（应用数学专业论文）具有smith增长种群的经济捕获模型的研究.pdf

硕l ：论文具有s m i l h 增k 种群的经济捕歌模型的研究 y ，? 6 窖 | ；3 5 l 摘要 本文首先研究了具有s m i t h 增长种群的经济捕获模型，运用微分方程稳定性 理论得出了正平衡点的全局渐近稳定的充分条件，并给出了生态解释，在此基础 上建立了含时滞的经济捕获模型，运用时滞微分方程稳定性理论分析了正平衡点 稳定性的开关现象，从而得出了时滞会改变平衡点的稳定性的结论；然后讨论了 食饵具有s m i t h 增长的捕食一食饵种群模型，得出了正平衡点存在和全局渐近稳 定的充分条件，并利用环域定理证明了稳定极限环的存在性，在此基础上考虑对 捕食者进行捕获，建立了捕食一食饵种群的经济捕获模型，运用微分方程稳定性 理论得出了征平衡点的存在唯一性以及全局渐近稳定的充分条件：对上述模型 都给出了具体的例子，并运用m a t l a b 进行了仿真。 关键词：s m i t h 模型，稳定性，极限环，经济捕获，时滞，种群 硕：仁论文具有s m i t h 增k t e l , 群的经济捕获模型的研究 a b s t r a c t f i r s t l yt h ee c o n o m i ch a r v e s t i n gm o d e l o fs m i t h i n c r e a s i n gi ss t u d l e di nt h ep a p e r t h ec o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ma r eo b t a i n e db yt h e s t a b i l i t yt h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h ee c o l o g i c a ls i g n i f i c a n e e sa r e e x p l a i n e d t h e n t h ee c o n o m i cc a t c hm o d e lw i t hd e l a yi sb a s e do ni ta n dt h ec h a n g e s o ft h es t a b i l i t yf o rt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ma r ed i s c u s s e db yt h es t a b i l i t yt h e o r yo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 、i t hd e l a y s ow ec o n c l u d et h a td e l a yc a nc h a n g et h es t a b i l i t yo f t h ee q u i l i b r i u m l a s t l ya p r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hs m i t hi n c r e a s i n go fp r e ys p e c i e s i s a n a l y z e d t h ec o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a ls t a b i l i t yo f t h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ma r e o b t a i n e da n dt h ee x i s t e n c eo fas t a b l ep e r i o d i cs o l u t i o ni sp r o v e db yr i n gt h e o r y c o n s i d e r i n g t h e h a r v e s t i n g o f p r e d a t o r , t h e e c o n o m i c h a r v e s t i n g m o d e lo f p r e d a t o r p r e ys y s t e mi s e s t a b l i s h e do nt h ea b o v ep r e d a t o r - p r e ys y s t e m t h e nt h e c o n d i t i o n sf o rt h es o l ee x i s t e n c ea n dg l o b a la s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v e e q u i l i b r i u ma r eg a i n e db yt h es t a b i l i t yt h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t o a b o v e m e n t i o n e dm o d e l s ，w ei l l u s t r a t e dt h e mb ym a t l a b k e y w o r d s ：s m i t hm o d e l ，s t a b i l i t y , p e r i o ds o l u t i o n ，e c o n o m i ch a r v e s t i n g ，d e l a y , p o p u l a t i o n 硕士论文具有s m i t h 增k 种群的经济捕获模型的研究 1研究意义和背景 引言 如何利用有限的可再生资源，实现其可持续开发和利用，已成为从经济管理 学家到生态学者都关心的问题，历来受到学术界的重视。在现实世界中，存在着 各种各样的天然的或人工培养的生物资源，为了能长期的利用它们，就必须合理 地开发和科学的管理，那种对生物资源未能充分利用和开发过度造成资源枯竭的 情况，在过去和今天都是屡见不鲜的。人类对生物种群的开发不能为了经济利益 而破坏生态环境，应追求经济利益和环境利益的统一，这样才能实现可持续发展。 因此，在数学上定量分析人类对生物种群的丌发，对合理利用资源，保护生态环 境具有重要的意义。 国内外有不少文献对生物资源的开发进行了研究，文献【1 系统地阐述了生 物资源的优化管理等一系列理论，文献【2 3 1 0 1 3 研究了单个种群的捕获优化 模型，文献 1 8 1 9 1 1 2 7 讨论了两个利，群相互作用下的捕获模型，以上模型均没有 考虑捕获的经济利益；而文献【8 9 】引入了随供求关系变化的价格成本，假设捕 获努力量的变化率与净利润成正比，建立了价格成本变化的种群经济捕获模型， 但是上面两篇文献只讨论了具有退偿增长的种群，而没有研究具s m i t h 增长( 广 义的l o g i s t i c 增长) 的种群。 s m i t h 模型即广义l o g i s t i c 模型，而l o g i s t i c 模型是种群生态学中建立较早 的一个经典的数学模型，文献 1 4 】从化学实验的角度得出了广义l o g i s t i c 模型即 s m i t h 增长模型，s m i t h 模型刻画了食物有限的情况下种群的增长规律，食物主 要用于两个方面的需要，一方面用于维持该生物种群的生存，另一方面用于该生 物种群的增长，并假设当种群一旦达到饱和，种群就不再增长，食物仅用于生存， s m i t h 模型比l o g i s t i c 模型更准确地描述了生物种群的增长规律。 设某生物种群在时刻f 的密度为x ( t ) ，若该种群的增长规律满足方程 害：而r x ( k - x ) (1)dd tk+x 、。 这就是s m i t h 模型，其中常数r ( r 0 ) 称为该种群的内禀增长率，k 为环境对 该种群的最大容纳量，d 为常数，当d = 0 时，( 1 ) 式为典型的l o g i s t i c 增长模型， 当d 0 时，( 1 ) 为典型的s m i t h 增长模型，等表示该种群对环境( 包括营养 资源等) 利用程度的参数。s m i t h 模型比l o g i s t i c 模型能更真实地反映种群的 坝一l 论文具有s m i t h 增k 种群的经济捕歌模型的研究 增长规律，所以对s m i t h 模型进行研究具有重要意义。 在生念系统中，为了更真实地反映自然，时滞常是一种不应忽略的因素。时 间滞后简称时滞，它反映了如下事实，即所考虑系统的未来状态，不仅取决于系 统的当前状态，而且还依赖于系统过去的状态。在工程实际、自然现象和日常生 活中，山于时问滞后对系统所产生的影响是屡见不鲜的。同样，生物种群也存在 时滞，生物种群从妊娠到出生是需要一定的时间，这段时问即时滞，所以，在模 型中考虑时滞对生物种群的增长所产生的影响更加符合实际。文献【8 】【9 所讨论 的经济捕获模型中均没有考虑时滞的作用，为此有必要在经济捕获模型中考虑时 滞，然后对模型进行分析。 互惠、竞争和捕食食饵是种群之间的三大主要关系，对捕食食饵模型进行 研究的文献很多，然而对捕食一食饵种群引入可变的价格成本进行讨论的文献少 见，所以讨论捕食一食饵种群的经济捕获模型具有重要的意义。 2 本文的研究工作 生物资源的合理开发不仅要考虑生态平衡，还要考虑开发者的经济利益，所 以经济捕获模型的研究在生物学和经济学方面都有重大意义；同时s m i t h 模型比 传统的l o g i s t i c 模型更准确地描述了生物种群的增长规律，所以对该模型的研究 具有重要的意义。本文主要是从这两方面进行研究的。 首先在s m i t h 模型中引入可变的价格成本概念，建立了具有s m i t h 增长的生 物种群的经济捕获模型，分析了该二维系统的正平衡点的存在性和稳定性，得出 了正平衡点全局渐近稳定的充分条件，并给出了其生态解释；同时考虑时滞对生 物种群增长的影响，建立了含时滞的经济捕获模型，分析了时滞对系统平衡点的 稳定性所产生的影响，对正平衡点的稳定性的开关现象进行了详细的讨论；同时 还讨论了食饵种群具s m i t h 增长的h o l l i n gi i 类捕食食饵模型，并且在此模型基 础上引入可变的价格成本，建立了三维系统的价格成本变化的捕食食饵种群的 经济捕获模型，运用h u r w i t z 定理得到了该系统存在稳定正平衡点的充分条件。 对上述模型都给出了具体的例子，用m a t l a b 进行了仿真，这有利于进步说明 理论的正确性。 2 硕i ：论文具柯s m i t h 增k 种群的经济捕扶模型的研究 第一章价格成本变化的具有s m i t h 增长 种群的经济捕获模型 本章主要研究了具有s m i t h 增长曲线的生物种群，建立了价格成本变化的经 济捕获模型，并运用微分方程稳定性理论分析了模型的定性性质，得出了5 严衡点 的存在性及其稳定性的充分条件，同时证明了极限环的不存在性和解的正向有界 性，然后给出了其生态解释。 1 1 建立模型 s m i t h 模型刻画了食物有限的情况下生物种群的增长规律，食物主要用于两 个方面的需要，一方面用于维持该生物种群的生存，另一方面用于该生物种群的 增长，并假设当种群一旦达到饱和，种群就不再增长，食物仅用于生存，它比 l o g i s t i c 模型更准确地描述了生物种群的增长规律。 设某生物种群在时刻i 的密度为x ( f ) ，若该种群的增长规律满足方程 一d x ：r x ( r - x ) f 1 1 1 、 出k + d x 这就是s m i t h 模型，其中常数r ( r 0 ) 称为该利群的内禀增长率，它就是此种群 个体的平均出生率与平均死亡率之差，它反映了物种内在的特性；k ( k 0 1 反 映了资源丰富的程度，称为环境的最大容纳量，当x = k 时，种群的规模不再增 大，它表征了环境能容纳此种群个体的最大密度；d 为常数，当d = 0 时，( 1 1 1 1 为典型的l o g i s t i c 模型，当d 0 时，( 1 1 1 ) 为典型的s m i t h 模型，等表示该种 群对环境( 包括营养资源等) 利用程度的参数。 现对该生物种群进行开发捕获，并且假设捕获与种群密度和捕获努力量的乘 积成正比，则被开发的生物种群方程为： 害= 捌一q e x d x d fk + 、 其中e 是捕获努力量，g 是捕获努力量系数，为运算方便，本文总假设q = l ，文 献 1 - 3 】讨论了具有l o g i s t i c 增长的生物种群在常数捕获及e 为正常数时的捕获问 题，【8 】讨论了价格成本变化的具有退偿增长的生物种群的经济捕获问题， 9 】讨 论了【8 中模型的拓扑结构，受【8 】的启发，在捕获努力量的变化率与净利润成正 坝卜论文只有s m i t h 增长种群的终济捕扶模型的州究 比的假设条件下，建立了具有s m i t h 增长的生物种群的经济捕获模型 其中p ，c ，q 为正数，p 足该种群的市场价格，c ( c ，o ) 是单位努力量成本，k 是比 例系数，为运算方便，不失一般性，在文中假定k = 1 ，在模型( 1 1 3 ) 中假设p 为 常数不尽合理，在市场经济条件下，商品价格是受供求关系的影响，需求一定时， 供给量越大，价格越低；供给量越小，价格越高，本文假设生物的市场需求为常 k 数，市场价格函数为p ( s ) = ，其中s 为该生物的市场投放量，口，b 为正常 a 十) 数，显然! j 璺p ( s ) = 旦= p ，i i m p ( s ) = 0 8 1 o “o 一 假设捕获全部投入市场，而且捕获努力量变化率与净利润成正比，我们便得 到了价格成本变化的具有s m i t h 增长的生物种群的经济捕获模型 d x r x ( k x 、 面2 1 i i 一砂 去吲高一 ( 1 1 4 ) 其中x 表示种群密度，y 表示捕获努力量，引入无量纲变换：x ：尝，_ y ：上 r f = ，d = 旦，6 ：b i ，c t ：三，代入( 1 ，1 4 ) ，简化( 1 1 4 ) ，省略撇号得 r kr 2， 。 、7 。 一。 d x ：x ( 1 - x ) 一，。 粤1 + o x ，。 ( 1 1 5 ) 掣：叫( j 一一三) d t 口+ x y x 设q = 0 ，y ) r 2 ；x o ，y o ) ，q o = g ，y ) r2 ；x o ，y o ，模型中各参数均 为正数，考虑到模型的生态学及经济学意义，我们在q 上研究系统( 1 1 5 ) ，在q 中系统( 1 1 5 ) 等价于下面的系统 ( 1 16 ) 4 凰 ， 1 以 掣一 出一出扭一出 稚功簋 出一曲咖一出 丛l ：堡塞具柯s m i l h 增k 种群的经济t ) 1 i l ) 模型的州究 1 2 系统( 1 1 6 ) 的定性性质的分析 易知o ( o ，o ) ，e 。( 1 ，o ) 为系统( 1 1 6 ) 的边界平衡点，系统( 1 1 6 ) 的正平衡点是方程组 纛1 焉- - x 在q 。内的解，即曲线。y = 而i - - x = _ ( x ) 与曲线1 2 ：y = 尝要= 正b ) 在内的 交点。 定理1 2 1 o ( o ，o ) 是系统( 1 1 6 ) 的鞍点。 证明系统c l l 石，在。c 。处线性化系统的系数矩阵为，c 。= ( ；一：。 其特征根为 = a 0 ，乃= 一( c 0 为异号，可得0 ( 0 ，o ) 为鞍点【4 】。 定理1 2 - 2 当詈 l 时，e o ( 1 ，0 ) 是系统( 1 1 6 ) 的稳定结点。 i i e o b 系统( 1 1 6 ) 在e 。( 1 ，0 ) 处线性化系统的系数矩阵为 州期2 降。二： 其特征根为： = 亡景 o ， 冯= 6 一卯b ( 1 acld b ) 1 + 2 7 ( 1 ) 当詈 1 时， o ，兄： o ，e o ( 1 ，o ) 是系统( 1 1 6 ) 的稳定结点。 定理12 - 3 ( 1 ) 当詈1 时，系统( 1 ，l 6 ) 无正平衡点： 2 ) 当o 詈 o 和x 1 l b x - c ( a + 驯) = 0 。1 故警 z 1 ，所以当罕1 时，系统( 1 1 6 ) 无正平衡点： d扫 ( 2 ) 当竽 咿( 1 ) = 字 吣o ) ， 所以当置+ 了a c ，1 ) 时，y + 2 以。) 呼) = o ； 又有z ( o ) = 1 ，勘7 0 ) 2 百_ - 五2 矿 o 时，y + = z ) 0 ， 舻z z 1 炳，= 高并x + y 协+ y + 婀x + y 两 。 所以e ( x + ，y + ) 是稳定的焦点或结点 4 1 。 定理1 2 4 系统( 1 1 5 ) 即系统( 1 1 6 ) 在q 内不存在极限环。 证明在q 内讨论系统( 1 15 ) ，取d u l a c 函数b ( x ，y ) = 工一1 y 。 百o ( b p ) ：竿1 - - x l 叫一器d x ) 2 媳警：高 0 ， x ( t ) 和j ，( ，) 均为征； ( 二) 由系统( 1 1 - 5 ) 的第一式可得李篱，可知l i r a 巾s u p a t，坤) 1 h 扎乱。乱 1 时，e o ( 1 ，o ) 是稳定的结点，由定理1 2 5 知系统( 1 ，1 6 ) 的 一切正半轨线均是有界的，所以它们的国极限集只能是平衡点，闭轨线和奇异闭 轨线；又因为工轴和y 轴( o ( o ，o ) ，e o ( 1 ，0 ) 除外) 均是系统( 1 1 6 ) 的积分直线； 且当竽 1 时，系统( 1 1 6 ) 在qr s r n 榭, o ( o ，o ) ( 不稳定) 和e o ( 1 ，o ) ，而 没有其他平衡点；又知系统( 1 1 6 ) 在q 内不存在极限环，故轨线均走向平衡点 e o ( 1 ，o ) ，所以e 。( 1 ，o ) 是全局渐近稳定的【6 1 。 定理1 2 7 当0 _ a c l 时，正平衡点e g + ，y ) 是全局渐近稳定的。 n 证明当0 o ，y o ，p = o ，+ ) 考虑到模 型的生态学及经济学意义，我们在q p 上研究系统( 2 1 2 ) ，于是系统( 2 1 2 ) 等价于 下面的系统 毒叫篇将叫肌别b ， 譬= b x y c y ( a + x y ) 2 2 系统( 2 1 3 ) 的边界平衡点的稳定性的分析 q p 上研究系统( 2 1 3 ) ，易知系统( 2 1 3 ) 有边界平衡点o ( o ，o ) 和e 。( 1 ，o ) 。 定理2 2 1 v r 0 ，o ( o ，0 ) 是系统( 2 1 3 ) 的鞍点。 证明 v f 0 ，系统( 2 1 3 ) 在o ( o ，0 ) 处的线性近似系统为 出 _ _ _ 办 方 出 矩阵j ( 。，。) = r 一：。 ，所以对v r 。，。( 。，。) 均为鞍点。 定理2 2 2 ( 1 ) 当竺b 1 ，f o ，) 时，e o ( 1 ，o ) 是稳定的； f f 0 时，e o ( 1 ，o ) 是不稳定的。( = 望尝) ( 2 ) 当o o ) ，代入( 2 2 - 2 ) ，可得f + 而a e f = o ， f j l c o s 曲f ：0 即 1 7 【而8 1 弘 号s i n f ：1 ：棚：旦_ 1 + d 所：，：孚2 k x + 2 k x + x - 得尚删，有：竽 所以吐) r = f = 三，当七= o 时，有r o = 盟些 z 。 2 d ( 2 ) ( 兄+ 三l + d e - r r ) ( 五一6 + 口c ) = o ，对此方程，将a 看作f 的函数对f 求导可得 m 一尚e “，警一羔e “，c 3 - b + a c h + 南e “，筹= 。 坐：竺! ：! = ! 墨! 出( 1 - l a 旦+ 。e - a ) ( 2 _ 6 + 嬲m + 南e “ c刮。5挚1-at,e_,tr+蔫,3,+一a e - a t 一( 1 + d ) e 2 7 一a r ( 1 + d ) 2 e 2 + a 1g - 一广+ ( 2 - b + a c ) a 22 一万一i 由( 2 2 2 ) 可得，当旯= f 时，确i e a t = 百丽- a ，i i p ( 1 + d ) a e 2 + 4 = o ) 3 项： 宅文县有s m i t h 增长种群的经济1 1 | j 获模型的研究 知r e ( 。l 。= 古 乱出| 对滞鞭势方程平懿患蟾稳定性瑷论可得： 因为r 篇o0 寸，若詈 1 ，e o ( 1 ，o ) 最稳定的结点t o f 。时，e o ( 1 0 ) 是不稳定的， 当o t c 1 时，对任意的r o ，e a ( 1 ，o ) 都是鞍点( r 。裟半) 。 0z d 2 3 正平衡点的稳定性开关现象的分析 分析：警o 0 ) 代入( 2 3 ，2 ) 可得 一2 + a ) a s i n o r + a b c o s o r + c + ( o g a c o s o r a bs i n c o r + b o ) ) i = 0 上式实部与虚部相等得 i 一6 0 2 + c 0 a s i n o r + a b c o s c _ o r + c = 0 【t f o a c o s 0 ) z 。+ b o o a b s i n c o r = 0 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 得2 a2 + a2 b2 = ( 2 一c ) 2 + b 2 扛，2 即4 + ( b 2 2 c 一爿2 ) 2 + c2 一a2 b2 = 0 有吐z ：生坚 b 2 + _ ( b 2 - 2 c - a 2 ) 2 + 4 ( a 2 b 2 - c2 ) 2 ( 4 x 前面取正号时为：，4 x 前面取负号时为：) 对特征方程( 2 3 ，2 ) ，将五看作f 的函数对r 求导可得： 2 五譬+ “e - 2 r ( z d a 一一五r 譬) + b 譬一爿一( 五+ r 譬) ：o d f、d r d fd f 。 。d f 7 。 壁生：生! 墨堡墨 d r ( 2 丑+ b ) e 2 + a 一爿百( 丑+ b ) 故= 堕= 崭掣 口f 月 l + 拶i 同时由( 2 3 2 ) 式，可得e b 一怒 所以 ( b 2 ( o - 2 0 ) ( c - c 0 2 ) + b ( c - c o2 ) + 2 b 0 0 2 i 日2 2 + ( c 一国2 ) 2 】 1 一b 2 2 ( c 一0 9 2 ) 1 i 。b2 2 + ( c 一2 ) 2 2 + b 2 2 + b c o if 了了再+ i 。 筹( 因为b 2 c 0 2 + ( c 爿) 2 = c o 2 a2 + a2 b2 ) 所以 r e ( 安) 一】i ：b z 一2 c 一4 ：+ 2 z ：抠( 取q 时为正，取时为负) d 7 k 。 。 其中为方程4 + ( b 2 2 c a 2 冷2 + c2 一a 2 8 2 = o n t 0 2 看作未知量的根的判 5 硐i ：论文具柯s m i t h 增长种群的经济j i | i 瓠模型的_ | i 究 别式，a = ( 42 + 2 c b 2 ) 2 4 ( c2 一a 2 8 2 、 故当取+ 日寸，s i g n r e ( - 凳) 一一1 o ；当取一时5 g - g e ( - 竺) 一，i 0 ，a 2 + 2 c b 2 o r a o ，故丑= i o j ，且珊+ 一 0 ( 3 ) 当c 2 一a2 8 2 0 r a 2 + 2 c b 2 o 时，珊2 无正根，即2 不存在 ( 4 ) 当c 2 一a 2 8 2 0 且 飞时，e ( x ，y ) 是不稳定的，且飞- = 丢( 。q o ) ( 2 ) 当f = f o = o ，1 ，2 ，) 时，即取+ 时，n s i g n r e ( 掣) 一t 1 0 ，所以当 a f j 2 f 由小变大经过f = 。时，系统( 2 1 3 ) 必有一具负实部的特征根在y = + 处穿 过虚轴而变成具正实部的特征根： 凯_ 啦( 一o ) 1 ，2 ，) 时 取国- 时，有咖【r c ( 争l 】 。，因此当r 由小变大经过f = 7 啦时，系统( 2 1 3 ) 必有一具正实部的特征根在y ：珊一处穿 过虚轴而变成具负实部的特征根。y - n ) b 当f = 0 时，正平衡点是渐近稳定的， 其对应特征方程的一切特征根均有负实部，( 定理1 2 3 ) 再根据上述分析可知 f 0 i f 02 。 下面分析情况( 2 ) 的正平衡点e ( z ，y ) 稳定性的开关现象， ( 一) 若有o f 。 l 7 吣 甜一，从而三! 丝，。：o ，l ，2 ，即点列 ，。+ 丝】中相邻两点的距离 出 m 一 生! 比点列l + 三竺 - 巾棚邻两点的距离! 堕大，冈此，当。充分大时，必将有点 脚m 列，+ 兰堡】中的相邻两点位于山点列【r 。+ 三竺j 某相邻两点所绸成的区问内 倒删 这时，将会连续出现两个具有正实部的特征根，因而开关现象停止，系统的相应 平衡位置变成不稳定，所以当时滞f 很大时，f 平衡点e ( x + ，y ) 最终会是不稳定 的。 ( 二) 若。 飞i f 1 ，l = 飞i + i 2 z r b 则山于当r 通过钆，和f 0 ，+ 等时，连续出 现两个具正实部的特征根，从而当r 通过r 。后，系统相应的平衡位置永远变成 不稳定，开关现象不会发生，故当0 0 或者g - = 0 。 ( 2 ) 平衡点e o ( 1 ，0 ) 当竺b 1 时，r ( o ， ，e o ( 1 ，0 ) 是稳定的，t z o ，e o ( 1 ，o ) 是不稳定； f = 0 时，e o ( 1 ，0 ) 是稳定的； 当o 0 时，稳定性的开关现象发 生，但当f 足够大时，平衡点最终会变成不稳定的。 坝l 。论义具竹s m i t h 增长种群的经济捕毅模型f 内研究 由( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 可知时滞f 对平衡点的稳定性会产生很大的影响，当r 增大 时，边界平衡点会从稳定的变成不稳定的，刘正平衡点的稳定性的影响更复杂， 会出现稳定性的j 1 ：关现象，稳定的正平衡点最终会变为不稳定的。 2 5 系统( 2 1 3 ) 的解的有界性 定理2 5 1 系统( 2 1 3 ) 的一切解在n 。p 内均正向有界。 证明( 一) 在q 。p 内研究，因为x 轴和y 轴( o ( o ，o ) ，e 。( 1 ，0 ) 除外) 均 是系统( 2 1 3 ) 的积分曲线，当x ( 0 ) 丰口y ( o ) 均为l f 时，显然对_ 1 叶有的f 0 ，x ( o 和y ( f ) 均为正； ( 二) 由系统( 2 1 2 ) 的第一式得： 李d t 型1 删d x ( ( 2 _ 5 1 ) +f f 1 由( 2 5 1 ) 得等s x ，。) ，在p r ，f 】上积分得l 。鱼笋p ，有 x o ) x ( t f ) e 7 ( 2 5 2 ) 由( 2 5 1 ) 和( 2 5 2 ) 得： 查盟x ( t ) 1 - x ( t ) e - * ( 2 5 3 ) d t 1 + d x ( t r 、 用第一章证明x ( f ) j f 向有界的方法，由( 25 3 ) 可得：l i r as u px ( f ) e r ，e l7 ) 所以系统( 2 1 2 ) 即系统( 2 1 3 ) 的x ( f ) 正向有界； ( 三) 由系统( 2 1 - 2 ) 的第二式得：塑d t 6 一c y ，同理可得艘臻川s n u 。p ) y ( f ) ；，e r + 1 c 所以系统( 2 1 2 ) 即系统( 2 1 ，3 ) 的y ( f ) 正向有界； 由( - - ) 、( 二) 、( 三) 可知系统( 2 1 3 ) 的一切解在q 。p 内均是正向有界的。 定理2 5 1 表明只要种群的初始密度和捕获努力量均不为零，则种群密度和 捕获努力量不可能是无穷大，他们将互相制约，分别被控制在一定范围内。 坝i 沦义具柯s m i t h 埔k 种群的绛济_ f i | i 毫赶邀型塑型 塑 第三章食饵种群具有s m i t h 增长的捕食一食饵 i i 类功能性反应模型 本章主要建立了食饵种群具有s m i t h 增长的捕食一食饵模型，运用微分方程 稳定性理论分析了平衡点的存在性和稳定性，并得出了正平衡点全局渐近稳定的 条件，最后利用环域定理得出了稳定极限环存在的充分条件。 3 1建立模型 假设食饵种群在捕食者不存在的口寸候是符合s m i t h 增长规律的，并且 i j 食者 仅以食饵为生，同时捕食者的功能性反应为h o l l i n g i i 类功能性反应函数，于是 就得到了以下的捕食食饵种群模型 一d x r x ( k - x ) 兰型 霉 k + 瓜d + x ( 3 1 1 ) 警= ( m m x y 其中x 表示食饵种群密度，在无捕食的情况下，它是符合s m i t h 增长规律的，其 中g ( x ) = 篑等等表示无捕食者时，被捕食者种群的密度制约函数：y 表示捕食 种群密度，其中，呈兰型表示单位时间内被y 个捕食者所吃掉的食饵数量，从而 善鉴表示单位时f q 内每一个捕食者所吃掉的食饵数量，它除了与x 有关外还反 映了捕食者的捕食能力，称为捕食者对食饵的功能性反应，它属于h o l l i n g 所提 出的三种不同的功能性反应函数的第二类功能性反应函数，所以称善竺为第二 类功能性反应函数，它适用于无脊椎动物，其中r ，k ，d ，e ，m ，d ，f 均为正参数， ，k ，d 的意义见第一章，二表示转化率，m 表示捕食者的最大增长率，表示捕食 者自身的死亡率。 引入无量纲变换 令工= i 1x ，d = 去d ，y = i e m y ，r f = 儿埘= 厂i ，f ，省略撇号可得： 2 0 型：生堡皇具有s m i t h 增长种群的姊济捕跌模型的研究 型兰= 苎! ! 二兰! 一! 兰一 曲1 + d xd + x 塑=(!l一，)ydt 、d + x 3 2 系统( 3 1 2 ) 的定性性质分析 ( 3 1 - 2 ) 设p = ( x ，y ) ；x o , y 0 ；昂= ( x ，y ) ；x o ，y 0 ) ，考虑到模型的生态学意 义我们在p 中研究系统( 3 1 2 ) 。 易知系统( 3 1 2 ) 有边界平衡点0 ( o ，o ) 和e o ( 1 ，0 ) ，当 ( d + 1 ) 厂时，系统( 3 1 2 ) 有正平衡点e ( x i ，y 1 ) ， 其中_ ：旦 o ，y ：塑二! l 必12 ：塑【竺二! 垡! ! ! o m f 1 + d x ( m - f ) m + ( d d 一1 ) f 定理3 2 1 o ( o ，0 ) 是系统( 3 1 2 ) 的鞍点。 证日月系统( 3 1 2 ) 在0 ( o o ) 处峨眭化系统的系数矩阵m o ，o ) = j o ，) 特征根为： = 1 0 , 2 ：= 一厂 ( d + 1 ) ，时，e o ( 1 ，o ) 是系统( 3 1 2 ) 的鞍点；( 2 ) 当 m ( d + 1 ) ，时，e o ( 1 , 0 ) 是系统( 3 1 2 ) 的稳定结点。 证明系统( 3 1 2 ) 在e 。( 1 ，o ) 处的线性化系统的系数矩阵为 l d + 1 生一， d + 1 。 特征根为： = 一i b ( d + 1 ) ，时， o ，所以毛( 1 ，o ) 是系统( 3 1 2 ) 的鞍点； 当朋 ( d + 1 ) ，时， 0 时，e ( x ，y ，) 是系统( 3 1 2 ) 的4 i 稳定焦( 结) 点( 其一 ，s 2 = 1 一d ( d + 】) ( 厂) 2 2 d f ( m 一、厂) 一d d 2 厂2 ) 。 证明 ( 一) 砌：明e ( x 。，y ，) 的存在。廿： i j ( 罢一n y ：o ( y o ) 得_ ：兰 o