（基础数学专业论文）二次表示满足lk（x）b（x）c的欧氏空间的超曲面.pdfVIP

摘要 二次表示满足l 。z = 厩+ c 的欧氏空间的超曲面 摘要 设工：m “_ e ”1 为e ”1 的连通的可定向超曲面，i = 麒( t 表示转置) 为肘“ 的二次表示。我们研究了e “中二次表示满足t z = 廒7 + c 的超曲面，其中丘是 超曲面的第k + 1 阶平均曲率的线性算子( k - - o 。，n - 1 为固定值) ，b 和c 都是 n + l 阶常方阵，l uj i t a n 在 5 中研究了e ”1 中二次表示满足量= 威+ c 的子流 形，其中= l o 为子流形的拉普拉斯算子，本文拓广文 5 】中的全部结论到二次表 示满足厶勇= 厨+ c 的超曲面。 关键词：高阶平均曲率，线性算子也，二次表示，超曲面 玎 a b s l y a c t h y p e r s u r f a c e s i nt h ee u c l i d e a ns p a c ew h o s e q u a d r i cr e p r e s e n t a t i o n ss a t i s f y 厶i = 厨+ c a b s t r a c t 瞰x ：m ”一e ”“b ea l lo r i e n t , a b l eh y p e r s u f f a c ei m m e r s e di n t ot h ee u c l i d e a ns p a c e t h en 诅p 膏= x x ( td e n o t e 仃a n s p o 嘲i sc a l l e dt h eq m l , i cr e p r e s e n t a t i o no fm ”w es t u d yt h e h y p e r s u r f a c ei n e ”+ w h i c hs a t i s f y 工孑= 占f + c ，w h e r e 上ti st h el i n c a r i z e do p e r a t o ro f t h e ( 1 【+ 1 ) t h m e 觚o , z r v a i u l t o f h y p e r s u r f a c e f o ra 矗x e dk = o ，珂一1 ba n d ca r e t w oc o n s t a n t m a m c e s i n 5 】，j ，l ug a v es m er e s u l t so i ls u b m a n i f o l d sw h i c hs a t i s f y 聋= 廒+ c i nt h e p r e s e n tp a p e rw eg e n e r a l i z et h ea b o v er e s u l t s k e ”v o r dh i 曲日o r d e rm e c u r v a n j r e ；l i n e a r z e do p e n t o r 丘；q u a d f i cr e p r e s e n t a t i o n ； 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直星太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：弦支虞签字日期：硼年，- 月“日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：弘支苁 签字日期：枷年肛月多日 日 、穆7 勃朋 批 年 钐7 眵枷 名 期 签 日 师 字 导 签 1 引言 1 、引言 设r 4 、s ”分别表示n l 维欧氏空间和单位球面。t a k a h a s h i 在 1 0 】中证明：若 等距浸入工：m ”- 4 r “满足a x = 一2 x ，其中是拉普拉斯算子，则m ”在r “中 或者是极小的，或者在某个超球面s n + k - i ( r ) 中是极小的。g a r a y 在 2 】中将此定理 推广到满足缸= 历的超曲面x ：m ”_ r ，其中d 为n + l 阶常对角矩阵，证 明了这样的超曲面m 或者极小，或者为球面或柱面的开集。l u i sj a l i a s 等在 6 】 中讨论了胄“1 中满足l 。x = a x + 6 的超曲面，其中k 固定，0 s k n l ，a 为 n + 1 阶常方阵，b 为且”1 中的常向量，证明了这样的超曲面或者第k + 1 个平均曲 率为零或者为球面或广义圆柱面s ”( r ) 足”4 ( 七+ 1 m 行一1 ) 的开集。按定义， 厶) = 矿( 只。v 2 ，) ( 参见 7 】、【9 】) ，其中厂为m ”上的光滑函数，只为第k 阶牛顿变换。k = 0 时，l o = 就是我们熟知的拉普拉斯算子，k = l 时，厶就 是c h e n gs y 和y a us t 在 1 中用来研究具有常数量曲率的超曲面性质的算子 口。 映射聋：m ”_ s m ( n + 1 ) ，p h 舅( p ) = z ( p ) 工( p ) 7 ，( t 表示转置) ，称为超曲面 的肘”的二次表示，其中s m ( n + 1 ) 表示( n + 1 ) x ( n + 1 ) 实对称矩阵空间。在 3 中，i d i m i a i c 给出t - - 次表示的一般结论。在 4 】中，l uj i t a n 给出了欧氏空间 中满足亨= 廒+ c 的超曲面的一些分类结果，其中b 和c 为常矩阵，并且在 5 】 中进一步给出了欧氏空间中满足譬= 厨+ c 的子流形的一些结论。随后，欧阳 崇珍和邱天珍在【7 】中推广到伪欧氏空间的伪黎曼子流形上，给出了类似的结 果。 本文讨论满足厶量= b y + c 的超曲面，得到了这类超曲面的一些性质，并且 2 预备知识 还研究了在b 0 、c = 0 ，b = 0 、 下超曲面应该满足的性质。在k = l 时， c 0 和b = 0 、c = 0 这三个特殊情况 我们得到：当c = 0 时，这样的超曲面 是“ 中的超平面；当c 0 、b = 0 时，它是e “2 中的等参超曲面。最后，固定的k 0 我们给出二次表示满足l z = 0 的超曲面的具体例子：超平面和广义圆柱面 s ”( ，) e ”。 2 、预备知识 设x ：m ”- - 4 点”1 是e ”1 的连通的可定向超曲面，n 为m ”在e ”1 中的单位 法向量场。v ，亨，哥分别为m 4 ，e “ s m ( n + 1 ) 中的l e v i e i v i t a 联络。则 超曲面m ”的高斯公式和w e i n g a r t e n 公式为 可x y = v x y + ( s ) ( ，y n ， 巩n = 一s x ， 其中x ，y e z f m ) ，s 为m 的形算子。 设p m ”，p l ，叩。) 为在p 的主方向向量构成的l m 上的一组幺正基，对 应主曲率为k l ( p ) ，吒p ) ，相关的n 元代数不变式为 以( p ) = 七。p ) k o ) ， ( 1 s k 力) ， h q 则超曲面的k 阶平均曲率巩定义为 ( 班毡棚姗毗其虬乩 经典牛顿变换只：z ( m ) 一z ( m ) ， 2 2 预备知识 f ik = 0 只。i ( ：) 日t ，一s 。只一。，七= ，一 显然， q ，e 。) 也沿p k ( p ) 的特征方向，k 0 时，对应的特征值为 ， ( p ) = 七1 ( p ) k 。( p ) ， 1 i 疗 搿q 对于经典牛顿变换，有以下代数性质【8 】： f r ( 只) = c k 日女， t r ( s 。只) = q h + 1 ， c 。= c 行一七，( ： = c 七+ ，( ：十。 定义二阶线性微分算子 l 。：c 。( m ) 寸c ”( m ) ，厶) = 护( 只。v 2 ) 关于厶，有以下结论 6 】： l k x = ck hk “n ， 三t ( f g ) = ( l k f ) g + f ( l t g ) + 2 ， f ，g c ”( 吖) 定义映射 ：e ”卅e ”“- + s m ( n + 1 ) ，( v ，w ) 卜矿w = 矿矽+ 孵， 则 v w = w v 关于映射，有以下性质 3 】： 帚，( 彤) = ( e ) + 彤( _ r ) ， = + ， 其中v ，彬，巧，e “ 于是，对于任意固定的向量口，b e ”1 ，有 上 = 2 l k ( ) 3 一般情况 = 2 厶 + 2 厶 + 4 = 2 c 以+ 】 + 2 q h i + j “ = 2 c i h t 卅 + 2 ，j ， j 1 1 其中口7 表示口的切向部分。 l k ( x 功= 2 c t 峨+ l z + 2 h p ，g i = 1 3 、一般情况 定理1 设x ：m ”- - 9 , e ”1 为”1 的连通的可定向超曲面。若m ”的平均曲率 为常数，第k + 1 阶平均曲率日也为常数，且二次表示满足t i = b + c ，其 中b 和c 为n + l 阶常方阵，则以。s o 或m “是e “的二次超曲面( 或其开集) 。 证明： k - - o 的情况已经由l uj i t a n 在 5 】中解决，下面我们只讨论某个k21 的情况。 1 由( 1 ) 和 旱= ：x x ，得 c k h k + l x 事+ 耻p p ，= 厨+ c i - 1 v y z ( m ) ，上式两边关于y 求导数得 + 2 1 6 j + 乞】= ( b r 孑+ 殷 y ) ( 3 ) 式与n n 作内积得 4 ( 2 ) ( 3 ) 勺 q ) y l叫 一 2+e 弦 所( y 。 + 、j y ( s x f研咋 一 y +峨q 3 一般情况 0 = 下面分两种情况讨论： ( i ) ：0 ，即x z ( 膨) v y z c m ) ，上式两边关于y 求导数得 0 = 一 = 一 ， s x = 0 v z z ( m ) ，( 3 ) 式与z n 作内积得 q 匝+ + 喜和。 一j 1 ( + ) = 0 ， 令y = z = 工，则 q h i + l 一 - - - - ( c k h “ 一 ) = 0 ，( 4 ) 又令y = z - - e ，则 c 爿j + l + 2 t 一一i 1 ( + ) = o ， 上式关于j 求和得 n c 。以。+ 2 q 巩。一三( + 甩 ) = o ， 擞，声等署q 阢。 ( 5 ) 将( 5 ) 式代入( 4 ) 式得 等q 以。 五工扣o 故x 0 时，h i “= 0 又峨+ l 为常数，日i “；0 ( i i ) 0 ，贝0 = 0 ，v y z ( m ) ( 3 ) 式与z n 作内积得 c k h + i q h + 1 + 2 啦 ，爿 5 3 一般情况 一三( + ) = o ， ( 6 ) ( 一 ) = 0 ， - - - - ( 6 ) 式中，令，= e ，z = p ，( ，) ，得 = 0 又 = 0 ，b e ，平行于e ，e j 为b 的特征向量， b e ，= h i e ，b j 为常数，( i = l ，挖) ”z ( m ) ，对 - 关于x 求导数 x = x ， 左边= + - - - - - + = + + 右边= + b ( v j z + ) ，j ， + = + + ： s z = s y 若b n 与不平行，取膨”上一组正交基 e l ，e ) ，使得( 剧d 7 与e 。平行，则 s e , b n , e s e i ， s e , = 0 ，( i 2 2 ) ，h t “= 0 若b n 与平行，则n 也为b 的特征向量，b n = k 。n ， 瓦。为常数。 在( 6 ) 式中，令y = z = e ，则 q h k + i - c k 巩+ 1 t + 2 t ， 一i 1 ( + ) 6 3 一般情况 = q h k + l - - c k 峨+ l 七， + 2 七，一j 1 ( + = 2 = 2 b j = 2 b l = b l y ，v y x ( m ) 故 - b i 为常数， m ”是”的一个二次超曲面或其开集。 定理2 设x ：m “_ e ”1 为e “的连通的可定向超曲面，k 0 若肘”的二 次表示满足丘i = 厥7 ，其中b 为n + l 阶非零常方阵，则膨“是e “1 中过原点的 超平面或二次超曲面( 或其开集) 。 证明：同定理1 的证明，现在 厨一。以q x , n - 鸬j p ，p ，= 0 ( 7 ) ，一1 ( 7 ) 式与e ，p ，作内积得 7 3 一般情况 - 2 一= 0 ，( ，= l ，玎) ( 8 ) ( 8 ) 式关于j 求和得 - 2 c 饥= 0 ， ( 9 ) ( 7 ) 式与y n 作内积得 妄( + ) 一唧日州 = o ，v y z ( m ) ， 二 ( 擞) + ( - 2 c 1 月川玲7 = 0 ( 1 0 ) ( 7 ) 式与n n 作内积得 ( - 2 c 女巩+ 1 ) = 0 ( 1 1 ) 下分三种情况讨论： i ) = 0 且 - 2 c 女玩+ l 0 时 由( 1 0 ) 式得x 7 = 0 ，从而工z0 ，矛盾! i i ) = o 且 _ 2 q 风+ l = 0 时， v y z ( m ) ，y = 一( 融，y = 0 ，s x = 0 ，x 沿x ( o ) 处的主方向。 在x ( o ) 的邻域，取主方向向量构成的局部幺正标架 e ，e n ，且e ，与x 平行， 则k l = o 由( 8 ) 式得2 = = 。- = 0 ， 又由 = 0 b x ，e i 工，e 1 ) = 2 一 ( 7 ) 变成 三擞x 一一t e l * q - 0 ， 与x e o 2 ) 作内积得 = 0 s o = 。h ，一q得 l i 式 “ ， 3 一般情况 x 地 o ) ，其中c 为n + 1 阶非零常方阵，则 m “的第k + 1 阶平均曲率h z 0 证明现在由( 1 ) 得 c k h k + 1 x + h q q = c ， ，l 关于y z ( m ) 求导数得 + 2 ，j n e 】= 0 ( 1 2 ) 式与n n 作内积得 2 q 】，( 峨“) = 0 下分两种情况讨论： 9 ( 1 2 ) 勺 弦 r ( 上 “ 。一 2 + p 弦 j y 。 +盯 x “ 日 气 一 r “ 日 以 + 净“ 阿 ( y q 3 一般情况 i ) 若h m 不为常数，则 = 0 ， y = 一 = 0 ， s x = 0 ，x 沿工件0 ) 处的主方向。 在x ( o ) 的邻域，取主方向向量构成的幺j 下标架p ，e 。) ，且q 与工平行，则 k l = 0 ( 1 2 ) 式与e n ( i 2 ) 作内积得 ( q 日+ 2 七，) = 0 吼h + 1 + 2 k 。， = 0 ， ( m 2 ) 又k ，= 0 ，关于n l 求和得 ( 聆一1 ) c t h “i + 2 c i h k + i = 0 ， h “= 0 ，矛盾! i i ) 若日。为常数， ( 1 2 ) 式与e ，( ，= 1 ，玎) 作内积得 c t 吼+ l 一+ i + 2 = 0 ( 1 3 ) 上式中令y = e ，且对，求和得 & h k + 1 ( n + 2 一n h j ) = 0 假定0 ，则 ：等( 常凯 关于y x ( m ) 求方向导数得 s x 7 y = 0 ， ，s x 7 = 0 1 0 4k = l 的情况 由( 1 3 ) 式，我们有 q h k + l y q s y + 2 s 。只y = 0 ( 1 4 ) ( 1 4 ) 式中令y = x 7 并与x 7 作内积得 q h “l _ 0 ， - q - o 一= 等，膨”为半径r = 等的超球面( 或其开集) 于是，n 1 ，矛盾! n k + is - o 特别地，当c = 0 时，我们有 定理4 设x ：m ”- + e ”1 为e ”1 的连通的可定向超曲面，k 0 若m “的二 次表示满足厶z = 0 ，则m ”的第k 阶和第k + l 阶平均曲率都为零。 证明现在由( 1 ) 得 q 以+ 1 x + ，p ，p ，= o ， i - i 与x n 作内积得h 。“= 0 则( 1 5 ) 式变为 一- q = o ( 1 6 ) 式与p ，+ p ，作内积得 = 0 ，v i = 1 ，一 h k = 0 4 、k = l 的情况 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 4k = l 的情况 k = 1 时，l 。就是c h e n g , s y 和y a u ，s t 在【1 】中算子口 定理5 设x ：m ”寸e ”1 为e ”的连通的可定向超曲面。若m ”的二次表示 满足口= 菇，其中b 为n + l 阶非零常方阵，则”是e ”中过原点的超平面 ( 或其开集) 。 证明由定理2 的证明， = 0 ，且 - 2 c 1 = 0 ，则 k i = 0 ，1 2 2 1 - i t 。1 = 0 k ，+ k 4 + - + 七。= 0 k 2 + 七4 + + k 。= 0 k 2 + k s + + k l = 0 r o11 1 101 1 d e t i l 。 1 1 11 0 = ( 一1 ) ”。0 ， k 2 一一k = 0 ， 又 = 0 ，故肘”是e ”1 中过原点的超平面( 或其开集) 。 定理6 设工：m 8 一e “为“的连通的可定向超曲面。若髟”具有常平均 曲率且二次表示满足口z = c ，其中c 为n + 1 阶非零常方阵，则m “为e “1 中 的等参超曲面。 证明现在由( 1 ) 得 c f l 2 x + u i 】q q = c t - 1 由定理3 知h 2 = 0 ，以，为常数 又h j 为常数，k l ，k 。都为常数，m ”为e “中的等参超曲面。 1 2 5 实例 满足口量= 0 的充要条件是m ”为e ”1 中的超平面( 或其开集) 。 证明由于( 1 ) ，充分性是显然的 必要性：由定理4 知 h 1 = 0 ， v 扛1 ，栉 k l 一一k 。= 0 ，m “是e ”1 中的超平面( 或其开集) 。 5 实例 由【4 】知道，e ”中二次表示满足舅= 0 的超曲面是不存在的。但是，对固定 的七( 0 ) ，满足i = 0 的超曲面是存在的。显然，超平面的二次表示满足此 条件。我们还有下面例子： 倒设膨”为e ”中广义圆柱面s ”( ，) e “1 ，其中， 0 ，1 s m k - 1 ， ( 七 1 ) 经过e ”1 中的一个刚体运动，m ”可由以下方程表示： 工? + x ；+ + x ：+ 1 = r 2 ，x = ( x l ，x 。+ l ，x 。+ 1 ) e ”+ 1 有单位法向量场 ( 工) ：一三( 毛，x 。，o ，o ) 膨”的主曲率 ：k ，：一1 ，k ，+ 1 ：吒：0 f j = 0 ，( f = 1 ，舸) ，h i + l = 0 故 工t z = q h k “x + p e 。= o 致谢 致谢 本文从选题、开题到最终完成的过程，都得到了欧阳崇珍教授的悉心指导 和无私帮助，作者借此机会表示衷心的感谢! 先生细致、严谨、创新的治学精 神和谦虚宽宏无私的做人风范使作者在学习和生活中终生收益，将永远是作者 学习的榜样：先生爱生如子的情怀，无微不至的关怀让作者深受感动，点点滴 滴，永驻脑海! 研究生阶段学习三年来，黎镇琦教授、黄安民教授、王仲才教授、刘理蔚 教授等都给我不同方式的帮助和教诲，本院其他许多老师也给予我热心的帮助， 作者在此也表示衷心的感谢! 同窗好友魏灵燕、陈小民、张超锋等两年多来和我一起学习、生活，一起 讨论问题，互相帮助，共同勉励，得到很多有益启发，也感谢他们对我真诚的 帮助。 1 4 张文庆 2 0 0 7 年1 1 月 参考文献 参考文献 【l 】c h e n g s t , y a u s t ，h y p e r s u r f a c e s w i t hc o n s t a n t s c a l a rc u r v a t u r e m a t h a n n 2 2 5 ，1 9 5 - 2 0 4 ( 1 9 7 7 ) 2 】g a r a y ，o j 加e x t e n s i o no f t a k a h a s h i st h e o r e m g e o m d e d i e a t a3 4 ，1 0 5 11 2 ( 1 9 9 0 ) 【3 】d i m i t r i ci ，q u a “cr e p r e s e n t a t i o n o fas u b m a n i f o l d p r o c l n l c r m a t h s o c ，1 1 4 ， 2 0 1 - 2 1o f l 9 9 2 ) 【4 】hj ，h y p e r s u r f a e ew i t hs p e c i a lq u a d r i cr e p r e s e n t a t i o n , b l l l l a u s t lm a t h s o c ，5 6 ， 2 2 7 - 2 3 射1 9 9 7 ) 【5 】l uj ，s u b m a n i f o l d sw h o s eq u a d r i cr e p r e s e n t a t i o n ss a t i s f y 量= 厨+ c ，k o d a im a t h j 2 0 ，1 3 5 - 1 4 2 ( 1 9 9 7 ) 【6 】l u i sj a l i a s ，n e v i nc r u l b u za ne x t e n s i o no ft a k a h