（物理电子学专业论文）太赫兹光子晶体光纤的理论分析与制作.pdf

摘要 太赫兹( t h z ) 波是指频率介于1 0 0g h z 一1 0t h z 范围内的电磁波，太赫兹波 的频率介于毫米波与红外线之间，所以对太赫兹波以及太赫兹相关器件的研究即 可以采用微波电磁场的方法，也可以采用光学的方法。太赫兹波有很多优越的特 性，在国防、航天、医学领域都有非常广泛的应用，所以对太赫兹技术的研究具 有非常重要的学术和应用价值。目前，对太赫兹技术的研究已经有了许多突破， 出现了商品化的太赫兹源，以及太赫兹探测器，太赫兹波导、谐振器等功能器件。 光子晶体光纤( p c f ) 的研究已经经历了十几年的历史，对光子晶体光纤的研 究也取得了许多成果。光子晶体光纤与传统光纤相比，具有许多新奇的特性，如 无截止的单模传输特性，奇异的色散特性，高双折射特性等。太赫兹光子晶体光 纤作为太赫兹波导器件也是近年来研究的热门领域。 对光纤的特性进行分析的方法分为解析法和数值法，由于光子晶体的结构较 为复杂，所以目前适用于光子晶体光纤分析的方法是数值计算法。本文比较了常 用的数值计算方法，并结合各种方法的优缺点和所设计光子晶体光纤的特点，选 用了多极法( m u l t i p o l em e t h o d ) 作为分析太赫兹光子晶体光纤的数值计算方法。 本文在分析传统光子晶体光纤结构与特性的基础上，提出了一种适用于太赫 兹频段的新结构：4 8 孔矩形晶格光子晶体光纤。这种新结构的光子晶体光纤在 太赫兹频段具有低损耗、低色散和高双折射的特性。通过多极法数值计算的分析， 证明这种结构达到了预期的效果。 在数值分析之后，我们根据设计的光纤结构，提出了制作太赫兹光子晶体光 纤的方案，并将方案付诸实现，采用模具灌注的方法制作出光纤的样品。 本文的主要创新点有： 将多极法应用于太赫兹功能器件的分析和研究。多极法具有计算速度快、计 算结果精确等优势，可以计算其它数值方法( 如f d t d 方法) 不能计算的某些 光纤参数如模式损耗和群速等。 设计了一种用于太赫兹频段低损耗，低色散和高双折射的新型4 8 孔矩形结 构的光子晶体光纤，并利用多极法对上述结构进行了数值计算分析，达到预期的 效果。 关键词：太赫兹、光子晶体光纤、多极法、双折射、损耗、色散、样品、制作 a b s t r a c t t h zw a v e sr e f e rt ot h ee l e c t r o m a g n e t i cw a v e sw h o s ef r e q u e n c i e sr a n g ef r o m1 0 0 g h z - i on 乜o nt h ee l e c t r o m a g n e t i cs p e c t r u m s i n c et h e i rf r e q u e n c i e sa r cb e t w e e n m i l l i m e t e rw a v e sa n di n f r a r e dw a v e s ，t h er e s e a r c hm e t h o do ft h zw a v e sc o u l db e e i t h e rf r o mm i c r o w a v eo ro p t i c s d u et ot h eg r e a tn a t u r eo ft h zw a v e s ，t l l e ya r ev e r y e f f e c t i v ei nv a r i o u sr e s e a r c hf i e l d ss u c h 舔d e f e n s e ，a v i a t i o a s ，a n dm e d i c a ls c i e n c e ，e t c t h u si ti sq u i t ev a l u a b l et op a ya t t e n t i o no nt h zt e c h n o l o g y r e c e n t l y , t h e r ea r e s e v e r a lb r e a k t h r o u g h so n 讹r e s e a r c ha n dt h et h zs o u r c e d e t e c t o r , w a v e g u i d ea n d r e s o n a n c ed e v i c eh a v eb e e nd e v e l o p e ds u c c e s s f u l l y 1 r i 璩r e s e a r c hw o r ko np h o t o n i cc r y s t a lf i b e r s ( p c f ) c o u l db ec a s tb a c kt om o r e t h a nt e ny e a r s c o m p a r i n gt ot r a d i t i o n a lo p t i c a l f i b e r s , p c fg e t ss o m en o v e l p r o p e r t i e ss u c h 舔e n d l e s ss i n g l em o d e ，n o v e ld i s p e r s i o n , h i g hb i r e f r i n g e n t , e t c n o w , t h z p c fh a sb e e na d y n a m i ct o p i ci nt h zw a v e g u i d ed e v i c er e s e a r c h n 坞m e t h o d se m p l o y e dt oa n a l y z et h ef i b e r sm a i n l yi n c l u d ea n a l y t i c a la n d n u m e r i c a lm e t h o d s s i n c et h ec o m p l e x i t yo f t h es t r u c t u r e p c fi sm o s t l yc a l c u l a t e db y n u m e r i c a lm e t h o d s i no u rp a p e r , w ec o m p a r e ds e v e r a ln u m e r i c a lm e t h o d sa n dc h o s e m u l t i p o l em e t h o da s0 1 1 1 m a i nw a yt oa c c e s sa n dd i s c u s sp c f sa c c o r d i n gt ot h e p r o p e r t i e so f p c f ss t r u c t u r e s i nt h i sp a p e r , w ed e s i g n e dan e wk i n do f r e c t a n g u l a rp c fb a s e do nt h et r a d i t i o n a l p c f t h e o r ya n da p p l i c a t i o n , w h i c hd i s p l a y sh i g hb i r e f r i n g e n t , l o wl o s sa n dd i s p e r s i o n , e t c n u m e r i c a lr e s u l t sf r o mm u l t i p o l em e t h o ds h o w e dt h a tt h en e wp c fm a t c ho u r r e q u e s tq u i t ew e l l a f t e ra n a l y z i n gt h ep c f , w ep mf o r w a r das c h e m et of a b r i c a t et h es a m p l ef i b e r a c c o r d i n gt oo u rd e s i g n f i n a l l y , w ee x e c u t et h ef i b e rf a b r i c a t i o nb yp e r f u s i o n t e c h n i c s k e yw o r d s ：t e r a h n r t z ( t h z ) ，p h o t o u i cc r y s t a lf i b e r ( p c f ) ，m u l t i p o l em e t h o d ( m p m ) ， b i r e f r i n g e n t ，l o s s ，d i s p e r s i o n , s a m p l e ，f a b r i c a t i o n 浙江大学硕士学位论文 1 1 太赫兹技术简介 第一章绪论 太赫兹( t e r a h e r t z ) 波【1 l 在电磁波谱中占有一个很特殊的位置，其频率范围 大致为1 0 0g i - - i z - 1 0t h z ( 1t h z = 1 0 1 2h z ) ，如图1 1 所示； t h z 空隙 图1 1 太赫兹在电磁波谱中的位置 ( h z ) 在长波段方向，它与毫米波有重叠；在短波段方向，它与红外线有重叠。 由于其所处的特殊位置，t h z 波具一系列特殊的性质，在频域上，太赫兹处于 宏观经典理论向微观量子理论的过渡区，处于电子学向光子学的过渡。它的量 子能量很低，信噪比很高，频率极宽。它覆盖各种包括蛋白质在内的大分子的 转动和振荡频率。因此，在学术上有很重要的价值，在科学技术上及工业上有 很多很诱人的应用：如信息科学方面的超高速成像信号处理，大容量数据传输； 材料处理，分层成像技术，生物成像；等离子体聚变的诊断；天文学及环境科 学等。同时太赫兹技术还将在国民经济发展、国家安全、反恐方面发挥着重要 作用【2 】。 由于受到t h z 频段器件特征尺寸微小的限制，使得半导体器件及真空电子 器件在原理上难于工作在1t h z 频率以上，另一方面激光器件因为辐射机理( 能 级差太小) 的限制也难于工作在t h z 频段。从而在电磁波谱中，形成一个“太 赫兹空隙”这极大地阻碍了t h z 科学技术的发展。因此，在t h z 辐射的研究 中，包含有极丰富的科学技术问题，等待人们去开发。t h z 科学技术综合了电 子学与光子学的特色，涉及物理学、化学、光学、材料科学、微波毫米波电子 浙江大学硕士学位论文 学等，是一个典型的交叉前沿科学。 由于太赫兹波在科学技术及应用上有着极重要的价值，很多国家都开始大 力开展太赫兹技术研究，目前全世界有约1 0 0 多个研究小组，以美国、欧洲为 主。在亚洲，日本、韩国及台湾已在进行t h z 的研究工作。据2 0 0 5 年1 月1 0 日科技日报报道，日本计划在本世纪初，重点开展的十大科技项目中，第 一项就是太赫兹科学术。在韩国，国立汉城大学及浦项科技大学建立了两个t h z 研究中心。我国在t h z 研究方面已有一定的基础，但起步较晚。 1 2 太赫兹功能器件 太赫兹功能器件主要包括：t f i z 传输波导以及t h z 谐振器等。对于自由空 间的t h z 波可以采用常规的光学技术搭建实验系统平台。为了控制它的传播， 可以利用抛物面镜和超半球硅透镜等光学元器件准直或者汇聚。最近，用硅衬 底研制出的菲涅尔透镜或菲涅尔波带片这种二元光学元件取得了更好的聚焦效 果。 t h z 在波导中的传输可应用于近场n z 波器件、t h z 波互联、t h z 波准光 学腔和实现t h z 波谱的超灵敏测量。已经开展的研究有t h z 金属不锈钢波导， t h z 铁电聚合物( 包层) 波导( p v d f ) ，t h z 塑料带状平面波导，t h z 单模蓝 宝石光纤，以及t h z 光子晶体波导( - - 维、三维) 等。 在t h z 技术中光子晶体主要用来制作一些功能器件，比如；t h z 传输线或 波导，t h z 谐振腔，t h z 偏振器，t h z 滤波器，t f i z 波开关，t h z 波天线，t h z 混频器等。实际上，一些用在光波段和微波毫米波波段的光子晶体技术和方法 同样可以在t h z 波段得到实现。目前，已经取得了一些研究进展：德国半导体 研究所研究了t h z 波在光子晶体中的传播，结果表明，t h z 波在硅材料的二维 光子晶体中能很好地传播，理论和实验相符；德国f r e i b u r g 大学研究人员应用 激光化学蒸汽沉积技术，用a 1 2 0 3 陶瓷材料制作了t h z 波光子晶体；美国圣芭 芭拉大学研究人员研究制作了t h z 波光子晶体谐振腔；日本理化学研究所最近 利用多层约瑟夫结制作出t h z 光子晶体滤波器【3 】。 浙江大学硕士学位论文 1 3 光子晶体光纤简介及其研究现状 光子晶体光纤叼( p c f ) 又称多孔光纤或微结构光纤，其结构如图1 2 所示。 这种光纤的包层是由周期性排布( 周期性尺度为波长的数量级) 在基质中的空 气孔组成的，而纤芯由一个破坏了包层结构周期性的缺陷构成，这个缺陷可以 是石英材料，也可以是空气孔。 图1 2 各种光子晶体光纤嗍 光子晶体光纤按照导光原理可分为带隙波导型光子晶体光纤和全内反射型 ( 折射率引导型) 光子晶体光纤；按照包层空气孔的排布结构可分为三角形， 蜂窝形，正方形，矩形，环形，圆形等；按照所用材料可分为石英，塑料，其 他材料等。 带隙波导型光子晶体光纤【6 】的结构如图l - 3 所示，六边型或蜂窝状的晶格结 构存在完全的二维带隙，即在一定频率范围内的光无法在横向传输。中间引人 一个大的空气孔破坏包层光子晶体的周期性结构，就会在禁带中产生局域态， p c f 可以利用这个局域态沿着光纤方向导波。这种p c f 对空气孔的大小和排列 精度要求很严格。只有当孔直径不小于空间距的4 0 时，禁带才会出现【7 1 。 浙江大学硕士学位论文 图1 , 3 带隙波导型光子晶体光纤 全内反射型光子晶体光纤 s - 1o 】的结构如图1 4 所示，这种结构的光纤的导光 机制类似于传统光纤的全反射原理，它利用中心缺陷区和缺陷区外周期性结构 区之间的有效折射率差将光子局限在高折射率纤芯中，这种光纤对空气孔排列 的精确程度要求较低，也不要求大直径的气孔，因此实现起来相对简单。 篇篱器篡i 荔、 5o ；骚 懋oq 。，、 0q ”q oqq 9 一qqqq o 一q ，j ，0 ；r “q “。“0 t 。 + q ，u x 尊q qq 。q ；q 。0 一o0 ；q j 弋”o q ；qq0 登! 曼；i 登 图1 4 全内反射型光子晶体光纤 浙江大学硕士学位论文 传统光纤存在着截止波长，只有当传输光的波长大于截止波长时，才有可 能实现单模传输，与普通光纤不同的是，光子晶体光纤不存在截止波长，可以 在很宽的波长范围内实现单模传输【l l 】。这是因为包层的有效折射率会随着波长 的变化而变化，波长变短时，模式电场的分布更加集中于纤芯，延伸入包层的 部分减少，从而提高了包层的有效折射率，减少了折射率差，这抵消了普通单 模光纤中当波长降低时出现多模现象的趋势。 光子晶体光纤允许把纤芯做的很大。英国南安普顿大学和b a t h 大学开发的 大模面积单模光子晶体光纠1 2 】包层直径为1 8 0p m ，气孔直径为1 2t u n ，间距为 9 7t u n ，芯径为2 2 5p m 。光纤大约可以在大于4 5 8n m 的波长范围内保持单模 低损耗的传输，其模面积是传统光纤的1 0 倍，可以有效的用于高功率传输而不 受非线性效应的影响。 灵活的几何结构使得光子晶体光纤极易获得较高的双折射特性。目前高双 折射按照其实现的方式可以分为两类；一类。采用的是在纤芯附近引入局部非 对称性0 3 1 6 1 ；另一类采用光纤包层晶格本身的各向异性特性 1 7 2 ”。图1 5 是两 种典型的高双折射光子晶体光纤的结构： 图1 5 两种典型的高双折射光子晶体光纤1 1 ” 1 4t h z 光子晶体光纤 普通的光纤大都采用石英材料，然而太赫兹波在石英中的衰减很大无法透 过，因此常规的石英纤芯光子晶体光纤难以作为太赫兹波导。但是研究人员发 现塑料材料在太赫兹频段下，具有损耗低，色散小的优异特性 2 2 1 ，是制作光子 浙江大学硕士学位论文 晶体光纤材料的很好选择。另外，它具有很好的柔韧性，熔化温度也比石英低 的多，所以相比于石英材料更容易加工，不宜折断，大大的降低制作工艺的难 度。 同时相比于其它太赫兹波导，由塑料材料制成的光子晶体光纤具有相对较 高的偏振保持特性和相对较低的材料吸收，例如聚四氟乙烯( t e f l o n ) 制作的光 子晶体光纤1 在1t h z 的损耗为o 3g i l l 1 ；高密度聚乙烯( h d p e ) 光子晶体光 纤 2 4 1 在0 1 3t h z 波段损耗小于lc m 1 ；而对于普通的共面传输线【2 5 】来说，它 在1 t h z 时的损耗为1 8c m 一。 1 5 国内外研究现状 图1 6 为韩国浦项科技大学研究小组2 0 0 2 年在a p p l i e dp h y s i c sl e t t e r s 中报 道的在低损耗太赫兹波导的研究中取得了突破性成果嘲。其中左图为塑料光子 晶体光纤的截面结构示意图，右图为lt h z 时基模的场分布图。所选用的材料 为高密度聚乙烯( h d p e ) 空心管和实心棒。实验中，该塑料光子晶体光纤在 o 1 3t h z 下，能有效地传输t h z 脉冲，高于0 6t h z 时，测得损耗和群速度色 散分别小于o 5c m 1 和0 3p s t h zc m ，展示了低损耗和相对低色散的特性1 2 6 1 。 图1 6 韩国浦项科技大学研制的高密度聚乙烯( h d p e ) 塑料光子晶体光纤i 矧 同年日本分子科学学会也研究出用于传输太赫兹波的塑料光子晶体光纤， 浙江大学硕士学位论文 结构如图1 7 所示叫。所不同的是他们选用了聚四氟乙烯( t e f l o n ) 材料，这种 材料具有很高的延展性、很强的有效极化保持特性并且这种材料很容易获得。 实验测得这种塑料光子晶体光纤的损耗低至o 1 2c m 1 ，可以实现长距离的传输， 同时实验证明相比于金属波导它具有很好的极化保持性。 图1 7 日本分子科学学会研制的聚四氟乙烯( t e f l o n ) p c f t 划 1 6p c f 数值计算方法比较 当我们设计一种新结构的光子晶体光纤时，需要对其特性进行理论上的计 算，模拟其在各种条件下的性能，预测光子晶体光纤各种效应产生的条件、遵 循的规律和限定的范围及阈值等，这就需要一种切实可行的模拟计算方法。但 是，如何可靠、精确地设计和预测光子晶体光纤的传输特性现在还没有一个很 完善的解析模型2 7 】，所以目前对光子晶体光纤进行计算的方法都属于数值方法。 下面分别对几种常用的数值计算方法做一下简单的介绍： 时域有限差分( f d t d ) 法：它以差分原理为基础，直接把带有时间变化的 麦克斯韦方程组在y 曲氏网格中转化为差分方程，在一定体积内和一段时间上 对连续电磁场数据取样。采用这种方法可以直接在数值空间中模拟电磁波的传 播以及它与物体的相互作用过程，有效地应用于设计特定色散和偏振特性的光 子晶体光纤1 2 引。但是这种方法是以迭代为基础的，精确度和时间消耗是一对矛 盾，计算稍复杂的结构时相当耗时，并且无法计算某些特定参数如损耗等。 有限元法：通过将具体问题化为等价的泛函形式来求解，用这种方法可以 灵活地划分网格，而且数值模拟计算比较精确。有限元法可用于横截面几何形 状相对来说比较复杂的光子晶体光纤，应用这种方法可以对光纤的偏振特性和 浙江大学硕士学位论文 色散特性进行很好的阐述。这种方法的缺点是计算存储量和运算量较大，建模 和计算都相当耗时。 多极法( m u l t i p o l em e t h o d ) ：多极法由t p w h i t e ，b t k u h l m e y 等人在2 0 0 2 年提出【躺”，其主要思想是将每个空气孔周围的场分量用傅立叶一贝塞尔函数 展开，并把这些函数联立，加入边界条件，组成一个方程组。通过寻找系统矩 阵行列式的零点来确定传播常数。这种方法适合于快速计算由圆柱形空气孔构 成的微结构光纤，可以同时获得模式传播常数的实部和虚部，利用其实部可以 计算色散系数、群速度和双折射，而利用虚部可以计算有限包层空气孔情况下 的模式损耗，并且可以计算折射率传导型的实芯p c f 或空芯的光子带隙型p c f 的模式特性及损耗；利用这种方法可以根据设定的波长求得其传播常数。因此， 多极法是一种对p c f 特性进行模拟的有效而快捷的方法。 1 7 课题的研究意义 现有的n z 实验系统需要较多的光学器件来控制波的传输方向，造成系统 过于庞大不易移动，同时损耗也较大，加之在波与器件连接处和在器件中传输 同样会造成能量的损耗，给本来已经很微弱的波能量带来不必要的浪费。而到 目前为止，对太赫兹的研究工作主要集中在太赫兹源，探测技术以及应用方面， 涉及到太赫兹功能器件的研究相对较少。 在光子晶体光纤方面，由于结构的灵活性以及材料选择的灵活性，使得光 子晶体光纤能够在很宽的频率范围内实现单模传输，能够对特定频率的电磁波 实现低损耗和低色散，并且能以特定的结构实现高双折射；由于双折射主要是 由几何双折射引起的，其双折射具有很大的稳定性。 另一方面，无论是石英还是塑料光子晶体光纤的制作，都有费时费力、过 程复杂、成本高、产量小和光纤长度短等问题。 综合以上三方面原因，本文提出了具有低损耗，低色散和高双折射特性的 一种新型塑料光子晶体光纤结构，并对其在t h z 波段的传播特性进行了数值分 析，与此同时，对采用钻孔法和模具灌注法制作塑料光子晶体光纤进行了探索 性的研究。这种太赫兹器件在制作t h z 波滤波器、波导、祸合器等功能器件方 面具有潜在的应用价值。 浙江大学硕士学位论文 1 8 论文结构 第一章：绪论。简要介绍了t h z 技术及其研究现状，以及后面各章的研究内容。 第二章：多极法基础。介绍了多极法的理论推导过程，对多极法理论更好的理 解对我们后期的数值模拟有很大帮助。 第三章：仿真程序设计。运用多极法的理论结合m a t l a b 编程环境，设计并编写 仿真程序，利用仿真程序对文献上的结构进行计算并与给出的结果对 照，验证程序的正确性。 第四章：t h z 塑料光子晶体光纤的模拟。设计了一种可用作t h z 波导的塑料光 子晶体光纤结构，并对其性能和参数进行了模拟计算。 第五章：光子晶体光纤样品制作。介绍了传统光子晶体光纤的制作方法，提出 了制作t h z 光子晶体光纤的方案，并将方案付诸实现，制作出光纤的 样品。 第六章：全文总结和展望。 浙江大学硕士学位论文 第二章多极法基础 2 1 多极法的介绍 多极法的理论依据最早由r a y l e i g h 在1 9 8 2 年提出，t p w h i t e 等人将它 引入到光子晶体光纤的色散特性及损耗特性的计算2 ”。这种方法适合于计算 圆柱型空气孔构成的光子晶体光纤，可以在给定输入波长的情况下同时获得模 式传播常数及其有效折射率，o 的实部和虚部，利用实部可以计算色散d 和 群速度v t ，利用其虚部可以计算模式损耗。下面几节我们将对多极法的理论 推导过程p o 】进行详细的讲述，对多极法理论更好的理解会对我们后期的数值模 拟有很大帮助。 2 2 数学知识准备 图2 1 给出的是理想光纤模型的截面图( 即x y 平面) ，假设理想光纤沿z 轴无限j 毛伸，其基质材料是二氧化硅( 折射率为k ) ，沿轴向有c ( 以为有限 值) 个贯通的气孔，分别以第i 个气孔标记，气孔内的折射率分别为飓，直径分 别为4 ，气孔的中心记为q 。 图2 1 理想光纤截面图，实线标出的是物理边界，虚线标出的是收敛域 浙江大学硕士学位论文 为了使问题简化，我们要先从简单的情况开始考虑。为此，假设甩。= l ，所 有的气孔直径都为d ，气孔呈六边形排列，且气孔中心间距为以。，= 心是基质 与包层的边界， r 的区域是基质外的包层区，其折射率为，在简化计算 时设n o = l ，模拟光纤在空气或者真空中的状态( 实际情况下是复数) 。多极 法能够处理包层为任何介质的情况，只是此时基质和包层的折射率都是复数， 计算非常复杂。 2 2 1 坐标变换 理论推导中需要用到以下三种坐标变换【3 2 】： 1 一个圆柱，内的有源场向其他圆柱j 内无源场的坐标变换。 假设 硼( k i r j ) e x p i m a r g ( r s ) = y ” a r g ( 巧) 破( 勺) e x p - i ( 厅一m ) a r g ( 吼) ( 2 1 ) 所以在圆柱，处总的场为： 影硼( k i r s ) e x p i r a a r g ( r s ) = 群以( m ) e x p 函a r g ( 耳) ( 2 2 ) 2 包层边界风上的无源场向所有气孔，内无源场的坐标变换。 厶( ，) e x p ( i 枷) = j ( k i r l ) e x p i n a r g ( r i ) ( - 1 ) ”“以一。( k c 1 ) e x p - i ( n - m ) a r g ( c ，) ( 2 3 ) 坐标变换式为； 鬈厶( ，) e x p ( i 棚) = a 。j ( k i r l ) e x p i n a r g ( r 1 ) ( 2 4 ) 3 气孔，内的有源场向包层边界民的有源场的坐标变换。 硼( ) c x p i m a 唱( 巧) 】 = 联1 ( 吩) e x p ( i n a ) j ( k i c l ) e x p - i ( n - m ) a r g ( c ，) ( 2 5 ) 浙江大学硕士学位论文 圆柱，发出的有源场在包层边界民处的坐标变换为； 磁硼( k i q ) e x p i m a r g ( r t ) - - 群7 崩1 ( 硌) e x p ( i p ) ( 2 6 ) 2 2 2 边界条件 设圆柱孔内的折射率为n ，圆柱孔外基质内的折射率为_ ，从而疋和也可 以在局部圆柱坐标下表示成f o u r i e r - b e s s , e l 展开的形式； 霹( ，9 ) = 芝 擘以( 毋) + 砟础( 毋) e x p ( i 枷) ( 2 7 ) 霹( 删) = 圭 群+ 厶( 缈) + 磁础( 虻r ) o x p ( i 聊p ) ( 2 8 ) 其中上标一和+ 分别表示在圆柱内部和外部，哎= ( 瑶一2 ) ”2 是圆柱内外的 波数。定义向量a “= + ，b “= 磁+ ，a “= 鬈 ，b “= 磷 ，用 伽删表示吲和斟 在圆柱边界上，场可以看场是反射波和透射波的叠加。由于m a x w e l l 方程 的线性，场可以写成如下的形式： 五一= f 一五+ + 蠢一b 一 ( 2 9 ) 蠹+ = 良+ 五+ + f + 丘一 ( 2 1 0 ) 其中r 一和r + 是圆柱内部和外部的反射系数矩阵，t 一和r 是透射系数矩 阵。 r + 矩阵可以从边界条件中切向场的连续性得到，所以下一步求场的e 分量。 目分量可以用含有：分量的方程表示为【3 3 1 ： 哳纠= 上k i 俚lr 堡o o 一七刳 ( 2 1 1 ) 矾纠= 吉睁等耐等) 亿功 其中疗是圆柱内外的折射率，偏导数可以由方程( 2 7 ) 和( 2 8 ) 直接得出。推导 浙江大学硕士学位论文 如下： 嘉= 圭 牟厶( 毋) + b = z * h o ( 毋) e x p ( 瑚) 锄 等= 圭 以( 蛭，) 碍+ 兹+ 础( 醢r ) 哎 e x p ( i m o ) 曼o 蔓0 = 圭 厶( 研) + 磷+ 耻( 蛭r ) e x p ( i 埘曰) 砌 o 匆k , = 主 群+ 以( 毋) + 彰+ 卅( 毋) 虻 唧( i 棚) 所以， 易( 啪) = 专眵圭 擘厶( 蛭r ) + 球域( 吩) e x p ( i 埘砂砌 - 七妻 以( 七i r ) 哎+ 卅1 ( k r ) 蛭 e x p ( i t o o ) i ( 2 1 3 ) 局( ，口) = 吉降羔 群厶( 啦) + 磷+ 磷( 蛭r ) e x p ( i m 砂砌 + 勋2 芝 辞以( ，) + 磷趔o ( 砬r ) k e x p ( i 棚) i ( 2 1 4 ) 设圆柱半径为a ，由于边界条件要求边界上的切向电场和切向磁场连续，所 以对每一个确定的m ，有e ( 口，0 ) = 彰( 口，0 ) ，即 一厶( 虻，) + 磁一钟( k ，) = + 厶( r ) + 零，磁( k r ) 简记为 一厶+ 磁一域= 鬈+ 以+ + 峨 ( 2 1 5 ) 同样，由( 口口) = 磁( 口，0 ) 、巧( 岛口) = 露( a ，口) 和巧( 口，口) = 瞄( 以口) 分 别得到其他三个方程： j ：+ b h ：= 砖+ j ：+ b ：h ： q 、6 ) 毒曙( 鬈一厶+ 一峨) i 川一i ( 一嚣虹+ 彰一月：虻) = 毒陪( + 以+ + 以) 砌一七( 鬈+ 露k + + 五。k ) ( 2 1 7 ) 1 3 浙江大学硕士学位论文 毒曙( 群厶+ 一玩) i 肌+ 磋( 鬈一嚣瓦+ 一簖) = 毒曙( 鬈+ 以+ 磁+ 域) i 珊+ 碰( 群+ 嚣k + 磁+ 月：) ( 2 1 8 ) 百先司以求出圆柱内邵的反射矩阵r ，此时设圆枉外入射进圆柱内的场为 憎倒一o ，得： a j ：+ 8 h ：= b s - z + q 1 9 ) 一j 二+ b ：一h 二= b ? h ： q 2 0 ) 专陷( 管厶+ 磁一钣) 砌一七( 群一嚣虻+ 一职虹) = 毒 i 聊壁a 礞+ 联一埘硝+ 簖 ( 2 2 1 ) 毒曙( 鬈一+ 磁一m s ) 沏+ 艇( 砰嚣虻+ 礞一砰巧) = 去 ；脚鲁磁+ 线+ 埘+ n 2 e + 蟛 ( z 2 2 ) 四个方程联立，消去其中的碟+ 和彰+ ，并将鬈和一表示为磷一和蟛的 线性组合的形式： a = r 警一b ：+ r 娑一b ： 鬈一= 砰一砰+ 磷一磁一 ( 2 2 3 ) 式中 墨尹5 去 ( 吐一+ 一略“) ( 定瞄一一簖* ) 一肌2 厶- n 一- 盯。+ 2 r 2 ， 弘去曙善叫 r 竺。= 一刀2 足譬一 群一= 去 ( 蝣舶一+ 一) ( 砭吐肌一略“) 一肌2 厶- n 。- n 。+ 2 r 2 ( 2 2 4 ) 浙江大学硕士学位论文 其中： j ：哦 气= ( 姊。一一吐川 、n 2 0 ：，+ 一。) + ( ，帆峨r ) 2 r ：嘉一) 嘶磁叫 其次求外部反射矩阵彭，令豆。； 墨： = 。，得： j 二= 露j ：+ b 挈h ： a j 二= a ：+ j ：+ b ? h ： 专 i m 鲁群一厶一蜥- 彳 = 专曙( 鬈+ 以+ + 或) 砌如( 群+ 露k + 磁+ 霸雌) 毒曙i j ，l + 蜥定管靠 2 毒 鲁( 笱+ + 睇+ 或) 砌+ k n 。z a 。e * 1 一, + t - 。+ + 礞+ 簖磁) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 联立消去砟和一，并将磁+ 和碟+ 表示为鬈+ 和+ 的线性组合的形式： 彰+ ；置+ + + 墨+ 群+ 彰+ = 8 + 群+ + 墨+ +( 2 3 2 ) 式中： t 砰+ 。荨( 畦一+ 一姊叫、, 一2 0 r 一一) 一朋2 以联眉r 2 ， 牡去陪筹露 婵= 一t 礤 浙江大学硕士学位论文 e + = 毒 ( 畦“一) ( 定吐+ 一略“) 一所2 以联席r 2 ( 2 3 3 ) 其中： 旺：晕j ：h t 席 瓦= ( “一吐。+ ) ( 征吐。+ 一k 2 口。- 。一) + ( 叫玩r ) 2 r = 嘉瞳一定) 嘶k p 叫 - 1 6 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 浙江大学硕士学位论文 2 3 多极法的理论推导 由于在光纤中传播的电场和磁场都满足m a x w e l l l 3 3 1 方程，所以可以将光纤 中传输的矢量形式的的电磁场曰和日分解为沿轴向的分量最、日，和截面内分 量互、目，分解以后的两种场分量相互正交。为了方便描述磁场，令置；z 日， 其中z 是自由空间中的波阻抗。电磁场的每种模式可用传播常数和截面场共 同表示为： b ( r ，护，z ，) = 口( ，0 ) e x p i ( f l z - c o t ) 1( 2 3 7 ) 置( ，以：，f ) = k ( r ，t t ) e x p i ( f l z - c a t ) ( 2 3 8 ) 式中，珊表示角频率，它与真空中波数的关系是口= k c 。传播常数口是复数， 它的虚部表征沿z 轴的衰减。这里，模式的有效折射率与的关系是，k = d k 。 电场和磁场的纵向分量( v = e 或v = s o ：) 都满足亥姆霍兹方程： 2 + ( 七上) 2 i v = 0( 2 3 9 ) 在基质中的t 用表示，即：h = = ( 七2 - p 2 ) “2 。 在气孔中的t 用虹表示，即：t = 磁= ( 七2 砰一2 ) “2 。 在第，个空气孔附近的基质内( 见图2 1 中孔g 附近的虚线标出的部分) ，将 场在局部坐标( 以第，个气孔中心为原点的本地坐标) 下表示为向量的形式： 乃= g ，6 ) = ，一q 。再将电场和磁场在柱坐标下展开成f o 嘣盯- b e s s e l 级数的形式； e ( r ，口) = 芝 厶( ) + 一b 。f f l - i 。0 ( _ ) e x p ( i m o t ) ( 2 4 0 ) 疋( ，口) = 杰 管厶( ) + - - i ( 1 ) l l ( ) e x p ( 咖岛) ( 2 4 1 ) 式中：珑气孔附近基质的折射率 以g ) 第埘阶b e s s c l 函数 日：g ) 第一类第m 阶h a n k e l 函数 ，研分别是以空气孔中心，为圆心，附近基质上点的极坐标值。 露厶( ) 项表示入射进圆柱珀q 电场r 8 ，霹磁( 磁) 项表示由，内的源 - 1 7 - 浙江大学硕士学位论文 向外传播的电场d ”，因此e ；r 日+ d “。 式( 2 4 0 ) ，( 2 4 1 ) 的收敛域在第，个气孔外的圆环，且圆环不能与其他气孔相 交，如图2 1 中区域( a ) 所示。包层r 也同样要满足这个条件，收敛域如图2 1 中区域( d ) 所示。 另一种描述基质中场的方法由w i j n g a a r d 0 4 1 j 畏开n n ，这种方法是将区域中 的电场和磁场写成区域中所有源向外传播的电磁波的叠加，其中由区域外的源 产生的电磁波由厶g ) 表示( 因为厶g ) 的值是有限大的，所以可以表示无源 波) ，区域内的源产生的波由础o ) 表示。 电场和磁场的w i j n g a a r d 展开为： e ；艺碟卅( k , r ，1 ) e x p i m a r g ( ，一c ) + 。j o ( k ：，) e x p ( i m o ) ( 2 4 2 ) 巧= 艺硼( k , i r , i ) e x p i m a r g ( ，一q ) + 。厶( r ) e x p ( i m 0 ) ( 2 4 3 ) 上式中每一个m 的级数对应一个在，气孔内的源产生的向外传播的场， 群。厶( ，) e x p ( i 棚) 项代表包层外的源产生的场。 式( 2 4 0 ) 、( 2 4 1 ) 和式( 2 4 2 ) 、( 2 4 3 ) 都是对第，个空气孔附近的基质内场的描 述( 尽管使用的坐标系不同) ，所以式( 2 4 0 ) 和( 2 4 1 ) ，式( 2 4 2 ) 和( 2 4 3 ) 应该分别 相等，即： 卵厶( ) + b 。e t h 。0 ( k ：r z ) e x p ( i m o z ) = 艺霹卅( 如) + 。厶( 婚) e x p ( i m 0 ) ( 2 4 4 ) 群l ( 啪) + b 。, r t h o ( k i r z ) e x p ( i m 8 z ) ：兰彰磁，( ) + 鬈。厶( 即) e x p ( i r a 0 ) ( 2 4 5 ) 消去共同项后，得； 浙江大学硕士学位论文 e a f f j , , ( k ；r 1 ) e x p ( i m # 1 ) = 芝碟卅( ，：) e x p ( i r n o ，) + 。厶( 竹) e x p ( i m o ) ( 2 4 6 ) 锚“ “ 群r t 。心e l 。) x 、i 鸸) = 芝硝硼( ，= ，) e x p ( i 枷j ) + 群。厶( ，) e x p ( 砌臼) ( 2 4 7 ) 舞” “ 由于等式两边的项来自不同的源，因此需要把它们变换到同一个系中，这 个系就是第，个孔，表现在式子中即把_ 的关系变换到的关系，从根本上来说 就是坐标变换【3 2 1 。 下面将坐标从圆柱，变换到圆柱f ( 见图2 1 曲线( b ) 所示) ： 斧以( ) c x p 鹕( ) = 霹硼( 锡) e x p i m a r g ( r j ) ( 2 4 8 ) 由第一节中式( 2 1 ) 和式( 2 2 ) ，变换关系式为： 铲= 砩睇 ( 2 4 9 ) 戤= 月2 ( ) e x p h 疗一聊) a r g ( 勺) ( 2 5 0 ) 其中：勺= 勺一q 引入记号a 印= 舻 代表向量，h 9 = 砩 代表矩阵。因此，变换关系式 可以写成： a 功= h o b 目 f 2 5 d 包层外的源产生的场也需要变换到本地坐标( ) ，见图2 i 中曲线( c ) 所示； 砰。以( _ ) e x p 访a 唱( 乃) = 。j 。, ( k ；r ) e x p ( i m o ) ( 2 5 2 ) 由第一节中式( 2 3 ) 和式( 2 4 ) ，变换关系式： a “= j ”a 5 。 ( 2 5 3 ) 其中： , j l o 暖 = ”尸以( k i c t ) e x p e i ( m 一刀) a r g ( c ，) ( 2 5 4 ) 很明显，h 9 和j ”都是固定的矩阵，只随着光纤结构的改变而变化，在这里是 两个常矩阵，可以很快构造出来。 浙江大学硕士学位论文 经过坐标变换，我们得到： ( 2 5 5 ) 同理，磁场满足： n 。n a 盯= 艺a 捌+ a 鲋o = 艺h 。b 婚+ j 加a 肿 ( 2 5 6 ) - l - l l 诅i 柚 从圆柱_ ，到包层附近的坐标变换为： 磷。研1 ( 啦) e x p 【i p 】= 二一z b 。e j h o ( ，：，) c x p 砌a r g ( ) ( 2 5 7 ) 由第一节中式( 2 5 ) 和式( 2 6 ) ，坐标变换公式为； b 8 0 j = j o j b e j 其中： j = 垲 = 以，( 巳) e x p - i o 一肌) a 玛( c ，) ( 2 5 8 ) 包层附近的w i j n g a a r d 展开式( 2 4 2 ) 的第一项可以写成： 釜：。e t ，( 搿) 。x p ( i n s ) = 1 9 s 。 ( 2 6 0 ) 其中： 磁场同样满足： 其中： n 。n 。 b 5 0 = b 5 “= j “b “ ，；l，- l ( 2 6 1 ) 札 艺d “= 彤。研1 ( 硌) e x p ( 瑚) = d 枷 ( 2 6 2 ) ，- ln nn b 8 0 = 2 b x o l - - z j e b x l 。 ，一l，t l ( 2 6 3 ) 电磁波传播到边界上时要满足边界条件，由2 2 2 节可知，气孔附近的场满足： 舯 a o j + 巧 b d h 二厶搿 = o酎 a+ 印 a 心搿 = 酣 a 浙江大学硕士学位论文 b ：= 砖蟊+ 蜉t l 琵= 磷5 鹰l + 醚甓 上式可以表示成矩阵形式： 阱。r r 棚e s 剐矧 简写为： 豆7 = 矗，五， 这些反射系数矩阵都是对角阵的形式。 ( 2 6 5 ) ( 2 6 6 ) 在包层的边界处，有： 掣= 蠢。豆o ( 2 6 7 ) 该式表示包层处的无源场是由所