（应用数学专业论文）偶数阶非线性微分方程解的存在性.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 本论文中除引文外，所有试验、数据和有关材料均是真实的。 4 本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其他机构已经发表撰写过的研 究成果。 5 其他同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：，= 蔓二肴 日期：立! 尹 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位 论文在解密后适用本规定。 作者签名：鲥 日期：矽 摘要 对于非线性微分方程解的存在唯一性，一直都是研究热点，在许多领域都 有着十分广泛的应用。研究方法非常多，通常有代数方法，变分方法，不动点方 法，拓扑度同伦方法，单调迭代方法，微分同胚方法等。本论文对其中两类非线 性微分方程“2 ”+ v g ) = 吖( “) 和哆“+ v g ) = m ) 的解的存在性进 行了讨论。在论文的第二章运用同胚延拓方法证明了一类偶数阶非线性微分方程 解的存在性。首先证明线性算子l u 是稠定的自伴算子，在m 为有界全连续算子 的条件下应用同胚理论和s c h a u d e r 不动点定理得到解的存在性结论。第三章推广 第二章的方程到一般形式即全偶数阶的情形仍然使用同胚延拓和不动点定理得到 解的存在性结论。 关键词：d u f f i n g 型方程，微分同胚，s o b o l e v 空间，连续紧算予，周期解，不动 点方法。 a b s t r a c t i ti so fg r e a t i m p o r t a n c e t o s t u d ye x i s t e n c e a n du n i q u e n e s sf o rn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e r e sm a n ym e t h o d st os t u d yi t ，s u c ha sa l g e b r a i cm e t h o d v a r i a t i o n a lm e t h o d ，f i x e dp o i n tm e t h o d ，t o p o l o g i c a l d e g r e eh o m o t o p ym e t h o d ， m o n o t o n ei t e r a t e dm e t h o d ，h o m e o m o r p h i s mm e t h o d i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h e e x i s t e n c ef o rt w ok i n d so f n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 甜2 ”+ v g ( “) = 吖( 甜) a n d 吁“玎+ v g ( “) = 吖( 甜) f i r s t ，t h e e x i s t e n c ef o r j - 1 e v e no r d e rd u f f i n gd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si sd i s c u s s e d w i t hl ui ss e l f - a d j o i n t o p e r a t o ra n dm i sab o u n d e dc o m p a c to p e r a t o r ，t h er e s u l to fe x i s t e n c ei sd i s c u s s e d b yv i r t u eo fh o m e o m o r p h i s m ，e x t e n s i o na n df i x e dp o i n tm e t h o d s e c o n d l y ，w ee x p a n d t h ed u f f i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st ou n i v e r s a lk i n d s w i t hv i r t u eo fh 。m e o m o r p h i s m e x t e n s i o na n df i x e dp o i n tm e t h o dt og e tt h er e s u l to fe x i s t e n c e k e yw o r d s ：d u f f i n ge q u a t i o n ，h o m e o m o r p h i s m ，s o b o l e vs p a c e ，p e r i o d i c s o l u t i o nc o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p e r a t o r ，f i x e dp o i n tm e t h o d 2 第一章前言 1 1 研究目的及意义 对于非线性微分方程解的存在性与唯一性问题研究一直是一个热点。这类方 程在物理学，天体力学，电学等领域有着十分广泛的应用，它源自非线性摄动守 恒系统，所表示的质点受保守内力和周期外力的作用。研究这类问题通常有两种 方法：一是纯粹理论性证明，比如微分同胚方法，不动点方法，变分方法等，这 类方法理论深刻但需涉及较多的非线性分析知识。一类是构造性证明，比如连续 法等，此类方法容易形成算法求得数值解但技巧性较强。 1 2 国内外研究进展 对于l i n a r d 型及d u f f i n g 型方程直以来都是研究重点。这类方程 “”+ g r a d g ( u ) = p ( f ) ( 1 ) 源自非线性摄动保守系统，由牛顿类运动方程推得， 这里g ：晨”斗r 有连续的二阶偏导数，p ：r ”寸r 是2 万连续函数。这类方程质 点受保守内力和周期外力作用。自1 9 6 9 年l a z e r 和s a n c h e zr 1 1 利用b r o u w e r 不动 点定理求得方程( 1 ) 在条件( l 0 ) 下的2 万周期解的存在性之后3 0 年来取得了 巨大的成就。 ( l 0 ) 存在整数 0 ， 脚和鼬+ l 使得2 + l ( + 1 ) 2 和 m ( 警脚。对所有胁脚托 1 9 7 7 年，k a n n a n 和l o k e r 2 1 给出了方程( 1 ) 在条件( l o ) 下周期解的存在唯一 性的更简单的证明。1 9 8 9 年沈祖和【3 】在一组相当广泛的条件下研究了方程( 1 ) 的2 石周期解的存在唯一性。推广了l a z e r 的结果。黄文华f 4 j 等通过改进 m a n a s e v i c h 同胚定理，给出m a x r a i n 原理的一个非变分形式，取得( 1 ) 的边值 问题的存在唯一性结果。并且将改进的微分同胚定理推广的到带d i r i c h i e t 边界条 件，n e u m a n n 边界条件和周期边界条件的d u f f i n g 型方程组的边值问题，并取得 了几个存在性定理。李维国和王子亭【2 1 】利用s h a u d e r 不动点定理证明了( 1 ) 的解的 存在唯一性而且条件更少并得到两个推论。吴广荣等研究了下列常微分方程组 “”( r ) + a u 0 ) + v g ( u ) = p ( ) 唯一的2 石周期解的存在性。 利用双线性型引理和s c h a u d e r 不g ；j 点定理，李勇等( 5 j 讨论了高阶微分方 程u ( 2 k ) ( r ) + v g ( u ( t ) ) = p ( f ) = p 0 + 2 a ) 解- 的存在唯一性。文献 6 研究了高阶半线 性d u f f i n g 方程 “2 ”+ g ( x ) = p p ) = p 0 + 2 z ) 1 1 2 ”+ 1 + g ( x ) = p p ) = p p + 2 万) 解的周期性。 从福仲 7 1 利用s c h a u d e r 不点定理研究了2 k 阶微分方程组( 2 ) i l 甜2 + 哆“卸+ ( 一1 ) “y o ，“) = 0 ，“r ”。 哆为常数， j c l 在条件( l 1 ) f l 2 ) 下的周期解的存在唯一性。 ( l 1 ) ，c 1 ( r x r “) p + 2 z ，“) = 厂( f ，“) ，且j a c o b i a n 矩阵厂。= ( 厂。) ，是 船玎对称阵。 ( l 2 ) 存在两个咒”阶常对称阵a 和b ，且a - f 。墨b 0 1 1r x r “若 矗五 ，l a 2 4 是矩阵a ，b 的特征值，则存在整数j i = 1 , 2 ，n 满足： - 1女一1 0 + ( 一l y “哆产 丑麒 d t = 宝卜“黜州r ) 出 i=1fj n = 一“协俐h o ) v i ( t ) d t i = ib 1 “ = _ ( - 1 ) 1 宝f 。“砸) v i ( t ) d t = 十1 ) 2 意卜协) v 翩出 一一( 一1 ) 2 ”njx ( 辨”。) 毋：( “，三v ) 定义图范数 x j r ： “= i i “i i + i i l 甜1 1 = 1 1 “ij + l t u ( 2 n ) j 则d ) 在图范数下是b a n a c h 空间，由w i r t i n g e r s 不等式 l p “，l | 2 茎 b 。+ 1 ，f | 2 ，= 1 ，2 ，一，2 胛一1 可证明图范数跟s o b 。1 e v 范数肛t i + i i u l l + j l u | f + + 忙2 月0 是等价的据s 。b 。l e v 嵌入定理，d ) 可嵌入c ：”1 o ，2 x ，其中 c ：”1 o ，2 z = 协：r 斗r ”f “，在 o ，2 厅 有连续( 2 行一1 ) 阶导数 。 设连续f r e c h e t 可微算子 n ：d ( z ) 斗x ，) ( f ) = - v g ( u ( t ) ) 。 则( 1 ) 式可转化成算子方程形式 工“+ ( “) = m ( ) ( 3 ) 由于g ) 有连续二阶偏导，则是连续可微的，且有： ( 。( “) v ) 舻一( 旦坚屿，( ) c 舛。廊 = - q ( ”( f ) ) v ( r ) ( “，v d ( 三) ，f o ，2 z ) 则q ( u ) 对v u r “是对称阵，且有 三+ ( 材) = l 一9 ( 甜) 设 ) ，五( “) ， ) 是q ) 在“r ”的特征值不妨设 ) 五 ) 0 ) ，如果存在正整数2 ，( i = 1 , 2 ，即) ，有 r ( n ，) = ? “ f ，如果对任意 q ( t ) = ( 1 - t 沙o + 巩，r 0 ，1 c f ( d ) ，v x o 厂。1 ( y o ) ，都章： o ，1 寸d 使得 p ( o ) = x 。，f p ( r ) ) = 9 0 ) ，t 【0 ，l 】。则连续函数f 在厂( d ) 中是路线上升的。 引理2 1 6 1 连续映射f ：d z _ y 是一个局部同胚，且在，( d ) 中是路线 上升的。如果连续映射f 满足条件( l ) 如果对任一点 。，y ) d y 和任一路径 p ：【o ，a ) 斗d ，a ( 0 ，1 对 f ( p o ) ) = ( 1 0 f ( 工o ) + 矿，r o ，口) ， 成立时，存在序列p ，l i = 1 , 2 ， 使得l i m p ( t 。) 存在且此极限在d 中。则f 是从d 到 y 的同胚。 引理3 4 1 设e = ( r ，“) m “r ) c r2 ，g c e ，r ，假设方程( 8 ) 最大解r ( t ) 的最大解区间为，t o + a ) ，设删c o o ，t o + d ) ，r 】，( t ，卅( f ) ) e ( 对v t “t o ，t o + 旬) ，历( f ) ，且对一固定的迪尼导数有 d m ( t ) g ( t ，坍o ) ) ，t i t o ，f o + a ) 一t ( 9 ) 其中t 是区间 t o ，t o + 印上最多可数个迪尼不可导点集， 贝0 r e ( t ) ，( f ) ，t t o , t o + a ) 。 1 0 引理4 8 1 设g ：r ”一r 有连续二阶偏导数，且q ) 的特征 值满足( 4 ) ，如果对v r r ，初值问题 j y ( 7 ) 2 叩占 ( 7 ) ) 一 0 ，1 】 ( 1 0 ) l y ( o ) = 0 的最大解y 定义在 o ，1 】上且对v a ( 0 , 1 】，有y ( a ) = l i m y ( s ) 是有限的， 则三+ n 为d ( l ) 到x 的同胚。这里占满足( 7 ) 式。 证明 因为零不是l + ) 的特征值对任意“d ( l ) ，则 三+ 。 ) 是可逆的，因此l + ( ”) 是一个局部同胚对任意吖d ( l ) 。 由引理2 ，设z 和任意d ( l ) ，有 工“o + n ( u o ) = 厂o q ( s ) = ( 1 一j 扩o + s f ，s 0 , 1 则三+ u 对q 是连续的。假设，对a ( 0 , 1 】，存在一个连续函数 p ： 0 ，盘) 寸d ( 三) 使得 印0 ) 十印( j ) 】= g ( 0 ， j 0 ， 对任意固定的j o ，a ) ，设u 和v 分别是p ( s ) 和q ( s ) 的开领域。则 + ) u 是从u 到v 的一个同胚。因此( 工+ ) 孑在q ( s ) 的领域内是连 续可微的并且 ( + ) 亨) 。 l u + ) 】= ( 三“+ ) ) _ 1 ，“u 。 由链式法则， p ( j ) = 口+ n p ( s ) ) 】。1 q 。o ) = l + n0 ( j ) ) r ( 厂一厂。) ， 因此p ( s ) 在s 0 ，盯) 是连续可微的，对任意s o ，a ) 有 归。( s ) | f j | 业+ o ( s ) ) 。1 旷一厂。| j 设7 7 = 矿厂o 由( 6 ) 和( 7 ) ， s ) 忙栌( 眵( s ) 盼 设y 是( 1 0 ) 的最大解，由假设，y ( a ) = l i m y ( s ) 是有限的对( o ，1 ，由引理2 $ - - ) , t 2 p ( 口) = l i m p ( s ) m 也是有限的对口( o ，1 。因此上+ 是从_ d ( 三) 到z 的一个同胚。 2 3 主要结论 定理设l ：d ( 三) 寸x 为自伴算子，g ：r ”寸r 有连续二阶偏导数，若 尬d ( l ) _ x 是一个有界全连续算子，则方程( 3 ) 至少有一解 证明令f ) = l u + n ( u ) ，则由引理4 知f ) 是从d ( l ) 到x 的全局同胚。 由于md ( l ) x 是一个有界全连续算子，则三”+ n ( u ) = m ( w ) 对每一个 w b r 都成立，这里b r d ) ，且每一个w 都有一个固定的“与之对应。令 线性算子丁：b r 一致。有t w = ，w ，“b r 。由于f ( u ) 是从d ( l ) 到x 的全局同 胚。则口+ 】：丑寸d ( 上) 存在且连续。 我们令t = l + “m ，下面证明t 是有界全连续算子。因为m 是有界的， 故存在r 0 ，使得对一切“d 口) 有j 阻 ) f | s 叩即对任给的v m ( d ( 三) ) 有 f i v l l 。7 7 。因为l + 是d ) 到x 的同胚，因此存在一个p ( o ) d ( 上) 使得 ( + ) p ( o ) = 0 ， 由引理l 设g ( j ) = ( 1 一s ) o + s g0 0 ，1 】) ，v 为x 中任意向量函 数对v a ( 0 , 1 】，予： o ，口) 斗d ( l ) ，使得 ( + ) p 0 ) = g ( s ) = 册， 则 + 。0 ( s ) ) 【p 0 ) = v ， p 。( j ) = 【l + + p ( j ) ) r v ， p 。( s 曼i 弘+ 。( s ) ) r 嗍 由( 6 ) ( 7 ) 式得 妙( s ) 忙矽( 1 p ( s ) 由引理3 和4 ，令y 是初值问题( 8 ) 的最大解，则y ( a ) = i i m y ( s ) ， 对v a ( o ，1 ，p ( 日) = 磐p ( s ) 是有限的，所以怕o ) l l - r , j o ，1 ， 即有i | ( 三+ ) 一1 m p ( s ) 5 r 。，这对任意p ( j ) d ( 上) 均成立，这里蜀是与月有关 的常数。记b 。= 似s d ) ，1 1 1 4 - r 。) ，则日= 三+ - 1 m 把b r 映入b 。，同时 m d ( 三) 斗x 是一个全连续算子由于+ ) 一：x 斗d ( l ) 是连续的，则日是 全连续算子，即连续紧算子，据s c h a u d e r 不动点点定理可知h 至少有一个不动 点u o b r 使得t u o = 1 , 1 0 ，即 上+ n ( u o ) = m ( u o ) 成立。所以( 1 ) 式至少存在一个解 证毕 2 4 具体应用 考虑二阶d u f f i n g 方程 设l u = “，则三“是自伴算子 f 一! “2 + “珊( 一m 2r ) 令9 ) = - i 2 ， j ”f ( _ s m 2r ) 土“2 一“ l2 一e ( 一锄2r ) i 一“+ 1 其特征值五= 1 1 一( p - 8 铲。) 2 ，则0 也 2 满足条件( 4 ) 。 令m ( u ) = “2 + 2 s i n 2 ，+ 3 s i n 2 t = “2 + ，0 ) ，下证m ( u ) 是有界全连续算子。 对v u d ( 三) ，都有“在 o ，2 万 绝对连续且甜( o ) = “( 2 z ) ，则“在f o ，2 石 有界，j 墨 使得陋( 创k l ，显然f 0 ) = 2 s i n 2r + 3s i n 2 t 是有界连续算子，则3 k ，有 v ( o i l 0 ，v t l ，t 2e ( o ，2 石) ，当f t 2 一t l l 占时有 1 2证s 3+ ns2+“ = 0 “ 一 一 吣 2 格，尹 + 扩 一1 ： ri川l o 材 “ ，l = 则 p 2 ( f ：) 一样2 ( 毛) | l s 詈，i f ( t ：) 一厂( 岛) 8 三 i i m ( ( t ：) ) 一m ( “瓴) ) 0 2 ( ：) + f ( t ：) ) 一白2 ( ) + f ( t ，) u 2 ( t ：) - - u2 ( 酬+ 陟( f ：) 一f ( t o i l 三+ 兰：g 22 从而m ( u ) 是全连续算子。由结论定理，微分方程( 1 1 ) 至少有一个解。 第三章一类偶数阶微分方程周期解的存在性 本章讨论了偶数阶非线性微分方程“可+ v g ) = m ) 周期解的存 = 1 在性。这类方程是前一章方程的推广。本章仍使用同胚延拓及不动点方法通过构 造一个先验界而得到存在性结论。 3 1 引言 考虑如下偶数阶微分方程 n 哆甜1 + v g ( “) = m ( 甜) ( 1 ) = 1 其中“r “，g c 2 ( r ”，r ) ，m 是有界全连续算子。这类方程是在前一章所述 方程上的推广，系数a ：为常数的情形。 许多文章都考虑了三甜+ n ( u ) = m ( u ) 在三+ ) 满足一定条件下的解的存 在唯一性问题。这里，是一个自伴算子，是一个连续 f r e c h e t 可微算子，m 是有界全连续算子。 本章拟用同胚延拓方法结合s c h a u d e r 不动点定理，构造处理了该方程得到( 1 ) 的解的存在性结论。 3 2 同胚的几个基本结论 设x 和y 是两个b a n a c h 空间，范数分别为f i l l r 和，。三是一个闭自伴算子， 定义域d ( 三) 在x 中稠密，值域在y 内。d ( 上) 是闭的且在范数肛= 荆1 。+ | l 三群b 下 是一个b a n a c h 空间。 引理l 1 2 1 连续映射f ：d _ c x 寸r 满足条件：n g 对任- - 点 o ，y ) d x y 和任一连续曲线p ： o ，j d ，口( o ，1 对 f p ( r ) ) = ( 1 一t ) f ( x o ) + t y ，t o ，a ) ， 1 成立时，有序列以f f = 1 ，2 ， 使得l 妇p 吒) 存在且此极限在d 中。 则f 是从d 到y 的局部同胚。 删设：z 寸r 连续f r e c h e t 可微，存在泛酬。砂( “) f j o 并设上+ n ) 对任何“z 可逆且有 严甜 瓦丽而一 ( 2 ) 成立，这里，( 班j 器牝+ 五+ 是d ( 上) 到r 的同胚。 证明 因为三+ 。 ) 对任何“x 可逆且d ( 三) 在z 中稠密，故 上+ ( “) - 1 对任何“d ( 上) 都成立。则对任何d ) ，三+ 为局部同胚。 下面只需证明+ 满足定理l 的条件。 任取d ( ) ，并记踞+ ( 甜) j ，：工。则 = 呲+ l l z 4 ， 2 三+ ) 。y k + 肛陋+ 。 。) - z y 忆 p ( 1 i f o k _ | y 壮+ 炒艮+ ( ”。) 犯+ 。) - l y l l 一 i p 帆。) + 1 + 刈k b ) p ( 1 t “。u ) 批 故有 晔+ ( 酬妄( r ( i m 。) + 1 汩，) + 1 因为为任意的，因此有 肛+ ( “) r 1 i i - ( t ( 1 l z , b ) + i 汩删，) + j 对任意的甜d ( 工) 都成立。 任取d ) ，记厂。2 三“。+ 胁。 ，g ( f ) = ( 1 t ) f 。+ 矿，f o , f 】，。并记 矽( “) = 三“+ ( “) 设矿p 0 ) ) = g ( ，) ，这里， 0 ，口i 且p ( o ) ：“。则 w p ( 力捆0 ) = g o ) 故而 因而 p 。0 ) = 矿仞( f ) ) 1 q ( f ) j b p ) 一p ( o ) | | ，= f f p p ) a t 4 fj p p ) ，西 = f i i t w 。o ( 堋g 。呲d t 引i 矿。( r ) ) 。1 f 陋旷一j o l l ， c p 4 p ( r ) 口( 怕( f ) + 1 ) + 1 d t f s o i l ， i p ( t ) l l ， l i p ( o ) i 。+ f i r f o f 扫怡( f ) 叮( i p ( f ) i l ) + 1 ) + l d t 由g r o n w a l l 不等式 黠丽高丽f 旷氓i l r d t 0 ，使得p ( o l l 。m 对t o ，盯) 成立。设 t i , 0 ，口) ， 0 ，贝0 j p ( t ) 一p ( t j ) l l 。sfj p ( s ) f i ，d s s 旷一厂。此陋) ( 丁) + 1 ) + l i d s 0 厂一i o l l ， p ( m ) ( 丁( 吖) + 1 ) + 1 k 一，l 因 p ( t i ) l i = 1 ，2 ，) 为一c a u e h y 序列。故而上+ 满足定理1 的条件，则 三+ 为d ( 三) 到y 的同胚。 3 3 解的存在性结论 记x = 上： o ，2 万 = “( 0 l “： o ，2 1 r r n , “( r ) = ( “。( f ) ) 。l ，“。r o ，2 万】) 定义内积，对v u ，v x ， ( “，v ) = f ”( “，v ( f ) 冲= 宝 ( r ) v ， ( 3 ) 范数m f = ，v ) ，则 为 i = 空l 间( t ) d t x h i l b e r z 设 d ( 三) = 扣xi “；2 “1 o ) 在 o ，2 刀 上绝对连续，“j 2 2 ( f ) 三2 o ，2 e r ， 群y ( o ) = “o ( 2 万) ，i = l ，2 ，- - ，”，= 0 , 1 ，一，2 k 一1 令线性微分算子三：d ) 斗x ，l u = 一哆“ ，- i 则三在d ( z ) 上是稠定的自伴算子，事实上，对v “，v d ( l ) ，有 c 圳= * 骞珈，v ) 出= 蔫他护，v ) 廊= 蔫喜吁弦协啪 = 一哆 “( f ) 肌艺f 。“，( r ) v ：( f ) 奶 ，i = + 1 i = 1 1 = 1 i o l = 一( 一1 ) 1 n j 哆f ”“( f ) v ；( o a t= 一( 一1 ) 1 哆卜。( f ) v = 十1 ) 2 艺哆f 8 甜尸竭( 碱( t ) d t ，= 1f ；1 一 一( 舻砉喜吁 v 靴) 出 一乏n 吁r 2 ( 刚c 4 ，) 出 = ( 甜，l v ) 定义图范数 x 斗r ： j i i 1 l l = l l - i i + l l 三1 卜 则d ( 上) 在图范数下是b a n a c h 空间， p 。4 2 p 。“l 2 = ，2 ，一，2 行一1 可证明图范数跟s o b 。1 e v 范数恻卜忖i f + 妒l ! + + f l u ( 2 n ) 0 是等价的据s o b 。i e v 嵌入定理，d ( l ) 可嵌入c ：”1 o ，2 万】，其中 c ：”1 o ，2 z r = 扣：r 呻r ”j “，在 o ，2 石 有连续( 2 n 一1 ) 阶导数 。 设连续f r e e h e t 可微算子 n ：d ( l ) _ x ， ( n u ) ( t ) = 一v g ( u ( t ) ) 。 则( 1 ) 式可转化成算子方程形式 三“+ ( “) = m ( u )( 4 ) 由于g ( u ) 有连续二阶偏导，则n 是连续可微的，且有： ( ( 咖) ( f ) ：一( 旦姜粤螋) 。o ) f j = 一q ( “( 0 ) v p ) ( “，v d ( 三) ，r o ，2 z r ) 则q ) 对v “r ”是对称阵，且有 上+ ( “) = 上一q ( u ) 设 ( “) ，也( “) ， ( u ) 是q ( u ) 在“r ”的特征值不妨设 ) 如( “) ) ，如果存在正整数n ，( f = 1 , 2 ，h ) ，有 f ( m ) = 哆产 丑( “) 0 ，使得对一切甜d 犯) 有j f m ( ”) 0 r 即对任给的v m ( d 旺) ) 有 j | v l i xsv 。因为三+ r 是d ( 三) 到x 的同胚，因此存在一个p ( o ) d ( ) 使得 ( 三+ ) p ( o ) = 0 ， 设q ( s ) = ( 1 一f ) 0 + t v0 【o ，1 ) ，v 为f 中任意向量函数 对v a ( o ，1 ， o ，盘) 寸d 犯) ，使得 ( 三+ ) p ( f ) 】= g ( 0 = t v ， 则 肛+ 0 ( f ) ) p ( r ) 】= v ， p 擘) = 【三+ n 。( p ”】。v ， 因此 故 怕( f ) 一p ( o ) l l 。j f i l l + + o ( r ) ) 一1 v i 出 叩f p ( f p ( f ) j k ) r ( f b ( r ) f k ) + 1 + l 衍 p o ) k - l 眵( o ) l l 。+ 7 7 f 尸( 眵( f ) 0 。) ，( 1 p 8 ) 。) + 1 + 1 d t 由g r o n w a l l 不等式 麟而丽d s11 f 秽7 7 1 | 芦( o ) k 尸( j ) ( r ( j ) + ) + 一由。一。 因此怕( f ) ks r ，te 0 ，1 ，故有i l p o ) l l x r i x 表n 肛+ ) 。1 m ( “) 。风 这对任意p ( j ) d ) 均成立这里r 。是与r 有关的常数。记 b x = 伽d ( 三) ，i l l u l l l - r o ) ，则日爿三+ 】一1 m 把b 。映入b 。，同时md ( 上) 斗x 是一个全连续算子由于( 上+ ) ：x 斗d ) 是连续的，则是全连续算子，即 连续紧算子，据s c h a u d e r 不动点点定理可知日至少有个不动点“。b r 使得 t u o = “o ，即 上“o 十n ( u o ) = m ( u o ) 成立。所以( 1 ) 式至少存在一个解 证毕 2 1 第四章总结 d u f f i n g 型方程“”+ g r a d g ( u ) = p ( 0 由牛顿运动方程推出，其质点受保守内 力和周期外力作用，源自非线性摄动保守系统。非线性微分方程解的存在性问题 因其涉及领域的广泛而各受人们的关注。对于某些特殊形式的方程，我们可以找 到其解析解，而大量形式多样的方程不能得到解析解，我们只能尝试求其数值解。 不管如何，我们必须以解的存在性为前提。因此对于非线性微分方程解的存在性 研究具有重要的理论意义。 本论文利用同胚延拓和不动点方法考虑了偶数阶非线性微分方程 “2 4 + v g ( u ) = m ( “) ，u r 4 ，g c 2 ( r ”，r ) 在m 是有界全连续算子的情况下解的存在性。并将其结论推广到更广泛一类方程 * e g j u + v g ( “) = m ( ”) j = l 昕为常系数。我们在前入所研究的偶数阶非线性微分方程甜2 ”+ v g ) = 尸( f ) 的 基础上，将周期函数p ( f ) 推广到有界全连续算子吖的情形。对它的研究有重要的 理论和实践意义，在某些阻尼项或者大气动力学模型中的加热项等都可归结到 吖( “) 中研究。 1 l a z e ra 参考文献 o nd e r io d i c a l l yd e r t u r b e dc o n s e r v a t 】v e s y s t e m s ! j m 2 e k i g a nm a t h ，j 】9 6 9 ，】6 ；19 3 2 0 0 2 k a n n a nr ，l o c k e rj 0 rac l a s so fa o n i i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m j ：j d i f f e r e n t i a le q u a t i o i l s ，1 9 7 7 ，2 6 ( 1 ) ：卜8 3 s h e nz u h e o nt h ep e r i o d d cs o l u l i o n1 0t h en e w t o n i a t e q u a t i n no f m o t i o n j n o n l i n e a ra n a y s is ，1 9 8 9 ，1 3 ( 。o ) ：1 4 5 1 5 9 4 黄文华，曹菊生，沈祖和关于非线性两点边界值问题 “”0 ) + g ( t ，”) = ，0 ) ，w ( 0 ) = u ( 2 z ) = 0 的解的存在性和唯一性 j 应用数学 和力学，1 9 9 8 ，1 9 ( 9 ) ：8 2 1 - 8 2 6 5 l iy o n g ，w a n gh a a i z h o n g ，p e r i o d i cs o l u t i o n so f h i g ho r d e rd u f f l n g e q u a t i o n s j a p p i i e dm a t h e m a t i c saj o u r n a lo fc b i f i es e u n i v e r s i t 6 j 杨作东 学1 9 9 5 ，8 e s 高 2 ) 1 9 9 1 ，1 2 ( 3 ) ：4 0 7 4 1 2 阶亚线性d u f f i n g 方程的周期解 刀应用数 2 1 1 2 16 7 g o n gf u z h o n g p e r i o d i cs o l u t i o n sf o r2 k t ho r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a l i o n sw i t hn o n r e s o n a n c e j n o n l i n e a ra n a l y s is ，t h e o r y m e t h o d s & a p p l i c a t l e n s ，1 9 9 8 ，3 2 ( 6 ) ：7 8 7 7 9 3 8 z h us i a n 0 nt h e e x is z e n o eo f p e r i o d ic s o l u 5 io h so f2 k t ho r d e r d j f f e r e n t i a le a u a i o n sw i t hr e s o n a n o b j j o u r n a lo f m a t h e m a t i c a lb i q u a r t e r l y ，2 0 0 3 ，2 0 ( 1 ) ：7 1 4 9 3l a z e rac ，l a n d e s m a ne c a ic u l u so fv a r i a t i o n c o n v e r g e n c e j ，jm a t h h e rfm a n a s e v e h aa c t h o rfm a n a s e v e h aa c t m m e y e r spr s ，t h er i t za 1 a n a l y s isa p p v a r i a t i o n a l v a r i a t i o n a l 0 ns a d d l ep o i n tp r o b l e m s 二nt h e g o r it h m ，a n dm o n o t o n e 1 i c ，1 9 7 5 ，5 2 ( 2 ) ：5 9 4 6 】4 v e r s i o no fam a x i n v e r s i o no fam a x i n 口r i n e i p l e j n o n l i n e a ra n a l y s is ，1 9 8 3 ，7 ( 6 ) ：5 6 5 5 7 0 1 1 l iw e i g u o p e r i o d i cs o l u t i o n so f2 k t bo r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t hr e s o n a n ce j , i o u r n a l