（光学工程专业论文）新型低损耗大角度y分支集成光波导的研究.pdf

中文摘要 近年来，计算机网络、电信网和有线电视网的发展大大促进了大容量光纤 通信系统的发展，光纤通信用光器件自然水涨船高。为了降低光纤通信设备的 功耗和体积，新型结构的光器件成为人们研究开发的热点。新型集成光学器件 更是未来光器件的发展方向。本文独立提出了一种新型大角度y 分支波导，在 保证损耗较小的前提下大大地减小了集成光学中器件的尺寸和功耗。 本文首先介绍了集成光学的发展历程，以及在国际上低损耗大角度y 分支 的研究动态。然后，在计算了渐变折射率波导对光的弯曲和偏转能力的前提下， 独立提出了一种基于渐变折射率波导的新型y 分支波导。渐变折射率波导的折 射率分布不同，y 分支波导的性能也不相同。本文以三种折射率分布为例，详 细讨论了每一种分布的适用条件，并以篼一神分布为准，给出了新型y 分支波 导的设计方案。 由于本文所用的仿真方法是有限差分光束传播法，因此对二维和三维的有 限差分光束传播法作了详细介绍，同时对其中的关键算法追赶法和交替方向隐 式法加以具体叙述。然后，编写了二维和三维有限差分光束传播法的相应程序， 并以实际例子验证了所编写程序的正确性。 为了检验所提出的新型y 分支波导在理论上是否可行，本文运用二维和三 维有限差分光束传播法进行了仿真。二维仿真时分支角度为2 0 。和3 0 。的y 分支 波导损耗分别为o 3 l d b 和o 3 9 d b ，而相应的普通结构的y 分支器则不能有效 约束光波传输。三维仿真时分支角度为2 0 。和3 0 。的y 分支波导损耗为1 4 6 d b 和1 5 9 d b ，也比较小。 最后，本文将新型y 分支波导应用到具体的光器件当中，并进行了二维仿 真。在1 4 光分支器中，应用三个分支角度为1 4 3 0 的y 分支波导，在保证损 耗较小( o 3 3 d b ) 的情况下，器件的长度比普通1 4 光分支器大大减小。在m z 干涉式光调制器中，应用两个分支角度为1 4 3 。的新型y 分支波导，实现了调制 器中两臂的干涉相长和干涉相消，而器件长度也大大减小。 本文的研究为这种新型的y 分支波导提供了详细的理论和设计，进行了大 量的仿真，证明了这种器件在理论上的可行性。为下一步器件的研制奠定了理 论基础。 关键词：渐变折射率，y 分支波导，集成光学，有限差分光束传播法 n o v e ll o w - l o s sw i d e - - a n g l ey - j u n c t i o n so f o p t i c a lw a v e g u i d e sw i t h g r a d e d - i n d e xp r o f i l e s a b s t r a c t i nr e c e n t y e a r s ，d e v e l o p m e n t s o f c o m p u t e rn e t w o r k ，t e l e c o m m u n i c a t i o n s n e t w o r ka n dc a b l et e l e v i s i o nn e t w o r kh a v eg r e a t l yb r o u g h ta b o u ta l la d v a n c ei nl a r g e c a p a c i t yf i b e ro p t i cc o m m u n i c a t i o ns y s t e m ，a n di n c r e a s e dn a t u r a l l yi no p t i c a ld e v i c e i no r d e rt or e d u c et h ec o n s u m p t i o na n dv o l u m eo ft h eo p t i cf i b e rc o m m u n i c a t i o n e q u i p m e n t s ，t h eo p t i c a ld e v i c eo ft h en e ws t r u c m r em a yb e c o m et h ef o c u st h a t p e o p l ep a y a t t e n t i o nt o t h en e w i n t e g r a t e do p t i c s d e v i c ei se v e nm o r et h e d e v e l o p i n gd i r e c t i o no f t h eo p t i c a ld e v i c e t h i sp a p e rh a s p r o p o s e dan o v e lt o w l o s s w i d e a n g l ey - j u n c t i o n ，r e d u c i n gs i z ea n dc o n s u m p t i o no ft h ed e v i c eg r e a t l yb a s e do n t h ep r e m i s et h a ti t sl o s si sr e l a t i v e l ys m a l l f i r s t ，t h i sp a p e rh a s i n t r o d u c e dt h ed e v e l o p m e n to fi n t e g r a t e do p t i c sa n dc u r r e n t s i t u a t i o ni nl o w l o s sw i d e a n g l eyb r a n c hi nt h ew o r l d t h e nt h ep e r f o r m a n c e so f o p t i c a lw a v e g u i d e s w i t h g r a d e d - i n d e xp r o f i l e s t od e f l e c tt h e l i g h t h a v eb e e n c a l c u l a t e d ，a n dal o w l o s sw i d e a n g l ey - j u n c t i o nw i t ht h eg r a d e d i n d e xo p t i c a l w a v e g u i d e sh a sb e e np r o p o s e d t h ed i f f e r e n tg r a d e d p r o f i l e so fo p t i c a lw a v e g u i d e s l e a dt ot h ed i f f e r e n td e f l e c t i o n p e r f o r m a n c e so fy b r a n c h a sa ne x a m p l et h r e e r e f r a c t i v ei n d e xp r o f i l e sh a v eb e e ns t u d i e da n dr e c e i v e dt h ec o r r e s p o n d i n gs u i t a b l e c o n d i t i o n ，t h e nt h ed e s i g no fn e wyb r a n c hh a sb e e ng i v e nb a s e do nt h ef i r s t r e f r a c t i v ei n d e x p r o f i l e s c o n s i d e rt h a tt h es i m u l a t i o nm e t h o di sf d b p m ( f i n i t ed i f f e r e n c eb e a m p r o p a g a t i o nm e t h o d ) ，t h i sp a p e r h a si n t r o d u c e dt w o d i m e n s i o n a la n d t h r e e - d i m e n s i o n a lf d b p mi nd e t a i la n di t sk e ya l g o r i t h m s ( l um e t h o da n da d i m e t h o d ) t h e2 d a n d3 d p r o g r a m h a v ef i n i s h e da n dv e r i f i e dw i t ha ne x a m p l e i no r d e rt oe x a m i n et h e p r o p o s e d yb r a n c hi n t h e o r y , n o v e l l o w l o s s w i d e a n g l ey - j u n c t i o n so fo p t i c a lw a v e g u i d e sw i t hg r a d e d i n d e xp r o f i l e sh a v eb e e n s i m u l a t e di n2 da n d3 df d b p mi nt h i sp a d e r i n2 df d b p m i o s s e so fyb r a c h e s w h o s eb r a n c h i n ga n g l e sa r e2 0 。a n d3 0 。a r e0 3l d ba n d0 , 3 9 d b ，r e s p e c t i v e l y h o w e v e r , t h eg e n e r a lyb r a n c hw h o s eb r a n c h i n ga n g l e sa r e2 0 0a n d3 0 。c a n n o t t r a n s m i tt h el i g h t i n3 df d b p ml o s s e so fyb r a c h e sw h o s eb r a n c h i n ga n g l e sa r e 1 f 2 0 。a n d3 0 。a r e1 4 6 d ba n d1 5 9 d b ，r e s p e c t i v e l y a tl a s tt h en o v e lyb r a n c h e sh a v eb e e n a p p l i e dt oo p t i c a ld e v i c e s a n ds i m u l a t e d i n2 df d b p m n e w1x 4o p t i c a ls p l i t t e rc a r lc o n s i s to ft t l r e en o v e lyb r a n c h e sw h o s e b r a n c h i n ga n g l ea r e1 4 3 。i t sl e n g t hh a sb e e nr e d u c e dg r e a t l yb a s e do nt h ep r e m i s e t h a ti t sl o s si s r e l a t i v e l y s m a l l f o 3 3 d b ) i n m a t h z e h n d e r o p t i c a l m o d u l a t i o n c o n s i s t e do ft w on e wy b r a n c h e s ，m o d u l a t i n gh a sb e e nr e a l i z e da n dt h el e n g t ho f o p t i c a lm o d u l a t i o n h a sb e e ns h o r t e n e d t h ed e t a i l e dt h e o r ya n dd e s i g nh a v eb e e nf i n i s h e da b o u tt h i sn e wyb r a n c hi n t h i sp a p e r , a n dr e s u l t so fl o t so fs i m u l a t i o n sh a v es h o w e dt h a tt h ep e r f o r m a n c e so f t h i sn o v e lyb r a n c ha r ee x c e l l e n ti nt h e o r ya n dh a v ee s t a b l i s h e dt h et h e o r e t i c a l f o u n d a t i o nf o rt h et r i a l - p r o d u c t i o no ft h ed e v i c e k e yw o r d s ：g r a d e di n d e x ，yb r a n c h i n gw a v e g u i d e s ，i n t e g r a t e do p t i c s ，f d b p m 1 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得电子科技大学或其它教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名：毖蠲望日期：2 卯f 年弓月7 ) 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论 文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：盐掏里 导师签名： 日期：2 肿妒年；月7 日 m z f d b p m 简缩字表 m a c h z e h n d e r f i n i t ed i f f e r e n c e b e a m p r o p a g a t i o nm e t h o d 马赫曾德尔 有限差分 光束传播法 f d b p mf i n i t ed i f f e r e n c eb e a m p r o p a g a t i o nm e t h o d 有限差分光束传播法 a d i t b c a l t e r n a t i v ed i r e c t i o ni m p l i c i t t r a n s p a r e n tb o u n d a r y c o n d i t i o n v i 交替方向隐式 透明边界条件 电子科技大学硕十论文 1 1 集成光学简介 第一章引言 集成光学是二十世纪六七十年代随着信息科学的发展而出现的，也是光学 器件本身发展的必然结果。它的发展受到了集成电路的启迪，象集成电路那样 把平面光学器件集成化，即把激光器、调制器、探测器等有源器件集成在同一 衬底上，并用波导、隔离器、耦合器等无源器件连接起来构成微型光学系统一 集成光路，以实现光学系统的薄膜化、微型化和集成化，同时还可以与电子器 件集成，构成光电子集成回路。 总的来说，集成光学是研究平面器件和平面光学系统的理论、技术与应用， 它的理论基础是导波光学，技术基础是薄膜技术和微电子技术。目前集成光 学主要研究和开发光通信、光传感、光学信息处理和计算机所需的多功能、稳 定、可靠的光集成回路，特别是光电集成回路。导波光学是研究介质波导中光的 发射、传输、耦合、调制、偏转、开关、探测和光与物质相互作用的微观过程， 是综合应用光学( 包括电磁场理论) 、激光物理学以及固体物理学的一门边缘性 学科。采用薄膜技术和平面工艺来实现平面光学器件的平面化和光学系统的集 成化【”。 表1 - l 光器件技术的发展 第一阶段第二阶段 特点 波动光学 技术普通光学微光学集成光学 薄膜技术 微制造 气体激光器l e d 、l d光l c 集成化 典型组件透镜多模光纤单模l dl d 和光纤耦 棱镜透镜光纤合困难 传输系统光束、多模波导单模波导 易控制 ( 大小) 光束( c m l ( m m )( 扯m ) 强度高 控制电极尺 驱动电压低 1c mlm mlu m 速度快 f 量级) i 器件尺寸 im 21 0c m 21 2c m 2 体积小 i( 量级) 重量轻 第一章引言 光器件的发展历史可以分成三个阶段，如表1 1 所示。第一阶段是普通光学 阶段，各种分立光组件被排列在很大的光衬底上而构成光学系统，尺寸大小在 1 m 2 的量级，光束直径约为l c n l 。第二阶段被称为微光学，在这一阶段，除了 微光组件如光通信系统中的l e d 、l d 和光纤，光学系统仍然是分立排列的， 组件尺寸在l m m 的量级 2 1 。集成光学是光器件发展的第三阶段，其特征可归纳 如下： 一基于波动光学的理论分析。器件主要有宽度为微米级、工作在单模状态 的波导组成，即前两个阶段的光器件可用射线光学分析，而集成光学问 题则只能用波动光学处理。 一 导波控制比较容易。由于波导工作在单模状态，通过晶体的电光效应、 声光效应和热光效应导波控制变得容易。对于多模波导，同时控制所有 模式则较为困难。 _ 低驱动电压和短的作用长度。单模波导的构造使得电极之间的间隙变 小，获得低驱动电压成为可能，同时作用长度也比以前小的多。这样， 器件就变得更加紧凑。 _ 速度快。体积小，重量轻。电极变短和电容减小使得开关和调制速度变 快。同时，元件都集成到几个平方厘米的衬底上，大大减小了器件的体 积和重量。 _ 成本低。随着集成工艺的发展，器件大规模的批量生产成为可能，成本 也必然能够降下来。 集成光学所用的媒质材料，要具有一定的折射率，一般是比衬底折射率高： 做成光波导以后，传输损耗要求小于l d b c m ；媒质材料应具有多种功能，工艺 上便于成膜和器件制作与集成；在外界各种工作环境下具有长期稳定工作的性 能，已探索过的材料有玻璃、半导体、有机材料以及铁电体等。 集成光学元器件的工艺技术主要涉及成膜与光路微j 2 n t 。通常采用外延、 质子轰击、离子注入、固态扩散、离子交换、高频溅射、真空蒸发、等离子聚 合等作为成膜工艺；采用光刻、电子束曝光、全息曝光、同步辐射、光锁定、 化学刻蚀、溅射刻蚀( 离子铣) 、反应离子刻蚀作为光路微加工技术。另外，高 速脉冲技术，则是测试及在应用中不可缺少的手段”1 。 随着光纤通信、光学信息处理和计算机技术的发展，集成光学在i t 领域的 应用也越来越广泛。 电子科技大学硕士论文 1 2 国内外集成光学低损耗大角度y 分支波导的研究动态 目前，y 分支器是集成光学中一种重要的器件单元，广泛用于调制器、光 开关等器件中。但由于过大的分支角会引起较大的辐射损耗，因此y 分支器的 分支角一般都很小。以钛扩散l i n b 0 3 单模y 分支波导为冽，其分支角度不能 大于3 。【l l - 峨这就造成了器件的长度过长，工艺集成困难。为了增大分支角度， 减小损耗，人们优化设计y 分支器的耦合区域，得到了不同结构下大角度的y 分支器，但在损耗较小的前提下， 分支角仍然不超过1 5 0 。 在文献 5 】中，h a t a m i h a n z a 等 人提出了一种新型低损耗大角度 的y 分支波导，如图1 1 所示。衬 底折射率是v o ，输入波导1 和输出 波导2 、3 的折射率是行l ，工作在 单模状态。耦合部分三角形区域的图1 1 新型y 分支波导的结构 折射率是n 2 ，且n 2 o 的区域是折射率为月。的介质，在y o 的 区域是折射率仅随y 减小而减小的介质。当 光五以入射角岛从坐标原点入射到y o 的区 域时，光的传播路径满足的微分方程为 1 6 】： 万d 2 y = 瓦面1 丽_ d n 2 厂( y ) ( j ， 。) 出2 2 s i n2 ( 岛) 方 。7 j ! h i ； t o 弋、l x 。 o 7 一 二j 爿 l 圆一i 非掉嘶夺折射麻油里 中的弯曲示意图 ( 2 - 1 ) 式中，”表示折射率随y 的变化。由图2 1 可知，其边界条件为： i y ( o ) = 0 1 y ( o ) ：t a n ( 岛+ 万2 ) ( 2 - 2 ) 2 1 2 模型分析 当刀随y 有不同的变化时，光在渐变波导中的传播路径也不同。根据光总 是向折射大的方向传播的原理，从图2 1 中可以看出光入射后必定在y o 的区 域中经过一个转弯后，再从y = o 的界面出射。因此，出射光厶对入射光 就有 了一个偏转角度p 和传播距离三。渐变折射率波导对光的偏转能力可以用偏转 角度日、传播距离和入射深度日来评价。考虑特殊情况，取折射率随y 变化 的方程式为： n ( y ) = n o + n g y ( 2 3 ) 月2 ( y ) = f i o 一他y 2 ( 2 4 ) 2 ( y ) = n o + n p y ( 2 5 ) 以上各式中，7 9 、盯；和唧均为常数系数，且y 戛 p ，z )门： 下一步对f r e s n e l 方程( 3 - 1 1 ) 式离散化，先对x 方向离散化，等号右边第一项 可用差分格式表示为： 0 2 ：盘! ! 盘也= ! 砒2 r a x ) 2 ( 3 1 5 ) 等号右边第二项用差分格式表示为： 瑶 2 一n 刍) = 瑶【( ) 2 一心2 。 丸 ( 3 1 6 ) 将( 3 1 5 ) 式和( 3 - 1 6 ) 式代入( 3 1 1 ) 式，可得： 2 j f l 盟：立生弓挚+ 瑶【( ) ：一n 备】丸 ( 3 1 7 ) 0 zf 缸1 2 。 整理可得； z j 哮= 击+ _ 丽2 + k 0 2 ( n j - 略 卜+ 击灿( 3 - 1 8 ) 对( 3 1 8 ) 式在z 方向离散化，其差分格式可表示为： 电子科技大学硕士论文 2 i l m + l _ l m ：土姓 “ a z f r ) 22 + 舞蝴c 华卜铂 华p ，。， 1鼎，+ 丸一， ( x ) 2 2 使等号左边包含所有f + 1 项，等号右边包含所有，项，并对折射率作近似处理， 重写上式为： 一尤i + 一1 + z 一瑶( 血) 2 ( 碟。) 2 一g 。2 f l - + 尘等等 簖l 削 以l + _ z 蝴埘i 2 1 2 。 + 生h 如 此式即为二维t e 模的有限差分格式，同理也可推导出二维t m 模的有限差 分格式，这里从略。在( 3 1 8 ) 式至p j ( 3 1 9 ) 式的推导过程中，采m y 4 , ：丝：；丝( f - m - i ，m ，r e + 1 ) 的近似方法，考虑到稳定性，可用扩展的近似方式代替上述近似方 式谚= 玎“+ ( 1 一可) ，_ 1 7 称为控制控制因子，当1 7 = 0 5 时即为( 3 - 1 9 ) 式所用的 近似方式。采用扩展的近似方式后，( 3 - 1 8 ) 式可重新写为： 一鼎。+ z 一瑶( 缸) 2 ( 甜) 2 一喀 + 鱼笔笋 簖1 一蜊， ：* 十蝴唧引2 一略懈4 j f l ( a 刊r ) 2 r 1 下面给出由于离散化而带来的数值精度和稳定性问题的结论性结果【1 9 】： 收敛性。收敛性是指当步长趋近于零时，差分格式的解是否收敛到微分方程 的真实解，上述差分格式的收敛性是没有问题的。 稳定性是指计算过程中累计误差是无限增加还是可以控制。对于沿z 方向折 射率缓变的情况，_ 1 7 = 0 5 时上述差分格式是稳定的。 数值损耗是指由计算引起的沿传输方向上的能量损失，是非物理性损耗。研 究表明，1 7 = 0 5 数值损耗最小，目= 1 数值损耗最大。因此综合考虑数值稳定 性和数值损耗两个因素，在计算中选择合适的_ 7 值，使得稳定性和数值损耗 都可以接受。一般情况下，_ r 7 的值的选取应比o 5 稍大，接近o 5 。 第三章二维和三维f d b p m 算法 数值色散是指将连续物理量离散化，不可避免地会造成一定程度的相位误 差。要减小数值色散，需要足够小的界面剖分网格，而与叩1 直的选取无关， 并且，在z 方向折射率缓变的前提下，传播步长垃对数值色散的影响是可 以忽略的。 3 1 3 追赶法求解方程 若令 f 3 2 1 ) 式可重新写为： 一嬲+ 砧1 硝1 一删，= 尘旦( 死一。+ g ：戤+ 尤+ ) = 以( 3 - 2 3 ) 打 、 上式表明计算区域被离散成m l ( m = 1 埘；，= 1 - l ) 匝j 格后，当给定场的初 始值簖1 ( m = l v m ) 时，后续场的值以= 1 m ；i 2 三) 可以通过该式逐步计 算而获得。但应注意的是方程( 3 2 3 ) 只能形成m - 2 个方程，却有一w 个变量，这是 由于缺少边界方程引起的。因此，需要引入两个边界方程才能把( 3 2 3 ) 式的变量 完全解出。 首先，假定在边界处电场可以以平面波的形式表示成 = c e x p ( 一j k x ) ( 3 - 2 4 ) 式中，c 和通常是复数。当我们知道第，步的电场分布以时，可以假定第1 + 1 步右边界处的值满足如下方程： 乒：e x p ( 一jtcax)(3-2s) 乒k 一 如果k 的实部是正值，表明以( 3 2 4 ) 表达的平面波是向计算区域以外传播的，那 么第f + l 步的右边界值可以用下式表达： 筋1 = 谚出e x p ( - j x a x ) ( 3 2 6 ) 如果* 的实部是负值，表明以( 3 - 2 4 ) 表达的平面波是向计算区域内部传播的。 我们所计算的波导中不存在这样的反射波，必须强迫的实部为正值，使得平面 波是向计算区域以外传播的，如下式所示： ! 篱 一啪 州 蝴 州 小 “ 电子科技大学硕士论文 盯耐，= r e ( 盯) l + j i m ( k ) r 3 2 7 ) 式中，j 为虚数单位。则第，+ 1 步的右边界值司以用f 式表达： 站= 剃品e x p ( 一j r 咖6 x ) ( 3 - 2 8 ) ( 3 2 7 ) 式和( 3 2 8 ) 式对于为正值时亦成立，故k 统一n ( 3 2 7 ) 式表达，计算区域 的右边界值统一以( 3 2 8 ) 式表达。同理，对于k i 。n 值和计算区域左边界值可以用 下式表达： 西= e x p ( 一j 彪h )( 3 2 9 ) k l e j ，= i r 盯) 卜j i m ( k ) ( 3 3 0 ) 爿“= 硝“e x p ( 一j k 1 n a x )( 3 31 ) 以上边界条件的设置方法称为透明边界条件( t r a n s p a r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n ) 。边 界条件( 3 2 8 ) 式和( 3 - 3 1 ) 式加上( 3 - 2 3 ) 式共同组成线性方程组 式中 a + 一1 ，+ k 簖+ 瑞= 以 口2 = 0 ，b 2 = p ：- e x p ( 一j e f t a x ) ，c 2 1 a 。= 一1 ，b o ，= p ：，c 。= 一1 ( ，竹= 3 m 一2 ) a m l = 一l ，一 式( 3 - 3 2 ) 可以用矩阵形式表示为 式中a = 6 2c 2 00 d 3b 3c 】0 0 a 4b 4c 4 0 o p 0 一l e x p ( 一j 石n e h t x ) ，c f l = 0 a 垂= d 函=d 由于矩阵a 是三对角矩阵，因此( 3 3 6 ) 式可用追赶法求解。 ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) f 3 3 5 ) r 3 - 3 6 ) 2 0o0 第三章二维和三维f d b p m 算法 把矩阵4 作l u 分解 a = l u 屈 岛 式中房，西作如下计算 1 岛 1 匹 改= b 2 ，6 f ck k 屈+ l = 坑+ 1 一吼+ ，瓯，k = 2 ，3 ，m 一1 1 一： 1 ( 3 3 7 ) 这样，( 3 - 3 6 ) 式就等价于l y = d ，助= y 追赶法的计算过程如下所示。 追过程： 儿= b i ，y i = ( d l q m 1 ) 届，f - 3 ，m 一1( 3 3 8 ) 赶过程： 略i ，+ 一1 ，= y m + 叫“= y i 一4 毗1 ，( f = m - 2 ，1 ) ( 3 - 3 9 ) 酬“和欧1 的值分别可以通过( 3 3 1 ) 3 f 1 ( 3 2 8 ) 而解的。知道了圆的所有值，也 就知道了电场的分布，从而可以显示光在波导中传播状况。 3 2 三维f d b p m 算法 3 2 1 三维f d b p m 算法原理 在二维折射率分布结构下，折射率只在x 方向和z 方向变化，在y 方向则没 有约束，即场量对y 的偏导数为零。但在三维结构下，折射率在) 方向也有变化， 即场量对y 的偏导数不为零。( 3 ，7 ) 式可重新写为： 警_ 2 j 老+ a 2 _ 2 窘埘”2 肛。 ( 3 - a o ) 如果包络函数函随：的变化足够缓慢，使得馨。0 ，这个关系在庐等于常 0 留 数或随z 线性变化时是严格成立的。( 3 4 0 ) 式可变为 电子科技入学硕士论文 2 j 警= - 勘g r + 矿0 2 + 瑶嘞2 ) 妒 ( 3 4 1 ) 在x 、y 方向分别作离散化x = m a x ，y = t a y ， ( 3 4 1 ) 式等号右边的差分格式为： z ，卢警= 血篙粤+ 虹篙尊 此时若直接对上式z 方向作离散化刚形成的线性方程组系数矩阵不是三对角矩 阵，不能够使用二维情况下的追赶法求解。因此可采用下述的交替方向隐式法求 鹪( 3 4 2 ) 式。 3 2 2a d i 方法求解方程 交替方向隐式