（基础数学专业论文）黎曼子流形上几何与拓扑的若干问题研究.pdf

摘要 本文着重研究黎曼子流形上几何与拓扑的若干问题，主要内容包括子流形的几 何刚性、拓扑球而定理和l a p l a c e b e l t r a m i 算子的特征值问题。 刚性理论是予流形几何中久盛不衰的重要方向，其根源可追溯到经典曲面论 的高斯绝妙定理。近4 0 年来，这一研究领域取得了许多重要进展，其中关于球面 中极小予流形的s i m o n s 。l a w s o n c h e r n d oc m 一1 7 1 0 一i o b a y 船h i 定理被国际上公认为这 方丽最重要的成果之。o k u m u r a 、丘成桐、d oc a r m o 等许多学者曾试图证明球 面中平行平均曲率予流形的广义s i m o n s 一 a w s o i i c h e r n d oc a , ( ) _ k o b a y a s h i 刚性定 理，并获得部分结果。1 9 9 3 年，x u 完整地证明了球面中平行平均曲率子流形的广 义s i m o n s l a w s ( m c h e r n d oc a r m o - k o b a y a s h i 刚性定理。之后，x u 又证明了单位 球而c t - 平行平均曲率子流形整体p i n c h i n g 的刚性定理。本文证明了p i n c h e d 黎曼流 形中平行平均曲率子流形的一个整体p i n c h i n g 定理，- z - i ：1 简洁的j l 7 条件下给出 了p i n c h e d 局部对称空间中极小子流形的整体p i n c h i n g 定理。 1 9 8 ( 5 年，i - i g a u c h m m lf 2 5 1 获得了关于球询中紧致极小予流形的著名刚性定 理：设m n 是n + p 维单位球面铲+ 一( 1 ) 中n 维紧致极小子流形， 是m 的第二 基本形式。若对任意单位切向量u u m ，有口( t ) i 1 ，其m 1 - g ( i l ) = ( “，t z ) 忾 则r 丁m ) j0 ，即1 1 4 是全测地子流形；或者口( 扎) ；j ，并且可完全确定这类极小予 流形的几何结构。划于更为一般的i i t 行平均曲率了流j t ? i ：l , j 情形，本文首次证明了下 述广义g a u c l m 一- 定理：设m ”是n + p 维单位球而9r 一( 1 ) 中v 。维完备平行平 均曲率予流形，h 为其j 卜均曲率。若对1 f 意单位切盯最 t t u m ，有口( ) ；， 则一) ；日。，叩1 1 4 是争脐子流形；或者o ( u ) = ；，并川可完全确定平行平均i t t 率 埘婴 子流形m 的几何结构。 曲率与拓扑是整体黎曼几何核心课题之一。a n d e r s e n 、b e r g e l 、c h e e g e r 、c h e r n 、 c o l d i n g ，g r o m o l l ，白j o l l i o v 、g r o v e 、h a m i l t o n 、k i n g e n b e l g 、p e l e l m a n ? s h i o h u n a ， y a u 等- - _ l l 著名学者对这一领域作出了杰出的贡献。本文证明了下述拓扑球面定 理：设m ”是n + p 维单位球面s ”+ ”( 1 ) 中n 维完箭子流形，若剥任意单位切向 量 i l u m ，有口( u ) j ，则m 同胚于铲( 1 ) 。该结果改进和推广了pl e u n g 3 5 】的 工作。运用m i c a l l e f - m o o r e 的方法和技巧，本文还正明了关于n + p 维p i l l c l l c d 黎曼 流形中札( 4 ) 维紧致单连通子流形的一个拓扑球面定理。 黎曼流彤上l a p l a c e - b e l t i 舢算子的特征值问题是几何分析领域的重要分支之 。b e 。g e l 。g a u d u d l o n m a z e t 、b e r a r d 、c h a v e l 、y a u s c h o e nf 5 ，2 ，1 0 ，5 3 对这一领 域的发展作了深入、系统的介绍。本文研讨了n + p 维黎曼流形中一类，l 维紧致子 流形的特征值问题，获得了截曲率k 兰1 的n + p 维黎曼流形帅中n 维完备 予流形的第一特征值最佳下界估计。并运用热核估计的方法，获得了礼+ p 维单位 球面中n 维完备子流形的高阶特征值的w e y l 型几何下界估计。剥于紧致带边了流 j 够的情形，本文获得了箢一d i l i c h l e t , 特征值最佳下界估计和商阶d i r i c h e t 特征值 的w e y l 型几伺下界估计。我们还得到第一非零n e u m a n n 特征值的最佳下界估计。 1 l j l 日! j 舌 本文着重研究黎曼子流形上几何与拓扑的若干问题，主要内容包括子流形的几 何刚性、拓扑球丽定理和l a p l a c e b d t r a m i 算子的特征值问题。全文共分四章。 设m “为7 1 , + p 维黎曼流形”，中n 维黎曼子流形， 为m 的第二基本 形式，s 为h 的模长平方，t m 为m 的切丛，u m 为m 的单位切向量丛。 设? l u m ，令口( u ) = ( t “) 1 1 2 ，由g a l l s , q 方程可知， s = k m r + 7 2 2 h 2 ， 。，j 其中，( 彻g d 为单位正交标架场卜n 的曲率张量，r 、分别为m 的数量曲率和 平均曲率。众所周知，sj0 甘口( ) i0 ，vn u m 营m “为“+ p 中n 维全测地 子流形。 1 9 6 8 年，。】s i m o n s 5 8 】证明了下述著名刚性定理： 定理( s i m o n s ) 改m “为n + p 维单位球商+ r ( 1 ) 中”维可定向的紧致极小 子流形，若 s 茎三： p 则s ；0 ，即m 是全测地子流形：或sj 。, r l r 。 之后，bi , & 、v s o i 3 1 ( p = 1 的悄形) ，ssc h e l 1 1 ，m ( i ( j c a i r l o 和si ( o b a y a s h i 【2 0 确定了s ；i 生时。v ( 1 ) 中紧致极小子流形m ”的几何结构，他们证 明：+ ”( 1 ) q j 满足s ；盎的紧致极小予流形或为s “1 ( 1 ) 中的c 什0 1 d 超 曲面铲( ) ( 浮) = 1 nr 1 或为s 4 ( 1 ) 勺v e r o n e s e 曲 前言 2 血。s h n o n s l a w , h o n c i j l d oc a r m o k o b a y 躺h i 定理被国际上公认为近4 0 年来 极小子流形研究领域最重要的成果之一。沈一兵【5 6 ，李安民、李济民3 9 1 先 后用不同的方法改进了上述s i m o n sp i n c h i n g 常数。o k l l l l l a 、丘成桐、d o c a n o 等许多学者曾试图证明球面中平行平均曲率子流形的广义s i m o n s l a w s o n c h e r n d oc 1 1 1 0 一k o b a y a s h i 刚性定理，并获得部分结果。s ，t y h i jf 7 剐证明： 若n4 - p 维单位球面s ”( 1 ) 中n 维紧致平行平均f 1 率子流形m n 的第二 基本形式模长平方s 】，则埘必落在 某个大球面铲+ 1 ( 1 ) 之中。hwx u 7 2 曾将y a u 的上述p i n c l u ig 条件改进 为s m i l l 2 7 z ( 1 + n ；) ，n ( 2 一( p 一1 ) 。 ) 。最后，x u ( 7 0 j 完整地证明了球而中平 行平均曲率予流形的广义s i m o n s l a w s o n c h e r n d oc a m o - k o b a y l s l l i 刚性定理： 定理( x u ) 没m “为n 4 - p 维单位球面s 7 帅( 1 ) 中n 维紧致平行平均曲率子流 形，若第二基本形式模长平方s 满足 则m 必为下述流形之 ( j ) 州杀帝) s 茎c ( m p ，h ) ( i i ) 铲( 1 ) 中的等参超曲面s ”1 ( 了f 杀) s 1 ( 了i 杀) ， ( i i i ) 9 ( 1 ) 中c l i f f o l d 极小超| | l 面之妒( ) s ”“( 、亨) ：= l 一，t 一1 ( j v ) s 3 ( ，) 中具有常平均曲率h o 的c l i f f o _ i d 环面s 1 ( r 1 ) s 1 ( 7 、：) 其中7 ，2 【2 ( 1 + h 2 ) 士2 h n ( 14 - h 2 ) 17 2 1 1 2 ：r = ( 1 + h 2 一瑶) 一1 2 、0sh o h ， ( v ) y 。i 雨) 中的v e r o n e s e m 这里常数a 和c ( ，一：p ：“) 由下式确定 a ：! 望 1 ) ，p 和一非负常数h 存在一满 足下述性质的数r ( n ，p ) ( 0 9 - ( n ，p ) 1 ) ：设m ”是礼+ p 维完备单连通截曲率满 足r ( n ：p ) k 1 的黎曼流形n ”+ ，中7 l 维平行平均曲率子流形，若 礼h 2 + 肖1 ( n ：p ) 0 一c ) + a 2 ( 札，p ) ( 1 + h 2 ) h 1 1 2 ( 1 一c ) 1 门s 茎c ( 礼，p ，h ) 一3 1 ( n ，p ) ( 1 一c ) 一3 2 ( n ，p ) ( 1 + h 2 ) h 1 1 2 ( 1 一c ) 1 4 其中c ：= i n fk ，则n 等距于s ”印( 1 ) 。而且 ( 1 ) 若s u p ”s 0 = ；) = ，。+ 着碧南一号等箬、万万f f 面两，则m 为n 维球 而s n ( 访杀) ，或p ( 丽i ) 中的v e r o n e s el t l i y i i ； ( 2 ) 着1 4 是紧致的，则m 必为下述流形之一 ( i ) p ( 而高) ； ( i i ) “( 1 ) 中的等参超曲面s t l - i ( 访杀) s 1 ( 丽a ) ， ( i i i ) 9 ”1 ( 1 ) 中c l i f f o l d 极小超】而之 争( 、：) s ”“( ! 宇) ： = 1 一n 一1 ( i v ) s 。( 7 、) 中具有常平均| 抖l 率h o 的c l i f f 0 1 d 环丽s 1 ( 7 、1 ) s 1 ( n ) 其中7 1 ，7 、2 【2 ( 1 + h 2 ) 土2 i t l l ( 1 + 4 2 ) 17 2 】一1 门7 = ( 1 + h 2 爿j ) 1 2 ( jsh n h 删舌 ( v ) 5 , 4 ( 南) 中的v c o n e s e 曲面。 近年来，一p i n c h i n g 问题已成为国际微分几何领域一备受关注的新课题， 它主要研究流形在l p p i n c h i n g 条件下的几何结构和拓扑结构。1 9 8 6 年沈纯 理教授首次研究了球面中极小子流形的整体p i n c h i n g 问题，即l 7 , 一p i n c h i n g 问 题。在c l s h e n 、hw k n g 、。1 ml i n 和c yx i 8 5 5 ，6 4 ，4 0 】等人工作基础 上，hw x u 【7 3 ，7 4 研究了l p p i n c h i n g 条件下单位球面中平行平均曲率子流形的 刚性，证明了下述结果： 定理( x u ) 设m “是球面s 几+ ，( 1 ) 中t z 维闭的可定向平行平均曲率子流形。 若厶( s n h 2 ) ；d m e ( 礼) ，其中c ( n ) 为仅与n 有关、具体给定的正常数， 则m 为全脐球面s “( 1 、厅i ：乒) 。 本文第一章通过构造散度为零的微分1 一形式和积分估计证明了p i n c h e d 黎 曼流形中平行平均曲率子流形的一个整体p i n c h i n g 定理，从而推广了上述l ”2 一 p i n c h i n g 定理，然后在简洁的几何条件t i l e 明了p i n c h e d 局部对称空间中极小子流 g c t jl “k p i n c h i n g 定理。我们获得如下结果： 定理1 4 设m ”( n 3 ) 足礼+ p 维完备单连通黎曼流形n ”p 中n 维闭的 司定向平行平均曲率予流形，、”+ ”的截率满足晶( n ，p ) k 茎1 。设复合浸 入m ”一n r 一州的相对平均m 率模长万s 风，若 i i s n 2 | | t ，2sc ( n ：p ，d ：，0 ) ， 且 l | 5 t n i l 2 1 1 。一2 三( 1 6 ) d ( 他p ) v o l ( m ) ， 其中6 ：= i n f k 舭则a 整体等距于s ”却( 1 ) 且m 必为s ”却( 1 ) 巾的全脐球 面铲( 丽舞) 。其l 1 1c ( n ：p dh ：h t ) 为仅与? 。：p ；6 h ；h o 相关的正数t ( y ( ：p ) 为仅 与n ，p 相关的正数，函，n ：p ) 为仅与m p 相关的正数，v o l ( m ) 为流肜叫的体积。 推论设m ”( 7 l 3 ) 是单位球蕊y + 一( 1 ) 中闭的平行5 i z 均岫牢子流形， 若k ( s n i l 2 ) ； c ( ) ，其中c ( n ) 为仅与 r t 有关的正数，则m 必为全脐球面。 再u 吾 “ 定理1 7 设m n 3 ) 是7 z + p 维局部刑称空问n ”中礼维闭极小予流 形，a ，n + ”的截曲率满足5 1 ( n ，p ) 曼1 。设复合浸入m ”一”一耐的相剥 平均曲率模长万，若 忪2 c ( n ，p ，5 ：h o ) ， 其中j ：j 1 1 fk ，则s 三0 ，叩m 为全测地子流形。其中g ( n ，p ，5 ，h ，) 为仅 与n ，p 】6 ，相关的正数，6 1 ( n ，p ) 为仅与n ：妒相关的正数。 1 9 8 6 年，h g s u c l i n a n 25 】获得了关于球面中紧致极小子流形的著名刚性定 理： 定理( g a u c h m a n ) 设m n 是单位球面s “+ 9 ( 1 ) 中n 维紧致极小子流形，若 盯( “) i 1 ，vu u m ， 则盯( ，) 三0 ，即m 为全测地子流形：或一( u ) ；j ，且可以完全确定这类极小孑流 形的几何结构。 本文蒴二章将上述关于紧致极小子流形的g a l l c l 1 a n 刚性定理推广到球面中完 备平行平均曲率子流形的情形，证明了_ 卜述结果： 定理2 3 设m n 是单位球面s 一一( 1 ) 中，z 维完备平行平均f i 率了流形，若 制s ；： v 蜒州， 则。( 。) ；h 2 ，即m 为铲+ ”( 1 ) 扣的全脐球而：或。( t 。) ；j ，且可以完全确定这类 平行平均曲率予流形的几伺结构。 本文第三章证叫了关于黎曼予流形的弛个拓扑球面定理。 1 9 7 3 年，bl 3 , w l 和3s i m o 1 3 3 】运用儿何测度论及变分方法词明了球面l 。p 紧子流形的尉调群消没定础，并由此证明了下述尉伦球而定理： 定理( l a w s o n ，s i m o n s ) 殴m t ，是单位球嘶s i + p ( 1 ) 巾t 一维紧致子流形。 若s 满足 s 】n i l l 一1 ；2 、石i _ t ) 目u 舌6 则肘为n 维同伦球而。 1 9 9 7 年，s h i o h a m a 和x u 【6 1 运用曲率估计、代数拓扑以及同调群消没定理证 明了下述拓扑球面定理： 定理( s h i o h a m a ，x u ) 设f “+ ”( c ) 为具常曲率c ( 0 ) 的完备单连通n + p 维 黎曼流形，m “为f n + l ( c ) 中n 维完备可定向的子流形。“( n ：1 ，c ) 由下式定义 咖，毗) 一+ 鑫n 揣何再丽， 其中是m 的s l z 曲率。如果第二基本形式模长平方s 满足s u p m ( s n ( 几，h ，c ) ) 0 ，刃“么 ( i ) 当t , 3 时，m 同胚于n 维球面： ( ；j ) 当n 一3 时，m 微分同胚于3 维正常数胁率空间形式，3 ( 1 ) 。 注x u 还对l a w s o n s i m o n s 拓扑球面定理作了如下改进：设m 是t , + p 维单 位球而铲。一( 1 ) 中f , 维完备可定向的予流形。若s u p m s 2n 丽- i ，则 ( i ) 当n 3 时，m 同胚于n 维球丽； ( i i ) 当n = 3 时，m 微分同胚于3 维正常数曲率空间形式p ( 1 ) 。特别地， 当s u p ms 2 时，m 微分同胚于3 维球面。 受g a u c h n l m 刚性定理的启发，p fl e u n g 3 5 证叫了下述( 同伦) 球面定 理： 定理( l e u n g ) 设m ”是单位球而+ ，( 1 ) 中7 l 维紧致可定向的予流形。若列 任意“u m ，一( “) j ，则，为n 维同伦球面。 我们汪明_ 厂： 定理3 5 陂m 。是3 + p 维黎曼流形。却巾3 维紧致子流形， 的截l 【i 率满足三l 。若肌) 】j 2 j 1 ；vy u , 1 4 则m 上容有i l f t 率为正常数的黎曼 度量，且m 微分 司胚于3 维正常数曲率空问形式p ( 1 ) 。特别地，若m 单连通， 则m 微分同h 4 、下3 维球面。 n n 蟊 本文第三章改进和推广了l e u n g 的工作，证明了下述关于球而巾完备子流形的 拓扑球面定理： 定理3 7 设m ”是单位球面c o , z + 一( 1 ) 中n 维完备可定向的子流形。若对任 意札u m ，j ( “) j ，则m 同胚于n 维球面。 1 9 8 8 年，m 1 ，m i c a l l e f 和jdm o o r ef 4 3 j 通过研究黎曼流形中调和2 维球而 的指标理论及js a c k s 和ku h l e n b e c k 【6 0 关于2 维球面极小浸入的存在性定理证 明了一个漂亮的拓扑球面定删： 定理( m i c a l l e f ，m o o r e ) 殴m 是紧致单连通的n ( 4 ) 维黎曼流形。若m 有 正的迷向0 0 率，则m 同胚于n 维球面。 运用m i c e d l e f - m o o l c 的方法和技巧，我们证明了下述关于p i n c h e d 黎曼流形中 紧致单连通予流形的拓扑球面定理： 定理3 9 设m ”( n 4 ) 是n + p 维d - p i n c h e d 黎曼流形j ”p 中n 维紧致单 连通黎曼子流形，i 1 dsl 。若m 的第二基本形式模长平方s 满足 s 萼( a b 则肘同胚于n 维球面。 推沦3 1 0 没m 1 是4 + p 维d p i n c h e d 黎曼流形“。”中4 维紧致单连通黎 曼予流形，i 1 d 墨1 。若m 的第二基水形式模长= 平方s 满足 s 1 。6 、 5 扣 州m 同胚于4 维球而。特别地，当= 5 4 + 9 ( 1 时，若s 4 ，则m 同胚于4 维 球而。 本文第叫章研究j 黎曼子流形的特征值估计。黎曼流形上l a p l a c e b e l t t a m i 算 子的特征值问题是几伺分析领域的重要分支之 。b e l n l d 、b m g w g a l i ( 1 l 1 r h t ) 1 1 m a z e t 、c h j | w e l 、y n u s c h o e n 2 ：5 ，】o ，5 3 】对这一领域的发展作了深入、系统的介 绍。 b q 茜 8 设m7 1 是n 维紧致黎曼流形，当o m = 0 ，记a m 为m 的笫k 个闭特征值； 当o m ( 9 ，记肌为m 的第k 个d i r i c h l e t 特征值：仉为m 的第k 个n e u r n a n n 特 征值。 1 9 1 2 年，h a ，e y l 证明了关于n 维紧致黎曼流形特征值的著名渐进公式： l i r a 赢( 0 r 参) = 6 ；, - v o l ( m ) ， 其中g = ( 2 ”) 2 ( 等) 2 “，c o l ，- - 1 = a r e a ( s 一1 ) ，v o l ( m ) 是流形m 的体积。 基于上述公式，gp o l y a 做了关于欧氏空问中有界光滑区域( qc 豫“) d i r i c h l e t 特征值的p o l y a 猜想 “k c n 其中i “是q 的第k 个d i l 、i c h l e t 特征值 ( 高) i ， g 。= ( 2 7 r ) 2 ( ! ) 2 肛，c o n _ l = a l e a ( s ”1 ) 。 1 9 5 8 年，al i d m e r o w i c z 【38 得到下述r i c c i 曲率有正f 界闭子流形最佳第一 特征值下界估计： 定理f l i c h n e r o w i c z ) 设m ”足n 维紧致无边黎曼流形。若m 的r i c c i 曲率 满足r i c m2 ( n 一1 ) c ，c 是正常数，则m 的第一非零特征值 a 1 ( 彳) n c 1 9 6 2 年，更进一步，m o b a t a 【4 4 证明了： 定理( o b a t a ) 设m ”是n 维紧致无边的黎曼流形，其r i c c i 曲率满足尉r m 一1 1c ，c 是正常数。若m 的第一非零特征值 a 1 ( m ) = j 则m 必等距于标准球面( 击) 。 对紧致r i c c i 曲率有j i 下界的带边黎曼流形，rr e i l l y ，je s c o b m 平c yx m | 5 19 2 ，6n 分别研究了第d i l l i c h l e t 特征值问题利第一非零n c i l l l l t l l l l 特征值问 题，得到类似的结果。 前j 亨 9 我们研讨了y l , + p 维黎曼流形中一类n 维紧致予流形的特征值问题，获得了截 曲率1 的n + p 维黎曼流形n ”+ p 中n 维完备子流形的第一特征值最佳下界 估计。并运用热核估计的方法，获得了n 十p 维单位球面中n 维完备子流形的高阶 特征值的w e y l 型几伺下界估计。我们得到下述结果： 定理4 3 设m ”是n + p 维黎曼流形_ “+ 一中t l 维完备予流形，n 的截曲 率k n 三1 。记a k 为m 的第个闭特征值。若对任意“u m ，口( u ) s ，则 ( i ) a 1 ( m ) i ，且当等号成立时，m 必等距于n 维标准球面s 7 。( 、，悟) ； ( i i ) 若”+ ，为单位球面，且7 t23 ，则 砬训赤r 其中c ( ，一) = 譬p ( r t ) ( 萼掣+ 击) ( a ( ，。) 是s 。b 0 1 e v 常数) 为仅与t 一有关的正 数。 对于截曲率k 1 的礼+ p 维黎曼流形n ”一中n 维紧致带边子流形的情 形，本文获得了第一d i r i c h l e t 特征值最佳下界估计。并运用热核估计的方法，获 得了n + p 维单位球而中n 维紧致带边予流形的高阶d i l 、i c h l e t 特征值的w e y l 型 儿何下界估计。同时获得截曲率k 1 的黎曼流形中紧致带边子流形的第一非 零n e u m m m 特征值的最佳下界估计。获得了下述结果： 定理4 4 设m ”是n + p 维黎曼流形“押中7 7 , 维紧致带边予流形，n 的截m 率k 21 ，且边界超曲丽a m 的平均曲率非负。记为m 的第k 个d i i i c h l e t 特 征值。若对任意n u m ，口( ) sj 1 ，则 ( i ) ，( m ) ；，且当等写成立时，m 必等距于n 维标准半球而( 怕) ； 赢 m 蛐 e 面球 位 单为 若 前言 1 0 其中c ( 礼) = e 4 ( n ) ( 等等+ 去) ( a ( n ) 是s 0 1 ) 。l e v 常数) 为仅与，t 有关的正 数。 定理4 5 设m ”是7 l + p 维黎曼流形“+ ，中7 l 维紧致带边子流形，n 的截曲 率，f 1 ，且边界超曲面砷f 是凸的。记q l 为m 的第一非零n e u m a n n 特征值。 若对任意u u m ，口( ) sj 1 ，则 q ( m ) 2 ；， 且当等号成立时，m 必等距于n 维标准半球而蹬( 以) 。 ab s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d ys e v e la lp l o b l e m s0 1 1g e o i n e t r ya n dt o p o l o g yo fr i e m a n n i a ns u b m a n i f o l d s ，w h i c hc o n t a i i i st h eg e o m e t r i cr i g i d i t yt o p o l o g i c a ls p h e r et h e o r e m s a n de i g e n v a l u ep r o b l e m so fl a p l a c e - b e l t r a m io p e r a t o ro nr i e m a n n i a ls u b m a a q i f o l d s r i g i d i t yt h e o l yi so n ee v e r f l o u , i s h i n gs u b j e c ti ng e o m e t r yo fs u b m a n i f o l d s ，w h i c h c g nb et la c e db a c kt og a u s s ：t h e o t e m ae g l l e g i m ni nt h ec l a s s i c a lt h e o r yo fs u l f a t e s i nr e c e n t4 0y e a r s m u d lh a v eb ea c h i e v e di 】f l 】i sf i e l do n eo ft h em o s ti m p mt a u t a c c o m p l i s h m e n t si st h es i m o n s - l a w s o n c h e r n d oc a r m o - k o b a y a s h it h e o r e mf o rc o i l l p a c tm i n i m a ls u b m a h i f o l d si nas p h e r e o k u n n na ，y a u ，d oc a r m o ，a 1 1 dm a n yo t h m a u t h o r st r i e dt oo b t a i nt h eg e n e r a l i z e ds i m o n s l a m s o n c h e , n d oc a r m o k o b a y a s h i t h e o r e mf ors u b m a n i f o l d sw i t hp a t a l l c li y l t j a l lc u r v a t u l e ( p m c ) ，a n dg o ti ) a it i a lr e s u l t s i n1 9 9 3 ，h wx up to v c dt h eg e l l e la l i z e ds i m o n s l a w s o n c h e l n d oc a , m o - k o b a y a s h i t h e o t c mf o rs u b m a n i f o m sw i t hp m cx ut h e np l ( j v ( ! ( 1ag l o b a lp i n c h i n gt h e ( ) 1 l e mf o r s u b m a n i f o l d sw i t hp m ci nas p h e l ei nt h i st l m s i s ，w ep r o v eag l o b a lp i n c h i n gt h e o r e m f o rs u b n a n i h 】h t sw i t hp m ci nap i m h e dr i e n l a l u d a nm a a f i f o l d ，t h e n1 1 1 l d e rw e a k e ig c - o l i l e t i i cc o n d i t i o nw ep lo v eag l o b a lp i n c h i n gt l t e o le mr e , m i n i m a 1s u b m a n i h ) l d si na p i n c h ( ! ( 1l o c a l l ys y l l u l i c 1 i cr i e n m a m i a nm a n i f o l d i n 9 8 6hg m l c h n l a l 2p l o x 7 e da n o t l i e tf a m o u sr i g i d i t yt h e e l e u l l - c o u l p a c tn i i n i n l a ls u b m a n i f b l d si nas p h e l el e tmb e 1 , 1 1 ， 一d i m e n s i o n a lc o m p a c tm i n i m a ls u b l n a n i f o l di ns ”却( 1 ) ；i fo ( v ) sjh o k t sf o la n yt r a i tv e c t o lt eu m ，t h e ne i t h e i 口( ) ；0 iemi st o t a l l yg e o d 【! s i c ；e l 口( ? ，) 5 j 1 m o i e o v c i a l lm i n i m a li 1 1 1 1 1 1 c i s i o n ss a t i s f y i n g 1 2 盯) 三j l c a nb ed e t e l m i n e d f o lt h ec s s eo fs u b m a n i f o l d sw i t hp m g ：w ep io v cf mt h e f i r s tt i m et h ef o l l o w i n gg e n e r a l i z e dg a u c h m a nt h e o r e m ：l e tmb ea 1 1n d i m e n s i o n a l c o m p l e t es u b m a n i t b l dw i t hp a l a i ml l l e a l lc u r v a t u r ei np + 9 ( 1 ) ，i f 盯( “) 兰j 1h o l d sf o r a n yu n i tv e c t o ru u m ，w h e r ea ( u ) = l i h ( u ，u ) 1 1 2a n dhi st h es e c o n df u n d a m e n t a l f 0 1mo fm ，t h e ne i t l l e i 盯( 扎) 三日2a n dm i sat o t a l l yu m b i l i c a is p h e l e ；o r 口( u ) 兰； a “d 。h ec l a s s i f i c a l i o no fs u b m a n i f o l d sw i t hp a l a 心m e a nc u y v f l t l l r e s a t i s f y i n gf ( “) 5j 1 i sg i v e n c u r v a t u l ea n dt o p o l o g yi so n eo ft h ec o r es u b j e e r si ng l o b a 1r i e m a n n i a lg e o m e t y a n d o r s e l l ，b e r g m ，c h e e g m ，c h e r n ，c o l d i n g ，c r o m o l l ，g f o i l l o v ，g r o v e ) h a n d l t o l l ， k i n g e n b e r g ) p e r e l m a n ，s h i o h a m a ，y a u ，e t e ，h a v em a d eg t e a tc o n t r i b u t i o n st ot h i ss u b j e c t i nt h i st h e s i s ，w ep r o v et h ef o l k ) w i n gt o p o l o g i c a ls p h e l ，et h e o r e l n ：l e t 彳nb ea n n d i r n m l s i o n a lc o m p l e t es u b m a n i f o l di na l l l l i ts p h e m 铲却( 1 ) ，i f 盯( “) i ：vn u m ： t h e nm i s h o m e o m o r p h i ct oa l ln s p h e r e t 1 f i sr e s u l ti n l p r o v e spl e u n g sh o m o t o p ys p h e l et h e o t e n l w ea l s op r o v eat o p o l o g i c a ls p h e r et h e o l l e h tf o rs u b m a n i t o l d si n p i n c h e dr i e m a n n i a nm e t a l f o l d sb yu s i n gm i c a l l e f - m o o i e st e c h n i q u e t h ee i g e n v a l u et h e o t yo fl a p l a c e b e l t r a m io p e la t o ro i lr i e m a n n i a nm a n i f o l d si s a ni m p o l l r a n ts u b j e c ti ng e o l n e l l i ca n a l y s i s b e r g e r g a l i d u c h o n m a z e t ，b e r a r d ，c h a v e l ， y a u s c h o e nf 5 ，2 ) 1 0 ，5 3 jh a v em a d eas y s t e m a t i ca n dt h o l 。o u g hh l t r o d u c t i o no r 1t h i s s u b i e e t i nt h i st h e s i s ，w ef i r s ts t u d yt h ef i ls te i g e n v a l u ef o rac l a s so fc l o s e ds u b m m l i f o l d si l lar i e m a n n i a nm a n i f o l d ：a l l ( to b t a i nt h eo p t i n l a li o w e ib o l m df o rt h ef i r s tc l o s e l e i g e m , a l u eo fc o lt a i nc o m p a c ts u b m a n i f o l d si nar i e m a t m i m im a i f o dnw i t hs e c t i ( n l a j t i l l v a t l l le 。n 三l s e c o l m l yb yu s i n gt h ee s t i m a t eo f m a tk e r n e l ，w eg e t1 , h e o w e l b o u n d sf o rw e y lt y p eh i g l l e lc l o s e ( 1c i g e n v g d t l o so fc o lt a i l lc o l l l p a c ts l l b l l l l - i n i f ( ) l ( t si na s p h e r ei f l j i ”c a , s eo fc o l i p a c ts “h h i i t b l d sl “j i 3 0 u t l ( a r y w cg c t , 油eo p o m a lj o 姗玎 b o u n df o lt h ef i r s td i li c h l ( ! l ，c i g e n v a l u ea n d o w e li o u n i sf o l w e y lt y p eh i g h e ld i li c l l _ l e te i g e n v a l u e s w ea l s og e tt l l eo p t h n a ll o w e rb o u n dt b lt h ef i r s tn o n z e lon n l n l a 1 1 1 1 e t v e n v a h l e p r e f a c e i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d ys e v e r a lp r o b l e m so ng e o m e t r ya n d t o p o l o g yo fr i e m a n 。 n 油1s u b m a n j f o l d s ) w h i c hc o n r a i l i st h eg e o m e t z i cr i g i d i t y ，t o p o l o g i c a ls p h e l ，et h e o z e n l s m l de i g e n v a l u ep lo b l e m so fl a p l , a c e b e l t r a r n io p e r a t o ro nr i e m a n n i a ns u b r n a l i f o l d s t i l ef u l lt e x ti sd i v i d e di n t of o m c h a p t e l s l e tm “b ea n 礼一d i m e n s i o n a lr i e m a n n i a ns u b m m f i f o l di na l l ( n + p ) d i m e n s i o m d r i e m a a l n i a nm a n i f o l d ”d e n o t eb yht h es e c o n df l l l l d a m e t l t a lf o r mo fm st h e s q u a r e dn o r mo ff ：i mt h et a , n g e n tb u n d l eo fm u mt h eu n i tt a n g e n tv e e t o ib u n d l e o fm ，r e s p e c t i v e l y f o r 儿u m ，l e t 盯( “) = l | ( ，u ) 1 1 2 ，b yg a u s se q u a t i o l l s