（电力系统及其自动化专业论文）电力系统多运行方式下概率特征根分析.pdfVIP

关键词：电力系统，概率潮流，概率特征根分析，电力系统稳定器( p s s ) ，特征 根灵敏度。 a b s t r a c t a b s t r a e t i np o w e r s y s t e mo p e r a t i o n ，t h e r ea r em a n y f l u c t u a t i o n sa n dr a n d o mf a c t o r s ， s u c ha st h ev a r i a t i o n so fl o a d p o w e r s a n d g e n e r a t i o n s ，c h a n g e s i nn e t w o r k c o n f i g u r a t i o na n ds y s t e mp a r a m e t e r s ，a sw e l la st h em e a s u r ea n df o r e c a s te l r o r s i n o r d e rt oi m p r o v et h es t a b i l i t yo f p o w e rs y s t e m si nm o r ew i d eo p e r a t i n gc o n d i t i o n ，t h e p r o b a b i l i s t i ct e c h n i q u eh a sb e e na d o p t e dt oe i g e n v a l u ea n a l y s i s a n dp o w e rs y s t e m s t a b i l i z e r ( p s s ) d e s i g n t h ei n i t i a lo p e r a t i n gs t a t eo fg e n e r a t o r sa n dt h ep r o b a b i l i s t i c a t t r i b u t e so fn o d a lv o l t a g e sa r ed e t e r m i n e db yt h ep r o b a b i l i s t i cl o a df l o wc o m p u t a t i o n b a s e do nt h ep r e s e n tp r o b a b i l i s t i ca n a l y s i sm e t h o d s ，s o m ew o r k sh a v eb e e nc a r r i e do u t i nt h i s t h e s i s ，i n c l u d i n g t h e c o m p u t a t i o n a l e r r o r c o m p a r i s o n a n dt h e a l g o r i t h m i m p r o v e m e n t f o r p r o b a b i l i s t i c l o a d f l o w ；t h ea n a l y s i s a n d i m p r o v e m e n t f o r p r o b a b i l i s t i ce i g e n v a l u e ；p s sp a r a m e t e r so p t i m i z a t i o nb yt h en o n l i n e a rp r o g r a m m i n g a p p r o a c h w i t hn o d a lv o l t a g e se x p r e s s e di nt h er e c t a n g u l a rf o r m t h ep r e s e n ts e c o n do r d e r p r o b a b i l i s t i cl o a df l o wc o m p u t a t i o np r o v i d e sa c c u r a t ev o l t a g ee x p e c t a t i o n s ，b u tn o t s a t i s f a c t o r yv o l t a g ec o v a r i a n c e s ，e s p e c i a l l y t h o s ec o v a r i a n c e sr e l a t e dt ot h er e a lp a r to f v o l t a g e s t h ec o r r e c t i o no fv o l t a g ec o v a r i a n c e si s c o n s i d e r e di nt h ec o m p u t a t i o no f p o w e re x p e c t a t i o n s b u tt h el i n e a r i z e dm o d ei s u s e di nt h ec o m p u t a t i o no fv o l t a g e c o v a r i a n c e s ab e t t e ra l g o r i t h mc a l l e da st h ec o m p l e t em o d e lr e t a i n i n gt h es e c o n d o r d e rt e r m si s p r e s e n t e di n t h i st h e s i s ，a n dt h i sa p p r o a c hi s c o m p a r e dw i t hs e v e r a l p r e s e n tm e t h o d sa ti t e r a t i v ee q u a t i o na n dc o m p u t a t i o n a lp r e c i s i o n b a s e do nt h ep v a n di n j e c t i o nc u r v e s ，t h es l a c kn o d a lc u r v ei st a k e ni n t oa c c o u n tb yu s i n ge x t e n d e d j o a c b i a nm a t r i xi nt h ep r e s e n t e da l g o r i t h m i no r d e rt oc o m p a r et h ec o m p u t a t i o n a l e r r o r so fs e v e r a lm o d e l s ，t h ea c c u r a t ee x p e c t a t i o n sa n dc o v a r i a n c e sa r ec a l c u l a t e db y r e p e a t e dd e t e r m i n i s t i cc o m p u t m i o n r e s u l t ss h o wt h a tt h ec o m p l e t em o d e lr e t a i n i n g t h es e c o n do r d e rt e r m si st h em o s ta c c u r a t em o d e l ，a n di tc a l lp r o v i d ea c c u r a t ev o l t a g e e x p e c t a t i o n sa n d c o v a r i a n c c s i nt h e a s p e c t o fp r o b a b i l i s t i c e i g e n v a l u ea n a l y s i s ，t h ep r e c i s i o n s o fs e v e r a l p r o b a b i l i s t i ce i g e n v a l u em o d e l sa r ec o m p a r e d t h ee x p e c t a t i o n sa n dc o v a r i a n c e so f e i g e n v a l u e sa r ec o m p u t e db y t h el i n e a r i z e dm o d e l ，t h es i m p l i f i e ds e c o n do r d e rm o d e l ， j i i - t h es e c o n do r d e rm o d e la n dt h ec o r r e c t i o nt os y s t e mm a t r i xa ，a l la n a l y s i sa r eo nt w o t e s t i n gs y s t e m s r e s u l t so b t a i n e df r o m t h es i m p l i f i e ds e c o n do r d e rc a r lb ea c c e p t a b l e ， t h o u g h t h e r ea r es t i l le r r o r si nt h es t a n d a r dv a r i a n c e so f e i g e n v a l u e s r e s u l t sc a l c u l a t e d f r o mt h es e c o n do r d e rm o d a ls h o u l db em o r ea c c u r a t ei nt h e o r y , b u tt h er e s u l t sa r en o t s om u c ha c c u r a t ea n dt h e c o m p u t a t i o nr e q u i r e m e n t b e c o m e sm u c hm o r e t h e c o m p u t m i o n a lp r e c i s i o no fc o r r e c t i n gt os y s t e mm a t r i xv a r i e sw i t ht h eu s e dt e s t i n g s y s t e m i np r o b a b i l i s t i cp s sd e s i g n ，t w op r o b a b i l i s t i cs e n s i t i v i t yi n d i c e sa r ea p p l i e df o r p s sl o c a t i o na n di n i t i a l p a r a m e t e rv a l u e d e t e r m i n a t i o n t h ep s sp a r a m e t e r s a r e c o o r d i n a t e db yu s i n gt h en o n l i n e a rp r o g r a m m i n gt e c h n i q u e t h eo b j e c t i v ef u n c t i o ni s c o m ! c l o s e do f t h ee x p e c t a t i o n sa n dv a r i a n c e so fa l lt h ed i s s a t i s f a c t o r ye i g e n v a l u e s t h e a p p r o a c hi st e s t e do na ne i g h t - m a c h i n es y s t e m r e s u l t ss h o w t h a tt h ep s sp a r a m e t e r c a r lb ef u r t h e rc o o r d i n a t e db yu s i n gt h en o n l i n e a rp r o g r a m m i n gt e c h n i q u e i n d e xt e r m s ：p o w e rs y s t e m ，p r o b a b i l i s t i cl o a df l o w , p r o b a b i l i s t i ce i g e n v a l u ea n a l y s i s p o w e rs y s t e ms t a b i l i z e r ( p s s ) ，e i g e n v a l u es e n s i t i v i t y i v 1 电力系统稳定性概述 1 绪论 长期以来，电力系统稳定问题一直是一个复杂的研究课题，早期的稳定性问 题仅对远距离输电系统进行研究。随着电力系统的发展，大型互联系统提高了系 统发电和输电的经济性和可靠性，同时也使系统的稳定问题越来越复杂。 电力系统稳定可以概括地定义为电力系统的一种特性，即它能够在正常运行 情况下维持平衡状态，在受到扰动后能够恢复到可容许的平衡状态。在稳定性 评价中，主要关心的是电力系统遭受暂态扰动后的行为。干扰是系统的一个或几 个系统参数或运行参数受到一个或一系列的变化。小扰动指负荷的连续变化，大 扰动包括短路、失去一个电源，或者系统问的联络线。系统对扰动的响应涉及大 量设备，用来保护单个元件的装置对系统变量变化的响应也影响系统特性。然而， 在任何给定的条件下，仅仅是有限数量设备的动态响应是起决定作用的。因此， 可以通过简化处理来着重考虑影响稳定性的主要因素。大体而言，稳定性问题可 以分为功角稳定和电压稳定，其中又分别包括大干扰稳定和小于扰稳定。 功角稳定是指电力系统中互联的同步发电机保持同步的能力。这种稳定问题 还包括对电力系统中固有机电振荡的研究。其基本因素是同步电机的功率输出随 其转子摇摆变化的关系。功角稳定破坏后，发电机问将失去同步，并引起各同步 机的励磁电势相对紊乱，最终会在自动装簧作用下，系统瓦解。 在现代电力系统中，小于扰稳定问题主要是系统缺乏足够的振荡阻尼。对大 型互联系统，涉及到多种振荡模式：本地模式，是一个发电厂的机组与系统其余 机组的摇摆模式，振荡频率为o 8 2 0 h z 2 3 或者1 3 h z 口3 ；区域间模式，是系统 中许多电机为一方对另一方许多电机的摇摆模式，振荡频率为0 , 2 0 8 h z ”，4 。；控 制模式，是与发电机组和其他控制装置相关的模式：扭转模式，是与汽轮发电机 轴系统转动部件相关的模式。 电压稳定是电力系统在额定运行条件下和遭受扰动之后系统中所有母线都 持续地保持可接受电压的能力。当有扰动出现、负荷增加或系统条件改变造成渐 进的、不可控制的电压降落，则系统进入电压不稳定状态。造成不稳定的主要因 素是系统不能满足无功功率的需要。问题的核心通常是在有功功率和无功功率流 过输电网络的感性电抗时所产生的电压降。 1 1 2 电力系统稳定 生研究的意义 随着电力系统的发展，大型互联系统因为可以提高系统的可靠性和经济性而 越发具有吸引力。但多个地区之问的多重互联又诱发许多新的动态问题，使系统 失去稳定性的可能性增大。电力系统中任意点发生故障，都将不同程度上影响整 个电力系统的正常运行。开始往往是电力系统中某元件受到小的干扰，引起正 常工作的破坏，如果不能及时正确地处理，随着时间的推移可能使事故连锁性地 扩大，波及其他元件，导致大量用户停电和设备损坏。近几十年以来世界各地一 系列大事故，尤其是2 0 0 3 年8 月1 4 同美国东部的大停电和8 月2 8 日英国东南部 的停电事故都造成了巨大的经济损失，给人们的生活造成诸多不便。为了提高系 统的稳定性，避免这种事故的发生，稳定性研究成为倍受关注的问题。 1 3 研究背景 1 3 1 概率方法在电力系统中的应用 概率理论已经成功地应用于电力系统分析的许多方面”。，如可靠性评估”“， 概率仿真，网络损耗分析哺3 ，负荷潮流研究和暂态稳定分析 9 - 1 2 。在概率生产模 拟中 1 3 , 1 4 干扰源是负荷的变化和发电机的停役。随机变量由其数字特征来描述。 在概率( 或随机) 潮流研究中h m 粥，节点电压和线路功率的概率特性可由节电注 入量的数字特征来确定，并考虑随机变量之间的彼此相关性”。文献 2 4 基于 负荷运行曲线在理论上计算和分析了电力网络损耗。文献 2 4 ，2 5 3 详细描述了潮 流曲线的统计处理和应用。在概率暂态稳定性分析中，所计及的不确定性可能是 故障类型、故障位置、故障切除现象、系统参数和系统运行方式”_ ”。在文献 9 中，通过对所有故障类型和故障点重复地进行稳定计算来获得系统的暂态稳定性 概率。也可根据不同负荷水平的不确定性因素，估计和验证单机无穷大系统的暂 态稳定性概率1 0 3 。文献 2 6 3 又把概率理论用于状态估计和动态安全估计中。 1 3 2 概率潮流 传统的潮流计算都是给定网络拓扑结构，变压器的变比，节点注入功率等， 因而计算得到的结果也是确定的值。但实际上，由于电力系统的运行方式总是受 到负荷的频繁变化和随机因素的干扰，有必要考虑这些不确定性，即考虑概率特 性，进行概率潮流计算。概率潮流比般潮流计算更能揭示电力系统的运行特性， 为电力系统的规划、可靠性分析及系统的安全分析等提供更有参考价值的信息。 从1 9 7 3 年，b b o r k o w s 砌首先提出了一种直流模型3 求解潮流问题，此模型仅 分析系统的有功功率；此后，尺a l l a n 等把bb o r k o w s k a 的直流模型扩展为交流 模型1 8 , 1 9 3 即不仅考虑系统的有功功率，还分析系统的无功功率；同时，j ed o p a z o 等提出了采用最小二乘法的概率潮流计算方法 2 0 3o 以上这些模型均采用线性化的 假设，给计算结果带来定的误差。a l s o b i e r a j s k i 提出了保留非线性的概率潮流 计算方法呛，该方法需假定各节点的状态变量均为正态分布。 2 2 利用直角坐 标表示的潮流方程，在数学模型中考虑了潮流方程的非线性，求状态变量的协方 差时又结合线性化的因素，使计算精度提高。 - 2 7 3 提出了一种保留二阶项的概率 潮流算法，该方法是 2 2 3 的简化，只求解一次电压作为电压的均值，然后求解 各状态变量的协方差，虽然减小了计算量，但是不能保证计算的准确度。在 2 2 基础上，本文将在求状态变量即节点电压的协方差时进一步考虑潮流方程的非线 性，使得计算精度进一步提高。 1 3 3 概率特征根分析 1 9 7 8 年，概率理论首次被引入到电力系统的动态稳定分析中e 2 8 , 2 93 ，直到1 9 8 2 年也只有较少的几篇相关的文献发表 3 0 , 3 1j 。假定随机变量为正态分布，特征根实 部的概率分布可以由系统随机参数的统计特征来计算。整个系统的稳定概率通过 临界特征根的联合正态分布来计算 2 8 1 。这种方法被扩展到了适应任意分布的随机 变量 2 9 1 文 2 s ，2 9 3 的概率基础在另一篇关于随机潮流的文章 1 5 中做了详 细的阐述。在文献 1 5 ，2 8 ，2 9 3 中所考虑的不确定性是控制器参数的测量、估计 误差和负荷的预测误差。这些不确定因素的统计特性可以通过历史性的负荷预测 和后来的负荷分析获得。在概率动态研究中也可考虑发电机和控制器参数的不确 定性。文献 2 8 ，2 9 在两机系统的应用中考虑了转予角度和发电机阻尼系数的概 率特性。 文献 3 0 3 用动态稳定极限曲线分析了单机无穷大系统的概率稳定性。文献 3 1 用二阶统计量来分析互联系统的动态稳定性，所考虑的干扰因素是负荷和 传输电抗的波动。文献 3 2 j 通过用高阶累加量和g r a m 级数计及了电力系统的 多运行方式，在统计量独立的假设下，得到简化判矩d & d s i 0 的分布。1 9 9 6 年， 文献 3 3 描述了感应电动机的概率动态模型，其中系统的等值矩阵a 。口通过启 发式方法由特征根和特征向量计算。文 3 4 3 采用了二阶灵敏度法、多项式曲线 拟合法及神经网络学习法提高计算精度。 3 5 ，3 6 3 采用混合使用中心矩和累加量 的方法，用g r a m c h a r l i e r 级数确定特征根的概率密度和稳定概率。 3 7 3 利用系 统特征根实部的概率密度函数，完成系统静态稳定性分析。 1 3 4 电力系统参数优化 为了采用电力系统稳定器( p s s ) 提高系统的动态阻尼，有多种电力系统稳 定器的设计方法先后提出，如留数法引、振荡模式分析法 3 93 阻尼转矩分析法h o 。 和特征根灵敏度分析法3 9 , 4 1 ，以及基于h ”最优控制理论的设计方法 4 2 , 4 3 3 ) 数学 规划的方法也被用来对控制器参数进行优化 3 2 , 4 1 , 4 4 3 e 4 1 中以最临界特征根为 目标函数，采用非线性规划技术对控制器的参数就进行优化。该优化过程以一阶 特征根灵敏度为基础，以特征根的平移极限作为约束，得到了较好的收敛特性。 为了同时考虑更多的特征根， 3 2 中描述的目标函数为所有不满足稳定条件特征 根的实部的平方和。 3 2 和 4 1 采用最速下降法求解。上述分析法是基于单一 的系统运行方式，如果要计及不同的系统运行方式，则需要重复同样的计算过程， 计算量也因此而增加。为了在一次计算中考虑多运行方式， 4 5 4 9 在特征根统 计特性的基础上，以正态分布来考虑系统的多运行方式，采用概率灵敏度指标 ( p s i ) 进行p s s 的选址和参数设计调整，并采用非线性规划技术对控制器的参 数进行优化。 1 4 本文的主要内容 论文的第二章在已有的概率潮流基础上，充分考虑潮流算式的非线性，计及 p v 点和平衡点电压曲线的影响，提出了完整二阶概率潮流计算模型，并与已有 概率潮流算法在迭代算式和计算结果方面进行比较分析。第三章考虑系统的多运 行方式，对已有的概率特征根分析方法进行改进，并比较各种计算模型的计算精 度。第四章在概率特征根分析的基础上，用非线性规划技术进行控制器参数的优 化设计，得到更好的收敛特性。第五章对本文做了总结，并对以后的工作做了展 挚。 4 2 概率潮流算法分析 传统的潮流计算是基于确定的系统运行方式和网络参数进行的，而在电力系 统运行过程中，存在着许多随机扰动或不确定因素，例如节点注入功率或网络结 构的变化，以及测量和估计误差，有必要考虑这些不确定因素，即考虑概率特性， 进行概率潮流计算。从1 9 7 3 年，b b o r k o w s k a 首先引出概率潮流7 3 问题至今， 已有大量的文献发表“”伽，并有各种形式的计算模型先后提出，如直流模型1 ， 交流模型 18 , 1 9 采用最4 , - 乘法概率潮流计算模型旺，以上这些模型均采用线性 化模型，给计算结果带来一定的误差。m s o b i e r a j s k i 提出了保留非线性的概率潮 流计算方法阻”，此法需假定各节点的状态变量均为正态分布。 2 2 利用直角坐标 表示的潮流方程，在数学模型中考虑了潮流方程的非线性，使计算精度提高，而 在求节点电压协方差时又结合线性化的因素，使计算精度受到限制。本文在 2 2 的基础上，求状态变量即节点电压方差时进一步考虑潮流方程的非线性，并与已 有的线性化算法和近似二阶算法在电压均值和协方差求取算式及计算精度上进行 比较。 2 1 随机变量的概率表达 21 1 随机变量的数字特征 在很多实际问题中，随机变量可以由其均值和概率分布来描述。 a ) 数学期望：设离散随机变量x 有值x 。，x 2 ，相应的概率为p ( x = x i ) = p ， 其中i = 1 ，2 ，随机变量的数学期望用e x 】或又表示，则有 研朋= x ，p ， ( 2 1 ) 1 = 1 对于密度函数为f ( x ) 的连续随机变量x ，其均值为， n x 】- x f ( x ) d x ( 2 2 ) 一 b 1 方差：离散随机变量的方差0 2 定义为 a 2 = e 【( x 一牙) 2 】= ( x 一j ) 2 p ， ( 2 3 ) i = 1 式中，盯为标准差。很明显，a 2 是一个表示随机变量在均值附近分散程度的 量。 对于连续随机变量x 有 0 2 = 研o 一戈) 2 】= l ( x 一牙) 2 厂( x ) 出 ( 2 4 ) 。o c ) 协方差：设y 是另一个离散随机变量，则x 和y 的协方差c x y 为 c x y = 【( x 一孑) ( y 一歹) 】 ( 2 5 ) 式中，r 是y 的期望。肛】，时为z 的自协方差，式( 2 3 ) 为式( 2 5 ) 的特殊情况。 2 1 2 正态分布 如果连续随机变量工具有概翠砸度幽数 厂( x ) = _ ；亍。一。一牙) 2 7 2 6 2 一 x ( 2 6 ) 0 、z 7 c 则称x 是服从正态分布 5 0 , 5 13 的，简单地描述为( 牙，0 2 ) 。正态分布可由期望和 方差确定。其中期望牙确定密度曲线沿着水平轴线的分布；标准差0 则确定曲线 的形状。正态分布的分布函数可由下式给出 以艇功2 志p 而v 2 。2 咖 娌7 如果i ：0 ，6 = 1 ，即n ( o ，1 ) ，则该分布为标准正态分布。对于正态分布( 牙，0 2 ) ， 可以标准化为 戈= ( 一j ) a ( 2 8 ) 则牙服从n ( o ，1 ) 分布，并且有密度函数 侬) 2 藤1 e 一湖 2 9 和分布函数 p f 岩s ) ：当：f p 一2 2 d u t d u ( 2 1 0 ) p ( 戈s ) = i 旷”2 ( 2 2 1 3 随机向量 由n 个随机变量构成的向量x = x 1 ，x 2 ，x 。 7 叫做h 维随机向量a 如果 聊 是一个二维随机向量，x ，y 是随机变量的值，其分布函数定义为 p ( x x ，y y ) ( 2 1 1 ) 如果x 和y 是连续随机变量，联合概率密度为 f ( x , y ) 2 恕。忐m 0 ，p = 一1 时口 0 。b 则是任意实数。 d ) 如果p = 0 ，则称随机变量x 和y 不相关。 当且仅当 p ( x x ，y y ) = p ( x x ) p ( y _ y ) ( 2 - 1 5 ) 或者 f ( x ，y ) = 正 ) 兀( y ) ( 2 - 1 6 ) 成立时，称随机变量x 和y 独立。 式r h ，f a x ) 和厂v ( y ) 分别是x 和】，分布密度函数。此外，如果x 和y 独立，则a 和y 一定不相关；如果和y 不相关，xs f t 】y 也可能不独立。 2 1 5 随机变量的运算 设x ，y 和z 是随机变量，a 和b 是实数。由期望和方差的定义可得下面公式， 并且适用于随机向量。 a 如果z = a x + b ，则 z = 面+ b ( 2 1 7 a ) c z = a 2 c x ( 2 1 7 b ) 如果a = lg b = 一牙，则式( 2 1 7 b ) 表n x ( = x j ) 具有与x 同样的协方差， 即 c t d f = c x ( 2 1 7 c ) b 如果z i j f + y ，则 z = 牙+ f ( 2 1 8 a ) c z = c x + c y + 2 c x y ( 2 1 8 b ) c 如果z 习盯，则 三：元f + c 。 ( 2 1 9 ) 设xs f n z 分别是7 维随机向量，x = 【x l ，x 2 ，x 。 r ，z = z l ，z 2 ，z 。】7 ， 且z 是x 的非线性函数，表示为 z = f ( x 、 ( 2 2 0 a ) 或 z 女= f a x ) k = l ，2 ，” ( 2 2 0 b ) 则z 的期望和方差可由泰勒展开式近似描述 卜晒+ 莓( 器吒 。2 h l c ? = d c d 7 ( 2 2 1 b ) 式中，d 表示一阶偏导矩阵，c x ，是c 爿的第( f jj ! ) 个元素。式( 2 2 1 a ) ：表i s j ： z 的期望由方差来修正。 8 2 2 概率潮流算法 概率潮流可以形成独立的应用程序，也可以用作更高一级程序的初始状态估 计。这里概率潮流计算主要是为了以后的概率特征根分析提供发电机的初始状态和 各节点电压的均值和协方差，因此下面只计算节点电压的均值和协方差以及节点功 率的均值。 2 2 1 概率潮流模型分析 对一节点的电力系统，采用直角坐标，潮流方程为 f 只= q ( g 。e ，一b , j 一) + z ( g 。z + b 。e ，) 1q j ：，圭( g ，。，一日乃) 一。，量( g 。，+ 岛勺) 2 2 i埤j 口 对于p v 节点，用式( 2 2 3 ) 代替式( 2 2 2 ) 中的第二个算式， k 2 = e ，2 + ，2 ( 2 2 3 ) 其中：只4 - j q ，为节点i 的注入功率，p 。+ 成为节点f 的电压，g 。+ 归f 为导纳阵的 第( f ，) 个元素。 为了方便起见，将式( 2 2 2 ) 和式( 2 2 3 ) 表达成矩阵的形式如下 i ，= f ( x ) = g ( x l x l i 一，x zj _ 一，x 2 x 2 ) ( 2 2 4 ) 将式( 2 2 4 ) 在期望值x 处完整地展开，由于二阶项和零阶项具有相同的形 式，可表示为 y = f ( x ) 4 - i ，i x + f ( z f x ) ( 2 2 5 ) 上式中，一x = x x ，j 耳为均值处的雅克比矩阵。 对( 2 2 5 ) 求期望得 l ，= f ( x ) + c ( c x ) ( 2 2 6 ) 上式中，g ( c x ) = f ( a x ) = g ( c x , ，吒，。) 。 类似于确定性潮流，概率潮流中，电压均值的修正算式为 一f = 可一一一y = - j i 缸 ( 2 2 7 ) - 9 - 其中，y o 为给定节点注入的均值，f 按( 2 2 6 ) 式计算，计及方差对均值的影响。 2 2 1 1 线性化概率潮流模型 根据上述描述，节点注入偏差a y 与电压偏差a x 的线性化关系 a y = 如a x ( 2 2 8 ) 节点注入的协方差为 c y = e ( y i ，) ( y i ，) 7 = e ( a y y 7 )( 2 2 9 ) 将( 2 2 8 ) 代入( 2 2 9 ) 得电压的协方差 c x = i j c r 吲) ” ( 2 3 0 ) 因此，线性化概率潮流的计算模型为 叫二2 纛 ( 23 1 ) 【c x = - ，；c r p 亨) 7 ” 2 2 1 2 近似二阶模型 将式( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 代入式( 2 2 9 ) ，得到 c y = e k a x a x tj ；+ j i x , v f l ( a x ) + f ( a x ) a x 7 峙t + f ( a x ) f 7 ( 心) 一f ( a x ) f ( a x ) 7 ( 2 3 2 ) 整理可得电压的协方差矩阵 c x = ，；i c ，一层【如v 7 ( a x ) + f ( a x ) a x 7 峙t + f ( a x ) f 7 ( x ) + ，( 叫) f ( a x ) 。 ( 吲) 7 ( 2 3 3 ) 式( 2 3 3 ) 中出现了电压的三阶和四阶中心矩，为此，对每一个运行样本， 电压偏差和节点注入偏差的线性化关系为 a x = ，；l ， ( 2 3 4 ) 可将式( 2 3 4 ) 代入式( 2 3 3 ) ，从而求得电压的协方差，这是多种文献采用 的方法，2 7 ，也可按式( 2 ，3 4 ) 求出各运行样本电压的偏差，即由节点注入功率 和p v 电压曲线求得电压的偏差曲线，从而求得电压的3 阶和4 阶中心矩，进而求 得c 。 因此，近似二阶概率潮流的计算模型为式( 2 2 7 ) 、( 2 3 3 ) 和( 2 3 4 ) 。 2 2 1 3 完整二阶模型 完整二阶模型与近似二阶模型具有相同电压迭代算式和电压协方差表达式， 主要区别在于电压偏差的求取不是采用线性化算式，而是采用二阶迭代算式。由 式( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) ，节点注入偏差与电压偏差的关系为 a y = ，i x + f ( a x ) 一a ( c x ) ( 2 3 5 ) 接理得电压偏差的迭代算式 a x “1 = ，辜( y f ( a x ”) + g ( c x ) ) ( 2 3 6 ) 按式( 2 3 6 ) 在各样本下进行迭代，能够准确计算电压的偏差。由于式( 2 3 6 ) 为二阶迭代算式，计算精度较高。又由于对所有样本采用同一吲利用因子表技 术，计算量并不大。 完整二阶概率潮流计算模型为式( 2 2 7 ) 、( 2 3 3 ) 和( 2 3 6 ) 。 2 22 计及平衡点运行曲线的雅可比矩阵， 对节点系统，采用直角坐标形式，潮流方程为2 ( n 一1 ) 个，修正方程也是 2 ( n 1 ) 个，为在电压协方差计算中计及平衡点运行曲线的影响，需增加一个修正 方程式： 嵋= 曙一8 2 一刀= 0 ( 2 3 7 ) 即在传统的雅可比矩阵中增加一行一列，形成扩展的雅可比矩阵 j = o a r , o a q i 班l a r l o e 。 0o 0o 2 2 3 概率潮流的计算步骤 以完整二阶模型为例，计算过程简述如下 - 1 l - 雠一嘲一啡一。 弛一 毗一嘲一监崛一。螂一嘲一雌一雠一。 眦一萌嘲一嘞：监萌 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) 读取原始数据，计算节点注入向量y 的均值和协方差： 形成节点导纳矩阵； 形成并利用稀疏技术存储二阶海森矩阵( 即式( 2 2 5 ) 中f ( x ) 中的系 数) ； 按式( 2 2 6 ) 计算节点注入的均值，求得节点注入均值的最大偏差6 。a x ， 若6 。a x 小于允许误差，则转步骤( 6 ) ； 形成雅可比矩阵，解修正方程( 2 2 7 ) ，计算节点电压。转( 4 ) ； 计算雅可比矩阵的逆阵； 按式( 2 3 6 ) 迭代算式计算各样本的偏差； 按式( 2 3 3 ) 计算电压的协方差矩阵； 按式( 2 2 7 ) 计算节点注入量的均值，求节点注入量均值的最大偏差 6 。，若6 。a x 小于允许误差，则结束计算，否则转步骤( 5 ) ； 2 3 算例分析与结论 2 3 1 算例分析 本文用前述三种模型分别对3 机9 节点系统和8 机2 4 节点系统( 系统参数见 附录2 中表a 2 ，1 ，a 2 2 和表a 2 5 ，a 2 6 ) 进行了概率潮流计算，求得各节点的电 压均值和方差，并对计算结果进行分析比较。 以系统1 ( 3 机9 节点系统) 为例进行分析说明。本文中将节点功率和p v 点 电压的正常运行值作为其均值。各节点功率和p v 电压的标准日运行曲线见文献 2 1 。为了模拟系统的多运行方式，从这些运行曲线生成7 2 0 个运行样本，并进 一步求得节点功率和p v 电压平方的协方差。按三种模型分别对该系统进行概率潮 流计算，结果列于表l 和表2 。仅给出部分结果以说明问题。 为了比较各种模型的计算精度，本文还采用了确定性的方法对这7 2 0 组负荷 样本分别进行潮流计算，并计算电压的均值和协方差，即各表中的准确结果。 表1 为按各种模型计算的电压均值。由表l 可知，各种模型计算的电压均值 相当接近准确值，只是完整二阶模型计算准确度更高。 表2 为按各种模型计算的电压方差。由表2 可知，三种模型所计算的节点电 压虚部的方差在精度上差别不大，实部的方差则有较大差别。其中，线性化模型 ( 模型1 ) 的计算精度较低；近似二阶模型( 模型2 ) 保留了潮流算式中的二阶项， 计算精度有一定的提高，由于求电压偏差时采用线性化的算式，使得个别的计算 结果并没有提高；完整二阶模型( 模型3 ) 保留了潮流算式中的二阶项，同时采用 迭代方法求电压的偏差，计算精度很高，非常接近准确计算所得的电压方差。例 如节点1 的电压实部的方差：按模型l 计算结果为0 1 7 3 5 5 4 e 一0 2 ，模型2 为 0 1 8 8 5 6 9 e 一0 2 ，模型3 为0 2 4 6 6 8 7 e 一0 2 ，准确计算的结果为0 2 4 6 6 9 5 e 一0 2 ，模型 2 比模型1 的计算结果精度略有提高，模型3 的计算结果更接近准确值。 g 图2 13 机系统( 系统1 ) f i g 2 13 - m a c h i n es y s t e m ( s y s t e m1 ) 图2 28 机系统( 系统2 ) f i g 2 2 8 - m a c h i n e s y s t e m ( s y s t e m2 1 1 3 垫型丕兰：! ：兰璺主鎏銮 表2 1 系统1 的节点电压均值 t a b 2 1e x p e c t a t i o n so f n o d a lv o l t a g e si ns y s t e m1 表2 2 系统1 的节点电压自方差 t a b 2 。2s e l f - v a r i a n c e so f n o d a lv o l t a g e si ns y s t e ml 自方差模型l模型2模型3 准确结果 c 1 7 3 5 5 4 e 0 21 8 8 5 6 9 e - 0 2 2 4 6 6 8 7 e - 0 22 4 6 6 9 5 e 0 2 c ，1 1 0 4 7 8 e ，0 1 1 1 3 2 7 4 e - 0 11 1 4 2 1 1 e - 0 11 1 4 2 1 1 e - 0 l c 3 3 2 8 9 3 e 0 33 0 1 4 2 3 e - 0 3 5 9 9 3 1 9 e - 0 35 9 9 3 3 6 e 一0 3 c ，1 4 2 3 5 4 e 0 11 4 5 9 3 0 e - 0 1 1 4 7 5 1 1 e 0 11 4 7 5 1 2 e - 0 l c 。 8 4 6 6 3 2 e 0 39 4 6 9 2 6 e - 0 31 0 4 1 8 8 e _ 0 21 0 4 1 9 5 e - 0 2 c ，1 5 3 4 2 4 e 0 21 5 3 4 0 8 e - 0 21 5 3 9 9 6 e - 0 2 1 5 3 9 9 7 e - 0 2 c ，2 4 2 0 9 3 e 0 22 6 7 0 7 9 e 一0 2 3 0 1 3 4 6 e - 0 23 0 1 3 5 9 e - 0 2 c ，3 0 0 6 1 3 e 0 23 0 1 2 2 l e 0 2 3 0 2 5 5 8 e 一0 23 0 2 5 6 1 e 一0 2 c 1 8 2 8 7 2 e 0 21 7 7 8 7 1 e - 0 22 2 7 3 3 3 e 一0 2 2 2 7 3 3 9 e - 0 2 c ，1 3 6 7 6 4 e 0 11 3 9 3 0 0 e - 0 11 4 0 3 7 7 e 一0 11 4 0 3 7 8 e - 0 l 表2 , 3 系统2 的节点电压均值 t 拈2 3e x p e c t a t i o n so f n o d a lv o l t a g e si ns y s t e m2 电压模型1模型2模型3准确结果 e 1 0 7 5 3 3 3 41 0 7 5 3 3 5 01 0 7 5 1 8 7 3 1 0 7 5 1 8 8 ，：0 5 9 9 7 9 9一0 5 9 9 7 7 7 - 0 6 0 0 2 2 3一0 6 0 0 2 2 0 p ，9 8 7 2 7 5 19 8 7 3 3 4 8 9 8 6 9 4 4 59 8 6 9 4 6 7 ，= ，1 1 1 0 6 2 81 1 1 t 4 2 4- 1 1 1 1 5 3 0 一1 1 1 1 5 2 8 e ，1 o l l 7 8 2 6l - 0 1 1 8 4 5 71 0 1 1 4 6 3 21 0 1 1 4 6 5 0 8 7 4 1 0 20 8 7 4 9 3 5一，0 8 7 5 0 5 3- 0 8 7 5 0 5 2 f 1 0 1 9 3 7 9 5 1 0 1 9 4 5 5 01 0 1 9 0 4 8 4i 0 1 9 0 4 6 九 1 6 6 3 1 5 91 6 6 3 9 9 61 6 6 6 3 8 6 - 1 6 6 6 3 7 6 e 。9 5 2 5 9 6 99 5 2 4 7 6