（信号与信息处理专业论文）稳定分布噪声下基于flos的波束形成技术的研究.pdf

摘要 阵列信号处理是信号处理的一个重要分支，被广泛而迅速地应用在通信、 雷达、声纳、地震勘探、射电天文等领域。传统的阵列信号处理的研究主要集 中在基于高斯型噪声的环境下。但是，诸如海洋环境噪声、大气噪声、语音信 号和生物医学信号及多种人为噪声等这些在自然界中更普遍存在的是非高斯型 脉冲噪声。因此，近年来这类噪声引起了国内外研究工作者的广泛重视，并从 理论上对此进行了深入的研究和发展。目前，作为阵列信号处理的主要内容之 一的波束形成技术多依赖于高斯噪声环境，在应对脉冲噪声环境时原有方法往 往产生退化，这阻碍了该技术的现实应用和发展。因此，非高斯脉冲噪声下的 波束形成技术的研究尤显其重要意义。 本课题主要研究了在口稳定分布脉冲噪声下利用分数低阶统计量及神经网 络的方法进行阵列信号处理( 主要是波束形成) 的问题。在非高疑分布中，仃稳 定分布是非常重要的一类模型，用来描述重拖尾特征的非高斯脉冲信号和噪声。 特别是，a 稳定分布包括了高斯分布的情况( 当口= 2 时) ，可以说口稳定分布是 广义上的高斯分布。 首先，本文对课题所应用到的知识点做了概要的介绍，其中包括口稳定分 布模型，f l o s 基本理论，神经网络常用方法以及波束形成技术。 其次，介绍了基于上述理论，本文研究工作的理论、模型及模拟结果分析。 在阵列信号处理中，基于分数低阶统计量( f l o s ) 的方法包含了期望信号的波达 方向( d o a ) 信息，因此非常适用于处理脉冲噪声下的波束形成问题。值得注意的 是，基于f l o s 的方法在处理口稳定分布信号和噪声时表现出良好的韧性。为了 减少阵列处理的计算复杂度，把阵列信号处理看作一个从输入空间到输出空间 的非线性映射，并利用r b f 网络来逼近这映射。为了克服脉冲噪声带来的负 面影响，对r b f 网络的输入向量采用了分数低阶预处理。文中模拟部分给出了 r b f 网络与各种经典算法的详细的性能对比、改变各参数情况下网络输出的分析 及有无f l o s 预处理的r b f 网络输出的误差分析，模拟表明经过f l o s 预处理的 r b f 网络能够在脉冲噪声条件下较好地逼近这一非线性映射。 最后，本文对上述工作做以小结，并展望了未来进一步的研究工作。 关键词：波束形成，a l p h a 稳定分布，f l o s ，m u s i c ，径向基函数网络 a b s t r a c t a r r a ys i g n a lp r o c e s s i n gi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tb r a n c h e so fs i g n a p r o c e s s i n g ，a p p l i e dr a p i d l yi n t h ea r e a so fc o m m u n i c a t i o n ，r a d a r ，s o n a r ， e a r t h q u a k e ，r e c o n n o i t e r ，c h r o n o m e t e ra n de t c ，t r a d i t i o n a lm e t h o d so fw h i c h f o c u s e do nt h es t u d yi ng a u s sn o i s ec o n d i t i o n i nt h e s ey e a r s ，t h e r eh a v eb e e n r e s e a r c h i n gd e e p l ye s p e c i a l l ya b r o a di nt h ef i e l dw h e r e a sn o n - g a u s sn o i s e e x i s t sw i d e l ya m o n gt h en a t u r e t h em a i nt a s ko fm ys t u d yi st op r o v i d eak i n d o fr o b u s tm e t h o d sf o rb e a m f o r m i n gt e c h n o l o g yw i t hf l o s - b a s e dr b fn e t w o r k s u n d e ra l p h as t a b l en o i s ec o n d i t i o n b e a m f o r m i n gt e c h n o l o g yp l a y sam a i nr o l e o fa r r a ys i g n a lp r o c e s s i n gt h a ti su s e dt op r o c e s sa r r a ys i g n a l sw i t hv e c t o r s s oa st oi n t e n s i f yt h ed e s i r e do n e sa n dr e s t r a i nt h ei n t e r f a c i a l a l p h as t a b l e d i s t r i b u t i o n ，t h em o s ti m p o r t a n tm o d e lo fn o n - g a u s sd i s t r i b u t i o n ，i so f f e r e d t od e s c r i b es u c hac h a r a c t e ro ft h i c kt a i l s i ti sr e m a r k a b l et h a ta l p h as t a b l e d i s t r i b u t i o ni n c l u d e st h es i t u a t i o no fg a u s sw h e n 口= 2 s oa l p h as t a b l e d i s t r i b u t i o ni sa l s o c a l l e d g e n e r a l i z e dg a u s sd i s t r i b u t i o a b e a m f o r m i n g t e c h n o l o g yi n c l u d e ss u c hm e t h o d sa sc h a r a c t e r i s t i c b a s e dm e t h o d s ，h i g h - o r d e r c u m u l a n tm e t h o d s ，s u b s p a c e - b a s e dm e t h o d s ( m u s i ca n de s p r i t ) a n de t c i tw o r k s o u tw o r s er e s u i t sw h e ns e c o n do r d e rs t a t i s t i c sm e e t sn o n g a u s sn o i s ea n d h i g h o r d e r c u m u l a n t a l g o r i t h mb r i n g s e n o r m o u s c o m p u t a t i o n a n ds l o w e r c o n v e r g e n c es p e e d t h e r e f o r e ，p e o p l et a k ef r a c t i o n a ll o w e ro r d e rs t a r i s t i c s ( f l o s ) a l g o r i t h mt h a tr e p r e s e n t sb e t t e rr o b u s t n e s si nt h ep r o c e s s i n go fa l p h a s t a b l ed i s t r i b u t e dn o i s ei n t oa c c o u n t i no r d e rt or e d u c et h ec o m p u t a t i o n c o m p l e x i t y ，i tm a k e sb e a m f o r m i n gp r o c e s sa san o n l i n e a rm a p p i n gf r o mi n p u t s p a c et oo u t p u ts p a c et h a ta p p r o a c h e db yr b fn e t w o r k a v o i d i n gi m p u l s i v en o i s e a f f e c t i o n ，h e r ei tt a k e sa d v a n t a g eo ff l o sp r e p r o c e s s i n gb e f o r er b fn e t w o r k i nt h i sp a p e r ，i tc o m p a r e sr b fn e t w o r kt oo t h e rc l a s s i c a la l g o r i t h m si nd e t a i l s a n dt h es i m u l a t i o nr e p r e s e n t st h a tr b fn e t w o r kw i t hf l o sp r e p r o c e s s i n gu n d e r t h ee n v i r o n m e n to fi m p u l s i v en o i s ec a na p p r o a c ht h i sn o n l i n e a rm a p p i n gn e a r l y k e y w o r d s ：b e a m f o r m in g 。a i p h as t a b i ed is t r ib u t i o n f l o s r b fn e t w o r k m u s i c i r 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者签名：蚕亟堑塞日期：趟! 旦1 2 昱 稳定分布噪声下基于f l o s 的波柬形成技术的研究 1 绪论 阵列信号处理是信号处理的一个重要的分支，被广泛而迅速的应用在通信、雷达、 声纳、地震勘探、射电天文等领域。其重要应用包括：信( 号) 源定位，信源分离和信 道估计。阵列信号处理的主要问题包括波束形成技术、零点形成技术及空间谱估计等 1 。 传统的阵列信号处理研究主要是在高斯噪声环境下进行研究的。然而，在诸如水声、 雷达、通信和生物医学信号处理等领域的实际应用中，所遇到的许多随机信号和噪声并 不是正态分布的。当信号中存在显著的脉冲噪声，使用高斯模型往往不能得到满意的结 果，甚至产生算法退化。因此，针对在自然界中非高斯噪声的广泛存在，很必要考虑非 高斯模型以避免过于单纯化的高斯假设而导致的精确度损失。 近年来，人们使用一种统计信号模型称为口稳定分布 4 - 5 ( a l p h as t a b l e d i s t r i b u t i o n ) ，用来描述这类重拖尾特征的非高斯脉冲信号和噪声。口稳定分布是非 高斯分布中很重要的一类模型，它具有良好的稳定性，满足广义中心极限定理 6 。特别 是，口稳定分布包括了高斯分布的情况( 当a = 2 时) ，可以说a 稳定分布是广义上的高 斯分布。因此，口稳定分布被认为是最有潜力和吸引力的模型之一。 波束形成是阵列信号处理的重要内容之一。在移动通信里，频谱拥挤和同信道干扰 困扰着移动通信的发展，而利用智能天线的波束形成技术有望成为解决这一困扰的途径。 在某些场合，期望用户和干扰信号处于运动中，它们的方向随时改变。这样就要求种 快速的波束形成技术以跟踪它们的方向变化。然而，在现有波束形成方法中无论是随机 性波束形成( 利用信号的统计特性，比如信号的非高斯性、循环平稳性) 还是确定性波 束形成( 利用信号的确定性特性，比如恒模性) 都包含大量的计算。 鉴于以上这些阵列处理算法难以实时实现，神经网络方法被认为是一个可以实时完 成阵列处理任务的候选者之- - 3 8 - 4 1 。本文把脉冲噪声环境中的波束形成看作是一个空 间到另个空间的非线性映射，利用一个r b f 网络来逼近这一非线性映射。为了避免加 性脉冲噪声的负面影响，我们对神经网络的输入向量利用分数低阶统计量( f l o s ) 进行 预处理，因为f l o s 对脉冲噪声不敏感，能起到抑制作用。基于f l o s 的方法在处理a 稳 定分布信号和噪声时表现出良好的韧性。经过预处理的r b f 网络能很好地逼近这一非线 性映射，在测试阶段就能完成波束形成功能，而不需要额外的计算。神经网络的另个 优点是，网络可以在模拟电路上运行，其运行时间几乎是常数，甚至可以达到纳秒数量 级 4 1 。 1 1 相关知识的基本概念和原理 1 d 稳定分布及分数低阶统计量 由广义中心极限定理知，如果一些独立同分布随机变量和的极艮存在，那么这个和的 极限是一个稳定分布 6 。口稳定分布满足稳定性，a 稳定分布的线性组合也是稳定的。 若随机变量置和z ：是联合口稳定分布的，则z = x 1 + b y ：也是a 稳定分布的，且特征指 数相同。关于口稳定分布的详情参见第2 部分。 定理1 。1 如果x 是零均值的s 心分布随机变量，则x 的p 阶矩可以表示为 e j 肖j 9 = c ( p ，a ) z 州4 0 ， 口( 1 1 ) 2 p + l r 仨兰) r ( 一p 口) 其中，a b = _ 习砉百c ( p ，仅为口和p 的函数，与随机变量z 无关。 伽马函数r ( 曲= f 。f “f d t 。定理1 1 的证明见文献 2 。 对于联合s 硝分布的随机变量z 和y ( 1 口2 ) ，它们的分数低阶协方差 ( f r a c t i o n a ll o w e r o r d e rc o v a r i a n c ef l o c ) 定义为 。舸= 五( 册7 p + ) 1 p 口( 1 2 ) 共变( c o v a r i a t i o n ) 定义为 = 等署叭口 ( 1 3 ) 其中，r ”。1 = | j ，p 。) r a ( 1 2 ) 和( 1 3 ) 定义了a 稳定分布的两个分数低阶统计量。在 某些情况下，这两个统计量的功能类似于高斯情况下的协方差。 2 波束形成的基本概念和原理 波束形成技术的基本思想是：通过将各个阵元的输出进行加权求和，在一定时间内 将天线阵列波束“导向”到一个方向上，得到期望信号最大输出功率的导向位置即给出 波达方向估计。这个“导向”作用通过调整加权系数完成 1 。 这里假设有m 个阵元，阵元等间距为d ，共有，个信源，且m ，p 。设信号源方向 为b ，郎，并以阵列的第一个阵元作为基准，各个信号源在基准点的复包络分别为 丑( f ) ，s ，( r ) ，则在第肌个阵元上第k 次快拍的采样值为 p x 。( t ) = j 。( i ) p 一。”一9 9 + h 。( i ) ( 1 4 ) i = i 其中，相移函数妒( 口) ：车ds i n 疗，( 女) 表示第个阵元上的噪声。 所有阵元上第女次快拍的采样简化成矩阵形式 2 稳定分布噪声下基于f l o $ 的波束形成技术的研究 其中， 图1 1 波束形成的等距线阵模型 f i g1 1s i m p l cm o d e lo f b e a m f o r m i n g a = a ( 岛，日( o e ) 】 。( ：阶2 。t m e t ，。- j 等( 邮】r ( 1 5 ) s ( t ) = i s i 仲) ，却( 女) 】7 n ( 女) = i n l ( t ) ，月( j ) 为了提高检测可靠性和参数估计的精度，阵列可以获取多次快拍的观测数据积累。 但数据不能直接积累，需要利用信号源的二阶统计量消除信号源的随机初相。 阵列协方差矩阵定义为 r 三e x ( k ) x ”( i ) ( 1 6 ) 阵列的输出是对阵列的接收信号向量x ( n ) 在各个阵元上分量的加权和。令权向量为 大连理工大学硕士学位论文 w = ”l i 一，】7 ，则输出为 吖 y ( n ) = w ”x c n ) = w 二h ( 帕 = i ( 1 7 ) 3 r b f 网络的基本概念 最基本的径向基函数( r b f ) 网络结构如图1 2 ，每层的作用完全不同：输入层由一 些源点( 感知单元) 组成，它的作用是从输入空间到隐藏空间之间进行非线性变换；输 出层是线性的，它为作用于输入层的激活模式( 信号) 提供响应。在大多数情况下隐藏 层有较高的维数。因为，一个模式分类问题如果映射到一个高维空间将会比映射到一个 低维空间更可能是线性可分的。另外，隐藏空间的维数越高，网络逼近一个光滑的输入一 输出映射的精度越高 9 。 r 。 m ： ： ： “ 圈i 2r b f 网络结构 f i g i2 r b f n e t w o r k 第r 个输出单元的输a 输出映射关系为 ( x ) = q ，j = 1 州2 ，m ， r = 1 “2 ”，( 1 8 ) 铲州班e 醑噼， 。， 输出层权值w 的计算。设一值训练样本集 x ( 女) ，d ( ) ) ，k = l “2 一， ，则 其中， ”( 七+ 1 ) = w ( 女) + a w ( i ) a w j , ( k ) = a ( d ( k ) y j ( 七) ) r ( 女) y ( i ) = w r ，( t ) 4 ( 1 1 0 ) 稳定分布噪声下基于f l o s 的波束形成技术的研究 1 2 国内外研究概况及发展趋势 1 a 稳定分布的发展概况 口稳定分布的概念是由利维( l e v y ) 于1 9 2 5 年在研究广义中心极限定理时提出的。 八十年来，口稳定分布的理论在数学界得到了广泛的重视和发展。但是。直到1 9 9 3 年 s h a o 和n i k i a s 发表的论文 4 才使得a 稳定分布的概念和理论得到信号处理领域的重 视，并在近十年中得到了迅速的发展、丰富和广泛的应用。 早在1 8 世纪，当时的统计学先驱们在研究天文学问题时，开始利用数学方程拟合数 据点来研究天体的运动。在这一时期，高斯提出了最小二乘估计的概念，并强调了高斯 分布即正态分布的重要性。在1 9 世纪初期，随着傅里叶级数的提出，拉普拉斯( l a p l a c e ) 和泊松( p o i s s o n ) 开始研究概率密度函数的傅里叶变换，并将概率密度函数的傅里叶变 换定义为概率密度函数的特征函数。拉普拉斯高兴地发现，高斯分布的特征函数与其概 率密度函数具有相同的形式。在1 9 世纪5 0 年代早期，拉普拉斯的学生柯西发展了老师 的研究，并定义广义傅里叶变换如式( 1 1 1 ) 所示 5 厶( z ) = 二【e x p ( - r t “) c o s ( t x ) d t ( 1 1 1 ) 式中，柯西把f 的指数2 用来代替，当n = 1 时，得到了以柯西的名字命名的著名的柯 西分布密度函数 2 南 ( 1 1 2 ) 如果在公式( 1 1 1 ) 中用实数a 来代替，我们可以得到非常宽的一类函数：口稳定 分布密度函数。然而，当时人们还不清楚这类函数确实符合相应的概率分布。直到p o l y a 和b e r n s t e i n 的研究之后，人们才认识到丘( x ) 确实是一个概率密度函数( 0 口2 ) 。 1 9 2 5 年，正在研究中心极限定理的法国数学家l e v y 注意到中心极限定理存在着一 些例外：如果放宽中心极限定理中有限方差的条件，则其极限分布服从稳定分布规律。 受到这个结论的启发，l e v y 开始评价所有稳定分布的傅里叶变换，并且首次提出了稳定 分布的理论。稳定分布的第一次应用在l e v y 提出这种理论之前：1 9 1 9 年，天文学家 h o l t s m a r k 发现在宇宙中任一点由恒星所施加的重力服从稳定分布，且其特征指数为 a = 3 2 。遗憾的是，数学家们没有注意到h o l t s m a r k 的结论，并且在很长的时间内没有 给予重视。 1 9 3 7 年，l e v y 发现建立在傅里叶分析基础上的无限可分分布方法，用于研究稳定分 布理论。1 9 3 9 年，d o b l i n 采用规则变化的函数构成了现代的稳定分布规则。之后，很多 数学家对稳定分布理论做出了贡献，内容包括多元平稳分布、稳定过程的线性理论、线 性与非线性回归以及稳定随机过程等等，形成了比较完整的理论体系。 m a n d e l b r o t 在经济问题的研究中使用了稳定分布引起了应用科学家的重视。 m a n d e l b r o t 在研究经济时间序列问题中，曾试图采用高斯模型和最小均方算法，然而以 失败告终。而后，他转向了非高斯模型。m a n d e l b r o t 发现，诸如股票价格和风险投资利 率的波动等经济学变量服从非高斯稳定分布。随后，口稳定分布在工程上得到了一些应 用，例如b e r g e r 应用稳定分布来模拟电话线路中的错误聚类。s t u c k 和k l e i n e r 根据经 大连理工大学硕士学位论文 验发现电话线路中的噪声可以很好地由稳定分布来描述。后来，s t u c k 还针对口稳定分 布的数据设计了k a l m a n 滤波方案，并于1 9 7 8 年首次提出了最小分散系数准则。然而， 他所设计的k a l m a n 滤波器不是最优的，最小分散系数准则也没有被工程界所重视。1 9 9 3 年，s h a o 和n i k i a s 的论文在信号处理领域引起了关于口稳定分布的研究熟潮。至此， 人们才注意到s t u c k 的最小分散系数准则。目前，口稳定分布领域中大部分研究工作集 中在口稳定分布噪声环境下最优( 或近似最优) 接收机的设计，盲信道估计，线性过程 的参数估计，波达方向估计，方位估计以及其它与雷达有关的问题，具有口稳定分布的 信号建模及a 稳定分布概率密度函数的参数估计等方面 5 。 2 阵列信号处理及波束形成的发展概况 阵列信号处理的发展史最早可追溯到4 0 年代的以锁相环跟踪为核心的自适应天线 组合技术。h o w e l l s 在1 9 6 5 年实现了自适应旁瓣对消器是阵列信号处理的重要开端。t 9 7 6 年a p p l e b a u m 1 0 发展了使信干噪比( s i n r ) 最大化的反馈控制算法，另一个显著的进展 是w i d r o w 1 1 于1 9 6 7 年提出最小均方( l m s ) 自适应算法。其他几个里程碑式的工作是 c a p o n 于1 9 6 9 年提出的恒定增益指向最小方差波束形成器 1 2 、s c h m i d t 于1 9 7 9 年提出 的用于方向估计的m u s i c ( 多信号分类) 方法 1 3 ，r o y 提出e s p r i t ( 旋转不变信号参 数估计) 方法 1 4 ，g a b r i e l 1 5 则是对自适应波束形成提出“智能阵列”术语的第一人。 近2 0 年来，阵列信号处理在雷达、声纳、通信、地质勘探及生物医学等领域已获得 广泛而重要的应用。 3 神经网络的发展概况 现代神经网络开始于m c c u l l o c h 和p i t t s ( 1 9 4 3 ) 的开拓性工作，他们提出了m - p 模型。在m c c u l l o c h 和p i t t s 的经典论文发表1 5 年之后，1 9 5 8 年r o s e b l a t t 在他有关 感知机( p e r c e p t r o n ) 的研究中提出了模式识别问题的新方法：一种新的有监督学习方 法，并提出了感知机收敛定理。1 9 6 0 年，w i d r o w 和h o f f 引进了最小均方( l m s ) 算法并 提出了自适应线性单元( a d a l i n e ) 。感知机和a d a l i n e 的区别在于训练过程。 6 0 年代末m i n s k y 提出了解决感知机的信任赋值问题所必需的大多数的思想和基本 概念。随后的十多年神经网络研究陷入了低潮期。 在7 0 年代出现的一个重要活动就是利用竞争学习的自组织映射。在8 0 年代神经网 络的理论和设计主要在几个前沿方面取得了成绩，随后其研究工作进入了恢复期。 1 9 8 2 年，h o p f i e l d 用能量函数的思想形成一种了解具有对称突触连接的递归网络执 行计算的新方法。 1 9 8 6 年r u m e l h a r t 和m c c l e l l a n d 编辑了著名的两卷集著作“p a r a l l e ld i s t r i b u t e d p r o c e s s i n g ：e x p l o r a t i o ni nt h em i c r o s t r u c t u r e so fc o g n i t i o n ”。该书在反向传播 算法的使用方面产生重大影响，它已经成为最通用的多层感知机的训练算法。 在2 0 世纪9 0 年代早期，v a p n i k 和他的合作者发明了具有强大计算能力的一种有监 督学习网络称为支持向量机，用于解决模式识别、回归和密度估计等问题。 神经网络历经很长时期的发展，已经确立了作为植根于神经学科、心理学、数学、 物理学和工程的交叉学科的地位，并将在理论、设计和应用上持续深入发展的下去 9 1 6 2 0 。 稳定分布噪声下基于f l o s 的波束形成技术的研究 1 3 本文的主要工作 本文系统地研究了波束形成技术的理论，以及该技术所涉及到的口稳定分布模型、 f l o s 及神经网络方法的概念和知识体系。 根据波束形成技术应用的现实环境，选择了“稳定分布这一具有广泛意义的模型来 仿真非高斯脉冲噪声环境。基于二阶统计量和高阶统计量的方法对加性脉冲噪声产生算 法退化的不佳结果，而基于f l o s 的方法在处理a 稳定分布信号和噪声时表现出良好的韧 性。这里，采用了f l o s 方法处理稳定分布脉冲噪声。阵列接收信号的f l o c 和共变包含 了信号源的方向信息，f l 侧_ m u s i c 算法 3 s 从f l 0 c 中提取了信号源的方向信息进行处 理，取得了较好效果。 波束形成与波达方向估计在本质上是一致的，因此研究工作更宽泛地包含二者相结 合的研究。目前自适应波束形成方法被广泛使用，包括基于信号特性的方法，基于信号 统计量的方法以及波达方向估计等方法。由于篇幅所限，本文仅就波束形成最佳权向量 法 1 ，广义旁瓣消除法 2 5 ，逐点采样自适应法 2 5 ，m u s i c 方法、r o c - m u s i c 方法及 f l o m - m u s i c 方法做了较详细的说明。 神经网络方法包括感知机、多层感知机、径向基函数方法及自组织映射等多种方法。 波束形成的过程可以看作是阵列输出空间向权向量空间的非线性映射，径向基函数方法 能够提供该映射的逼近过程。经过f l o s 预处理的r b f 网络能很好地逼近这一非线性映射， 在测试阶段就能完成波束形成功能，而不需要额外的计算。 大连理工大学硕士学位论文 2alp h a 稳定分布与分数低阶统计量 2 1 高斯分布与高斯过程 在传统的信号处理中，高斯信号模型占据主导地位。根据中心极限定理证明信号的 高斯分布假定是合理的，很多其他分布律的和是以高斯分布律为极限的。高斯假定的另 一个特点是在该假定基础上设计的信号处理算法易于进行理论上的解析分析。例如，在 通信问题中，如果假定加性噪声是白色的高斯分布噪声，则接收机的设计可以大大简化 并且易于进行理论分析。高斯分布的概率密度函数能表示为非常简单的形式：它可以被 唯一地表示为随机变量的均值。和方差a ；的函数。 下面简要介绍一维高斯随机变量多维高斯随机变量及高斯过程 2 1 。 假设一维随机变量z 服从高斯分布，其概率密度函数为 1，、2 厶( x ) = 1 一e x p - 孚】，( 一0 0 z 0 0 ) ( 2 1 ) 其中，。和盯互分别为z 的均值和方差。其概率密度曲线如图2 1 所示。如果对进行 归一化， 当口。= o1 io - 。= 1 时，则z 为标准正态( 高斯) 分布，其概率密度函数为 ( x 厶( 垆去e x p ( 一x 2 ，( 一m c x 。) ( 2 2 ) - 彳 圈2 1 高斯概率密度曲线 f i g 2 1g r a p h o f g a u s sp m b 曲i i i 母d e n s i t y 设。，z ：，z 。构r & n 维高斯随机变量，由它们组成的向量为x = 五五r 其均值矢量为 稳定分布噪声下基于f l o s 的波束形成技术的研究 l l = e 瞵0 e 隅】e 瞵j 矿= ，# 以r 。协方差矩阵为 c = e 【( 墨一舭) 2 】 研( 墨一, u x 。) ( 以一以) 】 ； ： e 【( 以一札) ( 置一) 】一e ( 以) 2 】 则7 维高斯随机变量的联合高斯概率密度函数为 纵炉匆丽酬一圭呻r e 、卜帕1 2 3 九维高斯随机变量的特征函数为 吣( u ) = e x p j l t 7 u 一一c u 2 ( 2 4 ) 其中，1 1 = hu 2 r 。 由( 2 3 ) 式和( 2 4 ) 式分别推导出多维高斯随机变量概率密度函数和特征函数的一般 表达式 以( 五 ，k ) 。西鬲击雨万e x p - 南喜喜i c i ，( 而一) ( x ，一心) 】 ( 2 5 ) ( 。，“：，) = e x p ( j “；一去q “。“，) ( 2 6 - i 厶t = l ，t l 式中l c j f 是行列式| c | 中元素岛的代数余予式，巴= e 【( 置一，k ) ( 乃一，k ) a 随机过程x ( t ) 的概率统计特性由它的任意维数组成的任意维随机变量的联合概率 密度函数确定。如果对于任何有限时刻，i ( f = l ，2 ，仃) ，由随机变量z = 彳) 组成的任 意打维随机变量的概率分布是高斯的，那么这个随机过程就称为高斯过程。参照前面关 于多维高斯随机变量讨论的结果，很容易得到高斯过程的h 维概率密度函数和胛维特征 函数 2 1 ，同( 2 4 ) 和( 2 5 ) 式。 尽管高斯分布能够很好地描述一些信号和噪声，但在实际应用中大量存在着非高斯 型信号和噪声，例如，水声信号、语音信号、低频大气噪声、生物医学信号以及很多人 为产生的信号和噪声等。信号和噪声的非高斯特性，常常引起基于高斯假定所设计的最 优信号处理系统的性能显著退化，甚至不能正常工作。例如，在通信领域中相干接收机 的匹配滤波器通常设计为在高斯分布的白噪声中检测确定性信号，如果噪声的统计特性 偏离所假定的高斯分布特性，就会引起虚警概率的增加，从而降低系统的可靠性。另 9 大连理工大学硕士学位论文 方面，如果根据噪声非高斯分布的统计特性而适度进行一些非线性处理，则会得到比基 于商斯假定的匹配滤波器好得多的结果。由此可见，尽管高斯分布模型可以产生简单的 算法结构，但是在有些条件下却不能得到可靠的结果。这样，必须在算法结构的复杂性 和结果的精确与可靠性之间取得折衷。当高斯假定所引起的误差不能被接受时，就必须 考虑采用非高斯分布的信号和噪声模型，并设计更加符合信号和噪声特性的处理系统。 2 2a i p h a 稳定分布 在实际应用中遇到的大量的非高斯信号和噪声具有显著的尖峰脉冲特性。该特性使 这类非高斯过程的统计特性明显偏离高斯分布，特别是，概率密度函数的衰减过程比高 斯分布慢，从而造成了显著的拖尾。如果采用高斯分布模型来描述这类过程，由于模型 与信号噪声不能很好匹配而导致所设计的信号处理器显著退化。通常用口稳定分布模型 来描述这类具有显著尖峰脉冲状波形和较厚概率密度函数拖尾的随机信号。 2 2 1 发展动因 提出并发展a 稳定分布概念和理论的第一个动因是因为这种分布是满足广义中心极 限定理的唯一一类分布。常规高斯分布的动因也是中心极限定理，可见a 稳定分布在理 论上的合理性与高斯分布是一样的。口稳定分布能够描述更加广泛的数据，甚至可以描 述很多不满足中心极限定理的数据，因此具有更普遍的意义。 提出并发展口稳定分布的第二个动因是因为这种分布是一种能够保持自然噪声过程 产生机制和传播条件的极限分布。 第三个动因是因为口稳定分布是一种更加广义化的高斯分布，或者说高斯分布是口 稳定分布的一个特例，并保持口稳定分布的一些特性。用于高斯分布信号的线性系统理 论的许多方面可以直接扩展到口稳定分布信号的场合。最重要的是所谓稳定特性，即a 稳 定分布概率密度函数的卷积是封闭的，且其随机变量的相加也是封闭的。 第四个动因是因为口稳定分布能够非常好地与实际数据相吻合。s t u c k 等人已经证 明，电话线路中的噪声可以有效地利用口稳定分布来描述 4 4 。n i m a s 等人表明了口稳 定分布是描述大气噪声的非常好的模型 2 。i l o w 表明了口稳定分布与无线网络中的多 路干扰和雷达系统中的反向散射回波相符合 5 。m a n d e b r o t 利用a 稳定分布对经济时 间序列建模的工作也很成功 4 2 。 2 2 2a j p h a 稳定分布的概念 2 2 2 1 a l p h a 稳定分布的概念 定义2 。1 如果对于任何正数彳和b ，存在正数c 和一个实数d ，满足 d a x j + 丑z 2 = c x + d ( 2 7 ) 1 0 稳定分布噪声下基于f l o s 的波束形成技术的研究 则随机变量x 是稳定分布的。式中，x ，暑i x 2 为x 的独立样本，且符号“兰”表示分布 相同。如果当d = 0 时式( 2 7 ) 成立，则称z 为严格稳定的。如果x 和一z 具有相同的分 布，则称x 为对称稳定的。显然，对称稳定分布总是满足严格稳定分布的。 若x ，x ：，x 。是互相独立的随机变量，均服从稳定分布，且具有相同的口，参数， n 则线性组合彳，x ，也服从稳定分布，且具有相同的口，卢参数。 j - 1 定理2 1 对于任意随机变量x ，存在口( o ，2 】，使c 满足 c 。= a 8 + b 8 ( 2 8 ) 式中，口称为特征指数。具有特征指数群的稳定随机变量z 称为口稳定随机变量。 定义2 2 如果一个随机变量石具有一个吸引域，即如果有一个i i d 随机变量的序列 k ，巧，k ，一个正数序列 一 和一个实数序列 ，且满足 坠鼍= 生鸭吕x 以 ” 则随机变量x 具有稳定分布。式( 2 9 ) 中，符号“等d ”表示按分布收敛。 ( 2 9 ) 定义2 3 如果随机变量x 存在参数0 口- ( 2 1 0 b ) 地咖糍乞i ，三 ( 2 1 0 c ) 渺：；，拦阻删， 卜1 ，( o 则随机变量x 服从稳定分布。 ( 2 1 0 ) 式中，o 口s 2 ，称为特征指数，它决定该分布脉冲特性的程度；一1 口 1 ， 大连理工大学硕士学位论文 称为对称参数，用于确定分布的斜度；，为分散系数 8 ，它是样本相对于均值的分散程 度的度量，类似于高斯分布中的方差；参数a 称为位置参数。 7 当a = 2 时，为高斯分布且口2 = ，：当口= 1 且= 0 时为柯西( c a u c h y ) 分布；当卢：0 时，为对称口稳定分布( s o s ) ，高斯分布和柯西分布都属于s 西分布；对于s o s 分布， 若1 口2 ，则d 表示均值。若0 a l ，则口表示中值；若满足口= 0 且y ：1 ，则a 稳定 分布称为标准口稳定分布。若不作特别说明，本文中均假定a ：0 。 图2 2 不同口参数条件下口稳定分布的概率密度函数 f i g 2 2 g r a p e so f s t a n d a r ds a s d c n s i t i c s c o r r e s p o n d i n g t o m e v 柚u 口= 0 5 ，口= 1 0 ，口= 1 5 图2 2 和图2 3 给出了不同特征指数口条件下标准s e t s 的概率密度函数的曲线。图 2 4 给出了参数对口稳定分布概率密度函数的影响。当口= 2 时，s a s 分布与零均值方 差为2 的高斯分布一致；而口= 1 的s 嬲分布与柯西分布一致。s 岱分布的概率密度保留 了许多高斯分布的特征，例如光滑性、单峰分布、关于中值对称以及钟形形状。仔细比 较标准正态分布和s a s 分布的密度函数发现，非高斯稳定分布与相应的高斯分布有如下 差别：对于绝对值较小的x ，s 醯密度比高斯密度有更尖锐的峰。而对于处于中间范围 的x 值，s a s 分布的密度曲线低于高斯分布的。 a 稳定分布作为建模工具非常灵活。它的特征指数a 控制概率密度函数拖尾的厚 度：口值越小，其分布的拖尾越厚，脉冲特性越明显。 高斯分布与a 稳定分布的主要区别在它们的拖尾：口稳定分布具有代数拖尾，而高 斯分布具有指数拖尾。也就是说，a 稳定分布的拖尾比高斯分布的拖尾要厚。应用中遇 到的许多非高斯信号除了拖尾较厚之外与高斯分布非常相似，因此该特性在信号处理中 是很有意义的。 稳定分布噪声下基于f l o s 的波束形成技术的研究 图2 3 不同d 参数条件下a 稳定分布的拖尾情况 f i 9 2 3 g r a p e so f s 衄n d a r ds 岱d e n s i t i c s t a i l s t o t h e v a l u e s 口= 0 5 ，口= 1 0 ，口= 1 5 ，( x ) 图2 4 不同口参数条件下a 稳定分布的概率密度函数 f i 9 2 4 g r a p e so f s m d a r ds 嘏d e n s i t i e s c o r t * s p o n d i n g t o t h e v a l u e s = - 1 ，= 0 ，卢= l 与高斯分布的情况相同，用a 稳定分布作为统计建模工具的理论依据也是源于中心 极限定理。中心极限定理表明：如果一个随机现象是由无穷多个具有有限方差的独立同 分布( i i d ) 的分量构成的，则这种随机现象近似地服从高斯分布。相对于中心极限定理， 一个更一般性的定理即广义中心极限定理：对于独立同分布( i i d ) 随机变量的和，无论 各个随机变量是否存在有限方差，当变量数目无限增加时，必将收敛于a 稳定分布族。 大连理工大学硕士学位论文 这样，与高斯分布的形成一样，非高斯口稳定分布也源于随机变量之和。如果观测信号 或噪声可被看作很多独立同分布之和，根据广义中心极限定理使用a 稳定分布模型来描 述是合适的。 2 2 2 2 广义中心极限定理 2 定理2 2 当且仅当z 服从稳定分布，则z 是下列归化和的极限分布 鼠= ( x i + + 爿j ) a 。一b 。( 2 1 1 ) 其中蜀，x ：，以是独立同分布的，且”专q o 。 特别地，如果置是独立同分布的且具有有限方差，则高斯分布是其极限分布。这是 般的中心极限定理。 对于非高斯a 稳定分布随机变量z ，其位置参数为0 ，分散系数为y ，则 i m t 4 尸( f z p f ) = ( a ) ( 2 ，1 2 ) 其中，c ( 口) 是依赖于口的正值常数。 2 3 分数低阶统计量 统计量函数为随机信号的分析和处理提供了丰富的信息。随机信号统计矩的整个分 布范围可以从0 阶一直到m 阶，图2 5 给出了矩分布的示意图 2 。 二阶矩 分数低阶矩理论高阶矩 l i 当! i i竭 i1 00 5il5234 统计量的 阶数 图2 5 艟机信号统计矩的分布示意圈 f i g25d i a g r a mo f r vs i g n a l8 t a t i s t l om o m e n t d i s t r i b u t i o n 二阶矩以上的统计矩称为高阶矩或高阶统计量，其范围为( 2 ，+ m ) ，一般取整数阶。 二阶矩以下的统计矩称为分数低阶矩或分数低阶统计量，其范围为( 0 ，2 ) ，可以取这个范 围内的任意值。 直到二十世纪八十年代中期，包括信号分析、系统辨识、信号估计等问题在内的统 1 4 稳定分布噪声下基于f l o s 的波束形成技术的研究 计信号处理基本上建立在二阶矩或二阶统计量的基础上，例如对随机信号的均值、方差、 相关函数和功率谱密度等的分析，以及基于信号二阶统计量的滤波、预测、检测与估值 等。自相关函数和互相关函数是得到广泛应用的两个二阶统计量的例子。由于功率谱密 度函数是相关函数的一维傅里叶变换，因此，功率谱也是建立在二阶统计量基础上的。 众所周知，高斯分布( 或正态分布) 是统计信号处理领域所普遍采用的描述随机信号的 模型。高斯随机信号的概率密度函数可以完全由两个统计矩参数来描述，即数学期