（基础数学专业论文）非线性椭圆方程与方程组解的存在性及多重性.pdf

摘要 摘要 卜。：二三竺二二 r 出刊卫：裂：耋 tu 兰篓 ( p 3 ) 本文共分为四章。第一章介绍了临界点理论一些主要的发展过程以及相关的记号 与基本知识；第二章利用喷泉引理证明了四阶椭圆方程( p 1 ) 无穷多个弱解的存在性；第 三章利用局部环绕理论来讨论半线性四阶椭圆方程( p 2 ) ，得到了它有一个非平凡弱解 的结论；第四章运用拓扑度理论研究了四阶椭圆方程组( p 3 ) 正的弱解存在性的问题 关键词：四阶椭圆问题；多重解；喷泉引理；局部环绕；拓扑度 q q n 饥 概 棚0 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ea i mo ft h ec o n t e m p o r a r yc r i t i c a lp o i n tt h e o r yi st r a n s f o r m i n gt h ep r o b l e mo f s e a r c h i n gs 0 1 u t i o no fe q u a t i o no re q u a t i o ns y s t e mi n t ot h ep r o b l e mo fi n v e s t i g a t i n gt h e c r i t i c a lp o i n to faf u n c t i o nji nas u i t a b l es p a c ee ，u s i n g8 0 m e 乱r o n gm e t h o d so fc r i t i c a l p o i n tt h e o r ys u c ha sm i l l i m a xt h e o r y ) m o r s et h e o r yt ol o o kf o rt h ec r i t i c 出p o i n to ft h e f u n c t i o nj s o1 0 0 k i n gf o rt h ec r i t i c a lp o i n to ft h ef u n c t i o ni st h ek e yo fd e a l i n gw i t h t h ep r o b l e m i nt h i st h e s i s ，w ew i l lf i r s t l yc o n 8 i d e rt h ef o u o w i n gf o u r t h o r d e rn o n l i n e a re l l i p t i c b o u n d a r yv 出u ep r o b i e m 2 让十c 乱= ，( 茁，钍) 溉q 乱= “= 0o 礼6 n ( p 1 ) w h i c hi so b t a i n e db y8 i m u i a t i n gas e c o n do r d e re u i p t i ep r o b l e m ，w ew ma s s u m e c a 1 ( a 1i st h ep r i n c i p a le i g e i l v a l u eo f 一i n 础( q ) ) ，a n dr e l yo nt h ew e i l - k n o w nf o u n - t a i nt h e o r e mt od i s c u s st h em u l t i p i i c i t yo fn o n t r i v i a l l u t i o nf o rt h ea b o v e m e n t i o n e d p r o b l e m ( p 1 ) s e c o n d ，w er e s e a r c ht h et y p eo ff o u r t h o r d e re l i i p t i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m 2 u + c 牡+ 口( z ) 让= ，( 。，u ) i 住q u ：“= 0o 扎a n ( p 2 ) a n dg a i nt h ee x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n l a s t ，w ec o n s i d e rt h ee x i s 惋n c eo fan o n t r i v i a l w e a ks 0 1 u t i o nf o raf o u r t h o r d e re l l i p t i cs y s t e m i i ( 马) 佗 耗 0 o o 嘭训州圳 i i = 弘 u 彤 ， 出 出 地 州 札 归 渤 岔 = a b s t r 8 c t b yt o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r e m t h i st h e s i si sc o m p o s e do f f o u rc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e lw ei n t r o d u c et h em a i nd e - v e l o p m e n to fc r i t i c a lt h e o r ya n dt h ec o n c e r n e dm a r k sa n db a s a lk n o w l e d g ei nc h a p t e r t w o ，w eg e tt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n so faf o u r t h o r d e re l l i p t i cp r o b l e m ( p 1 ) b y u s i n g t h ef o u n t a i nt h e o r e m i nc h a p t e rt h e e ，w ed i s c u s sas e m i l i n e a r 如u r t h o r d e re l l i p t i cp r o b l e m ( b ) w i t hl o c a 王l i n k i n g ，a n dg e tan o n t r i v i a lw e a ks 。l u t i o no ft h i sp r o b l e m i nc h a p t e rf o u r ，b ya p p l y i n g 竹l et o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r e m ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo f s 0 1 u t i o nf o raf o u r t h o r d e re l l i p t i cs y 8 t e m ( b ) k e y 、v o r d s ：f b u r t h o r d e re l l i p t i cp r o b l e m s ；m u l t i p l es 0 1 u t i o n s ；f b u n t a i nt h e o r y l o c a ll i n k i n g ；t o p o i o g i c a ld e g r e e i i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 豁瓣 日； l j = 1 塑i 一2 尹 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的 全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名导师签名：缀日期： 迎：rl 第l 童绪论 1 1 概述 第l 章绪论 变分问题有着极为丰富的源泉。由于从经典力学到场论，其中所研究的一切物质的 运动规律都遵从“变分原理”，即存在着某个泛函，使得对应的运动方程是它的e “f e r 方程，因此求这些e f e r 方程的解便划归为寻求对应泛函的临界点。微分方程中的变 分法是把微分方程边值问题化为交分问题，来研究解的存在性、解的个数及求近似解的 方法的一种方法从而用变分法解决非线性微分方程主要是通过某个泛函j ( 通常称为 e “2 e r l n 9 r n n g e 泛函) 在一个恰当的b n c h 空间x 上的临界点来刻画的，即满 足 ，( 乱) = 0 的点u ，这里，( “) 是g 1 一泛函j 在点u 处的f r c h e t 导数。于是寻求泛函的临界点 成为解决问题的关键所在迄今为止，经过许多数学家长期努力的工作，逐渐形成了一 个解决非线性问题的数学分支学科一一变分法 古典的临界点理论主要是确定泛函极值和极值点的极值理论在1 9 世纪以前，对这 种特殊形式的临界点问题一直是转化为微分方程去求解的，因此要求其相应的e 乱 e r l 0 9 r g e 泛函是下方有界的，这个条件有很大的局限性从极小化d z r 诎0 e 积分出 发求解l 印c n c 方程的d 打i c 弛原理可以认为是从反面考察变分问题与方程的关系 的最早的例子之一。但直到p 。饥c 。r ( 1 8 8 7 ) 与h 铂b e n ( 1 8 9 8 ) 做的大量的相应的工作 才得以证实而且由此产生的极小化序列方法，连同上世纪初意大利数学家7 1 0 e 胁引 进的关于泛函下半连续的概念，延续到今天都是研究泛函极值问题的基本手段。极值点 是最简单的临界点，但是在一些具体的问题中出现的是不是极值点的更一般的临界点， 诸如椭圆边值问题的解、商口，埘“o n 系统的周期解及曲率的保形度量等，上述理论基本 诸如椭阿逸值问题的解、矗a m m o n 系统的周期解及曲率的保形度量等，上述理论基本 北京工业大学理学硕士学位论文 上是无能为力的，因此需要新的工具去寻找更一般的临界点。 应这种要求，近几十年来，近代变分法( 又称大范围变分方法) 逐渐完善地发展起 来。它主要包括极小极大理论和m o r s e 理论，这两种理论都是依靠拓扑方法，研究一 般的、未必是极值点的临界点。1 9 7 3 年，aa m b r 。s e 捌和尸1r 血跣佗。例甜z ( 见 1 i ) 的 山路引理( m o u n t a i np a s sl e m m a ) 可以说是临界点理论发展史上的一个重要里程碑， 随后的鞍点定理( s a d d i ep o i n tt h e o r e m ) 和环绕定理( l i n k i n gt h e o r e m ) 是对山路引 理的进一步推广( 见【2 】) 。这些抽象的定理被广泛用于寻求椭圆问题非平凡解的存在 性与多解性以及日n m m 帆系统的周期轨道和波的受迫振动等问题，只要与其相应的 e u 2 e r l o 礼驴泛函满足紧性性质( 通常称之为( p s ) 条件) 即可但是在一些实 际问题的研究中，失去紧性条件的现象大量存在，许多数学研究者已想出具体的方法如 加上某种强制性条件或应用微分方程中的截断技巧等来处理某些失去( p s ) 条件的问 题。 m d r s e 理论则是更深刻、更精细的临界点理论：它运用“数量型”的拓扑工具( 同 调群) 对泛函在临界点附近的局部行为给出精确的刻画( 临界群) ，并给出局部行为与 整体性质之间的深刻联系( m o r s e 不等式) ，因而在多解存在性的研究中必将发挥重大 的作用。m d r s e 是在有限维流形上完成这一工作的，p 口f 。i s 和s m o f e 则把m o r s e 的 工作推广到无穷维流形上。因为未知的临界点的非退化性一般是无法先验地知道的，所 以经典的m d r s e 理论的主要困难是对非退化性的依赖但是经过许多科学家的工作， 包括g r d m d 2 ：一m 钳e r 理论以及各种处理退化情形的方法，m 。r s e 理论已经能够比较 好地运用于非线性微分方程的研究，并且在这一领域已取得了丰硕的成果。 另外我们需要注意的是有关拓扑度的理论在研究方程或方程组中的解的应用。拓扑 度的概念起源予用代数拓扑方法研究不动点它的早年陈述与讨论多借助于代数拓扑的 方法然而由于拓扑度在分析学中的应用愈来愈广泛，为便于分析学者掌握这一工具，许 第1 章绪论 多作者做了不少努力，将其整个理论重新建立在分析学的基础上。在这方面应该提到的 有m 。9 u m o 3 1 ( 1 9 5 1 ) ，e h e 饥z 4 1 ( 1 9 5 9 ) ，_ t s c h d 仳2 【5 j ( 1 9 6 9 ) 与l i r e 曲e r g 【6 】 ( 1 9 7 4 ) 。经过许多论著的整理和简化，现在这个工具已经变得非常容易掌握了。 1 2 定义与符号 今后将不加声明地使用下列的记号和定义。 令qc 舻m21 ) 是一个开集，本文只考虑n 是钟中具有光滑边界的有界区 域的情形。驴( q ) ( 1sp + 。) 表示q 上p 次可积函数的全体，其上的范数记为 i ，：( 厶川，出) ；。口( q ) 表示n 上i 次连续可微函数的集合 定义1 2 1 定义s o b o e e u 空间： 口1 ( q ) = ( u 三2 ( q ) ：v u l 2 ( n ) ) 及其内积： ( 刚) = 上( v 协+ 一) 出， 则相应的范数为 = 【( 1 v u l 2 + ) d z 声 j n 易知日1 ( q ) 是一个日t 胁e r 亡空间 空间丑5 ( q ) 是g 矿( 哟在日1 ( q ) 中的闭包( 其中c f ( q ) = 训u 在q 上无限次可微， 且s 聊u c n ) ) 。 另一个s 0 6 。l e u 空间； h 2 ( q ) = “ld “札l 2 ( n ) ，1 口l s2 ) 令e = 日2 ( q ) n 蜀3 ( q ) ，则e 为日。玷e n 空间且e e = 抒2 ( q ) n 硪( q ) 日2 ( q ) n 嘲( q ) 亦为日“6 e r 亡空间。 一3 _ 北京工业大学理学硕士学位论文 定理1 2 1 ，( r e 讹c h 嵌入定理) 如果i n l o 。，则下面的嵌入是紧的 硪( q ) 一矾吼1 p 2 + = 篙 对于日 拈e n 空间e ，上述的嵌入定理仍成立，其他详细的情形可参见 7 。它表明 由弱可微函数及其导数的可积性可以判断函数本身的光滑性。有了这一性质的保障，我 们就可以讨论在非线性微分方程弱解存在的条件下，利用嵌入定理以及s c 危u d e r 估计 来提高弱解的正则性，从而得到古典解存在的结论。 推论1 2 1 ( p 。t n c o r g 不等式) 如果lqf o 可达。 定义1 2 2 设q 是曰4 中的可测集，且o m e s n + o 。，函数，( z ，钍) n ，一o 。 乱 o 作连续函数西： o ，+ 。) _ r 1 ，使它满足下面两个条件： ( t ) 存在叽7 _ + ，满足o a 1 ( 入1 是 一在明( q ) 中的第一特征值) 在文献【1 7 】中，l 口z e r 与m c 南e n n 指出这种四阶非 线性方程是用来研究浮桥的周期震荡问题。令，( z ，u ) = 6 【+ 1 ) + 一1 】t n r n n 把【1 8 l 证明了当6 ) 、1 ( a 1 一c ) 时，问题( p 1 ) 有一个解u ( z ) 且在q 中札( z ) k ( a 一c ) ，佗= 1 时问题( p 1 ) 至少存 在( 2 七一1 ) 个解文献 2 0 ，2 1 利用变分法在一定条件下证明当，( z ，札) = 的( z ，“) 时问 题( 且) 存在多重解文献【2 2 】利用了伪指标理论来证明问题( p 1 ) 多重解的存在性。其 它关于四阶非线性椭圆边值问题可见文献【2 3 2 6 而本文则是根据喷泉引理得到了问 题( p 1 ) 无穷解的存在性。 2 1 预备知识和主要结果 在介绍主要结果之前，我们先给出一些预备性知识 本章中出现的区域q 、空间e 及特征根都如第一章中所定义的我们知e 为 h z 2 6 e n 空间对于c2a i ，空间e 上的内积定义为 ( u ，啦= 上( 钆”+ v “v 州z 北京工业大学理学硕士学位论文 进一步，如果h c 2 ，r os ，t o o ， 则e = k o 磊 定理2 1 2 喷泉引理( b a r t s c h ，1 9 9 2 ) 空问满足( a ) 条件，了g 1 ( x ，r ) 是g 一不 变的，若vk v ，jp k o ，s t ( i ) 瓯2 磷j ( “) o ， l l u 0 = p ( 乱) k2 燧j ( u ) 。， 2 。+ 。 1 1 ”= k ( 渤) l ，满足( p s ，) 条件， 则j 有临界值序列 c m ) 且仇一+ 。 在上述假定条件下，我们将利用喷泉引理获得椭圆方程( p 1 ) 的多重弱解的存在性。 主要结果如下： 定理2 1 3 若条件( ，1 ) 一( 厶) 成立，且k c 0 ，s t m t ，( u 。) = ；上( i u 坪一c l v u 坪) 如一上f 珏。) 出 又因为 j 7 ( u 。) u 。= ( i 札。1 2 一c l v u 。1 2 一，( z ，u 。) 让。) d z ， ( 2 2 1 ) 一：( 2 2 2 ) 有 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) f 一三j 7 ( 乱n ) u 。( ；一三) 上( 1 让。1 2 一c i v 乱。1 2 ) d z 一上( f ( z ，“。) 一三，( z ，u 。) u 。) d 。 小等式左边 m 一去j ( u 。) u 。m + 三，( u 。) 乱。m + 去l l 让。l l 不等式右边根据( ，2 ) ，有 上( 砟，让卜三m 胁) 出 o ，s t 川，c ，i f u 怯，所以对v 七，凤 o 则我们可得 m ) 扣肛8 + p 蚓可砥，q 2 由于k 是有限维的，所以范数等价。 则当1 i u | = 矶时，令风充分大，可得vu k ，j ( u ) 墨o ( 扰) 令风如引理2 2 2 中定义，即凤 由( ) ，可得 则 翟摊，所以v 札玩，i 让b o ，l f ，u ) i 口l ( 1 + l 仳1 9 ) j ( t 上) = ； n 钏z 抄 u i 。一c i v u l 。) d z 一，f ，u ) d 。 j n 2 一口1 1 2 1 ：一q l l n i 2 一q z 暌i j z i l 圣一q l l q i = 1 1 z | | 2 ( ；一g t 联i z 1 1 分2 ) 一q 。i n i 令q 1 熊忙l l ，_ 2 = ：，则 | 。i l = “= ( q ，9 ) 南，j ( 札) ( 一：) ( 吼筇p ) 5 与一9 1 | n 1 由引理2 2 t 2 知厥。o ，则了( “) _ + o 。，即6 2 噬) 一o 。( 岛一+ ) 根据喷泉引理可知，泛函l ，有无穷多个临界值，进而问题( 尸1 ) 有无穷多个弱解。 一1 5 - 北京工业大学理学硕士学位论文 2 4 本章小结 在这一章中，我们主要讨论的是一类四阶椭圆方程弱解的多重性问题。这种非线性 方程是模拟浮桥的周期震荡问题而得到的许多学者已经分别用变分法、完全分歧的方 法、伪指标理论等讨论过这类问题，且得到了多重解的存在性。现在我们依据的是喷泉 引理来验证解的多重性。在第一小节中，我们介绍了相关的空间、非线性项，( 芏，虬) 、能 量泛函j 以及与对称性泛函，( 茁，让) 相关的群作用、g 一不变、( a ) 条件等。在第二小节 中，我们验证了能量泛函j 满足( 尸s ) 条件以及关于一个有意义定义凤当七一+ 。 时取值趋向的结论一一引理2 2 1 与引理2 2 ，2 。在第三小节中，我们验证了能量泛函， 满足喷泉引理中条件( i ) 、( 越) ，从而证明了我们这一章的主要结果一一定理2 + 1 3 。 1 6 _ 第3 章一类四阶椭圆方程弱解的存在性 第3 章一类四阶椭圆方程弱解的存在性 本章我们讨论的是如下形式的四阶椭圆方程 r 山+ 0 ( 茁：裂三二 ( p 2 ) 其中2 是双调和算子，c a t ( a ，是一在职( n ) 中的第一特征值) ，q 是形中的 一个具有光滑边界a q 的有界区域p 毳c e m g 位，f 9 钍e 扣e d 。和m 饿反8 n 在文献f 2 7 】 中证明了当，g 2 _ o ，且在无穷远处超线性时，方程 2 t 上+ c 让= ，( 。，扎) l 礼 q u = u = 0o 礼a q ( 写) 存在一个非平凡锵m t c 忍e 蛾“和翩s 幻扰。在文献 2 0 ，2 1 】中利用变分法证明了当 ，( z ，u ) = 6 9 ( 正，u ) 时问题( g ) 的多重解e 九佗g 【2 2 】将亏格的性质应用在问题( 日) 中，得到了问题( 忍) 多个临界点存在性的结论上d z e r 与m c 奄e 礼几口在文献【1 7 中指 出浮桥的周期震荡问题可以通过方程( 豸) 来研究对于问题( g ) ，在c 0 和 一1 7 - 北京工业大学理学硕士学位论文 。z 使得恻l = n 定义 m = ( 让= g + 血z ：l l u i l p ， o ，掣y 如= u = + q z ：1 乱1 1 = p 且o ，或1 i u l i 户，且a = o ) = 让z ：lj u l j = r ) 设j g 1 ( x ，r ) 使得 6 ：= i n f ，：= m a x ， n m o 如果j 满足( p s ) 条件，则j 有一个临界点并且它的临界值不小于b 关于环绕的定义，b e 亿反与r o 阮佗d 叫托z 曾在文献1 2 9 中隐含地提出过。l 抛与血在 文献【3 0 】中第一次引入了在较强假设条件下局部环绕定义。助和w 捌e m 在文献【3 1 】 中详细地讨论了局部环绕在各种不同类型椭圆方程中的应用。关于紧性条件，b r e z 拈 与m r e 舶e 叼在文献【3 2 中提出了( p s ) 条件。而三地与血在文献 3 0 】中引入了 ( p s ) + 条件。本章对一个具有局部环绕结构满足( 尸s ) + 条件的方程( p 2 ) 进行讨论， 得到了其弱解存在性的结论 3 1 预备知识和主要结果 在介绍主要结果之前，我们先给出一些预备性知识 令x 是具有直和分解x = x 10 x 2 的实b 口n o c 忍空间，考虑两个子空间序列 x ：c 嬲c cx 1 ， x c 碹c cx 2 ， 使得 如= u 弼，j = 1 ，2 n 一1 8 - 第3 章一类四阶椭圆方程弱解的存在性 且我们总是假设出m 弼 。，j = 1 ，2 ，n ，对于x 的范数，规定 “1 + 札2 j 1 2 = | | u l l l 2 + l l 让2 | j 2 ，“j ) 0 ，j = l ，2 对于每一个双重指标= ( q 1 ，。2 ) 2 ，记 且 = 砖，o x ：。 0 ：sp 车争乜1 岛，n 2 兰岛 定义3 1 2 1 称序列 。 c 2 是可允许的，若对任意口2 成立。 | m ，s t n m 辛a n a 对任意j ：x 一丑，记厶= ，l x 。为，在x 。上的限制 定义3 1 2 2 【3 1 】令j g 1 ( x ，兄) ，j 满足( | p s ) + 条件，若对每一个序列 u 。) ，其中 n 。) 是可允许的，u 。五。，使得 s u p j ( 让a 。) o ，有 j ( u ) o ，u x 1 ，| | u | | sr j ( 札) o ，u x 2 ，l l “i i r 一1 9 北京工业大学理学硕士学位论文 区域q 舻、空间e 及特征值如第一章所定义。令c2a 1 ，定义空间e 上的内积 为 ( u ，咖= 上( “”+ v v 啦s 进一步，假若k c a 。+ 1 ，n21 ，令 y ：= s p 口礼 e 1 ，e n ) ，z ：= s p c m e n + 1 ，e n + 2 ，) 则e = y o z 。由于c o ，s t o ( 。) 让2 d z | j n ( 。等( 茹) 如) 斋 ，n ( 札2 岛) 等 j n = c 1 b c 2 1 2 o ，s t i 。6 l e ( 3 2 1 ) 根据溉) ，当l “l 6 1 时，jc 3 ，c 4 ，c 7 o ， l f ( 。，札) i c 3 u + c 4 i 乱1 3 + 1 c ，l t 上1 8 + 1 根据( 9 3 ) ，j6 1 ，当d 时，| e 1 0 ，e 2 0 ，有 ，( z ，乱) = 乱l 钍| 则 f ( z ，) = s 2 乱2 综合( 9 2 ) ，( 卯) ，j ，岛 o ，有 i f ( 。，札) l e 札2 + c 。l u i 8 + 1 即 一u 2 一岛i u i8 + 1 茎f ( z ，u ) e u 2 + 岛l 乱f 8 + 1 ( 3 2 ，2 ) 在有限维空间y 里， ，( u ) ；上( j 砰一c l v 砰+ 。u 2 ) 出+ s 上u 2 出+ 6 怕| | 爹1 对r 足够小时成立。亦即当乱y l e r 时， j ( u ) 曼0 在无穷维空间z 上，令札= + 叫z ，s t i e o ，集 q t ：= 嚣q ：i 叫( z ) l ；) ， 一2 3 北京工业大学理学硕士学位论文 在l2 1 上由( 3 2 1 ) j 【乱( 。) f l “( z ) l + i 叫( z ) is 忡( z ) i i 。+ ；! + ；= 正 又已知当川d 时f ( 卫，u ) o ，则可推出 上。聊，钆) 如 o ， 上：f ( z ，“) 出a s 上舻出+ m 怕| | 萝1 ， 则有 j ( 钍) = j ，n ( 1 “j 2 一c l v 让1 2 + o 札2 ) 出一如。f ( 茁，钍) 如一e ：f ( z ，u ) 出 ；上( i 刮2 一e 1 v 钾f 2 ) 如+ ；上。训2 出一a e 上叫2 出一m 忡f 1 哥1 上。f ( 。，叫) 如 对于r 充分小，即让z ，怯r 时，有 j ( 珏) 0 ， 综上所述j 在o 点处具有局部环绕的结构 引理3 2 5 j 满足( p s ) + 条件 2 4 - 第3 章一类四阶椭圆方程弱解的存在性 证明考虑序列 u 。 使得 。 是可允许的，且札。五。 d ：= s u pj ( “n 。) o ，使得 f ( z ，u ) c 5 i u “一c 6 ( 3 2 4 ) 选择t ( ，2 _ 1 ) ，对于扎充分大，由( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 及( 乳) ，jc 7 o ，c 8 o ，u ：= u a 。，u = 可+ z ，y ，z z ，有 c + 1 + 7 - | | | l e 三j ( u ) 一r ( j ( u ) ，钍) = ( j 一7 - ) 矗( i 钆1 2 一c l v “1 2 + n 让2 ) 如+ 矗( r ，( z ，钍) 一f ，u ) ) d z ( 一7 一) | | 。i i 刍+ ( 一7 - ) 0 掣i i 各一( 一丁) | | n | i l * | l 牡1 1 2 ：+ ( 肛7 - 一1 ) c 7 i i u i i ，一c 8 由于| c 9 d ，| 【“i i 工= c 9 恻b ，所以可以得出 u 。 在e 中是有界的，则有 “a 。1 不妨令扎。：= “。，则有 1 j u 。一u i l 2 = ( ，( n 。) 一j 7 ( 乱) ，札。一u ) + ff 一盘( u 。一缸) 2 j n + ( ，( z ，钆。) 一，( z ，u ) ) ( 札。一“) 】d z 所以可得 锃一u 且夕( 瞿) = o 引理3 2 6 对任意i 所对应z 的一个子空间邑，有 j ( ) 一一o 。，j 让| 一。，“五o y 一2 5 北京工业大学理学硕士学位论文 证明由( 3 2 4 ) ，可得 m ) = ；z ( 阻卜c 阮| 2 + 甜) d z 一上m ，咖d 2 ；l j u 羔+ ；】i 。i i o 。l i u i l b + c 6 q l c s | | 乱i | ， 在有限维空间五o y 中，所有范数等价，所以j ( 珏) 一一o 。，一o o 现在我们来证明定理3 1 5 。 证明t 由( 9 1 ) 、( 9 。) 可知，g 1 ( e ，r ) ，且易看出映有界集到有界集( 见 3 3 ) 而由弓 理( 3 2 3 3 2 6 ) 可知，( z ，札) 满足定理3 1 4 的条件，从而定理3 1 5 得证。 3 3 本章小结 在本章中，我们主要讨论的是一类四阶半线性椭圆方程弱解的存在性。这种方程形 式上比第二章所讨论的方程多一项口( z ) u ，我们对其进行讨论利用的是反和w 删e m f 0 1 l 在文献 3 1 中建立的一个局部环绕理论，他们”曾用这个结论对一类二阶半线性椭圆 方程进行过详细的讨论在四阶方程的问题中，我们需要注意的是关于空间的结构与 特征值问题。在第一节中，我们主要介绍的是空间的分解、局部环绕的定义、( p s ) + 条 件、非线性项，( 。，u ) 满足的条件、所依据的定理以及我们的结果。在第二节中，我们 验证了映射x 的弱连续性、泛函j 具有局部环绕结构且满足( p s ) 条件以及在一个 子空间磊上，当lul o 。时，j ( u ) 的取值趋向一一引理3 2 ，3 至引理3 2 6 ，接着利 用局部环绕理论我们就得到了主要的结果一一定理3 1 5 2 6 - 第4 章一类四阶椭圆方程组正解的存在性 第4 章一类四阶椭圆方程组正解的存在性 在本章中，我们讨论如下形式的椭圆方程组 t 屯兰翌童 ( ( ， ) ，馐，( ) ) = ( “f c v u v f + 口e c v u v e ) d z j n 2 7 _ 北京工业大学理学硬士学位论文 其中i l “l i 2 = 厶( 2 u c v 2 乱) d z ，e 对于l 2 l 2 中的范数定义如下： l | ( u ，u ) l l 。p = ( ( u 2 + 。2 ) d z ) = ( | | 乱1 1 2 。+ i lu1 1 2 。) j n 相应地 ( ( 札，钉) ，( ， ) ) 工：= ( 让+ u e ) d z j n 是l 2 l 2 中的内积 对于印中的范数定义如下： 1 ( 乱， ) l = ( 1 札j 2 + l 刘1 2 ) 记(