（基础数学专业论文）无ambrosettirabinowitz条件时的非线性plaplace型椭圆边值问题的多重解.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文研究以下p l a p l a c e 型非线性椭圆边值问题 一伞吖扛一) 距q ( ) 【牡= 0 ， z 夙2 的多解的存在性，其中1 丑 0 0 ，q r 是一个有界光滑区域，p 乱= d i v ( i d 让i p - 2d u ) 表示让的p l 印2 n c e 算子，而，- f l x r r 满足l t i l i r a 舌警笔= 2 ， f 不是一p 在咏p ( q ) 中的特征值，以及其它一些结构性条件 在适当的假设下，我们用( c ) 。条件下的非光滑山路引理证明了( ) 至少 存在四个非平凡解( 见定理1 3 ) ，推广了n s p a p a g e o r g i o u ，e m r o c h a 和v s t a i c u 在【2 9 】中的一个主要结果以及g b l i 和h s z h o u 在 2 3 】中的一 个主要结果我们的结果与【2 9 e p 结果的不同之处在于：【2 9 】中假设，满足 a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 条件，而我们假设f ( x ，t ) 在= o 。处p 一渐近线性且 不满足a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 条件我们的结果与【2 3 】中结果的不同之处在于： 2 3 中虽也假设了，( z ，t ) 在t = 处p 一渐近线性，但f 2 3 】中还假设( x ，t ) 在 = o 处是p 一超线性的，艮pl 扣i m 。毒害笔= o 关于xes 2 - - 致成立，而我们未假 设这一点 。 关键词：p l a p l a c e 算予；无a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 条件；存在性；非平凡 解：四个解 i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n st ot h ef o l l o w i n g n o n l i n e a re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fp l a p l a c i a nt y p e 仁笺训掣) 二茎曼 ( ) w h e r el p 0 0 ，q r i sab o u n d e ds m o o t hd o m a i n ，a 一= 反u ( id u l p 一2 圳砒h ep l a p l a c i a ndu ，a n df ：qxr _ r s 砒觚l 糕器= z u n i f o r m l yw i t hr e s p e c tt oz q ，a n dii sn o ta ne i g e n v a l u eo f - a p i n1 时p ( q ) a n ds o m eo t h e rs t r u c t u r ec o n d i t i o n s u n d e rs u i t a b l ea s s u m p t i o n so n f ( x ，t ) ，w eh a v ep r o v e dt h a t ( ) h a sa t l e a s tf o u rn o n t r i v i t i a ls o l u t i o n si n 职p ( q ) b yu s i n gn o n s m o o t hm o u n t a i np a s s t h e o r e mu n d e r ( c ) cc o n d i t i o n o u rm a i nr e s u l tg e n e r a l i z e sar e s u l tb yn s p a p a g e o r g i o u ，e m r o c h aa n dv s t a i c ui n 【2 9 】a n dar e s u l tb yg b l ia n d h s z h o ui n 2 3 ( s e et h e o r e m1 3 ) t h ed i f f e r e n c eb e t w e e no u rr e s u l ta n dt h e r e s u l ti nf 2 9 i st h a tw ea s s u m et h a t ( x ，t ) i so fp a s y m p t o t i c l yl i n e a ra t t = o 。h e n c ef ( x ，t ) d o e sn o ts a t i s f yt h ea m b r o s e t t i r a b i n o w i t zc o n d i t i o n ，w h i l e f 2 9 】a s s u m e st h a t ( x ，t ) s a t i s f i e st h ea m b r o s e t t i l h b i n o w i t zc o n d i t i o n t h e d i f f e r e n c eb e t w e e no u rr e s u l ta n dt h er e s u l ti n 【2 3 】i st h a t 【2 3 】a l s oa s s u m e st h a t 厂( z ，t ) i so fp a s y m p t o t i c l yl i n e a ra tt = 0 0 ，b u ti so fp s u p e r l i n e a r a t 江o i e 鸳若鲁戋= o u n i f o r r e l yw i t hr e s p e c tt oz q b u tw ed 。n 。t r e q u i r et h a t ( x ，t ) s a t i s f i e st h i sc o n d i t i o n k e y w o r d s ：p l a p l a c i a n ；w i t h o u ta m b r o s e t t i r a b i n o w i t zc o n d i t i o n ；e x i s - f e n c e ；n o n t r i v i a ls o l u t i o n s ；f o u rs o l u t i o n s i i 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究丁作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 磐e 燃l 日期加尹厂月多7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 作者签名：娄哄；工 日期纱俨厂月三7 日 导一：套乒) 鲁 嘲：加7 够月7 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。圃童途塞握交厦进卮! 旦圭生；旦二笙；旦三生发盔! 作者签名：多姨2 b 势：如唯每了骨1 日 纛名：巷互鸯 嘲：知7 修月刁日_ 第一节引言及主要结果 本文研究以耶一l a p l a c e 型的非线性椭圆边值问题 0 笺训掣) 二茎曼 ( 1 1 ) 的多解的存在性，其中1 p 0 ，对几乎所有的名q ，任意的t r ，有 i ，( z ，t ) i a + cl t t - - 1 其中l 。，使得对任意的( z ef lxr , 有耳筹掣m ( ) 存在6 0 ，使得当z q ，jtj 6 时， a 1it p p f ( x ，) ， 其中f ( z ，) = ，( z ，s ) 幽 ， ( ，6 ) 存在a 一 0 o + ，使得 l 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l 8 ( i ) 对几乎所有z q ，厂( z ，a + ) 0 ，使得对几 乎所有z q ，任意的t 【0 ，a + 】，有0 ( x ，t ) la + 一) p 一1 ；存在已 0 ， 使得对几乎所有z q ，任意的t 陋一，o 】，有一已( 一8 一) p 一1 ，( 霸t ) 0 ( ，7 ) ：觋器= 。关于x el t - - 致脏 ( ) 存在s 。，任取xef l , 矗警笔关于在s 。时单调不减，而在 亡- - 8 0 时单调不增 ( 届) 对任意的( z ，t ) q r ，有，( z ，- t ) = 一( x ，) ( a r ) ( a m b r o s e t t i - r a b i n o w i t z 条件) ：存在口 0 ，+ m 0 ，使得当 i tl m 时，对任意的z q ，有 o f p ，) 南m 船 我们称让哪p ( q ) 是问题( 1 1 ) 的一个弱解，若对任意的口螂护( q ) ，有 上l 。乱i v - 2d u d v 如= z ，( z ，u ) u 如 由条件仇) 知，u 三0 是问题( 1 1 ) 的一个平凡解：我们要研究( 1 1 ) 的非平凡解 的存在性 ( 1 1 ) 的弱解可看成( 1 1 ) 对应懈巾( q ) 上的变分泛函 ，( 让) = 三zl 。锃| p 如一zf ( z ，锃) 如 的临界点自从1 9 7 3 年a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 在 1 】中提出”山路引理”以来，用 临界点理论研究方程的解成为种代表性的方法 2 a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 在【l 】中得到了( 1 1 ) 在p = 2 且f ( x ，t ) 满足( ) 7 ( 厶) ( ) ( a r ) 时的非平凡解的存在性在 3 0 1 中，r a b i n o w i t z 得到了( 1 1 ) 在p = 2 且 f ( x ，) 满足( ) ( 厶) ( f z ) ( a r ) ，且( x ，t ) 关于t 为奇函数( 即( 矗) 成立) 时的无穷 多个解的存在性粗略地讲，用山路引理可得到( x ，t ) 在t = 0 处具有p 一超线 性( 即( 办) 成立) ，在t = + 。o 处具有次临界增长( 即( 正) 成立) 且( a r ) 条件成立 时的( 1 1 ) 的非平凡解的存在性 ( 1 1 ) 在p l 时一般情形的结果与p = 2 时的结果类似这方面的结果可参 见f 2 2 3 1 等文献 关于( 1 1 ) 的多重解，a m b r o s e t t i - g a r c i aa z o r e r o - p e r a la j o n s o 在f 2 】中，g a r - c i aa z o r e r o - m a n f r e d i - p e r a la l o n s o 在【1 8 】中研究了( x ，t ) = altl q 2t - t - i r - - 2 亡 ，1 g p 0 ，使得当t ) q r 时， f ( x ，t ) c 1l ti p + 0 一c 2 故当，( z ，) 满足( 厶) 时，( a r ) 条件是不可能成立的近年来，人们对( 1 1 ) 在 ( a r ) 条件不一定成立时的非平凡解的存在性进行了大量研究，得到了一系列 的结果( 见【2 h 6 】【2 l j 【2 3 】- 【2 6 】) 但这些结果基本上是在( x ，t ) 满足( 办) ( 即在 3 tw - - - - 0 处具有p 一超线性) 时得到的例如g b l i 和h s z h o u 在f 2 3 】中，得到 了( 1 1 ) 在f ( x ，t ) 满足( ) 7 ( 厶) ( ) ( ) 和8 0 = 0 时的( ) 及( ) 时的非平凡解 的存在性，以及当( ) 中z 不断增大时多解的存在性 本文的主要目的是将【2 9 】中的结果推广到，( z ，t ) 不满足( a r ) 条件的情形， 同样，将【2 3 q b 的结果推广到s ( x ，t ) 在t = 0 不具有p 一超线性的情形 设 ， a l = m _ i n i id uj i ；，让w j 伊( q ) ，i 牡i pd x = 1 ) ， ，n 其中i id u 表示d u 的汐一范数记牡l 0 为上述极小的汐模标准化的达到 函数( 主特征函数) 由正则性理论，我们知道 锃l 锘( q ) = 牡c 1 ( 磊) ：牡i 勰= o ) 此外，由v a z q u e z 的最大值原理( 【3 2 】，t h e o r e m5 ) ，可知u x ( x ) 0 于q 上且当 z 施时，塑b n ( z ) 0 , xeq ，瓦0 u ( z ) 。，z a q ) ， 则乱1 i n t c + 设歹( z ，t ) 满足( ) 一( ) 令 冉( z ，t ) 上( z ，t ) = 0 ，t 0 ，( z ，巩0 t a + f ( x ，o + ) ，d + t ，( z ，凸一) ，t a f ( x ，) ，口一 p ( o ) ，使得对任意的z a 耳，妒 ) 弘此外妒满足 非光滑( c ) 。条件，则 亿谚 8 其中c = 1 i n “ft 1 0 m a x l i5 i o ( 7 ( t ) ) ，r = 【，y ，1 ；俐= 州1 ) = 牙) ，亿= z x ：0 a 垆( z ) ，妒( z ) = c ) 引理2 9 ( 2 0 1 ，l e m m a1 2 6 ) 设q 为r 上的有界开区域，1 , w 1 , p ( q ) 且对任意的y a q 有l i r au ( x ) = 0 ，z q ，则仳w d p ( q ) 证明：i ) 若乱w 1 ，p ( q ) ，且钍在q 内具有紧支集，则仳埘p ( q ) i i )由于弘= 钍+ 一u 一，l 矿( z ) l iu ( x ) i ，且对任意的y 砚有 l i mu ( x ) = 0 ，故对任意的y 锄，有 o l i mu - i - ( 。) l i mi 乱( z ) f = 0 z + z + 可 因此我们不妨假设牡0 对任意的 0 ，令钍。= m a x ( u e ，0 ) ，显然啦w 1 ，p ( q ) 如果我们能证 明陇在q 内具有紧支集，那么由i ) 有魄孵p ( q ) 当e 一0 时，魄_ u 于 彤1 ，p ( q ) ，由u 。一u 于w 1 ，p ( q ) 知坎一缸于嚼? ( q ) ，又埘护( q ) 为完备的 b a n a c h 空间，从而u 1 昭p ( q ) 由上面的分析，我们只需证明魄在q 内具有紧支集对任意的y 锄有 l i mu ( z ) = 0 即：对任意的y a q ，任意的e 0 ，存在6 = 6 ( 可，) 0 ，使得 对任意的z 风( y ) nq 有乱 ) 5 。 口 因为施cu 玩( 可) ，且a q 为紧集，故存在men 使得 暑，铡2 mm 锄cu b ( 玑，咄) = ub ( y i ，以) y i a q i = 1i = 1 令v = u 圣lb ( 玑，民) nq ，则对任意的z v ，存在i ，使得z 日( 玑，文) 且 0 让 ) e ) c x qi u ( x ) 号) cv 。nq ， 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 从而 a u p p 陇= 石百可习珊= 石哥玎碌矿习c 而= v 。f 、qc q 这就证明了饥在q 内具有紧支集证毕 口 引理2 1 0 设q 为r 上的有界光滑区域，为q 在$ a q 处的单位 内法向量，如果让( z ) c 1 ( 矗) ，对任意的xeo f 2 有瓦o u ( z ) 。，那么存在正常 数c 0 使得对任意的z a q ，= z + t n = ，有d u ( y ) 0 ，其中0 t c 证明： 由于q 是有界光滑区域，是z a q 的连续函数，故存在r l o ，使 得对任意z a q ，0 t r h 有。+ t n = q 令 ，( z ，t ) = d u ( z + z ) ， n y g u ( x ) c 1 ( 矗) ，故，c o ( o ax 【0 ，纠) 由于对任意的z 讹有尝( z ) 0 ，故对任意的z o a q ， 口n ， 他，0 ) = d u ( 黝) 7 z x o - - 差( 知) o 由于i ( x ，t ) 在( x o ，0 ) 处连续，即：存在充分小的 0 ，使得对任意的z b ( ：r o ，瓦。) no f t ，当o t 0 令y = z + t n z ，故对 任意的z 讹，当0 t c 时，d u ( ! 1 ) t t , ：r 0 证毕 口 引理2 1 l设q 为r 上的有界光滑区域，扎为q 在z o f t 处的单位 内法向量设妒，妒c 1 ( 壳) ，对任意的3 7 q ，p ，妒 0 ，对任意的z a q ， 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 出) = 。划破且掣，掣 。 贝存在k ，使得对任意的a a o , 都有 入妒( z ) 妒( z ) 于q 证明：由引理2 1 0 知，存在常数c 0 ，使得对任意的z 施，当 0 t c 时，d l ，o ( x + ) 0 因为妒，妒c 1 ( 壳) ，且关于z 施连续，所以存在正常数0 0 ，对任意的a 天， a d q o ( x + t n x ) a 叼 m d 妒( z + t n z ) 他( 2 1 3 ) 令 砭= z qid i s t ( x ，a q ) c ) ， 则k 为紧集又妒，妒 0 且妒，妒c 1 ( k ) ，因此存在常数七，m 0 ，使得对任 意的z k ， 妒( z ) m ，l 妒( z ) i k 。( 2 1 4 ) 由( 2 1 4 ) 失1 ：1 存在常数a 1 0 ，使得对任意的入 a l ，对任意的z k ， a 妒( z ) a i m k2 矽( z ) ( 2 1 5 ) 显然对任意的y 蟛nq ，有d i s t ( y ，a q ) 爻，任意的y 屹nq ，我们得到 a 妒( ) = a d ：p ( x + 她) n z t 入叼 m t d 妒( z + 砒) t = 妒( y ) ( 2 1 8 ) 令a o = m a x ( 天，a 1 ) ，由( 2 1 5 ) 与( 2 。1 8 ) 知对任意的a ，当a a o 时，对任意 的z q ，都有a 垆0 ) 妒 ) 证毕 口 引理2 1 9 ( 1 8 1 ，t h e o r e m1 1 )设q 为r 上的有界区域， 占( 仳) = 三z i 。ui p 如一上f ( z ，u ) 如， 其中f ( z ，= ，( z ，s ) d s ，且，满足c a r a t h c o d o r y 条件与) 若u o 眩护( q ) ng 1 ( q ) 为占在c 1 ) 中的局部极小值点，则u o 为易在咐p ( q ) 中 的局部极小值点 引理2 2 0 ( 最大值原理，【3 2 】，t h e o r e m5 ) 设q 为r 上的有界区域， 牡c 1 ( q ) ，且对a e x q 有让( 。) 0 ，此外l 乙( q ) ，且对a e z q 有k p u ( x ) p ( 乱( z ) ) 其中：f 0 ，) 一r 为连续单调不减函数，( o ) = 0 且以 下两种情况必有一种成立： i )存在s 0 使得p ( s ) = 0 ； i i ) 对任意的s 0 ，p ( s ) 0 ，且 f 1 d s j o 丽丽1 2 阮 若u 在q 上不恒为o ，则让( z ) 0 于q 上此外，若a q 满足内部球条件，且 x o a q ，使得铭c 1 ( qu 勋】- ) ，让( z o ) = 0 ，则赛( z o ) 0 ，其中死为q 在 z o a q 处的单位内法向量 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 下面我们介绍弱比较原理设q 为r 上的有界开区域，考虑q 上的算子 一d i v b ( x ，d u ) ，其中b 满足以下条件： b 伊( q r ；r ) nc 1 ( q r o ) ；r ) ， b ( z ，0 ) = 0 ， z q 塞| 瓢训 r l 卯咖r 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 壹舡帕冲2 咖创w ，艇r 仁2 4 ， 其中1 0 时，a ( u ) = o ；当缸= 0 时，a 多( t 上) = 【- 1 ，0 】；当u = 0 ， l i “c 死1( 2 4 5 ) 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 为证明( 2 4 5 ) ，我们用反证法假设 l l l l _ o 。 嘶，= 一芝三 由( ) 知存在常数m 0 使得 ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) 令 驴击南， ( 2 4 9 ) 2 丽了研 9 ) 显然 w n _ 在嵋p ( q ) 中有界由s o b l e v 空间的嵌入定理，存在w 魄p ( q ) 使 得 蛾一w于孵( q ) ， 一wa e 于q ， _ w于( q ) ， 其中s 眵，p + 1 8 ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) f 回让明加0 1 阪议t i j 兰0 由【2 3 9 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 7 ) 一【2 4 9 ) 与【2 5 2 ) ，伺 1 = i i , 幽ni i k 上鳖啤蔫掌删如+ 厶删耸裂如 + 厶姗黼如圳 = 上删蚶i 如+ 厶叫耸掣如 + l 妯黼如俐 = 厶：。，等u 黜。铲如+ 厶娜黼u oi 如州 =， 一f ：，j 十 - _ ：一t 五二厶1 - u l 工j 伽= o ) i i + | i p o _ 0 a e 于q 一由( 2 4 7 ) 矢f lp n ( 。) _ 0 ，故( 9 5 6 ) 表明 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 茁) = 0 a e 于q 一 由弱解的定义，( 2 6 8 ) 表明w 为方程 一p 加= ( z ) it ul p 一2 叫 ( 2 7 0 ) 在q 上的弱解，由于 ( z ) l o o ( q ) ，伽咐p ( q ) ，由正则性理论可知加 c 1 ，口( q ) ，且叫c ( q ) 由f l + 与q 一的定义知，q + ，q 一均为开集，故o q f l cq o 或a q cq oua q 由( 2 6 8 ) - 与( 2 7 0 ) 知对任意的口蝣护( q ) ，有 上i 。加i 矿2 。w d v 出= z + 危( z ) i 加i p - - 2t j j v 如( 2 7 0 在( 2 7 1 ) 中，取 c 铲( q 一) ，显然u w j l p ( q 一) cw j p ( q ) ，此时有 ld wi p d w d v d x = o ( 2 7 2 ) 显然w w 1 ，p 一) ，由以上的分析知w = 0 于勰一，又w c ( a ) ，由引 理2 9 知t t j 咏护( q 一) ，在( 2 7 2 ) d d i 玟 = w ，得到 id wl pd x = 0 ( 2 7 3 ) 从而加三c 帆s 于q 一，又w 三0 于a q 一，故w = 0 于q 一，这说明q 一= d ，即 q = q + uq o 。 由此与( 2 6 8 ) 及( 2 6 9 ) 知对任意的u 喇巾( q ) ，有 上+ i d w i 扩2 。w d v 如= 上+ 1i 埘i p - - 2w v 如， ( 2 7 4 ) 且( 2 7 4 ) 可化为 上+ d wi p - 2 。伽。u 如+ 厶id w p - 2d w d v 如+ 上一i d w r 2 。幻如 = f a + l i 叫p - - 2w v 如+ 上。zi 协i p - 2w t 如+ 上一ll 伽p - - 2w 钉如 即对任意的移孵护( q ) 有 上j 。叫 p - 2d w d v 如= 上f i 切r 2 伽如( 2 7 5 ) 因为埘0 ，( 2 7 5 ) 表明z 为一p 在w 护) 中的特征值，从而与假设( 五) 矛盾，故| l 8 g 因此我们可以假设一让于耐巾( q ) ，_ 牡于驴( q ) ， _ 牡于a eq 由( 2 3 8 ) 与( 2 4 2 ) 可得 i ( a ( 坳+ ) ，一t t ) 一n ( u o + 砧) x o l ( t t l 一仳) 如+ ( 一札) 如i ，nj q e 竹0 一u | | ( 2 7 6 ) 由_ 缸于( q ) 与h s l d e r 不等式可得 上( 铷+ 秕嘉) ) ( 。) ( u n 一让) d x - - - o , 上蝣( 一乱) 如_ o rt ，n，2 由上式与( 2 7 6 ) 知 ( a ( u o + ) ，钍。一u ) _ 0 ， 即 ( a ( u o + ) ，( u o + u n ) 一( u o + 乱) ) _ 0 ( 2 7 7 ) 由引理2 3 1 知a 满足( s ) 十条件，从( 2 7 7 ) b 秣j u o + u n _ u o + u 于叼伊( q ) ， 进一步得到u n 一仳于咄p ( q ) ，故妒+ 满足非光滑( c ) 。条件引理证毕 第三节主要定理的证明 。本节中，我们证明定理1 2 和定理1 3 定理1 2 的证明 定理1 2 的证明过程与【2 9 】中的p r o p o s i t i o n3 2 的证明过程类似 首先我们证明问题( 1 1 ) 存在解呦i n t q ，u o 为妒+ 的极小值点，且为9 的局部极小值点 由4 ( z ，心) 的定义，易证对任意的z q ，u r ， l 良( z ，让) i 口+ ci 牡l ，( 3 1 ) 其中a ，c 均为正常数 由( 3 1 ) 与p o i n c a r e 不等式， 妒十( “) = p 1i i 。酬；一上辟( z ，乱) 如；1i i 牡酽一i i ui i 一c 2 昙i i 让| j p _ c ，_ c 2 ， 其中c ，c 1 ，c 2 均为正常数因为p l ，当| l 让l l _ + o 。时，妒+ ( 让) _ + o o ，故妒+ 是强制的由蝴p ( q ) 紧嵌入到驴( q ) ，可以验证妒+ 是弱下半连续的，因此存 在u o 略巾( q ) ，使得 ，螽+ = i n f ( o + ( 牡) ：t 正w 0 1 护( q ) = 妒+ ( 牡o ) ( 3 2 ) 下面我们证明 豌+ 0 = 妒+ ( 0 ) ( 3 3 ) 令0 0 足够小，使得对任意的z 壳， 0 0 ，e 乱1 i n t o + 都是问题( 1 1 ) 的解，且c t 1 为5 d + 的极小值点注意到对任意的z q ，都有f “1 ) p 0 ，使得 妒+ l 百$ ( 锄) 2 妒j 毋( 咖) ， ( 3 6 ) 其中 酽( e 乱t ) = u 础( q ) ：i iu e 牡tl l 锚( q ) r 】 由( 3 6 ) 知c u l 是妒在四( q ) 中的局部极小值点，由引理2 1 9 知6 u l 为妒在 螂p ( q ) 中的局部v t d , n , 点故，若r h + = 0 ，则我们知道问题( 1 1 ) 存在一串符 合定理条件的解 因此不失一般性，我们假