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太原理工大学硕士研究生学位论文 机械系统微弱故障信号检测及特征提取方法研究 摘要 故障信号的特征提取是机械故障诊断中的关键问题，而噪声的干扰是 影响故障信号特征正确识别的重要因素。机械系统早期故障引起的异常信 号一般都很微弱，通常被淹没在很强的背景噪声中，对信号检测技术要求 高。本文根据机械测试中振动信号的特点，研究了现代信号处理理论应用 于机械故障信号检测和特征提取的方法，并做了大量的仿真和实验。 论文首先叙述了该课题的意义、弱信号检测的方法，介绍了机械故障 特征提取方法及研究现状。 针对复杂机械故障产生的非平稳振动信号检测，研究了时间一频率分 布在故障信号检测和特征提取中的应用。仿真分析和齿轮早期故障检测实 验证明，通过核函数的合理设计，能够有效滤除噪声，实现对机械设备早 期故障产生的微弱异常振动信号的检测。 讨论了小波基函数选取对信号处理结果的影响。详细论述了基于小波 变换的奇异性检测理论，提出了利用三层以上细节信号的乘积作为检测信 号求解多尺度模极大值的方法，以实现噪声中信号奇异点的检测和定位。 研究了基于小波变换的弱信号检测方法，利用该方法把齿轮的异常振动信 号从噪声信号中提取出来，实现齿轮故障信号特征的提取。 最后利用高阶统计量可以抑制加性高斯噪声的特殊性质，将高阶统计 量作为机械微弱故障信号检测的方法进行了研究。对双谱信号检测作了重 点介绍，并利用双谱进行了齿轮故障诊断。 太原理工大学硕士研究生学位论文 关键词：故障诊断，信号检测，特征提取，时频分析，小波变换，高阶 统计量 太原理工大学硕士研究生学位论文 s t u d yo nd e t e c t l 0 nan df e a t u r ee x t r a c t i o no f w e a kf a u l ts i g n a lo fm 匝c h a n i c a ls y s t e m a b s t r a c t t h ec r u c i a li s s u ei nm e c h a n i c a lf a u l t d i a g n o s i s f i e l di sf a u l tf e a t u r e e x t r a c t i o n , w h i l ean o i s ed i s t u r b a n c ei sa l li m p o r t a n tf a c t o rw h i c ha f f e c t sf a u l t e x t r a c t i o n t h ea b n o r m a ls i g n a l ，g e n e r a t e db ye a r l yf a u l t ，i su s u a l l yw e a ka n d c o v e r e dw i t hs t r o n gn o i s e t h e r e f o r eah i g hd e t e c t i o nt e c h n i q u ei sr e q u e s t e d b a s e do nv i b r a t i o ns i g n a lf e a t u r e s ，t h i sp a p e rr e s e a r c h e sas e r i e so fm e t h o d sf o r s i g n a ld e t e c t i o na n de x t r a c t i o n ，w h i c hi sc o m b i n e dw i t ht h et h e o r i e so fm o d e m s i g n a lp r o c e s s a n da tt h es a l n et i m e 1 0 t so fs i m u l a t i o na n dt e s tw o r ka r ed o n e t h em e a n i n go ft h i sp a p e ra n dt h em e t h o df o rw e a ks i g n a ld e t e c t i o na r ef i r s t d e s c r i b e d t h e nt h eu s u a l l yw a y st oe x t r a c tf a u l ta n di t s d e v e l o p i n ga r e i n t r o d u c e d c o n s i d e r i n gn o n - s t a t i o n a r yv i b r a t i o ns i g n a l i n c o m p l i c a t e dm e c h a n i c a l e q u i p m e n t , t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i si se m p l o y e dt od e t e c ta n de x t r a c tf a u l t t h e r e s u l t so fs i m u l a t i o na n dt e s ti n g e a r w h e e l f a u l t d i a g n o s i sp r o v e t h a t t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sc a nr e d u c en o i s ea n dd e t e c tw e a ka b n o r m a ls i g n a l e f f e c t i v e l yb yd e s i g n i n gr e a s o n a b l ek e r n e lf u n c t i o n w a v e l e tb a s i sf u n c t i o ni m p a ao ns i g n a lf e a t u r ee x t r a c t i o ni sd i s c u s s e d a c c o r d i n gt os i n g u l a r i t yd e t e c t i o nt h e o r y , am e t h o dw h i c hu s e st h em u l t i p l yo f m o r et h a nt h r e e s t a g es p e c i f i cs i g n a l sa sd e t e c t i o ns i g n a lt og e tt h em u l t i - s c a l e m o d u l u sm a x i m am a pi sb r o u g h ta b o u ti no r d e rt od e t e c ts i n g u l a r i t yp o i n ti n n o i s ea n dg e tt h el o c a t i o no fs i n g u l a r i t yp o i n t am e t h o db a s e do nw a v e l e t i i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 t r a n s f o r mi ss t u d i e da n da p p l i e dt oe x t r a c tw e a ka b n o r m a lv i b r a t i o ns i g n a l a tl a s t 。u s e di t sg o o dp e r f o r m a n c ei ns u p p r e s s i n gg a u s s i a nn o i s e ，h i 曲- o r d e r s t a t i s t i c si ss t u d i e da sam e t h o df o rf a u l ts i g n a ld e t e c t i o n m o r ee m p h a s i si s p l a c e do nb i s p e c t r u m ，w h i c hh a sb e e na p p l i e di n t ot h ef a u l ts i g n a ld e t e c t i o no f g e a r w h e e l k e yw o r d s ：f a u l td i a g n o s i s ，s i g n a ld e t e c t i o n ，f e a t u r ee x t r a c t i o n ， t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i s ，w a v e l e tt r a n s f o r m ，h i 【g h o r d e rs t a t i s t i c s 塑里三盔兰堡主堕塞圭堂焦笙奎 符号说明 e ( t ，力信号的时频联合分布 e 信号的总能量 s t f t q ，力信号的短时傅立叶变换 ，窗函数 s p e c ( t , 力信号的谱图 w ( t ，力信号的w i g n e r v i l l e 分布 皑力c o h e n 类时频分布 正啮合频率( h z ) 拧齿轮转速( r m i n ) ：齿轮齿数 y ( d 基本小波 a 尺度因子 b 平移因子 w t ( a ，吖言号的小波变换 r ( r ) 平方可积的实数空间 巧尺度空间 尺度空间的补空间 驴( 尺度函数 _ ，小波分解尺度 c ，离散逼近信号 d ，离散细节信号 口李氏指数 s n r 一一信噪比( d b ) 面 ) 第一特征函数 太原理工大学硕士研究生学位论文 甲 ) 第二特征函数 川。随机变量的七阶矩 儿随机变量的k 阶中心矩 c 。随机变量的k 阶累积量 召，( m 1 ，0 9 2 ) 信号双谱 x 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外。本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体。均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：j 良鱼址 日期：j 竺2 三二生一 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的。 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) o 日期：罗7 f 、2 s 导师签名：丝! 叠! 遮日期： 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 1 课题的介绍及意义 第一章绪论 随着现代科学技术的不断发展，机械设备的结构变得越来越复杂，并且经常处于高 速、重载等工况下。由于各种因素的干扰和影响，会导致机械设备发生故障，轻则降低产 品质量或导致停产，重则会造成严重的甚至是灾难性的事故。因此，对机械设备状态监 测与故障诊断越来越受到重视。故障诊断的基本任务是监视机械设备的运行状态，诊断 机械设备的故障并提供有效的排故措施，指导设备管理和维修“1 。机械故障诊断的目的是 检测被噪声干扰的监测信号中是否包含有反映故障的异常成分，因此，复杂机械系统异 常振动信号的监测是进行早期故障诊断的关键。 在机械故障诊断过程中，故障特征信号的特征提取是关键问题，它直接关系到故障 诊断的准确性和故障早期预报的可靠性。其中噪声的干扰是影响故障信号特征正确识别 的重要因素。在对许多机械系统进行状态监测及故障诊断时，被检测部件往往是不能直 接观察和测量的，只能在远离待测部件的测点来测量带有该部件状态信息的相关信号。 这样在待测部件与测点之间就不可避免地存在着传输介质。另外，从传感器获取的信号 往往需要进行转换，在信号传输或作信息转换时，都不可避免的会带进“噪声”。这些 噪声包括：传感器本身的噪声，测量仪器系统的噪声，测量时被测对象本身的不稳定， 以及测试系统外干扰噪声等。这些噪声相对于有用信号来说都属于背景噪声。机械系统 早期故障引起的异常信号一般都很微弱且持续时间短，信噪比低，通常被淹没在很强的 背景噪声中，这对信号检测技术要求较高乜3 。通常我们必须要借助信号处理等手段从采 集的原始数据中加工出特征信息，提取特征量，从而保证有效、准确地进行故障诊断，也 就是说，信号检测与故障诊断有着极为密切的联系，信号检测是故障诊断中必不可少的 一个重要环节。 在机械系统振动信号检测中，背景噪声较大，信息往往淹没在背景噪声中。以往多 用概率统计的方法剔除噪声，对有用信号进行估计。但该方法一般要假设噪声的随机分 布模型，在工程实践中存在较大的困难。且常用的机械故障征兆提取方法多是假设振动 信号具有平稳和高斯分布的特性，而实际测得的信号大量是非平稳、非高斯分布和非线 性的随机信号。对于这种非线性现象，仅用功率谱和傅里叶变换等传统信号处理方法分 太原理工大学硕士研究生学位论文 析是很难从根本上解决问题。为了提高信号检测的性能，提高有用信号相对于噪声的信 噪比，从而更有效获取故障特征信息，必须借助于现代信号处理的理论、方法和技术手 段，从对信号的深度加工中获取更多的信息。因此，研究和发展基于非高斯、非平稳信 号分析理论的弱信号检测和故障特征信息提取方法具有重要的理论意义和实际应用价 值。 1 2 微弱信号检测的发展及方法简介 微弱信号检测是随着工程应用而不断发展的一门学科，是利用电子学、信息论和 物理的方法，分析噪声产生的原因和规律，研究被测信号的特点与相关性，采用一系列 信号处理的方法，检测被噪声背景淹没的微弱信号。自从1 9 2 8 年约翰逊发现电阻中电 子的热骚动引起非周期性电压以来，弱信号检测技术受到普遍重视而得到迅速发展。 1 9 4 2 年，维纳滤波理论的建立极大地推动了微弱信号检测理论的发展。1 9 6 2 年美国 p a r c 第一台相干检测的锁相放大器的问世使提取深陷在噪声中的有用信号成为现实。 从那以后，各种新的微弱信号检测的理论和方法不断涌现，大大提高了微弱信号检测的 精度。_ ”。目前常用的检测方法有窄带化技术、相干检测技术和时域信号的平均处理技 术、自适应噪声抵消等。 1 窄带化技术 窄带化技术是利用相应滤波器排除噪声，对电噪声而言，可以利用窄带滤波器 ( b p f ) 。因为信号频率是固定的，通过b p f 限制了测量系统的带宽，把大量带宽外的噪 声排除在外，取得了抑制噪声的效果。 2 、相干检测技术 相干检测技术，就是利用信号具有相干性，而噪声无相干性的特性，把相位不同于 信号的噪声部分排除掉。 锁相放大器是上世纪6 0 年代发展起来的，它以相敏检波( p s d ) 为基础，是当前频域 信号相干检测的主要仪器。其基本原则是利用f s d 既作变频又作相干降噪，再用直流放 大器作积分、滤波，最后作信号幅度测量，它比选频放大的测量灵敏度可提高3 4 个 数量级。 3 时域信号的平均处理技术 若信号是脉冲波，由于它有很宽的频域，因此无法用窄带化或相干检测技术进行信 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 号测量。然而噪声是随机的，它有正有负，有大有小，所以对信号多次测量并求平均值， 可排除噪声的影响，从而测出真实信号值。这种逐点多次采测求平均的方法，称为平均 处理。 4 、自适应噪声抵消 自适应噪声抵消属于自适应信号处理领域，以干扰噪声为处理对象，利用噪声和被 测信号不相关的特点，自适应地调整滤波器的传输特性，尽可能的抑制和衰减干扰噪声， 以提高信号检测的信噪比。自适应噪声抵消不需要预知干扰噪声的统计特性，通过逐次 迭代将自身的工作状态自适应的调至最佳状态抑制噪声。 1 3 机械微弱特征提取方法及研究现状 在以机械设备振动信号为状态参量的机器运行状态监测与故障诊断中，一方面，因 设备处于变工况运行时转速不稳定、负荷变化以及因机械故障产生大量的冲击、摩擦等 状况，导致非平稳振动信号的产生，基于平稳过程的传统信号处理方法难以发挥作用； 另一方面，当设备发生故障时，由于设备各零部件的结构不同，运行速度不同，使振动 信号所包含不同零部件的故障特征频率分布在不同的频带范围内。特别是当设备出现某 一零部件的早期缺陷时。它的这种缺陷动态信号很微弱，往往被其它零部件的运行振动 信号和随机噪声所淹没，给信号检测工作带来很大的困难。因此，如何把有用的信号同 噪声分离，提高信号的信噪比，成为信号检测中的重要任务之一。为此人们做了多种探 索，如时域平均处理和相关分析、频域中的功率谱分析、数字滤波等凹”。这些方法的采 用使故障的早期诊断取得了许多进展，但这些方法各有其优缺点及适用范围，有的实施 起来有一定的技术难度。下面逐一简要介绍各种检测方法。 1 、平均法 设所测的信号是由周期信号与噪声信号叠加而成，把它分成若干段，每段的长度取 为信号周期的倍数。然后把这些信号同时相加平均，由于噪声是随机的，在不同的周期 的对应点的值有正有负，相加后可部分抵消，而信号幅度越积越大，因而平均的结果使 得周期成分加强了，而随机噪声成分减弱了。从而达到了抑制噪声，提取弱信号的目的。 这种同步平均的方法在旋转机械信号分析中应用广泛。但只有从原始信号截取各段的长 度等于周期信号的周期的倍数，才能取得良好效果。 2 、相关法 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 相关法是根据周期信号的幅度在不同时刻具有相关性，而噪声是随机的，对它们求 相关函数，将周期信号从噪声背景中提取出来的方法。相关法可分为自相关和互相关两 种。 自相关是检测信号中周期成分的有效手段。由信号统计理论，在时间趋向无穷大时， 噪声的自相关函数趋于零；周期信号的自相关函数是一个与周期信号同周期的信号，所 以将混有噪声的信号作自相关处理，在时间趋向无穷大时，将得到一个不含有噪声的周 期信号，从而消除了噪声干扰。 互相关方法是利用互相关函数同频相关、不同频不相关的性质滤波，称为相关滤波。 它能够抑制所有与参考信号不相关的各种形式的噪声，而自相关方法却难以完全做到这 点。因此，从噪声抑制能力上看，互相关方要优于自相关方法。 相关滤波是噪声背景下提取有用信息的一个非常有效的手段，但是由于数据只能截 取有限长度，因此这必然带来有限长度误差，只有当记录长度越大时，误差越小，一般 取记录长度大于信号周期的5 - 1 0 倍，而且互相关方法需要一个与被测信号相关的同频 率参考信号，应用互相关方法进行测量的仪器也只能测量频率己知的单频信号，这些都 大大限制了互相关方法的应用。 3 、功率谱分析 功率谱分析是在频域中提取有用信息的方法。通常采用功率谱密度来描述平稳随机 信号的谱强度。通过功率谱来揭示信号所含的周期、谱峰及谱强度等信息。 自功率谱为自相关函数的傅里叶变换，自功率谱包含着自相关函数中的全部信息。 自功率谱密度反映的是信号幅值的平方，因此能更加突出频域结构的特征。同自相关分 析一样，自功率谱密度也可用来检测信号中的周期成分，在故障监测中，可根据不同时 段自功率谱的变化来判断故障发生征兆和寻找可能发生故障的原因。互谱是互相关函数 的傅里叶变换，如果一个测试系统受到外界干扰，利用互谱分析可排除噪声的影响，但 是一般不常用。除此以为，还有细化傅里叶变换、倒频谱、三分之一倍频程谱等。细化 谱分析可以提高频率分辨率，常常作为功率谱辅助分析手段；倒谱分析对识别故障的边 频结构很有效，且对于信号的传递路径不敏感。 4 、数字滤波 数字滤波是通过数学运算从所采集的离散信号中选取人们所感兴趣的一部分信号。 数字滤波的主要作用是滤除测试信号中的噪声或虚假成分、提高信噪比、平滑分析数据、 抑制干扰信号。数字滤波器是利用采样及量化过的信号。从滤波器的单位冲击响应来看， 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 滤波器可分为无限长单位冲击响应滤波器( i i r ) 和有限长单位冲击响应的滤波器( f i r ) 。 具有频率选择功能的数字滤波器按功能分类，有低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、 带阻滤波器。另外，在全频带幅频特性固定的滤波器称为全频带滤波器，可用于改善滤 波器的相频特性。由于f i r 滤波器的稳定性及线性相位的特性，因此更多的应用于实际 中。 5 、维纳滤波 维纳滤波是利用最小平方滤波原理剔除噪声的一种滤波方法。如果输入信号是源信 号与于扰噪声信号的混合，并且源信号与干扰噪声信号不相关，那么维纳滤波器的期望 输出就是源信号本身。 维纳滤波器的频率响应决定于源信号与噪声的自功率谱。维纳滤波器对信噪比大的 频率分量传输函数大，对信噪比小的频率分量传输函数小，它就是这样来相对抑制噪声 通过系统的。 维纳滤波利用谱分解和平稳随机过程的谱展式解决最优滤波问题，己被成功地应用 于故障振动机理己有成熟结论的机械诊断领域中。但是由于它是物理小可实现、非递推 的，因而它的应用受到很大限制。 传统信号处理技术虽然在理论和实际应用中比较成熟，但有其自身的局限性。为此， 人们作了诸多改进，如朱利民等人m 提出的处理变速机械弱时变响应信号的离散频谱多 点平均幅值修正法，能精确地计算出平稳信号和频率微弱波动信号的幅值；p a r k e r 与 a n d e r s o n 嘲提出的互谱模型参数谱估计的理论及方法比传统的f f t 方法和互周期图法 能更有效地提高互谱估计的谱分辨率和谱光滑性；朱利民等人。1 提出了低信嗓比情况下 提取周期性冲击故障信号特征的短时分析方法，为故障诊断提供了一种有效途径；w a n g 与m c f a d d e n 陋3 利用小波变换之后的时间尺度分布图分析振动信号的局部特征，实现对 局部故障的检测与诊断。随着信号处理新理论的出现及新技术的发展，故障特征提取技 术也得到了持续发展。目前，基于小波变换、人工神经网络、分形理论等的故障特征提 取技术都取得了较大进展。 1 4 本论文研究的主要内容 在机械故障诊断中，故障特征通过传感器的输出信号反映出来，这些信号特别是反 映早期故障特征的信号常常比较弱，而相应的非故障特征信号分量却比较强，有时甚至 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 会淹没那些反映早期故障征兆的信号，为了从根本上解决故障特征信息提取这个关键问 题，人们主要借助现代信号处理理论和技术手段对故障信号进行分析。采用信号处理方 法提取故障特征时，主要目的是抑制非故障特征信号，突出故障特征信号。本论文以机 械系统为研究对蒙，针对机械故障诊断中振动信号的特点，对淹没在强背景噪声中的微 弱故障信号检测和特征提取中信号处理新方法新技术进行研究。本文主要内容安排如 下： 第一章、绪论。介绍了机械设备故障诊断技术的意义及研究内容，分析了机械故障 信号的特点，介绍了弱信号检测方法，着重对机械故障特征提取方法及研究现状进行论 述。 第二章、基于时频分析的信号检测。针对实际振动信号中的非平稳现象，将时频 分析理论应用于异常振动信号检测中。介绍了时频分析的理论与特点，应用各种时频分 析方法对含噪瞬态信号的检测作了仿真实验，并对时频分析的检测性能进行了分析比 较，给出了各个算法的计算机仿真结果图。 第三章、基于小波变换的信号检测。简述了小波分析的基本理论和方法。详细论述 了基于小波变换的奇异性检测理论，提出了利用三层以上细节信号的乘积作为检测信号 求解多尺度模极大值的方法，以实现信号奇异点的精确定位，达到增强信号和抑制噪声 的目的。给出了基于小波变换的信号检测的基本思想及具体的实施步骤，着重论述了小 波去噪中小波基的选取、小波分解层次的确定、及阈值选择等实际应用问题。 第四章、基于高阶统计量的信号检测。针对实际信号中的非高斯和非线性现象，将 高阶统计理论应用于振动信号分析之中。重点介绍了基于双谱的信号检测，并将其应用 于齿轮故障诊断中。 第五章、结论与展望。总结本论文的主要结论，对今后的工作做出进一步的探讨。 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 1 引言 第二章基于时频分析的信号检测 随机信号在理论上分为平稳信号和非平稳信号两类。长期以来，由于理论研究的局 限和受到分析工具的限制，人们通常将非平稳信号作为平稳信号处理。然而在实际中， 信号的平稳性总是相对的、局部的。而非平稳性则是绝对的和全局的。当机械设备发生 故障或工作异常时，其相应的振动或噪声信号一般呈非平稳特性即此时信号是时变非 平稳的。随着数字信号处理技术的发展，非平稳信号处理理论和方法的研究领域逐步发 展、成熟起来。近年来，国内外学术界在非平稳随机信号分析和处理的研究上取得了很 大进展。 时频分析方法是非平稳信号处理的一个重要手段，它的主要任务是描述信号的频谱 含量是怎样随时间变化的。时频分析的最终目的是建立一种分布，以便能在时间和频率 上同时表示信号的能量或者强度，对信号进行分析、处理，以提取信号中所包含的特征 信息。目前时频分析方法已广泛用于通信、自动化、雷达、声纳、生物、天文、医学、 地球物理和故障诊断等技术领域。 2 2 时频分析的基本理论 时频分析思想始于上世纪4 0 年代，1 9 4 6 年，d g a b o r 提出的g a b o r 变换，为此后在 时间和频率联合域内分析信号奠定了理论基础，为更好的理解语音信号，r k p o t t e r 等 在1 9 4 7 年首次提出了一种实用的时频分析方法一短时f o u r i e r 变换，并将其绝对值豹平 方称为“声音频谱图”，即后来所称的谱图。1 9 4 8 年，j v i l l e 将e e w i g n e r 在1 9 3 2 年提 出的w i e n e r 分布引入信号处理领域。此后，人们对w i e n e r 分布不断改进，并提出了众 多新型的时频分布 1 3 a 时频分析方法按照时频联合函数的不同分为线性时频表示( 核分解法) 和双线性时 频表示( 能量分布) 两种。线性时频表示是由傅里叶变换演化而来的，满足叠加原理或 者线性原理。典型的线性时频表示有短时傅立时交换，g a b o r 展开和小波变换等，它们 都是把信号分解为基本成分之和的形式，这些基本成分在时域和频域内具有很好的局域 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 化性质。双线性或二次型时频表示是信号的二次变换，建立了信号的时频分布函数，提 供了在时频平面描述信号时变功率谱的工具，其典型代表是c o h e n 类时频分布。c o h e n 类是所有具有时间和频率移不变性的二次型时频能量分布的集合，而w i g n e r - v i l l e 分布 ( w v d ) 是其中最重要的成员，c o h e n 类中的其他成员都可以看成是对w v d 进行某 种二维相关处理后得到的结果。 时频分析的目的在于构造一个能反映信号时变特性的时频联合分布e ( t ，力，为此， 理论上该分布应满足一些基本性质i n ( 1 ) 时频分布必须是实的( 且希望是非负的) 。 ( 2 ) 时频分布的总能量 给定信号x o ) 的时频联合分布尸o ，力的总能量应该等于信号的总能量，即 互= 舻p ，f ) d f d t = j l x ( o t 2 d r = j l x ( 硝a f ( 2 一1 ) ( 3 ) 边缘特性 p ( f ，f ) d f = i x ( t ) 2 ( 2 2 ) i p ( t , f ) c l t = j z ( 刊2 ( 2 3 ) 即时频分布关于时间t 和频率f 的积分分别给出信号在频率f 的谱密度和信号在时 间t 时刻的瞬时功率。 ( 4 ) 时频移不变性 指信号经过时移和频谱搬移后，其分布保持不变。 x 寸p ( t ，力；e - y t o x ( t ) 专尹9 一岛，力时移不变性 x 寸p ( t ，力等e l r “x ( t ) 一尸( f ，一五) 频移不变性 工斗p ( t ，力j e f f o t x ( t t o ) 寸e ( t 一，一五) 时频移不变性 ( 6 ) 有限支撑性 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 指信号定义在有限的区间。这是从能量角度对时频分布提出的一个基本性质。在信 号处理中，作为工程上的近似，往往要求信号具有有限的时宽和有限的带宽。信号时频 分布的有限支撑性包括弱有限支撑性和强有限支撑性。若信号定义在某一有限区间( 或 定义在某一频带内) ，它的时频分布也定义在相同的区间( 或定义在相同的频带) 该时 频分布具有弱有限支撑性。若无论什么时侯，只要信号为零( 或无论什么频点，只要信 号的频谱为零) ，时频分布就为零，满足这一要求的分布具有强有限支撑性。 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 边缘特性连同非负性一起可以保证时频分布准确反映信号的谱能量，瞬时功率和 总能量：边缘特性可以保证信号的总体量( 如平均时间，平均频率，时宽和带宽) 正确给 定：非负性则可以进一步保证分布的条件期望是切合实际的和物理可解释的：非负性和 正确的边缘特性一起还可以保证时频分布的强有限支撑性。 时频分析的时间和频率分辨率是通过h e i s e n b e r g 不等式( 也称为不确定性原理) 联 系起来的。不确定性原理定义为： 对于能量有限信号m ) ，其时宽r 和带宽b 的乘积总是满足下面的不等式： 1 时宽一带宽乘积= 绉= a t 4 t 妄 ( 2 - - 7 ) 二 式中的出和4 厂分别称为时间分辨率和频率分辨率。 不确定性原理表明，时宽和带宽不可能同时达到任意小，所以，我们不可能同时得 到任意高的时间分辨率和频率分辨率。 2 3 线性时频表示 线性时频表示满足叠加原理或者线性原理，也就是说如果一个信号是多个信号分量 的一个线性组合，那么该信号的时频表示即是其包含的各个信号分量的时频表示的相同 线性组合。两种最重要的线性时频表示是短时傅立叶变换和小波变换。 2 3 1 短时傅立叶变换 短时傅里叶变换( s t f t ) 的基本思想是为了实现时域的局域化，在傅立叶变换的 基础上，把待分析的时变信号x ( f ) 乘以时窗函数y o ) ，如果在窗口函数宽度足够窄的情 况下可认为信号是平稳的。令时窗函数沿时间轴滑动，从而使信号逐段进入被分析状态， 可以得到信号的短时傅立叶变换哺1 。定义式为： s r f r ，( t ，力= rx ( t7 沙( f7 一f 弦叫2 斫d t ( 2 - - 8 ) 其中， 代表复数共轭，r ( t ) 为滑动窗函数，定义式表明，信号x ( t ) 在时间t 处的 s t f t 就是信号乘上一个以t 为中心的分析窗y ( r r ) 以后所作的傅里叶变换。因为信号 z ( ，) 乘以一个短窗函数，( ，- t ) 等价于取出信号在分析时间点t 附近的一个切片，所以 s t f t ( t ，力直接是信号x ( t ) 在分析时间t 附近的“局部谱”。 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 局部频谱不仅取决于时刻t 附近窗函数内的信号，而且还和窗函数有关，窗口越窄， 谱就越宽，这说明谱窗的引入会降低局部谱的分辨率。 记重构窗函数为g ，分析窗函数为，( r ) ，在满足条件f g ( t ) ( t ) d t = 1 时，短时傅 里叶变换可完全重构： x ( f ) = $ t f t x ( t ，f ) g ( t 一f ) p 脚d t d f ( 2 9 ) 给定分析窗r ( t ) 时，重构窗函数g o ) 有无穷多种选择。 根据定义式，信号在时间t 处的短时傅里叶变换是对预加窗函数后的频谱，故以时 间为中心的局部窗宽度内的所有信号性质都会在内显示出来，所以窗函数对短时傅里叶 变换的性能有很大的影响。利用s t 分析非平稳信号时，处理结果的好坏既和被分析 信号本身的时变特性有关，也和所选的窗函数( 包括窗函数种类、窗宽等) 有关。 1 、窗函数的选择对于特定的信号，选择特定的窗函数可能会得到更好的效果。 然而如果要分析包含两个分量以上的信号，在选择窗函数时就会感到困难，很难使一个 窗同时满足几种不同的要求。g a u s s i a n 函数、m 阶畔条函数2 ) 都是好的窗函数， 另外还有许多窗函数，像汉明窗、海宁窗、矩形窗等。窗函数的选择一般考虑两个因素， 一个是泄漏( 窗越短，泄漏越严重) ：另一个是窗函数的窗口特性。 如图2 1 、图2 2 为两个具有不同位置的瞬态信号组成的非平稳信号的s t f t ， 窗函数分别为1 7 点g a u s s 窗和1 7 点k a i s e r 窗，仿真结果表明g a u s s 窗具有较好的时频 特性。 图2 一is t f t ( g a u s s 窗)图2 2s t f t ( k a i s e r 窗) f i g 2 - 1s t f r ( g a u s sw i n d o w )f i g 2 - 2s t f t ( k a i s e rw i n d o w ) 2 、窗函数的长度窗函数的长度与s 1 1 叮的频率分辨率有直接的关系。要得到好 的频域效果，就要求有较长的信号观察时间( 窗函数长) ，那么对于变化很快的信号，将 失去时间信息，不能正确反应频率与时间变化的关系；反之，若取得窗函数很短，虽然 1 0 太原理工大学硕士研究生学位论文 可以得到好的时域效果，但根据不确定性原理，这必将在频率上付出代价，所得到的信 号频带将展宽，频率的分辨率将下降。所以，既有任意小时宽又有任意小带宽的窗函数 不存在。而且，对非平稳信号作加窗的局域化处理，窗函数内的信号必须是基本平稳的， 即窗宽必须与非平稳信号的局部平稳性相适应。因此，非平稳信号分析所获得的频率分 辨率与信号的局域平稳长度有关，长度很短的信号不可能直接得到很好的频率分辨率。 对上述非平稳信号分别采用1 7 点和6 5 点h a m m i n g 窗的s t f t ，结果如图2 3 、 图2 4 所示。由图可见，当窗函数为6 5 点的h a m m i n g 窗时，频率分辨率较好，但在 时间轴上不能区分信号中的两个分量；丽当窗函数为1 7 点的h a m m i n g 窗时，降低了频 率分辨率，但在时间轴上能区分信号中的两个分量。 图2 3s n 玎( 6 5 点h a m m i l l g 窗)图2 4s t f t ( t 7 点h a m m i n g 窗) f i g 2 3s t f t ( 6 5 - p o i n th a m m 堍w i n d o w ) f i g 2 - 4s t f t ( 1 7 - p o i n t i ；m i l 】gw i n d o w ) 由此可见s t f t 虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有局部分析能力的缺 陷，但是当窗函数y o ) 确定后，矩形窗口的形状就确定了，s t f t 实质上是一种单一分 辨率的分析。因此对于非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主要是高频，要求有 较高的时间分辨率，而波形变换比较平缓的时刻，主要是低频，要求较高的频率分辨率， s n 叮不能同时保证时域分辨率和频域分辨率。 2 3 2 时间一尺度分析 常用的时间一尺度分析方法是小波交换( w r ) ，本文第三章将对此进行详细介绍， 在此不作展开。小波变换利用联合时间和尺度函数分析非平稳信号。小波变换与短时傅 里叶变换不同之处在于：小波变换的窗口中心频率、窗口宽随着尺度的变化发生变化， 雨短时傅里叶变换的窗口是固定不变的。在整个时一颓面上，小波变换的时间一频率分辨 率是变化的，当分析低频( 对应大尺度) 信号时，时间窗很大；当分析高频( 对应小尺 1 1 太原理工大学硕士研究生学位论文 度) 信号时，其时间窗减小。符合实际问题中高频信号持续时间短、低频信号持续时间 长的规律，因此它在时频两域都具有很强的表征信号局部特征的能力，被广泛用于信号 处理领域。 小波变换和短时傅里叶变换都属于线性变换，它们把信号表示在联合时间一频率 ( 尺度) 平面内，可以将动态信号的能量集中在信号所发生的时间和频率附近，使微弱 瞬时信号的能量变化能较明显地显示出来，对瞬时信号的检测比较有利。但小波变换在 不同位置使用不同的窗宽，对瞬时信号的检测更加有利。 设一个具有高颏调幅的线性调频信号，初始频率为0 。1h z ，终止频率为0 3 h z ，持 续时间为1 2 8 秒，原始信号和含噪信号( 信噪比s n r = - 5 d b ) 分别如图2 5 与图2 - - 6 所示。对含噪信号进行短时傅里叶变换和小波变换，窗函数选用2 7 点高斯窗，小波变 换采用m o r i c t 小波，含噪信号的s t f t 和w t 的立体图如图2 7 与图2 _ 8 所示。由仿真 结果可以看出，w t 的检测性能明显优于s t f t 。 川 卜 图2 - 5 原始信号 f i g 2 5o r i g i n a ls i g n a l 图2 - 7 含喙信号的s n 呵 f i g 2 - 7s t f to f n o i s ys i g n a l 1 2 图2 - 6 含噪信号 f i g 2 - 6n o i s ys i g n a l 图2 8 舍噪信号的w t f i g 2 8w to f n o i s ys i 翻i a l 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 4 双线性时频表示 短时傅立叶变换是线性变换，它不能描述信号的瞬时功率谱密度，即不能确定在时 间t 及频率厂处信号的那部分能量。线性变换的另一个问题是时间和频率分辨率不能同 时得到优化，而且线性变换直接对时域信号进行变换，对背景噪声的抑制能力较弱。双 线性时频分布是信号的二次变换，同线性变换相比，双线性时间一频率变换在时间域与 频率域同时有较高的分辨率，而且具有一定的噪声抑制能力，是非平稳信号处理的重要 工具。 2 4 1 谱图 短时傅里叶变换的幅值平方称为谱图，定义式为： s p e c x ( t ，力= i s t f t x ( t ，门1 2 ( 2 一l o ) 由谱图的定义可以推出谱图是实值的、非负的。 谱图具有以下性质： ( 1 ) 谱图的总能量等于信号能量，即满足时频分布的总能量要求； ( 2 ) 谱图具有时、频移不变性； ( 3 ) 谱图没有真边缘，即没有正确边缘； ( 4 ) 谱图一般无强支撑性也无弱支撑性； ( 5 ) 时频分辨率同s t f t 一样受限。 2 4 2w i g n e r - v i l l e 分布 w i g n e r - v i l l e 分布( w v d ) 是一种最基本的双线性时频表示形式，这种分布最初是由 w i g n e r 于1 9 3 2 年在量子力学中提出的。1 9 4 8 年，v i l l e 将其引入信号分析领域。1 9 7 0 年，m a r k 提出w i g n e r - v i l l e 分布中最主要的缺陷一交叉干扰项的存在。w i g n e r - v i l l e 分 布具有明确的物理意义，它可被看作能量在时域和频域中的分布。 信号j ( f ) 的w i g n e r - v i l l e 分布定义为： w ( t ，门= 石( f + o 一争p 。2 加d f +(2-11) 式中x ( f ) 是j ( f ) 的解析信号。w i g n e r - v i l l e 分布的频域定义为： 1 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 w ( t ，力= x 盯+ 秘+ ( 厂一2 ) e s 2 ”d f ( 2 1 2 ) 式中x q ) 出现了两次，所以称其为双线性变换。式中不含有任何的窗函数，因此避 免了短时傅立叶变换时间分辨率、频率分辨率相互牵制的矛盾，它的时间一带宽积达到 了h e i s e n b e r g 不等式给出的下界。w i g n e r - v i l l e 分布几乎满足时频分布全部性质。由于 这种分布许多良好的性质，它在实际工程中得到广泛的应用。 如图2 9 、图2 一1 0 为单分量线性调频信号( l f m ) 的w v d 和谱图( 等高线图) 。 与谱图相比w v d 检测线性调频信号分辨率较高，能更准确的描述频率的变化，对单分 量信号的检测效果很好。 图2 9 单l f m 的w v d图2 1 0 单l f m 的谱图 f i g 2 9w v do f s i n g l el f mf i g 2 1 0s p e c t r o g r a mo f s i n g l el f m w i g n e r - v i l l e 分布是双线性变换，对于多分量信号，它不符合线性叠加原理。以含 有两个分量的信号为例，若信号x ( t ) = x 。( f ) + x 2 ，其w v d 为 暖o ，门= 呒。( f ，力+ 呢：( f ，门+ 2 r e w 。, t ：2 ( f ，力j ( 2 - - 1 3 ) 式中职埘o ，) = _ ( f + 吾弦：( t - ) e - j z , c , d r 畋l n 为信号石1 ( f ) 和信号屯( f ) 的互w i g n e r - v i l l e 分布，r e 表示取实部。 由此可见，两个信号之和的w v d 并不等于各个信号的w v d 之和，有一个附加项 2 r e w ，。亿厂) 】，通常被称为“交叉项”或“互时频分布”，而前两项称为信号项( 自主 项) 。上式也称为w v d 的二次叠加原理。 交叉项是二次型或双线性时频分布的固有结果，它们来自多分量信号中不同信号分 量之间的交叉项作用。多分量信号的交叉项一般是比较严重的，交叉项一般分布在两个 信号之间，表现为高频震荡的形式，幅度可以达到自主项的两倍，造成信号的时频特征 模糊不清，而且交叉项的数量随信号分量数量的增加是二次增加。 1 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 对于持续时间为1 2 8 秒的两个l f m 信号，其初始频率分别为0 h z ，0 2 h z ，终止 频率分别为0 3 h z ，0 4 h z ，在不含噪声的情况下，其w v d 和谱图的仿真结果( 等高 线图) 如图