（基础数学专业论文）几类非线性微分方程的奇异摄动问题.pdf

l1 ji-一 k j 福建师范大学姚金霞硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h e r ea r et w op a r t s i nt h ef r i s tp a r t ，m a i nb yt h et h e o r yo fd i f f e r - e n t i a li n e q u a l i t i e s ( u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sm e t h o d ) ，w es t u d yt h ee x i s t e n c er e s u l t s o fs o l u t i o n ( o rp o s i t i v es o l u t i o n ) o ft w oc l a s s e so fs i n g u l a rp e r t u r b a t i o nb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sw i t has m a l lp a r a m e t e r f u r t h e r m o r e ，b yt h em e t h o do fb o u n d a r y l a y e rf u n c t i o n ，w ec o n s t r u c tt h eh i g h e ro r d e ra s y m p t o t i cs o l u t i o na n dg e tt h ee r r o r e s t i m a t eo fa s y m p t o t i cs o l u t i o na n de x a c ts o l u t i o n i nt h eo t h e rp a r t ，b a s e do nt h e m e t h o do fv a r i a t i o no fa r b i t r a r yc o n s t a n ta n dt h ep r i n c i p l eo fc o m p r e s s e dm a p - p i n g ，t h eq u a s i d i a g o n a l i z a t e dt e c h n i q u eo fo n ec l a s so fs i n g u l a r l yp e r t u r b e ds y s t e m w i t ht w op a r a m e t e r si sc o n s i d e r e d t h i sp a p e ri sa r r a n g e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fs i n g u l a r l yp e r t u r b a t i o n t h e o r ya n ds o m er e s e a r c ho ff o r m e rs c h o l a r sh a v es t u d i e d s e c o n d l y , t h ec o n c e p t s o fu p p e rs o l u t i o n ，l o w e rs o l u t i o n ，d i c h o t o m ym e t h o da n dn a g u m oc o n d i t i o na r e s h o w e d ，s o m ef u n d a m e n t a lr e s u l t so fs e c o n d o r d e ra n dt h i r d o r d e rd i f f e r e n t i a li n - e q u a l i t ya r ei n t r o d u c e d ，a n ds o m el e m m a l sa r ec i t e dw h i c hw i l lb eu t i l i z e di nt h e f o l l o w i n gc h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o no fs i n g u l a r l yp e r t u r b e dr o b i n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rs e c o n d o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni so b t a i n e d m o r e o v e r ，t h ee r r o re s t i m a t eb e t w e e nt h ee x a c ts o l u t i o na n dt h er e d u c e ds o l u t i o ni s d e r i v e ds i m u l t a n e o u s l yu n d e rt h es u i t a b l es t a b i l i t yc o n d i t i o n s i nc h a p t e r3 ，t h ec o n s t r u c t i o no fh i g h e ro r d e ra s y m p t o t i cs o l u t i o no fn o n l i n e a r t h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h i r d - o r d e rs e m i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hs i n g u l a rp e r t u r b a t i o ni ss t u d i e d ；t h e nu s i n gt h er e l e v a n tt h e o r yo fd i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t i e s ，p r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o na n dg e tt h ee r r o re s t i m a t eo fa s y m p t o t i c s o l u t i o na n de x a c ts o l u t i o n ；a tl a s t ，o n ee x a m p l ei sg i v e na n dt h er e s u l to ft h i sp a p e r i sv e r i f i e d i nc h a p t e r4 ，t h r o u g ht w i c el i n e a r - t r a n s f o r m ，c o n s i d e ro n ec l a s so fs i n g u l a r l y p e r t u r b e ds y s t e mw i t ht w op a r a m e t e r s b a s e do nt h em e t h o do fv a r i a t i o no fa r - b i t r a r yc o n s t a n ta n dt h ep r i n c i p l eo fc o m p r e s s e dm a p p i n g ，p r o o ft h ee x i s t e n c ef o r t h ed i s c u s s i o na b o v e l i n e a r - t r a n s f o r m ，t h e nt h es y s t e mi sq u a s i d i a g o n a l i z a t e dw i t h s o m ec o n d i t i o n s i i _ j - 福建师范大学姚金霞硕士学位论文 k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；s i n g u l a rp e r t u r - b a t i o n ；d i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y ；q u a s i - d i a g o n a l i z a t i o nt e c h n i q u e i i i _ a 福建师范大学姚金霞硕士学位论文 中文文摘 本文分为两个部分：第一部分主要运用微分不等式的技巧( 或称为上下解方法) ， 在一定条件下研究带有小参数的两类奇异摄动边值问题( 正) 解的存在性，利用边 界层函数法，构造了其高阶渐近解并得到了解的一致有效估计；第二部分运用对角 化方法研究一类带两参数奇异摄动系统的拟对角化技巧本文主要分为四章( 注： 每章里面所使用的假设风均是相互独立的) ： 第一章，给出上下解，二分法的概念及n a g u m o 条件，同时给出了二阶与三阶 微分不等式的基本结果，及后面会用到的基本引理 第二章，基于上下解的方法，研究如下奇异摄动二阶非线性微分方程的r o b i n 边值问题 慌嚣p l 玑y 器a 写i6 y ( b + p 2 y 邻州 吡， 【( n ，) 一 7 ，e ) = a ( e ) ，g ) +7 ( 6 ，e ) = b ( ) 、7 正解的存在性，正解关于退化解的渐近性质，其中为正的小参数，p 1 ，p 2 0 分 别讨论其当满足左右边界条件的退化解存在时的正解存在性，以及摄动解与退化解 的误差估计 在适当条件( h 1 一凰) 和( 定义2 2 1 一定义2 1 5 ) 下，得到了如下结论： 定理2 1 1 如果研，凰，风成立，u l ( t ) 在 a ，6 】中是( 厶) 稳定，同时是强稳 定，或者局部强稳定且屯，( t ，y ，y 7 ，0 ) 在d ( u l ) r 上有界，则当充分小时，边值 问题( 2 o 1 ) 存在正解y ( t ，) c 2 ( 【n ，h i ) ，满足 i 可( 亡，) 一让工( z ) i v r ( t ，) + c 1 ( 2 q + 1 ) ， 这里( 芒，) = 叼巧1 尼一1 e 船_ 1 0 一6 ) i b ( e ) 一u l ( b ) 一p 2 u k ( b ) 1 定理2 1 2 若条件皿，仍，风成立，u l ( t ) 在 a ，6 】中是( l ) 稳定，同时是弱稳 定，或者局部弱稳定且屯，( t ，y ，y 7 ，0 ) 在d ( u l ) r 上有界，则当s 充分小时，边值 问题( 2 o 1 ) 存在正解y ( t ，) c 2 ( a ，h i ) ，满足 可( 亡，) 一u l ( ) j 坛( 亡，) + 1 p ( 2 q + 1 1 定理2 1 3 若研，凰，风成立，u l ( t ) 在 a ，6 】中是( ，厶) 稳定，同时是强稳定，或 者局部强稳定且 小，y ，y 7 ，0 ) 在d ( u l ) r 上有界，且u l ( b ) + p 2 u 7 l ( b ) b ( o ) ，以及 i v _ 、 福建师范大学姚金霞硕士学位论文 在( a ，b ) 中皑( t ) 0 ，则当5 充分小时，边值问题( 2 0 1 ) 存在正解y ( t ，e ) c 2 ( 口，h i ) ， 满足 0 可( ，e ) 一u l ( t ) 硌( t ，) + c 9 1 n 定理2 1 4 若研，凰，风成立，u l ( t ) 在【a ，6 】中是( ，厶) 稳定，同时是弱稳定，或 者局部弱稳定且矗，( 亡，可，y 7 ，0 ) 在d ( u l ) r 上有界，且u l ( b ) + p 2 u l ( b ) b ( o ) ，以及 在( a ，b ) 中屹( t ) 0 ，则当充分小时，边值问题( 2 1 1 ) 存在正解可( t ，g ) c 2 ( 【口，6 】) ， 满足 0 y ( t ，) 一u l ( t ) v r ( t ，) + c 1 n 定理2 1 5 若研，凰，风成立，u l ( t ) 在 a ，6 】中是( ，厶) 稳定，同时是强( 弱) 稳 定，或者局部强( 弱) 稳定且矗心，y ，可7 ，0 ) 在d ( u r ) r 上有界，且钍工( 6 ) + 沈u 2 ( 6 ) b ( o ) ，以及在( o ，b ) 中u z ( t ) 0 ，则当e 充分小时，边值问题( 2 0 1 ) 存在正解 可( 亡，) c 2 ( n ，h i ) ，满足 一( t ，e ) 一c e l n y ( t ，e ) 一u l ( t ) 0 在适当条件( 凰一风) 和( 定义2 2 1 一定义2 2 5 ) 下，得到了如下结论： 定理2 2 1 若设凰，风，风成立，u n ( t ) 在【a ，6 】中是( ) 稳定，同时是强稳 定，或者局部强稳定且乃( t ，可，矿，0 ) 在d ( u r ) r 上有界，则当充分小时，边值 问题( 2 0 1 ) 存在正解可( t ，) c 2 ( o ，6 】) ，满足 i y ( t ，) 一u r ( t ) i 屹( t ，e ) + c e l ( 2 口+ 1 1 定理2 2 2 若凰，风，风成立，u n ( t ) 在 a ，6 】是( ) 稳定，同时是弱稳定， 或者局弱强稳定且乃( t ，y ，可7 ，0 ) 在d ( u r ) r 上有界，则当e 充分小时，边值问题 ( 2 0 1 ) 存在正解! ，( ，e ) g ，2 ( o ，6 】) ，满足 i y ( t ，8 ) 一乱r ( t ) is 屹( t ，) + e _ 2 1 p ( 2 9 + 定理2 2 3 若凰，风，凰成立，u r ( t ) 在 a ，6 】是( ，厶) 稳定，同时是强( 弱) 稳 定，或者局部强( 弱) 稳定且矗小，y ，y 7 ，0 ) 在d ( u r ) r 上有界，且u n ( a ) - p 1 让名( 凸) a ( o ) ，以及在( a ，b ) 中u 名( 艺) 0 ，则当充分小时，边值问题( 2 0 1 ) 存在正解 y ( t ，) c 2 ( o ，6 】) ，满足 0 y ( t ，) 一u r ( t ) 屹( z ，e ) + c e l n v 福建师范大学姚金霞硕士学位论文 定理2 2 4 若凰，玩，风成立，u n ( t ) 在 a ，b 】是( ，厶) 稳定，同时是强( 弱) 稳 定，或者局部强( 弱) 稳定且乃( t ，y ，y 7 ，0 ) 在d ( u n ) r 上有界，且u l ( a ) 一p l 吒( o ) a ( o ) ，以及在( a ，b ) 中u 名( t ) 之0 ，则当充分小时，边值问题( 2 0 1 ) 存在正解 y ( t ，g - ) c 2 ( 【口，b 1 ) ，满足 一圪( t ，e ) 一c 1 n y ( t ，e ) 一u n ( t ) 0 第三章，在满足条件( 见一h 4 ) 和引理( 1 2 2 ) 的基础上，利用边界层函数 法，研究奇异摄动三阶半线性微分方程的非线性三点边值问题 e 2 朋= ，( 亡，可，可：，：) ，? t 0 ，使得0 e 1 c o 时，通过变换 ( i ) = (三- - e s 互1a ) ( ： )一噩厶+ e 互是口 v i ( 术) 福建师范大学姚金霞硕士学位论文 能够将( 4 0 1 ) 改写为如下： ( 4 1 1 ) 这里的乃= 丑( t ，肛) ，研= & ( 亡，e ，p ) c ( t ，e ，肛) i 【o ，6 】( 0 ，e 1 】x ( 0 ，p o 】) 分别是 如下初值问题 f 墨= e 一1 e 冗一冗a + t 1 b t , 一e - 1 d ， l 正( n ，e ，p ) = 0 fs l = a b 丑】& 一一1 & 【e + e 互b 】一一1 b ， i 研( o ，e ，p ) = 0 ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 的唯一有界解 定理4 1 2 假设风，飓成立，则存在e 2 ( 0 ，l 】，p l ( 0 ，p o 】使得当o e 2 ，o p p 1 时，通过变换 = ( 三五：瓮岛比) ( ，t c 木) 能够将( 4 1 1 ) 改写为如下： f = ( a b 五一c 死一研正c 乃) 乱一e 岛f 岛u + ( ，+ p 疋) 【( j + 岛丑) ， l+ & 夕】+ s 2 h ， u 7 = ( e + e t , b ) v + e t , ( g u + ，) + 夕， il a w 7 = ( g + p 乃c + e # t 2 s 1 t 1 c ) w + 乃【( ，+ e - 觅五) ，+ s , g 】一e f s l v + h ， i ( n ，e ，肛) = a ( e ，肛) ，u ( o ，肛) = p ( s ，肛) ，z ( b ，e ，p ) = 7 ( ，p ) ， 、 ( 4 1 4 ) 这里的t 2 = 乃( t ，e ，p ) ，岛= 岛( t ，p ) c _ 【( 屯，肛) i 【a ，6 】( 0 ，2 】x ( 0 ，p 1 】) 分别是 如下初值问题 f 乃= 肛a t 2 一乃( a b 噩) + 死( c + 岛丑c ) 正一p - 1 f ， 【t 2 ( 6 ，肛) = o ； i 足= ( a b t , 一c t 2 一岛t 1 c t 2 ) 昆 一肛一1 ( g + # t 2 c + e 肛正& 丑c 死) 一p _ 1 ( ，+ s & 乃) c ， i 岛( o ，p ) = 0 ， v i i ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) z r 毛 q h 配 冰力 p 死+ b | l 螂叶叫脚肌“札水m n h 一h 跏卜洲 噩a g 球2 巢 一 + ” i i 小凡 l l = | l 栌 吣州 福建师范大学姚金霞硕士学位论文 的唯一有界解 定理4 1 3 假设研，凰成立，则存在3 ( 0 ，e o 】，p 2 ( o ，伽】使得当0 e e 3 ，0 肛sp 2 时，通过变换( 木) ，( 料) 能将( 4 o 1 ) 改写成( 4 1 4 ) 由于系统( 4 1 4 ) 前三个式子右边主要部分分别是( a b 五一c 乃) 仳+ _ 厂+ 夕+ ，e v + 夕，c w + h 因此( 4 1 4 ) 在某种程度上具有对角的特征，我们则把上述变 换技巧称为拟对角化技巧 i i 福建师范大学姚金霞硕士学位论文 目录 摘要 a b s t r a c t 中文文摘 第1 章 绪论一 1 1 引言 1 2 几个基本概念及基本引理 第2 章奇异摄动二阶r o b i n 边值问题正解的存在性 2 1 满足左边界条件的退化解存在时的正解存在性 2 2 满足右边界条件的退化解存在时的正解存在性 第3 章奇异摄动三阶半线性微分方程的非线性三点边值问题 3 1 高阶渐近解的构造 3 2 摄动解的存在性及误差估计 3 3 举例验证 第4 章一类带两参数奇异摄动系统的拟对角化技巧 4 1 主要定理 4 2 主要定理的证明 结束语 参考文献 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果 致谢 个人简历 福建师范大学学位论文使用授权声明 i u 1 1 2 6 6 m 掩 掩 殂 纵 媚 卯 勰 弱 虹 蛇 鹳 必 - 第1 章绪论 1 1 引言 第1 章绪论 从天体力学，流体力学【1 】，固体力学【2 】，量子力学，工程力学，化学，生物等科 学领域归纳总结出来的数学模型，常常是非线性，变系数的微分方程，有时还附以 非线性的边界条件或初始条件，使得定解问题变得比较复杂，一般情况下不可能用 初等的方法直接得到问题的解析解于是人们会寻找各种方法，期望得到问题的近 似解或者数值解，这里主要有数值方法和摄动方法数值方法主要是通过差分方法 及有限元的方法等求出问题的数值解；而摄动方法的主要思想，是将非线性，高阶 的或变系数的定解问题的解，用所含某个参数的渐近展开式的前几项来渐近近似 虽然2 0 世纪以来，电子计算机和数值计算取得了飞速的发展，数值方法得到 了飞速的发展与广泛的应用，可以满足某些模型的提出者；物理学家，天体学家等 的实际要求但是数值方法有时不仅工作量大，容易出现难免的计算误差，而且它 给出的结果是离散的数值，不便于进行理论分析，不容易使人清晰地了解物理现象 内在的规律另一方面，很多的微分方程定解问题来自物理等实际问题，能够揭示 其物理本质的近似解显然更为重要，而奇异摄动方法就是求微分方程近似解的行之 有效的方法。 摄动方法的优点在于能得到简单而又理想的近似解，其结果常能用来进行物理 问题的定性且近似定量的讨论，容易看出实际问题中各个物理参数对解的影响，有 助于弄清解的解析结构，这些是数值解所不能比拟的 摄动方法的产生可以追溯到1 9 世纪末期天文学家l i n d s t e d t ( 1 8 8 2 ) ，b o h l i n ( 1 8 8 9 ) ， g y l d e n ( 1 8 9 3 ) 等人的工作，他们利用小参数的幂级数来研究行星的运行问题，这 些幂级数虽然是发散的，却能正确地描述了客观现象1 8 9 2 年杰出的数学家和力 学家庞加莱证明了这些发散级数就是所谓渐进级数，当参数充分小的时候，它的前 几项的和可以充分接近原来问题的解，从而为这种“摄动法”或“小参数法”建立 了理论基础l i n d s t e d t 与庞加莱的工作后来被称为【广p 法此后，奇异摄动方法 得到迅速发展，许多方法包括平均法、k b m 法、多重尺度法、匹配法以及边界层 校正法等被相继提出关于奇异摄动方法及其应用，可见专著【3 9 】的详细介绍 虽然上述的许多的摄动方法在很多领域得到了很好的应用，但是从数学学科严 密性的角度出发，给定一个微分方程定值问题，首先必须保证在一定条件下该问题 福建师范大学姚金霞硕士学位论文 解的存在性，这就是解的存在性问题；然后再按照一定方法，构造该问题的近似解； 最后还得严格的地对所构造的近似解关于精确解的误差作出严谨的估计，保证近似 解的渐近精度这样，微分不等式理论f 也成为上下解方法) 与奇异摄动方法经常被 联合应用于微分方程的定解问题，特别是带小参数的微分方程边值问题( 也称奇异 摄动边值问题) 的研究当中 1 9 3 7 年，n a g u m o 发表了开创性的文章 3 】提出了经典的”n a g u m o ”条件，奠 定了微分不等式的理论基础在这以后，许多学者做了大量的工作( 4 】一【1 4 】) ，把 一些微分方程边值问题解的存在性推广到了更一般的情形，如高阶微分方程以及微 分方程系统的两点，三点，多点边值问题以及非线性边值问题等，并将所得到结果 应用于处理奇异摄动问题，得到了喜人的成果，目前这一理论已日趋完善h o w e s f a 以及加籍华人章国华在他们大量工作的基础上加以总结，于8 0 年代初形成了 专著【5 】，该专著迅速被翻译成俄文，我国林宗池教授等在8 0 年代末将其译成中文 【1 5 】 然而，据作者所阅文献，关于奇异摄动边值问题的工作，以往主要集中于解的 存在性及解的近似构造问题，很少涉及正解的存在性及相关问题的研究因此，本文 第二章考虑一类带r o b i n 边界条件的奇异摄动二阶非线性微分方程的奇异摄动问 题，研究当其满足左右边值的退化解存在时的正解的存在性，以及摄动解与退化解 的误差估计；本文第三章利用边界层函数法，考虑了一类带非线性的三点边界条件 的三阶半线性微分方程的奇异摄动问题，首先考虑其高阶渐进解的构造，然后利用 相关的微分不等式理论证明解的存在性，并给出高阶渐近解和精确解的误差估计 对角化技巧也是处理奇异摄动问题的一种行之有效的方法其本质在于通过适 当的r i c c a t i 变换，把给定的方程分解为低阶的并已解耦的方程组由于对角化方 法在最优控制理论等有广泛的利用( 2 1 】一 2 2 】) 因此，自c h a n g ( 5 0 】一【5 1 】) 提出 后，已有许多的工作，例如( ( 5 3 】一【5 8 】) 但是，据作者所知，以往的问题集中于带个参数的对角化问题，对于带两参 数的奇摄动边值问题的对角化技巧较少考虑因此，本文的第四章考虑了一类带两 参数的系统微分方程边值问题的拟对角化问题 1 2 几个基本概念及基本引理 关于二阶微分方程的r o b i n 边值问题，给出下面几个基本概念及其预备定理 2 第1 章绪论 考虑边值问题： y = f i t ，y ，可，) a 吲m 酬a x 阶州m 0 i b 】i n ) ，六丽 盹6 】刖一哦b 】乜 这里a ( 6 一a ) = m a x i a ( 口) 一p ( 6 ) i ，i q ( 6 ) 一p ( o ) i ) 这里的n a g a m o 条件或者指v ( t ，y ，y 7 ) d ( u l ) xr ，都有i f ( t ，y ，可，) i m 1 y 2 + m 2 ，其中m 1 ，m 2 为非负常数 注：n a g u m o 条件的满足，保证了微分方程边值问题的解族的紧性 引理1 2 1 ( j a c k s o n ，【4 ，t 日7 3 】) 如果边值问题( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 具有下解q ( 亡) 与上解p ( 亡) jf ( t ，y ，y 7 ) 在【a ，6 】陋( 亡) ，p ( ) 】xr 上连续，且关于口( 亡) ，z ( t ) 满足 n a g u m o 条件，则边值问题( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 有解y ( 亡) c 2a ，6 】，满足q ( 艺) y ( 亡) 卢( t ) ，l y 他) i n ，这里是仅与q ( 亡) ，p ( 亡) 及n a g u m o 条件中a 有关的正常数 关于三阶半线性微分方程的非线性三点边值问题，考虑一般形式的该类非线性 三点边值问题： y 肌= f ( t ，y ，y 7 ，圹) ，o t b ， 夕【y ( o ) ，y 7 ( o ) ，可( a ) 】= 0 ，可( o ) = b ， y ( 6 ) ，可7 ( 6 ) ，( 6 ) 】= 0 的微分不等式理论 3 ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 福建师范大学姚金霞硕士学位论文 定义1 2 3 函数q ( 亡) ，p ( 亡) 分别称为边值问题( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 的下解与上解，如 果a ( t ) ，p ( t ) c 3a ，6 1 ，( t ) sp 7 ( t ) ，t 【a ，h i ； 夕( a ( o ) ，o l 7 ( o ) ，a ( o ) ) s0 夕( p ( o ) ，p 7 ( o ) ，p ( o ) ) ， ( q ( 6 ) ，o l 7 ( 6 ) ，o z r ( 6 ) ) 0 九( ( 6 ) ，p 7 ( 6 ) ，p ( 6 ) ) ； 且q ( o ) = p ( o ) = b ；o t 删( z ) i t ，y ，q 7 ( t ) ，q ( t ) 】，p 肼( t ) i t ，y ，p 7 ( t ) ，p ( t ) 】，t 【a ，b 1 显然，q ( t ) p ( t ) ，t 【o ，o 】；q ( t ) p ( t ) ，t 【0 ，6 引理1 2 2 ( 余赞平【4 0 ) 若三点边值问题( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 满足下列条件 俐边值问题以2 圳f ，j 2 纠存在下解a ( t ) 与上解p ( t ) j o i ) 当( t ，y ，y ，y ) d i = 口，o 】 p ( t ) ，a ( 亡) 】x 【0 1 7 ( 亡) ，p 7 ( t ) 】xr 时，f ( t ，y ，y 7 ，y ) 连续且关于y 递增，当( t ，y ，y 7 ，y ) d 2 = a ，o 】x 【a ( 亡) ，p ( t ) 】【o l 印) ，卢他) 】xr 时，f ( t ，y ，y ) 连续且关于递减 n 圳函数g ( x l ，x 2 ，x 3 ) 在区域d 1 = 【p ( o ) ，q ( o ) 】x q 7 ( o ) ，p 7 ( o ) 】xr 上连续且 关于x l 单调不减，关于x 3 单调不增； 一砂函数h ( y l ，y 2 ，y a ) 在区域d 2 = a ( 6 ) ，p ( 6 ) 】x o t 7 ( 6 ) ，p 7 ( 6 ) 】xr 上连续且关 于玑单调不增，关于舶单调不减 r 1 5 - 点边值问题以2 砂以2 有解y ( t ) c 3a ，6 】满足q 邻) 可他) ( t ) ，t a ，6 】，并且q ( t ) p ( t ) ，t a ，o l ，q ( 亡) p ( t ) ，t o ，6 】 定义1 2 4 ( w a c o p p e l ， 5 9 1 ) 研究线性微分方程 一= a ( t ，0 ，o ) x ( 1 2 5 ) 其中系数矩阵在区间j = a 6 】中连续，如果存在一个投影p 和正的常数k ，l ，o l ，p 使得 麟；zs,o一,o)州i_irei-q(t-州),tx(t 0 p ) x 800l e 。箍ts 2 q ll，o ) ( 一 一1 ，) i 一卢( 8 一t 1 ，s 、7 那么称( 1 2 5 ) 存在一个指数二分法，其中x 是方程( 1 2 5 ) 的某个基解矩阵， j 是单位矩阵，如果不等式( 1 2 6 ) 中的o t ，p 不是正的而是等于零，那么称它为一个 通常的二分法 第1 章绪论 此时我们规定矩阵a = ( a i j ) 的模记为iai = l 1 2 1 2 引理1 - 2 3 ( w a c o p p e l ， 5 9 ) 设a ( t ，0 ，0 ) 是一个连续可微的矩阵函数，使得 对于每一个t j = a ，6 】，存在一正常数 彳，ia ( t ，0 ，0 ) i 彳，a ( t ，0 ，0 ) 的每一个 特征值有实部- 2 a o ) ，则对任何正常数e 2 a 存在一个正常数 6 = 6 ( m ，e ) 使得对于每个t j ，若ia 他，0 ，0 ) l 6 ，则方程( 1 2 5 ) 的任何基解矩 阵满足 x ( t ，0 ，o ) x 一1 ( s ，0 ，0 ) l k e 一2 a | t 一8 i ( k e 一2 卢i 一s i ) ，o ，s b ， 其中k = k ( m ，e ) 引理1 2 4 ( w a c o p p e l ，【5 9 ) 设a ( t ，0 ，0 ) 是一个连续的矩阵函数，使得( 1 2 5 ) 有一个p = ，的指数二分法，即( 1 2 5 ) 的基解矩阵x ( t ，0 ，0 ) 满足 x ( t ，0 ，o ) x 一1 ( s ，0 ，0 ) i k e 一2 a l t 一引，a t ，s b 则对任何正常数g q 存在一个正常数6 = 6 ( m ，e ，q ) 使得对于每个( t ，肛) j ( 0 ，e o 】xr ，若b ( t ，e ，肛) 是一个连续矩阵函数且满足lb ( t ，p ) l 正则方程 y 7 = ( a + b ) y 的任何基解矩阵满足 y ( t ，e ，p ) y 一1 ( s ，肛) i 霞e 一( 2 a - ) 批一8 i 露e 一口i t 一引，o t ，s b 引理1 2 5 ( b a n a c h 压缩映象原理， 3 s ) 设q o 是b a n a c h 空间q 的一个非空 闭子集，而r 是q o 到其自身内的映象，它在q o 内满足l i p s c h i t z ( 李卜希兹) 条 件，即对任意的z ，y q o ，有l i r x 一勋i l q 忙一训( 0 o l 1 ) ( 这里的o l 称为 l i p s c h i t z 常数) ，则必存在唯一的z + q o ，使r 矿= z + ，即i 、在q o 内有唯一的不 动点矿 5 福建师范大学姚金霞硕士学位论文 第2 章奇异摄动二阶r o b i n 边值问题正解的 存在性 由于带两点或多点边界条件的微分方程定解问题在流体力学f 1 】、固体力学 2 】 等工程领域经常出现，因此，关于微分方程边值问题解的存在性、解的近似计算等 问题，引起了学者较为广泛的研究 3 9 】一 4 0 1 ，其中林宗池，周明儒等人利用微分不 等式理论( 上下解方法) 已经得到奇异摄动r o b i n 型两点边值问题 le y = ，( t ，y ，可气o t b ， i 可( o ，e ) 一p l y 7a ，) = a ，可( 6 ，) + p 2 y 7 ( 6 ，) = b ， 的解的存在性【3 9 】 因为在某些实际背景下的数学模型的应用中，只有正解才有意义，所以关于微 分方程边值问题正解的存在性问题也得到了较为广泛的探讨【4 1 】一【4 2 ，例如马如 云利用特解构造g r e e n 函数探讨了r o b i n 型m 点边值问题 攀群嚣 正解的存在性【4 1 】 然而，关于奇异摄动边值问题正解的存在性、正解的渐近近似等问题，所见的 工作甚少因此，基于上下解的方法，本章将研究如下奇异摄动二阶非线性微分方 程的r o b i n 边值问题 j e 可= ，( 亡，可，7 ，) ， n o ( o ) 定义2 1 2 退化问题( 2 1 1 ) 的解u l ( t ) 在 a ，6 】中是局部强俾j 稳定的， 如果存在某一正常数k 和某一小的数6 ，使得当u l ( b ) + p 2 吒( 6 ) b ( o ) 时，在 d ( u l ) rn b 一6 ，6 】r r 上，有 蒋 无心，y ，y 7 ，0 ) 七 o ( o ) 定义2 1 3 退化问题( 2 1 1 ) 的解u l ( t ) 在【a ，6 】中是( ) 稳定的，如果存在 某一正常数仇，使得 吃 ，u l ( t ) ) 三0 ，a t b ，0 j 2 q ； 雹口十1 h ( t ，u l ( 亡) ) m 0 ，( t ，让l ( t ) ) d ( u l ) 其中h ( t ，y ) = 厂( 亡，可吒，o ) 健义俾_ ! 纠，定义俾! 矽同， 7 福建师范大学姚金霞硕士学位论文 定义2 1 4 退化问题( 2 1 1 ) 的解u l ( t ) 在【a ，6 】中是( ，厶) 稳定的，如 u l ( b ) + p 2 吒( 6 ) b ( o ) ，并且存在某一正常数m ，使得 q ( t ，u 工( t ) ) 0 ，n t b ，1 歹n 一1 ； 四 ( t ，仳l ( 芒) ) m 0 ，( t ，u l ( 亡) ) d ( ”工) 定义2 1 5 退化问题( 2 1 1 ) 的解u l ( t ) 在 a ，6 】中是( ，厶) 稳定的，如果 u l ( b ) + p 2 吒( 6 ) b ( o ) ，并且存在某一正常数m ，使得 础魄) 九( 芒，u l ( t ) ) o ( o ) ，a t b ，1 歹o ，丘佗一1 ，其中j o ( j 。) 表示一个 奇佛，) 整数； 田九( t ，“l ( 亡) ) 一m o ) ，( t ，u l ( t ) ) d ( u l ) 若n 是偶倚，整数 定理2 1 1 设皿，凰，风成立，u l ( t ) 在 a ，6 】中是( l ) 稳定，同时是强稳 定，或者局部强稳定且疗( t ，y ，y 7 ，0 ) 在d ( u l ) r 上有界，则当充分小时，边值 问题( 2 0 1 ) 存在正解可( 亡，e ) c 2 ( n ，h i ) ，满足 i 可( ，) 一u l ( t ) i ( t ，) + c 1 ( 2 q + 这里v r ( t ，) = 印i l k 一1 e 知一1 ( 2 6 ) i b ( ) 一u l ( 6 ) 一p 2 乱2 ( 6 ) 1 这里丁( ) = r ( 2 q + 1 ) ! m 】m 口+ 1 ，