（计算数学专业论文）两类非线性发展方程的数值方法.pdf

摘要 全文共分三章，考虑了两类具有实际意义和研究价值的非线性发展方程的数值方法， 分别提出了求其近似解的特征中心差分法和高次有限体积元法，并对其进行了严格的理 论分析 第一章主要给出了本文考虑的数学模型及数值方法 第二章给出了第类非线性发展方程特征中心差分方法，分别得到非规则网格上的 位移u 和它对空间变量z 的一阶导数项，以及速度罄和它对空间变量z 的一阶导数项的差 分解和误差估计：本文所讨论方法的计算量和皋于线性插值的特征差分法相当，其近似解 和基于二次插值的特征差分法的近似解具有相同阶的误差估计，而u ，地对空间变量z 的 阶导数近似则分别具有超收敛误差估计数值试验说明了该方法的可行性和有效性 第三章提出使用高次有限体积元方法来解决地下水问题中类非线性发展方程组文 中选取试探函数空间为分片三次元空间，检验函数空间为分片的线性函数空间，并得出 了l 2 误差估计最后文中给出的数值算例表明方法的有效性， 关键词：非线性发展方程；特征中心差分法；有限体积元；三次元；误差估计；地下 水 1 1 a b s t r a c t t h j st h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s t w op r a c t i c a lc l a s s e so fn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n sa r ec o n s i d e r e d c h a r a c t e r i s t i cc e n t e r e df i n i t ed i f f e r e n c em e t h o da n dc u b i cf i n i t e v o l u m em e t h o df o rt h e s em o d e l sa r ep r o p o s e d ，a n dt h er e l a t e dn u m e r i c a la n a l y s i sa r e c o n s i d e r e d i nc h a p t e r1 t w om a t h e m a t i c a lm o d e l sa n du u m e t i c a lm e t h o d sa r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，w ed e v e l o pt h ec h a r a c t e r i s t i cc e n t e r e dd i f f e r e n c em e t h o df o rac l a s so f n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o ni nt h er e c t a n g u l a rd o m a i n b o t ht h ea p p r o x i m a t es o l u t i o na n de r r o re s t i m a t eo f 地u t ，爱，卺a r eo b t a i n e d t h em e t h o dw ed i s c u s s e da n dt h e c h a r a c t e r i s t i cd l i f e r e n c em e t h o db a s e do nl i n e a ri n t e r p o l a t i o nh a v es a i i l ec o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e a n df o ra p p r o x i m a t es o l u t i o ni th a st h es a m ee r r o re s t i m a t e8 st h ec h a r a c t e r - i s t i cd i f f e r e n c em e t h o db a s e do i lq u a d r a t i ci n t e r p o l a t i o n m o r e o v e r ，t h eg r a d i e n t so f 札，地 i ss u p e r - c o n v e r g e n to r d e re r r o re s t i m a t e n u m e r i c a lr e s u l t sc o n f i r mt h a tt h ef e a s i b i l i t y a n de f f i c i e n c y0 fo u rm e t h o d s i nc h a p t e r3 w ep r e s e n tt h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o dt os o l v et h em a t h e m a t i c a l m o d e lo fac l a s so fn o n l i n e a rp r o b l e mo fg r o u n d w a t e r p i e c e w i s ec u b i ct r i a lf u n c t i o n s a n dp i e c e w i s ei i n e a rt e s tf u u c t i o n sa r eu s e dt of i n a l l yo b t a i ne r r o re s t i m a t ei nl 2n o r m s n u m e r i c a lr e s u l t sc o n f i r mt h a tt h ee f f i c i e n c yo fo u rm e t h o d sa r ep r e s e n t e d k e yw o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ；c h a r a c t e r i s t i cc e n t e r e df i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d ；f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d ；c u b i ce l e m e n t ；e r r o re s t i m a t e ；g r o u n d w a t e r 1 1 l 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除5 1 文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过 的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：i 墅! 坐 日期：口口 s f 6 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版：有权将学位论文用于 非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编 入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 i 作者签名：曼臣! 坐 日期：) o 。 、r - i6 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gm a t h e m a t i c a lm o d e la n dn u m e r i c a lm e t h o d s 1 1m o d e li c o n s i d e rt h ei n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h ef o l l o w i n gn o n l i n e a re v o l u t i o n f 吼+ b ( x ，) 玺一笔参一貉= f ( u ) u t + g ( 缸) ，z q = q 【o ，刁， t = 0 ，z a q 0 ，刁，( 1 1 ) lu ( z ，0 ) = 妒( z ) ，t “( z ，0 ) = 妒( o ) ，z q w h e r eq = 0 ，明0 f ld e n o t e st h eb o u n d a r yo fq ，妒( z ) ，妒( z ) a r ea s s u m e dt ob es m o o t h e n o u 曲f u n c t i o n s t h en o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n ( 1 1 ) a p p l i e sw i d e s p r e a d l yi nt h eb i o l o g y , m e c h a n i c s a n dm a n ym a t h e m a t i c sp h y s i c sd o m a i n s f o re x a m p l e ，i nn o n l i n e a re l a s t i cp o l el o n g i t u - d i n a ld e f o r m a t i o nw a v ed i s s e m i n a t i o n ，i o ns o u n dw a v ed i s s e m i n a t i o ni ns p a c eu n d e rs m a l l n o n l i n e a ri m p a c ta n dn e v e rd i s s e m i n a t i o na n ds oo nq u e s t i o n s ，h a st h ep r o f o u n dp h y s i e a l b a c k g r o u n dl l a r l b e c a u s et h i sc l a s so fe q u a t i o ni si m p o r t a n t ，t h eg e n e r a lm a t h e m a t i c s w o r k e r sa n de n g i n e e r sp a yu n i v e r s a la t t e n t i o na n dt a k em u c hi n t e r e s ti ni t a tp r e s e n t ， f o rt h ea n a l y s i so ff i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d so ft h ep a r a b o l i ce q u a t i o nz h o uy u l i n ，s h e n l o n g j u n ，y u a ng u a n g w e i ，l id e y u a n ，c h e ng u a n g n a na n ds oo nh a v eh a dm a n yg o o d r e s u l t s l l l , 2 2 , 2 8 , 2 9 , t h e r ea r es o m ec e r t a i nr e s u l t si nn u m e r i c a la n a l y s i sl i t e r a t u r ef o rt h i s k i n do fi m p o r t a n te v o l u t i o ne q u a t i o n t h i s a r t i c l e d i s c u s s e s t h ec h a r a c t e r i s t i cc e n t e r e d d i f f e r e n c e m e t h o d o f t h ee q u a t i o n ( 1 1 1 i n1 9 8 2 ，d o u g l a s ，r u s s e l 6 p r o p o s e dc h a r a c t e r i s t i cd i f f e r e n c em e t h o df o rc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n i n1 9 8 8 ，w e i s e r ，w h e e l e r 2 1 1p r o p o s e db l o c k - c e n t e r e dd i f f e r e n c em e t h o d 1 2m o d e ii i 2 t os o l v et h el i n e a re l l i p t i ca n dp a r a b o l i ce q u a t i o n i n1 9 9 1 ，w a n gs h e n h n l l s ld i s c u s s e d t h eb l o c k e d c e n t e r e dd i f f e r e n c em e t h o dt h a ts o l v e st h eq u a s i - l i n e a r i t yh y p e r b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n i n1 9 9 9 ，c o m b i n i n gc h a r a c t e r i s t i cm e t h o dw i t hb l o c k - c e n t e r e dd i f - f e r e a c em e t h o d ，w a n gs h e n l i n ，s u ns h u y i n g 1 9 1d i s c u s s e dc h a r a c t e r i s t i cb l o c k - c e n t e r e d d i f f e r e n c em e t h o do ft h em i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ec h a r a c t e r - i s t i cc e n t e r e dd i f f e r e n c em e t h o do fa b o v en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t k mi nt h i sf o u n d a t i o n ， a n du b e sak i n do ft r a n s f o r m a t i o na p p r o p r i a t e l y , s i m u l t a n e o u s l yo b t a i n st h en u m e r i c a l s o l u t i o no f 地b e c a u s eu ti sa l s oa l li m p o r t a n tp h y s i c a lv a r i a b l ei nr e a l i t y ，t h i st e c h n i q u e c a na v o i du s i n go t h e rf o r m st oc a l c u l a t e 钍f i r s t l y , t h e nc o u n t i n gu tw h i c hc a nc r e a t et h e a c c u m u l a t i o n sa n dp r o d u c t i o n so ft w i c ee r r o r a tt h es a l l l et i m e ，w ec a no b t a i na p p r o x - i m a t eg r a d i e n to fna n d 地s e p a r a t e l y , t h u si tw i l lc a n s et h ec o m p u t a t i o no fe n t i r ew o r k l o a d i n gt ob es m a l l e rt h a nm i x e d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h ec o m p u t a t i o no ft h em e t h o d d i s c u s s e di nt h i sa r t i c l ei se q u a lw i t ht h ec h a r a c t e r i s t i cd i 舶r e n c em e t h o db a s e do nl i n e a r i n t e r p o l a t i o n b u tt h ee r r o re s t i m a t eo fi t sa p p r o x i m a t es o h l t i o nh a st h es a m eo r d e r8 st h e c h a r a c t e r i s t i cd i f f e r e n c em e t h o db a s e do nq u a d r a t i ci n t e r p o l a t i o n f u r t h e r m o r et h ea p - p r o x i m a t i o no ff i r s to r d e rd e r i v a t i o ni ns p a c eo ft h ev a r i a b l eu u th a v es u p e r - c o n v e r g e n c e e r r o re s t i m a t e 1 2m o d e li i i nt h ef o l l o w i n g ，w ec o n s i d e rac l a s so fn o n l i n e a re v o l u t i o ns y s t e m si ng r o t m d w a t e r 士i t z z i t z z z t j z i t j ( 1 , 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) w h e r ei = 陋，6 i sab o u n d e dd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r y j = ( 0 ，刁d d 0i s t h ed i f f u s i o nc o e f f i c i e n t s ，p 0i st h ed e n s i t yo ft h es o l i d ，w h i c ha r ea l lc o n s t a n t s = c l s l 一2 鼋s 。，2 = ；鼋8 1 - - c l s 2 s ( z ，0 ) = s ? ( z ) ，q ( z ，0 ) = c ? ( z ) ， z j ，i = 1 ，2 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 丘 j j l l 垫舻丝舻 d d 一 一 堕良堕巩 o o f i l f 垒舭丝舭 d d 一 一 堕巩堕执 口 p + + 堕巩堕巩 1 2m o d e li i 3 o 如s _ a 扣o ，筹1 0 i = 0 ，托j 扣1 1 2 ，2 ( 1 8 ) t h eg r o u n d w a t e r 9 , 1 0 li so n ei m p o r t a n to r i g i no ft h et a pw a t e r ，i r r i g a t i o nw a t e ra n d i n d u s t r i a lw a t e r h o w e v e ra sar e s u l to fi n a p p r o p r i a t ed i s p o s a lo ra c c i d e n t a lr e l e a s e ，t h e g r o u n d w a t e rs u p p l i e sa r et h r e a t e n e db yo r g a n i c ，i n o r g a n i ca n dr a d i o a c t i v e t h e r e f o r e ， p r o t e c t i o no ft h eq u a l i t yo ft h eg r o u n d w a t e rs u p p l i e sa n dr e m e d i a t i o ni sap r o b l e mw i t h b o t he c o n o m i c a la n ds o c i a ls i g n i f i c a n ta tc u r r e n t ，i ng r o u n d w a t e rh y d r o m e c h a n i c st h e o r y , t h em a t h e m a t i c a lm o d e li sp r o m o t e db yt h em a s sc o n s e r v a t i o na n de a c hi t e mo fd a r c y t h e o r e m i ti sd e s i r a b l et h a tt h ed i s c r e t em o d e li n h e r i t st h ec o n s e r v a t i o no fm a s si nb o t h l o c a la n dg l o b a ls e n s e t h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d ( f v e m ) 1 3 , 2 5 i sad i s c r e t i z a t i o nt e c h n i q u ef o rp a r - t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i tb a s e so nav o l u m ei n t e g r a lf o r m u l a t i o no ft h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，a n dc o u l dm a i n t a i nt h eq u a l i t y , m o m e n t u m ，p h y s i c a lc o n s e r v a t i o nn a t u r ea n d s oo ne n e r g y t h u si t i s w i d e l yo b t a i n e di nt h ec o m p u t a t i o nh y d r o m e c h a n i c sd o m a i n z 1 a sf a ra 8t h em e t h o di sc o n c e r n e d ，i ti si d e n t i c a lt ot h es p e c i a lc a g eo ft h eg e n e r a l i z e d d i f f e r e n c em e t h o d ( g d m ) ，t h a ti s ，t i l et r i a lf u n c t i o ns p a c eo ra d m i s s i b l ef i n i t ee l e m e n t s p a c ec h o o s e sa sp i e c e w i s cc o n s t a n ts p a c e f o ra l lt h i s ，t h i sk i n do fm e t h o da l s oh a ss o m es e r i o u ss h o r t c o m i n g s ：( 1 ) e s s e n t i a l l y t h es p a t i a lc o n v e r g e n c er a t e so fa l lc u r r e n tf v es c h e m e sa r el o w ，t h a ti so n l yf i r s to r d e r i ng e n e r a l ；( 2 ) s i n c et h es o l u t i o ns p a c ea r ed i f f e r e n t ，t h ec o e f f i c i e n t sm a t r i c e so ft h e d i s c r e t e8 d l e n l e sa r en o ts y m m e t r i c ，e x t r e m e l yf o rt h ep r o b l e m sw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t s i nm u l t i d i m e n s i o n a l ，w h i c hb r i n g sm u c hd i f f i c u l t i e st oa n a l y z eo rc o m p u t et h e m i nf a c t ， m a n ye f f i c i e n tm e t h o d su s e di ne n g i n e e r i n gf i e l d s ，e g ，t h ec o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d ， r e l yo nt h es y m m e t r yo ft h ec o e f f i c i e n tm a t r i x t h e r ea r et w om a i nw a y st oo b t a i nt h eh i g ha c c u r a c ys c h e m e s ：( 1 ) o n ew a yi st ou s e u n i f o r mo rs y m m e t r i cm e s h e sw i t hs e c o n do r d e rs p a t i a lc o n v e r g e n c ei nh 1n o l t i lh a v e b e e nc o n s i d e r e db yc a i ，e w i n ga n de t ci n z 川t h ef vs c h e m e so nt r i a n g u l a rm e s h e sa r e c o n s t r u c t e db yv a s s i l e v s k i ，p e t r o v a ，l a z a r o v t h ee r r o re s t i m a t e so b t a i n e di n 【2 7 1a r e i nad i s c r e t eh 1n o r ma n df o ru n i f o r i nt r i a n g u l a t i o n si n c l u d es u p e rc o n v e r g e n c er a t e s ， n a m e l y , o ( h 2 ) b u tt h i sw a yn e e d ss p e c i a lr e g u l a rm e s h e sa n di so n l ye f f i c i e n tt os o l v e s i m p l ec a s e s i t sa p p l i c a t i o ni si n e v i t a b l yr e s t r i c t e di np r a c t i c e ( 2 ) f o rf v e m ，a n o t h e r w a yt oc o n s t r u c th i g ha c c u r a c ys c h e m e si st oc h o o s eh i g ho r d e rf i n i t ee l e m e n t sa ss o l u t i o n s p a c e i nt h i sw a y t i a na n dc h e ni np 4 ，5 】c o n s t r u c t e dd i f f e r e n tf v es c h e m e so fp o i a s o n e q u a t i o na n dp a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t s ，a n do b t a i n e de r r o re s t i m a t e 1 2m o d e li i4 b u tt h ea r t i c l e sw h i c ha p p l i e dt h i sm e t h o di ng r o u n d w a t e rn u m e r i c a ls i m u l a t i o na r en o t m a n y i nt l l i 8a r t i c l e w ed e v e l o paf u l l yd i s c r e t eh i g ho r d e rf i n i t ev o l u m ee l e m e n ts c h e m ef o r t h en o n l i n e a re v o l u t i o ns y s t e m sw h i c hd e s c r i b ea b o v eg r o u n dw a t e rp r o b l e m 。w ec h o o s e t h et r i a lf u n c t i o ns p a c ea st h ec u b i ce l e m e n ts p a c eo ft h eh e r m i t et y p e w ec h o o s et h e t e s tf u n c t i o ns p a c ea st h ep i e e e w i s el i n e a rs p a c e b yt h ew a y ，w ec a l ls a v et h em a s s i v e c o m p u t a t i o n sa st h es a m e8 8e n h a n c i n gt h ec o n v e r g e n c eo r d e ro ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n ， s ot h ea c c u r a c ya n de f f i c i e n c yo ft h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nr a i s eg r e a t l y , c h a p t e r2 j 1 l- 11 ，” i j n a r a c t e r l s t l cc e n t e r e dd l n e r e n c e 1 1 m e t n o dt o rac 王a s so tn o n i l n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n 2 1i n t r o d u c t i o n t h i sc h a p t e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i ns e c t i o n2 2 ，s o m ew o r kw i l lb ep r e p a r e df o r o u rt h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t i ns e c t i o n2 3 ，w ew i l lc o n s t r u c tag r i d f u n c t i o ns p a c ea n dg i v et h ec o r r e s p o n d i n gl e m m a s t h ee r r o re s t i m a t ew i l lb eo b t a i n e di n s e c t i o n2 4 w ew i l lg i v et h en m n e r i c a le x a m p i ea n dc a r r yo nt h ea n a l y s i so ft h en u m e r i c a l r e s u l t 2 2s o m ep r e p a r a t i o n l e t 口= u t i n ( 1 1 ) o f c h a p t e r l ，d e f i n e r a s t h ec h a r a c t e r i s t i c d i r e c t i o no f v t + b ( x ，t ) 整 岳= 虿毒巧( 魄+ b ( z ，f ) 裳) ，w h e r e 毋扛，t ) = ( 1 + b 2 ( x ，t ) ) 1 2 t h e nt h ep r o b l e m ( 1 1 ) c a nb er e w r i t t e na sf o l l o w s f ( z ，t ) 磐一象一貉= 日( 砜”) ，z q = q 【o ，卅， ! 三地i 。目n 、，rt 1 (21)00 1u = ，a q 【，卅， ”一7 l “( z ，0 ) = 妒( z ) ， ( 。，0 ) = 妒仁) ，z q w h e r e 日( 缸，v ) = f ( u ) 恤+ g ( u ) a s s u m et h a tt h ef o l l o w i n gh y p o t h e s e sh o l d ( h 1 ) ：l l 1 1 l ( o 工l ( n ) ) k 0 ，i l 饥l l l ( o ，l 厶( o ) ) s 矗，k = g o + 1 2 3g r i df u n c t i o ns p a c e 6 ( h 2 ) ：v ( z ，t ) q 【0 ，t i ，l b ( x ，t ) i k ( h 3 ) ：v u f 一，j ，f ( 乱) ，c ( u ) a r eb o u n d e da n de - c o n t i n u o u s w eg i v et h ed e f i n i t i o no fe - c o n t i n u o u sf u n c t i o n ：w h e ni u l 一抛i ，t h e r ee x i s t sa p o s i t i v ec o n s t a n tl ，s u c ht h a ti ，( t i ) 一f ( u 2 ) fsl i u l u 2 f w l l e r ek ，梳r e p r e s e n tt h e 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