（等离子体物理专业论文）磁化等离子体中richtmyermeshkov不稳定性的理论研究.pdf

摘要 摘要 当激波入射到受扰动的流体界面或者受扰动的流体界面被突然加速时，通 常会有硒c h t m v e r - m e s h k o v ( r m ) 不稳定性的发生。r m 不稳定性在天体物理中 的超新星爆发过程以及惯性约束核聚变中，都扮演着重要的角色。当星球内核 塌缩所产生的向外传播的激波穿越氘氚分界面时，会有r m 不稳定性的发生。在 惯性约束核聚变中，由激波引起的靶丸上缺陷的增长，将破坏靶丸的对称性， 成为聚变燃料在内爆末期达到点火条件的主要障碍。对于i m 不稳定性的理论描 述，存在着几种理论，包括融c h t m v e r 脉冲模型、线性可压缩理论、非线性理论 以及烧蚀r m 理论等。本文，我们讨论磁化等离子体中的r m 不稳定性，具体内 容包括： l 、我们讨论了切向磁场与剪切速度对r m 不稳定性的影响。通过求解磁流 体力学方程组，我们解析地得到了描述界面扰动幅度的表达式以及不稳定性 发生的判据。结果表明，当( 1 一群) 配 4 u ：时，界面扰动幅度随时间指数增 长。其中a 。是a t w o o d 数，五是界面两侧流体的切向相对速度，u 。是平均阿尔芬 速度。增长率随着切向相对速度的增加而变大，随着磁场的增强而减小。因 此，磁场对r m 不稳定性有着致稳作用，剪切速度对r m 不稳定性有着退稳作 用。当二者都存在时，二者之间存在着相互竞争；系统是否稳定，取决于二者 究竟谁占主导地位。 2 、由粘性磁流体力学方程组出发，我们解析地得到了激波斜入射情况下 粘性磁流体中描述r m 不稳定性界面扰动幅度的表达式以及不稳定性发生的条 件。结果表明，切向磁场的存在会提高不稳定性发生条件的阈值。当磁场足够 强使得u 2 时，不管粘滞系数取何值，都会有不稳定性 的发生。但是粘滞的存在会减缓不稳定性的增长速度。在这种意义上说，粘滞 在一定程度上也抑制着r m 不稳定性。 3 、我们研究了被突然加速的置于均匀切向外磁场中的n 层流体系统中 的蹦不稳定性。通过分析描述界面扰动速度的二阶线性方程，我们得到了可 以求解增长率与初始条件的特征方程，进而我们可以得到描述界面扰动幅度的 表达式。于是，我们可以通过将流体划分为这样一个多层密度均匀的不连续系 统，来分析任意密度分布的流体系统中的r m 不稳定性的演化。作为例子，我们 讨论了流体层数= 2 和= 3 这两种情况下的i 洲不稳定性。结果表明，切向 磁场的存在会导致界面扰动幅度以振荡的形式发展，而不是线性或指数增长。 摘要 这说明，切向磁场对1 w 不稳定性有着抑制作用。我们着重讨论了= 3 情况下 的“夹心饼干”模型( p 1 = p 3 = p p 2 ) 。结果显示，由于切向磁场的存在， 界面扰动幅度将以一个比较高的频率振荡，同时这些振荡又以一个比较慢的拍 频周期变化。当中间层厚度比扰动波长小或与之相当( 尼 4 谚，w h e r ea i sa t w o o dn u m b e r ，i sm e m e a na l f v 白v e l o c i t ya n d 乱t h er e l a t i v es h e a rv e l o c i t y ，r e s p e c t i v e l y t h eg r o w t hr a t e o f t h ei n s t a b i l i t yi n c r e a s e sw i t l l 吐l eg r o w t l lo ft h es h e a rv e l o c i t ya n dd e c r e a s e sw i t ht h e g r o w t t lo fm es t r e n g t l lo fm a g n e t i cf i e l d t h u s ，r mi n s t a b i l i t yi ss u p p r e s s e db ym c t r a n s v e r s em a g n e t i cf i e l da n dr e i n f b r c eb yt h ep r e s e n c eo fs h e a rn o w w 1 l e nb o mt h e t r a n s v e r s em a g n e t i c 矗e l da n ds h e a rf l o wa r ep r e s e n t ，t h e r ee x i s t sa c o m p e t i t i o nb e t w e e n m ee f - f e c t so fm a g n e t i cf i e l da n ds h e a rf l o w w h e t h e rt i l es y s t e mi ss t a b l e0 rn o ti sd e t e 加面n e db ym e d o m i n a t i n go n e o ft l l es ta _ b i l i z i n gm e c h a n i s mo fm a g n e t i cf i e l da n dt h e d e s t a b i l i z i n gm e c h a n i s mo fs h e a rf l o w s e c o n d ，w eh a v ei n v e s t i g a t e dt h eb e h a v i o ro fa no b l i q u e l yi m p u l s i v e l y a c c e l e r a t e d i n t e m c ew h i c hs e p a r a t e st w os e i i l i i n f i i l i t eu n i f b mv i s c o u sf i u i d s t h ef l u i d sa r ei m - m e r s e di nm a g n e t i c6 e l d sw h i c ha r ep a r a l l e lt om e i n t e r f a c e w 色a n a l y t i c a l l yo b t a i n e d t h ee x p r e s s i o no ft h ei n t e a c ea m p l i t u d ea n dt h ec r i t e r i o no ft h ei i l s t a b i l i t y i tt u m so u t t h a tt 王1 ep r e s e n c eo fm em a g n e t i cf i e l dw i l le l e v a t em et l l r e s h 0 1 do ft h er mi n s t a b i l i t y w h e nt h em a g n e t i cf i e l di ss t r o n ge n o u 曲m a t 2 h o w e v e r t h ep r e s e n c eo ft h ev i s c o s i t yw i l l s i o wd o w nt l l eg r o w t hs p e e d t h e r e f o r e ，v i s c o s i t yc a ns o m e h o ws u p p r e s sb u tc a n n o t e l i n l i n a t et l l ei 己mi n s t a b i l i t yw h e nt h ei n t e r f a c ei so b l i q u e l ya c c e l e r a t e d f i n a l l y ，w eh a v ei n v e s t i g a t e dt h eb e h a v i o r so ft h ei n t e r f a c e so fa nn l a y e rs t r a t i 丘e d n u i d ，w l l i c hi si m p u l s i v e l ya c c e l e r a t e d t h ew h o l es y s t e mi si m m e r s e di na na m b i e n t h om 1 3 9 e n e o u st r a n s v e r s em a g n e t i c 丘e l d b ya n a l y t i c a l l ys o l v i n gt h ei n i t i a lv a l u ep r o b - l e ma n dt h es e c o n d - o r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nd e s c r i b i n gt h ep e r t u r b e dv e l o c i t i e s ， w ec a ng e tt h eg r o w mr a t e sa n di n i t i a lc o n d i t i o n s h e n c e ，w ec a ng e tt h ee x p r e s s i o n s o ft l l ei n t e r f a c ea m p l i t u d e s t h u sw ec a nt r e a ta i la r b i t r a r yd e n s i t yd i s t r i b u t i o np r o b l e m w i t hat r a n s v e r s em a g n e t i cf i e l di np r e s e n c eb ys t r a t i f y i n gt l l ef l u i di n t oa nn l a y e rd i s _ c r e t ed i s c o n t i n u o u sn u i d a se x a m p l e s ，w ec o n s i d e r e dt w os p e c i a lc a s e sn = 2 a n dn = 3 i ti ss h o w nw h e nat r a n s v e r s em a g n e t i cf i e i di sp r e s e n t ，m ei n o e r f a c e sw i l ld e v e l o pa s o s c i l l a t i o nr a t h e rm a nl i n e 砌yo re x p o n e n t i a l l yg r o w t h w 色f o c u s e do u r s e l v e sal o to n t h e “l a y e r c a l 【e m o d e l ( p 1 = j d 3 = j d p 2 岛时，反射波为激波；而p l q 0 ) ，界面扰动幅度从激波作用之后就开始增长；而在重轻流体 ( a 0 ) 中，界面扰动幅度先减小为零然后反向增长，即存在一个反转过 程。这种反转被称为间接反转，这一点将在下面的可压缩线性理论中予以阐 明。 r i c h t m y e r 发现如果将表达式( 1 2 ) 中的叩0 和a 用激波作用后的相应物理 量硝和4 取代，表达式( 1 2 ) 与数值模拟结果相比，二者相差为5 一1 0 。 为了更好地匹配表达式( 1 2 ) 与数值结果，先后提出了几种修正方法，比 如：m e y e r 等人提出用激波作用前后的平均扰动量幅度( 叩0 + 优) 2 取代伽，用 激波作用之后的a t w o o d 数“取代a c 【1 7 ，1 8 】；v a n d e b o o m g a e r d e 等人提出的利 用( a 叩o + 群叩6 ) 2 取代表达式( 1 2 ) 中a 叩0 【1 9 】；以及w b u c h u k 等人提出的更为复 杂的修正形式而( t ) = 尼乱7 7 0 矽，其中砂由激波作用之后的流体密度、反射波与透 射波速度、以及界面的速度等因素决定【2 0 】。 r i c h t m y e r 脉冲模型的适用范围为：1 ) 、入射激波的强度比较弱；2 ) 、 由于脉冲模型是建立在线性理论的基础上的，这就要求界面扰动幅度远 小于扰动波长，即叩尼 1 。一般认为，在凹 0 1 入的范围内，该模型 是可以应用的。更精确的判据有：a l e s h i n 等人提出的适用范围 1 ( 忌2 “乱硝) 【2 1 】：g r o v e 等人提出的 亡m 口霉1 ( 尼2 c o 硝) ，其中是马赫 数，c o 为声速【2 2 】；以及h u r r i c a n e 等人提出的尼+ 硫a + ( 等) ， 5 ， 其中a = ( p 1 6 一p 2 6 ) ( p 1 6 + p 2 6 ) 是激波作用之前的a t w o o d 数，名三【( 1 + a ) ，y 1 ( 1 一 a ) 讹】1 2 ，y 1 与仇分别是界面两侧流体中的绝热指数。e 表征激波的压缩效应。 当e 一0 ，方程( 1 3 ) 可以回到脉冲模型所得到的结果【方程( 1 2 ) 】。一种比较有意 思的情况是初始时刻界面两侧流体密度相同即a = 0 的情况，这时f ( z ，o ) = ( 名一1 ) ( 名一2 ) 2 z ，扰动幅度的渐进增长率7 o 。= 七钍叩o e ( 彳一1 ) ( z 一2 ) 2 z 他，其 中名= ( m 讹) 1 2 。对于名= 1 ，即，y 1 = 他， “界面”两侧是同一种流体的情况， 渐进增长率为零，不会发生不稳定性，当然这是合理也是必须的。对于z 1 ， 即界面两侧流体密度相同但绝热指数不同时，力。o 0 ( z = 2 除外，这种情况将在 下一步讨论) 。这一点表明r m 不稳定性并不是激波加速的r t 不稳定性，而是以 激波的固有压缩效应作为驱动的一种不稳定性。事实上，上述结果也显示，即 使初始时刻界面两侧不存在密度梯度，由于激波的压缩效应所带来的流体密度 梯度的改变，斜压涡旋也会在界面上沉积，造成界面扰动的增长，诱发不稳定 一9 一 第一章绪论 性。对于a t = 0 ，名= 2 的情况，柢= o ，这时界面扰动幅度也不会增长而是保 持不变，这种现象被称为“冻结”( f r e e z e o u t ) 。 y a n g 等人数值求解了反射波是激波与稀疏波这两种情况下的线性r m 不稳 定性【1 3 】，v e l i k o v i c h 利用幂级数展开的方法解析求解了反射波是稀疏波情况下 的r m 不稳定性【2 7 ，2 8 】，以及其后w 6 u c h u k 等人所做的关于可压缩线性r m 不稳 定性的一系列的工作【2 9 3 6 】。图1 5 所示的是几种理论与数值模拟及实验结果的 比较。可以看出，可压缩理论与模拟结果吻合得比较好。在不稳定性发展的早 期( 0 2 0 0 肛s ) ，可压缩理论与脉冲模型得到的结果相差比较大；但是在后期， 两者的结果吻合的很好。同时这也说明，脉冲模型适用于激波与界面作用一段 时间之后，反射波和透射波传播的离界面足够远，流体可以视为不可压缩的情 况。 t i n l e ( 岬) 图1 5 几种理论与模拟及实验结果的比较：左图为界面扰动幅度的时间演 化曲线，右图为扰动幅度增长率的时问演化曲线。其中虚线表示r i c h t m y e r 脉 冲模型的结果 1 】，点虚线表示y a n g 等人的可压缩线性理论的结果 1 3 】，实线表 示h o m l e s 等人的数值模拟结果【3 8 ，点划线表示z h a n g 等人的非线性理论的结 果 4 0 ，( + + + ) 表示b e n j a m i n 等人的实验结果。 对理想气体中线性r m 不稳定性的研究表明，存在着两种反转过 程【1 3 】：1 ) 、直接反转( d i r e c ti n v e r s i o n ) ，在激波与界面作用之前或者在作用 完结的时候，由于激波带来的压缩效应，使得作用之后的界面扰动幅度与初始 时刻的界面扰动幅度之比7 7 7 7 0 ，但是界面扰动幅度的增长率而 0 ，从而使得界面扰动幅度先减小 为零然后再反向增长。脉冲模型只能得出间接反转而不能得到直接反转。 强激波入射的情况，化学分解效应将变得重要。s a m t a n e y 等人解析和数值 的求解了强激波入射时反射波是激波的情况【3 9 】。当a t w o o d 数比较大的时候， 一1 0 一 第一章绪论 化学分解效应将会严重的增大密度峰值而减小温度峰值，造成界面扰动幅度增 长率的减小。对于小a t w o o d 数的情况，化学分解效应将会使得增长率变大。同 时，对考虑压缩效应的欧拉方程的数值模拟以及将之与线性理论的比较表明， 强激波入射情况下，线性阶段是非常短暂的，即使对于界面扰动幅度与波长之 比叩入一1 的情况，也观测不到扰动幅度的线性增长。也就是说，对于强激波 入射的情况，非线性效应将变为主导。 1 3 3 非线性理论 在r m 不稳定性发展的后期，非线性效应将变得严重。这时，界面扰动将表 现为“尖钉 与“气泡”状结构。对非线性过程的处理，一种方法就是将扰动 方程展开到更高阶，然后求解。 对扰动方程的二阶扰动量的求解将得到“气泡 状结构的的增长速 率u 6 ( ) = 七u 4 叩6 ( 1 一后u “叩6 t ) 以及“尖钉”状结构的增长速率u 。( t ) = 后u q 刀6 ( 1 + 七u “t ) ，整个界面的增长率是二者的平均值7 ) ( t ) = f u 6 ( ) + ( 亡) 】2 。一般来说，界面的发展不对称的，“尖钉”状结构的增长速率要比 “气泡 状结构的大；一种例外是“= 0 的情况，这时界面的演化是对称的。 将扰动方程展开到高阶遇到的一个问题就是收敛性问题。要保证展开量 的收敛性以及其在时域内能够适用，展开的阶数就必须足够多。v e l i k o v i c h 等 人通过展开贝努利方程，并利用p a d 6 近似方法拓展展开量的适用范围，考察 了4 = 1 情况下的非线性r m 不稳定性【4 1 】。他们的理论与高马赫数实验的结果 符合的很好。 z h a n g 等人利用p a d 6 近似的方法将线性阶段与非线性阶段相匹配，也得到了 很好的结果( 如图1 5 ) 【4 0 ，4 2 】。匹配方法为：假设初期界面扰动的演化行为能 够很好的用线性可压缩理论或者脉冲模型描述，后期的非线性行为通过求解高 阶展开的不可压缩欧拉方程获得，利用p a 酯近似，将二者匹配起来，这样就可 以得到从线性到非线性整个阶段的界面扰动幅度的增长率的表达式【4 3 】： 祀) = 再丽丽硪再老豢硒百习隔瓣， ( 1 6 ) 其中，嘲讯( t ) 是线性理论得到的增长率，e = 一1 与e = 1 分别对应于存在和不 存在反转过程这两种情况，1 、已是几何参数，对于二维的情况，l = 1 ，已= a ：2 1 2 。在不稳定性发展的早期_ o ，? 7 ( t ) 一嘲讥( 亡) ，可以回到线性理论的 增长率。在不稳定性发展的后期以及“比较大的时候，而一1 t ；而在“比较小 的时候，行一l 亡2 。 第一章绪论 另外一种描述r m 不稳定性非线性阶段演化行为的理论是基于l a y z e r 所提 的p o t e n t i a lf l o w 模型【4 4 。该模型被广泛利用于计算界面上“气泡 及“尖钉 状结构的增长速率。其基本思想是假设“气泡 顶端的形状是抛物线型的， 且在垂直于界面的方向上是成指数衰减的( 西一e 一口) 。h e c h t 等人利用该 模型得到了r m 不稳定性中“气泡”的增长速率，为u b ( 亡) = 2 3 忌t ；结果表明 该增长速率与初始条件无关，且随着时间减小【4 5 】。这一点也被m i k a e l i a n 所 证明 4 6 】。将该模型得到的结果与幂级数展开方法所得到的结果相比较， 发现二者符合的比较好。z h a n g 利用该模型考察了“= 1 情况下的“尖钉 状结构的增长速率，发现“尖钉 的速率是一个常数，不随时间变化， 但是依赖于初始条件【4 7 ，4 8 】。但是对于“ 1 的情况， “尖钉”的增长速 率u 【( 1 + a ：) ( 1 一a ：) 1 g 入亡( 当4 ：一。时c = l 2 7 r ，其他情况下c = l 3 7 r ) ， 可见这时“尖钉”的增长速率也是依赖于时间的。 s a d o t 等人提出将脉冲模型的结果与p o t e n t i a ln o w 模型所给出的结果联合起 来【4 9 5 4 】，描述r m 不稳定性从线性到非线性这整个过程的演化行为。他们得到 了“气泡 和“尖钉”状结构的增长速率 4 9 】： 其中 u 删= 群跺， u o = 七a ：u ， b = 尼u o ， d 6 知= ( 1 士a ：) 七乱o ， p 七2 钆3 ( 1 + a 7 ) 乜6 s 。磊砑而 ( 1 7 ) 这个公式给出的结果与中低马赫数情况下的激波管实验得到的结果吻合的很 好。利用这个公式，他们也很好的预言了连续激波入射时的“气泡”与“尖 钉”状结构的增长速率。 + p o t c n t i a lf l o w 模型存在着两种模型，一种是由l a y z e r 提出的【4 4 】，另外一种 由z u 丘r i a 提出【5 5 】。两者的区别在于前者中的速度势函数是解析的，而后者中速 度势函数中存在着奇异点。s o h n 与z h a n g 通过比较这两种模型所得到的结果，得 出两种模型对于“气泡 和“尖钉状结构的描述在定性上是一致的，但是定 量上二者是存在差别的【5 6 】。 对于非线性r m 不稳定的描述，还存在着其它理论，例如：b e r n i n g 等人通 过展开哈密顿方程求解弱激波情况下r m 不稳定性的理论【5 7 】，r a m s h a w 通过求 一1 2 第一章绪论 解拉格朗日方程得到的描述线性和非线性阶段刚不稳定性的理论【5 8 】，以及多 模r m 不稳定性理论 5 9 ，6 0 】等等。 1 3 4 烧蚀r m 理论 惯性约束核聚变中，在激光打到靶丸的初期，大部分的能量将被靶丸的 外部区域所吸收。随着外部区域被加热，将产生一个向靶丸内部冷区域传 播的热波。同时，被加热的物质向外喷射，将产生质量流( 质量烧蚀) 以 及驱动向靶丸内部传播激波的烧蚀压强。对于典型的惯性约束核聚变条件， 这个激波的传播速度要比热波的速度大得多，这样就导致激波面在热波面 之前。紧跟着热波面之后是扩张区或者喷射( b l o w o f ! f ) 区。具体如图1 6 所 示：( 0 ) 、一如 z z 。，是未被驱动的区域；( 1 ) 、 z z 口是被激波压缩过 的区域；( 2 ) 、 z z d + 是喷射区。图1 7 是 间接打靶情况下烧蚀过程中r t 与则不稳定性发生的区域。烧蚀面相对于未烧 蚀物质的速度定义为烧蚀速度。当热的烧蚀等离子体向外扩散时，在靶丸鞘 外部冷区存在着一个临界电子密度n 盯= 7 r m c 2 e 2 入l ，其中m 是电子质量，c 是光 速，a l 是激光的波长。在临界面的外部即n l 时，界面是稳定的、以 振荡的形式演化【6 l _ 6 4 】；而在长波阶段( 后d 。 1 ) ，界面扰动将由于r m 不稳定 性以及l a n d a u d a 玎i e u s 不稳定性【6 5 “8 的耦合而增长。 s h o c k 0 l 川 d ox ) ( ) ( - + b 图1 6激波传播过程中的四个分区的示意图 一1 3 第一章绪硷 麓鼎劳：燃盘袅 图l7烧蚀过程中r t 和r m a ：稳定性发生的区域 激光驱动靶丸的过程与传统的r m 不稳定性非常的相似 6 2 ，6 9 ，7 0 】。在r m 不 稳定性中，一个平面激波入射到受扰动的流体分界面上，与界面相互作用，由 之产生的透射微波发生畸变，从而在激波驱动的区域造成压强调制。这个压强 调制将引起界面扰动的增长。在惯性约束核聚变中，激波打靶初期产生的激波 也将会发生畸变，由之而产生的压强调制将加速烧蚀面上的扰动量，造成其增 长。这与r m 不稳定性的发生非常的相似。g o n c h a m v 通过求解欧拉方程，得到 了描述烧蚀r m 不稳定性界面扰动演化的表达式【6 2 】： 其中 等= m ( t ) + 2 s i n 卅【e 1 一( o ) 旧u f 矿“i ( 18 ) 邮) = 等e 。，e 1 唰m 吣，= 器器盖卷枞 z 。= 黜， 。- 一。z 。等等篙端 2 = 等( 1 + e 。一e 1 ) ， 以= t 8 n h 第一章绪论 旭是激波的马赫数，c 。是声速，u = 后 西丽，与 6 1 分别是烧蚀面与喷射区的 速度，y 是绝热指数，以( z ) 是贝塞尔函数。由上式可以看出，烧蚀严重地影响 着界面扰动的演化行为。在烧蚀存在的情况下，界面扰动的演化将由不存在时 的线性增长( 当= 0 时，卵一芒) 变成振荡的形式。造成振荡的原因是有限热传 导效应。随着界面扰动的发展，烧蚀面上的凸出部位将向热材料区域运动，而 凹入部位向冷材料区域运动。由于有限热传导效应的影响，这就导致温度梯度 在烧蚀面凸出部位变得陡峭而在凹入部位变得平缓。这个温度梯度的变化将导 致：1 ) 、由于喷射速度 m 与热流成正比，所以烧蚀面凸出部位之后的区域将比 凹入部位之后的区域扩张得快，从而压强差会在烧蚀面上产生回复力导致界面 振荡；2 ) 、大温度梯度区域的烧蚀速度的增加，导致烧蚀面凸出部位比凹入部 位烧蚀的更快，从而使得界面扰动更加稳定。 1 4 本章小结 r m 不稳定性从理论提出到现在，已经经历了半个世纪的历程了。由于其在 天体物理以及实验室物理尤其是惯性约束核聚变中所扮演的重要角色，i 洲不稳 定性得到了极大的关注。迄今，对r m 不稳定性的理论描述已经发展了脉冲模 型、线性可压缩理论、非线性理论以及烧蚀i m 理论等。本文，我们将考察磁化 等离子体中的r m 不稳定性。文章的结构如下：第二章讨论切向磁场与剪切速度 对r m 不稳定性的影响：第三章，考虑激波斜入射情况下，切向磁场与粘滞效应 对r m 不稳定性的影响；第四章，考察多层流体中切向磁场对r m 不稳定性的影 响。 一1 5 第二章切向磁场与剪切速度对r m 不稳定性的影响 第二章切向磁场与剪切速度对r m 不稳定性的影响 2 1 概述 由于等离子体的组分是带电粒子，当存在磁场时，其特性就会受到磁场的 影响。在等离子体中，通常伴随着磁场的产生。在激光放电产生的等离子体 中，密度和温度梯度会产生高强度的磁场【7 2 】。另外一些效应，比如韦伯不稳定 性、共振吸收以及超热电子的运动等，都会导致磁场的产生【7 3 】。磁场的存在， 会与等离子体中的自生电流作用产生洛仑兹力。这个力对于界面不稳定来说， 通常起到致稳的作用【7 4 】。s a m t a n e y 等人由磁流体力学方程组出发，用数值模拟 方法研究了激波斜入射情况下磁场对r m 不稳定性的影响【7 5 ，7 6 】。w h e a t l e y 等人 考虑了激波正入射时磁场垂直于界面的情况，他们发现磁场对于r m 不稳定性的 初始增长率没有影响，但是随着时间的发展，界面扰动幅度将趋于一个常数， 即垂直于界面的磁场会抑制r m 不稳定性的增长【7 7 】。这里，我们将考虑平行于 界面的磁场对r m 不稳定性的影响。对于垂直于界面的磁场，其初始时刻产生 的洛仑兹力的方向是平行于界面的，因此不会对初始增长率产生影响。当磁场 平行于界面时，初始时刻的洛仑兹力是垂直于界面的，因此可以预期切向磁场 对r m 不稳定性有着抑制作用。 实际的流体中，垂直于界面方向上的不均匀性往往会导致流体中产生平行 于界面的流动。对于这个流动的影响，一种观点认为它通过加快湍流的退相关 过程、减小湍流的幅度和在该流动方向上的相关长度、以及破坏导致湍流或由 湍流引起的一些其它的过程，抑制湍流的增长【7 9 】。但是这种观点忽略了存储于 切向流中的自由能所引起的流体不稳定性。比如，k e l v i n h e l i i l l l o l t z 不稳定性就 是由界面两侧流体的相对运动而引起的一种不稳定性【8 0 】。由切向流所引起的不 稳定性，已经得到了广泛的研究【7 4 ，8 1 8 3 。在惯性约束核聚变中，切向流被认 为通过产生“蘑菇”状结构，影响不稳定性中“气泡”和“尖钉”状结构的发 展：并且切向流能够导致相邻结构之间的相互作用，促进湍流的发展【8 4 】。这 里，我们将研究切向磁场和剪切速度对i m 不稳定性的影响，求解界面扰动幅度 的演化方程，探求不稳定性的发生条件。 2 2 基本假设和出发方程 我们考虑处于相对运动状态的两个半无限大的流体层，流体是不可压缩的 且置于平行于界面的外加磁场中。为了简化，流体的耗散效应，比如电阻、粘 滞以及表面张力等，这里都予以忽略。考虑激波正入射的情况，流体的密度梯 一1 6 第二章切向磁场与剪切速度对r m 不稳定性的影响 度和压强梯度均平行于激波的入射方向。平衡状态下的物理量，比如流体密 度伽( z ) ，磁场强度b o ( z ) 以及平衡流的速度u o 等，均图示于图2 1 。这里，我们 将应用锐边界模型，即：两块半无限大的流体层被位于z = 0 处的流体分界面分 隔；在流体的两侧，流体中的物理量，例如流体密度、磁场强度等都是常数； 在界面处，这些物理量存在着跃变。这些物理量用公式可以表述为： b o = 玩( z ) e y ，u o = u o ( 名) e v ， 玩0 ) = b 一+ ( b + 一b 一) h ( 名) ， u o ( 彳) = n + ( 弭一虬) h ( 名) ， p o ( 名) = p 一+ ( j d + 一j d 一) h ( 名) ， 其中，p 一( b 一，n ) 和雕( b + ，弭) 分别是z 0 流体层中的密度( 磁场强 度，切向速度) 。日( z ) 是单位阶跃函数。同时，我们将应用r i c h t m y e r 脉冲模 型，即将激波的作用视为对流体的一个瞬时加速。我们将由理想磁流体力学方 程组出发： 塞+ v 删_ 0 户雾+ p ( u v ) u = 一v p + j b + 昭， 1 j = 二v b p 0 等= 一v e ， e + 1 l b ：0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其中，j 与e 分别是电流密度与电场强度。g = 一u 6 ( t ) e ；是等效重力加速 度，u 是激波作用前后界面的速度差。因为在这里我们考虑不可压缩流体，因 此有不可压缩条件： v u = o ( 2 6 ) 基于上述模型和基本方程组，我们将研究在亡= 0 时刻被瞬时加速到一个恒定速 度的受扰动的流体分界面的演化行为。 一1 7 一 第二章切向磁场与剪切速度对r m 不稳定性的影响 u + e yb + e y 、八八八 卜p 一九叫 p u e yb e y y 图2 1激波作用前后激波与流体中压强图示。 2 3 线性阶段不稳定性的分析 假设所有的物理量都可以写作以下的形式：妒= 妒o + 妒1 ，其中妒。是平 衡状态时的物理量，妒l 是扰动量且 、f 确。2 时，增长率，y 将是虚数。这 第二章切向磁场与剪切速度对r m 不稳定性的影响 时，界面扰动幅度的表达式为： 籍一e 一谢+ 半s i n t ， 亿2 7 ， 其中7 的表达式为： 上式表明这时界面扰动幅度将以振荡的形式演化，振荡频率为1 + 。特别的，当 萎 董 耋 口 图2 2 增长率7 后u o 对于平均阿尔芬速度u 口 o 的 依赖关系。其中a t = 0 5 ，6 。可o = 2 ，咖= 玩伍万是特征阿尔芬速度，岛、p o 分别是特征磁感 应强度和密度。 流体层之间不存在相互运动时，即巩= n = o ，屯= 0 时，界面扰动幅度的表 达式变为： 糕一啦蚶) + 等咖卅 ( 2 2 8 ) 可以看出这时界面扰动幅度的最大值为叩( o ) r r 五西瓣。当磁场强度足够 大时，最大值将趋近于叩( 0 ) 。这样界面扰动幅度就不会增长，就不会有不稳定 性的发生。图2 3 所示的是不同磁场强度下界面扰动幅度的演化曲线。可以看 出，随着u 。取值的变大，即随着磁场强度的增强，界面扰动幅度的增长速度将 变小。当磁场足够强以至于不稳定性发生的条件不再满足时，界面扰动幅度将 一2 2 第二章切向磁场与剪切速度对r m 不稳定性的影响 以振荡的形式发展( 对应于曲线( d ) 和( e ) ) 。因此，切向磁场的存在对r m 不稳 定性有着致稳作用。这种致稳机制物理本源是磁场与自生电流产生的垂直于界 面的洛仑兹力。下面，我们将讨论线性阶段自生洛仑兹力与界面扰动幅度之间 的关系。线性阶段的洛仑兹力可以表示为： f = 丢一v ( b 0 b 1 ) + ( b o v ) b 1 + ( b 1 v ) b 0 】 ( 2 2 9 ) 将方程( 2 1 5 ) 代入上式并考虑不可压缩条件，我们可以得到垂直于界面方向上的 图2 3不同磁场强度下的界面扰动幅度的演化曲 线。其中( a ) 、( b ) 、( c ) 三条曲线对应于不碜定的嚏 形，( d ) 、e e j 对应于稳定的情形。其它参数的取值 为：a = 0 5 ，乱= 2 加，u = 。 洛仑兹力的表达式： 厶= 去麦隧c 卜警 ( 2 3 0 ) 采用与方程( 2 1 6 ) 的类似的处理方法，对方程( 2 3 0 ) 做界面积分：岳( 2 3 0 ) 如， 并将方程( 2 1 8 ) 、( 2 1 9 ) 代入积分过后的表达式，我们可以得到界面上( z = 0 ) 的洛仑兹力的表达式： 疋：一型叼( 亡) 扩掣 弘o 一2 3 一 ( 2 3 1 ) 喜|lli o口暑置eco口e已美 第二章切向磁场与剪切速度对r m 不稳定性的影响 由上式可以看出，这个洛仑兹力的方向与界面扰动位移的方向相反，大小与界 面扰动幅度成反比。它的存在，将起到回复力的作用，将界面扰动拉回平衡位 置，造成界面扰动幅度以振荡的形式演化，从而达到致稳的效果。 接下来，我们讨论剪切速度对r