（机械设计及理论专业论文）基于扩展stribeck效应的摩擦实验建模及系统动力学研究.pdf

p h d d i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt os h a n g h a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y r e s e a r c h e so f e x p e r i m e n t a lm o d e l i n g a n d 一 1n - j 一 s y s t e md y n a m i c s0 i i 量r i c t i o n sl o n c e r n i n g e x t e n d e ds t r i b e c ke f f e c t a u t h o r ：z h a n gx i n g a n g s p e c i a l t y ：m e c h a n i c a ld e s i g na n dt h e o r y a d v i s o r ：p r o f m e n gg u a n g s t a t ek e yl a b o r a t o r yo fm e c h a n i c a ls y s t e ma n dv i b r a t i o n s h a n g h a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y s e p t e m b e r , 2 0 0 9 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 亏& 叫 醐：1 年岁胎相 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密日。 ( 请在以上方框内打“4 ) 学位论文作者签名：琴锰 日期：叫年月札日 指导教师签 日期：几7 年7 月枷 上海交通大学博士学位论文答辩决议书 所在 姓名张新刚学号 0 0 4 0 2 0 9 0 8 4 机械设计及理论 学科 指导教师 孟光 答辩 2 0 0 9 0 9 2 9 答辩i ：海交通大学闵行校区机械与动力工程学院 日期 地点j 论文题目 基于扩展s t r i b e c k 效应的摩擦实验建模及系统动力学研究 投票表决结果： ( 同意票数实到委员数应到委员数)答辩结论：口通过口未通过 评语和决议： 张新刚同学的博士学位论文基于扩展s t r i b e c k 效应的摩擦实验建模及系统动力学研 究在国家自然科学基金项目、联合技术研究中心与上海交通大学合作项目及国家建设高 水平大学公派研究生项目( 2 0 0 7 ) 的共同支持下，对滑动摩擦进行了理论与实验研究，论 文的主要创新点如下： 1 ) 在实验中发现了摩擦在润滑条件下存在法向位移与切线位移、切向速度间的滞回特 性，并从摩擦接触界面微观角度出发，对实验现象进行了理论建模及数值仿真，给出了物 理解释。 2 ) 通过实验观察发现了摩擦过冲的现象，给出了定性的物理解释，并通过提出鬃毛等效 质j l ；：概念，基于b o u c w e n 的单状态变j l ；：摩擦力模型，描述了摩擦过冲特性。 3 ) 扩展了s t r i b e c k 效应的定义及函数曲线适用范围，使其能够以描述相对运行速度、正压 力及加速度对摩擦力的影响。并在此基础上提出新的g b m 摩擦力模型。 论文结构合理，论述清晰，数值计算和实验结果可信，反映出作者已经具备了本专业 坚实的理论基础和专业知识，具备了较强的独立从事科研工作的能力。答辩过程思路清 晰，回答问题准确。论文已经达到了对工学博士学位论文的要求，答辩委员会经无记名投 票，五票一致通过论文答辩，建议授予该生工学博士学位。 职务姓名 职称 单位签名 主席 朱昌明教授上海交通大学 体岛砚 答 蝴凇厄 辩 委员恽伟君教授振动与冲击编辑部 委 委员 吴天行教授 上海交通大学 黑又 、 员 a 委员 蒋伟康 教授上海交通大学 薪彬 a 成 缈赢瑚 口 委员 张桂才副教授u t r c c 美国联合技术研究中心 贝 签 委员 。l 名 委员 秘书 刘芳 博士后 上海交通大学3 、，i 并 套 鼍：， 一一囊 ，一萨f一 上海交通大学博十学位论文 基于扩展s t rib e c k 效应的摩擦 实验建模及系统动力学研究 摘要 摩擦是一门十分古老而年轻的科学，已经证实摩擦存在于人类生活的方方面面， 在机械领域，摩擦扮演着尤为关键的角色。对摩擦特性及其线性，非线性因素的全 面考量和精确控制，对于提高机械加工精度，产品质量，延长运行寿命具有至关重 要的作用。 课题从考虑摩擦在机械工程中所起的作用与影响出发，旨在研究含摩擦环节的 机械系统实验、建模、识别以及结构的动力学特性。通过对含摩擦系统进行多方实 验的基础上，分析研究摩擦的静态和动态特性，并结合实验数据，提出全新的摩擦 力模型，使之尽可能多的描述并预测实验中所呈现的摩擦特性，并利用此模型对含 摩擦系统低速下的粘滑现象及相关动力学特性进行了分析和探讨。 论文首先概述了摩擦的定义和历史，通过“静、动”两个概念及区别，分类介 绍了当前已知的摩擦特性，在此基础上，按照不同的建模思路，分别介绍了静态摩 擦模型和动态摩擦模型的原理及优缺点，并简述了含摩擦系统动力学特性并重点关 注粘滑、极限环等由摩擦引发的非线性环节的研究进展。 根据机械工程领域的实际研究目标，从宏观角度出发研究摩擦的动静态特性， 对电梯导轨与导靴靴衬间的横向及纵向摩擦特性做了详细的实验研究。通过设计不 同的测试装置，采用不同的摩擦材料，通过大量的实验，测试并分析了摩擦力随接 触界面间正压力、相对速度、润滑状态变化的情况，研究了摩擦力在预滑动和宏观 滑动阶段的静态及动态摩擦特性，发现并提出摩擦过冲( f r i c t i o no v e r s h o o t ) 概念。 对实验得到的s t r i b e c k 曲线模型进行了参数化研究，针对界面磨损对摩擦特性的影 响，从宏观及微观角度分别进行了实验研究、分析及对比，并得到一些有意义的结 果。为后续的摩擦模型的建模和结构系统的动力特性分析提供必要的实验基础。 在实验基础上，提出了一个新的基于b o u c w e n 的单状态变量摩擦力模型( 简 称s s v ) 。通过引入规范化的b o u c w e n 模型，可以比较精确的描述摩擦力在预滑动 阶段的滞回行为。同时并入一个速度的指数函数以及加速度的线性函数，使得模型 可以描述摩擦宏观阶段的s t r i b e c k 效应，以及相应的速度滞后特性。根据鬃毛模型 平均变形的理念，提出鬃毛平均等效质量的概念，使之可以描述从预滑动到宏观滑 摘要 动阶段间的摩擦过冲特性，同时实现了两阶段间的光滑过渡。通过与实验数据的对 比以及与l u g r e 模型的比较，此模型可以很好的拟合实测数据，在描述预滑动及摩 擦过冲方面，较其他摩擦力模型更加有效。 基于旋转式摩擦试验机，进一步验证了摩擦滞回及速度滞后特性，并实验考察 了单向速度激励下，摩擦在宏观滑动阶段的滞后特性。对预滑动范围内的摩擦非局 部记忆效应进行了实验研究，发现在润滑条件下，摩擦力与位移在预滑动阶段成近 似线性关系。获得了不同正压力下的s t r i b e c k 摩擦力曲线及摩擦系数曲线，并扩展 了s t r i b e c k 曲线的定义范围，使其能够用一个公式预测在不同正压力和相对运行速 度下的摩擦力，经实验数据验证具有良好的准确性。考查了摩擦切向与法向间运动 的耦合关系，首次发现摩擦在润滑条件下存在法向位移与切线位移间的交叉滞回， 及法向位移与切向速度间的滞回特性。从微观角度出发，在物理意义上对此现象进 行了阐述及解释，并据此进行了理论建模。模型结构简单，易于识别，并具备进一 步扩展的能力。通过模型仿真与实验数据的对比，证实了模型的合理性及有效性。 实验以旋转式摩擦实验的研究结果为基础，将实验精度由毫米级提升至微米级，其 结果不仅加深了对摩擦机理及特性的理解，并对高精度摩擦模型的发展提供了必要 的实验基础。 基于直线往复和旋转式摩擦实验结果，提出一个新的高精度摩擦力模型：广义 b o u c w e nm a x w e l l s l i p 摩擦模型( 简称g b m ) 。在摩擦预滑动阶段，g b m 模型用 一系列含库仑摩擦的弹簧振子模拟预滑动阶段的摩擦特性；在宏观滑动阶段，则采 用了改进的b o u c w e n 模型和含变摩擦系数的扩展s t r i b e c k 曲线。通过与四个常用 摩擦力模型在描述摩擦特性方面的对比与实验验证，表明g b m 模型在描述摩擦滞 回、速度滞后、s t r i b e c k 效应、摩擦过冲、正压力相关等方面均优于其他模型。而 且g b m 利用m a x w e l l s l i p 模型中含有多个变量的优点，从而比较好的描述了预滑 动阶段非局部记忆效应及非漂移特性。模型在宏观滑动阶段使用的是单状态变量微 分方程，在预滑动阶段依靠多变量的代数方程，平衡了效率与性能。另外，通过简 化模型参数，g b m 模型可以退化为d a h l 、l u g r e 、s s v 、g m s 及其它模型，具有 良好的适应性。总而言之，对于摩擦模型的选择，应根据不同的实际应用需求来进 行。当系统精度或实时性需求不高时，d a h l 、l u g r e 甚至库仑摩擦模型即可满足需 求；对于高精度及实时性( 如精确定位等控制领域) 的需求，g b m 模型是较为理 想的选择。 以单自由度链式模型为研究对象，详细分析了含摩擦机械系统产生粘滑运动的 现象与机理。探讨了由粘滑运动引发的两类振动，一是不同的激励速度所导致系统 以不同频率做粘滞滑动粘滞的反复运动，表现为物体沿相对平衡位置做往复的低 l l 上海交通大学博十学位论文 频振动，且振动频率与系统固有频率无关；而是伴随往复运动，系统在粘滞阶段还 存在高频振动，这与一般认识上的粘滞即停止不同。通过定性、定量及与实验结果 的对比分析表明，系统在粘滞阶段的高频振动频率不是单一固定值而是分布在一定 宽度的频域内，其来源于摩擦预滑动阶段摩擦界面问不断变化的接触刚度，而摩擦 阻尼及系统自身阻尼是高频振动逐渐衰减的原因。当系统发生粘滑运动时，系统响 应随激励速度、系统刚度及阻尼的变化而呈周期、拟周期及混沌运动交替变化的形 式。当激励速度、刚度及阻尼逐渐增大时，系统均呈现出逐渐从混沌运动状态向稳 定的周期运动转变的趋势；伴随这一转变趋势，系统粘滑运动也会随参数值的增大 而逐渐衰弱至消失，进而变为摩擦引起的准谐调周期振动，在理论极限情况下，准 谐调运动也会消失。 本文的研究方法和结论对于推进摩擦实验研究、摩擦特性研究、摩擦模型的建 模以及加深对机械系统粘滑现象的认识，提高系统的工作精度和使用寿命，具有一 定的参考价值。 关键词：摩擦实验，s t r i b e c k 效应，b o u c - w e n 模型，m a x w e l l s l i p 模型，粘滑运动， 分岔 i i i 上海交通大学博+ 学位论文 r e s e a r c h e so fe x p e r i m e n t a lm o d e l i n ga n ds y s t e md y n a m i c s o hf r i ct i o n scq re x t e n d e ds t r i b e c ke rlctloiis o n c e r n i n 2x t e n d e dt r i b e c e f l 。- e c t a b s t r a c t f r i c t i o n ，w h i c hb e l o n g st ot h et e r mo ft r i b o l o g y , i say o u n gs c i e n t i f i cd i s c i p l i n e w i t hl o n gh i s t o r y i th a sb e e np r o v e dt oe x i s ti ne v e r ya s p e c to f d a i l yl i v e s i nm e c h a n i c a l f i e l d s ，f r i c t i o na c t sa sa ne s p e c i a l l yi m p o r t a n tr o l e t h ef u l lu n d e r s t a n da n dc o n t r o lo ft h e f r i c t i o n a lc h a r a c t e r i s t i c si sc r i t i c a lf o ri m p r o v i n gm a c h i n i n gp r e e i s i o n sa n dp r o d u c t q u a l i t i e s ，p r o l o n g i n gs e r v i c el i f e t i m e t h et h e s i si si n i t i a t e df r o mt h ev i e w p o i n to fh o wf r i c t i o na c t si nt h em e c h a n i c a l e n g i n g e e r i n g ，a i m e dt oe x p l o r et h ee x p e r i m e n t s ，t h e o r e t i c a lm o d e l i n g ，i d e n t i f i c a t i o n ， d y n a m i c a lp r o p e r t yo fs y s t e m sw i t hf r i c t i o n a c c o r d i n gt op r o f o u n de x p e r i m e n t s ，t h e s t a t i ca n dd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c sa r ea n a l y s e da n dn e wf r i c t i o nm o d e li s p r o v i d e d ， w h i c hi sa b l et od e s c r i b ea n dp r e d i c tt h o s ee x p e r i m e n t a l l yo b s e r v e dp h e n o m e n o na s m a n y a sp o s s i b l e i na d d i t i o n ，t h es t i c k s l i pe f f e c to f s y s t e mw i t hf r i c t i o n a lp a r t si nl o w v e l o c i t yr a n g e si si n v e s t i g a t e du s i n gt h en e w l yp r o v i d e df r i c t i o nm o d e l f i r s t l y , t h ed e f i n i t i o na n dh i s t o r yo ff r i c t i o ni ss u m m a r i z e d i nt e r m so f “s t a t i ca n d d y n a m i c ”，t h es t a t e - o f - t h e - a r to f 衔c t i o n a lc h a r a c t e r i s t i c si sc l a s s i f i e d i nt h el i g h to ft h i s p o i n t ，t h es t a t i ca n dd y n a m i c a lf r i c t i o nm o d e l sa n dt h e i rm e r i t sa n dd r a w b a c k sa le i n t r o d u c e di nt h i sw o r k t h ec u r r e n tr e s e a r c h i n gp r o g r e s so nn o n l i n e a rr e p o n s e so f s y s t e mw i t hf r i c t i o n a lp a r t ss u c ha ss t i c k s l i pa n dl i m i tc y c l i n ga r ea l s ob r i e f l yp r e s e n t e d s e c o n d l y ，b a s e do nt h ep r a t i c a lr e s e a r c ht a r g e ti nm e c h a n i c a le n g i n e e r i n gf i e l d ，t h e l a t e r a l v e r t i c a lf r i c t i o nc h a r a c t e r i s t i c sb e t w e e nr a i la n dg u i d es h o e p a di na ne l e v a t o r s y s t e ma l ei n v e s t i g a t e dm a c r o s c o p i c a l l y b yd e s i g n i n gd i f f e r e n tt e s tr i g s ，c h o o s i n g d i f f e r e n tf r i c t i o nm a t e r i a l sa n dp e r f o r m i n gal a r g ea m o u n to ft e s t s ，t h ep r o p e r t yo f f r i c t i o nw i t hr e s p e c tt ot h ev a r i a t i o no fn o r m a l l o a d s 。r e l a t i v ev e l o c i t i e sa n dl u b r i c a t i o n a i c o n d i t i o n si se x a m i n e d t h es t a t i ca n dd y n a m i c a lp r o p e r t i e so ff r i c t i o ni nt h es t a g eo f i v a b s t r a c t p r e s l i d i n ga n dg r o s ss l i d i n ga r ea l s os t u d i e d ，w h i c hr e s u l t s i nt h ef i n d i n go ff r i c t i o n o v e r s h o o tp r o p e r t yi nt h et r a n s f o r m i n gs t a g ef r o mp r e s l i d i n gt og r o s ss l i d i n g t h e e x p e r i m e n t a l l yo b t a i n e ds t r i b e c kc u r v ef o rd i f f e r e n tn o r m a l l o a d sa n dm a t e r i a l sa r e p a r a m e t e r i z e d t h ee f f e c t so fw e a ro nt h ef r i c t i o n a lp r o p e r t i e so fs u r f a c ei nc o n t a c t a r e c a r r i e do u ta n da n a l y s e db ye x p e r i m e n t sm a c r o s c o p i c a l l ya n dm i c r o s c o p i c a l l y s o m e m e a n i n g f u lr e s u l t sa r ev i s u a l i z e dw h i c hp r o v i d eae x p e r i m e n t a lb a s i sf o rf u t u r ef r i c t i o n m o d e l i n g s b a s e do nt h el i n e a r l yr e c i p r o c a t i n g f r i c t i o nt e s t s ，an e wb o u c - w e nb a s e d s i n g l e s t a t e v a r i a b l ef r i c t i o nm o d e l ( t e r m e d 嬲s s v ) i sp r e s e n t e d b yi n t r o d u c i n g t h e n o r m a l i z e db o u c w e nm o d e l ，t h en e wm o d e li sa b l et od e s c r i b et h eb e h a v i o r so ff r i c t i o n i nt h ep r e s l i d i n gs t a g ep r e c i s e l y m e a n w h i l e ，ae x p o n e n t i a lf u n c t i o nw i t hr e s p e c tt o v e l o c i t ya n dal i n e a rf u n c t i o nw i t hr e s p e c tt o a c c e r l a t i o na r ea d d e d ，w h i c hm a k ei t p o s s i b l ef o rt h en e wm o d e lt od e s c r i b et h es t r i b e c ke f f e c ta n df r i c t i o nl a gh a p p e n e di n g r o s ss l i d i n gs t a g e a c c o r d i n gt o t h ed e f i n i t i o no fa v e r a g ei n f l e c t i o ni nt h eb r i s t l et h e o r y , t h ea v e r a g ee f f e c t i v em a s so fb r i s t l ei sd e f i n e d ，w h i c h i s c a p a b l et op r e d i c tt h e e x p e r i m e n t a l l yf o u n df r i c t i o no v e r s h o o tp r o p e r t ys m o o t h l yd u r i n gt h et r a n s a t i o nf r o m p r e s l i d i n gt og r o s ss l i d i n gr e g i m e t h ec o m p a r i s o n sb e t w e e ns i m u l a t i o nu s i n gs s v a n d l u g r em o d e la n dt h ee x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e df r i c t i o nm o d e lg i v e s b e t t e rr e s u l t st h a nt r a d i t i o n a lm o d e lw i t h o u tl o s i n gt h ef l e x i b i l i t y r e l y e do nar o t a t i o n a lt r i b o m e t e r , t h ef r i c t i o nh y s t e r e s i sa n df r i c t i o nl a g 羽f u r t h e r v e r i f i e d ，a n dt h ef r i c t i o nl a gu n d e rt h eu n i d i r e c t i o n a lv e l o c i t ye x c i t a t i o ni ng r o s ss l i d i n g r e g i m ei sa l s oi n v e s t i g a t e d t h en o n - l o c a lm e m o r ye f f e c t i nl u b r i c a t e dc o n d i t i o ni s e v a l u e da sw e l l t h et e s t ss h o wt h a tt h ef i c t i o nf o r c ev a r i e sl i n e a r l yw i t hr e s p e c tt o d i s p l a c m e n ti nt h es t a g eo fp r e - s l i d i n gw h i c h i sd i f f e r e n tf r o mt h ec a s e so fd r yf r i c t i o n s t h ew o r k i n gr a n g eo ft h es t r i b e c kc u r v ei sw i d e n e db ym e a s u r i n gs t r i b e c kc u r v e su n d e r d i f f e r e n tn o r m a ll o a d s t h ei m p r o v e ds t r i b e c kc u r v eb e c o m e st h ef u n c t i o no fn o r m a l l o a db e s i d e st h er e l a t i v ev e l o c i t y t h ec o u p l i n gr e l a t i o n sb e t w e e nt a n g e n t i a la n dn o r m a l m o t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d ，i ti st h ef i r s tt i m et oo b s e r v eac r o s sh y s t e r e t i cr e l a t i o n s b e t w e e nn o r m a la n dt a n g e n t i a ld i s p l a c e m e n t sa n dah y s t e r e t i cr e l a t i o n s h i pb e t w e e n n o r m a ld i s p l a c e m e n ta n dt a n g e n t i a lv e l o c i t y b a s e do nt h e s er e s u l t s ，at h e o r e t i c a lm o d e i i sp r o p o s e df r o mt h ep h y s i c a l l ym i c r o s c o p i cv i e w p o i n t ，a n di sv a l i d a t e db yc o m p a r i n g v 一卜 海交通大学博十学位论文 t h es i m u l a t i o n sw i t ht h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t s t h em e a s u r i n gp r e c i s i o no ft h er o t a t i o n a l t r i b o m e t e ri su p g r a d e df r o mt h em i l l i m e t e rl e v e lt ot h em i c r o m e t e ri e v e lc o m p a r e dw i t h t h el i n e a r l yr e c i p r o c a t i n gf r i c t i o nt e s tr i g ，w h i c hg i v e sam o r ep r o f u n du n d e r s t a n d i n go f f r i c t i o nc h a r a c t e r i s t i c sa n di sn e c e s s a r yf o rd e v e l o p i n gh i g hp r e c i s i o nf r i t i o nm o d e l s g r o u n d e do nt h el i n e a rr e c i p r o c a t i n ga n dr o t a t i o n a lf r i c t i o nm e a s u r e m e n t s ，t h e g e n e r a l i z e db o u c w e nm a x w e l l s l i pm o d e l ( n a m e da st h eg b mm o d e l ) i sd e v e l o p e d t h eg b mm o d e lu s e sas e r i e so fp a r a l l e l l yc o n n e c t e ds p r i n ga n df r i c t i o ne l e m e n t st o s i m u l a t ep r o p e r t i e si nt h ep r e - s l i d i n gs t a g e ；w h i l ei nt h eg r o s ss l i d i n gs t a g e ，t h ee x t e n d e d s t r i b e c kc u r v ea n di m p r o v e db o u c - w e nm o d e li su t il i z e d a c c o r d i n gt oc o m p a r i s o n s b e t w e e nf o u rf r i c t i o nm o d e l s ，i ti sc l e a rt h a tt h eg b mm o d e lp e r f o r m sb e t t e ro n p r e d i c t i n gf r i c t i o nh y s t e r e s i s ，f r i c t i o nl a g ，s t r i b e c ke f f e c t , f r i c t i o no v e r s h o o ta n d n o r m a l v a r i a t i o n st h a no t h e rm o d e l s a tt h es a m et i m e g b mm o d e li sa b l et od e s c r i b et h e n o n 1 0 c a lm e m o r ya n dn o n d r i f t i n gp r o p e r t yi nt h es t a g eo fp r e s l i d i n gb e c a u s eo ft h e 楚 i n c o r p o r a t i o no fm a x w e l l s l i pe l e m e n t s t h em o d e le q u a t i o n su s e di np r e - s l i d i n gs t a g e i s o n es i g n l e s t a t e - v a r i a b l eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w h i l ei nt h eg r o s ss l i d i n gs t a g e ， i tr e l i e so ns e v e r a lm u l t i v a r i a b l ea l g e b r ae q u a t i o n sw h i c hb a l a n c e dt h ee f f i e c i e n c ya n d p e r f o r m a n c eo ft h eg b mm o d e l i na d d i t i o n ，t h eg b m i sa b l et ob o i l e dd o w nt ot h ed a h l ， l u g r e ，s s va n dg m s m o d e lb ys i m p l i f y i n gm o d e lp a r a m e t e r s ，m a k i n gi tq u i t es u i t a b l e i nt h ef i l e d sw h e r eh i g hp r e c i s i o na n dr e a lt i m ec o n t r o la b i l i t i e sa r ee x t r e m e l y 鬟 a p p r e c i a t e d t a k i n gt h es i n g l ed e g r e eo ff r e e d o mt r a i nm o d e la st h er e s e a r c ho b j e c t t h es t i c k 。s l i p e f f e c ta n di t sm e c h a n i s mi ns t r u c t u r e sw i t h 衔c t i o n a lp a r t sa r ea n a l y s e di nd e t a i l t w o t y p e so fv i b r a t i o n si n d u c e db ys t i c k s l i pm o t i o na r ed i c u s s e d o n e i st h ec y c l i n go f s t i c k s l i p s t i c km o t i o n ，r u n n i n gi nd i f f e r e n tf r e q u e n c i e sb e i n g e x c i t e db yd i f f e r e n tp u l l i n g v e l o c i t i e s ，t a k i n gt h ef o r mo fr e c i p r o c a t i n gm o t i o na l o n g t h er e l a t i v ee q u i l i b r i u mp o s i t i o n o ft h eo b j e c tm ，a n dt h ef r e q u e n c yi si r r e l e v a n tw i t ht h en a t u r a lf r e q u e n c yt h eo t h e ri s t h eh i g hf r e q u e n c yv i b r a t i o ni nt h es t a g eo fs t i c km o t i o n t h eq u a l i t a t i v e ，q u a n t i t a t i v e a n a l y s e sa n de x p e r i m e n t a lv e r i c a t i o ns h o w t h a tt h eh i g hf r e q u e n c yo ft h ev i b r a t i o ni sn o t a c c u m u l a t e di ns i n g l ev a l u ef r e q u e n c yb u tad i s t r i b u t e df r e q u e n c yr a n g e ，w h i c hc o m e f r o mt h ev a r y i n gs t i f f n e s sb e t w e e ns u r f a c e si nc o n t a c t w h e ns y s t e mi si ns t i c k - s l i p m o t i o n ，t h es y s t e mr e s p o n s ec a nb ep e r i o d i c ，q u a s i p e r i o d i ca n dc h a o sw i t ht h ec h a n g eo f v l p u l l i n gv e l o c i t i e s ，s y s t e ms t i f f n e s sa n dv i s c o u s w h e nt h e s ep a r a m e t e r s a r ei n c r e a s i n g ， s v s t e mm o t i o nt e n d st ob es t a b ili z e dp e r i o d i cm o t i o nf r o mc h a o s a l o n gw i t ht h i st r e n d ， t