（应用数学专业论文）几类中立型差分方程的定性研究.pdf

， ， v t 摘要 本篇论文由四章组成，分别讨论了 画冗英中立型差分方程的定性性坂 2 p x ) + 吼厂o 棚) = 0 ， 2 ( 矽。) + 九g x n ( 。) ) 一7 j ( x 。一。) ) 20 ，(1h ( x n - - 一- 。x n - , r ) + 岛x 一岛一6 20 ，(111) ( 一p x n 一，) + g ，一b i n 8 ，2 0 u 哆。 在第一章，我们获得了方程( i 濂动的充霎条件；在第二章我们讨论了方程 ( 西的渐近性；在第三章，我们研究了方程( ) 正解的存在性，在第四章我们探讨 了方程( 脚振动性。 关键词中立型差分方程，振动性，渐近性，正解，周期系数 a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i s to ff o u rc h a p t e r s w er e s p e c t i v e l yd i s c u s st h e q u a l i t i t i v eb e h a v i o r o ft h ef o l l o w i n gn e u t r a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s ： 2g 。- - p x ，、) + q 。f ( x 。一5 ) 20 ， ( d 2 ( 风矗+ q 。一：1 ) - - y ，一) ) 50 ， ( ，j ) ( ，一y 。一，) + b ，而一。一函一6 2 0 ，( 1 1 1 ) ( 矗一p x , ，) + 毋6 ，一y 。x 。6 ，20 q v ) i nc h a p t e r1 w eo b t a i n e dn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o r t h eo s c i l l a t i o no ft h ed i f f e r e n c e e q u a t i o n ( i ) ；a n d w ed i s c u s s e dt h e a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fe q u a t i o n ( 1 1 ) i nc h a p t e r2 ；i nc h a p t e r 3 ，w es t u d y t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fe q u a t i o n ( i i i ) ；i nc h a p t e r4 ，w e d i s c u s st h eo s c i l l a t o r yb e h a v i o ro ft h ee q u a c a t i o n ( i v ) k e yw o r d s ：n e u t r a l d i f f e r e n c e e q u a t i o n ，o s c i l l a t i o n ，a s y m p t o t i c b e h a v i o r ，p o s i t i v es o l u t i o n ，p e r i o d i ct o e f f i c i e n t s 月l j吾 微分方程在几何学、力学、天文学、电子技术、核物理、现代生物学、 人工神经网络动力学以及经济学等科学技术领域中有着广泛的应用，但生产实 际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多。w & t 都无法给出解的 解析表达式，因此其离散化后所得的差分方程往往更有实际应用价值。但是， 人们发现，在解的振动性或渐近性等方面，微分方程与其形式离散化后所对应的 差分方程在许多结果上虽然是相似的、相近的或平行的，但也有很多本质差 别。例如l o g i s t i c 方程 x 。( ，) = 肼( o ( 1 一掣) 的每个解单调，但它的离散类似 + 1 = d x “1 一矗) 当口= 4 时却有个“混沌”的解。因此，近些年来，人们越来越重视差分方程的 研究，现在它已成为现代数学的一个重要分支，其定性研究的思想和技巧已渗 透到其他应用数学分支。差分方程理论的完善和发展推动着人们对客观现实世 界的认识和改造，成为现代应用数学的一个重要方面。 本论文主要讨论几类中立型差分方程的解的定性性质，推广和改进了一些 已知结果。 本论文的正文分为四章，分别对下列中立型差分方程解的长时间状态进行 了定性研究： ! 。- - p x 。) + 吼f ( x 。6 ) = 0 ， ( d 2 ( 胁，+ 吼一巾，) ) 一y ，一，) ) 。0 ， c ，d ( 一y 。一，) + b 矗一。一q 。一5 = 0 ， ( 1 1 1 ) ( 一，一p ，) 十g 。屯一8 一丫。一5 ，= ， (，功1 0 其中，p o 为常数， = l ，t ，6 ，6 ，和6z 为非负整数，舻。) ， q ”) ， y ” 为非负实数列，且( ) 中 吼) ，饥) 是以正整数，为周期的周期序列 为了行文方便，现将本文用到的基本概念和记号叙述如下： “”表示向前差分算子，即此= 。一；z 表示所有整数构成的 集合；设口z ，记n ( a ) = a ，a + 1 ，) ，n = n ( 0 ) ；对任给的a ，b z 且口6 ， 记n ( a ，b ) = a ，升1 ，b 。 一个差分方程的解) 称为最终正的是指存在正整数m 使得1 9e n ( m ) 时有 0 ，若存在正整数m 使h 0 对n ( 旧成立，则称) 为最终负的。 一个差分方程的解 x o 振动是指 ) 既不是最终正的，也不是最终负 的；否则称之为非振动的。 一个方程振动指该方程的所有解振动。 如果本文中不等式没有特别指明成立范围，均指对充分大的自然数成立。 第一章一类二阶中立型差分方程的振动性 1 1引言 考虑非线性二阶中立型差分方程 - - p x ) + q f 嘛一6 ) = 0 ，( 1 1 ) 这里，t ，6 为非负整数，0 o 有 o ，。而d x ，：焉 o 有 o o o ) ， 如果吼存在且 l i r a ( ( 什1 ) 1 一s 1 ) ) q ，= o o ， “s = o ，2 + 1 其中 2 = t 1 ，则方程( 1 5 ) 振动 在文献【4 5 】中考虑了差分方程 厶| y 。产q ，y ：= 0 ， 其中吼0 且最终不恒为零，o 是两正奇数之比。 方程( 17 ) 实际上是文献 4 6 中微分方程 少”+ g ( 咖。20 的离散形式。文 4 5 获得t i n 下结果： 定理c 若o 1 ，则方程( 1 7 ) 振动的充要条件是 胛毋，= 。 n = 1 定理d 若o 0 1 与0 0 ，弘 0 ，门胛+ 证明 因为) 为方程( 1 1 ) 的正解，即存在， o 使得当即 胛，时 x n 。 0 ，z 。6 0 因为吼o 且最终不恒为零，由方程( 1 1 ) 可得 儿2 一g ，厂( k6 ) 0 ，h i 这样，序列 儿) 单调不增，且最终保持定号下面我们断定最终有 0 成 立事实上，若最终有儿o 成立，那么存在n 2 胛。使得当聍啦时有 儿a y , ， 0 使得 儿q ” 即 吨+ p x 胛仍， 那么由o p 1 有 o ，儿 0 ，v , + 证毕 定理1 1 如果厂( 功是超线性的且单调不减，则方程( 1 1 ) 振动的充要条件是 j q s2c o ( 1 9 ) 证明先证充分性a 假设 托 是方程( 11 ) 的非振动解，不妨设 矗) 最终为 正，即存在n o 二一o 使得 0 ，矗。 0 ，x n 6 0 ，p l ? l o 定义 y u 2x n p x n ： 由引理l - 1 可知朋 o ，a y 。 o 且弧o ，h + 嘞从而可知饥) 单调递增， a y e 单侧递减。 因为儿，由厂不减性可得 厂( 而一6 ) 厂( 此一5 ) ，”+ + 6 ， 由方程( 1 1 ) 得 0 2a 2 y + q f ( x 一6 ) 2 儿+ g ，j ( 儿一6 ) ，h 胛， 即 吼一7 a 否：= 2 y 了，”胛+ 定义 聆此 “瓦j ( 1 1o ) 注意到，不减，则 心切晦磊一怒 ：! ! ! ! 垒丝：，一! 盟! 垒卫 ，【s ) ( 此一s ) 厂( 儿一。) ：! ! ! ! 垒墨：z 一! 垒丝：， 厂( + ，6 ) 厂( 一。) 2 而a y n + i + ”赢一死b ， 一7 石瓦：i ：万+ ”儿“7 万i j i 二万一j 了吉j 带等 死a i y - j 8 由积分中值定理，存在e ( 儿一。，此+ ，一。) 使得 a z + n q 锅 一 ( ) 一。一。d u 厂( 儿+ 15 ) 。“一sf ( u ) 点b 而d l l 。 对上式从聆+ 到n 累加得 6 z n - - z n , + n 警壹供6 而d b t ， 即 乙+ s q s z n “n j y , * i 而d l a 1 + 5 基志 5z ，5 而d l a 一s 而d u ( 1 1 2 1 从而 ，挚& 。，+ 一。而d b l 2 令胛一o o ，则有 c 。= s q ，螈 o 。 矛盾。所以方程( 1 1 ) 振动。 必要性：设a 是由有界实数列 z 。) ( ” o ) 组成的具上确界范数 1 1 x1 1 = j u p 1 矗1 ； ) 彳，”o ) 的b a n a c h 空间，定义a 的有界闭子集b 如下： b = 矗j 爿且丢1 f 丁兰i ，疗) 定义映射t ：b b 如下： ( w x ) 。= 1 + p x 一0 一n ) q 。厂0 ，s ) 因为厂c ( r ，r ) ，则存在l i p s h i t z 常数， 三= s u p j ( x ) ；1 2 c - x 击) ， 即 l 厂) _ 厂e ) l f 南一x n f ，x = ，x2 i o b ( 1 13 ) ( 1 14 ) ( i 15 ) ( 1 16 ) 假设( 1 9 ) 不成立，即5 吼 。下证方程( 1 1 ) 有非振动解 存在且 1 2 一一2 丁二万 因为s q 。 。，故可取到充分大的使得 妻s 晦字， 令z = 占，由( 1 14 ) ，( 1 15 ) 得 c 嘲引+ 譬一南量呻 小譬一丢 l i 且 ( 功h 1 + 南2 南， 因此 t b b 另一方面，f l j ( 1 1 5 ) ，( 1 1 6 ) 得 j ( t x ) - - ( 蟊h = b 一。一塞( s 一瑚。旭_ 6 ) 呻珏，+ 塞( s 一啪，氘一l d ，一毫。j + l ( e5 玑) x - - 。x 剧 x 一；卑 卜蔓 = 半l i 工 因为o 0 ，一。 0 ，”n o 定义 儿5 - - p x 一、， 则 见 因为厂不减，所以 厂( 从) 厂o 。) 由( 1 1 ) 得 2 + 吼厂( 儿一6 ) 2 月，十吼厂嘛一5 ) = 0 ，n ，n o + 6 ， ( 1 19 ) 由引理1 1 得儿 0 ，a y , ， 0 ，筮0 ，h 从而 此 单调递减， 弘) 单调 递增，所以 从而 厂( 儿一6 ) 一f ( a y o 一6 一6 一) ) 当晡充分大时，对任意上( 0 ，1 ) 有 门一6 一九行，”胛l 由( 1 1 7 ) 得 厂( y 。一s ) 厂( 儿一6 一6 一胛o ) ) 厂( 此一6 ( 九功) 厂( 九儿一6 ) 以”) ， 胛 根据上式，则( 1 1 9 ) 可改写为 9 一 儿 弘 。j 弘 u 。 + 咒 = 儿 。蠢 高 + 糕 恕+ 吼厂( ”) 。，”胛，厂( 九儿一6 ) “。、u “” 从而 ( 功。蕊a 2 y , , 2 篙 令毛2 九儿，则上式为 训蟋妾需 几f 7 、 由积分中值定理知存在某个l ，晶) 使得 吖去裔 一1 厂( e ) r ；d u 九f ( ：，) o * ，f ( u ) 妾t 。高 对( 1 2 0 ) 两边从到胛累加，得 。暑n 吼爵1 ，考而d u 一1f 。z o 叭d 。u f ， 厂0 ) 吼丁i 万i ： 一。九，= ，1 八哪一一八“ 1 r z 一。d u 1 r ；+ id u 万jo 丽一万j o 丽 护。而d u = 岛 令 一一，则有 。2 厂o ) 吼岛 c 。， 矛盾。所以方程f 1 1 1 振动。 1 0 丝二丛： 、f 队龄3 ( 1 2 0 ) ( 1 2 1 ) 必要性：假设( 1 18 ) 不成立，即f ( s ) q 。 o 。，则可取到充分大的”。使 寺p 一6 十1 ) 】 且 妻q ，厂。) 九字， ( 1 2 2 ) 其中0 o a x 、。 0 ，j 鲁( 1 一力 0 ， = + 6 。 矛盾。故m 1 0 。 与f 1 2 6 ) 类似，对方程( 1 1 ) 从到tt 一1 累加得 13 、，书阮， ，g 埔 ” 一 【 一力一( 九o 。( 1 一p ) x 。p a x 。，一。 1 i t 2 九( 1 功一io 一吼伍一。)( 1 2 9 ) j + 8 将( 1 2 5 ) ，( 1 2 8 ) 代n ( 1 2 9 ) 得 x 。，( 1 一力宝( 1 一p ) ， 即 肚。害 ( 1 i3 0 ) 若tt 2 4 - 。，则对任意，7 甩。均有 a x 。朋l 妻 0 ， 则 扎 不振动结论成立 若t - 会，= 1 ，2 ， 由前面的讨论可知，当”。t r 时，肌- = 工。害( t ， ) ，假设朋。害。 先证坛九。 对方程( 1 1 ) 从到n 厂一l 累加得 必( 1 一力a x 。一p 。一： 儿一1 。a x 。一p _ 。，一甄伉一6 ) 0 i3 ( )6k厂 叮邯 f _ 一 k 一 、，p 一( 九 因为m 。会，所以 ， 门。+ 6 ，) 又因为 x 2 4 ) ( ) 2 九p 0 ， 因此 由( 1 2 4 ) 矢n 所以由( 1 3 1 ) 得 即 月i i g 瓴一。) 0 io 0 必( 1 - - p ) 九( 1 功 坛九 其次证明：如果，坛九，l j m 。 对方程( 1 1 ) 从到t 一1 累加得 m k + i ( 1 一p ) = a x 。( 1 一曲 z 。一p & x t “，。 tk + u 1 九( 1 一曲一i o 一吼厂k 。) ( 1 3 2 ) 由 1 x ) 与) 的构造，可知n k r 。，k = l ，2 ，。因为坛上，所以 a x 九， 胛( ? 0 + 6 ，t “1 ) ， 从而 5 j 一。+ 葺中( ) + 。 j 一，j 0 2h n 九p + 九0 一”o + 1 ) j ，p ， f 1 3 3 ) 1s 由( 1 3 3 ) 得 吼厂伉一。) 吼厂( 九0 6 ) ) s2 “矿5x2 ”0 - s q ，f ( z s ) j 5n 0 + 6 吼厂0 ) n o5 吼厂0 ) ( 1 3 4 ) ，6 联合( 1 2 3 ) ，( 1 2 5 ) ，( 1 3 2 ) ，( 1 3 4 ) 可得 。会 最后我们注意到，不管 tt ) ， 嘲是否有限，总有 x n 妻， n o 所以) 不振动。即( 1 ，1 8 ) 不成立时，方程( 1 1 ) 不振动，因此，如果方程( 1 1 ) 振 动，那么( 1 1 8 ) 成立。证毕。 例1 考虑方程 a 2 一一。) 呵弧。) = 0 ， ( 1 35 ) 取奇函掰2 苦，y o 显然，厂) 满足条件( 1 4 ) 且对“，v o 有 旷磊高隔州洲 因此厂) 满足条件( 1 i7 ) 容易验证： 咿( s ) = 。 故方程( 1 35 ) 振动 注1本文主要结果可看作文献 3 】中相应结果的离散类似。 注2 我们的主要结论也可以看作文献 4 6 4 8 】中微分方程( 1 8 ) 中相应结 论的离散类似，但并非所有关于微分方程( 1 8 ) 的结论都可直接应用到相应的 差分方程( 1 1 ) 中例如文献【4 9 中定理1 指出，若卯) o 不减( 或不增) ，且小于某 个正常数，则微分方程( 1 8 ) 的所有解有界但对差分方程( 1 1 ) 而言，类似结论不一 定成立 注3 注意到条件( 13 ) ，( 1 4 ) 在定理1 1 ，1 2 的必要性证明过程中并未用到，那么， 定理1 1 ，1 2 中条件( 1 3 ) ( 1 4 ) 是否可进一步改进? 当方程( 1 1 ) 中的系数是变系数胁 时，如果有 l i m 岛2 p o ，o p o 1 ，( 1 3 6 ) 相应结论是否仍然成立? 如果将条件( 1 3 6 ) 进一步弱化为 l i m s u p p o 且存在常数日，b 使得 o o ( u ) 为不减函数 令 儿= 岛+ q 。矗。( 。) ， ( 2 3 ) 则 2 儿= y 。厂( 矗删。) ) 2 2 引理与主要结果 引理2 1 假设k = 一1 ，且 ( 2 4 ) 0 旦p ， p n 如果 是方程( 2 1 ) 的最终正解，那么 ( ，) 儿 o ，k y 0 且l i m 弘= l i m = o o 或者 ( ，f ) 见 o ， n o 使 x 户o ，翰一，m ， o ，一6 ( m o ， 门玎】 由( 2 4 ) 与( i - 9 得了p o ，行确，从而 h ) 是单调递增序列 ”则龇) 是单调递增序列。由 埘的递增性得 l i m 弘= c 。 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 假设a y 0 又由( 2 3 ) 知矗葛1 乃专1 弘，所以! 螺。o 。，对( 2 4 ) 式两边从j v 至。聆一l 累 加( 使充分大) 得 儿2a y , v + y k f ( x k - a ( k ) ) 期+ y , f l x n _ 5 ( ) 因为l i m x n 2o 。，故由( 喝) ( 乜) 知，如果我们选取充分大的，则 厂( x 一m ) k 0 ， 其中k 是任意正常数 由( 玩) 得 ，i m z l v , , 2 。 所以如果 a 儿 0 ， 就有( 2 6 ) 成立 ( i i ) 假设g y 0 ，则协，) 是单调递减序列。由 y 0 的递增性得，存在c 0 使l i m 弘= c 。 假设c 0 ，由( 2 3 ) ，( 2 4 ) 知 一“ 一万见 2 6j 因为c 三由( 2 3 ) 得 。 鲁 軎，2 f ( x o ( 百l ) 。， ( 嗽充分大) 对( 2 4 ) 从至。聆1 累加 得l i m 儿= c o ，矛盾，所以0 假设 b 毛一吼矗一。( 。) 一q n x n - m ) 一n p h 。( 。) 一b p x 一。( 。) 从而 三 一t r m 一2 b p 。 由此有 l i m 龇2c o ， 矛盾所以只可能 l = o 即 l i m 弘= 0 证毕 本章中，我们获得的主要结果如下： 定理2 1假设上= 一l 且 o 生p 0 ，则一定存在疗l n o 使x 。 詈。类似于引理2 1 ( i i ) 可得l i r a 儿= ，与( 2 7 ) 矛盾，所以c = 0 。 下面证明 矗) 有界。反设) 无界，则必可找到序列 。! ，使得 i m m2 ，! 鼍x 2 ，其中。2m a x ， 女叶” 女一“ “女 n j 则 2 1 y f x f x r 小。弧k x 厂p ，j x ， p 。t x 。k p p 。i x k 一。t 。 p ，k x u 一曲 d ( 1 一p ) - 从而 ! 竺只。2 。， 矛盾所以 ) 有界，从而 ) 存在上确界下面证明l i m s u p 矗= 0 假设l i m s u p x n = d 0 ，则一定可找到序列 ) 蠢，和 n ：) 0 ，使得 。l 。i m 。n k 5 i i m 。m5 。，l i m k - +r - - ) 。吒。o ，2 2 ：2d ， 一 o t _ o 对任意 0 ，存在e ) ，k 0 时有 x 。 ，： 矗一， y h ? ，n t n s ， 这与抄。 的递减性矛盾，所以 l i m s u p = 0 综上所述，l i mx n = 0 证毕 定理2 2 的证明 2 2 x n h 。 m 一 一 叶 一一 田 一 6 ，一 x ， x ， p 口 不妨设 为方程( 2 1 ) 的最终正解，由引理2 1 务n ( 2 6 ) 或( 2 7 ) h 或a 。如果( 2 6 ) 式成立，则由定理2 1 的证明知 ；如果( 2 7 ) 式成立，n r 4 由定理2 1 的证 明过程得l i m = o o l i mi n f x f o n 那么一定存在序列 n d 使得 t 2 翟) 由( 2 7 ) 式得此 o ，由( 2 3 ) ，( 2 10 ) 两式得 善矗穆一。， 从而 ( 2 12 ) x ”t x ”k n 0 这与( 2 1 2 ) 矛盾所以，f m = 证毕 定理2 3 的证明 不妨设) 是方程( 2 1 ) 的最终正解，则由( 2 3 ) 式得： t = a 矗+ 吼一t ( n ) 0 ( 2 13 ) 下面分两种情形讨论。 情形1 ：) 无界下面证明儿 0 用反证法，假设儿 0 ， 从而饥) 单调递增，又从( 2 4 ) 可得 弘) 单调递增，则，f 州此：。 结合( 2 9 ) ，( ( 2 1 3 ) ，并注意到饥) 的递增性，我们有 y n 2 p 。x ，+ q 毒j ，= p ，x ，七p ，望! x 1 n 办 p ，x ，+ p ，专n 一。i ， p 。 一 2 3 o = x 怨 = 怫 砌一 ， 且 o ，必存在。n ( m 。) ，女 o 使得 ， c - - c ， p n j p 。j ，j p p ，j r 。_ 1 口：一6 吒。t p ，一。( ) a ( c - - e ) 一6 印( 升) c ( a - - b p ) - - e ( a + b + b p ) 当e 充分小时可保证 咒y n 。 0 ， y py n ? ，n n s 此不等式与抄。) 的递减性矛盾。 所以 l i r a s u p 20 ， 从而 l i r a x 。= 0 证毕。 定理2 4 的证明 假设 x n ) 是方程( 2 i ) 的有界非振动解，不妨设最终而 o 。由( 2 “) ，( 2 1 3 ) 得 妫) 也为有界序列，因此a y 0 ， 则必存在序列 仇) t ：，与伽t ) 。! 。使得 m l i m 2i i m 。i l l2 。，能。旷t ( ，) 2o 且懊_ j 。：) 。c ，女呻 女一。 t o “ l ”， 女4 “ t “t ， 则对任意 0 ，存在0e n ( r l o ) ，k o 时有 吒。一。( 。) c 一，且而 p o p o , x n 。? 。l ；j 1 一p ，j n 一p p h ? x ? 一m 1 q p o x n , 一。( _ ) 一6 一b p x 一。( n ) a p o ( c 一) 一b ( 升) 一b p e 2 f ( a p o b ) 一( a p o 十b + 6 力 当e 充分小时可保证 y ，i y n j 0 ， 即 2 5 即饥 0 - n n n ，矛盾所以l i m s u p x = 0 ，# k 而l i m = 0 证毕 “ 注： n p 0 5 1 ，q = - - c o ，t ( n ) = - - m ，6 ( 叻= 屯f ( x ) = - - x ， = 一1 时，定理2 2 即文献 4 2 】中定理3 1 ，所以本章中定理2 2 是文献 4 2 o 7 3 - ：程( 2 1 ) 的某 些结果的推广 2 6 第三章具正负系数一阶中立型差分方程的正解 3 1 引言 考虑具有正负系数的一阶中立型差分方程 ( 一y 。矗一，) 协一：一岛一s20 ，( 0 ) ，( 3 1 ) 其中，r ，t ，6 是自然数，7 。，a ，岛是定义在自然数集上的非负函数，且总 有1 6 ，为向前差分算子，= + ，一 为表达方便，我们记 喝5 岛一毋一，m 乙= x - - y 。矗一，一岛一6 x 。， ( 3 2 ) = 6 p 。m a x ( r ，t ) ，0 5m i n ( r ，6 ) 在本章里，我们恒假定： 珥0 ，且峨不能最终恒为0 ，肝( o ) 当岛一0 时，方程( 3 1 ) 退化为 o r q ，j ，j 印，。= o( 3 1 ) 方程( 3 ，1 ) 实际上是微分方程 ( x ( f ) 一，( n x ( f ，) ) + p ( t ) x ( t - t ) 一q ( t ) x ( t 一6 ) = o ，t ，t o( 3 3 ) 的离散形式近年来，庾建设( 1 9 ) ，庾建设和王志成( 3 7 ) 等许多作者都研究了方 程( 3 3 ) 的振动性，给出了其所有解振动的若干条件但是，关于方程( 3 3 ) 的正解的 存在性，几乎没有什么结果( 1 8 ，2 0 ，2 4 1 ) ，而与其对应的具正负系数中立型差分方程 的研究是一个新的领域，目前研究的结果较少( 1 5 1 7 ，5 1 1 ) 文献 2 5 ，2 6 研究了( 3 1 ) 的振动性，给出了其振动的充分条件当y 。；c 时， 戴斌祥，黄立宏在文献【5 i 】中研究了方程( 3 1 ) 的正解的存在性，获得了如下结 论： 定理a 假设0 0 使得 c e 9 ，+ p ，e 和“川l ， f2 月 则方程( 3 1 ) 。存在有界正解 ，且 ，i m x 。= 0 2 7 文献 15 ，2 3 分别在条件 0 - 0 ， 一t + 5 且 n 。朦。_ ，县 1 + 1e ) + y ：兀n - r ( + 1 1 + 九e ) ) + 哧，兀( 1 + x 耳) l ， ( 3 4 ) ( 3 5 ) 则方程( 3 1 ) 振动 定理c ( 【2 3 )假设( 3 5 ) 成立，若 ”珥eh = c 。， h 0 则方程( 3 1 ) 振动 一个很自然的想法就是：如果以上条件不全满足，那么方程( 3 1 ) 可能不振动 从而方程( 3 1 ) 可能存在正解 因此，本章的目的是在条件( 3 4 ) ，( 3 5 ) 下研究方程( 3 1 ) 的正解的存在性，所用 方法与文献 1 9 ，2 0 类似 3 2主要结果 定理3 1 如果条件( 3 4 ) , r 3 2 立，且 雪h 号 2 8 则万程( 3 i ) 存在正解。 定理3 2 如果条件( 3 5 ) 成立，则方程( 3 1 ) 存在有界正解的充要条件是 i h , 0 证明由于k ) 为( 3 7 ) 的最终正解，故存在胁 r l o 使得玎1 7 1 时有 0 ，x n ， 0且 b 一。 0 由( 3 1 ) ，( 3 2 ) 得 乙。一。一。0 ，聆 因为h ，不能最终恒为0 ，所以 乙 0 ，儿 0 ，2 弘0 ，n e n ( n 1 ) 令u 。，则由上式立即得 o ，0 ，n e n ( n , ) 卅l 且 儿= p ，坝1 ) ，2n i 再令 ( 3 ，9 ) ( 3 10 ) ( 3 1 1 ) y 。2 1 一岛一6 ， 则由( 3 4 ) 得 y 。y 。，n e n ( 1 ) 定义k 如下 f 等，”。+ 。一。； 圪= 孥十一l 一。+ e ) 上等竺，m + 。一e 疗l + 。； o u 。竹。圪，+ 舀一5 k 。1 + p + o n 】+ p + ( 皓1 ) e ，ke n ( o ) 易见k 在( n t ，固上恒正，并且 矿。壹“ ，一岛+ 1 + 百y ， 5 k 。n e n ( i + p ) ”n ( n i ，n i + p ) 3 1 ( 3 1 2 ) ( 3 13 ) 当n ( 1 + p ，1 + p + 0 ) 时，从( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 得 t k = + ，。矿。一，+ 吕。一6k + ， i = 5 “，+ 0 。+ g 。 ，= 6 j ( 二1 萎 y 一 ，= n 一，= 妻1 7 - 。址辛夸辛 圭”砷1 一般地，由数学归纳法有 圪妻u ，蜘；，胛e ( m + p + 七e ，m 十p + ( 抖1 ) e ) ，女e ( o ) ， 从而 圪寺( “，+ ) ，? ( 1 ) - 注意n y f 拘单调递增性，此式连同( 3 1 0 ) ，( 3 ，11 ) ，蕴涵 k 。( 基u ，机，) = 百1 儿一， o 使得” 。时有 乙0 ，乙 0 ，x n 。 0 由( 3 1 ) ，( 3 2 ) 有 乙+ 巩x = 0 从而 z o h 一h e n ( n o ) ， 此即 y 。一t + 函+ 卜_ 6 x n + ，+ h 一n n ( n o ) ( 3 1 4 ) = 5 由( 3 5 ) ，( 3 1 4 ) 易证：存在常数惨0 和 。 使得 mn e n ( 肝1 一p ) 将此式代入( 3 1 4 ) 得 y 。，+ 函一6 x n + ，+ m h ， n e n ( n 1 ) ( 3 15 ) ，一6 令 a 。= m h ，7 ( ”。) 一3 3 则 a 。 不增且由( 3 1 5 ) 得 l i m a 。= 0 因此存在r 门：使得 翰二ps f = t 爿s ， ”( e 升p ) f 3 16 ) 当”( 升p ，i v + p + 0 ) 时，从( 3 5 ) ，( 3 15 ) ，( 3 16 ) 得 骖以“n + 善踟s ，毋7 ，26 7 ，= 1 ) 0 ，升p + 尼0 ) ，k ( 1 ) 骖古擘棚n ( d 因为 有界，所以 a ， o 使得 令 定义如下 百1 妻哪妻e l ”= t ，= r = h ，n ( 印 3 4 ( 3 17 ) 。 争 一 吖上q导 睢 i一嚣一 r b n ( ? ，7 + p 一0 ) ； ：i 马+ 一r p + 。) 竺旦，”( 升p 一。，升p ) ； 1 r o b ，+ y 。r + 岛一6 v n 。胛( 升p + t0 ，升p + ( 斛1 ) 0 ) ，女( o ) n v 在( ，) 上恒正，并且 2 鼠+ 丫。，+ 岛一6p n 。，7 ( 升p ) ， 1 ” j 26 e e 十b r ，n n ( l7 斗p ) 。 ，= r 类似于引理3 3 的证明，从( 3 5 ) ，( 3 1 8 ) 及上式有 1 ” e + 易，n e n ( d = l 再由( 3 1 7 ) 得 0 1 ，”(