n dt h ep h y s i c a lc h a r a c t e r i s t i co fe b gs oa m o r ew i d e l yu s e dm e t h o d , w h i c hi sc a l l e df i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ( f d t d ) , i s u s e dt oc o m p u t et h et r a n s m i s s i o nr a t i oo fp e r i o d i cm u l t i l a y e rf i l mi nt h i st h e s i s b y e l e c t r o m a g n e t i cs i m u l a t i o ne x p e r i m e n to ft h r e ek i n d so ft r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r i s t i co f p e r i o d i cm u l t i l a y v rf i l m ，a n dc o m p a r et h es i m u l a t i o nr e s u l tw i t hr e s u l to fa c a d e m i c a n t i c i p a t i o n , t r a n s f e rm a t r i xm e t h o d , a n de x p e r i m e n t a tl a s t , t h ev a l i d i t yo fu s i n g f d t dm e t h o dt oa n a l y z ep e r i o d i cm u l t i l a y e rf i l mi se x p l a i n e d 1 1 l ec o n t e n t so ft h i st h e s i sa r ea sf o u o w ： 1 曩：t h er e s e a r c h i n gb a c k g r o u n d , a c t u a l i t y , a n dp r o g r e s so fp e r i o d i cm u l t i l a y e r f i l ma n de l e c t r o m a g n e t i cn u m e r i c a lc a l c u l a t i o nm e t h o d sa r ei n v e s t i g a t e d t h em a i n c o n t e n ta n dm e t l l o do fr e s e a r c ha r eb m u g h to u t 2 “：b a s e do nt h et h e o r yo fo n e d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l m e c h a n i s mo f e l e c t r o m a g n e t i cb a n dg a po fp e r i o d i cm u l t i l a y e rf i l mi sa n a l y z e d , w h i c hc o n t a i n st h e s t r u c t u r em o d e lo fp e r i o d i cm u l t i l a y e rf i l m ，m a x w e l le q u a t i o ni np e r i o d i cm e d i a , b l o c hw a v e ，b r i l l o u i nz o n e ，a n dp h o t o n i cb a n dg a p t h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o n m e t h o d sw i t he b ga r ea l s oi n t r o d u c o d 3 r d ：b a s i ct h e o r yo ff d t dm e t h o di si n t r o d u c e d , w h i c hc o n t a i n sd i s p e r s i o n d i f f e r e n c ef o r mo fm a x w e l le q u a t i o n ，y e e sc e l la n df d t d a l g o r i t h ms t e p ，s e l e c t i o n o fp a r a m e t e ro nt h em e d i as u r f a c e ，p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ( p m l ) a b s o r b i n g i i 武汉理工大学硕士学位论文 b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t o t a lf i e l db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，r e s t r i c t i o no nt i m ea n ds p a c e d i s p e r s i o ni n t e r v a l 4 恤：o p t i f d t ds i m u l a t i o ns o f t w a r ei su s e dt os i m u l a t et h ec o m p l e t eb a n dg a p c h a r a c t e ro fd i e l e c t r i cp e r i o d i cm u l t i l a y e rf i l m ，d e f e c tm o d e lc h a r a c t e ro fd i e l e c t r i c p e r i o d i cm u l t i l a y e rf i l m a n df i l t e rc h a r a c t e ro fm e t a l d i e l e c t r i cm u l t i l a y e rf i l m n e v a l i d i t yo fr e s u l ti sa n a l y z e d 5 t h ：皿ew h o l et h e s i si ss u m m a r i z e da n dt h ep r o s p e c t o ri sd i s c u s s e d k e yw o r d s ：m u l t i l a y e rf i l m ，f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ，e l e c t r o m a g n e t i cb a n dg a p ， p h o t o n i ec r y s t a l 1 i i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得武汉理工大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 研究生签名： 毯整日期：2 1 皿! ：生 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部内容，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名：互啦导师签名：l 虱鏖 日期：竺翌垒：筮 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 选题背景及意义 第1 章绪论 周期性原本是个时间上的概念，若引申到空间上来说，事物在空间上有自 重复性，就称为周期结构。自然存在的周期结构一般都没有那么严格，每个周 期单元存在着一些微小的差别，但是诸如晶体这样的物质，它的晶格就是一种 严格的周期结构，这也导致晶体与非晶体在物理和化学性质方面的差异。 周期性结构具有非周期结构所不具备的一些特性，并由此吸引人们在不同 的领域研究和利用这些特性。早在1 9 世纪，人们就开始了对波( 包括机械波和 电磁波) 与周期结构相互作用的研究【1 1 ，周期结构的空间分布会奇妙地改变波在 其中的传播行为，从而产生一些人们希望得到的特性( 比如频率选择特性) 。 虽然人们很早就认识到电磁波在周期结构中传播时存在一些特殊的行为， 但是真正从理论上对其进行系统阐释还是在上世纪八十年代末光子晶体 ( p h o t o n i cc r y s t a l ，简称p c ) 理论出现以后。随着十多年来世界各国研究者们 对光子晶体理论的不断完善，一维、二维和三维的周期结构对电磁波传播所产 生的影响基本上都能得到较好的解释。研究电磁波在一维周期结构( 比如周期 性多层膜和光栅) 中的传播虽然不是什么新的课题，但是由于它可以归类于一 维光子晶体的范畴，所以可以从光子晶体能带理论出发来解释周期性多层膜的 电磁波透射特性。 另外，随着电磁数值计算方法和计算机技术的迅猛发展，可以对电磁波在 各种复杂介质中的传播过程加以精确地模拟。若把这些技术较好地运用在工程 设计领域，那么通过有效的数值计算方法对所设计的材料或者器件进行仿真计 算，就可以大大减少新材料和新器件的研发成本。周期性多层膜的电磁波透射 特性受多种结构参数影响，它与介质的总周期数，介质的介电系数，不同介质 的厚度比等都有关系。同时，不同的数值计算方法对相同结构参数周期性多层 膜仿真所得到的结果也会存在一些微小差别，本文通过一种基于f d t d 法的电 磁仿真软件对周期性多层膜进行仿真分析，并分析了结果的有效性，这对今后 采用f d t d 法进行相关器件的设计有着重要的指导意义。 武汉理工大学硕士学位论文 1 2 相关研究现状 周期性多层膜电磁波透射特性的研究主要涉及到两方面的内容：一方面是 关于周期性多层膜电磁波透射特性产生的机理研究，目前较好的一个理论解释 就是一维光子晶体理论。另一个方面则是选择合适的数值计算方法对所设计的 周期性多层介质进行仿真分析，以便得到电磁波在周期性多层介质中传播的电 磁场分布情况，并得到相应的特性曲线( 如透射、反射系数曲线等) 。 1 2 1 一维光子晶体研究现状 光子晶体是在1 9 8 7 年分别由s j o h n 和e y a b l o n o v i t c h 等人根据传统的晶体 概念类比而提出来的b3 】。光子晶体的理论研究和相关实验及其应用得到了迅速 的发展。尤其是近年来，这一领域发表的论文数量出现巨大的增长。1 9 9 9 年底， 光子晶体方面的研究还被s c i e n c e 杂志评选为十大重大进展的科学领域之一1 4 l 。 目前，光子晶体理论本身已经发展得较为成熟，人们可以运用它来分析几 乎所有的周期结构的电磁特性。由于一维光子晶体相比二维和三维光子晶体在 制备方面更加容易，所以一维光子晶体理论得到了较为广泛的研究。 一方面，人们把一维光子晶体理论用在了传统光学多层膜的分析上。由于 传统的高反膜与光子晶体在结构上存在一些共性，所以从光子晶体的角度对多 层膜系进行设计便成为一条新的思路【5 j 。人们对比了一维光子晶体与光学多层介 质膜在结构和特性方面的联系和差别，并运用薄膜光学的理论和方法讨论了多 层介质膜的高反射带与光子禁带和膜系结构参量的关系1 6 】，说明了传统薄膜光学 理论和光子晶体理论在分析光学多层膜上的一致性。 另一方面，利用一维光子晶体理论可以设计出传统多层膜所不具备的一些 特性，这涉及到如下几个问题的研列7 j ： ( 1 ) 全向带隙结构 金属反射镜的反射率不依赖于入射角度，但由于金属材料对入射电磁波有 很强的吸收，使得反射率不高。而传统的多层高反膜的反射率则会随入射角度 的增大而降低。yf i n k 等人指出，一维光子晶体由于有限的边界，也会出现类 似于二维和三维的全向带隙结构。其色散关系图中能够形成不依赖于入射光偏 振方向和入射角的一个较宽的全向带隙【8 】oj ed o w l i n g 还从理论上分析了一维 2 武汉理工大学硕士学位论文 光子晶体出现全向带隙的必要条件【叭。一维全向带隙光子晶体可广泛应用于微波 天线、透射光栅、光波导等器件的研制。在其中引入缺陷还可用于制作高品质、 低损耗的谐振腔，可用于微波源或激光器。 ( 2 ) 布儒斯特角控制 传统的多层高反膜多为四分之一波片的周期结构，高反频段不宽，受到极 化方向和入射角度的限制。尤其是p 波( t m 波) 的反射率对入射角非常敏感，随 着角度的增大而会显著降低，这和布儒斯特角有很大关系。在一维全向光子晶 体中，要求内反射角不大于布儒斯特角a a - a r g t a n ( n 2 ，l 】) ，以便得到全向带隙。 为了获得更宽的全向带隙，选取适当的材料和合适的结构以便控制布儒斯特角 是非常重要的。m ew e b e r 等人1 1 0 】利用高分子聚合物超强的双折射光学( g i a n t b i r e f r i g e n to p t i c s ) 性质制备了多层膜反射镜，可对布儒斯特角进行控制。 ( 3 ) 态密度分布及应用 光与材料相互作用在许多情况下取决于材料中光子态的态密度，一维光子 晶体对光子态密度就有很强的修饰效应，从而根据要求控制光子输运过程。人 们利用了光子晶体的这个特性，研究了光子晶体的超折射现象【1 1 】、时间延迟效 应【1 2 1 、带边激光【1 3 1 等。 ( 4 ) 金属一介电光子晶体 众所周知，传统的金属反射对入射电磁波在微波波段有很强的吸收，其应 用受到一定的限制。由于一些介电和半导体材料在可见光是透明的，因此可以 把介电材料嵌入分层的金属膜中，构成介电系数周期性排列的金属一介电光子晶 体，这种周期性结构可将金属与透明介质的性质有机地结合起来。根据m s c a l o r a 等人的研究【堋，金属一介电光子晶体可以呈现在可见光波段透明，在近紫 外和红外至微波波段不透明的特性。 ( 5 ) 非线性效应 前面提到，一维光子晶体可以对光子态密度进行修饰。利用这一特性，可 以通过对态密度的控制，改变晶体中光场的能量分布，使能量主要聚集在晶体 的非线性材料部分，从而提高非线性效应。另外通过恰当地设计晶体的结构， 可以实现非线性过程中的相位匹配，从而进一步提高非线性效应。因此人们的 注意力就集中于寻求或设计合适的一维光子晶体结构来增强非线性效应，包括 有双共振二次谐波1 1 5 l 和光学双稳态【1 6 i 。 ( 6 ) 光子局域化 3 武汉理工大学硕士学位论文 光子晶体对光子的控制主要通过带隙结构来实现。因此，如何获得尽可能 宽的光子带隙是光子晶体研究的关键问题之一。根据固体物理知识的有关理论， 在半导体中引入无序会使带边的电子态发生局域化，导致有效带隙增宽，形成 迁移率斛1 。”。同样的原理亦适用于光子晶体。 对一维系统中光局域化的理论和实验研究表明，如果在周期性多层膜结构 中引入无序，任何频率范围的光由于相干背反射都可以被局域，而不论它的入 射角度以及它是否处于带隙中间。当在一维光子晶体中引入无序时，由于布拉 格反射效应和引入无序而造成的光局域，可能使得离散的狭窄的禁带扩展成连 续的禁带。通过合理地调节结构的几何参数和无序度，可以在很宽的波长范围 内发生高反射。这个性质可以用在光学宽波带高反射镜上【1 s l 。尽管在一维强无 序系统中所有波长的光都被局域，但对于某些特殊情况，仍然可以发现某些态 是扩展的而非局域的，产生具有很窄透射峰的高质量的共振隧穿。这种效应可 以用在光学滤波器上。 事实上，光子晶体理论不仅对于光波而且对于其他频率的电磁波都是适用 的。因此，人们从电磁波理论出发，采用数值计算的方法分析研究了电磁波在 一维光子晶体中传播的透射和反射特性，结果与光子晶体理论相吻刽1 9 l 。 1 2 2 电磁数值计算方法研究现状 通过适当的数值计算方法对不同材料的电磁波透射特性进行仿真分析，通 过仿真分析的结果，掌握材料特定参数对电磁波透射特性的影响规律，就可以 根据需要设计出相应的材料。因此，仿真分析是研究周期性多层膜电磁波透射 特性的重要方法。 所有的电磁数值计算方法都是建立在m a x w e l l 方程组基础之上的，这些电 磁数值计算方法各有特点，应用侧重点也不尽相同l 硎，其中主要的电磁数值计 算方法有以下几种： ( 1 ) 有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s ，简称f d m ) 它出现时间最早，发展最成熟，基于微分方程，其特点是：方法简单，概 念清晰，划分网格，用节点上待求量的离散值近似代替其连续分布。 ( 2 ) 矩量法( m e t h o d o f m o m e n t s ，简称m o m ) 该方法必须针对所要求解的问题导出相应的积分方程，还要选择、构造全 4 武汉理工大学硕士学位论文 域或分域上满足边界条件的基函数。 ( 3 ) 有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，简称f e m ) 该方法也是以微分方程为基础，其特点是：先通过各种适当的形式将解域 划分成有限个单元，再在每个单元中构造分域基函数。这种方法最大优点是其 离散单元的灵活性。可以精确地模拟各种复杂的几何结构，并通过选择取样点 的疏密情况适应场分布的不同情况，既能保证计算精度的要求，又不增加过大 的计算量。所形成的有限元方程组的系数矩阵是对称的。它的缺点是可能比积 分方程法的解域多一维，增加了未知量的数目；对于开放的问题，必须用吸收 边界条件a b c 等截断计算空间，将无限大空间的计算问题限制在有限空间内， 增加了计算复杂度。 ( 4 ) 时域有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c et u n ed o m a i n ，简称f d t d ) 该方法是求解麦克斯韦微分方程的直接时域方法，它对电场和磁场分量在 空间和时间上采取交替抽样的离散方式，应用这种离散方式将含有时间变量的 麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电 磁场。该方法的突出优点是广泛的适用性；节约存储空间和计算时间；适合并 行计算；计算程序的通用性；简单、直观、容易掌握。它的应用主要集中在电 磁散射，电磁兼容，天线，波导器件，集成电路，光路和近场光学，瞬态电磁 场和生物电磁学等。采用时域有限差分法分析复杂目标，需要耗费相对较大的 计算机内存和较多计算时间，但由于其具有较好的并行计算能力，且可以精确 地模拟出电磁波在目标物体作用下的传播过程，因而该方法得到了广泛的应用。 在众多电磁数值计算方法中，时域有限差分法在上世纪九十年代的发展犹 为迅猛，产生了适合各种复杂目标和环境的改进型算法【2 ”。其中，包括对吸收 边界条件的改进【矧，对网格划分技术的改进, 2 4 1 ，周期结构f d t d l 2 5 ，色散介 质f d t d 2 6 , 2 7 1 ，有集中元件的f d t d 2 8 1 ，各向异性f d t d l 2 9 1 ，粗糙面散射f d t d 0 0 i ， 网格并行f d t d 3 1 , 3 2 1 等等。这些改进型f d t d 法使得它成为电磁计算领域一个广 泛适用的有效工具。 5 武汉理工大学硕士学位论文 1 3 论文研究的主要内容和方法 本文首先详细分析了周期性多层膜电磁带隙产生的理论基础一维光子 晶体理论，包括有：周期性多层膜结构模型、周期介质中的麦克斯韦方程、布 洛赫波和布里渊区以及电磁带隙的产生。然后简述了时域有限差分法的基本理 论，包括m a x w e l l 方程组的差分离散形式、y e e 元胞及f d t d 时域推进计算步骤、 介质界面参数选择、完全匹配层( p m l ) 吸收边界条件、总场边界条件、离散时间 和空间间隔的约束条件。最后采用基于f d t d 法的电磁仿真软件o p t i f d t d 做 了三种类型周期性多层膜电磁波透射特性的仿真实验，包括周期性介电多层膜 全向带隙特性仿真、周期性介电多层膜缺陷模特性仿真、周期性金属一介电多 层膜透光特性仿真，并分析了采用f d t d 法计算周期性多层膜的有效性。 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章周期性多层膜的电磁带隙理论 2 1 引言 电磁带隙( e l e c t r o m a g n e t i cb a n dg a p ，简称e b g ) 的概念是从光子带隙 ( p h o t o n i cb a n dg a p ，简称p b g ) 发展而来的。研究表明，凡是具有周期性结构 的材料，都有可能使某些频率的电磁波无法从中通过，也就是说该材料对一定 频率的电磁波具有禁带，这种材料被称为电磁带隙材料。周期性多层膜是一种 在一维方向上折射率( 或介电系数) 呈周期性变化的人工微结构材料，它在光 ( 电磁) 学方面的一个主要特征就是存在电磁带隙。若周期性多层膜的禁带频 率范围出现在光波范围内，就可称为光子带隙材料( 或称为一维光子晶体) 。目 前，利用电磁带隙材料，可以抑制电路的路间耦合，提高谐振器的q 值，制作 低通滤波器、功率分配器等微波器件，还可以用来抑制天线旁瓣，提高天线增 益和带宽，其应用前景十分广阔。 由于电磁带隙与光子带隙具有相同的理论基础，它们从电磁学的角度来看 本质上是相同的。因此，本章将从光予晶体的能带理论出发，解释周期性多层 膜电磁波透射特性的理论依据电磁带隙理论。 2 2 周期性多层膜的基本结构及特性 周期性多层膜是折射率在一维空间方向上里周期性交化的分层介质，在垂 直于介质层的方向上，折射率是空间坐标的一维周期性函数。周期性多层膜的 基本结构可以是由两种不同的折射率0 j ，开2 ) 和不同厚度( 西，蚴的各向同性介 质薄层交替排列构成的一维周期性结构，每一层介质在其他两个空间方向上则 是均匀分布的，如图2 - 1 所示。折射率变化周期a = 西+ d 2 ，周期a ( 晶格常数) 为波长量级。 7 武汉理工大学硕士学位论文 图2 - 1 周期性多层膜结构模型 人们发现，光波在周期性结构中的行为与电子在半导体中的行为具有强烈 的相似性( 也正是基于这一点提出了光子晶体的概念) 。电子在半导体中的行为 可以用量子物理中的薛定鄂方程来描述，而光波在周期性结构中的行为则是用 麦克斯韦方程组描述。表2 - 1 列出了光子晶体与半导体特性的比较【3 3 1 。这些相似 性一方面预示了光子晶体的应用前景( 许多应用都可以从固体物理理论中衍生 出来) ，另一方面则为我们将固体物理的研究方法移植到光子晶体的研究来奠定 了基础( 比如，能带理论和能带计算方法可以经过一些修正和变化后为光子晶 体所用 。 表2 - 1 光子晶体和半导体特性比较1 3 3 1 光子晶体普通晶体 结构不同介电系数介质的周期分布周期性势场 研究对象光( 电磁) 波在晶体中的传播玻色子电子的输运行为费米子 本征方程 【v 啬v 肛等霄 _ 芸v 2 州卜脚 麦克斯韦方程 薛定鄂方程 本征函数电( 磁) 场强度：+ 矢量 、 波函数：标量 光子禁带 电子禁带 特征 在缺陷处的局域模式 缺陷态 能带形成在不同介质分界面处 在不同势场中 原因电磁场相干散射的结果电子波相干散射的结果 晶格尺度 光波长。原子尺寸 塑垄王盔兰堡主堂垒堡奎 正是这种相似性，使得包括周期性多层膜在内的所有空间折射率呈周期分 布的介质只要空间周期与波长处于同一数量级，都能够在定频率上产生电磁 带隙。这对于整个电磁波谱都是成立的，甚至对于声波这样的弹性波也存在带 隙刚。 2 3 周期介质中的麦克斯韦方程 2 3 1 介质的周期性描述 介质的周期性是通过相对介电系数f ，o ) 的周期性体现的： 瑶r 擘1 l e r妒+妁-e，铲)(2-0 其中东代表位矢从尹到，+ 再的平移算子，j | 圣- 龋+ 愿五+ 马毛。 具有( 2 1 ) 所示的周期性函数可以在f o u r i e r 空间中展开： 相。；( 缈一 ( 2 2 ) 其中f o u n i e r 系数( 白可以看作定义在f o u r i e r 空间( 又称波矢空间，记为，) 中的函数。 f o u r i e r 空间中的周期点阵是晶体的倒易点阵( 记为b ) ，若原晶体的基矢为 五，a 一2 ，毛，则倒格子的基矢为： 巨_ z 万三i j 商( 其中厶，七= 1 ，2 ，3 r f - ，- k ) ( 2 3 ) 倒格矢为：6 一g 点+ g 五+ g 五 6 和j 圣满足关系：6 袁。姗( 其中雄为整数) 2 3 2 麦克斯韦方程组的本征形式 麦克斯韦方程组的微分形式写为： v 雷。一望 甜 9 ( 2 - 4 ) ( 2 哪 武汉理工大学硕士学位论文 v x 覆堡 i a f v d p v 雪。0 其中雷为电场强度，西为电位移矢量， 电荷密度，歹为电流密度。 ( 2 叼 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 厅为磁场强度，雪为磁感应强度，p 为 受电磁场极化作用，雹、西和露、雪满足如下本构方程( 又称物质方程) ： d 1 e e ( 2 i o ) b = p h ( 2 1 1 ) 其中，f 为介质的介电系数( f = ) ，p 为介质的磁导系数( p = 鳓以) 。这两 者是由材料本身的性质决定的，如果是各向异性介质或者色散介质，其表达式 是比较复杂的，一般为矩阵向量形式。这里，考虑各向同性的无源无耗非磁性 周期性多层膜，即每层介质中1e , f f ) ，所= 1 ，歹1 0 ，p = 0 。 又考虑到时谐电磁波，即 蜃一丘伊，t ) - 豆扩弘一“ h 一1 h 一( f ，f ) 一霄仃弦一“ 所以，( 2 6 ) 式和( 2 - 7 ) 式可分别化为： v 雷= i o z g v x 叠一i e 雹 对( 2 1 4 ) 式两边取旋度，得： i 1 回v x v x 扛等雹 ( 2 1 2 ) 佗- 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) ( 2 1 5 ) 但- 1 6 ) 这里，c 为真空中的光速( c - 7 兰一) ，同样对( 2 1 5 ) 式两边取旋度可得： o v 【- i 茜v f t 一7 0 ) 2 h - - ( 2 - 1 7 ) 这样，麦克斯韦方程组就变成本征值问题【掰1 ，m 2 c 2 就是本征值。值得注意 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 的是w 1 e , ( o l v x ( 记为屯) 是正定的厄米算子，其本征值是非负实数，并 且存在完备的正交本征函数系，而【1 ( o v x v x ( 记为也) 不是厄米算子。 2 4 能带和带隙的产生 2 4 1 布洛赫波和布里渊区 介质的周期性可以用周期平移算子毒来表征，如( 2 1 ) 式所示，毒的本征值 为： f f e x p ( i k 胄) ( 2 1 8 ) 其中，f 是波矢量，对应于该本征值的本征函数为丘扩) - f o e “7 ，其中矗是归一 化系数。 在周期性介质中，由于( 2 - 1 ) 式所示的周期性，则6 。与磊互易，从而具有共 同的本征函数，且这些本征函数组成完备系。因此，( 2 - 1 7 ) 式的通解可以用磊的 本征函数的线性组合来表示： 成扩) 。荟c 正+ 矽翩妒皇咋扩户 f 2 - 1 9 ) 其中0 为倒格矢，对整个倒易点阵求和。蜥扩) 在磊的作用下不变。这就是 b l o c h f l o q u e t 原理的表现形式。 由( 2 1 9 ) 式可以看到，在f 上增加一个倒格矢吞：f t f + g ，求和结果不变， 即存在不同波矢对应与相同的本征函数。根据这个性质，波矢空间可以分割为 等价的 类群，矢量f 和f 如果满足 氍，i ( k 3 ，k 3 ) ：旺一f ) 一g 町，则它 们对应于相同的露；扩) 。 选择一组 f ) 中的某一个矢量作为这类群的代表，称为布洛赫( b l o c h ) 矢 量。布洛赫矢量的选择不是唯一的，通常选择其中模值最小的，它们的集合称 为第一布里渊区( b r i l l o u i nz o n e s ，简称b z ) 。例如，在一维情况下，当r 1 = a ， g 1 - 劢a ，第一布里渊区是k - 万口。石a ；所有其他的波矢量可以通过这个 区域内的点乘以倍数g 1 得到。此外，如果晶体有诸如镜像平面这样的对称结构， 第一布里渊区本身就会有冗余。通过估计这些多余的区域，可以得到简约布里 渊区( i r r e d u c i b l eb z ) 。在前述的一维例子中，由于多数系统是时间反转对称的 1 1 武汉理工大学硕士学位论文 ( k 一- 七) ，简约布里渊区可以是k o 。, t a 。一维、二维和三维的简约布里渊 区如图2 - 2 所示。 _ - _ _ 。_ _ - _ _ 丘 k 2 二 k 图2 2 简约布里渊区示意图：一维( 左) ，二维( 中) ，三维( 右) 2 4 2 周期介质的能带和带隙 如前所述，但1 7 ) 式的本征函数厅可以通过布洛赫波矢量来分类，而本征函 数与本征值2 c 2 是一一对应的，其中t o 甜征) 为能量谱( t o 和f 之间的关系又 称为介质的色散关系) 。考虑到周期边界条件，则光波在介电系数周期变化的材 料中的运动类似于电子在周期势场中的运动，从而导致能量谱的离散化。周期 性结构材料中的光波能量模式将是一组f 的连续函数她压) ，席是能带的标号。 相邻能带之间存在带隙，由于本征函数疗对于落在带隙中的不存在非零解， 所以周期结构材料是不允许频率落在带隙中的光波的传播的。 7 、 “倍 k 柏。耐8k 州8 图2 - 3 色散关系( 左：一维均匀介质；右：一维周期介质) 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 对于周期结构中能量带隙的形成，可以通过简单的一维系统来理解。考虑一 维系统的均匀相对介电系数一1 ，有平面波本征频率1 0 ) 一c k 。若g ，对任何 a 苫0 只有“微弱”的周期变化，则当a 一0 ，则是通常的无限大色散关系；当a 一0 ， i k | 玎口区域可以被转换到第一布里渊区，如图2 3 ( 左图) 虚线所示。注意到， 七- 呵4 处与k 一石口处的模等价，并且频率相同。这种“随机简并” ( a c c i d e n t a ld e g e n e r a c y ) 是这里设置的“微弱”周期所产生的。这时在七- 石a 处，可以将电场0 ) 一p “等效地写成e ( 功一c o s ( 石x a ) 和o ( x ) s i n 如x ，口) 的线 性组合，如图2 4 所示，- 何a 。现在，假设s ，是随周期a 剧烈变化的。例 如，变化是一个正弦曲线，o ) = 1 + a c o s ( 2 g x a ) 或者方波，这种振荡“势能” 的出现，破坏了e 例和d 仁j 之间的“随机简并”。假设a ，0 ，那么在g ，高的区域， p 俐就比d 更为集中，。而在f ，低的区域d 比e 例更为集中。这一带与带之间 的相反变化就会产生一个带隙，如图2 3 ( 右图) 所示。由同样的讨论可知，任 何在一维上介电系数周期变化的介质都会导致带隙的产生。 图2 - 4 一维周期结构能带的形成 2 5 电磁带隙的数值计算方法 由于电磁带隙的概念来源于固体物理的能带理论，可以把周期性结构对光 波的作用类比为半导体中原子点阵对电子的作用，因此诸如倒格矢、布里渊区 等描述固体能带的概念都可以用来描述周期结构的电磁带隙。然而，固体能带 理论中电子波是一个标量，而这里所研究的光波的电场和磁场都是矢量，因此 不可能完全照搬固体能带理论中求解电子禁带的方法来求解电磁带隙。 目前，有关光子晶体的理论工作主要集中在数值领域，即借助于计算机， 利用各种数值方法来计算给定结构和相关参数的电磁能带，反射、透射谱以及 能流密度等物理量。目前用于研究电磁带隙的数值计算方法主要有如下四种。 武汉理工大学硕士学位论文 2 5 1 平面波法 平面波法 3 6 - 3 9 1 ( p l a n ew a v ee x p a n s i o n ，简称p w e ) 是在光子晶体能带研究 中用得最早和用得最多的一种方法。本章所述的光子晶体理论正是基于该方法。 其基本思路是根据布洛赫原理将电磁场在倒格矢空间以平面波叠加的形式展 开，周期变化的介电系数按傅立叶级数展开。并将麦克斯韦方程组化成本征方 程，然后求解本征方程便可得到传播光波的本征频率，本征频率的集合即为光 子能带。这种方法的优点是能够直接在频域内求解本征值，编程简单，收敛速 度快。但是，这种方法也有明显的缺点：计算精度和计算量与平面波数有很大 的关系，几乎正比于所用波数的立方，因此会受到较严格的约束。同时p w e 法 对某些情况显得无能为力，如当介电系数的周期性受到破坏( 有缺陷的光子晶 体的情况) ，计算误差就大大增加。另外，如果介电系数是随频率变化的( 色散 介质的情况) ，就没有一个确定的本征方程形式，而且有可能在展开中出现发散， 导致根本无法求解。所以说，p w e 法作为一种经典的求解周期结构电磁带隙的 方法其局限性也是显而易见的。 2 5 2 传输矩阵法 传输矩阵法 4 0 l ( t r a n s f e rm a t r i xm e t h o d ，简称t m m ) 由磁场在实空间格点位 置展开，将麦克斯韦方程组转化成传输矩阵形式，同样变成本征值求解问题。 传输矩阵表示一层( 面) 格点的场强与邻近的另一层( 面) 格点场强的关系，它假 设在构成空间中在同一个格点层( 面) 上有相同的态和相同的频率，这样可以利 用麦克斯韦方程组将场从一个位置外推到整个晶体空间。这种方法对介电系数 随频率变化的金属系统特别有效，由于传输矩阵小，计算量较平面波法大大降 低( 只与实空间格点数的平方成正比) 。精确度也非常好，而且还可以计算反射 系数和透射系数。但是对于结构复杂的物体来说，传输矩阵也会变得相当庞大， 计算量随之剧增。 2 5 3 时域有限差分法 在第1 章中已经介绍过时域有限差分法【4 ”，由于它是求解电磁场麦克斯韦 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 方程组的通用方法，因此也被人们用来计算电磁带隙。该方法的思路是：将麦 克斯韦方程组在坐标系中展开成标量场分量的方程组，然后用二阶精度的中心 差分代替微分，将连续的空间和时间离散化，得到标量场分量的迭代差分方程 组；由数值稳定性条件和计算所考虑的波长范围来确定空间离散步长的大小， 根据空间离散步长将计算区域沿坐标轴方向分成很多y e e 氏网格单元；求出每 个网格点的有效介电系数，再由空间步长和时间步长所满足的数值稳定性条件， 得出相应的时间步长。以上参数确定后，加入边界条件后，就可以将迭代方程 组在划分好的y e e 氏网格空间中迭代，计算出光子晶体中在任意时刻场的分布 情况，并通过傅立叶变换，计算出包含很大频率范围的透射谱。这种算法的优 点是对于非线性和损耗介质都是适用的。与传输矩阵法相比，虽然这种算法在 计算复杂结构时的计算量也相当大，但由于它适合并行计算，所以在研究对象 结构复杂的情况下使用得较多。 2 5 4n 阶法 n 阶法 4 2 1 ( o r d e rn ) 是引自电子能带理论的紧束缚近似的一种方法，是根 据时域有限差分法发展来的。基本思想是：从所定义初始时间的一组场强出发， 根据布里渊区的边界条件，利用麦克斯韦方程组可以求得场强随时问的变化， 从而最终求得系统的能带结构。具体作法：通过傅里叶变换先将麦克斯韦方程 组变换到倒格子空间，用差分形式约简方程组，然后再作傅里叶变换，又将其 变换回到实空间，得到一组被简化了的时间域的有限差分方程，这样，原方程 可以通过一系列在空间域和时间域离散的格点之间的关系来描述，计算量大大 降低( 只与组成系统的独立分量的数目n 成正比) 。但是在处理a n d e r s o n 局域 和光子禁带中的缺陷态等问题时，计算量剧增。 综上所述，不同的数值计算方法可以说是各有优缺点。由于本论文是研究 周期性多层膜的电磁波透射特性，为了完整地掌握这一特性的变化规律，不仅 要计算电磁带隙，还需要模拟出不同结构参数的周期性多层膜在入射波作用下 的电磁场分布情况。由于时域有限差分法是在时间上逐步推进地求解空间电