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压电陶瓷平面问题边界元法及边界轮廓法 摘要 本文首先基于国内外有关压电陶瓷的文献，介绍了压电陶瓷理论 和应用的研究现状，并对边界元法及边晁轮廓法的研究现状及理论应 用做了总结，且预测了今后的研究方向。接着介绍了压电材料的本构 方程，对其中的系数矩阵进行了分析，并引入作为本文研究基础的基 本解。 然后，在现有的压电陶瓷平面问题，半平面问题，两相材料压电 陶瓷组成的无限平面问题基本解的基础上，从压电陶瓷的基本方程出 发，利用功的互等原理，推导了压电陶瓷的边界积分方程，并详细地 ， 讨论了边界元法的计算步骤。禾0 用等参变换，着重研究了在边界元法 计算中的奇异性问题。利用f o r t r a n 9 0 编写了计算平面问题、半平 面问题、两相材料压电陶瓷边界元程序，在大量数值计算的基础上， 证明了本文提出的边界元法的计算格式和奇异性的处理方法相当有 效。i ，厶7 、一 最后，建立了压电陶瓷数值计算边界轮廓法。勉界轮廓法是刚刚 出现的一种新型的边界元法，该方法的核心是利用边界积分方程被积 函数散度为零的特性，对两维问题，原积分方程中沿边界单元的线积 分被化为单元两端点势函数之差计算，对三维问题，将边界单元上的 面积分转变为沿单元轮廓的线积分，它是一种十分简便有效的边界元 新技术。本文对边界轮廓法进行了深入的研究，并引入到压电陶瓷的 数值计算中。针对压电陶瓷平面问题，半平面问题及两相材料平面问 塑萱l 一 题，证明了其积分函数的散度为零。然后详纲推导了各种情况的势函 数及求矮内点应力豹步骤。对上述的这些羲勇究工作进行了编程计算， 通过大量的数值舞例，在于习用的边界元法及有限元法的比较中可以 证明本文的边界轮廓法研究成果是有效的。 ( 1 0 0 )( 0 o ) ( 3 0 ，0 )0 2 7 2 30 00 00 0 3 000 0 ( 一2 7 2 2 7 ) ( o ，o )( o o ) ( o o )( 1 0 ，0 )( o o ) 窿女 i l i l j ， 盯 f 第三章压电陶瓷无限平面问题边界元法 表3 3x = 0 煮线上迓界元法与精确解计葬结果 t a b 3 ，3 r e s u i t so f b e ma n de x a c to nt h ei i n ex = 0 抒1 0 1 0，t 0 1 0妒疗， 仃d ， 。k 2 ( m )( m )( v ) f ，m 2 ) ( u m 2 ) t i m 2 ) f o 3 1- 2 7 2 32 ，0 8 40 3 2 7 70 010 00 0 ( - 2 7 2 2 7 )( 2 0 8 3 5 )( o 3 2 7 6 9 )( 0o )( 1 0 o )( o o ) f o 。3 )一2 7 2 36 2 5 10 9 8 3 10 01 0 00 0 ( - 2 7 2 2 7 )( 6 2 5 0 6 )( 0 ，9 8 3 0 6 )( 0 o )( 1 00 )( 0 0 ) 5 )2 。7 2 31 0 4 21 。6 3 80 01 0 00 0 ( 2 7 2 2 7 ) ( 1 0 4 17 7 )( 1 6 3 8 4 4 )( o o ) ( 1 0 ，o )( 0 0 ) f 0 ，7 1- 2 7 2 31 4 5 82 ，2 9 40 01 0 。00 。0 ( - 2 7 2 2 7 )( 1 4 5 8 4 8 )( 2 2 9 3 8 1 )( oo )( 1 0 0 )( o o ) ( o ，9 ) 2 7 2 31 8 7 52 9 4 90 01 0 00 0 f ：；：! ；! 塑( ! ! ：! ! ! 盟( ；：! ! ! ! 坠f ! ：她l ! ! ：雯f ! ：璺 表3 4：= 5 商线上边界元法与精确解计算结架 t a b 3 。4 r e s u l t so f b e ma n de x a c to nt h e1 i n ez = 5 “1 0 ” w 1 0 1 0 庐 堕生f 煎鱼jf 1 2 ( 0 5 ，5 o ) 一o 4 5 3 71 0 4 21 6 3 8 ( 一o 4 5 3 7 8 7 )( t 0 。4 1 7 7 0 1 )( 1 ，6 3 8 4 3 5 4 ) ( i o ，5 - 0 9 0 7 6 t 0 4 21 6 3 8 f 1 5 , 5 f - o 9 0 7 5 7 5 ) 1 3 6 l ( i o 4 1 7 7 0 1 ) 1 0 4 2 ( 1 6 3 8 4 3 5 4 ) 1 6 3 8 ( 一t ，3 6 1 3 6 2 ) ( 1 0 4 1 7 7 0 1 )( 1 6 3 8 4 3 5 4 ) ( 2 ，0 ，5 。o )一1 8 1 51 0 ，4 21 6 3 8 盟：! ! i ! 垒里 f ! ! ：堡! ! ! ! ! !( ! ：鲮! 箜! 墅 2 、压电均匀薄扳( 如图3 3 ) 受侧向均布载荷9 6 0 彤乞) ，其边界条件为 jl z 圈3 。3 算例 ，1 载蘅示意图 f i 9 3 3 l o a d o f e x a m p l e1 2 x q 第三章压电陶瓷无限平面蔺题选弊元法 ：= 时：盯：= f ，：= d = = 0 x = o 时：盯，= 一q ，f 。= o ，= 0 这个问题的位j 参、电势、应力、电位移的精确解，只需将式( 3 4 6 ) 代入到边界条件中，就可 得到：口 = 0 4 7 1 5 ，d 2 = 一1 3 2 8 1 0 0 4 1 2 i ，a 3 = - 1 3 2 8 1 + o 0 4 1 2 i 将，回代入( 3 4 5 ) 和( 3 4 6 ) 可得该问题的精确解。将部分精确解和计算结果列成表进行对比， 如下： 表3 5z = o 商线上x 方向位移边界元法与精确解计算结果 t a b 3 。5 d i s p l a c e m e n t “o f b e ma n d e x a c to nt h el i n e ：= 0 表3 。6x = 3 直线上z 方向位移边界元法与精确解计算结栗 t a b 3 6 d i s p l a e e m e n l wo f b e ma n de x a c to nt h el i n ex = 3 ( 3 ，0 ，1 o ) ( 3 0 ，3 o ) ( 3 0 ，5 0 ) ( 3 。0 ，7 ；o ) ( 3 0 ，9 o ) 0 9 0 7 5 7 4 7 2 5 2 。7 2 2 7 2 4 1 7 4 4 5 3 7 8 7 3 6 2 3 6 3 5 3 0 2 3 0 7 2 8 1 6 8 1 7 2 5 2 l 0 9 0 7 6 2 7 2 3 4 5 3 8 6 1 3 5 3 8 1 6 8 表3 7z = 5 直线上x 方向位移选界元法与精确解计算结果 t a b 3 。7 + d i s p l a c e m e m “o f b e ma n de x a c t o i lt h el i n e ：= 5 ( o 5 ，5 。o )- 1 0 9 2 3 8 3 9 0 5- 1 。0 9 2 f 1 0 , 5 0 ) 2 1 8 4 7 6 7 8 1 1。2 。1 8 5 f 1 5 , 5 0 1 3 2 7 7 1 5 1 7 1 7 。3 。2 7 7 ( 2 0 ，5 o ) 一4 3 6 9 5 3 5 6 2 2- 4 3 7 ( 2 5 ，5 o )5 4 6 1 9 1 9 5 2 85 4 6 2 ( 3 0 , 5 0 ) 6 5 5 4 3 0 3 4 3 36 5 5 4 第三章压电陶瓷无限平面问题边界元法 3 、压电均匀薄板雁电均匀薄板( 如图3 1 ) 受侧竖向电位移边6 0 多幺) ，其边界条件为 zd ：= l o n m f f ：1 f f 。 l - o ； 、，川 、 x 图3 2 算例1 ，1 载荷示意图 f i 9 3 2 l o a d o f e x a m p l e 1 1 ：= 土卉时：盯：= = 0 ，d ：= 1 0 工= 盯时：仃，= f 嚣= 0 0 黧0 同理可求搏： a 2 - 1 37 6 9 9 ，a 2 = 5 7 5 4 6 0 6 4 2 5 i , 口，= 5 7 5 4 6 + 0 ，6 4 2 5 i 将a ，代入( 3 t 4 5 ) 和( 3 4 6 ) 可缮该问题的毒毒确解。将郝分精确解和计算结果列成表进雩亍对比 如下： 表3 t 8 o 直线上x 方向位移边界元法与精确解计算结柴 t a b 3 8 d i s p l a c e m e n t u o f b e m a n d e x a c t o n t h e l i n e z ：0 ( x z ) “1 0 ”( m ) 弋西丽广i 丽磊万两一 ( 1 0 , 0 o ) 一2 2 6 0 8 1 6 1 4 2 - 2 。2 6 t ( 1 5 , 0 0 )一3 3 9 1 2 2 4 2 1 6 3 3 9 1 ( 2 0 ，0 0 )- 4 5 2 1 6 3 2 2 8 - 4 5 2 2 ( 2 5 ，0 0 )+ 5 6 5 2 0 4 0 3 6 5 6 5 2 ( 3 0 , 0 0 ) - 6 7 8 2 4 4 8 4 2 - 6 7 8 2 第三章压电陶瓷无限平面问题边界元法 算例二：嘏均匀压电陶瓷p z t 4 ，长a b = 2 0 ，b d = 2 0 ，中心开半径l 的圆孔，如图3 ，5 所示， 驳第一象限研究。划分7 0 个单元，其中圆弧上为i8 个革元，两条外边界为l o 个单元，对称选界 为9 个单元。 l 上 v1 1 v ，l u j r、 x 一 b o 图3 ，5 算铡二示意图 f i 9 3 5 m o d e l o f e x a m p l e 2 首先，作压电均匀许孑乙薄板的单向拉伸，其边界条件为： 当z = 1 0 时：d ：= t 0 ( n m 2 ) ，f 。= d ；= 0 ：当x = + 1 0 嗣- ：口，= f 。= d x = 0 。 则当毋：0 及0 ：2 时，其部分边界元计算结暴与精确解比较觅闰3 6 、3 7 、3 8 、3 9 。 从图3 6 可以发现仃# 在 l 边最大，其应力集中系数是2 6 4 6 ( 解析艇是2 7 2 1 ) 。在边界处盯口和 d ，都趋向于单向拉伸对的应力状态。 图3 6 拶= 0 时，拶# 分布 图3 7 0 = 0 时，仃，分布 f i 9 3 6 t h ep a r a m e t e r v a r i a t i o nv e r s u sr f i 9 3 7 t h ep a r a m e t e r 盯，v a r i a t i o nv e r s u sr 图3 ，8 和图3 9 描述的是当秽= 形2 时，萨，和口。随着，趋向于边羿对的分布。由图7 可戳发 现仃。在r 比较小时是负的，然后随着，的增大迅速趋向于零，这表嗡在孔箭上方会战现一个压 应力区。惩在边界处它们都趋向于单向拉伸时的应力状态。 篓三至上望垫塑堡i i j 登堑塑垦垫塑垄婆 图8占= 刀2 时盯，分布圉 f i 9 8 t h ep a r a m e t e r 盯v a r i a t i o nv e r s u s “”e 函) ”“” 图31 0 玎自随毋交纯韵分布篷 f = 玉丽 i 1 l * u - - - * - 一 8 。j 。一! 一。 一 2 萨 2 j 4 4 t - ”，r r r r f r r r j 翻9 乎= z 2 对，o - g 分布蕊 f l 萨t h ep a r a m e t e r _ c x 8 v a r i a t i o nv e r s u s7 2 。kf = 丽司 、； 5 j ”， ，一7 j 、 “7 l 。一 ”- l ，。，：。，一 0 。 b2 圈3 1 d1 j11 6 e f t a d ) 岛o o 酸8 变化的分毒图 f j 窑3 ，1 8 搬e p 甜嚣m e 据r 旦蔓v 撕戤i 。nv 钟s u s 护 f i 9 3 。1 lt h e p 烈a m e t e r d _ _ l e v a r i a t i 。n v e r s u s 臼 盯0 o o 圈3 1 0 与图3 1 l 则分别描述了圆弧上仃8 与d # 的分布。 其次，在算例二模型的基础上，当压电均匀薄板受电位移d ：作用，边眷条件为： 当z = - + 1 0 时：萨：= f 。= o ，d ：= 1 0 ； 当x = + 1 0 时：口，= - 。= e = 0 其部分结果与有限元程序a n s y s 的i , t 算结果相比较，有限元采用平面四边形单元，共翊分3 6 8 个单元，其结果见图3 1 2 、3 1 3 、3 1 4 、3 1 s 。 上海变逮大学博士学位论文 3 7 三 一 一一 ， ：；j m b z e 第三蕈压电媳瓷无限平面问题边界元法 j 8 剿 图3 1 2 口= 0 时，仃# 分布圈豳3 1 3 目= o 时，盯，分布胬 f i 9 3 ，1 2 t h ep a r a m e t e r d av a r i a t i o n v e r s l l s r f i 9 3 1 3 t h ep a r a m e t e r o - ，v a r i a t i o n v e r g u s t h er 2 s tt7 #i 0 f 图3 1 4 毋= z 2 对，f ，分森嬲 23 t7 8 e f 图3 1 5 8 = z 2 对，盯8 分布图 f i 9 3 1 4 t h e p a r a m e t e r 疗r v a r i a t i o nv e r s h sf f i 9 3 1 5 t h e p a r a m e t e r o 口v a r i a t i o n v e r s u sr 最后，压电均匀薄板受电势作用，边界条件为： 当z = - + 1 0 时：d r = f 。= o ，m = - 1 0 ；当x = + 1 0 时：c r 。= r 。= 喀= 0 ，其部分结 栗与a n s y s 程序鹊计算结果相比较，见图3 1 6 、3 。1 7 、3 1 8 、3 。1 9 。 图3 1 6 毋= 0 时，疗d 分布图罂3 1 7 毋= 0 时，盯，分布豳 f i 9 3 1 6t h ep a r a m e t e r 口v a r i a t i o nv e r s u sr f i 9 3 1 7 t h ep a r a m e t e r ，v a r i a t i o nv e r s u sr 一 ； 一一一一心一一 第三章压电陶靛亢p 键寸一叫i 础也，r 儿f 图3 1 8 矽= 玎，2 时，d r ，分布图 i ：匮 i j 、一一一 j j ， i ；，。r ，、，t ，。t + ，t r p ，1 ，+ r v 一 35e，日 9 f 1 9 0 = z 2 时，盯p 分布图 f i 9 3 - i8t h e p a r a m e t e r ，v a r i a t i o nv e r s u sr f i 9 3 ，1 9 t h ep a r a m e t e r o o v a r i a t i o n v e r s u sr 扶算倒二与算三可以看出，进行能边界元模拟结果与有限元计算的结果相当致。 算侧三：压电陶瓷由于基身捞料力学性能的脆性及加工等原因，裂纹，夹杂及孔洞直是其研 究的热点。在工程中常以椭圆孔来近似地模拟裂纹。算饲三婀结合工程的实际应沼，用边界元 的方法模拟两个椭圆孔洞不网夹角以及长短轴的比例变化甄g l 起的应力变化情况。 1 如图3 2 0 所示。g 艮- - 2 h x 2 h 的正方形p z t 一4 压电陶瓷，中心含糖圆趣洞，其长短轴分别 为2 口1 和2 6 。上下边界均受革轴拉伸，其边界条件为： ：= 矗时：疗：= p = 1 0 ，r ，= = d ：= 0 ，x = 女时：f ，= 。= 致= 0 z 2 b ；i ：0 - 2 a l 。 x 图3 2 0 算例3 1 载荷示意图 f i 9 3 。2 0 l o a d o f e x a m p l e 3 1 第三章压电陶磴无限平面闯题边界元法 在计算中，舒剥敬h = 4 0 ，口l = 4 ，b i = l ，h = 4 0 a 2 = 4 ，b 2 = o 5 嚣种情况。下露将用边界元 法与有限元法的计算结柴及单元情况进行综合的眈较。醋3 2 1 和图3 2 2 列是两种不同长短轴比 的计算结果与有限元法进行豹比较。表3 9 现示了嚣辨方法的单元形式、数量殷计算耗时对比。 2 6 2 4 2 2 2 0 1 8 01 6 1 4 1 2 1 0 8 8 3 5 3 0 2 5 。2 0 b 1 5 1 0 5 05 01 0 01 5 0 2 0 0 e 图3 2 1 椭豳闽边仃口分布图 f i 移2 t t h ep a r a m e t e r o - 日v a r i a t i o nv e r s u st h eb o u n d a r yo f e l l i p s e 一2 0 01 5 0- 1 0 0- 5 0o 5 01 0 0a 5 02 0 0 e 溜3 2 2 椭圆周边盯自分布图 f i 9 3 2 2 t h e p a r a m e t e r 口口v a r i a t i o n v e r s u st h eb o u n d a r y o f e l l i p s e 第三章压电哟瓷无限平面问题边界元法 表3 9 边界元法与有限元法计算情况对比表 t a b 3 9t h ec o m p a r eo f c a l c u l a t i o n p a r a m e t e r f o rt h eb e ma n df e m 计算方法 单元形式单元数( 个)计算耗时( 秒) “”。”“whw_”wh*m“hwhhm_，_“一 b e m 线性单元7 64 f e m四边形单元4 2 0 9 扶图3 , 2 i 与国3 2 2 ，可以看出，随着椭圆长短轴比的增大，在椭圆端点应力集力也随之加 夫。可以想象，掘果适当增麴长短轴黪毙铡，刘可以模拟燕淹陶瓷裂纹闯踅。这就可戮解决工 程中的所需。从而也可以看出，本章中的边界元法完全可以应用到具体的工程中，姆决一定钓 c 程问题。再者，表3 9 可以看出，本章中的边界元法单元形式简单，单元数目少且计算耗时 少，充分色可阻看岛在解决这种工程问题时，所具有的优越性。 2 如图3 2 3 所示，取一2 矗2 h 的正方形p z t - - 4 鹱电嘲瓷，内含嚣个以一定夹受的横圜建漏， 其长短轴分别为2 q 和2 壤及2 d 2 和2 b 2 。上下边界均受荤辘挝 枣，糖灏i l 滤为囊由边界，冀边 界条件为： ：= 矗黠：g ：= p = l e ，f 韶= d = = 0 ，艽= 矗时：仃；= k 茹d ：= 0 2 h 图3 2 3 算例3 2 载赫示意图 f i 9 3 2 3 l o a d o f e x a m p l e3 2 第三鸯臌电陶瓷无限平黼问蕺边界元法 这个冀捌计算了当次糖圆孔婀与主椭贼i l 洞轴线成不同夹角时，主次椭圆临近焦点连线上应力 分布憾况；其中璺3 2 4 辑示缝果是主椭圆的长轴为盘；= 4 ，b ，= l * r l a ，= 2 ，b ，= o s ，图3 2 5 所示结果为椭圆的长轴为】= 4 ，b 1 = o 5 祁口2 = 2 ，b ，= o 2 5 。 b r 圈3 2 4 焦点誊线上o r # 分毒銎 f i 9 3 2 4t h ep a r a m e t e r 盯p v a r i a t i o nv e r s u so nt h el i n eb e t w e e nt w of o c u s e s 鹜3 , 2 5 焦建壹线土拶口势寒嚣 f i 酉2 5t h ep a r a m e t e r 盯。v a r i a t i o nv e r s u so nt h el i n eb e t w e e nt w of o c u s e s 第三耄鹾电醐瓷无限平面问题边界元法 从图3 2 4 和图3 。2 5 中总的可以看出，在椭睡的顶点处均有明显驰应力集中，势且应力集中 的火小与两椭阐的轴线夹角是有关的。这个算例可以适当地加大椭圆长短轴的比率用来模拟含 育主次裂纹的雁电陶瓷工程问题。 3 5 结论 本章壤基本舞引入边葵彀分方程，对逸器积分方程逡行离散处理，并详缩讨论了边界元法 中积分出现奇异性的情况，绘出了系数矩障h ，g 的显式表达式，同时到l 出了压电陶瓷边界元 法的具体步骤，并讨论了内点应力及位移和边界点应力求解方法。最后通过数值算例结果验证 了整个方法的有效往及文献中基本解的正确性，特别给出了舆有一定工程实用价值的含有椭圆 孔涸蜷提的数馕算捌，霹作为压电陶瓷含裂纹阔题数值计算参考。 上海交遐大掌博士学位论文 第皿| 章压电陶瓷半无限平面问题边界元注 第四章、压电陶瓷半无限平面问题边界元法 本章首次讨论了压电介质半平面问题边界元法的计算步骤。利用等参变换，着 重研冤了在压电介质半平面问题边界元计算中，当场点和源点重合时( ，= 0 ) 基本 解的奇异性的问题，详细对各种情况讨论了系数矩阵h 和g 的算法并给出了显式表达 提高了计算精度数值算例表明，本章提出的边界元的计算格式和奇异性的处理方法 相当有效。 4 1 半无限平面问题基本解 对于半平面压屯介质，d i n g h a o j i a n g e ta 1 于1 9 9 6 年给出了横观备向同性压电材料半无 限边界作用集中力和点电荷时的解析解。王国庆【1 2 2 于1 9 9 8 年用镜像法在无限域基本解的基础 上求得了半无限域问题的基本解，但现有的文献中，还没有专门针对平面半无限域问题的边界 元法的讨论，本章将针对平面半无限域问题，引入基本解，详细讨论其边界元法的实现过程及 系数矩阵的求解。 根据文献( 1 2 “，对于当材料特征根s ，s ，s ，情形时，半无限域问题u 与t 的矩阵很容 易可以得到： 令：u = “j“二m ? “；“：中： 心“；：m ： ，则其各元素分别为 “j ，= 4 ，l o g f , ；+ 以l o g “：= 窆4a r c t a n + 窆窆爿，a r c t a n i = 1 一 f 。it = l 。， 由杰4a r c t a n + 窆杰o ：；2 a va r c t a n 1 2 ， 一i ll 2 l一 “三= 一窆丑a r c t a n ! 。一3 3 色a r c 啪 333 “：= el o g f , + 岛l o g r , j ，= lc 】f = l 3 ，3 o o i 。el o g f + a 捣，l o g ，2 lt ；1j = l ( 4 1 ) 笙堕兰堡皇堕堡兰垄里兰耍盟望望墨皇型_ - 一 式中 “1 1 = 3 2 = 一壹c fa r 。t “ 一壹窆c , ja r c t a n l = l i l l if = i 。f 3 c f = i c 。l o g t ，+ c 。l o g r , j 愕1 j = 1 ，= l 其各元素分别为 奉陪辩- 5 - 卜 ，：= 窑t j 4 。手；+ 喜爿。号 ， ； 3 71 号十酗号卜可x + 弘3 井 = 喜 e 等十喜马号 ，+ 套 e 毒+ 粪岛毒 ： = 喜心 b f 毒+ 喜色毒 ，+ 喜l 睾+ 圭j = l 毛号 ： c 4 固 ：喜卜毒+ 杰j = l 吼旁 ，+ 喜l 睾+ 骞毛号： ：套 c ，争+ 妻c 。等卜+ 砉屹 c j 毒+ 骞c ，旁卜 ：砉 c ，幸+ 砉c 。- 毒- t n 。+ 套 e i 亨+ 嘉巳号 ： ：喜t ! ， c ，i + 妻c ，- 霉k n ，+ 砉t 刍 c ，争+ 嘉c ，等 ： 毛毛一_ ，巧= f 丐 4 5 _ f g oc 口 ， + g 0 酊 酊 万 一 一 i | 1 k r j 1 0 r q一弩三呼 如 厶 ，p厶一 ，r厶一 + 毛一膏三。 4 4 r，l r、，l l 2 女 ，日 4 -，l 女 ， + d r。，l ， 一一 。 。k 万 厢 箨鞠章压宅海瓷事无藤平蘑瓣嚣边界露法 臻1 囊，o = 1 , 2 ，3 ) ，d ，= 是厶 一露；2 一是： 七： 阱 磕 始 硫 一 一壤 媛 通过与第三露式( 3 2 0 ) 、( 3 2 1 ) 比较可以发现对半平谣闯趱的矿等t 哥写戏如下嚣埙 之秘静形式： u4 = u ，+ + u ，+ r 。= 互+ + 巧 转3 ) 其中：u ；，霉的形式两式( 3 2 0 ) ( 3 2 l ，莰设蹙将游点黪终臻焦靛鹣转) 平罄到如矗) 。 秽2 表达式可以写成如下形式： “：= 窆窆岛黜雠； 辔= 窆窆呜a r c t a n 群；：，= 一宝羔岛a r c 穗n ； “；：。= 乏岛l o g 国= 辑：岛l o g 33 甜= ql o g 擗li s l 书：3 = g ，2 c # l o g r f 墨+ 装达式哥弘写成熟下形式： 樽4 ) d 一一 lf，ft，r|fitj 囊4 焉 ，。，。+。，。 芬 、；：，l，；j ，；，11l 啄 一 | | ：，。ttt，rft； 西易弘 奄 g oi f a ，m。 尝 ” 牡 三勖 龇煳 岛 ， 一 | l 星婴兰垦皇塑壅羔垂堕兰耍塑璺望墨至望l 一 。= 喜喜 毒n ，+ 窆t = 1 喜1 ：忙l，i f 2 。， f ；1 ：= 窑喜爿。- 考t n ，+ 喜若3 爿v 矿x ：f 讲，。1l j f = j 2 l f 万2 ，= 私i 喜1 以，+ 豁缸i1 争： f 。 ，cf ， = l = ，2 z - ；弘静，+ 挚磐i ： 怍l= l ， f ；l 2 幺：；喜1 喜吃旁，+ 喜善1 ： h 5 f 。 ，2 1，l ， ，。l j f 刃2：=喜荟3色旁，+窆i=1著31 1 i岛争； i。|。e l 。1 1 h 幺5 善再c , j i旁，+ 善再cu 旁= 23 2 、 = 1 j 5 l1 “ ：5 喜善c ”争t 。+ 善善c ”： j = 1，= 1 i = 1 j l， 巧2 + ，5 喜善c ，争i i ，+ 善i 著c ，尹：f = 1 j - l 忙 ，= l i ， 4 2 边界元法及系数矩阵 ：，h ；和g ：，g ； 半无限平面压电陶瓷边界元法的表示方法与平面无限域的边界积分方程相类似，但是由于 基本解的不同，所以在遇到的奇异积分中的处理有所不同，具体表现在系数矩阵 ：，h ；和 g ：，g ；是不一样的。根据( 3 2 5 ) 展开有： 古，= t + i n ，：阢= f 蛾+ t j 一，：k = e 正i n , ，n ：圮+ 【疋i n ，n 2 k = h 。+ h ：， g 。= fu 。，：p r j = f ，p ，+ u ：i - ，：虹 、 = f g ，【1 ，：圮+ f g ： l ，：虹强。+ 9 2 ， 式( 4 6 ) 中积分的前一项与第三章的形式完全相同，其系数矩阵的处理也同前一章完全一样。 下面仅对积分的第二项在积分时出现奇异性的情况分两种进行讨论。 当源点 。，z ，) 与单元r ，上的节点( 毛，z 。) 和 2 ，z 2 ) 之一重合，即基本解中r f = 0 ，存在 篱四章压电陶瓷半无限平面问题边界元法 询异性，分f 列两种情况讨论。 4 2 1 当半无限域内部无边界时，有两种情况。 一、当x ，= 0 1 h = 2 l 时，有 x x ，= v ：x 1 + n 2 x 2 一x ，= n 2x 2 一x 1 ) z 一二。= 0( 4 8 ) i ，= f 。x 。+ ：x ：一x ，f = = f n ：g ：一x 。】 且有 = 委( 1 一告)a 7 ：= 去( 1 + 善) 汀，= i i ，l d 手= ! d 喜，上，一单元的长度。 注意到，在 ：。= 瞳。， 毛 中，由于矗毛可以按照刚体位移法，【8 9 l 求得，因此此时只需 计算硅。 f 面计算 三： 。= 肌_ i 巾善= f 。：隆，缸秒+ 缸静纠巾 同理有：h ：2 j = h 2 2 6 = h 2 3 5 = h 2 3 6 = 0 k s = f z 喜喜鸣丁x - - x s 丁x 2 - x 1 等蟛= i 1 台3 s 蔷3 鸣 e2 “缸缸等等等西= j 1 孙3 酗3 ， 吆。2f ，z 喜等喜岛丁x - - x s x 2 _ - x t i l 嘶= 三喜等喜色x - - x s k 一。3 * 3 ：。x - - - x , x 2 - - x l 。s 蝣圭喜等喜c ， 仿照上述推导过程，g 2 。矩阵中各分量如下 1 ，= 等毒意以l o g l ( x ：一薯】+ 毒等主以 ，= 等以：一薯】+ 等以 ，= 1 ，= 1= 1 g ：旷要每主壹呜 - 二i = 1 e 1 塑婴璧墨皇堕璧兰重哩兰塑塑壁望墨垄鲨 g ；，：要冬窆鳓童心 f 一1，= 】 g ；：，；- 硝。亡窆毛7 7 - 叫 班：一一ii ，备岛 g ；：= 每岛l o g l ( x 3 3 ：飞】+ 寺等岛 ，1 ， - l，t 净l f = gi：；=每吃logl(x：飞l+去詈ai23 1 ， j 1 j j ：1f 。厶j 。1卢1 如2 3 1 一生22 誊 g i 扩- ) z o ：n c 口l o g l ( x ：j 十寺1 每c 。 r， 3，3 3 一i = l，2 t，；i t 。l g；，=寻巳logl(x：咱j+寺等12s21 3 c 。 3 ， ， 二j = 1 ，= l 上o f t ，= l 黝2 ，丢壹窆以t 。s l g ：一工，】+ 寻等窆妻心 二j t j ；1 二二 ，# 1 。j g 三：要冬杰幽杰鸯 二z i t l，= 1 威。：要冬妻杰磊 i = l，= 1 譬乞。一t 疗t j 亡, - - - 窆昼， 如t 一一i ；蛳- 备珞 g 刍：每壹3 & l 。g l ( x 。- x , 】+ 7 3 主易_ t - - - 上， ij 。l，t j g 毛：冬主3 l 。g g ：一墨】+ 寻冬杰主岛 ，；l，t i t # l j = l 警刍，一zl i 杰g 珐一。“；磁，蔷g g 嘉：冬窆壹q l 。裔o ：一x ，】十? 3 - t ，- - - 壹q ol - l 一l 一j - l 掰聂覆戆两暖戮巍匿4 擘 第四章压电陶瓷半无限平面问题边界元法 二、当，= 0 2 ，h = z 2 时 由于a 三在矩阵h 中的位置是处于对角线，可以按照刚体位移法”不用显式确定，同样 的道理，只需求 ；矿结果如下： ：。= f ，。f 川l ，陟= 0 = 矗：= h ：，= h ：。：= h ：，。 ：= f l 。童3 以等学粤蟛= 一吾壹主以 j = 】 5 l7 l ， - f = 1 ，。1 ，：f 。v 。壹3 芋l 孚每嘶：一告窆壹4 ( 。，。) - l ，= 1 7 j ，l f 二= l_ 1 k 2f ，m 善3 詈i 蔷3 吼_ x - - - x s 丁x 2 - - x 1 等蟛= 一圭喜等喜或 吆，= f ，m 善3 等i 蔷3c ，x - - i x s 丁x 2 - - x 1 每蟛= 一三喜等喜c 。 当源点与节点2 重合时，可以证明其9 2 。= 【g ：，g 毛 ，只需将其与节点1 中的 9 2 。= g ；。9 2 2 ， 对调即可。 4 2 2 当半无限域内有边界时 一、当x ，= x l ，h = z 1 时，有 x x ，= n l x l + n 2 x 2 一x 1 = n 2 ( x 2 一x 1 ) ：。一扛= ( 1 z l + ，2 2 2 一毛) j ，= n 2c z 2 一z 】b ， z ，+ h j = ( l 毛+ n 2 2 2 ) s ，+ 2 1 s ， ( 41 1 ) i ，= n 2 ( x ：一x i ) 2 + ( z ：一z 1 ) 2 2 。= 扛磊i 再瓦i 瓦万i 玎 同样，由于 知可以按照“刚体位移法”不必显式给出，因此此时只需计算 之。 之中由 于不出现等于零的情况，所以无需进行特殊的处理就可以直接运用高斯积分。同理，g 乞，g 毛 也可由高斯积分直接计算得出。 二、当x ；= x 2 ，h = 2 2 时 5 0 上海交道天荸博王举砸蔽 c ，脚 口 ，h t 一： 1 j 一2 + u 月 x b昭 c ， 口 ； t 一： 第四章压电陶瓷半无限平面问题边界元注 t x = n 1 x l + n 2 工2 一x 2 = 一n i ( x 2 一x 】) ：。一向，= ( 】2 1 + n 2 2 2 一。2 ) s ，= 一n 1 1 2 2 2 弦， ：，+ h ，= ( 1 z i + n 2 2 2 ) s ，+ z 2 s ， ( 4 t 2 ) _ ，= 7 l ( x 2 一工i ) 2 + ( ：2 一二1 ) 2 j ，2 _ ，= ? ( x 2 一x ，) 2 + “1 l + 2 z ：) s ，+ z2 j ，) 2 相应的 2 2 在矩阵l i 中的位置是处于对角线，不需显式给出，而琏。，g ：口，9 2 2 则由高斯积 分直接计算得出。 4 3 数值算例 根据以上公式，采用f o r t r a n9 0 编制了对应的半无限域压电陶瓷平面问题边界元程序，对 边界积分方程( 3 1 9 ) 进行数值离散并进行了无量纲化，分别计算了如下的两个算例。计算中采用 线性单元，压电材料选用p z t - 4 陶瓷，其参数同第三章所示。 算例一：取一半无限均匀压电薄板，如图4 1 所示，划分1 6 个单元。将部分计算结果与精确解比 较。在献1 1 2 2 1 中给出了楔形压电介质基本解，只需将楔角口指定为1 8 0 0 ，并沿载荷边界积分就可 以得到半平面压电介质上边界受载荷作用时的精确解。 日 ly 图4 1 算例一示意图 f i 9 4 1 m o d e lo f e x a m p l e 首先作半无限压电均匀薄板的单向受压，其边界条件为：r 当臼= o 和目= 万，r = 2 时：盯：= 1 0 ，f 船= d ：= 0 ；当，= 0 0 时：“= w = p = 0 。 5 1 第四章压电陶瓷半无限耳面问题边界元法 、。1 。j ) 1 。3 j 旨j ，罡 r r 图4 20 = f 2r 方向位移及电势分布图 f i 9 4 2 d i s t r i b u t i o no f “a n d 西o nl i n e0 = 2 1 2 ，。j 卜 5 卜 嚣71 6 一。一 2 j j、 。j 、 ；r r 1 ，r r ，1 ，r r 1 _ ，r _ t r r _ - 一 图4 30 = 口2 1 卜匿 i o2 r r 2 r 向应力位移分布图 f i 9 4 3 d i s t r i b u t i o no f 盯，a n d o - 口o n l i n e 目2 口2 当半无限压电均匀薄板受电势作用，其边界条件为 当日= 0 和0 = 丌，r = 2 时：o - ：= 0 ，= d ：= o ，妒= 1 0 当，= 。时：“= w = = 0 。 取0 = y 2 上的应力与a n s y s 有限元软件计算结果比较见图4 4 。 j 围1 ：卜 围 篆仝+ ；一 图4 4 口= 7 2r 方向位移及电势分布图 f i 9 4 4d i s t r i b u t i o n o f “，a n d 妒o n l i n e 口= 7 r 2 o ， ， ， ， ， ， p 一 ：l 一，= 一 墨婴童堡皇塑笙兰垄堡羔堡塑里望墨垂堡 一 je 三羽岔、e j 虱 j吲、 一一 卜一一一l 一 图4 50 = 口2r z r 向应力位移分布图 f i 9 4 5 d i s t r i b u t i o no f 仃，a n d 盯口o nl i n e 0 2x 2 算倒二：取半无限均匀压电陶瓷，开一半径2 的圆孔，如图4 6 所示，划分3 4 个单元。 首先作半无限压电均匀开孔薄板的单向受压，其边界条件为： 图4 6 算例二示意图 f i 9 4 6 m o d e l o f e x a m p l e 2 当0 = o 和0 = 万，a = 2 时：仃：= 1 0 ，i , - 盯= d ：= 0 ； 当r = 0 0 时：取“= w = 口= 0 。 取圆周上的应力与有限元软件包a n s y s 计算结果比较见图4 7 。从图中的结果可以看出 两者的结果相当一致。 - 1 e 、国 、 ， 州 o1 0 2 ， 、 0 0 0 c 第心章压电陶瓷半无限平面问题边界元法 1 f e j s ，! 型 1一。 ，7 ， 、 ? j ， ，j、 o 、 j 、 。 、 e，。，：二 1 i o 1 0 图4 7r = 2 圆周上位移及电势分布图 f i 9 4 7 d i s t r i b u t i o no f “，wa n d 矽o nl i n er = 2 l f e m f! ! 叫 ，、 、j卜、 一7 、 、 j 、uj ”0 丁焉f = r 墨r 写胃1 r 焉；i l k 0 1 0 图4 8r = 2 圆周上应力分布图 f i 9 4 8 d i s t r i b u t i o no fa z ，o ：o n l i n er = 2 上述算例中的具体数据可见第六章中边界元法与边界轮廓法的比较中。 4 4 结论 本章给出了广义位移及面力矩阵u ，t ，接着讨论了压电介质半平面问题边界元法计算步 骤。利用等参变换，着重研究了在压电介质半平面问题边界元计算中，当场点和源点重合时 ( r = o ) 基本解的奇异性的问题，对各种情况讨论了系数矩阵h 和g 的算法并给出了显式表 达式。数值算例表明，本文提出的边界元的计算格式和奇异性的处理方法有效且正确的。 ” ” ” ” ” ” e 第五童压电陶瓷两相材料无限平面问题边界元法 第五章压电两相材料无限平面问题边界元法 压电两相材料边界元法的优点是避免了以往常规边界无法对不同质材料只能 采用分域法计算，这减少了前期的数据准备准备，提高了计算效率，尤其在层舍结 构中它的优点更为明显。本章首次讨论了压电介质两相材料组成的无限平面问题边 界元法计算步骤。详细研究了系数系数矩阵h 和g 奇异性问题