（农业水土工程专业论文）谏壁抽水站泵房下部结构三维有限元分析.pdf

摘要 目施，泵房结构的主要分析方法有：结构力学法、材料力学法和有限单元法。 在泵站结构分析的过程中通常将结构简化为二维平面问题进行近似处理，但这种 近似计算的结构往往与实际的空| b j 分析有一定差异。对大型泵站，由于进出水流 道的形状不规则以及泵房内出于设备管道的前】置在整个结构内部产生诸多大小 形状不一的空腔，使得泵房结构整体几何形状不够规则，再加上荷载和边界条件 的复杂性，对泵房结构进行三维空间分析是很有必要的。 本文结合实际工程镇江市谏壁抽水站，采用有限元分析软件a n s y s 对 泵房下部结构进行建模，按照工程结构设计时的各荷载工况，对泵房结构进行三 维有限元分析。根据泵房的位移、应力的最大值和位置以及选取典型断面的节点 处位移、应力值，对泵房结构的位移、应力情况进行分析，并对谏壁抽水站的整 体结构设计进行评价。将有限元处理的内力值与结构力学简化计算的内力值进行 初步比较，查找分析产生差别的原因。根据后处理结果得到有限元计算的最大拉 应力位置和内力值，选取一些典型断面来分析产生较大拉应力的大致位置及其产 生的原因，对与其同类型的大型泵站的结构设计配筋提供参考。 通过有限元分析的结果与采用平面简化计算得到的结果对比，可以看出有限 元方法具有较大的应用前景，比较切合工程实际。本文通过在各个工况荷载下结 构的变形和内力分析，验证了有限元方法在大型泵站结构分析中的可行性。 关键词：谏壁抽水站：泵房下部结构；有限单元法；位移；拉应力；内力分析 a b s t r a c t a tp r e s e n t ，t h em a i nm e t h o d si nt h es t r e s sa n a l y s i sa n dt h es t a b i l i t ya n a l y s i so f t h ep u m p i n gs t a t i o na r e ：m e c h a n i c so fs t r u c t u r e sm e t h o d ，m e c h a n i c so fm a t e r i a l s m e t h o d ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d i nt h es t r u c t u r a la n a l y s i so f t h ep u m p i n gs t a t i o n ，i ti sa c o m m o nw a yt h a tt h es p e c i a ls t r u c t u r ei sa s s u m e da sp l a n ep r o b l e m s b u tt h er e s u l t s o ft h es i m p l i f i e dm e t h o di sc u r s o r y , b e c a u s et h e r ee x i s t sl a r g ed i f f e r e n c e sw i t ht h e t r u er e s u l t s a st h el a r g ep u m p i n gs t a t i o nt ob ec o n c e r n e d ，i t sg e o m e t r i cf o r m so ft h e i n l e ta n do u t l e tf l o wp a s s a g ea n dd e v i c e sd i s t r i b u t i o na r ec o m p l e x ，w h i c hm a d et h e g e o m e t r i cf o r m sa r ev e r ya n o m a l i s t i c t h el o a d sd i s t r i b u t i o na n dc o n s t r a i nc o n d i t i o n s a r ea l s ou n e q u a l ，s ot h a tt h ew h o l ep u m p i n gh o u s ei sv e r yc o m p l e x , w h i c hm a d et h a t i ti sn e c e s s a r yt oc a r r yo u ts p a c i a lt h r e e - d i m e n s i o n a la n a l y s i sf o rt h el a r g ep u m p i n g h o u s e t h i sp a p e ri sw r i t t e nc o m b i n e dw i t ht h ee n g i n e e r i n go fj i a n b ip u m p i n gs t a t i o n ， w h i c hi sl o c a t e di nz h e nj i a n ge i t y t h r e e d i m e n s i o n a lf i n i t ee l e m e n tm o d e lo ft h e p u m p i n gh o u s ei n f r a s t r u c t u r ei ss e tu p ，i nw h i c ht h es p a c i a le l e m e n tm o d e li sa d o p t e d t os i m u l a t et h es t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i c su n d e rt h el o a d so fe a c hc o n d i t i o n a c c o r d i n g t ot h em a x i m u mo f t h ed i s p l a c e m e n ta n ds t r e s sa n dt h e i rl o c a t i o n , t h i sp a p e ra n a l y z e s t h es t r e s sa n dd i s p l a c e m e n tc o n d i t i o no ft h ep u m p i n gh o u s ei n f r a s t r u c t u r e t h r o u g h t h ea n a l y s i so f t h et y p i c a ln o d e si nt h ec h o s e ns e c t i o n s ，t h i sp a p e ra p p r a i s e st h ew h o l e s t r u c t u r a ld e s i g r m a e n to ft h ep u m p i n gs t a t i o n t h ei n t e r n a lf o r c eo ft h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o dc o m p a r e sw i t ht h ep l a n er e s u l t so f t h em e c h a n i c so f s t r u c t u r em e t h o d ，f i n d i n g t h ed i f f e r e n c e sb e t w e e nt h e m ，a n dt h e n a n a l y z i n g t h er e a s o n i nt h eg e n e r a l p o s t p r o c e s s o ro f a n s y s ，t h ev a l u e sa n dl o c a t i o n so f t h em a x i m a lt e n s i l es t r e s sc a nb e a c q u i r e d t h r o u g ht h ea n a l y s i so ft h ec h o s e nt y p i c a ls e c t i o n ，t h em a i nl o c a t i o n so f b i g g i s ht e n s i l es t r e s si nt h ew h o l ep u m p i n gh o u s ei n f r a s t r u c t u r ec o u l db eg o t ，a n dt h e r e a s o nw h yc a u s et h et e n s i l es t r e s si sa n a l y z e d ，w h i c hc o u l db et h er e f e r e n c et ot h e s t r u c t u r a lr e i n f o r c e dd e s i g n i n gi nt h es i m i l a rt y p eo f t h el a r g e - s c a l ep u m p i n gs t a t i o n c o m p a r e dt oo t h e rs i m p l i f i e da n a l y t i c a lm e t h o d ，f e mp r o v i d e sm u c hf e a s i b i l i t y a n df o r e g r o u n df o rt h ep u m p i n gs t a t i o n ss t r u c t u r a ld e s i g n t h ep a p e rh a sv a l i d a t e d t h ea p p l i c a b i l i t yo ff e ma p p l i e dt ot h es t r u c t u r a la n a l y s i so ft h el a r g e - s c a l ep u m p i n g s t a t i o n ，u t i l i z i n gt h ea n a l y t i c a lr e s u l t so fs t r u c t u r a ld i s p l a c e m e n ta n di n t e r n a lf o r c ei n e v e r yc o n d i t i o no f l o a df o r c e k e yw o r d s ：j i a n b ip u m p i n gs t a t i o n ；p u m p i n gh o u s ei n f r a s t r u c t u r e ；f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ；d i s p l a c e m e n t ；t e n s i l es t r e s s ；i n t e r n a lf o r c ea n a l y s i s 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： 岛i 埴枷哆年；月3 日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期 刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电 子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允 许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河 海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ： 塑蕴 妒7 年j月岁 日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 双向进出水流道块基型泵房是一个多层复杂的空间结构，一般分为进出水流 道层、水泵层、联轴层、电机层。用常规的结构力学分析方法难以得出各组合部 件的内力，合理的方法是用三维有限单元法求解，而在设计规范中，钢筋混凝土 结构构件承载能力极限状态计算则是根据截面的结构内力进行的，以此确定截面 的配筋率，并判断结构设计是否合理。因此建立根据有限元计算成果合理求解结 构内力的方法是十分必要的。 应用有限元内力法分析时，关键是要确定指定截面上节点所属单元的信息， 由这些单元信息通过内力法就可以求出截面上的各个节点的约束内力值，进而求 得截面上的结构内力值。对于一般比较复杂的结构来说，三维有限元网格比较复 杂，而且内力分析需要多个截面，用人工处理，工作量非常大，人工准备信息非 常费时费力，为此提出了由计算机生成求解有限元内力所需截面信息的方法【。 1 2 国内外泵站结构形式简介 泵房是安装主机组和辅助设备的建筑物，是泵站的主体工程，其主要作用是 为主机组和运行人员提供良好的工作条件。泵房结构型式主要与进、出水水位的 变化幅度、水泵机组的类型和结构型式、工程地质条件等因素有关。排灌泵站泵 房结构形式较多，常用的有固定式和移动式两种嘲。 1 2 1 固定式泵房 固定式泵房按基础形式的特点又可分为分基型、干室型、湿室型和块基型四 种【3 】。 1 2 1 1 分基型泵房 这种泵房的房屋基础与机组的基础分开，无水下部分，结构简单，施工方便。 由于机组基础与房屋基础分开，因此，机组运行时的振动不至于影响到整个泵房。 泵房位于地面以上，通风、采光和防潮条件都较好，机组运行、检修方便。对中 小型卧式离心泵和混流泵，分基型泵房是最常用的泵房型式之一。分基型泵房适 河海大学硕士学位论文 用于水源水位变幅较小，水泵吸程较高，有较好的地质条件和水文地质条件【4 1 。 1 2 1 2 干室型泵房 在水源水位变幅较大时，若采用分基型泵房，则在高水位时易造成向泵房内 渗水，影响泵站的安全和正常运行。为此，干室型泵房恰能解决这些问题。这种 泵房的结构形式有地上和地下两层结构：地上结构与分基型泵房基本相同，地下 结构为不能进水的干室，室内安装水泵机组。干室型泵房的底板和侧墙都是用钢 筋混凝土整体浇筑，形成一个不透水的泵室。千室型泵房的平面形状一般为矩形， 挡水墙顶部高程在最高水位以上，底板高程按最低水位和水泵气蚀性能决定。机 房内布置整齐，安装、运行、检修及通风、采光条件均较好。这种型式的泵房和 分基型泵房相比，结构复杂，造价更高，但一般适用于以下场合：水源水位变幅 大于水泵有效吸程；用分基型泵房在技术、经济上不合理，例如当水源水位变幅 较大时，为了采用分基型泵房，需要在引渠上建闸控制水位。这样不仅增加了工 程投资，也加大了提水扬程，从而增加了提水成本，在这种情况下应考虑采用干 室型泵房；地质和水文地质条件较差圈。 1 2 1 3 湿室型泵房 湿室型泵房一般分为两层：上层为电机层，泵房下层有一个与前池相通并充 满水的地下室，结构较为简掣q 。根据地形、地质及建筑材料等条件，湿室型泵 房的结构型式又可分为墩墙式、排架式、圆筒式、箱式及污工泵房等五种。其主 要特点是泵房的下部有一个与前池相通的、并充满水的地下室。湿室不仅起着进 水池的作用，同时湿室中的水重可以平衡部分水的浮托力，增加了泵房的整体稳 定。湿室型泵房在平原、河网地区的低扬程泵站中应用最为广泛。 1 2 1 4 块基型泵房 这是大型泵站常见的一种泵房型式。大型水泵的口径大，机组重量也大。根 据块基型泵房的特点，可适用于口径大于1 2 0 0 r a m 的大型水泵；由于该泵房型式 本身重量大，抗浮和抗滑稳定性好。在需要泵房直接挡水时，采用块基型较为有 利；由于块基型结构整体性好，可适用于各种地基条件。块基型泵房的结构型式 很多，其主要影响因素与水泵机组的结构型式、进出水流道型式和主机组的支承 结构型式等有关。根据水泵结构型式，块基型泵房有立式、斜式、卧式机组的泵 2 第一章绪论 房。由于水泵流量大，要求进口有良好的流态，因此要求有精心设计的进水流道。 为了节省工程投资和增加泵房的整体稳定性，常常将泵座、进水流道和泵房底板 浇筑在一起【刀。 1 2 2 移动式泵房 移动式泵房可分为泵船和泵车两种【引。泵房结构形式的确定，主要根据主机 组结构性能、水源水位变幅、地基条件及枢纽布置，通过技术经济比较，择优选 定。泵船既可随水位变化作升降移动，又可作平面移动；泵车一般只固定在一处 随水位变化作升降运动。前者用于河网湖区，小而灵活机动；后者用于水源水位 变化幅度较大的地区，如从水库取水的泵站。 1 3 谏壁抽水站泵房结构简介 谏壁抽水站是我国第一座采用双向进出水流道的大型块基型泵站。进水流道 与泵房底板整体浇筑，形成一块状基础结构作为整个泵房的基础，这类泵房整体 性好，抗震能力强，适用于立式、卧式和贯流式各种机组。其中以用于立式机组 的泵房结构较为复杂，通常由下至上分为：进水流道层、水泵层、联轴层和电机 层。进水流道层通常布置进水流道、廊道、空箱等，水泵层安装主水泵和供、排 水设备，联轴层主要安装联轴器、电缆及油气水管路，电机层安装电动机和电气 设备及其他辅助设备。这种泵房结构既可以承担灌溉任务，又可以承担排水任务， 配套建筑物相应较多，要考虑合理布置。为满足自引、自排及双向提水需要，常 常将流道设计成“x ”形，即双向流道闸站结合型式。一般站房下层既是进水流 道，又可作为引水或排水的涵洞，上层是出水流道，进水和出水都为双向。双向 流道闸站结合布置占地面积小，节省工程投资，便于管理。 1 , 4 问题的提出 目前对泵站厂房结构应力及稳定分析方法有：材料力学法、结构力学法和有 限元法。结构力学法和材料力学法在泵站厂房应力及稳定分析计算中比较简单， 但是对于比较复杂的厂房结构过于简化计算模型将导致计算结果不能反映厂房 结构的实际应力状态，尤其在某些应力状态比较复杂的部位由于过于简化而引起 计算结果错误，而且结构力学法和材料力学法对于求解瞬态及动力学问题也比较 河海大学硕士学位论文 困难。 泵房结构主要包括泵房底板，进、出水流道，机墩，排架，吊车梁等结构。 从严格意义上讲，泵房结构是一个空间结构，只要某一局部受到荷载的作用，整 个体系都要受到影响而产生一定的内力，因此要分析泵房结构的受力情况是一个 比较复杂的问题。为了简化计算，通常将复杂的空间三维结构简化为二维板梁或 桁架结构进行近似计算。但这种计算的简化过程很难控制，在这种情况下，工程 设计往往只进行一些近似的分析，然后依靠设计者的经验、己建工程的类比、模 型试验和适当加大安全系数等方法来保证工程的安全。 对于泵站的底板等下部结构在几何上是一个复杂的空间结构而言，荷载的分 布往往也很复杂，几何特征和荷载特性均与弹性理论中的平面应变条件有较大的 差别，且对于大型泵站底板，由于涉及机电设备布置和流道的影响，其几何形状 和荷载分布相当复杂。对于这样的空问体系，如果简化为平面问题分析，误差将 更显著。按照空间问题进行底板、地基和上部结构的联合受力分析，可以比较精 确地求得其应力和变形情况。 有限单元法是结构分析的一种数值计算方法，它是结构分析矩阵方法的一个 分支。有限单元法的理论基础是变分原理，它的适用性强，应用范围广，不仅能 成功地分析具有复杂边界条件、非线性、非均质材料、动力学等难题，而且还可 以推广到解答数学方程中的其它边值问题。而且，随着计算机的发展，有限元方 法已使结构分析所能处理的规模和深度进入到一个崭新的发展阶段，对于一个多 层复杂的空间结构，用常规的结构力学分析方法难以得出各组合部件的内力，合 理的方法是用三维有限单元法求解。 目前，有限元应用于泵房结构分析中并不多见，主要有台儿庄泵房结构分析 研究等，这类进行分析的泵房结构一般为块基型泵房，随着双向进出水流道在工 程中的运用越来越多，因此对双向迸出水流道大型块基型泵房的结构分析研究很 有必要，而且很有新意，应用前景也很广阔。 1 5 本文主要工作 由于人工计算处理泵房结构工作量大，费时费力，不能够满足现代化发展的 要求，为此本文提出用有限元单元法来进行结构分析，运用有限元分析软件 a n s y s 来对具体工程实例镇江市谏壁抽水站泵房下部结构进行三维空间有限元 4 第一章绪论 分析，并将一些典型部件的结果与人工计算和测试的数据对比。通过对计算结果 的分析，对站身结构的合理性进行评价，并对泵房结构关键部位的应力应变进行 理论分析，查找引起变化的原因，从而给出满足工程设计要求的结论性意见。 本文主要完成以下工作： l 、阅读大量文献，查阅大量参考资料，了解国内外泵站发展情况，并简单 讲述了双向进出水流道泵房的结构形式。 2 、介绍三维有限单元法的基本理论，以及有限元中常用的高斯积分法，并 简要讲述有限元分析软件a n s y s 的功能和应用，对混凝土单元，即s o l i d 6 5 的一些特性进行简单概述。 3 、结合工程实例镇江市谏壁抽水站，进行有限元分析计算。在熟悉资料的 基础上，运用a n s y s 有限元分析软件对其泵房部分进行建模并划分网格。 4 、对各种时期下的泵房结构选择相应的荷载类型和大小，然后利用a n s y s 进行求解，并进行后处理分析。将分析结果与其用结构力学简化的计算结果进行 比较，分析产生差别的原因。并利用有限元软件分析泵房结构的位移、应力和内 力值，对泵房最大拉应力的位置和大小进行分析。 5 河海大学硕士学位论文 第二章有限元单元法及a n s y s 软件简介 有限元方法是求解各种复杂数学物理问题的重要方法，是处理各种复杂工程 问题的重要分析手段，也是进行科学研究的重要工具。该方法的应用和实施包括 三个方面：计算原理、计算机软件、计算机硬件【1 0 】。这三个方面是相互联系的， 缺一不可。正是由于计算机技术的飞速发发展，才使得有限元方法的应用如此广 泛和普及，使之成为最常用的分析工具，目前，国际上有9 0 的机械产品和装备 都要采用有限元方法进行分析，进而进行设计修改和优化。实际上有限元分析已 成为替代大量实物试验的数值化“虚拟试验”，基于该方法的大量计算分析与典 型的验证性试验相结合，可以做到高效率和低成本。 在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，都可以归结为在定边界 条件下求解其控制方程、常微分方程或者偏微分方程的问题。但是能够采用解析 方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单、几何形状相当规则的问题。对于 大多数的工程技术问题，由于方程的某些非线性特征，或者由于求解区域的几何 形状比较复杂，则不能够得到解析的答案。这类问题的解决通常有两种途径。一 是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简 化状态下的解。但是这种方法只在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能 导致误差很大甚至错误的解答。另一种途径是保留问题的复杂性，利用数值计算 方法求得问题的近似数值解，随着电子计算机的飞速发展和广泛使用，已逐步趋 向于采用这种方法来求解复杂的工程实际问题。而有限元法便是解决这些复杂工 程问题的一个比较新颖并且十分有效的数值方法【1 4 1 。 2 1 有限元方法的历史 有限元法的基本思想早在二十世纪四十年代初期就有人提出，但真正用于工 程中则是在电子计算机出现以后。“有限元单元法”这一名称是1 9 6 0 年美国的 d o u g l l l w 在篇名为“平面应力分析的有限元法”论文中首先使用的。4 0 年来， 随着现代力学、计算数学和计算机技术等科学的日益发展，有限元法的理论和应 用都得到了迅速、持续的发展。有限单元法是目前工程技术领域中实用性最强， 应用最为广泛的数值方法，它的应用已由弹性力学平面问题扩展到空问问题、板 壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题；分析对象从弹 6 第二章有限单元法及a n s y s 软件简介 性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等；从固体力学扩展到流体力学、 传热学、电磁学等领域；在工程分析中的作用已经从分析和校核扩展到优化设计 和计算机辅助设计相结合，成为科学研究和工程计算的一种最重要的方法。 2 0 世纪4 0 年代，由于航空事业的飞速发展，对飞机结构提出了愈来愈高的 要求，即重量轻、强度高、刚度好，人们不得不进行精确的设计和计算，正是在 这一背景下，逐渐在工程中产生了矩阵力学分析方法。1 9 6 0 年c l o u g h 在处理平 面弹性问题时，第一次提出并使用“有限元方法”的名称。随后大量的工程师开 始使用这一离散方法来处理结构分析、流体问题、热传导等复杂问题。1 9 7 0 年 以后，有限元方法开始应用于处理非线性和大变形问题。但由于当时计算机的发 展状态和计算能力的限制，还只能处理一些较简单的实际问题。 在工程师研究和应用有限元方法的同时，一些数学家也在研究有限元方法的 数学基础。还有学者进一步研究了加权残值法与有限元方法的关系，对于一些尚 未确定出能量泛函的复杂问题，也可以建立起有限元分析的基本方程，这可以将 有限元方法的应用领域大大地扩展。 有限元方法的基本思想和原理是“简单”而又“朴素”的，由于有限元方法 在科学研究和工程分析中的作用和地位，关于有限元方法的研究已成为数值计算 的主流。目前，专业的著名有限元分析软件公司有几十家，国际上著名的通用有 限元分析软件有a n s y s ，a b a q u s ，m s c n a s t r a n 等1 3 6 2 2 有限元单元法的主要内容 固体结构有限元分析的力学基础是弹性力学，而方程求解的原理是采用加权 残值法或泛函极值原理，实现的方法是数值离散技术，最后的技术载体是有限元 分析软件。在处理实际问题时需要基于计算机硬件平台来进行处理。因此，有限 元分析的主要内容包括：基本变量和力学方程、数学求解原理、离散结构和连续 体的有限元分析实现、各种应用领域、分析中的建模技巧、分析实现的软件平台 等【5 l 】。 2 2 1 有限单元法的弹性力学基础 弹性力学基本的力学变量包括： 位移一一1 l v w ，描述物体变形后的位置； 7 应变一一气，描述物体的变形程度： 应力一一o u ，描述物体的受力状态。 受外部作用的任意形状变形体，在其微小体元d x d y d z 中，基于位移、应变、 应力这三大类变量，可以建立以下三大类方程及两类边界条件： 平衡方程：受力状况的描述 j + z = 0( 2 1 ) 式中：乃。一i 方向应力变化； z i 方向体力。 几何方程：变形程度的描述 1 白2寺+“”)(2-2) 式中：气- i j 平面内应变； 扯u ，u 一位移偏导数。 物理方程：材料描述 ou=e嘲8h(2-3) 式中：e 一材料弹性模量。 位移边界条件： 砧l - - - - u j在瓯上(2-4) 应力边界条件： 仃f 雄，= 奶在s ，上( 2 5 ) 对上面的力学变量及方程进行小结如下： 空间问题的独立变量的数目：3 个位移分量，6 个应力分量，6 个应变分量， 共1 5 个变量。 空间问题的独立方程的数目：3 个平衡方程，6 个几何方程，6 个物理方程， 共1 5 个方程，外加两类边界条件。 第二章有限单元法及a n s y s 软件简介 2 2 2 最小势能原理 弹性问题中的自然能量包括两类：施自n # t - 力在可能位移上所做的功，变 形体由于变形而存储的能量【5 ”。 由自然能量所组合的物理量有：应变能( 以位移为基本变量的表达) 、余应 变能( 以应力为基本变量的表达) 等，它们的表达式如下： 应变能 形= i 仃：& d r ； 余应变能彤= i 占：& r d v 由虚功方程： f 吼咖= j z 面，咖+ j 劢，d s r， s o 可以将上式改写为： 彤= n 血。西+ f 劢，d s y 品 式( 2 7 ) 即为位移变分方程。它表明： ( 2 6 ) ( 2 - 7 ) 弹性体应变能的变分等于外力虚功。 弹性体的总势能j 等于应变能与外力势能之和，即 ，( ) = 圪+ 珞 ( 2 8 ) 其中，匕为弹性体的应变能，咋为外力势能。 上式展开即为： j ( u i ) = l d 、，一n u i d v 一西l d s ( 2 - 9 ) r p 品 而总势能变分满足： 彩= 0 由此可见，在给定外力的作用下，实际存在的位移使总势能变分为零。由此 可以导出极小势能原理：在所有变形可能的位移中，实际存在的位移使总势能取 极小值。 事实上，最小势能原理等价于平衡方程和应力边界条件。 2 2 3 有限单元法的基本思路 由于最小势能原理引入的试函数只需满足位移边界条件，对函数连续性要求 相对较低，而且这种方法具有较好的规范性、较低的难度、较低的函数连续性要 9 河海大学硕士学位论文 求、较明显的物理概念、较好的通用性，使得最小势能原理的求解方法具有较明 显的综合优势，因此，可以在该原理的基础上发展出能广泛适用于工程中任意复 杂问题的求解方法。 因此，在具备大规模计算能力的前提下，将复杂的几何物体等效离散为一系 列的标准形状的几何体，再在标准的几何体上研究规范化的试函数表达及其全场 试函数的构建，然后利用最小势能原理建立起力学问题的线性方程组，这就是有 限元方法的基本思路。 有限元分析的基本原理实际上就是最小势能原理，不同之处，即技术核心所 在就是采用分段离散的方式来组合出全场几何域上的试函数，而不是直接寻求全 场上的试函数，往往这种分段表达的试函数很简单，但又带来数值计算量大的麻 烦，随着计算机技术的发展，这已不是什么困难，因此，有限元方法的真正发展 和广泛应用一定是和现代计算机技术的发展紧密相关的。 有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、并且按一定 方式相互联接在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联接方式进行组合， 而且单元本身又可以有不同形状，因此可采用有限个单元对几何形状复杂的求解 域进行离散。有限单元法作为数值分析方法的另一个重要特点是利用每一个单元 内假设的近似函数来分片地表示整个求解域上待求的未知场函数。单元内的近似 函数通常由未知场函数或者及其导数在单元的各个结点的数值和其插值函数来 表示。这样，该问题的有限元分析中，未知场函数或者及其导数在各个结点上的 数值就成为新的未知量( 即自由度) ，从而使一个连续的无限自由度问题变成离 散的有限自由度问题。一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个 单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然随着单元数目的 增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提 高，解的近似程度将不断改进。如果单元满足收敛要求，近似解最终将收敛于精 确解。 2 2 4 有限元分析的基本步骤及表达式 有限单元法基本步骤( 以杆单元为例) ，如下： 1 、物体几何区域的离散化 q = 罗q ，q 为具有某种特征的单元 1 0 第二章有限单元法及a n s y s 软件简介 首先将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，然后利用单元的节 点将离散后的单元与单元相互连接起来。单元节点的设置、性质、数目等应根据 问题的性质描述变形形态的需要和计算精度而定。一般情况下，单元划分越细则 描述变形情况越精确，越接近实际变形，但是这样计算量也越大。所以，有限元 法中分析的结构已经不是原有的连续物体或者结构，而是同样材料的众多单元以 一定方式联接成的离散体【跚。 2 、单元的研究( 所有力学信息都用节点位移来表达) 单元的节点描述 q = 【u i ，砧2 ，蚝。埘。】 单元的位移模式( 依据唯一确定性原则，完备性原则) 若有n 个节点，可以设定n 个待定系数，如 “( 善) = 4 0 + 4 l 手+ + 4 一i 善“1 f 为几何坐标。 物体或结构离散后，就可把单元中的一些物理量如位移、应变和应力等用节 点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数 来描述。通常，有限元法中我们将位移视为坐标变量的简单函数，这种函数称为 位移模式或位移函数。 物理量的表达( 所有力学量都用结点位移来表达) ”= ( 手) 。g ( 2 一1 0 ) s = b g ) a q ( 2 一1 1 ) 盯= d 曰( 卵。g ( 2 1 2 ) 口= 三，确一p v ( 2 - 1 3 ) 其中 k = j b r 娥 ( 2 1 4 ) p = r + f ( 2 1 5 ) p 包括两部分力：施加的节点外力( 或等效节点力) f 以及作用在约束上 河海大学硕士学位论文 的支反力r 。 单元的平衡关系 k 9 q = p 。 ( 2 1 6 ) 方程( 2 1 6 ) 的实质( 物理含义) 是单元体内的力平衡和单元节点上的力平 衡。 3 、装配集成 整体平衡关系 k 。q = p( 2 - 1 7 ) 其中装配关系为；9 2 g f ，足= 定，p = p ，并且p 由所施加的 所有外力f 和作用在约束上的所有支反力r 组成，即p = r + f 。 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找到单元 节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力 学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，推导出单元刚度矩阵。 物体或者结构离散后，假设力是通过节点从一个单元传递到另一个单元的。但是 对于实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元中去的。因而，作 用在单元边界上的表面力、体积力或者集中力都需要等效地移到节点上去，也就 是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。集合所有单元的平衡方程，建 立整体结构的平衡方程。先将各个单元刚度矩阵合成整体刚度矩阵然后将各单元 的等效节点力列阵集合成总的载荷列阵。由平衡方程组求解未知节点位移和计算 单元应力 6 2 1 。 4 、边界条件b c ( u ) 的处理并求解节点位移 目的是获得满足位移边界条件的许可位移场。对于由装配所得到的整体剐度 方程( 2 - 1 7 ) ，就整体节点位移q 而言，可以分解成对应于力边界条件b c ( p ) 的节点位移吼( 未知) 和对应于位移边界条件b c ( u ) 的节点位移一q k ( 已知) ， 就整体节点力p 而言，可以分解成对应于力边界条件b c ( p ) 的节点力巧( 已 知) 和对应于位移边界条件b c ( u ) 的节点力咒( 支反力) ，即 可：【g 。_ r ，p ：医r 】r 1 2 第二章有限单元法及a n s y s 软件简介 因此，将方程( 2 1 7 ) 写成分块矩阵的形式，有 匮乏甜图 睡 其中q 。为未知节点位移，吼为已知节点位移，r u 为未知节点力( 即支反力) ， 瓦为已知节点力( 一般为所施加的外力) 。由于物体的边界为a q = s u + s ，而 对应于位移边界s 。的节点物理量为：吼，r u ，对应于力边晃s ，的节点物理量为： 吼，瓦。可以看出，就分块矩阵的节点位移与节点力而言，其已知结点位移与 未知结点力相对应，而未知结点位移与已知节点力相对应，成为一种互补的关系。 也可以将( 2 1 8 ) 式写成以下两个方程： k l q 。+ 岛吼= e ( 2 - 1 9 ) k39。+置4qi=r(2-20) 可以先由( 2 - 1 9 ) 式直接求出未知节点位移 吼=置i1(ek2吼)(2-21) 5 、支反力的求取 在求出未知节点位移吼后，由上面的( 2 - 2 0 ) 式可以求出支反力 r 。= k 3 q 。+ k 4 9 t = k 3 酊1 ( 五一置2 9 t ) + 蜀g i ( 2 - 2 2 ) 6 、其他力学量的计算 由以上公式计算单元的应变及应力： 占= 口。g (2-23) 盯= d 口。g ( 2 2 4 ) 以上即为有限单元法求解的基本步骤，如图2 1 所示。 河海大学硕士学位论文 图2 1有限元分析的基本步骤 2 2 5 空间有限单元法简介 经过若干年的发展和完善，有限单元法由最初的二维有限元分析发展到现在 的三维有限元分析，二维有限元主要采用四节点单元，而三维有限元分析主要采 用八节点六面体单元和六节点五面体单元，本文主要介绍三维有限元分析并以8 节点空间等参单元为例进行力学分析【删。 l 、空间等参单元的位移模式及坐标变换式 三维有限元中，八节点六面体单元的单元模式如下： 位移模式： 1 4 第二章有限单元法及a n s y s 软件简介 bl8 “= 吩v = m 叶w = m m j i i，l i l f f i l 坐标变换： 0lt j = m 五j ，= n y ,z = 五 i f f i li - ii - ! ( 2 2 5 ) f 2 - 2 6 ) 其中的形函数为： = 吉( 1 + 蠡善) ( 1 + 仇j 7 ) ( 1 + 缶f ) ( i = l 2 ，8 )( 2 - 2 7 ) 为节点f 的插值形函数 2 、空间等参单元的雅克比矩阵及其逆矩阵 在进行空间等参单元的力学分析时，需要用到各个形函数对于整体坐标的导 数，根据复合函数求导的规则，有： 尝：譬李+ 譬凳+ 譬票( 2 - 2 8 ) a a a a va 8 z8 等等，所以有： 盟 8 o n , o r 盟 a 莲 并从而得： a o x o n , 咖 o n , 如 = 【，r 这里得【，】- 出 a f 如 a ，7 如 8 o n , 缸 o n , 勿 o n , 出 = 【，】 o n , o x o n , 砂 岔 ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) 称为雅各比矩阵，为了求得这个矩阵只须将 5 塑够鱼却互笛 盟鸳盟研丛暂 瑟一筲玉一却如一笛砂一鸳砂一幼砂一笛缸一管西一卸知一暂 河海大学硕士学位论文 ( 2 2 ) 代入，于是得： 【j 】= a i a a l 幼 盟 8 o n 2 鸳 o n 2 a 玎 盟 a a 8 8 a 8 a 珂 a m 8 咒 咒 ： 乃 ( 2 3 1 ) 求出各个形函数对于局部坐标的导数，代入上式，求出矩阵【卅，再求出逆 矩阵i 刀一，即可由式( 2 - 7 ) 求得各个形函数对整体坐标的导数。 3 、空间等参单元的力学分析 现对八节点等参单元进行力学分析，从而建立这种单元的荷载列阵、应力矩 阵和劲度矩阵。 ( 1 ) 荷载列阵 当单元在任一点受集中荷载 碍= 弓 r 时，载荷列阵的普遍公式仍 然取如下形式： 。= 【j r 户 ( 2 - 3 2 ) 这里： r 。= 【五kz l 五ez 2 z s 】 ( 2 3 3 ) 当单元受有分布体力 p = 弓e - 1 7 时，可用下式求得分布矩阵： r = j 【r 巾矿 ( 2 3 4 ) 当单元在某一边界上，例如在= 1 的玎f 面上受有分布面力 刁= j 矿三 7 时，可利用下式求得荷载矩阵： = i t 也。t 砷矿( 2 - 3 5 ) 盟西盟却盟够 。m。h 乃 乃 咒 一凿叭一却盟西。m。m 葺 薯 而 叭一影叫一却一西。m。d。h 第二章有限单元法及a n s y s 软件简介 ( 2 ) 压力矩阵 空间单元的形交表达式： 占) = 【雪】 万 = 【且b 最】 万 其中 艿 是单元上的节点位移列阵，即 = 【q v 1w i “：v 2w 2 】 其中： 陋】= a m 苏 o 0 a m 匆 oo 盟。 砂 0 拿 庞 盟。 缸 。婺o z 警珊 譬0 譬 也c睇 单元的应力列阵可表示为： 仃 = 【d 】【口】 j = 【s 】 研 式中【d 】为单元弹性矩阵： 【o - - 五+ 2 g a 2 o 0 o 0 a + 2 g a 0 o o ( f = l ，2 ，8 ) o 0 0o 2 + 2 go og o0 0o o o o o g o o o o o o g 这里的五和g 为拉密常数，它们和弹性常数e 、泊松比有关， 肚南， g ：上 2 ( 1 + u ) 【s 1 为应力矩阵，p 】= 【d l 【b 1 。 ( 3 ) 劲度矩阵 1 7 ( 2 3 6 ) ( 2 - 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 - 4 0 ) ( 2 - 4 1 ) 河海大学硕士学位论文 将单元的节点力表示为： f = 【uk 形k 矾】 ( 2 - 4 2 ) 则有虚功原理可以得出： f = 【j | 】 万) 7 ( 2 - 4 3 ) 其中的单元劲度矩阵【七】为： 渊= j 【b 】2 【d p 】d 矿 ( 2 硝) 则单元上节点i 的平衡方程转变为： 【_ j 】 4 ) = 局 ( 2 - 4 5 ) 将结构上各节点的平衡方程集合到一起，即得到整体结构的平衡方程组： 【x 】 万 = r ( 2 - 4 6 ) 求解以上平衡方程组，即可得到每个结点的位移，然后便可以确定每个单元 的应力和应变。 2 2 6 高斯积分法 在等参数单元推求载荷向量或刚度矩阵时，需要进行如下形式的积分【6 s 】： f l ，( f 烤，j = 。j = 。厂( f ，, 7 ) a c a , 1 其中被积函数一般比较复杂，有的可以积分出结果，但式子很繁；有的甚至 得不到它的显式( 如刚度矩阵的积分式) 。因此，一般都用数值积分式代替函数 积分式，即，在单元内选出某些点，称为积分点，算出被积函数在这些积分点处 的函数值，然后用对应的加权系数乘上这些函数值，再求出总和，将其作为近似 的积分值。数值积分有好几种方法，其中高斯求积法的精度比较高，因此它的应 用比较广泛。 对于一维高斯求积公式： j = j = ( f ) 蝣= 窆哎厂幢) ( 2 - 4 7 ) g = l 其中g 为积分点号，栉为所取积分点的数目，厂( 乞) 是被积函数f 在积分点 g 处( 坐标为乞) 的函数值，以是积分点g 的加权系数。当积分点