（基础数学专业论文）有限群的几个结构问题.pdf

|k奁 皤，q 牛j 摹 目录 摘要 a b s t r a c t 目录 第1 章引言 1 1 问题的背景及结论概述 1 2 预备知识 第2 章 有交换和内交换极大子群的有限p 一群 2 1 预备引理和定理 2 2 主要结论 第3 章 内s 一自对偶p 一群 3 1 预备引理和定理 3 2 主要结论 第4 章用极大交换子群阶的集合刻画单群4 5 4 1 预备引理和定理4 5 4 2 主要结论4 6 第5 章2 n 3 2 p 1 p 2 p m 阶单群 5 5 5 1 预备引理和定理5 5 5 2 主要结论5 6 参考文献 结 论 攻读博士学位期间发表和待发表的学术论文 致谢 5 9 6 3 6 4 6 5 1 1 7 m 加 始 鹪 弘 m 1 1 7 加加 驺弘 一ii善 钾r r r j 叠 西南大学博七学位论文 摘要 本文研究有限p 一群的某些子群的性质对有限p 一群结构的影响，及有限单群的数 量刻画 有限群研究的最终目的是分类所有的有限群有限p 一群作为有限群的一个基础 群类，其完全分类应该首先得以完成，然而目前有限p 一群的完全同构分类是不可实 现的现实条件下，大家关注的有限p 一群分类问题集中在分类子群或商群比较特殊 的有限p 一群事实上，这也是目前有限p 一群分类中比较容易实现的手段，z j a n k o 曾 认为：分类具有给定子群结构的有限p 一群是一个重要内容和方向 在文【2 1 】中，r 6 d e i 给出内交换p 一群的定义一个自然的问题是“分类具有内交 换的极大子群的有限p 一群 ，这就是文【7 】中的问题2 3 9 本文完成了具有交换和内交 换极大子群的有限p 一群的完全分类 。 1 9 7 1 年，s p e n c e r 和a r m o n d e 在文【3 2 】中首先给出( s 一) 自对偶群的定义2 0 0 8 年， y b e r k o v i c h 和z j a n k o 在他们的有限p 一群的专著f 6 】中提出分类有限自对偶群的公 开问题 2 0 1 0 年，安立坚给出有限( s 一) 自对偶p 一群的具体结构一个自然的问题是能否 分类有“最大”( s 一) 自对偶子群的有限p 一群本文定义了内( 8 一) 自对偶p 一群，并完 全分类了这类p 一群 有限单群分类完成后，对单群结构的认识变得非常重要。过去3 0 年，在国内外兴 起了用单群的数量性质刻画单群本文利用单群的极大交换子群阶的集合、单群的 阶两个数量分别研究了一些系列单群得到了它们的刻画或者分类全文共分五章 第一章为本文的引言，简述了本文的主要工作及其历史背景，并列出本文所用 到的一些基本概念和定理 第二章给出了含有交换和内交换极大子群的有限p 一群的完全分类 第三章我们引入了内( s 一) 自对偶p 一群和极小非( s 一) 自对偶p 一群的定义并给 出了它们的完全分类 第四章利用群的极大交换子群阶的集合刻画了单群2 f 4 ( 2 2 叶1 ) ，a l ( 矿) ，其中p n 2 ，n 1 ，且利用群的阶和群的极大交换子群阶的集合刻画了单群日( 2 卅1 ) ，扎1 第五章给出了阶为2 n 3 2 p 1 沈的单群 关键词：p 一群；单群；内s 一自对偶群；极大交换子群；群的阶 一一 a b s t r a c t a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ep r o p e r t i e so fs o m es u b g r o u p sa f f e c to nt h e s t r u c t u r e o ff i n i t ep - - g r o u p s ，a n dc h a r a c t e r i z e df i n i t es i m p l eg r o u p sw i t ht h e i rq u a n t i t a t i v e p r o p e r t i e s t h eu l t i m a t ea i mo fr e s e a r c h i n go ff i n i t eg r o u p si sc l a s s i f y i n ga l lo ff i n i t eg r o u p s t h ec o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t ep g r o u p sa sab a s i cg r o u pc l a s ss h o u l db ef i n - i s h e dp r i m a r i l y , b u ti ti si m p o s s i b l e u n d e rt h er e a l i s t i cc o n d i t i o n ，t h ec l a s s i f i c a t i o n p r o b l e mc o n c e r n sf o c u so nt h ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t ep g r o u p sw h i c hh a v ep a r t i c u l a r s u b g r o u p so rq u o t i e n tg r o u p s i nf a c t ，i ti sm u c he a s i e rt of i n i s hm e a n si na s p e c t s o fc l a s s i f y i n gf i n i t ep - - g r o u p sa tp r e s e n t z j a n k ot h o u g h tt h a tc l a s s i f y i n gf i n i t e p - g r o u p sw h i c hh a v es o m es p e c i a ls u b g r o u p s i sa ni m p o r t a n tc o n t e i l ta n dd i r e c t i o n r d d e ig a v et h ed e f i n i t i o no fi n n e ra b e l i a np g r o u pi n 【2 1 an a t u r ep r o b l e m i s c l a s s i f y i n gf i n i t ep - g r o u p sw h e r ei n n e ra b e l i a np g r o u pa si t sm a x i m a ls u b g r o u p ， t h i si sp r o b l e m2 3 9i n 7 】i nt h i sp a p e r ，w ec l a s s i f yc o m p l e t e l yf i n i t ep - - g r o u p s w h i c hh a v ea na b e h a nm a x i m a ls u b g r o u pa n da ni n n e ra b e l i a nm a x i m a ls u b g r o u p i n1 9 7 1 ，s p e n c e ra n da r m o n d eg a v ef i r s t l yt h ed e f i n i t i o no f ( s - ) s e l f - d u a lg r o u p i n 3 2 i n2 0 0 8 ，y ，b e r k o v i c ha n dz j a n k og a v ea p u b l i cp r o b l e mw i t hc l a s s i f y i n g f i n i t es e l f - d u a lg r o u pi n 6 】 i n2 0 1 0 。l i j i a na ng a v et h es p e c i f i cs t r u c t u r eo f ( s 一) s e l f - d u a lp g r o u p an a - t u r ep r o b l e mi sw h e t h e rc l a s s i f y i n gf i n i t ep g r o u p st h a th a v e “m a x i m u m ( s 一) s e l f - d u a ls u b g r o u p i nt h i sp a p e r ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fi n n e r s s e l f - d u a lp - g r o u p ， a n dc l a s s i f ys u c hp - - g r o u p s a f t e rt h es e n s a t i o n a ls u c c e s si nc l a s s i f y i n go ft h ef i n i t es i m p l eg r o u p s ，t h es t r u c t u r eo ff i n i t es i m p l eg r o u pb e c o m e sv e r yi m p e c t a n t o v e rt h ep a s t3 0y e a r s ，t h er i s e i nc h a r a c t e r i z i n gf i n i t es i m p l eg r o u p sw i t ht h e i rq u a n t i t yp r o p e r t i e sa th o m ea n d a b r o a d i nt h i sp a p e r ，w eu s et h es e to ft h eo r d e r so fm a x i m a la b e h a ns u b g r o u p s a n dt h eo r d e ro ff i n i t eg r o u pt os t u d yas e r i e so ff i n i t es i m p l eg r o u p s ，a n dw eg e t t h e i rc h a r a c t e r i z a t i o n so rc l a s s i f i c a t i o n t h ea r t i c l ei sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s a sa ni n t r o d u c t i o no ft h i sp a p e ri nt h ec h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c em a i nr e s u l t s a n dt h er e s e a r c hb a c k g r o u n d w ea l s os e to u ts o m eb a s i cc o n c e p t sa n dt h e o r e m s w h i c ha r ec l o s e l yr e l a t e dt oo u rr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h ec o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t ep g r o u p sh a v i n g 一i 一。f， 谚，0j 西南大学博 学位论文 a na b e h 8 nm a 砸m a js u b g r o u pa n da ni n n e ra b e l i a nm a x i m a ls u b g r o u p i nc h a p t e r3 ，w ed e f i n ei n n e r ( 8 一) s e r f - d u a lp - g r o u p ，m i n i m a ln o n - ( s 一) s e l f - d u a l p g r o u p ，a n dc l a s s i f yt h e mc o m p l e t e l y i n 西a p t e r4 ，w ec h a r a c t e r i z et h es i m p l eg r o u p s2 f 4 ( 2 2 n + 1 ) ，a i ( p n ) ，w h e r e 矿 2 佗 1w i t ht h e8 e to ft h eo r d e r so fm a x i m a la b e l i a ns u b g r o u p s ，a n dw e a l s o c h 缸a c t e r i z et h e 出n p l eg r o u p 8f 4 ( 2 2 竹+ 1 ) ，w h e r en 1 w i t ht h es e to ft h eo r d e r so f m a x i m a la b e l i a ns u b g r o u p sa n dt h eo r d e ro fg r o u p i nc h a p t e r5 w eg i v et h es i m p l eg r o u p ，w h o s eo r d e ri s2 竹- 3 2 p l 砌 k e y w o r 凼：p g r o u p ；s i m p l eg r o u p ；i n n e r 8 - - s e l f - d u a lg r o u p ；m a x i m a la b e l i a n s u b g r o u p ；t h eo r d e ro fg r o u p 一一 一 f 一 咿；fi 第1 章引言 第1 章引言 1 1 问题的背景及结论概述 现代代数学起源于十九世纪，在二十世纪成为数学的一个主要分支，而群是现 代代数学中出现最早、最基本和最重要的概念之一它被广泛地应用在数论、密码 学、几何、计算机科学、量子物理、量子化学等学科，被誉为现代理论自然科学最重 要的基础之一在群论的众多分支中，有限群理论无论是在理论上还是在实际应用上 都占据着极为突出的地位，且有着十分丰富的内容 1 1 1有交换和内交换极大子群的有呦一群研究背景和结论 有限群研究的最终目的就是分类所有的有限群根据s y l o w 定理，有限p 一群作为 有限群中一个基础群类，其分类的实现应该首先得以完成，然而目前有限p 一群的完 全同构分类也是不可实现的因为随着群阶的扩大，同阶群的个数会变得巨大例如： 阶为2 1 0 的群有4 9 ，4 8 7 ，3 6 5 ，4 2 2 个现实条件下，大家关注的p 一群分类问题集中在分 类子群或商群比较特殊的有限p 一群事实上，这也是目前p 一群分类中比较有限和容 易实现的手段，zj a n k o 曾认为：分类具有给定子群结构的有限p 一群是一个重要内容 和方向近年来，随着有限单群分类的最终完成有限p 一群的研究变得越来越活跃 群论研究的许多领头科学家，如z j a n k o ，g g l a u b e r m a n 等人开始转入对有限p 一群 的研究发表了许多有限p 一群研究的论文，见文献 9 ，1 1 1 3 ，1 7 】 在文f 2 1 1 中，r 6 d e i 给出内交换p 一群的定义一个自然的问题是“分类具有内交 换的极大子群的有限p 一群”，这就是文【7 】中的问题2 3 9 在第二章中，我们研究含有 交换极大子群和内交换极大子群的有限p 一群，并给出了完全分类如下： 定理1 1 1 设g 是有限p 一群，则c 洧交换的极大子群和内交换的极大子群当且 仅当g 为下列互不同构的群之一： 一d ( c ) = 2 ，c ( g ) = 3 ( 1 ) ( a ，b l a 8 = 6 2 ”= 1 ，【a ，6 】= 矿) ； ( 2 ) ( o ，6 1 0 8 = b 2 ”= 1 ， 口，6 】= o - 2 ) ； ( 3 ) ( o ，b l a 8 = 1 ，6 2 ”= a 4 ， a ，6 】= a - 2 ) ； ( 4 ) ( a ，b l a ”+ 1 = t f = c p = 1 ，【c ，a 】= 1 ，【a ，6 】= c ， c ，6 】= a l p ”) ，p 3 ，l ，为l 或 某个模p 平方非剩余； ( 5 ) ( a ，b i a p + 1 = t f = c p = 1 ，【c ，叫= a p ，【o ，6 】= c ，【c ，6 】= 1 ) ，p 3 ； ( 6 ) ( a ，b ，c i a 9 = c 3 = 1 ，【c ，口】= 口3 ，0 3 = 6 3 ，【a ，6 】= c ，【c ，6 】= 1 ) ； 西南大学博士学位论文 ( 7 ) ( o ，b l a p + 1 = 6 p 2 = c 尹= 1 ，( c ，6 】= 1 ，【口，6 】= c ，f c ，口】= 6 印) ，p 3 ，为1 或 某个模p 平方非剩余； ( 8 ) ( 口，b l a p + 1 = 6 矿= 矽= 1 ，【c ，6 】= 6 p ，【o ，6 】= c ， c ，0 】= 1 ) ，p 3 ； ( 9 ) ( n ，6 i n 3 ”+ 1 = 6 3 = c 3 = a , 3 = 1 ， c ，口】= 1 ，6 】= c ，【c ，6 】= 回； ( 1 0 ) 缸，b l a p = 6 p = 矿= 护= 1 ，【c ，n 】= 1 ，【o ，6 】= c ，【c ，6 】= 回，p 3 ； ( 1 1 ) ( o ，t ，l a p + 1 = 6 p = 矿= 护= 1 ，【c ，6 】= 1 ，【o ，6 】= c ，【c ，叫= d ) ，p 3 ； ( 1 2 ) ( 口，b l a 2 “= 6 2 = c 4 = 1 ， c ，0 】= 1 ， o j ，6 】= c ，【c ，6 j = c 2 ) ，n 2 ； ( 1 3 ) ( o ，b l a 2 叶1 = 6 2 = c 4 = 1 ，【c ，6 】= c 2 ，k ，6 】= c ，c 2 = o j 扩，【c ，翻= 1 ) ， n 2 ； ( 1 4 ) ( 口，6 f n 2 ”= b 4 = c 4 = 1 ，c 2 = 6 2 ，【c ，6 = c 2 ， 口，6 】= c ， c ，o j 】= 1 ) ，佗3 ； ( 1 5 ) ( o ，b l a 8 = 6 4 = c 4 = 1 ，c 2 = 6 2 ，【c ，6 】= c 2 ，【n ，6 】= c ，c 2 = 0 , 4 ，【c ，口】= 1 ) ； 二d ( a ) = 3 ，l g ，l = p ( 1 6 ) ( 8 ，b ，c f 0 4 = c 2 。= 1 ，6 2 = 口2 = 口，6 】，【c ，d j = c ，6 = 1 ) 垒q 8x 岛t ； ( 1 7 ) ( 口，b ，c l a p + 1 = 矿= c p 。= 1 ，【n ，6 】= a p - ，【c ，口】= 【c ，6 】= 1 ) 兰m ( 扎+ 1 ， 7 , ) x 哆，其中m i n n ，仇，七) = 1 ； ( 1 8 ) ( 口，b ，c l a p = 矿= d , k = 扩= 1 ，【n ，6 】= 吐【c ，司= 【c ，6 】= 1 ) 掣 m ( n ，m ，1 ) x ，其中n m ，m i n m ，七) = 1 ，当p = 2 时，n 2 ； ( 1 9 ) 缸，b ，c l a 4 = 1 ，6 2 = c 2 。= 铲= 【口，6 】，【c ，口】= 【c ，6 i = 1 ) 笺q 8 奉岛t + t ； ( 2 0 ) 缸，b ，c l a p = 矿= c p 1 = 1 ，k ，6 】= ，【c ，口j = 【c ，6 】= 1 ) 兰 m ( 礼，m ，1 ) 木q ，其中佗m ，m i n m ，七) = l ，当p = 2 时，竹2 ； 三d ( a ) = 3 ，c ( a ) = 2 ，l g ，i = 护 ( 2 1 ) 弛，b ，c l + 1 = 矿+ 1 = c p = 1 ，陋，b l = ，k ，c 】= 矿，f 6 ，c 】= 1 ) ； ( 2 2 ) ( n ，b ，c i + 1 = 6 p 2 = + 1 = 1 ，k6 1 = ，【口，c 】= 6 p ， 6 ，c 】= 1 ) ； ( 2 3 ) ( n ，b ，c i 扩= 6 p ”+ 2 = + 1 = 1 ，陋，6 】= 护，【n ，c 】= 驴”+ 1 ，【b ，c 】= 1 ) ； ( 2 4 ) 缸，b ，c i “= 垆”= = 1 ，陋，6 】= ，【口，c 】= 矿， 6 ，c 】= 1 ) ； ( 2 5 ) ( n ，b ，c l + 1 = 6 p = 螂= 1 ， o ，6 】= ， 口，c 】= 矿+ 1 ， b ，c 】= 1 ) ； ( 2 6 ) ( o ，b ，c i = 矿+ 1 = + 2 = 1 ， o ，6 】= 矿， n ，c 】= “，【6 ，c 】= 1 ) ； ( 2 7 ) ( o ，6 c l 矿= 矿“= 矿“= 1 ，k ，6 = 垆”，【n ，c 】= ，【6 ，c = 1 ) ， 当p = 2 时，m 1 ； ( 2 8 ) ( o ，b ，c i = 矿“= c p 2 = 1 【o ，6 】= 矿，陋，c 】= c 切，【b ，c 】= 1 ) ，其 中m 1 ，七= 1 ，2 ，p 一1 ； ( 2 9 ) ( 口，b ，c 1 0 p = 妒m + 1 = c 矿+ 1 = 1 ， 口，6 】= 6 p m ， n ，c 】= c 细”，【b ，c 】= 1 ) ，其 中m n 1 ，七= 1 ，2 ，p 一1 ； 第1 荤引言 ( 3 0 ) ( 口，6 c i = 矿+ 1 = 矿= 1 ，k ，6 】= 汐，【口，c 】= 矿，【b ，c 1 = 1 ) ，其 中m 1 ，= 1 或者是一个固定的模p 的平方非剩余； ( 3 1 ) ( o ，b ，c j n p = 1 = + 1 = 1 ，陋，6 】= c i 矿，陋，c 】= 6 p m ，f b ，c 】= 1 ) ，其 中m n 1 ，王，= 1 或者是一个固定的榔的平方非剩余； ( 3 2 ) ( o ，b ，c i = 矿= 扩= 1 ，a ，6 】= 汐，陋，c 】= 6 - p 一，【6 ，c 】= 1 ) ，其 中= 1 或者是一个固定的模p 的平方非剩余，0 k 罢； ( 3 3 ) ( n ，b ，c i 口p = 矿+ 1 = + 1 = 1 ，a ，6 】= c 矿，【口，c 】= 6 _ p m 毋”， 6 ，c 】= 1 ) ， 其中m 1 ，= 1 或者是一个固定的模p 的平方非剩余，0 七罟； ( 3 4 ) ( a ，b ，c l a 4 = b 4 = c 2 = 1 ，【a ，b l = a 2 b 2 【a ，c 】= b 2 ， b ，c 】= 1 ) ，其中 2 ； ( 3 5 ) ( a ，b ，c l a 4 = b 4 = c 2 1 = 1 ， a ，b l = a 2 = 6 2 ，【n ，c 】= 夕， b ，c 】= 1 ) ； ( 3 6 ) ( n ，b ，c l a p l = 6 p = d 严+ 1 = 护= 1 ，【口，6 】= z ，【o ，c 】= 一，f b ，c 】= 【z ，a 4 = i x ，6 】= k ，c 】= 1 ) ，f 2 ； ( 3 7 ) ( q ，b ，c l a p = 6 p m = d , - + 1 = 矿= 1 ，【a ，6 】= z ，【口，c 】= d , - ，【b ，c 】= 【z ，口】= 【$ ，6 】= 【z ，c 】= 1 ) ，当p = 2 时，m 2 ，死2 ； ( 3 8 ) ( a ，b ，c l a p = 6 p ”= d , - + 1 = 矿= 1 ， a ，6 】= d , - ，【a ，c 】= z ， 9c = 陋，0 】= 【x ，b 】= 陆，c 】= 1 ) ，当p = 2 时，n + m 3 ； ( 3 9 ) 弛，b ，c i = 6 p = d , - + 1 = 护= l ，【0 ，6 】= d , - ，a ，c 】= z ， 6 ，c 1 = 囟，口】= 【z ，6 】= 【z ，c = 1 ) ，当p = 2 时，2 + n 3 ，z 1 ； ( 4 0 ) ( o ，b ，c l a + 1 = 6 p ”= 矿= 矿= 1 ，【0 ，6 】= ，陋，c 】= z ， b ，c 】= k ，叫= 【z ，6 】= 【z ，c 】= 1 ) ； ( 4 1 ) o ，b ，c i 护冲1 = 垆= = 妒= 1 ，【o ，6 】= ，【o ，c 】= z ， b ，c 】= 陋，叫= k ，6 】= k ，c 】= 1 ) ，n 1 ； ( 4 2 ) ( a 9b ，c l a 4 = 6 4 = c 2 “= z 2 = 1 ， 口，6 】= a 2 = 6 2 ，【a ，c 】= z ，【b ，c 】= k ，a 】= p ，6 】= 【z ，c 】= 1 ) ； ( 4 3 ) ( a ，b ，c b 4 = c 4 = 1 ，铲= 6 2 ，f a ，6 】= c 2 ，【a ，c 】= 6 2 ，【b ，c 】= 1 ) 1 1 2 内s 一自对偶p 一群研究背景和结论 自对偶群的概念是1 9 7 1 年由s p e n c e r 和a m o n de 在文 3 2 1 中首先提出，并给出下 列定理： 定理1 1 2 g 是有限自对偶群当且仅当g 是幂零群且g 的所有s y l o 子群都是 自对偶群 定理1 1 3 若g 是有限自对偶p 一群则g 的每个子群自对偶当且仅当g 是交换 群或者g = h k ，其中日是方次数为p 的p 3 阶非交换群，k 是初等交拗一群 西南大学博士学位论文 2 0 0 8 年，y ，b e r k o v i c h 和z j a n k o 在他们的有嘞一群的专著 6 】中提出如下公开问 题： p r o b l e m7 0 6 ：c l a s s i f yt h ep - g r o u p sgs u c ht h a tf o re v e r y ( i ) h 3 ； ( 6 ) ( a ，z ，u l a = x p = 旷= z p = h p = 1 ，【z ，y 】= 2 ， a ，z 】= h ， a ，y 】= 【名，a 0 = 【z ，z 】= 【z ，y 】= 【h ，n 】= 【h ，x 】= h ，引= 1 ) ，其中p 2 ； ( 7 ) ( a ，z ，可l n p = x p = u p = 碍= 1 ，k ，y 】= h a ， a ，x 】= 地， a ，胡= h 3 ，【，叫= 陬，y 】= 1 ) ，其中p 2 ，i = 1 ，2 ，3 ； ( 8 ) 蛑( 1 ，1 ，1 ) 木鸩( 1 ，1 ，1 ) ，其中p 2 ； ( 9 ) ( a ，z ，y l x 4 = y 4 = 1 ，a 2 = 。2 护，【z ，y 】= z 2 ，【a ，y 】= 护，【a ，z 】= 1 ) ； ( 1 0 ) ( a ，x l a 8 = z 4 = 1 ，【n ，x 】= 0 2 ) ； ( 1 1 ) ( a ，x l a 4 = z 4 = y 4 = 1 ，【a ，z 】= y ，【z ，y 】= y 2 ，【a ，y 】= y 2 ) ； ( 1 2 ) ( a ，x ，u l a = z 4 = y 4 = 1 ，【z ，y 】= 铲，【a ，z 】= a 2 ，【a ，y 】= 2 ) ； 一4 一 第1 章引言 ( 1 3 ) ( 口，z ，! l l a = = 矿= 1 ，i x ，引= 矿，【口，。】= 1 ，【口，引= a p - 以) ， 脚= n = 2 # 1 - 推论1 1 6 设g 是有限群则g 为极小非s 一自对偶p 一群当且仅当g 为以下互 不同构的群之一： ( 1 ) q 8 ； ( 2 ) 坞( 他，1 ) = ( o ，bi = b l , = 1 ，扩= a 1 桫- 1 ) ，其中n 2 ； ( 3 ) 坞( 2 ，1 ，1 ) = ( 口，b ，ci 扩= b 1 , = o l , = 1 ，【口，6 】= c ， c ，叫= 【c ，6 = 1 ) ； ( 4 ) ( o ，z 阳尹= 妒= 旷= z p = 1 ，【o ，z 】= y ，i x ，y 】= 名，【a ，可】= k ，0 】= 瞳，z 】= 1 ) ， 其中p 3 ： ( 5 ) ( 口，z ，u l a = 妒= 圹= z p = h p = 1 ，k ，引= z ，【o ，z 】= h “q ，纠= 【z ，口 = k ，z 】= 【名，引= 【h ，0 】= 【h ，叫= 【h ，圳= 1 ) ，其中p 2 ； ( 6 ) ( 1 ，1 ，1 ) 宰鸠( 1 ，1 ，1 ) ，其中p 2 定理1 1 7 设g 是有限群则g 为内自对偶p 一群当且仅当g 是下列互不同构群 之一： ( 1 ) q 8 ； ( 2 ) 蛑( n ，m ) = ( 口，bi 扩= 矿= 1 ，扩= 口1 桫- 1 ) ，其中礼2 ，佗m ； ( 3 ) 鸩( n ，m ，1 ) = ( n ，b ，cla p = 矿= 矿= 1 ，【口，6 】= c ，【c ，口】= 【c ，6 】= 1 ) ，其 中n m ，m + 佗3 ； ( 4 ) ( 口，x l a , = 矿= 旷= 矿= 1 ， 口，z 】= ! ，【。，y 】= z ，【口，可】= 【z ，n 】= 【z ，叫= 1 ) ， 其中p 3 ： ( 5 ) ( 口，x l a p = 矿= 旷= z p = h p = 1 ，陋，z 】= 秒，p ，可】= 名，【口，纠= h ，k ，口】= k ，z 】= 【h ，翻= h ，z 】= 1 ) ，其中p 3 ； ( 6 ) ( 口，z ，y l a , = 妒= 旷= 矿= h p = 1 ，陋，引= 名， 口，司= h “口，引= 【z ，0 】= 【名，z 】= 【z ，秒】= 【h ，0 】= h ，z 】= 【h ，秒】= 1 ) ，其中p 2 ； ( 7 ) ( 口，z ，y l a p = 妒= 旷= 醒= 1 ，k ，可1 = h i ，【口，z 】= h 2 ，【口，们= h 3 ， h i ，z 】= 【，引= 1 ) ，其中p 2 ，id i n 1 ，2 ，3 ； ( 8 ) 鸠( 1 ，1 ，1 ) 木鸩( 1 ，1 ，1 ) ，其中p 2 推论1 1 8 设g 是有限群则g 为极小非自对偶p 一群当且仅当g 为以下互不同 构的群之一： ( 1 ) q 8 ； ( 2 ) ( 礼，1 ) = ( n ，bi 扩= b 1 , = 1 ，口6 = 口1 桫- 1 ) ，其中仃2 ； ( 3 ) ( 口，x l a p = ：r p = 圹= z p = 1 ，【0 ，z 】= 秒，陋，引= z ， 口，纠= z ，叫= k ，叫= 1 ) ， 其中p 3 ； 西南大学博七学位论文 ( 4 ) ( a ，z ，l 口p = 矿= y p = z p = h p = 1 ， x ，y 】= z ，【a ，x 】= h ，【a ，引= kn 】= 【名，叫= 【z ，y 】= h ，叫= 【 ，z 】= 限，引= 1 ) ，其中p 2 ； ( 5 ) 鸩( 1 ，1 ，1 ) 宰鸠( 1 ，1 ，1 ) ，其中p 2 1 1 3用极大交换子群阶的集合刻画单群研究背景和结论 在最近的三十多年里有限单群的数量刻划是个很热门的话题随着单群分类 定理的完成，有关单群数量刻划的想法和结论越来越丰富，其中有1 9 8 7 年f i e l d s 奖获 得者j g t h o m p s o n 提出两个著名猜想，施武杰教授提出的用元的阶和群的阶、单 独用元的阶对所有有限单群给出统一刻划的猜想在许多群论专家的努力下证明了 施武杰教授的这两个猜想是成立的 陈贵云教授于1 9 9 5 年证明了素图不连通情况下t h o m p s o n 的第一个关于共轭类 的猜想成立，并提出用阶分量刻画单群的想法王临红于1 9 9 9 年在陈贵云教授的指导 下讨论了极大交换子群阶的集合与素图的关系，提出了用极大交换子群阶的集合刻 画有限单群的想法并且用极大交换子群阶的集合刻划了单k 3 一群，s u z u k i 系列单 群和部分散在单群韩章家用同样的方法对所有的散在单群和部分特殊线性群进行 了刻划2 0 0 6 年，陈贵云教授用极大交换子群阶的集合刻画交错群如，其中p ，p 一2 均 为素数2 0 0 9 年，n a h a n j i d e h ，a i r a n m a n e s h 用极大交换子群阶的集合刻画单 群玩( g ) ，佗= 2 m 4 ，g 为素数的方幂2 0 1 0 年，胡接春用极大交换子群阶的集合刻画 满足一定条件的单群a n 综上所述，研究单群的特征性质和刻划单群是一项很有意义的工作，我们继续 前面的工作，用极大交换子群阶的集合刻画单群2 乃( 2 2 叶1 ) ，a 1 0 n ) ，其中矿 2 ，n 1 ，且用群的阶和极大交换子群阶的集合刻画单群局( 2 n + 1 ) ，扎1 得出如下结论： 定理1 1 9 设g 为有限群若m ( g ) = m ( 2 f 4 ( 2 2 计1 ) ) ，仡1 ，则g 竺2 f 4 ( 2 2 n + 1 ) 定理1 1 1 0 设g 为有限群若m ( g ) = m ( a 1 0 n ) ) ，其中p 为素数，p n 2 则g 竺a 1 仞住) 定理1 1 1 1 设g 为有限群若m ( g ) = m ( f 4 ( 2 计1 ) ) ，佗1 r i g i = i f 4 ( 2 - + 1 ) 1 则g 望f 4 ( 2 + 1 ) 1 1 4 2 n 3 2 p 1 p 2 阶单群研究背景和结论 给出阶形的单群的分类一直是一项非常有意义的工作在文 5 5 】中，t h o m p s o n 证 明t 3 - 单群只有s 名( 2 n ) ，其中佗为奇数对用阶刻画单群的思考就转向刻画阶中含 有t 个3 因子的单群文【5 6 】已经大体给出了阶为2 竹3 p l p 2 p m 的单群，其 一6 一 第1 章引言 中p l ，耽，是大于3 且互异的奇素数本文定理1 5 1 接着文【5 6 】的工作给出了阶 为2 n 3 2 p 1 p 2 的单群在推论中，对于满足某个条件的单群，给出更加具体的 结果 定理1 1 1 2 若g 为2 n 3 2 - p i p 2 p m 阶单群，则g 兰m 1 1 ，m 2 2 ，m 2 3 ，a ，a 7 ，a s ， a 4 ( 2 ) 或a 1 ( 口) ，满足q = 且g 只可能为型如2 t 3 2 r l 死士1 型的素数或g = 2 n 且口只 可能为型如3 2 ，1 r 士l 的整数，其中r l ，r i 为 3 的互异素数，t ，i 为正整数 1 2 预备知识 本节我们介绍本文必需的关于有限群的相关概念及结论关于有限p 一群，有限 单群的理论，请读者参考【1 】，【4 】- 8 】，【1 4 】等 定义1 2 1 非空集合g 称为一个群，如果在g 中定义了一个二元运算，叫做乘 法它满足 ( 1 ) 结合律：( a b ) c = o ( 厶c ) ，a ，b ，c g ( 2 ) 存在单位元素：存在1 g ，使对任意的a g ，恒有 l a = a l = a ( 3 ) 存在逆元素：对任意的a g ，存在a g ，使得 a a 一1 = a 一1 a = 1 若g 还满足 ( 4 ) 交换律：a b = b a ，v a ，b g ， 则g 称为交换群 定义1 2 2 称群g 的非空子集日为g 的子群，如果铲互日，日_ 1 日这时记 做日g 显然，任意群g 都有两个子群g 本身和l ，g 的非g 本身的子群通常称为g 的真子 定义1 2 3 设g 是群，m g ，( 允许m = g ) ，则称g 的所有包含m 的子群的交 为由m 生成的子群，记做( m ) 一7 一 西南大学博士学位论文 如果( m ) = g ，我们称m 为g 的一个生成系，或称g 由m 生成仅由一个元素口生 成的群g = ( o ) 叫做循环群 群g 的阶是集合g 的势，记做i g | 对于群g 中任意元素a ，我们称( o ) 的阶为元素。的 阶，记做d ( o ) ，最p o ( a ) = i 口i 定义1 2 4 称有限群g 为p 一群，如果i g i 为素数的方幂 定理1 2 5 每个交换群均为循环群的直积 那么，任意交换群g 都有 g 竺c k l c k c , h g l a l = n 1 m ， 其中g 。为他阶交换群 定义1 2 6 设h g ，a g 称f g 如a h ( h a ) 的子集为日的一个左( 右) 陪集 容易验证a h = b h 兮a - i b h 类似地有h a = h b 营a b - 1 h 由于任意两个左( 右) 陪集或相等或不相交，g 可表成日的互不相交的左陪集的并： g = a z h u a 2 h u u o 竹日， 元素 o l ，o 2 ，a n 叫做日在g 中的一个( 左) 陪集代表系日的不同左陪集的个 数佗( 不一定有限) 叫做日在g 中的指数，记做i g ：h i 同样的结论对于右陪集也成立，并且日在g 中的左，右陪集个数相等，都是i g ： 日i 下面的定理对于有限群具有基本的重要性 定理1 2 7 ( l a g r a n g e ) 设g 有限群，hsg ，则l g l = i h i i c ：h i 定义1 2 8 设g 是群，日是g 的子集，g g 若h 9 = h ，则称元素g i e 规化日，而 称g 中所有正规化日的元素的集合 g ( 日) = 9 a l h g = 日】- 为日在g 中正规化子又若元素夕满足对所有h h 恒有h g = h ，则称元素9 中心 化日，而称g 中所有中心化日的元素的集合 c g ( 日) = 9 g i ，沪= 九，v h 日 一8 一 第1 章引言 为日在g 中的中心化子 规定z ( g ) = c d v ) ，并称其为群g 的中心 定义1 2 9 称群g 的子群为g 的正规子群，记做塑g ，如果n g 冬n ，的g 定义1 2 1 0 除了群本身和平凡子群之外没有其它正规子群的群叫做单群 设g 为任意群，a ，b g 我们规定 【a ，6 】= a - l b a b ， 叫做元素a 和b 的换位子再令 g ，= ( 【o ，6 】i 口，b g ) 称为g 的换位子群或导群 定义1 2 1 1 设g 是有限群若g 1 令圣( g ) 为g 的所有极大子群的交而