（运筹学与控制论专业论文）burgers方程基于特征正交分解方法的数值解法研究.pdf

中文摘要 摘要：本文主要将特征正交分解( p r o p e ro r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o n ，简记为p o d ) 方 法应用于b u r g e r s 方程通常的差分格式和有限元格式，分别将这些格式简化其为一 个计算量很少但具有足够高精度的p o d 差分格式和有限元格式，并给出简化的 p o d 差分格式和有限元格式解的误差分析。数值例子表明在简化的p o d 差分格 式和有限元格式与通常的差分格式和有限元格式解之间的误差足够小的情况下， p o d 差分格式和有限元格式比通常的差分格式和有限元格式大大地节省计算量， 从而验证p o d 方法的有效性。 关键词：特征正交分解；有限差分格式；有限元格式；误差分析；b u r g e r s 方程 分类号：0 2 4 1 4 j t 塞交通太亟堂僮i 金室 一：垦墨至g 工 a b s t r a c t a b s t r a c t ：ap r o p e ro r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o n ( p o d ) m e t h o di s a p p l i e dt o au s u a lf i n i t ed i f f e r e n c e ( f d ) f o r m u l a t i o na n dau s u a lf i n i t ee l e m e n t ( f e ) f o r m u l a t i o nf o rb u r g e r se q u a t i o n ss ot h a tt h e yc a l lb er e d u c e di n t oap o df d f o r m u l a t i o na n dap o df ef o r m u l a t i o nw i t hl o w e rd i m e n s i o n sa n de n o u g h h i 曲a c c u r a c y t h ee r r o r sb e t w e e nt h er e d u c e dp o df da n df es o l u t i o n sa n d t h eu s u a lf da n df es o l u t i o n sa r ea n a l y z e d i ti ss h o w nb yn u m e r i c a le x a m p l e s t h a tt h er e s u l t so fn u m e r i c a lc o m p u t a t i o na r ec o n s i s t e n tw i t ht h e o r e t i c a l c o n c l u s i o n s m o r e o v e r , i ti sa l s os h o w nt h a tt h i sv a l i d a t e st h ef e a s i b i l i t ya n d e f f i c i e n c yo fp o d m e t h o d k e y w o r d s ：p r o p e ro r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o n ；f i n i t ed i f f e r e n c e f o r m u l a t i o n ；f i n i t ee l e m e n tf o r m u l a t i o n ；e r r o ra n a l y s i s ；b u r g e r se q u a t i o n s c l a s s n o ：0 2 4 1 4 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有保留、使用学位论文的 规定特授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编 以供查阅和借阅同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件 和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名工强叶 导师签名：髻每，g 签字日期：1 加】f 年朋倜 ee t 剪l ：很歹月珀 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位做作者签名王蒜叶 签字日期 加髟年f 月二阳 4 5 致谢 光阴似箭，弹指一挥间，两年的研究生生活转瞬即逝。回首两年走过的路， 我感慨万千 在这里，我要说的第一句话是献给我的导师罗振东教授，“深深地感谢您 罗老师! 两年来，能够师从罗老师，我由衷地感到幸运。罗老师渊博的专业知识， 横溢的才华，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力 对我影响深远。不仅使我掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多为人、为学 的道理。从罗老师的身上我真正懂得了“师恩如海，也找n t 今后学习和工作 的榜样! 再次感谢罗老师，作为系主任平日里工作繁多，但是本论文从选题到完成， 每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，向罗老师表 示崇高的敬意和衷心的感谢! 最后还要感谢敬爱的学友，在我遇到困难时给予的热心帮助，另外也感谢家 人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 序 本文主要将特征正交分解( p r o p e ro r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o n ，简记为p o d ) 方 法应用于求解b u r g e r s 方程的数值解。本文的主要内容包括两部分，第一部分主要 讨论b u r g e r s 方程基于p o d 方法的差分格式及其数值模拟，包括b u r g e r s 方程通 常的差分格式和瞬像的生成，奇值分解和p o d 基的生成，b u r g e r s 方程基于p o d 方法的差分格式及数值模拟例子等内容；第二部分主要讨论b u r g e r s 方程基于p o d 方法的有限元格式及其数值模拟，包括b u r g e r s 方程通常的有限元格式和瞬像的生 成，p o d 基的生成和基于p o d 方法的简化有限元格式，基于p o d 方法的简化 有限元解的误差估计及数值模拟例子等内容。本研究得到了国家自然科学基金面 上项目( 批准号：1 0 4 7 1 1 0 0 ) 、国家自然科学基金重点项目( 批准号：4 0 4 3 7 0 1 7 ) 和北京交通大学科技基金助项目的资助。 1 引言 有限差分法和有限元法是求解偏微分方程的两种重要方法，已经被广泛应用 于科学与工程计算中。用有限差分法和有限元法处理解偏微分方程近似解是上世 纪初由c o u r a n t 等人首先提出的，随着计算机的发展而得到了迅速发展，已经成为 了船舶、一般机械、巨型建筑和水利设施等的计算方法。近年来，这两种方法又 被用于流体力学和电磁场等非应力分析问题的计算中，并取得了很好的效果。 设qcr 2 是有界的连通多角形区域，考虑下面的b u r g e r s 方程 问题( 1 ) 求u 和v 使得 塑+等q-等=上(窘+雾)+z如y，t)q(cocgt r e + = l + = - l + ，i 溉y 1 s 2 i ，：f 叙 两l 叙2钾2j “7 、“ 一7 鱼+警+等=聂1eif塑叙：+塑ay2)1+厶，k少，t)ql(ogt 一，r ) + + = 一 。+ i + ，。i 五l ，j s 2 i i 叙 钾r e i 叙2 “、77 u ( x ，y ，f ) = 9 g ，y ，f ) v g ，y ，f ) = 少g ，y ，f ) ，( j b y ，f ) c 3 f i x ( 0 ，t ) u ( x ，o ) = v ( x ，o ) = o ，g ，y ) q 其中u 和v 是未知量，t 为最大的时间限，丘和e 分别是已知的x 和y 方向的体 力密度，r e 是已知的r e y n o l d s 数，矽( 五j ，f ) 和( 五弘t ) 是已知函数，但是为了便 于理论分析，不失一般性，下面先假定矽( 五y ，t ) = 沙( 五乃f ) = 0 。 b u r g e r s 方程是流体力学的重要模型方程，该方程的应用研究已经很多，有很 多的实际应用背景。虽然b u r g e r s 方程通常的有限差分方法和有限元方法已经在科 学计算中得到了很广泛的应用，而且其理论已经很完善。然而，b u r g e r s 方程通常 的有限差分格式和有限元格式的自由度太多，对于实际应用会产生很多困难。因 此，重要的问题是在保证其数值解具有足够高精度的情况下，如何简化计算和节 省计算量及内存容量。特征正交分解( p r o p e ro r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o n ，简记为 p o d ) 方法能提供具有足够高精度而自由度又较少的低维模型，简化计算，节省 c p u 和内存【3 】。在奇值分析和样本识别中，称该方法为k a r h u n e - l o e v e 展开；在 统计学中，称该方法为主分量分析【5 1 ；在地球物理的流体动力学和气象学中，称该 方法为经验正交函数方法1 5 羽。 p o d 方法主要是提供一种有效地逼近大量数据的工具，其实质是在最小二乘 意义下寻找能代表已知数据的一组正交基，即一种求已知数据的最优逼近方法。 此外，由于p o d 方法是在最d x - - 乘意义下最优的，所以该方法有完全依赖数据而 不对数据做任何先验假设的优点。p o d 方法与g a l e r k i n 投影方法相结合，能将维 数很高或无限维的动力系统变成低维模型。虽然该方法已广泛应用于统计计算和 6 流体动力学中【3 - 1 5 1 ，但是这些应用主要是做主分量分析，寻找动力系统的主要特征 量。据我们所知，目前还没有用p o d 方法去对b u r g e r s 方程通常的有限差分格式 和有限元分格式做简化的报道。因此，本文将p o d 方法应用于b u r g e r s 方程通常 的有限差分格式和有限元格式，简化其为一个计算量很少但具有足够高精度的 p o d 有限差分格式和有限元格式，并给出简化的p o d 有限差分解和有限元解的 误差分析。最后，我们用数值例子说明，在简化的p o d 有限差分解和有限元解与 通常的有限差分解和有限元解之间的误差足够小的情况下，p o d 有限差分格式和 有限元格式比通常的有限差分格式和有限元格式大大地节省计算量，从而验证 p o d 方法的有效性。 虽然k u n i s c h 和v o l k w e i n j 将p o d 方法与g a l e r k i n 方法结合，处理了类 似问题，但是没有对b u r g e r s 方程的有限差分格式和有限元格式做简化处理，而且 他们的方法是取所有的时间差分节点的数值解作为样本点( 称为s n a p s h o t s ，即瞬 像) 。本文的方法与k u n i s c h 和v o l k w e i n 的方法是不同的，对有限差分格式，用 离散的p o d 基的线性组合替换通常差分格式的未知量，将维数较高的有限差分格 式简化成维数很低的po d 有限差分格式；对有限元格式，将有限元空间用p o d 基函数张成的子空间取代，将维数较高的有限元格式简化成维数很低的p o d 有限 元格式。特别是，从理论上分析得知，本文的格式无需取所有的时间差分节点的 数值解作为瞬像，只需取很少的时间差分节点的数值解作为瞬像就能保证有足够 高的精度，从而减少了求解p o d 基的计算量，所以本文的方法是对现有方法的改 进和创新。 本文的主要内容包括两部分，第一部分主要讨论b u r g e r s 方程基于p o d 方法 的差分格式及其数值模拟，包括b u r g e r s 方程通常的差分格式和瞬像的生成，奇值 分解和p o d 基的生成，b u r g e r s 方程基于p o d 方法的差分格式及数值模拟例子等 内容( 见第2 章) ；第二部分主要讨论b u r g e r s 方程基于p o d 方法的有限元格式 及其数值模拟，包括b u r g e r s 方程通常的有限元格式和瞬像的生成，p o d 基的生 成和基于p o d 方法的简化有限元格式，基于p o d 方法的简化有限元解的误差估 计及数值模拟例子等内容( 见第3 章) 。 7 2 b u r g e r s 方程基于p o d 方法的差分格式及其数值模拟 本章主要讨论b u r g e r s 方程基于p o d 方法的差分格式及其数值模拟，给出 b u r g e r s 方程通常的差分格式和选取瞬像，对离散的瞬像作奇值分解合并构造出 p o d 基，导出b u r g e r s 方程基于p o d 方法的差分格式，并给出数值模拟例子验证 理论结果，最后给出一些结论和展望。 2 1 b u r g e r s 方程通常的差分格式和瞬像的生成 设a x 和缈分别表示工方向和y 方向的空间步长，a t 表示时间步长， 嚏哆哇分别表示”在点h 帕乙 ，v 在点 ( x ，。毛，t n ) ( ，歹，。七k ，刀) 处的函数值。 jl 广 蕾 ， f r ，譬 1 。 】， 积 ” 1l r i l 图2 1交替网格图 下面用如图2 1 的交替网格差分格式解问题( 1 ) ： ( 1 ) 在( x i + ；, y k , t n ) 点离散x 方向的动量方程 丝+ 笙+ a ( u v ) 一1 ( 10 锄2 u ：+ 丝o y 2 ) o t c 3 x o y r e 1 + 石( 2 1 ) i 锄2 “、7 8 得到 其中 而且 由 2 吼争2 甜4 地沁+ “海，一 ， j 十2 耳 + 妄，七 a x 2 “砖n + l = “f 一”l ：, k + a t f 吁n 1 ，、 岛- 2 石h 以，乙j ， 鬈；，量= 尝“k h 七一“a ) l i j + 鼍，k 厶xj + 三。、p k ( 。 fi 一i r e i f ( 2 ) 同理， 2 u 4l + “1 ，+ ；，七j + i ，七 缸2 在h 中乙 点离散y 方向的动量方程 塑+等+o锄vjat = 上r e ( 窘+ 窘 + 厶 + 一+ = l + i + ，： 咖 锄 i 苏2西2j 2 运用上面过程得 壤；2 一鬈。+ ：+ 叫 其中名+ ；，： ，r、 吖2 l b y “： j 而且 9 _ 一：丁 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) l 一2 “ l 一2 一p ，l、 七 一2 ”“ 出一妙 + + 七 l 一2 n 产 ” j 京交通盔堂亟堂僮途塞旦坠g 曼竖友猩基王q q 友洼的羞筮揸式厘基数值撞拯 2 考嚷哇k 州一吃y i + 一2 1 ，” 肌t a x 2 + v 4 ， 川一； 一v ：、| “ 户三七+ 三夕 + 一 衄2l ( 2 6 ) 用非定常的n a v i e r - s t o k e s 方程的有限差分格式稳定性和收敛性的证明方法可 以硼：0 2 5 0 “1 2 + 忡t - r e 0 有下面的关系 九= 仃：( f = 1 , 2 ，) 。 由于网格点数远远大于所选的瞬时时刻点数，即优，也即a u 彳l 的阶m 远 远大于彳l a u 的阶l ，但是他们的非零特征值是相同的，所以我们可以先解爿l 以对 应的特征方程求出特征向量死o = l ，2 ，上) ，然后由关系式： 荔f = 彳。谚驴仃蟛，j f = 1 ，2 ，( 2 2 1 ) 可以得到矩阵以么l 的非零特征值对应的，o 己) 个特征向量。由谱半径和i | j | 2 ： 的关系知，如果m 。 f | i ： ( 2 2 3 ) 一钆i | 2 2 ：= 压鬲 其中( 二：) = 警( 砺谚，( 秭：) 是向量乃和向量二：的标准内积。上 不等式表明& u ( 叫a u ) 是二：的最优逼近，误差是瓦i 。 同理，如果4 的l 个列向量为二：= p ：，吃i ，吒) r o ：1 ，2 ，三) 是除一个分量 是1 外，其他分量为。的列单位向量， 那么( 一：) = 兰j = lf x ；玎，叫a v 户，：，- 口r j 的最优 逼近，误差是而。其中五似一) 是4 彳f 的第y + 1 ) 个特征值，而且 中，= 玑= 瓴，无：，k ) 是对应于4 的最优基。 这样，用上述方法求得4 ，4 的最优化逼近分别为 1 4 气：兰二：访 仁) ：至 石石：；可其中g 表示向量的标准内积， 。a ：= g ：，“：，甜：) r ( f ：1 ，2 ，三) ，。a ：= ( v 0 屹i ，吒) r ( f ：1 ，2 ，三) ； 。= 玑= ( 死。，死：，弘。) ( 帆三) ，= u ，= 瓴，五：，死，) 分别是对应 于4 ，彳y 的最优基，误差分别是瓦焉，瓦焉，其中九+ ，) 是以的第 似。+ 1 ) 个特征值，五州) 是彳，彳j 的第y + 1 ) 个特征值。( m 。，m ，三) 2 3 b u r g e r s 方程基于p o d 方法的差分格式及误差分析 下面利用上述的最优基。= 乩= ( 死。，死：，) ( m 。) 和 ，= u ，= 瓴。，无：，毛，) 构造出b u r g e r s 方程的最优化差分格格式。记 雕凇( 4 v 徽：i 搿， ro ) = “：o 卜v 。o 炉 、7 其中“j ；l = “0 ，y ? 2 吃+ ；，f = 亿一1 ) j + + 主， 于是，可将( 2 2 ) y f l l ( 2 5 ) 写成下面向量形式 ( 一u m + i ，；：1 ) 2 = ( 二：，；：) 2 + ( 二“n l ，；：1 ) ( 2 2 5 ) 令( 矛嚣) r ( - 7 5 ，) 2 其中矛二= 衙，u 7 ，u r n ) r ，；：= 眙，v 7 ，v m ) r 群2 甜j ! i 一万“，砭”= 嵋一哥”( 1 f 朋) ，历42 去善“? ，矿“2 去善v j ! l ( 1 刀) 将( 2 2 6 ) 代入( 2 2 5 ) ，并注意到。，都是i f _ 交矩阵。可得到只有 心+ m ，( 坂，m ，三所) 个未知量的降阶模型 ( 云z ，万z ) r = ( 云：f u ，万：，) r + 否( 云z ，万z ) r 行= 。，l 2 ， ( 2 2 7 ) 其初值为 一0，一0 0，一0 口帆= ：f i - m ，肌= ：矿厢 由于( 2 2 7 ) 贿- 似。+ m ，) 个未知量( m 。，m ，聊) m 。，m ，历，而 直接用差分方法共有2 聊上个未知量。由此可见，( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 是问题( 1 ) 的基 于p o d 的最优化差分格式。由( 2 2 7 ) 解出口盈，雠，后，再由( 2 2 6 ) 和 “p = u t + 订“， ，= 筇+ 可“就可以求得b u r g e r s 方程的特征i e 交最优解，记为 1 5 h 吃+ 妒 j - 1 , 0 k k - 1 , 0 n n ) 其中嘎七2 材：4 ，盔2t “( ，乖l 一肘o ，1 姚胁，川，) ： 下面讨论问题( 1 ) 的基于p o d 的最优化差分格式( 2 2 7 ) 和( 2 ，2 6 ) 的误差估计： 令 耋= s p a n 汐舷v ? 乏 i 磊= l ，丸2 ，j r 一7 则对于以的列向量口：( 1 z l ) ，由( 2 2 3 ) 有屯= 甜二，因此存在 乓。( 口：) = 善( 呵，二：) 孑。= 誊( 孑啊，二二) ；珂z 。使得 陋二一& 。g 二】l 乏i 五，i i 0 和整数刀0 ，定义 j 了“c 。，；q ，= ：va 囝；i 。；，；。l 罢, - - 2 7 - l 二c 拓 a 。 ， 其范数记为 p n 巾，= 旧吼以l - ， 其中，| 1 | f 中为空间的范数。特别地，当行= 0 时，记为 i l v l l 即) = ( f i i j v 舭) 2 其范数记为 2 l 、，j l b “ 翟 s跽 矿 ，。一=、。l = 毛 嘎 酽 义定再 i i v u 即) = e s s s u pi i v k 令x = 叫( q ) 2 ，则问题( i ) 的变分形式为 问题( 1 1 1 ) 求u h 1 ( o ，r ；x ) 使得对于t ( o ，丁) 满足 髋冀麓；夕d “玑跗叫 吐v v 加e x , v ( xy 0g ( 3 2 ) l ，o ) = ， ( x ，y ) 【毛 。 其中( ，) 表示r 内积注意到，( u v u ，y ) 有下面的性质： ( u v v ，w ) = 一( u v w ，v ) ；( u v v ，1 ，) = o ，v u ，y w x 肥s u m p 黼 ( 3 3 ) 利用分部积分容易证得下面的引理3 1 ( 参见【1 9 】) 引理3 1如果以在r ( o ，丁；彳) 中弱收敛和弱木收敛于u ，那么v v 口( 0 ，r ；x ) 都有 l 。i 。m 。f l ( 乩v u ，1 ，沙= f 1 ( u v u ，y 冲 讨论问题( i i i ) 的广义解的存在性需下一引理( 参见【1 9 】) 引理3 2 ( g r o n w a l l 引理) 设g ( t ) 是在【o ，t 。】上可积而且几乎处处正的函数， c o 为常数若y ( f ) c o ( 【o ，t 。】) 且满足不等式 o y ( f ) c + 王g ( s ) y o ) d s ， 则y ( f ) 也满足 o 加) s c e x p ( f 郎) 凼) ， 而且当c = 0 时，y ( f ) - - 0 v t 【o ，丁】， v t i o ，】， 下面讨论变分问题( i i i ) 的解的存在唯一性。 定理3 3 若f 日_ ( q ) ，则问题( i i i ) 至少存在一解u 日( o ，r ；石) 满足 。v i i ：l l r ，8 v 汐岫) v - m f 而且当l i v u l | o 。有界时，问题( i i i ) 的解是唯一的 证明第一步，证明问题( i i i ) 的解的存在性。 设砜x 满足砜( x ，y ，0 ) = 0 考虑下面问题： j ( 以，) + v ( v 虬，v v ) + ( u - 1 v 玑，1 ，) = ( 厂，) ，v v x ，r 35 i i 以( x ，y ，o ) = 0 ( x , y ) q ，门= 1 ，2 、7 当行= 1 时，( 3 j 5 ) 的第一式是关于u 为未知函数的线性抛物型方程的变分形 式，由于( v ，弘) + ( 砜v ( ) ，) 是在x 上连续正定的双线性形，从而存在唯一的 u 日1 ( o ，t l ；x ) ，而且满足初始值条件和 。s v 一1 1 4 f ( 一) ，i l v v , l h v i _ v - i f l e i 一) ( 3 6 ) 类推可知，对于自然数n = l ，2 ，问题( 3 5 ) 存在唯一的解虬e h l ( o ，；x ) ，而且满 足初始条件和 | l 吼l i 。_ v - y 21 1 4 f ) ， l i v u i i f ( f ) y v i i f ( 一) ( 3 7 ) 从而l | l 。和l l v 忆洒是有界的则由h i l b e r t 空间的弱紧致性( 可参见 1 9 】) 知， 吃) 存在弱收敛并弱宰收敛的子列( 不妨仍然记为 u ) 使得 q 鸟u r ( o ，丁；x ) 用z ( f ) c 1 ( 【o ，】) ，z ( ) = o 乘( 3 5 ) ，然后积分，并由分部积分公式可得 一f l ( 眈，v z ( f ) p + f i y ( v ，v v z ( t ) ) d t + r ( 一l v 虬，y z ( f ) ) 出= r ( 厂，v z ( t ) ) d t ， v vex ，( 3 8 ) 对( 3 8 ) 取极限而且由引理3 1 可得 一f l ( u ，v z ( f ) 净+ f iy ( v u ，v v z ( t ) ) d t + r ( u v u ，v z ( t ) ) d t = r ( 厂，v z ( t ) ) d t v v x ， ( 3 9 ) 再利用分部积分公式和名( f ) 的任意性可得u e h l ( o ，日；y ) 满足( 3 5 ) 和( 3 4 ) 故问题( i i i ) 5 ；少存在一个解。 第二步， 再证明问题( 矿) 的解的唯一性。 如果问题( i i i ) 还有另一解为u h 1 ( o ，h ；v ) 满足( 3 4 ) ，刚有 删麓 w ) = u ) v ，、v e x 啦, u y 0 i x , y ) n i ( 而，0 ) = ， 卧z ， 把( 3 1 0 ) 与问题( i i i ) 的各式对应相减可得 ( u , - u ；，y ) + y ( v ( u - u ) ，v y ) + ( ( u u 。) v u ，v ) + ( 矿v ( u u ) ，y ) = o ， v v e j ， u ( 五o ) = u ( 五o ) = o ，( x , y ) e q 再在( 3 1 1 ) e e a v = u - u ，而且当| l v u l l o 。有界( 记为c ) 等式和c a u c h y 不等式可得 三割u 彬卜慨u “) 虻 c u 刖1 1 ： ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 时，由( 3 3 ) ，h s l d e r 不 注意到u ( 而j ，o ) = u x , y ，o ) - - o ，由上式积分可得 肛u 昏叫胪咖， v r 舻】 则由引理3 1 ( g r o n w a l l 引理) c = 0 的情形可得 l - u ”o ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 再由( 3 1 3 ) 得0 v ( u u ) | o = o ，所以有u = u 。所以问题( i i i ) 的解的存在唯一的。 定理3 3 证毕。 设为正整数，时间步长取为后= ，乙= 吵( o 刀) ，下面考虑问题( i i d 关于时间t 的e u l e r 向前一步的线性化半离散化格。 问题( i v ) 求u 4 x 使得对于o n n 满足 ( u ”，y ) + 加( v u “，v v ) + k ( u ”1 v u 4 ，y ) = ( 矿4 一u n - - | v ) ， v 1 ，x ， ( 3 1 6 ) u ox , y ，0 ) = o ， ( x ，y ) q ， 其中u ”是x c v ( x ，y ，乙) 的逼近，f 4 = 厂( z ，y ，乙) 定理3 4 在定理3 3 的条件下，问题( i v ) 存在唯一的解u “h 1 ( o ，丁；x ) 满 足 移”憾+ b 羔i | v u 0 b 叫窆矿0 ( 3 1 7 ) 并有下面的误差估计 m u ( ) 一u 砜肥， ( 3 1 8 ) 其中u ( 厶) 是问题( i ) 的解在乙的值，c 是与厂”和，有关但与u 4 无关的常数。 证明由( 3 3 ) 有 ( v ，y ) + b ( v v ，v y ) + 七( u ”1 珊，v ) = | l y l | ：+ k 4 v v 坛- - a l l y 旺 其中口= m i n 1 ，话) ，所以是( y ，1 ，) + 加( 珊，v 1 ，) + 后( u ”1 v v ，y ) 是在x 上正定的有界 双线性型又因为( 矿4 - u n - iv ) 是关于 ，的有界线性型从而由l a x m i l g r a m 定理知， 问题( ) 对于已知的u 卜1 存在唯一的解u ”x 。 在问题( i v ) 中取y = 矿，由( 3 3 ) h 6 l d e r 不等式和c a u c h y 不等式有 i u ”n 加i l v v ”舷 翱厂吧+ 和u 小护眄旷1 旺 n 柳 从向得 l l 【厂4 l i ：+ k vl v v “l e ：；i l “l l ：。+ l l ( ，4 10 ： 上式两边从1 到，l 求和得 桫“舷+ 加羔i i v u 。旷加一- 窆扩l | 由t a y l o r 展开式有 ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) u ( 乙) 一昙( 一) = 尼( f ) ， “f 乞 u ( 乞一) 一u “一= 七q ( 刁) ， 乞2 刁一l 或乙一。7 7 乙 ( 3 2 2 ) u ( 乞) 一u ( 乙一，) = 七q ( f ) ， 乙一，f 在问题( i i i ) 和问题( ) 中取，= v ( t 。) - v 4 并相减得 v 8 v ( u ( 乙) 一u ”) 哐+ ( ( u ( 乙) 一u ( 厶一。) ) v u ( 乞) ，( u ( 乙) 一u ”) ) + ( ( u ( f 。一。) - v ”1 ) v u ( o ) ，( u ( ) 一u ”) ) ( 3 2 3 ) = 一露( ( 孝) ，v ( t ) - v 5 ) 由( 3 3 ) 和( 3 2 2 ) 及h g l d e r 不等式和c a u c h y 不等式 y l l v ( u ( 乙) 一u q 2 + 和( u ( 乙) 一u 心 ( 3 2 4 ) 由上式即得( 3 1 8 ) 。定理3 4 证毕。 为了离散问题( ) ，再对空间变量用有限元方法离散设己是西的拟一致三解 形剖分( 可参见【2 ，2 0 】) ，则空间x 的有限元空间可取为 五= h x r 、一( q ) 2 ；屹l x e m ( k ) 2 ，v k 磊 ， 其中m 之1 ，乞( k ) 是k 上次数不超过m 的多项式空间用叼表示u 4 的有限元逼近， 那么问题( i i i ) 的全离散化格式为 问题( v ) 求叼五使得对于1 力n 满足 f ( w ，) + 知( v 叼，v ) + 尼( 掣v w ，) = ( 矿“一w ，) ，v 屹五 ( 3 2 5 ) l 磷( 乃o ) = o ，( 五j ，) q 讨论问题( v ) 的解的存在唯一性还需要引进下面的引理。 利用投影性质及对偶原理类似于【2 】的定理1 4 0 及推论1 4 l 证明下一个引理。 引理3 5 存在算子e ：x 一瓦使得v v z 都有 ( ，一咒b ) + 七( v ( 1 ，一只y ) ，v ) = 0 ，v v h 五， 删。- h 。， 而且当v h 7 ( q ) 时，有 l i , , - 只v l l ， 0 ； a o + b o 一 阼 一力n 唧 cv i 瓦 +口 m 牲 f ( u 4 一w ，) + b ( v u “一v w ，) + k ( u - i v u 4 ，) 一七( w v w ，) = ( u ”1 一叼一，) ，v 屹五， ( 3 2 6 ) p x , y ，o ) = 研( w ，o ) = 0 ，( 训) q 定理3 7 在定理3 3 的条件下，问题( v ) 存在唯一的解w 五满足 0 w i l ：+ b 窆i l v 叱8 b 。1 n 矿0 ( 3 2 7 ) 并当七= d ( j i l ) 时，有下面的误差估计 桫4 一啡l l 。+ 后窆0 v ( 一“) l | o c ( 后+ i l ”) ， ( 3 - 2 8 ) 其中u ”是问题( ) 的解，c 是与厂”和，有关但与w 无关的常数 证明由( 3 3 ) 有 ( v h ，v h ) + k v ( v v h ，v v h ) + k ( u ：一v v h ，屹) ：t t v h t t ：+ k v l l v v 。舱口m e ， 其中口= r a i n 1 ，v k ) ，即( ，) + 加( v ，v 屹) + 七( w 一v v h ，v h ) 是在五上正定的有 界双线性型，所以其系数矩阵是正定的则问题( v ) 对于已知的w 1 存在唯一的 解u ：x h 在问题( v ) 中取= w ，由( 3 3 ) 和h 6 1 d e r 不等式和c a u c h y 不等式有 ：+ 如l l v w i 仨 寺8 一1 1 2 。+ 譬 i v w 嵯+ 圭8 w 哐+ 三i l w 一- 眨 3 2 9 从而得 o w 哐+ 加i i v w l i ：勃厂”旺+ o 叼一1 眩 上式两边从1 到行求和得 0 u n 。2 + 加窆8 v “虻加一1 杰炉旺 ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) 当后= d ( ) 时，由( 3 2 6 ) 和引理3 5 及z h 6 1 d e r 不等式和c a u c h y 不等式有 陋“一w i j ：+ 加愀异矿一叼) i l ： = ( 矿一曜，只矿一w ) + b ( v ( 矿一w ) ，v ( e u “一w ) ) - - ( u ”1 一只u “，只u 4 一w ) + ( e u ”1 一叫n - i ，e u 4 二w ) 二慧, p h 矿u n 以- i ：絮篇筹。掣- u ；， 3 2 ，= ( u ”1 一最u 4 一w ) + ( 圪u ”1 一w ，e u ” ) 、7 一k i ( ( u “_ 一只u ”1 ) u , p h u 4 一w ) + ( ( 只【，”l 一叼一) u “，只u “一明) 一( w 一v ( u 4 一只u ”) ，e u ”一w ) i 繇q 炉1 一只旷1 雌吾加l i v ( e u 4 一w ) f 1 ： + 割只扩一一w 一虻+ 勃只u “一w 眶+ 吼忙u ”一w 眨 + 傩m 旷1 一只旷1 ) l i ：+ 矾忙旷1 一w 1 l l ： c h 2 ”是+ 三如v ( 只u “一w ) l l ：+ 圭0 只u ”i w 一眨 + 列只u ”一w 哐+ c k i i p 。u 5 一w 眶+ c k l l 只u ”i w 。旺 慨矿一w n 知愀e 矿一叼) 眨 c h 2 ”k + 慨u ”i w 。1 肟+ c k l l 只u 4 一叼眶+ c k l l 只u ”l w _ l l ： 上式两边从1 到以作和得 0 最u ”一w 脆+ 加窆0 v ( 只u 一以) 8 c h 2 m n 七+ 既矧v ( 乞扩一以) l l 当七充分小使得c 凳1 2 时，由上式得 4 只【，”一w 脆+ 加窆0 v ( 只u 一以) 鳓2 ”船+ 繇委n - ll l v ( e 一叱) | i ： 再由引理3 6 得 l l e u ”一q 哐+ 加窆i v ( 只u 一叱) 旷国2 m n k e x p ( c n 七) ， ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) 即得( 3 2 8 ) 。定理3 7 证毕。 结合定理3 4 和定理3 7 可得下面的结论。 定理3 8 在定理3 3 的条件下，如果问题( i i i ) 的解u h 埘+ 1 ( q ) 2 ，则问题( v ) 的解u 置与问题( i i i ) 的解u 之间有下面的误差估计 眇( 乙) 一叼8 。+ 七x 芝l l v ( u ( ) 一配) i l o c ( 七+ j l l ”) ， 其中c 是与广和v 有关但与w 无关的常数 只要给定厂，1 ，时间步长k 和空间步长 ，解问题( v ) 就可以得到解的集合 w “。从中取( 一般f n ，例如z = 2 0 ， n = 2 0 0 ) 个瞬时解 i ( z ，y ) ( 1 ，l i n 2 仇n ) 构成瞬像集合。 附注3 1 在对实际问题做计算时，瞬像集合可以从实际物理过程抽取样本点 和插值( 或资料同化) 得到例如，在天气预报中，可以利用以前的天气结果来构 成瞬像集合，再通过下面p o d 方法重构这瞬像集合元素得到最优p o d 基然后用 最优p o d 基张成的子空间代替有限元空间五产生低维的动力系统，从而可以快速 模拟出未来的天气变化情况，对未来的天气变化做出预报这对实际应用有重要的 价值 3 2p o d 基的生成和基于p o d 方法的简化有限元格式 对于上述的研( x , y ) ( 1 ，l i 他 啦) 令( x ，y ) - - - 嘴( x , y ) 和 v = s p a n u l ，) ， ( 3 3 7 ) 并称v 为由瞬像 u ) 二张成的空间，其中 ) ：。至少有一个非零元设 ) 乞表示z 维数空间1 ，的标准正交基( ，= d i m v ) ，那么有 q = ( q ，) ， i = 1 ，2 ，j ，( 3 3 8 ) 其中( ，) j - - ( v u ：，v 吩) 定义3 1 p o d 方法就是求标准正交基v j ( j = 1 ，2 ，) 使得对于每个 d ( 1 d z ) ，元素u ( i fs ，) 与( 3 3 8 ) 的d 项和之间的均方误差在平均意义下最 小，即求标准正交基吩( = 1 ，2 ，z ) ，使得 z ；艺i 1 善ei l u 一若d ( q ，沙，) 石沙川二 c 3 3 9 ， 满足 ( ，l = 岛，l i d ，l j i ( 3 4 0 ) 其中l l f , i i j - i i v u ：l l o 问题( 3 3 9 ) 和( 3 4 0 ) 的解 竹) ：越称为秩等于j 的p o d i 主i ( 3 3 8 ) 乘i 的标准正交性可将( 3 3 9 ) 改写成： a 壹l 削t “) “= 繇弘侧 4 ， 于是，要上式最小，就等价于求求标准正交基( j = 1 ，2 ，) 使得 税孔弘”堋 8 4 2 ， 满足 ( ，) x = 岛 l f 蠢，l 即 圭k=if寻tvu，g)vuxkg 。皿砂 = 勉，r = ，2 ，正， 写成特征值问题的矩阵形式： g v = ；i v ， ( 3 4 8 ) 其中， 瓯= ；v g ，y ) v j ，。k a y ，y = a i , a 2 , - , a ) r ( 3 4 9 ) 由于g 是一个非负的h e r m i t i a n 矩阵，从而存在着对应于特征值 五丑o 的一组完备的正交特征向量基： y l = g ：，口2 lc , a i l ) r ，v 2 = g ；，口：2 ，a ：y ，y ，= g 0 口：i , a t ) r 这样，利用最优化问题( 3 3 9 ) 的解可构造得到第一个p o d 基 舻赤i = i 把， o 5 其中a ；是对应于最大特征值五的特征向量y 1 的分量。其余的p o d 基元 ( f = 2 , 3 ，) 可由其他的特征向量1 ，( f = 2 , 3 ，) 的分量得到 2 赤酗， o 5 d 此外，利用p ：l 七， 的标准正交性条件有 v i v t = 圭i = 1 口j 口? = l ，妻二： l ”，席彤 得 ， p 。，y 。l = 上v 纵g ，y ) v y 。g ，y ) d x d y = 上l 2 k x f 砺k 喜- 口? v u , (