（应用数学专业论文）不稳定热方程边界控制问题以及carleman估计的研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究不稳定热方程的边界控制和c a r l e m a n 估计问题。 本文中首先研究了含有不稳定项的热传导方程边界控制问题和 在一定边界条件下满足的指数稳定估计。边界控制是分布参数受控形 式的一种，它一直受到控制理论界的重视而得到不断深入地研究和发 展。我们通过适当选取边界反馈条件，找出一个非奇异可逆坐标变换， 将原有的系统转换到一个新的坐标系下，在新的坐标系下，我们应用 类似的边界控制设计出一个实现稳定目标的控制律。其中我们应用 f r e d h l o m 算子理论( 讨论具有连续核的积分方程可解性) 、常数变异 法、泛函知识等证明了其坐标变换是非奇异可逆的，其后再通过构造 l y a p u n o v 函数，应用半群理论和s o b o l e v 空间理论和一些不等式等 推导出稳定的控制律，并且证明了系统在d i r i c h l e t 边界条件下的解 的存在唯一性和2 指数稳定估计和h 1 指数稳定估计以及在n e u m a n n 边界反馈条件下r 指数稳定估计的和h 1 指数稳定估计。 后面主要就含有有界变差( b y ) 系数时的一类不稳定热方程 c a r l e m a n 估计进行研究，其中主要应用了控制收敛定理和一些不等 式处理。 关键词：不稳定热方程，边界控制，l y a p u n o v 函数，指数稳定估计， b v 系数，c a r l e m a n 估计 江苏大学硕士学位论文 i nt h i sp a p e r , w es t u d ym a i n l yt h ep r o b l e mo ft h eb o u n d a r yc o n t r o l a n dt h ec a r l e m a ne a t i m a t eo ft h eu n s t a b l eh e a te q u a t i o n f i r s t l y , w e 1 1s t u d yt h eb o u n d a r yc o n t r o lp r o b l e mo fh e a te q u a t i o n w i t had e s t a b i l i z i n gt e r m , a n dt h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t ye s t i m a t eu n d e rt h e g i v e nb o u n d a r yc o n d i t i o n b o u n d a r yc o n t r o li s a ni m p o r t a n tp a r to ft h e m o d e mc o n t r o lt h e o r y ，w h i c hh a sb e e ne m p h a s i z e di nt h ec o n t r o lt h e o r y f i e l da n dh a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e da n dd e v e l o p e d w ec h o i c es u i t a b l e b o u n d a r yf e e d b a c kc o n d i t i o n ，s e e ka nu n s i n g t a a ri n v e r t i b l ec o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o nt ot r a n s f e rt h es y s t e mi n t oan e ws e to fc o o r d i n a t e sw h e r e w ec a nd e s i g nac o n t r o ll a wt h a ta c h i e v e ss t a b i l i z a t i o n w ew i l lu s et h e f r e d i o mo p e r a t o rt h e o r e m 、t h ev a r i a t i o no fc o n s t a n t sf o r m u l a 、f u n c t i o n a l a n a l y s i st op r o o ft h eu n s i n g n l a r i t yo ft h ec o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n l a t e r , d e s i g n i n gl y a p u n o vf u n c t i o n 、a p p l y i n gs e m i g r o u pt h e o r e ma n ds o b o l e v s p a c et h e o r e ma n ds o m eu n e q u a l i t i e st ot u r no u tt h es t a b l ec o n t r o ll a w a n dg a i nt h e 2a n d 日1e x p o n e n t i a ls t a b i l i t ye s t i m a t eu n d e rd i r i c h l e t a n dn e u m a n nb o u n d a r yc o n t r 0 1 s e c o n d l y , w e 1 1s t u d yt h ec a r l e m a ne a t i m a t ef o rt h eu n s t a b l eh e a t e q u a t i o nw i t hb vc o e f f i c i e n t s m a i n l yu s i n gt h ed o m i n a t e dc o n v e r g e n c e t h e o r e ma n ds o m ei n e q u a l i t i e s k e y w o r d s ：u n s t a b l eh e a te q u a t i o n ，b o u n d a r yc o n t r o l ，l y a p u n o vf u n c t i o n ， e x p o n e n t i a ls t a b i l i t ye s t i m a t e ，c a r l e m a ne a t i m a t e ，b v c o e f f i c i e n t s 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论 文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密 学位论文作者签名：珐而略 指导教师签名：p 2 日一年歹月习1 日 知。7 年厂月予f 日 五骈 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：缺丽唪 日期：加9 7 年期j e l 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 本章将对边界控制的发展背景以及c a r l e m a n 估计的一些发展概况作一些简 单介绍。 1 1 本课题的研究背景 非线性科学理论的发展使人们对自然界的许多复杂现象有了新的认识。混沌 作为非线性系统中普遍存在的行为，在近2 0 多年来发展飞快。在认识到混沌现 象的同时，人们注意到更多的自然现象起源于高自由度系统。因而高自由度系统 的复杂行为的研究也在近几年受到越来越多的重视，逐步形成了以研究高自由度 动力系统复杂行为为对象的复杂性研究热点。有人认为非线性和复杂性将是2 1 世纪发生科学革命的可能方向之一。 由于自然界中的现象都是在一定的时间和空间出现的。时空复杂性广泛存在 于我们现实生活中。同样，对复杂系统的研究不仅涉及到时间演化，而且也涉及 到空间结构。为了描述系统中空间的关联和随时间的发展，其中最重要的描述之 一为偏微分方程。这就必须使用无穷维的相空间。从而无穷维动力系统的研究就 成为复杂系统研究的重要方面。 人类认识客观世界和改造客观世界的历史进程总是由低级向高级，由简单到 复杂。在控制领域也是这样，最先研究的控制系统都是线性的，但是随着科学技 术的不断发展，人们认识的不断深入，逐渐意识到了任何一个实际的物理系统都 是非线性的。非线性是本质，普遍的现象，而所谓的线性只是非线性在特定的条件 下的一种特殊的表现形式。因此，近年来非线性问题已成为控制领域的热门方向， ( 见文献 1 2 ) 。 控制问题是指考虑一个用o d e ( 常微分方程) 或p d e ( 偏微分方程) 来描述的演 化系统，通过选取适当的控制装置作用于系统，对给定的时自j 区间、初始值和终 点值，我们可以找到一种控制使得系统的解既满足初始值也满足终点值。这是控 制理论中的一个古典问题，在这方面已有大量的研究成果，例如l e e 和m a r c u s 的书中可以初步了解到通过o d e 描述的有限维系统( 见文献【3 】) ，r u s s e l 的调 查报告及在l i o n s 的著作中可以了解到由p d e 描述的无限维系统见( 文献 江苏大学硕士学位论文 【4 】，【5 】) 。 用常微分方程来描述的线性系统，又称为集中参数系统，具有有穷多个自由 度；用偏微分方程来描述的非线性系统，又称为分布参数系统，具有无穷多个自由 度。 古典控制论主要研究集中参数控制，但现实世界中所发生的各种现象，从数 学角度来讲，大部分是非线性分布的，如物体温度变化，地下水渗流，汽油形成，生 物种群演化等都是通过分布参数系统来描述的。现代控制论的研究方法从建立在 传递函数基础上的频域法，发展为建立在状态空间上的时域法，其研究对象从线 性系统发展到非线性系统，从确定性系统发展到随机系统，从集中参数系统控制， 反馈控制发展到分布参数控制系统。对被控系统根据工程实际要求提出实现准则 寻求系统在满足一定条件下，使实现准则达到所要求的理想状态。这罩我们主要 研究由非线性p d e 来描述的无限维动力系统的边界控制问题。 对所有的控制系统来说，稳定性是最基本的要求。稳定性概念的出现，有悠 久的历史了。早在1 7 世纪就出现过托里斯利( t o r r i c e l l i ) 原理，即物体仅受 重力作用，当重心位置最低时其平衡是稳定的，反之是不稳定的。但在动力学方 面，对应于稳定运动的严格的解的选择原理却未建立。 稳定性概念也早被拉普拉斯( l a p l a c e ) 、拉格朗日( l a g r a n g e ) 、马克斯威 尔( m a x w e l l ) 、汤姆逊和德特( t h o m s o na n dt a i t ) 、庞加莱( p o i n c a r e ) 等采 用过，但都无精确的数学定义。达朗倍尔( d a l a m b e r t ) 、拉格朗日、马克斯威 尔、魏施涅格特斯基、茹可夫斯基及斯图多( c t o d o l a ) 等采用过一次近似方法， 研究稳定性但未从数学上严格证明其合理性。因此，可以说，在这之前，稳定性 的一般理论，迟迟没有形成。 在稳定性理论发展过程中最伟大的事件乃足俄国数学力学家a m l y a p u n o v 在1 8 9 2 年完成的博士论文“运动稳定性的一般问题”，他将由p e a n o 、b e n d i x s o n 和d a r b o u x 等人建立的微分方程解对初值和参数的连续依赖性这一概念，由自由 变量( 时间) 在有限区自j 上拓宽到无穷区间上，科学地给出了系统中运动足稳定和 渐近稳定的概念，他从类似系统总能最的物理观念得到其实，提出了后来被人们 称为l y a p u n o v 函数的概念，将一般n 阶微分方程组中扰动解渐近性质的讨论归 结为讨论一个标量函数( l y a p u n o v 函数) 及其对系统的全导数的一些特性的研究， 成功地避开了讨论n 阶微分方程组的解的团难，从而建立了稳定性理论研究的框 架。近一百年来的历史已经表明，由他创立的这一理论与方法，已经渗透到应用 2 江苏大学硕士学位论文 数学、力学、控制与系统理论的众多领域，取得了巨大的发展，形成了从理论到 应用的丰富的体系。 稳定性理论研究时间趋于无穷时微分方程解的性态，稳定性理论的研究方向 就在于建立一些准则，借以判断所考察的运动是稳定的还是不稳定的。这样就能 对所考虑的系统的长期发展状态做出预测，因而具有极其深刻的理论意义和非常 重大的实际意义。它在自然科学、工程技术、环境生态、社会经济等方面有着广 泛的应用。非线性耗散动力系统中形态不断发生变化，这是局部不稳定。而整体 上形态又被限制在空间中即整体上是稳定的。对一般非线性系统的稳定性的讨 论，由于数学上处理非线性问题的困难，至今依然进展不多。 随着人们对实际问题研究的不断深入和完善，很多控制系统都需要建模成分 布参数控制系统。一般来讲，由偏微分方程或积分方程描述的系统称之为分布参 数系统，简称为d p s ( d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s ) ，也称之为无限维系统，即 i p s ( i n t - m i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s ) 。而严格地讲，所有物理系统都具有分布特性。 工程实际和社会、经济系统中的许多过程都具有分布特性，属于分布参数系统。 随着控制理论和计算机技术的迅速发展，对实际分布参数过程的控制要求不断提 高，对分布参数过程的建模和控制也就提出了更高的要求。因而研究分布参数系 统及控制，具有重大的理论意义和实际应用价值。 而分布参数过程的控制方式一般有以下几种形式： ( 1 ) 分布式控制。该方式的控制作用是分布式的，即为空自j 变量x 和时间变 量t 的函数。分布式控制就是给定一个性能指标，在允许控制域u 内寻找一个 最优分布控制作用“( 置n ，当系统在满足初始条件和边界条件的约束下，使性 能指标，达到极小。 ( 2 ) 边界控制。对于许多实际过程，尤其是工业过程，其过程特性属于分 布参数系统，但其控制作用往往不是分布式的，而是在系统的边界上实施，如橡 胶工业中的轮胎硫化过程中，热量均通过轮胎的边界向深部传送，这种控制就属 于边界控制。因而研究分布参数系统的最优边界控制，既具有一定的理论意义， 又具有实际应用的价值，引起了广泛的关注。对于实际过程的边界控制，一般采 用逼近方法处理。 ( 3 ) 点控制。许多实际过程的控制中，有时难以实施分布式控制，而且一 般从实际角度来讲，适当选取几个点对系统实旌控制，比实施分布式控制更具有 3 江苏大学硕士学位论文 经济意义。这种控制采用的工具有动态规划方法，参数优化方法和函数逼近方法 等。 ( 4 ) 反馈控制。反馈控制即最优控制策略是系统状态或是系统输出的函数。 对于线性系统，考虑二次型性能指标时，可得出线性最优反馈控制律，而且类似 于l p s ，也可以导出r i c a t t i 方程。 ( 5 ) 精确控制。某系统在时问区间【o ，明上具有精确能控性是指对于t = 0 时 任意给定的初值工。以及f = r 时任意给定的终值石，一定能找到【o ，z 1 上的控制 函数使得系统的解精确地满足终端条件，也就是说，系统借助于控制，能将一个 在f = 0 时任意给定的初始状态在t = t 时变为一个任意给定的终端状态( 通常为 一个理想状态) 。利用边界控制就能实现的精确控制称为精确边界控制。 由于物理和技术的原因，一些系统只能在区域的边界上设置控制装置来进行 研究。近二三十年来，边界控制问题一直受到控制理论晃的重视而得到不断深入 地研究。近几年来，人们越来越多关注的是b u r g e r s 方程、k o r t e w e g - d e v r i e s ( k d v ) 方程、k o r t e w e g d ev r i e s - b u r g e r s ( k d v b ) 方程、k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y ( k - s ) 方 程以及热传导方程的边界控制问题，并且在这一领域取得了丰硕成果。 k d v 方程首先是由k o r t e w e g 和d e v r i e s 于1 8 9 5 年研究浅水波运动时提出的， 它的原始形式是仉= j 3 、f f i r g - i 1r 2 + j 2 盯叩+ 1 0 7 7 0 ) ，人们经过研究知，当方程建立 在整个实数轴r 上或者是在一个周期性区域上时总可以通过一定的变量替换转 化为标准形式： u i + 姗j + “m 1 0 。 k d v 方程不仅是描述水波运动的方程，也是描述电磁波和声波的方程。其实 它对任何包含弱非线性和弱色散效果的非线性系统都是一个非常好的逼近模型。 特别地，现在k d v 方程普遍被看成足一个非线性色散系统中的微小振幅单向传 播长波的数学模型。 k d v b 方程也是用来描述水波、电磁波及声波的方程。它的一般形式如下： u f 一翻# + 国m + g 一0 其中占和万是正参数。当g = 0 时，如上k d v b 方程变为k d v 方程： ，+ u u ，+ 面一- 0 ，而当8 = 0 时，如上k d v b 方程就变为b u r g e r s 方程。 4 江苏大学硕士学位论文 h l 一出口+ 删j - 0 。 k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程( k - s 方程) 则是由k u r a m o t oe ta l 研究在反应扩 散系统中的相湍流和s i v a s h i n s k y 研究飞机火焰传播时分别提出的。这类问题也 常出现于膜震动( 如见文献 6 ，1 9 8 2 年) 和n a v i e r s t o k e s 方程的分叉解( 如 见文献 7 ) 等。 热方程是用来描述由于温度不均匀，热量从温度低的地方向温度高的地方转 移的方程。此类方程具有很广泛的物理背景，空间立体的热传导方程原始形式为： n f a 2 。+ w + “。) + i ( m ，0 其中4 z ：土，f ( m , t ) ：! 幽，c 为比热，露为导热系数，p 为物体密度， c pc p m 似弘z ) 为物体某一点出的坐标，u ( m ，0 为点m 处在t 时刻的温度。如果考虑 物体内部没有热源，其方程形式为： - 4 2 群+ 盯+ l k ) 1 2 本课题的国内外研究现状和水平 边界控制方法( 见文献 8 、 9 ) 是近十几年提出的，并且成功地应用到波 动方程、热方程等。它将数学物理问题的反问题与泛函分析、渐近控制方法以及 系统理论联系起来，相比与以前的识别方法有很多的优点。 近几年来，人们越来越多地关注k d v 、k d v b 、m k d v b 、k - s 、c - h 和热传导方 程的边界控制问题。热传导方程是数学物理方程中的经典代表的，在数学和物理 以及实际工业生产实践中都得到了广泛研究和应用。在研究k d v 方程时，大部 分学者通过直接解方程或者应用反散射( i n v e r s es c a t t e r i n g ) 方法( 即非线性傅立 叶变换) 来找到方程的解。其中，b i n g - y u z h a n g 研究了k d v 方程的精确边界控 制，见文献 1 0 。j ab u m s 、c i b y m 髂、h 西o i 等学者对b u r g e r s 方程进行了 研究( 见文献 “卜 1 3 ) ，b y m e se t a l 研究了b u r g e r s 方程的局部指数稳定性( 若 初始条件在工2 空问下非常小) ，v a nl ye ta l 将这一结果进一步完善( 把它延伸到 r 空间) 但仍是局部的。m i r o s l a vk r s t i c 对b u r g e r s 方程的全局稳定性进行了研 究( 见文献 1 4 ) 。k d v b 方程是同时表现了扩散和色散特点的最简单的非线性 数学模型之一。b i l e r 、r a s s e l 和z h a n gb i n g y u 对周期边界条件下的k d v b 方程 5 江苏大学硕士学位论丈 进行了研究( 见文献 1 5 一 1 7 ) 。b i l e r 、b o n a 和s m i t h 对空间区域足整个实数 轴的k d v b 方程进行了研究( 见文献 1 8 ， 1 9 ) 。r o s i e r 对系统在一个闭域上的 可控性进行了研究( 见文献 2 0 ) z h a n g 对系统在一个闭域上的稳定性进行了研 究( 见文献 2 1 ) 。u 和k r s t i c 研究了k d v b 方程在一有限区域中的边界反馈 稳定性问题( 见文献 2 2 ) 。a n d r a s b a l o g h 和k r s t i c 研究了k d v b 方程的稳定性 和数学模型。曹海霞对充分非线性的k d v b 方程解的稳定性作了研究( 见文献 4 5 ) 。对k - s 方程的研究也已取得丰硕成果，f o i a se ta l 和n i c o l a e n k oe ta l 对 k _ s 方程全局吸引子和惯性流形进行了研究( 见文献 2 3 ) 。在此基础上，k - s 方程的控制问题研究也得到很大的发展，h ee ta l 研究了k - s 方程稳定性的数字 模拟及它的最优控制，c h r i s t o f i d e s 基于一个g a l e v k i n 舍位构造了线性控制项研 究k - s 方程的局部稳定性( 见文献 2 4 ) ，王景峰也对k - s 方程的稳定性作了研 究，参考文献 4 6 。曹海霞( 见文献 2 9 ) 主要研究了在外部激发条件下的k s 方 程的边界控制问题，其主要应用b a n a c h 不动点原理和半群理论证明解的存在性 和唯一性；朱敏赵志峰等( 见文献 3 1 ) 主要应用伽辽金法( g a l e r k i nm e t h o d ) 和适当的性能指标j ( y ，t ) 给出了n e u m a n n 边界条件下b u r g e r s 的最优控制， 证明了解的存在性。对于热传导方程，受到模型中出现的热电学拟静态理论的启 发( 系统的熵满足热方程) ，d a y ( 见文献 4 0 ) 分析了在整个区域内以状态变量 的加权积分形式给出的边界条件下一维热方程解的情况，边界条件虽然没有被作 者明确给出，但实际上以状态反馈的形式给出了，尽管最后的结果更多地适用于 一般的抛物性方程，而非仅仅是我们热方程一种。近年来许多关于系统反馈控制 的成果都足由抛物形偏微分方程中得到，尤其热方程，包括b u r n s 和r u b i o 的研 究( 见文献 3 5 ) ，应用b u r n s ，r u b i o 和k i n g ( 见文献 2 8 ) 的结论，他们分 析了以代数r i c a t t i 方程( 有无穷维l q r l q g 控制问题中得出的) 解得形式得 出的反馈算子。基于2 维热方程下的数值结果，b u r n s 和r u b i o 总结了l j f j 数值， 也就是说，在反馈算子的积分表示中出现的核函数存在并且在已控制的边界附近 存在紧支柱，这一结论将为离散的探测设备的最优放置提供信息导向。w e i j i u l i u 和g r a h a m h w i l i a m s 研究了半线性热传导方程的精确初值问题( 见文献 2 5 1 ) 。 a s h i d f a r 和k a r a m a l i 对反热传导问题的数值解做了一系列的探讨( 见文献 3 6 ) ；a d o u b o v a ，e f e r n a n d e z c a r a ，和m g o n z a l e z b u r g o s 对非线性边界 f o u r i e r 条件下的热方程的边界控制做了一系列的研究( 见文献 3 7 ) 。l i a n g y u l i 6 江苏大学硕士学位论文 和x uz h a n g 研究了半线性波动方程的精确控制问题( 见文献【2 6 】) 。b i n g y u z h a n g 研究了k d v 方程的精确边界的问题( 见文献 2 7 1 ) 。 含有b v 参数的线性抛物型方程的零控制结果在 1 2 中已经证明，这一证明 依赖于r u s s e l l 法( 见 1 9 ) ，但是，c a r l e m a n 型可观测性估计的存在性问题仍 待解决。最近， 1 3 中证明了含有整体有界系数的一维热方程的控制结果，其方 法来源于 1 2 。但是，这样的方法并不适用于非线性热方程。利用不动点原理 1 2 ，c a r l e m a n 估计提供了一个更精确的与偏微分算子低阶项有关的知识用于 处理拟线性方程，c a r l e m a n 估计在分析上也有其他运用，比如反问题的唯一性 结果。 含有光滑参数的多维抛物性方程的c a r l e m a n 估计在 1 3 中已经得证，其主 要方法是构造一个适当的梯度非零的质量函数p ，在 8 里面，作者处理了参数 分段正则的情形。为了得到观测值，他们不得不给系数加上单调的条件。在多维 方程罩面，不加单调条件的c a r l e m a n 估计尚未解决。 1 3 本课题研究的基本内容、意义、价值 本文我们主要研究了带有不稳定项的热传导方程的解的存在唯一性问题和 边界控制和c a r l e m a n 估计问题。首先我们通过适当选取边界反馈条件，找出一 个非奇异可逆坐标变换，将原有的系统转换到一个新的坐标系下，在新的坐标系 下，我们应用类似的边界控制设计出一个实现稳定目标的控制律。其中我们应用 f r e d h l o m 算子理论( 讨论具有连续核的积分方程可解性) 、分布积分理论、常数 变异法、泛函知识等证明了其坐标变换是非奇异可逆的，其后再通过构造 l y a p u n o v 函数，应用半群理论和s o b o l e v 空间理论和一些不等式等推导出稳定 的控制律，并且证明了系统在d i r i c h l e t 边界条件下的解的存在唯一性和r 指 数稳定估计和日1 指数稳定估计以及在n e u m a n n 边界反馈条件下工2 指数稳定的和 h 1 指数稳定。其次，主要通过一个有限过程， 在a ，a ，也a ，) 中得出一个算子 d 。4 - a 。( ca ，) 的c a r l e m a n 估计，其中c 。在r ( q ) 分段正则且收敛于c 。这一有限 过程的主要要领是在c a r l e m a n 估计中控制好重量函数和常数。这一类型的控制 结果常应用于生物研究。这种用一些分段正则系数c 。来近似代替b v 系数c 的方 法与数值方法有关。 7 江苏大学硕士学位论文 边界控制问题在水利、电磁学、热学、国防等方面都有很重要的作用，特别 是水利方面。因此，边界控制理论不但在理论上而且在应用方面都有极大的价值， 所以对此类方程的边界控制问题进行研究意义重大。对于热方程的c a r l e m a n 估 计主要在生物、医学领域应用比较广泛，对其研究有着很好的实用性。 8 江苏大学硕士学位论文 第二章预备知识 本章将介绍在本文中常用的一些概念、不等式及定理。 2 1 稳定性 2 1 1 平衡状态 对于线性定常系统，由于只存在一个孤立的平衡点，所以只有线性定常系统 才能笼统的将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。对于其他系统，平衡点不 止一个，所以我们只能讨论某一平衡状态的稳定性。 设系统的状态方程为 毒- ，( 五t ) ( 2 1 ) 若对所有的t ，状态x 满足工- 0 ，则称该状态为平衡状态，记为t ，故有， ，化，f ) 1 0 ( 2 2 ) 由平衡状态在空间所确定的点，称为平衡点。 2 1 2 稳定性 对( 2 1 ) 状态方程，工r “是维状态向量，且显含时间t ，：r ”x r r 4 是 线性或非线性、定常或实变的维函数。初始状态x o o ) _ x o ，x ( t ；x o ，t o ) 。 稳定性就是描述系统在仞态l i l 发t 斗o 。时的解石p ；而，t o ) 的几种情况： 1 稳定 对任意给定实数占 o ，都存在占( 占，岛) o ，使当i k x 。忙万时都有 l x ( t ；x o ，t o ) 一t 忙占( f 岛) ，则称系统平衡状态t 是稳定的。其中万一f o ) 若与b 无关，则艺是一致稳定的。 2 渐近稳定 对系统( 2 1 ) 的平衡状态t ，如果它满足( 1 ) 稳定，( 2 ) 存在任意小量 o 总 有脚忙( f ；，t 。) 一x e i i s ( t o ) ，则称t 是渐近稳定的。 江苏大学硕士学位论文 3 不稳定 对于某个实数 o 和任意实数艿 o ，当k - - x t l i t 艿时，总存在一个初始状 态， k t ；，t o ) - - x e i i ，占，则称艺是不稳定的。 2 2l y a p u n o v 直接法( 第二法) l y a p u n o v 稳定性理论主要阐述了判稳的两种方法，第一法的基本思路是先求 解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性这种思路与经典理 论一制，也称间接法第二法的基本思路是不必通过求解系统微分方程，而是构造 _ 个l y a p u n o v 函数，根据这个函数的性质来判稳，也称直接法由于直接法不局 限于线性定常系统，对于任何复杂系统，尤其是非线性系统更为适用所以我们只 介绍d 叩脚宜接法 2 2 1 l y a p u n o v 函数 设y ( 力为系统任意标量函数，其中x 为系统状态变量，如果y ( 力具有性质： 矿：型盟 ( 1 ) 出是连续的( 反映能量变化趋势) ( 2 ) y ( 工) 是正定的( 反映能量大小) 那么，y 就成为系统的锄，l 删函数。 2 2 2l y a p u n o v 直接法 系统状态方程工一f ( x ，0 ，如( 2 1 ) 其平衡状态f ( o ，f ) _ o , t 七t o 如果存在一 个连续的一阶偏导数的标量函数y ，且满足： ( 1 ) 矿( 功正定，y ( 工) 负半定，则原点处平衡状态足稳定的 ( 2 ) y ( 力j f 定，h 磅负定，则原点处平衡状态是渐近稳定的 ( 3 ) y 正定，矿( 磅负半定，且当忙i i _ m 时，矿( x ) 哼m ，则原点处平衡状态 是大范围稳定的 ( 4 ) y ( 砷正定，矿( 力负定，且当删一。时，y p ) - o o ，则原点处平衡状态是 兰茎垄! 璺主兰堡丝苎 一 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一一 大范围渐近稳定的 ( 5 ) v ( x ) i e 定，驴( 的正定，则原点处平衡状态是不稳定的 2 3 函数分析 2 3 1 有界线性算子 我们取( 矿，i i i i ，) 是一个普通的线性空间集合曰( y ；，) - p 矿：咿一m i i v ，) 是 一个中心为l ，半径为r 的开球 如果( 矿，) 和( 形，| | i i ，) 是普通的线性空间，我们定义一般的线性空间为 三，肜) 2 a ：y w ，a 是线性连续的 对所有的a e 工，) ，模为1 1 4 c y f ) 2s u p i r k 一- i | a 矿1 1 w ，而且集合 工) = 工，y ) ，如果是完备的，则空问( 矿，形) - - , 卜b a n a c h 空问 2 3 2h i | b e r t 空间和它的对偶空间 设x 是一个威胁州空问定义它的内积为 z ) 是一个实的h i l b e r t 空间，它的对偶空间为x 对每个 r e x 。存在唯一的x ，z 使得对所有的工z 而且忙，i i 。= i l f l l r ，有结 论：( ，毋z j ( 石，而z 1 1 江苏大学硕士学位论文 2 4 函数空间 2 4 1 典型的函数空间 q 表示一个在r 4 空间中的一个开的而且有界的集合r 4 中的点表示为 x 。( 而，x 2 ，j 矗) 如果4 。( 口t ，口z ，4 一) 是一个门维的而且4 ，为非负整数，r 表 示为茚w - ，则称口为一个多重指标，我们有h 荟玑相似的，可以定义 d 。：旦竺 a 冲a 。 表示一个阶为h 的微分算子对于在q 中的函数矿，d o “呻矿- 妒，g c c q 表 示g c q ，而且g 是一个r 4 中的紧子集如果妒是一个在g 中的函数，我们可以 定义它的支集， s u p p 妒一面取玎而；砸 如果妒亡c g ，则可以说妒在q 中有紧支集对任意的非负整数历，c “( q ) 是 一个包括所有的r , o 以及它的阶h s m 的所有偏导数的向量空间并且妒以及它的 阶h s m 的所有偏导数在q 中是连续的c o ( q ) 一c ( q ) 取c 。( q ) - n t , t c ”( q ) 那么空间c 孑( q ) 是包括在c 。( q ) 中且在q 中有紧支集的函数集合 线性空间c “( q ) 中