（应用数学专业论文）半空间上boussinesq方程组弱解的l2衰减估计.pdf

摘要 本文考虑r 罩( 0 ，o 。) 如下b o u s s i n e s q 方程组的初边值问题 “t + ( u v ) t + v p = ，r “+ o f ,p ，t ) 霹( 0 ，o o ) ， o t + ( “v ) o = e a o ， ，t ) 僻( 0 ，) ， d i v u = 0 ，( 。，t ) 。r 罩x ( o ，o o ) ， ( ) “i t = o = u o ，o l t ：0 = 0 0 ，霉r 军， “i 。：o = 0 ，o l z 。：o = 0 ，( 。，t ) r 军( 0 ，o o ) 其中n 2 表示空问维数，“= u ( z ，t ) 表示流体速度，0 = 0 ( x ，t ) 表示温度，p = p ( z ，t ) 表示压力函数，( z ，t ) 表示给定外力，u o = t 0 ( z ) ，o o = o o ( 。) 表示初始流体速度和温 度，7 0 和0 分别表示流体粘性系数和导热系数 本文主要研究；在给外力，( qt ) 加一定条件下，半空间上b o u s s i n e s q 方程弱解l 2 衰减估计及其进一步提高；b o u s s i n e s q 方程的解与s t o k e s 及热方程解差的嚷减估计 关键词：b o u s s i n e s q 方程组，弱解，l 2 衰减 a b s t r a c t w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gc a u c h yp r o b l e mf o rb o u s s i n e s qe q u a t i o n s ： i u t + ( t v ) “+ v p = 7 a u + o f ， ( z ，t ) 霹( 0 ，o 。) ， l 巩+ 托v ) 0 = e a o ，缸，t ) 碎( o o 。) ， d i v u = 0 ，( ，t ) r 旱x ( o ，o o ) ， ( ) i t 工i t = o = t 0 ，口i 扛= o = 0 0 ， 岳r ；， it g x n - - - - - o = 0 ，0 1 。= o = 0 ， ( z ，t ) j 哗( 0 ，o o ) h e r eni 8s p a c ed i m e n s i o nu = t ( z ，t ) ，i st h ev e l o c i t yf i e l do ft h ef l o w ，口i st h ea c t i v e s c a l a r ( i e t e m p e r a t u r e ) ，p ( 甄t ) i st h es c a l a rp r e s s u r eo ft h ef l o w ，( x ，t ) i st h ee x t e r a l p o t e n t i a l ，u o ，0 0i st h ei n t i a lv e l o c i t ya n dt e m p e r a t u r er e s p e c t i v e l y , 1 0a n de 0i s v i s c o s i t yc o e f f i c i e n to ft h ef l o wr e s p e c t i v e l y t h i sp a p e ri sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h el 2d e c a ya n di t si m p r o v e m e n to ft h ew e a k s o l u t i o n so ft h eb o n s s i n e s qe q u a t i o n su n d e rt h ea p p r o p r i a t ea s s u m p t i o no ft h ee x t e r - h a lf o r c e a i s o ，t h ed e c a yr a t eo ft h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h es o l u t i o n st h eb o n s s i n e a q e q u a t i o n sa n dt h o s eo fs t o k e se q u a t i o na n dh e a te q u a t i o ni sa l s od i s c u s s e d k e y w o r d s ：b o n s s i n e s qe q u a t i o n s ，w e a ks o l u t i o n s ，l 2d e c a y 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：多i l 参君匆 日期：年月日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和 纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有 权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本 规定。 学位论文作者签名：多1 物奢纫 日期：年月日 第一章引言 b o u s s i n e s q 方程组是流体方程中一类重要的方程，它是流体速度场与温度场耦合而 成的方程该方程在天气预报，海洋生态等领域都有重要的应用背景本文主要讨论如下 b o u s s i n e s q 方程组在r ? ( 0 ，o o ) 上的初边值问题： 其中n 表示空间维数，“( z ，) = ( u l ( x ，t ) ，u 2 ( x ，巩一，“。( ，t ) 表示藏体速度向量， p ( z ，t ) 表示温度，v ( z ，t ) 表示压力函数，( z ，t ) = ( ( z ，) ，丘( 。，t ) ， ( $ ，t ) ) 表示 外力，t l o ，表示初始流体速度和温度，y 0 和e 0 分别是流体粘性系数和导热系 数当仉都大于零时，( 1 1 ) 称为粘性b o u s s i n e s q 方程组，当7 = = 0 时，( 1 1 ) 称 为无粘b o u e s i n e s q 方程组 b o u s a i n e s q 方程组与流体方程中的n a v i e r - s t o k e s 方程及e u l e r 方程有着密切的联 系。当温度0 ( x ，) 为零对，( 1 1 ) 邵为n & v i e r - s t o k e s 方程n a v i e r - s t o k e s 方程与e u l e r 方程是描述流体运动的基本方程。其中关于三维n a v i e r - s t o k e s 方程强解的整体存在性及 弱解的唯一性问题仍是当今著名的未解决问题，与n a v i e r - s t o k e s 方程及e u l e r 方程相比 较，b o u s s i n e s q 方程组多了一个未知温度函数且温度与速度和压力之间存在着复杂的非线 性关系从热力学可知，任何运动都会产生热量即有温度，而且温度与速度和压力之间必定 互相转化，因此对该非线性系统的研究更具有实际意义，也更富有挑战性近些年来，有关 n a v i e r - s t o k e s 方程组及b o u s s i n e s q 方程组有一些存在唯一性结果关于n a ：v i e r - s t o k e s 方程组解的大时间性态也有很完整的研究；1 9 8 5 年，s c h o n b e k 给出了三维n a v i e r - s t o k e s 方程组的弱解在舻空间中的衰减估计( 1 5 1 ) 1 9 9 1 年，给出了n a v i e r - s t o k e s 方程解的下 界估计( 1 1 4 1 ) 1 9 9 5 年，s c h o n b e k 又给出了n a v i e r - s t o k e s 方程组在日”空间中解的大 时间行为( f 1 6 】) ，w i e g n e r 在1 9 8 7 年给出了n a v i e r - s t o k e s 方程组在j 汐空间中弱解的衰 减估计关于n a v i e r - s t o k e s 方程的时空衰减见( 【5 ，6 ，3 ，2 】) 另外关于b o u e s i n e s q 方程 组解的正则性问题的研究觅( 【1 1 1 ) ，b o u s s i n e s q 方程组c a u c h y 问题弱缌的2 衰减研究见 1 1 2 】) ，b o u s s i n e s q 方程组的时空衰减研究觅( 2 0 1 ) 为方便起见，本文假设7 = e = 1 ，即 t 0 k 堋 弘 ，只k， 叫毗壮帅挪蚝 一龇悯汕一 + = p 忙k一一排 v v l 蛳加 “=f卸 小巾篆一 2 硕士研究生毕i 眦丈 2 0 0 7 年 lm + ( t v 沁+ 跏= x u + o f , 扛，) 霹( o ，o o ) ， io t + v ) o = a 0 ，0 ，t ) 哎( o ，o o ) ， d i v u = 0 ，( ，t ) 碑( o ，o o ) ， ( 1 1 ) l u l t _ - o = u o ，p b = 0 0 ，z 碑， i “l 。：o = o ，o l 。：o = 0 ， 0 ，t ) r ；( o ，o o ) 主要结果如下： 定理1 1 设，l o o ( o ，；l 2 n l 。( r 华) ) ，着 t 正0 ( z ) l 2 r n 甲，o o ( z ) l 2 ( r 军) ， i f u 2 c ( t + 1 ) ，a ；， ，i i 。c ( t + 1 ) 一“，p 1 则问题( 1 1 ) 存在弱解“，0 ，对于n 2 ，有 i i t 惦+ 1 1 0 1 1 ；- + o t 0 0 定理1 2 设f 三户( o ，0 0 ；l 2 n l ”( r 罩) ) ，若 伽( $ ) 工：( j 哗) nl ( 衅) 0 0 ( x ) ( 肆) fp ( 碎) ， 1sr 2 ， l l f u 2 c ( 川) ，a 杀一；+ l “州。sc ( t + 1 ) 一p ， p n ( ；一；) 十1 则问题( 1 1 ) 存在弱解t ，0 ，对于t l 3 ，有 ；+ i i o l l ；c t 一“( ；一 ) 定理1 3 设，l o o ( o ，c o ；l 2 n l o o i r 罩) ) ，若 u o ( 霉) 三；( r ；) n l ；( r 宰) ， 如( $ ) l 2 ( 辟) n l ( 磷) ，1 r 1 ， o 州。c ( t + 1 ) 一一，卢n ( ；一互1 ) + 2 半空问上b o u s s i n e s q 方程组在弱解的l 2 衰减 且 厶 由 o o ， 则问题( 1 1 ) 存在弱解t ，口， ( i ) 当n = 3 ，r 【1 ，勃时，有 岛( ) 1 7d y ( 3 0 i i “1 1 ；+ 1 1 0 1 1 ；c t n ( 一 ) 一1 或 ( i i ) 当n 4 ，r 【l ，2 ) 时，有 ；+ i i o l i ；d 一“( 一 ) 一 定理1 4与定理3 3 的条件一致，其中口( t ) 是具有初值u o 的s t o k e 方程的解 ( t ) 是具有初值如热方程的解则问题( 1 1 ) 存在弱解t ，p ，对于，l 3 ，有 似t ) 一r ( ) 0 2 c t 一2 ( 一 ) 一， i l o ( t ) 一h ( t ) 1 1 2 c 一 ( 一 ) 一 3 第二章准备知识 类似于n a v i e r - s t o k e s 方程的相应结果，二维b o u s s i n e s q 方程解存在唯一三维 b o u s s i n e s q 方程弱解整体存在，但没有唯一性为研究b o u s s i n e s q 方程n 3 时弱解的 衰减率，我们需通过对逼近解序列作一致估计，然后取极限得到因此，本章给出b o u s s i n e a q 方程逼近解的构造方法及相应性质，其证明完全类似于n a v i e r - s t o k e s 方程相关结果证明， 故这里略去 对于n 3 ，考虑逼近解“女，o k ，；1 ，2 ，则有下列方程组 像u k 懈+ p ( w v ) u k + a u ：k = v ) o k a o k0 ，州搿三：篡 亿t ， i 盖巩+ ( 啡 一 = ， 靠( o ) = 铲 其中 ( 1 ) p 是_ 圮的有界投影，1 r o o 其中巧是锑o ，o ，( 碑) = t c 俨( r 罩) ，v - “= o 的闭包， 三7 = l ；o g r ，g r = ，工，= v g ，9 ( 衅) ( 2 ) “l o o ( o ，t ；碍) f l 三o 。( o ，t ；y ) ，v 是( 铲( 置；) 在础的闭包 o k l o o ( o ，t ；l 2 ) ，t u k = 五十i “t ，以= ( 1 + 知一1 a ) 一1 ( 3 ) a = 一p a ，a 是n a v i e r - s t o k e s 算子，a = j 铲m 曰( a ) 是a 在瑶的谱分解， 其中 曰( a ) ：a 2o 是算子 的谱族，满足如下性质： ( a ) e ( a ) e ( p ) = b ( p ) 曰( a ) ，0 a s t l 0 ，方程( 2 1 ) 存在唯一弱解0 k l 2 ( o ，t ；d ( 一l x ) ) n w l , 2 ( o ，t ；嘭) ( 2 ) 札幢和它们的导数在j 毪x 【0 卅，t 0 上是连续有界的，且满足v 魄= 0 ， 对任意t o ，j ； i | 埘k ( r ) 幢d rs 詹0 u ( r ) 旧d r ( 3 ) t ，o k 在l k ( r 军【o叫) 上有收敛到方程组( 1 1 ) 弱解的子序列 ( 4 ) 如p ( v ) t k 如= 0 ，如( 魄v ) 靠如出= 0 ( 5 ) 若j i i 州o o 打c ，则有i l u 0 ；+ i i o l l ；c 证明；在方程组( 2 1 ) 的第一个方程两边同时乘以，第二个方程两边同时乘以靠， 并在n 上积分，得 f 岳，r ；l t 七1 2 d z + 2 j 砭i v u , k 1 2 d x + 2 几哗p ( 帆v ) u 七u k d x = 2 以毪p 口k ，“女如， 【袅k i o k l 2 如+ 2 k i v o k l 2 如+ 2 厶；( 魄v 凤0 k d x = 0 半空间上b o u s s i n e s q 方程组在弱解的l 2 衰减 5 i 岳l l k l l ；+ 2 i v u k lj ；= 2 j 斛p o k f u t d z 2 l 哞以，饥出 s2 1 1 f u 。i l a k t l 2 1 1 * , k l l 2 1 1 1 1 。o ( o t o ；+ l i o k l l ；) ， l 翱以幢+ 2 1 1 v o k l l ；= 0 相加得 翱u k i i ；+ i l o k l l 2 ) + 2 ( i i v u i 胁i l v o k l l ；) u i t 。i t ( 1 l “女1 1 ；+ 1 1 6 艄 由g r o w a u 不等式 0 t k 惦+ 0 以眩c ( 1 l t l o k 惦+ 0 口呐昭) e f o i l y j l * 打c ( 0 伽惦+ i t o o l l ；) e 菇m k 打 ( 6 ) 能量不等式 翱硼+ i l o k l l ；) + 2 ( i i v “k 胁忡舳c i l f l l , x ， 且 f l u k f l ；+ 1 o k 1 2 + 2 l 。( 1 i v “ i t ；+ l i r a l i ；) d r 0 l i e ( p ) 尸v ) u l l 2 c a “, 2i l w l l 2 1 2 c 与叫，a 无关 第三章b o 岫s i n 鲻q 方程组在半空间上弱解的l 2 衰减 为证明定理1 1 定理1 4 ，本章先考虑问题( 2 1 ) 光滑解的衰减估计，从而对第二章 所构造的逼近解成立所得到的衰减估计，通过取极限得到定理1 1 一定理1 4 的证明特别 的，当n = 2 时，弱解是唯一的，不需要通过构造逼近解来完成定理1 1 - 定理1 4 的证 明本章对逼近解序列( 2 1 ) 作衰减估计，为书写方便起见，记锹= u ，0 k = 0 ，讯= ， 且所得到的衰减估计关于是一致的 定理3 1 设t ：娥肌- 酽，0 ：僻风_ r ，p ：僻r + - 丑是光滑函 数，满足方程( 2 1 ) ，l ”( o ，o o ；n 二”( 冠军) ) ，若 t 幻( 茁) l ；( 冠华) ，o o ( z ) l 2 ( r 晕) ； l i f l l 2 c ( t + 1 ) ，a 去， l i 1 1 0 。sc ( t - i - 1 ) ，p 1 ， 则对于n 2 ，有 i 睦+ 恻佬一0 ，t _ + ( 3 0 证明：由能量不等式 翱训| 2 + 1 1 0 1 t ；) + 2 ( i i a u l i ；+ i i ；) c t l f l l * 对于固定的p 0 ， f2 i | 4 i 1u 8 ；p ( 1 l u l l i i i e ( p ) u l i ；) l2 1 1 z x o l l ；p ( 1 l o l l ；一慨p ) 口嗡 下证( 3 2 ) i ，由s t o k e s 算子的谱表示，有 2 1 1 a “惦：2f o oa d l i e ( x ) t 眩22 ”x d l l e ( a ) t 眩 j 0j ， 。 = 2 p c o ”d l l e ( a ) u o ；一f o pd l i e ( a ) “8 ；) = 2 p ( o u i 睦一l i e ( p ) t i 偿) 2 ；( o “o ；一l i e ( p ) u o ；) = p ( 1 l “l 睦一l i e ( p ) “o ；) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 2 h 可类似得到所以 d ( 1 l “l 臣+ 0 p 幛) + p ( 0 “i i ；+ 0 口0 ；) sp ( 1 i e ( p ) “8 ；+ 0 豆( 内p 8 i ) + c i i f l l 。( 3 3 ) 半空问上b o u s s i n e s q 方程组在弱解的l 衰减 ， 为了估计( 3 3 ) 的右端，我们考虑( 2 i ) 的积分型 “( t ) ：e t a t i 。一2e 一( t 一- ) p ( ( t l i v ) t i 一日，) d s ，0 o c t ) = e 比如一r “) ( ”吲吣冲 眦) 心) = 耶) e 一 t l o 一口f e - 0 q ”d e ( 妒( ( ”v ) u 一酬如 = 跏) e q 一j ( 。e - ( t - , ) p e ( p ) p ( ( 棚) u 叫) 幽一j ( 。( 汹) 【z 9e _ n 踯) p ( ( 们) u o ) 000 训幽， j jj 亩( p ) 口( t ) = 豆( p ) e t 岛一o te - ( t - s ) p 豆( p ) p ( ”v ) 日d s j ( 。一s ) 上9 e - ( - 订1 豆( ) p ( ”v ) 口d a d s 由m i n k o w s k i 8 不等式和引理有 l , f o e - ( t - s ) p e ( 妒( ”吲“d e l l 2 曼o e 叫- 咖眦) p ( ”v ) “1 1 2 幽 上i i 砷) 即v ) u i l 2 d s c p 孚厶f 。i i ”i i z i i “i i ：d e _ c , - 竽f o 。i i u ( 8 ) l i e g e ， o 序叫【fe - ( t - s ) , , e ( 妒( 们) u 州s i i 。- f o f 1 1 ( h ) e - ( t - s ) x e ( 妒( 棚) u i i z 烈d s r 厂9i i 水一s ) e - ( t - s ) x a - t e ( a ) p ( w v ) u i l 2 n d s c rfa _ 1 a 半怕1 1 2 i i u i i j o 2 d a 幽 oj qj u sc 9 - l + 孚n p 半，1 1 n 1 1 2 i i 。1 1 2 如c p 学m s ) l l ；d e ( 3 4 ) 1 j o j 0j o 同理可得： o _ 。e 一( t 一5 豆( p ) p ( ”v ) 口d s i l 2 c p jf o i i ”1 1 2 i i 口i i j 0 0 2 幽， i ir ( h ) f o p e - ( t - s ) x e , ( 妒( ”v ) 胁姚i is c p 半o ”i i z i i 口i i z 幽 ( 3 - 4 ) 2 下面着重处理i 詹e 一( t 一。) e e ( p ) p ( o j ) d e l l 2 和0 厝( t s ) u 彳e 一( 一。) 1 e ( ) o p ( o j ) d ) q d s l l 2 这两项 i if o t e - ( t - s ) p e ( p ) p ( 口) d e l l 2 _ 上t 。i l e - ( t - ) e e ( p ) p ( 口) 1 1 2 d 8 t t ，t，l s j oi i e ( p ) p ( 9 f ) 1 1 2 幽j oi i e ( p ) o 1 1 2 出j c i i e ( p ) f l l o o l l 9 1 1 2 幽 由g a g l i a x d o - n i r e n b e r g 不等式，有， l i e ( p ) r i i 。 c 刀( p ) 川曼| | a ；e ( 功，儿乞 8爵士研究生毕业论文2 0 0 7 年 又由 i i t , l l 。c 0 铲“忆“d ( a o ) ， 其中0 o 1 ，0 ( i 1 = 一等 1 ( 见【2 1 】定理3 6 ( i i i ) ) 得 i i e ( p ) f u 2 , ， 0 充分大，由于1 一g 一 ，且t - + 0 0 时，悄。 u 0 0 2 - 0 l le t o o l h 0 ， 故若 2 叫- 2 x - 2 ， o 即当 则由( 3 9 ) 可推出当t - + o o 时，i i t , 1 1 l + i i o l l ；趋于0 当n = 2 时，( 3 g ) 式变为 o “幔+ o 口l l ；sc 【耐一nf s n 一1 ( o e ( 一“) t o 眩+ l l e 岛惦) 如+ 舻+ 。蕾1 一纵+ n t 一1 】+ g ( t + 1 ) 一p + l + ( t + 1 ) 一口 j 0 当 即当 硬士研究生毕业论文 f1 2 a 0 ，有 t 如( ) l ，2 n n + ) nl 7 ( r 军) ， 如( z ) l 2 ( 磁) n ( 衅) ， 1 r 0 充分大，由( 3 9 ) 和( 3 1 0 ) 及定理假设，得 1 1 u 1 1 2 + 1 1 0 1 1 2 2 c 【t 一“( 一 ) + t 1 一号+ t 2 2 一詈+ 0 + 1 ) 一时1 + o + 1 ) 一n 】 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 若 即 即 半空同上b o u s s i n e s q 方程组在弱解的l 2 衰减 i i 注意到n 3 ，有则由( 3 i i ) 得 ；+ l o l i ；d 一 代入【3 ，8 ) ，得 翱u 肌l l o l l ；) + 肌肌例1 ) c p t “伸警+ t - - 2 x p 詈+ 庐】+ c ( t + 1 ) 一“ 取p = n t ，并在不等式的两边同时乘以严，得 面d 。n ( ；+ i l o l l ；) e t n 一1 一+ 一“一默一讣c ( t + 1 ) 。叫 关于t 积分，并在所的不等式两边同除以t o 得t i 陋幅+ i i o l i ；sc 【t 一“( 一+ t 一号+ 矗一从一号】+ c ( t + 1 ) 。一p + 1 + c o + 1 ) 一n 一 群一 一 一 r p ，il_，、i【 t 0 2 一 l r 武 一 d 一 一 r a p ，l-_-l-l 若 即 顿士研究生毕业论文 n ( ；一 ) i n 十2 a 一， n ( ；一) p 一1 ， 侩薹i s ， 注意到一n ( ；一) s 号，我们得所要结论 综上所述，对于n 3 ，1 r 2 ，当 时，定理结论成立 偿- - 未2 r 2 s - - ：* 。 2 0 0 7 盎 定理3 3 设 t ：r 罕月+ _ r “，0 ：衅r + _ + r ，p ：群r + r 是光滑函 数，满足方程( 2 1 ) ，若，三o 。( o ，o o ；l 2n l 。( r 罩) ) 且 则 或 t i o ( z ) 工：( r n ) nl ；c m ) ， ( ) 工：( 霹) n n rn ) ，1 r 2 ， i i f l l 2 c ( t + 1 ) 一1 ，入1 ， i l ，o 。c o + 1 ) 一p ，p n ( i 1 一；) + 2 ， ( i ) 当n = 3 ，r 【l ，勃时，有 0 u 艟+ i l o l l ；d 一“( 一 ) 一1 ( i i ) 当n 4 ，r 【1 ，2 ) 时，有 i i u 8 ；+ i i o l l ；d 一“( 一) 一1 半空问上b o u s s i n e s q 方程组在弱解的口衰减 证明：由( 3 8 ) 。我们有 知u o ；+ 例；) + p ( ；+ u 啪 c p 1 l e ( 一 ) u o 幢+ p 2 笋( fi l u ( s ) l l ；d s ) 2 + l i e o o l l ；+ p 2 笋( fo 叫1 1 2 | l 口0 2 d s ) 2 j 0j 0 + p ( - 0 8 1 1 2 0 州2 d s ) 2 1 + c o 州。( 3 1 2 ) j 0 由定理3 2 知 1 1 t 1 1 ；c t 一”( ；一 ) i l o l l ；sd n ( 一 ) 则由( 3 1 2 ) 可得到 或1 1 t , 1 1 l c ( t + 1 ) 一n ( 一 ) 或i f o l l ；c ( t + 1 ) 一n ( 一) 翱u i l ；+ ；) + p ( 删；+ ；) e p 【t n 一 一l + p 3 笋( ，扣+ 1 ) 一n 一d s ) 2 + p ( - ( s + 1 ) 一 一；) - x d s j 0j 0 ) 2 】 + c o - 4 - 1 ) ( 3 1 3 ) 对于a 1 ，( 3 1 3 ) 变为 i d 。i + 俐；) + p ( ；+ ；) e p 【t n ( 一) 一l + p 2 笋( ，。( s + 1 ) 一n ( 导一 ) d s ) 2 + p 量】+ c ( t + 1 ) 一p ( 3 1 4 ) j 0 现讨论如下； ( 1 ) 若竹( ；一) 1 ，即莉2 n a 2 取p = a t ，且在不等式( 3 1 4 ) 两边同乘以t n ，得 争( ；删哟d “( 一( h ) - i + t - 争即) + 一) + c ( t + 1 ) ， 关于t 积分，并在所的不等式两边同除以俨得 0 “i 曙+ i i 口8 ；c ( t n ( 一；) 一1 + t 一( 挚一号一1 + t 一号) + c 0 + 1 ) 一t + l + c 0 十1 ) 一n ( 3 1 5 ) 若 一 ”州 一 一 一 r r p ，iij、iil 若 即 即当n 4 ， 时，定理结论成立 半空间上b o u s s i n e s q 方程组在弱解的l 2 衰减 fn ( ；一 ) + 1 s i t r l ， 1n ( ；一 ) + l p l ， ：蕴曲他 隧b 姐 ( 3 ) 若n ( ；一) i ，即1 r 舞，由( 3 1 4 ) 得 翱n 8 ；+ 1 ) + p ( ；+ 例；) 印p n ( 一 ) 一1 + p 2 笋+ p 号】+ c ( t + 1 ) 一产 取p = 耐，且在不等式两边同乘以俨，得 争( ；+ 哟 c 矿一1 i t 一“( 一) 一1 + t 一( 号+ 1 ) - - t 一暑】+ c ( t + 1 ) n p 关于积分，并在所的不等式两边同除以t n 得t ( 3 1 8 ) 0 “眩+ i i 口l 睦c 【t 一“( 一) 一1 + 一( 号+ 1 + t 一都+ c o + 1 ) 一p + 1 十c o + 1 ) 一n c p n ( 一 ) 一1 + t 一量】+ c ( t + 1 ) 一p + 1 + c ( t + 1 ) 一a ( 3 1 9 ) 1 6 若 郧 即当竹4 ， 时，定理结论成立 硬士研究生毕业论文 jn ( ；一) + 1 量， 1n ( 一) + 1s p l ， ：蒙曲札 a 1 ， 1 r 2 ， _ f i n ( ；一；) + 2 最后我们研究b o u s s e s q 方程的解与s t o k e s 方程和热方程解的差的衰减估计 2 0 0 7 芷 定理3 4 与定理3 3 的条件一致，其中u ( t ) 是具有初值u o 的s t o k e 方程的解，h ( t ) 是具有初值e o 热方程的解则对于礼3 ，有 i l u ( t ) 一 ( t ) | 1 2 c t i n t i l 一 ) 一；， i o ( 0 一h ( t ) 1 1 2sc t 一 ( ；一 ) 一 ) 证明，定义u = u 一口，v = 口一h 设( u ，是b o u s s i n e s q 方程的解即 ft t a u + 扣v 扣+ 跏l = 口， ( 1 ) 10 t - a e + ( w v ) 0 = o ( 2 ) v 是相应的s t o k e s 方程的解，即地一a v + v p 2 = 0 ( 3 ) 半至同上b o u s s i n e s q 方程组在弱解的衰减 h 是相应的热方程的解，即j i t a h = 0 ( 4 ) ( 1 ) 一( 3 ) ，得 ( t 一钉h 一( t 一口) + ( 埘v ) u + v o w l 一p 2 ) = p ， 即 戚d _ u 一u + ( 切v ) t + v ( p l p 2 ) = 扫， u 作为试验函数，- 7 2 到 差桫i 层+ 2 i l v 训；= 一2 n ( 坩v ) “矿如+ 2 上口，c ，如 = 2 上v ) u “出+ 2 五p ， 2 上m - v ) c ，。t t 如= 2 上v ) 矿渺+ ”) 如= 2 正v ) u ”如 2 1 1 , ，1 1 0 0 1 1 t i ，1 1 2 1 1 v u i l 2si l v l l l l l ”l l ；+ i l v u i l ；， 1 7 2 f o i u 如 2 1 1 1 1 1 。i l o l l 2 i i u i l 2 _ 2 1 1 f l l 。l i 口2 i i u 一口0 2 2 i i ! l l 。i l o l l 2 ( i l “1 1 2 + 8 ”i i ：) 又 0 a 矿屺p ( 1 l u i l l i e ( p ) u i i ；) 所以 爰| | u o ；+ p i i u i i l - p l i e ( p ) u i i ；+ u ”o 蝥o ”| | ；+ 2 1 1 1 1 1 。il 0 1 1 2 ( o 。1 1 2 + i i 。忆) ( 3 2 0 ) ( 2 ) 一( 4 ) ，得 ( 0 一h ) t 一徊一_ i ) + ( v ) o = 0 ， 即 差y 一y + ( ”v ) o = o v 作为试验函数，可得到 勃刚；+ 2 u v ；= 一2 a ( ”v ) 口v 如= 2 上( v ) 矿姚 2 厶v ) y 日出2 上v ) y ( y + _ 1 1 ) 如2 五v ) 矿胁 硬士研究生毕业论文 s2 1 1 h l l o o l l , , , 1 1 2 i i v , 1 1 2 i i h l l l i l , , - l i ；+ 0 v 0 ；， 2 0 ( 3 7 矩 又 i l v v l l ；p ( 1 l v l ；一l l 豆( p ) v l l 2 ) ， 所以 知y i 睦+ p l 嗍p o 豆( 力y o ；+ 驯训至 ( 3 2 1 ) ( 3 2 0 ) + ( 3 2 1 ) ，得 知u l l ；十；) + p ( 1 l u i l ；+ i l v l l l ) p ( 1 i e ( p ) v l l ；l l + i i e ( p ) v l l ；) + 0 ”8 毛0 ”l 幢+ i i h l i l i i , 1 l ；+ 2 1 1 f l l 。1 1 0 1 1 2 ( i i u o z + 1 1 1 1 2 ) ( 3 2 2 ) 由定理3 知 i l u l l 2 d 一( 一) 一，i l o l l 2 d n i i 一 ) 一 由s t o k e 方程知： n 口l i 乙c t - ；一1 i l y t 0 1 1 7 ，i l v l l ；d n ( ；一 ) 一1 8 “o 孵 由热方程知： i l h l l lsd 一；i i 0 0 1 1 2 r ，i l h l l ；c t n ( 一 ) 一1 i l y e o l l ； 代入( 3 1 8 ) 得： 象( o u 8 ；+ i l v l l ；) + p ( 1 l u i l ；+ i l v l l ；) 0 ，由于 所以 t ( t ) = e 一“t o j 。te - ( t - s ) p ( ( t l ，v ) t 一o f ) d 8 ， u ( t ) = 一t e - o 一m e c ( v m 一占，) 幽 又 所以 又 半空同上b o u s s i u e m ：l 方程组在弱解的l 2 衰减 1 9 口( t ) e t a 一上0 t e ( t - s ) ap ( ”，v ) 口如 h ( t ) = e t a 0 0 ， v ( t ) 一r e ( t q ) p ( ”v ) 眦 i i e ( p ) u i l 2s 印2 # - i i 。o