（应用数学专业论文）图的d（2）点可区别及点可区别正常边染色.pdf

摘要 g ( ve ) 足阶至少为3 的连通图，o t ，p 足正整数，足从e ( g ) 到 1 ，2 ，o 的一个映射对e e ( g ) ，称，( e ) 为边e 的颜色对任意z y ( g ) ，令c 缸) 表示与z 关联的边的颜色所构成的集合，称为点z 的色集合若， 是图g 的正常边染色，且当坝钉y ( g ) ，0 d ( u ，v ) sp 时，有c ( u ) c ( u ) ， 则称，是图g 的n d ( 卢) 一点可区别正常边染色( 简记为a d ( p ) 一v d p e c ) 数x ；。d ( g ) = m i n a i g 有o t d ( p ) 一v d p e c 称为图g 的d ( p ) 一点可区 别正常边色数 显然任意阶至少为3 的连通图都有d ( p ) 一点可区别正常边色数x ；。d ( g ) 特别地，当= l 时，x ：一。d ( g ) = 疋。( g ) ，称为图g 的邻点可区别正常边色 数；当p = d 时，磊一。d ( g ) = x ：( g ) ，称为图g 的点可区别正常边色数，这 里d 是图g 的直径 本文主要讨论了d ( 2 ) 一点可区别正常边染色及点可区别正常边染色问 题，可分为以下四个部分： 第一部分给出了相关的概念、定理等预备知识； 第二部分通过具体构造染色的方法讨论了若干图的广义m y c i e k s k i 图 的d ( 2 ) 一点可区别正常边染色，并给出了相应的色数； 第三部分通过应用l o v 缸z 局部引理的一般形式讨论并得到了图 的d ( 2 ) 一点可区别正常边色数的一个上界； 最后一部分讨论了几类联图j 瑶v 甄，晶。v 玩( m 5 ) ，c m v k ；( m 4 ) 的点可区别正常边染色 关键词：点可区别正常边染色；点可区别正常边色数；d ( 2 ) 一点可区别 正常边染色；d ( 2 ) 一点可区别正常边色数；广义m y c i e l s k i ；联图 a b s t r a c t l e tg w , e 1b eac o n n e c tg r a p hw i t ho r d e ra tl e a s t3 , aa n dpa r ep o s i t i v ei n t e g e r s ， a n dfi sam a p p i n gf r o me ( g ) t o 1 ，2 ，a ) ，i f ，i sap r o p e re d g ec o l o r i n g ，a n df o ra n y p o s i t i v e 矽a n da n yt ，口y ( g ) ，0 d ( n ，t ，) s ，w eh a v ec ( g ( t ，) ，t h e nfi sc a l l e d 口一d ( 国一v e r t e xd i s t i n g u i s h i n gp r o p e re d g ec o l o r i n go fg r a p ha ( a d ( 所一v d p e c o f gi nb r i e f ) a n dt h en u m b e r 磊- v d ( g ) = m i n a l gh a sa 口一d ( f 1 ) 一v d p e c i sc a l l e d n d ( 口 ) - v e r t e xd i s t i n g u i s h i n ge d g ec h r o m a t i cn u m b e r o fg r a p hg i ti so b v i o u st h a tx ；一谢( g ) e x i s t sf o ra n yg r a p hgw i t hj y ( g ) i 3 a n dx ：一v d ( g ) = x 0 ( g ) i sc a l l e da d j a c e n ts t r o n ge d g ec h r o m a t i cn u m b e r o fg r a p hg ；x 二一谢( g ) = f a g ) i sc a l l e dv e r t e xd i s t i n g u i s h i n ge d g ec h r o m a t i cn u m b e ro fg r a p hg ，w h e r edd e n o t e st h e d i a m e t e ro fc o n n e c t e dg r a p hg i nt h i sp a p e rs o m ep r o b l e m so fd ( 2 ) v e r t e xd i s t i n g u i s h i n gp r o p e re d g ec o l o r i n ga n d v e r t e xd i s t i n g _ 1 f i s h i n gp r o p e re d g ec o l o r i n ga x ed i s c u s s e d t h e r ea r ef o u rp a r t s ： i nt h ef i r s tp a r t ，s o m ed e f i n i t i o n s ，t h e o r e m sa n ds oo na r eg i v i n g i nt h es e c o n dp a r t ，d ( 2 ) - v e r t e xd i s t i n g u i s h i n gp r o p e re d g ec o l o r i n go fe x t e n d e d m y c i e l s k ig r a p h so fs o m eg r a p h sa r ed i s c u s s e d ，a n dt h ed ( 2 ) 一v e r t e xd i s t i n g u i s h i n gp r o p e r e d g ec h r o m a t i cn u m b e r sa r eo b t a i n e d i nt h et h i r dp a r t ，w i t ha p p l y i n gl o v s 旧zl o c a ll e m m a - g e n e r a ll o c a ll e m m a ，a nu p p e r b o u n d sf o rd ( 2 ) 一v e r t e xd i s t i n g u i s h i n gp r o p e re d g ec h r o m a t i cn u m b e ri sd i s c u s s e da n d o b t a i n e d a tl a s t ，t h ev e r t e x - d i s t i n g u i s h i n gp r o p e re d g ec h r o m a t i cn u m b e ro f 磁v 甄，p mv ( m 25 ) a n d v ( m 4 ) a r e a l s od i s c u s s e d k e y w o r d s ：v e r t e xd i s t i n g u i s h i n gp r o p e re d g ec o l o r i n g ；v e r t e xd i s t i n g u i s h i n gp r o p e r e d g ec h r o m a t i cn m n b e r ；d ( 2 ) 一v e r t e xd i s t i n g u i s h i n gp r o p e re d g ec o l o r i n g ；d ( 2 ) 一v e r t e xd i s - t i n g u i s h i n gp r o p e re d g ec h r o m a t i cm l m h e r ；e x t e n d e dm y c i e l s k ig r a p h s ；j o i ng r a p h s ， i i j 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对奉研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 躲刍l 叫肇嗍节g 月1 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公都论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：莎i 叫叩师签名僚坪坦蹶砷年。月日 l j 丹l j吾 染色问题是图论中具有重要实际意义和理论意义的研究课题之一现实生活中对许 多实际问题的求解往往可以归结为图论的染色问题，例如贮藏问题，时问表问题及电网络 问题等图的染色问题一直倍受关注，许多年来，很多数学工作者都致力于这一工作的研 究图的染色的基本闯题就是确定其各种染色法的色数 1 9 9 3 年，b u r r i a 在其博士论文中首次提出了图的点可区别正常边染色( 即强边染 色) 的概念一个图g 的七一正常边染色，是指从g 的边集合e ( g ) 到颜色集合 l ，2 ，七) 的 一个映射，使得对任何两条相邻的边伽，u w ( v 切) 有，( 删) f ( u w ) 图g 的一正常边 染色，称为是点可区别的，如果对g 的任意两个不同的顶点瘌口来说，与“关联的边的颜 色构成的集合q ( 札) 和与t ，关联的边的颜色构成的集合q ( t ，) 不同，即q ( 让) o ( ) 图 的点可区别正常边染色也叫强染色或o b s 染色图g 的使用了女一种色的点可区别正常边 染色简记为七一v d p e c 对图g 进行点可区别正常边染色所需要的最少颜色数称为 是g 的点可区别正常边色数( 或o b s e r v a b i l i t y ) ，记为也( g ) 或o b s ( g ) o u s ( a ) n - - 参数是 山r 蟛等人在文【3 中引入的，b u r r i s 衣l s c h e l p 在【2 】中记作砭( g ) 。确定一个图的点可区别 正常边色数是非常困难的，已得到的一些结果参见文献【1 - 【1 4 】 1 9 9 9 年，张忠辅首先提出了图的邻强边染色( 或称邻点可区别正常边染色) 问题，创始 性研究成果在a m l 上发表【1 5 1 ，近几年来国际权威人士对此问题做了大量研究，如b a l i s t e r pn 等人f l q 得出了= 3 的图的邻点可区别正常边色数最多是5 ，二分图的邻点可区别正 常边色数不超过+ 2 ；又如a k b a r is ，b i d k h o r ih 和n o s r a t in l l e l 给出对任一无孤立边的 图g ，其邻点可区别的边色数x ：( g ，1 ) 曼3 的结论还有很多有价值的成果，见文 1 5 1 一【2 3 1 2 0 0 6 年，张忠辅等人与a k b a r is 等人1 1 s l 各自独立地提出了图的d ( p ) 一点可区别 正常边染色( 或称r - s t r o n ge d g ec o l o r i n g s ) 的概念一个图g 的_ d ( p ) 一点可区别正常边 染色是图g 的正常边染色，且当乱，u y ( g ) ，0 3 时距离大 于2 ，在m = 3 时，因为这两个一度点与同一个点相连，因此它们的关联边不可能染相同的 颜色撤它们也是可区别的 以下考虑二度点： 设i 1 ，2 ，一，n ) ，j = 1 ，2 ，n ， 当9 ( 仇1 ) = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 时，顶点仇l 的色集合分别为 3 ，5 ， 4 ，5 ， 一 一 竹 5 3 4 ，l_lil，、_l【 l ! 墨耋鬯箜 苎坚! ! 堡堡! ! 望竺2 i 型= 皇要垦型垩堂望墨鱼 f ( v n l w ) f ( v 2 w ) y ( v z w ) f ( v n 4 w ) f ( v f l 5 w ) ，( t b ) ( 6 歹m ) 竹三1 ，2 ( m o d1 0 ) 12435 j 似兰3 ( r o o d1 0 1 51432 j n 兰4 ( 删1 0 ) 21 53 4 j 竹5 ( m o d1 0 ) 13542 3 i , 兰6 ( r o o d1 0 1 13254 歹 n i 7 ( r o o d1 0 1 53124 歹 n 三s ( m o d1 0 1 34251 j n 三9 ( r o o d1 0 1 4 3 251 j n 三0 ( r o o d1 0 1 5 412 3 歹 山定理2 ，1 的证明知，所有四度点及除y n l ，之外的二度点都是d ( 2 ) 一点可区别 的，而v m n ( m 6 ) 与其余任一点可区别( 因为u n t o 表现了色m ，而其余任何一点都不表 现m ) 下面考虑所有三度点是否d ( 2 ) 一点可区别以及1 与。2 ) l 是否可区别设( 鸽昭) 表示与相关联的除弘巧埘之外的边在，下的色构成的集合 显然，在每种情况下，度为3 的点是可区别的，对于v n l 也是与一1 可区别的( 见下 表1 故，是m 。( f m ) 的m d ( 2 ) 一v d p e c g ( 轨n 一2 ) 1 )c ( n 1 ) e ( 2 )c ( 伽) ( m = 3 )g ( ( 2 ) 3 )g ( ) n il ( m o d1 0 1 2 ，3 ) 1 ，4 ) 1 ，2 ，3 ，( 1 ，2 ，4 ) l ，3 ) t 2 ，4 ，5 n 兰2 ( r o o d1 0 1 2 3 ) 1 ，5 ) 1 ，2 ，3 ) 1 ，2 ，4 ) 1 ，3 ) 1 ，2 ，4 ) 竹三3 ( r o o d l 0 1 1 ，4 ) 4 ，5 ) l ，3 ，5 ) 1 ，4 ，5 ) 3 ，5 ) 2 ，3 ，4 ) 祀兰4 ( m 彪1 0 ) 3 ，5 ) 1 ，2 ) ( 1 ，4 ，砧 1 ，2 ，5 ) 2 ，” 2 ，4 ，5 ) 扎兰5 ( r o o d l 0 1 4 ，5 ) l ，2 ) l ，2 ，3 ) l ，3 ，5 2 ，4 ) 1 ，3 ，5 ) n e 8 ( r o o d1 0 1( 1 ，2 ( 1 ，5 ) 1 ，3 ，4 ) 1 ，2 ，3 ) 1 ，4 2 ，4 ，5 n i7 ( r o o d l 0 1 1 ，2 ) 3 ，5 ) 2 ，3 ，4 ) 1 ，3 ，5 ) 1 ，4 ) 1 ，4 ，5 ) n 兰8 ( m o d1 0 1 4 ，5 ) l ，3 ( 2 ，4 ，5 2 ，3 ，4 ) 2 ，4 ) l ，2 ，3 ) 几i9 ( r o o d1 0 1 f 3 ，5 ) 3 ，4 ) 3 ，4 ，5 ) 2 ，3 ，4 ) 2 ，5 ) t 1 ，2 ，4 ， r t e0 ( r o o d1 0 、 1 ，4 ) 2 ，5 ) 2 3 ，4 ( 1 ，4 ，5 ) 3 ，5 ) 1 ，3 ，5 ) 2 几类图的广义m y c i e l s k i 的d ( 2 ) 一点可区别正常边染色 c ( v c 一2 b )c ( ) g ( 。2 ) s )e ( )c ( )虿( ) ( m = 4 ) n i1 ( r o o d1 0 1 2 ，5 ) 2 ，3 ，4 2 ，4 1 ，3 ，5 ( t 锄) u d ) 5 ) 竹i2 ( r 加d 1 0 ) 2 ，5 ) 1 ，3 ，4 ) 2 ，4 ) 1 ，3 ，5 ( t 锄) ud ) 5 n e3 ( r o o d1 0 1 1 ，4 ) 3 ，4 ，5 l ，4 ) 2 ，4 ，5 ) ( ) u 办 2 ， n ；4 ( 舢d1 0 ) 1 ，3 ) 2 ，3 ，5 ) 3 ，5 3 ，4 ，5 ，( t ) u d 4 ) n 兰5 ( r o o d1 0 1 2 ，4 ) 1 ，3 ，4 ) 2 ，5 ( 1 ，2 ，4 ( t 锄) ud 2 ) n ；6 ( m d d1 0 ) 3 ，5 ) 2 ，3 ，5 1 ，3 ， 1 ，2 ，4 ) ( t ) u d ) 4 ) n 兰7 ( r o o d l 0 1 3 ，5 2 ，3 ，5 ) l ，3 2 ，4 ，田c ( v n j ) u d ) 4 ) 扎兰8 ( m d d1 0 ) 2 ，4 1 ，3 ，5 2 ，5 l ，2 ，4 ) ( ) u j ) 1 ) n e 9 ( r o o d1 0 1 1 ，3 ) 1 ，2 ，5 ) 3 ，5 ) 1 ，2 ，3 ) ( t 切) u d ) 1 ) n g 0 ( r o o d1 0 1 l ，4 ) 2 ，4 ，5 ) 1 ，4 3 ，4 ，5 ) ( ) u d 3 ) 情况3 ：当4 m 5 或m = 3 ，n 2 时，有舰= 5 山引理2 1 ，我们有x ：- v d ( 朋。( f m ) ) 肛2 = 5 下面我们只需证明m 。( p m ) 存韬绣一d ( 2 ) 一v d p e c 按定理2 1 的证明中的方法先给图m 。( p m ) 的除伽及其关联边之外的顶点及边着 色，再按情况2 的染法给t l ，的关联边着色，就可以得到图m 。( f ) m ) 的一个正常边染色 当m = 3 ，n 2 时，山定理2 1 的证明知，所有四度点及除v n l ，v n 3 之外的二度点都 是d ( 2 ) 一点可区别的，对于1 ，只需考虑是否与耿n - 2 ) 1 ，”( ，2 ) 3 可区别，山上表中对 应的列( g ( t 碣) 所对应的列中去掉黑体杯记的色) 知它们是可区别的而三度点伽与q 1 2 也是可区别的 当m = 4 时，山定理2 i 的证明知，除伽之外的四度点及除l ，奶“之外的二度点都 是d ( 2 ) 一点可区别的，对于? - ) n 1 只需考虑是否与钉扣一2 ) l 可区别，t 只需考虑是否与t b 一2 ) 4 可区别，由上表中对应的列( e ( 似融) 所对应的列中去掉黑体标记的色) 知它们是可区别的 而三度点忱与t 协也是可区别的四度点埘只需考虑是否q 。1 hd = 2 ，3 ) 可区别，结合 上表最后一列与图1 知它们是可区别的 当m = 5 时，由定理2 1 的证明知，所有的四度点及除1 ，之c b z j - 度点都是d ( 2 ) 一 点可区别的，对于1 只需考虑是否与q n - 2 ) 1 可区别，v n 5 只需考虑是否与q 。一2 ) 5 可区别， 山上表中对应的列( g ( 5 ) 所对应的列中去掉黑体标记的色) 知它们是可区别的而三度 1 2 姚绷枷蝴测蒯州驯譬蚤 x 2 二谢( m 。( ) = 5 , r a - o ( m o d 1 0 ) 如= 1 ； 2 几类图的广义m y c i e l s k i 图的d ( 2 ) 一点可区别正常边染色 虿( t b 。) = 1 ) ，m 三2 ( m 。d4 ) ；g ( 仉1 ) = l ，3 ) ，m 三l ( m o d2 ) ； c ( 1 ) = 3 ，4 ) ，meo ( m o d4 ) ；g ( 1 1 ) = 3 ，5 ) ，mi2 ( m o d4 ) ； c ( 仇。) = 4 ，耐，m eo ，1 ，3 ( m o d4 ) ；g ( 啦。) = 1 ，5 ) ，m e2 ( l o d4 ) 上面有相同色集合的任意两点间距离都大于2 ，故妒是m 。( g i m ) 伽) 的5 一d c 2 ) 一 y d p e c 当me0 ( r o o d1 0 ) ，n 2 时，可构造从e ( m 。( c r m ) 叫) ) 到 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 的映射 ： h ( v o j v ( o o + ：) ) = f ( v o # v o u + d ) ；m ”舒”i i + ”u + 1 ) ) = ，( t 访1 ，( t + 1 ) j + 1 ) ) ； ( q o + 1 ) t 稚+ 1 ) ，) = ，( 地o + 1 ) 钉( 件1 ) ； ( t b l t b 。) = ，( ，1 0 。u 1 1 ) ； ( q 1 口( 件1 ) m ) = ，( 地1 0 q + 1 ) 1 1 ) ； ( 鸭m 嘶+ 1 ) 1 ) = ，( 仇a l v o + m o ) 这里，是定理2 1 的证明中构造的映射它使得所有的四度点及二度点是d ( 2 1 | - 点可区别 的 当m o ( m o a1 0 ) 且n 2 时，首先我们证明用5 种色不能对朋。( c k ) ) 进 行d ( 2 ) 一点可区别正常边染色否则，假如用5 种色能染，考虑m 。( c k ) 叫) 的所有四度 点，因v 0 2 ， 0 0 3 ，t 机， 1 2 ，仇4 这五个四度顶点中任意两顶点间的距离都不超过2 ，故这 五个4 度顶点必须是可区别的，每个4 废点t ，所缺的色记为9 ( ) 则g ( t 忱) ，9 ( l 】0 3 ) ，9 ( ) ， 9 ( 口1 2 ) ，9 ( 1 4 ) 互不相同，不妨令g ( v 0 2 ) = 1 ，g ( v 0 3 ) = 2 ，g ( v o a ) = 3 ，9 ( 1 2 ) = 4 ，口( 1 4 ) = 5 ，又 因为 1 3 与t 忱，t 协，撕是可区别的，因此9 ( 饥3 ) = 4 或5 ，当日( 口1 2 ) = 4 ) 时，山定理2 1 的证明 知，由这六个顶点的色集合可以确定其它所有四度顶点的色集合，但在确定朋。( c ) 叫 的所有四度点的色集合时不能做到d ( 2 ) 一点可区别，因为点伽l 与连边后，在f r o m 的邻点中总有一个非伽1 的顶点与v 0 1 有相同的色集合当f ( 口1 2 ) = 5 时，类似可证 故x 2 二埘( m 。( c k ) ) 6 下面证明用6 种颜色可对m 。( c k ) 进行d ( 2 ) 一点可区别正常边染色，可构造 从e ( m 。( c ，m ) 扣，) 到 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) 的映射，先染边j v o k ，吼“l 冲 = 歹+ 1 ，= 1 ，2 ，m 一1 蝴= 膏十1 ，k = 1 ，2 ，m 一1 ) ( 如下图4 所示) ： ，( ”( 件1 ) 1 ) ) = ，( q 1 ) + 1 ) j ) = 1 ，i 三0 ，2 ( r o o d4 ) ，ji1 ( m o d3 ) ； ，( t 锄q 件1 ) u + 1 ) ) = ，( 饥o + 1 ) q 件1 ) j ) = 2 ，i 兰0 ，2 ( m o d4 ) ，j 三2 ( r o o d3 ) ； ，( 职件1 ) a + 1 ) ) = ，m 1 ) + 1 ) ，) = 3 ，i 三0 ，2 ( 仇。d4 ) ，j 三0 ( m d d3 ) ； 1 4 ，( 嘶+ 1 ，) 暑 ，( 邯+ 1 ) u + 1 ) ， = f ( v i o + 1 ) q “d h ) = ，( 七q 卧1 ) ( 1 ) ) = ，( + 1 ) ”( i + 1 ) k ) 5 ， - 3 ( r o o d4 ) ，j 兰l ( m o d3 ) ，8 兰1 ( r o o d4 ) ，三2 ( m o d 3 ) ； ，( 锄啦升1 ，) ； ，( 呵+ 1 ) 0 + 1 ) ) = f ( v t o + 1 ) q 件1 h ) = ，( 七耿外1 ) 1 ) ) = ，( ( 七十1 ) ( 1 + 1 ) 知) = 6 ， - 3 ( r o o d4 ) ，歹兰2 ( m o d3 ) ，8 三1 ( 删4 ) ，七毒o ( 删3 ) ； ，( 锄仃+ 1 ，) 2 ，( + 1 ) a + 1 ) ) = ，( 地( j + 1 ) q t + 1 h ) ： ，( 眦l 十1 ) ( 七+ 1 ) ) = 图3 图4 再给其它的边着色： 当m eo ( m o a3 ) 时，令 ，( 均1 蜘机) = ，( 地i v ( i + 1 ) m ) = ，( q t + 1 ) 1 仇m ) = 4 ，i 三3 ( t o d4 ) ； f ( v i l v ( i + 1 ) m ) = ，( q i + 1 ) l v i m ) = 3 ，iio ( m 凸d2 ) ； ，( 地1 赳“+ 1 ) m ) = f ( v ( i + 1 ) l t i “n ) = = 6 ，iel ( m o d4 1 当m 罩l ( r o o d 3 ) 时，先修改边蜘( m - 1 ) ，f g i ( m - 1 ) t ，( + 1 ) 。，+ 1 ) ( 仇_ 1 ) 0 i f ( v 0 ( m 1 ) 加协) = ，( 让( 研1 ) 2 j ( 件1 ) 优) = ，( 矾m + 1 ) ( m 一1 ) ) = 5 ，l 兰3 ( 。d4 ) f ( v q , n 一1 ) q 件1 ) m ) = f ( v l 仇咄件1 ) ( m 一1 ) ) = 4 ，i 毫1 ( m 。d4 ) ) 1 5 2 几类图的广义m y c i e l s k i 图的d ( 2 ) 一点可区别正常边染色 再令，( t u 咖。) = f ( v , l v ( i + i ) 。) = ，( 挑。q + 1 ) 1 ) = 4 ， 羞3 ( r o o d4 ) ； ，( 钝l 邯+ 1 ) ，i ) = ，( 仇t ，i q 件1 ) 1 ) = 2 ，i ；1 ( m o d4 ) ； ，m 1 + 1 胁) = ，( 川件1 ) 1 ) = 6 ，ii0 ( r o o d2 ) 当me2 ( r o o d3 ) 时，先修改边1 t b 2 ，v i l v ( i + 1 ) 2 ，v i 2 v ( i + 1 ) l ，( m 1 ) 眦s + 1 ) ，i ，v m a v ( 卧1 ) ( t ，卜1 ) ( i 兰3 ( m 砌4 ) ，s 三l ( m o d 4 ) ) 的着色，令 ，( t b l t 幻口) = ，( 仇1 耿件1 ) m ) = ，( q 。口“+ 1 ) 1 ) = 3 ，i 兰3 ( r o o d4 ) ； ，( ( m 一1 ) q 卧1 胁) = ，( n q 卧1 ) ( m 1 ) ) = 5 ，s 三l ( r a o d4 ) 翮4 f ( v o l v o m ) = ，( 让1 ”( 件1 ) 。) = ，( 饥。q l + 1 ) 1 ) = 4 ， 兰3 ( m o e4 ) ； ，( 地1 t 骷+ l 阳) = ，( 饥m ”( 件1 ) 1 ) = 2 ，i 毫l ( m o d4 ) ； ，( 忱l q t + 1 p n ) = ，( 地，i q 件1 ) 1 ) = 6 ，l 兰0 ( r o o d2 ) 我们有刁( ) = 3 ，4 ，让；0 或3 ( m o d4 ) ，1 j m ，j e2 ( m o d3 ) 虿( ) = 1 ，5 ) ，i 兰0 或3 ( m o d 4 ) ，1 j m ，j 兰o ( m o d3 ) ； 虿( ) = 2 ，6 ) ，i ；0v , e 3 ( m o d 4 ) ，1 j 仇，j 毫l ( m o d3 ) ； 虿( t b ) = 3 ，6 ) ， 三l 或2 ( m o d4 ) ，1 j m ，j 三2 ( r o o d3 ) ； 虿( ) = 1 ，4 ) ，i ；1 或