（基础数学专业论文）广义hilbert空间及l2（r）n上的多通道多分辨分析.pdf

广义h i l b e r t 空间及三2 嘤) 礼上的多通道多分辨分析 余保民 摘要 多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 是小波分析中的一个重要概念， 它给出了构造小波基的一般方法，该方法是1 9 8 8 年由m e y e r 和m a u a t 提出的，并 被众多学者作了深入地研究和推广本文引入了广义h i l b e r t 空问及l 2 ( r 1 n 上的多通 道多分辨分析，研究了它们的一系列重要性质全文共分三章： 第一章从一般的h i l b e r t 空间出发，引入并研究了广义h i l b e r t 空间屠州盯，规 定其中的内积是n n 阶数量矩阵，然后利用h i l b e r tc + 模理论，证明了它是一类 可补的h i l b e r tc l 模 第二章首先引入了l 2 ( r ) “中的多通道多分辨分析的概念，规定其中的尺度函数 为l 2 ( r ) “”中的函数然后通过研究低通滤波器和带通滤波器的关系，证明了对每 一个正交多分辨分析，都能确定一个正交小波，并且这里的正交小波也是口深) 一n 中 的函数最后讨论了这种多分辨分析与多重小波的关系在由多分辨分析构造小波 的过程中，通过低通滤波器求解带通滤波器是关键的一步，与其它文献中不同，在 不加任何限制的条件下，本文利用算子论的方法证明了，每一个矩阵形式的低通滤 波器都可以确定一个矩阵形式的带通滤波器，同时证明了从任意的低通滤波器出发， 都可以确定一个满足特定交换性的低通滤波器，从而使得在考虑问题时，只需要考 虑具有交换性的低通滤波器即可 第三章研究了在紧支撑的条件下，由低通滤波器构造正交尺度函数的必要条件 和充分条件，并给出了具体的例子 关键词h i l b e r tc + 一模；广义h i l b e r t 空间；广义内积；正交；多通道多分辨分 析；尺度函数；正交小波 g e n e r a l i z e dh i l b e r ts p a c e sa n dm u l t i c h a n n e l m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i sf o rl 2 ( r ) “ y ub a _ 0 一m i n a b s t r a c t t h ec o n c e p to fm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，f o r m u l a t e di n1 9 8 8b y m a l l a ta n dm e y e r li sv e r yi m p o r t a n ti nw a v e l e ta n a l y s i s ，w h i c hp r o v i d e san a t u r a l w a yt oc o n s t r u c tw a v e l e tb a s e s t h et h e o r yo fm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i sh a sb e e n d e v e l o p e da n dg e n e r a l i z e db ym a n ya u t h o r s i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t s o fg e n e r a l i z e dh i l b e r ts p a c ea n dm u l t i c h a n n e lm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ( m m r a ) f o r 三2 俾) “，a n dd i s c u s ss o i t l ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so ft h e m t h i sp a p e ri so r g a n i z e d8 s f o l l o w s i nc h a p t e rl 、w ei n t r o d u c ea n di n v e s t i g a t eg e n e r a l i z e dh i l b e r ts p a c ej 纩。v 。吖， w h i c hb a s e do nt h ec o n c e p to fm a t r i x - v a l u e d “i n n e r p r o d u c t ”i nl i g h to fh i l b e r tc 一 m o d u l e ，w es h o wt h a tag e n e r a l i z e dh i l b e r ts p a c ei sa po r t h o g o n a l l yc o m p l e m e n t e d h i l b e r tc m o d u l e i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fam u l t i c h a n n e lm u l t i r e s o h t i o na n a l y s l s a s s o c i a t e dw i t hm m r a ，w ed e f i n es c a l i n gf u n c t i o na n dr e l a t e dw a v e l e ta v e e l e m e n t so fl 2 ( 碡) “s i m i l a rt ot h ec o n v e n t i o n a lm r a ，w es h o wt h a te v e r ym m r a g i v er i s et oa no r t h o g o n a lw a v e l e t t oc o n s t r u c tw a v e l e tf r o ma l lm m r a ，w en e e dt o c o n s t r u c tb a n d p a s sf i l t e rf r o ml o w p a s sf i l t e r ，b yu s i n go p e r a t o r - t h e o r e t i cm e t h o d s ， w ep r o v e dt h ee x i s t e n c eo fb a n d p a s sf i l t e r a l s o ，w ew i l ls e et h a tt h ec o m p o n e n t s p a c e si na nm m r a f o r mam u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i so fm u l t i p l i c i t yf o rl 2 ( r ) i nc h a p t e r3 ，w eg i v es o m en e c e s s a r yc o n d i t i o n sa n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r c o n s t r u c to r t h o g o n a ls c a l i n gf u n c t i o n sf r o ml o w p a s sf i l t e rf o rf i n i t e - l e n g t hm a t r i x - v a l u e df i l t e r f i n a l l y ，s o m ee x a m p l e sa r eg i v e n k e y w o r d s h i l b e r tc + 一m o d u l e ；g e n e r a l i z e dh i l b e r ts p a c e ；g e n e r a l i z e di n n e r p r o d u c t ；o r t h o g o n a l ；m u l t i c h a n n e lm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ；s c a l i n gf u n c t i o n ；o r t h o g - o n a lw a v e l e t i i 学位论文独创性声明 x9 0 0 5 1 8 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者魏象磁：) 2 2 8 。r 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期问论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部1 - 1 或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：皿日期。生址 1 - j - - 刚吾 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 是1 9 8 6 以来由m e y e r ，m a l l a t 与d a u b e c h i e s 等众多 数学家的奠基工作而迅速发展起来的- 1 7 应用数学学科，它是传统f o u r i e r 分析的 改进与发展，也是当前数学家关注和研究的一个热点小波分析不但本身包含有丰 富的数学理论，而且为工程技术领域提供了强有力的方法和工具，在时一频分析、图 象压缩、信号分析、数据处理、信噪过滤、边缘检测等方面都有广泛而有效的应用， 另外，在纯数学如求解偏微分方程中也有着成功的应用 小波分析中的核心问题是构造小波基：通过对某个函数的膨胀和平移生成函数 空间l 2 ( r ) 的基底，这种基底就称为小波基在小波的概念出现以前，h a a r 就使用过 这种思想，他在1 9 1 0 年给出了现在称为h a a r 小波的构造第一个真正的小波基是 由m e y e r 在1 9 8 6 年给出的继m e y e r 之后，l e m a r i e 和b a t t l e 也分别独立地给出 了具有指数衰减特性的小波函数1 9 8 8 年，m a l l a tf 1 ，2 1 把计算机视觉领域中的多分 辨分析的思想引入到小波分析中，与m e y e r 合作提出了多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 的概念，给出了构造正交小波基的一般方法，统一了在此之前提出的各种具 体的小波构造利用多分辨分析，d a u b e c h i e s 3 】构造了具有紧支撑集的正规正交小 波基，证明了具有有限支撑集的正交小波基的存在性框架是小波分析中的一个重 要内容，它是由d u f f i n 与s c h a e f f e rf 4 】在1 9 5 2 年研究非调和f o u i e r 级数时提出的，见 5 1 在1 9 8 0 年代，由于d a u b e c h i e s ，g r a s s m a n n 与m e y e r 等学者的一系列工作【6 - 8 ， 使得框架理论开始被广泛关注框架是正规正交基的一般推广，由于它具有冗余性， 因此具有许多正规正交基所不具备的重要性质b e n e d e t t o 和l if 9 1 在1 9 9 8 年把多分 辨分析作了推广，提出了框架多分辨分析( f r a m em u l t i r e s o l u t i o na n l y s i s ) 的概念，给 出了构造小波框架的一种新方法另外，其他一些学者也在这方面作了许多有用的 工作1 0 _ 1 4 1 由于小波分析的研究是基于泛函分析方法的，其中蕴含着许多算子论 和算子代数的重要思想，把多分辨分析中的这种思想提取出来，h a n 和l a r s o n 等学 者f 1 5 】，以及曹怀信教授等【1 6 ，1 7 】分别独立地把多分辨分析理论推广到抽象h i l b e r t 空间中，得到了一些重要的结果为了更有效地处理一些用矩阵值函数表示的信号， x i a 和s u r e r 等学者f 1 8 ，1 9 1 引入并研究了矩阵值小波和矩阵值多分辨分析的概念， 随后，s l a v a k i s 和y a m a d a 2 0 ，w a l d e n 和s e r r o u k h 【2 1 ，z h a o 和l i u 【2 2 1 等学 者都对这种小波和多分辨分析作了研究，并被f o w l e r 2 3 】等人成功地用于流体运 动规律方面的研究上多分辨分析的另外一种推广是由b a c c h e l l if 2 4 1 等学者在研 究l 2 ( 酞) “中的向量值小波时给出的，为了能反应各分量之间的关系，b a c c h e l l i 等学 者在l 2 ( r ) n 的子空间中引入了多通道多分辨分析的概念，其中的尺度函数和小波不 再是l 2 ( r ) n 中的函数，而是l 2 ( r ) 州n 中的函数但是文 2 4 】中的多通道多分辨分析 并不是通常的l 2 ( r ) 上的多分辨分析的直接推广例如其中的多通道多分辨分析是 一列单向增加的子空间列 k ) 器o ，同时也不要求这些子空间的并在l 2 ( r ) n 中稠密 在本文中，我们对【2 4 】中的多通道多分辨分析进行改造，在添加上这两个条件之后， 具体的研究l 2 ( 瓞) 上的这种多通道多分辨分析 由于尺度函数和小波是l 2 ( r ) 似“中的函数，在分析其性质时，需要用到矩阵 值“内积”的概念在这种内积的定义下，空间驴( r ) 似n 的性质尚不清楚，因此在本 文的第一章，我们将利用h i l b e r tc + 一模理论，对这种矩阵值“内积”、以及这种内积 下空问的性质进行了系统地研究证明了这种空间是一种可补( 有正交补) 的h i l b e r t c + 一模( 一般来说h i l b e r tc + 一模并不一定可补) ，我们称之为广义h i l b e r t 空间在第 二章，我1 f j 弓l 入并系统地讨论了l 2 ( r ) “上的多通道多分辨分析，证明了每一个正交 多通道多分辨分析都能确定一个正交小波在第二章的最后，分析了这种正交小波 与l 2 ( r ) 中的多重小波的关系由于尺度函数在构造正交小波方面起着关键的作用， 因此在本文的第三章，对具有紧支撑的正交尺度函数的构造进行了系统地讨论，给 出了由低通滤波器构造正交尺度函数的必要条件和充分条件，同时给出了一些具体 的例子 2 第一章广义h i l b e r t 空间 1 1 引言 由于小波变换在时、频两域同时具有表征信号的局部特征的能力，使得它在信 号的表示和重构方面有着广泛而成功的应用基于单一小波的膨胀和平移生成的小 波基能够有效地表示和重构诸如音乐、语音和图像等信号，并被众多学者作了研究， 参见【8 ，2 5 1 但是这种小波具有局限性，例如不能同时拥有紧支撑和对称性f 8 ，2 5 1 ， g o o d m a n 等人【2 6 2 8 】建立的多小波理论能够有效地克服这种局限性不论是单一 小波还是多小波，大都建立在函数空间l 2 ( r ) 上，即考虑的是数量值的函数但是现 实中存在着矩阵值信号，例如随时间变动的数字电视信号，这些信号可以用一个矩 阵值函数 r ( t ) = 1 ( ) f 1 2 ( t ) f l n ( ) ，2 l ( t ) 尼2 ( t ) 止。( t ) 厶1 ( ) 厶2 ( ) ，m n ( t ) 三 向( ) 】。n 来表示与数量值函数表示的信号相比，这种信号的变化不但与时间有关，而且在 固定的时刻，信号的各组成成分之间也有着特定的关系，而数量值信号的变化只与 时间有关为了从整体上描述与研究这类矩阵值的信号，就有必要研究由矩阵值函 数组成的空间l 2 ( r ，c m 黼) ，其中c m n 表示复数域c 上的全体m 行亿列矩阵构成的向 量空间，同时为了能够反应这种信号各组成成分之间的联系，就需要在这种空间上 引入一种新的“内积”一矩阵值“内积” 在文1 8 ，1 9 1 中，x i a 在矩阵值信号空间l 2 ( r ，c ) 上引入了矩阵值“内积”的 概念，并以这种内积为工具，建立并研究了l 2 ( r ，c ) 上的矩阵值正交小波和矩阵 值多分辨分析在【2 4 1 中，b a c c h e l l i 在研究向量值小波的多分辨分析时，也独立地引 入了这种矩阵值内积的概念，并且在 2 4 】中，尺度函数和小波函数是l 2 ( 敢) n n 中的 矩阵值函数，它们的正交性也基于这种矩阵值“内积”但是，目前尚未见到对这种内 积意义下空间性质的讨论因此在这一章，我们将利用h i l b e r tc + 模理论，系统地 讨论这种空间的性质 为方便起见，先给出本章要用到的记号用r 和c 表示实数集和复数集，z 表示整 数集，m 表示c 上的全体行列数量矩阵构成的向量空间 3 1 2 h i l b e r tc + 模 h i l b e r tc + 一模是h i l b e r t 空间概念的一般推广，它的基本思想是用c + 一代数代替线 性空间，把内积取值在一个一代数上有关这方面的详细内容可参见文献 2 9 - 3 2 定义1 2 1 设a 是一个有单位元的c + 一代数，彤是一个线性空间，且设a 上的 线性结构与。万是相容的，即 a ( a x ) = ( a a ) x = o ( a z ) ， v a c ，a a ，z 。形 如果存在一个满足以下条件的映射：【) 】：彤彤一4 ， ( 1 ) 【z + y ，z 】= 【z ，z 】+ 【y ，z 】，z ，y ，z 。彩； ( 2 ) 【a x ，y 】= a x ，可】，v a a ，z ，y 。彩； ( 3 ) 【z ，y 】= 【y ，z 】+ ，v z ，y 。形； ( 4 ) k ，z 】0 ，比彤； ( 5 ) 【z ，z 】= 0 兮z = 0 ， 则称( 影， ，】) 为准h i l b e r ta 一模( 右模) ，映射【，】称为4 值内积在形上定义范 数：陋i i = i ，z 】l l 誓2 酞+ ，v z 影如果彤关于是完备的，则称( 彤， ，】) 为4 上的h i l b e r tc + 模或h i l b e r ta 模 定义1 2 2 设( 彤，【，】) 为h i l b e r ta 模如果存在有限集合x l ，z 。) c 彤，使得比彤，都有。= ：1a i x i ，a t a ，则称形是有限生成的如 果存在可数多个元素组成的集合f 甄：i i ，可数) c 彤，使得a 有限线性组合 sa i x i ：s 有限) 在彤中按范数稠密，则称彤是可数生成的 如果a 是有单位元的口一代数，平方可和的a 值序列空间记为 r、 1 2 ( 4 ) ：= 口t 叫：口t a ，。i n ：依范数收敛 ， li e lj 其中的代数运算规定为逐点定义的运算，a 值内积定义为 ) ， 6 t ) 】：= n t 蝣 i c l 可以验证f 2 ( 4 ) 是可数生成的h i l b e r ta 模 定义1 2 3 设a 是一个有单位元的c 叫弋数，彤，纱为两个h i l b e r t 冉模设 日是形到的映射，并且存在映射0 + ：纱一彤，使 【o x ，y 】= 【z ，口+ 可】，v z 。形，y 纱， 4 则称p 是可伴随的算子用2 ( 影，纱) 表示到纱上的全体可伴随算子之集 髟( ，形) 也简记为2 ( ) ，它是一个c 叫弋数可以证明，如果目是可伴随算子( 这 时口+ 也是可伴随算子) ，则p 是有界4 一线性算子，但反之不然以下把可伴随算子简称 为算子 如果目2 ( ，纱) ，定义p 的范数为 j l e l j ：= s u pl j 蚀j | = s u pj i e z ，p z 】| | 1 1 = 1 1 11 1 = 1 1 1 定义1 2 4 设形，纱是h i l b e r tc + 模，u 2 ( 彤，纱) 如果u + 乱= l x ， 讹+ = 1 岁，则称u 是酉算子；如果1 l u z i l = 忙l l ，v x 彤，则称u 是等距算子 定理1 2 1 ( 【3 2 ，命题1 ) 设u 2 ( 彤，纱) ，则 ( 1 ) 孔是等距算子当且仅 u x ，u y 】= x ，可】，v x ，y 彤； ( 2 ) 乱是酉算子当且仅当u 是满等距； ( 3 ) u 是等距算子当且仅当1 1 , + u = 1 彤 注1 2 1 如果存在彤一纱的酉算子，则称形和同构，记为形型纱 一般来说，如果是x 的闭子模，不一定有正交补，即影= o 上不一定 成立，其中上：= 。形： z ，y 】= 0 ，v y ) 是彤的闭子模因此h i l b e r tc + - 模 不一定有正规正交基若彤的闭子模满足形= o 上，则称是可补的 定理1 2 2 ( 【3 2 ，命题2 ) 设9 ：彤一纱是可伴随算子，且具有闭值域，则 ( 1 ) r a n 在纱中可补； ( 2 ) k e r 在形中可补； ( 3 ) 口+ 的值域是闭的 设勿是可补子模，则对任意的z 彤有唯一的分解：x = y + z ，其中可，z 上，这时可定义正交投影p ：万一，zh y 易见，p = p 1 3 广义h i l b e r t 空间 设彤是c 上的可分h i l b e r t 空间，形上的内积和范数分别用( ，) 和表示，用 形m 表示由澎的元素构成的行m 列向量矩阵全体组成的集合，其中 n ，m 为正整数对任意的九= ，g = g i j e 澎x m ，以及任意的q c ， 定义形m 上的加法和数量乘法分别为 h + 9 ：= h 巧+ g 幻 ， a h ：= q 5 容易证明，按上面定义的加法和数量乘法，彤m 是一个线性空间如果a m ，h 形m ，规定a 与 的乘积a h 与通常的数量矩阵的乘积相同 定义1 3 1 在形m 上定义映射 ( ，) 。：乡纩x m 乡汐m m ， ( h ，9 ) h 囟二】1 七，f j v ， v h = 【 d 】，g = 【】纩m ， ， 其中p “= ( h 胁g “) ，称为形m 上的广义内积如果( h ， ) 口= 1 n ，则称九为空 l = l 间劈m 中的单位向量，其中如为阶单位( 数量) 矩阵 定理1 3 1v ，g ，h 夕纩m ，v a ，p c ： ( 1 ) ( 口，+ 励， ) g = q ( ， ) g + p ( g ，h ) g ； ( 2 ) ( ，o ，g + p ) 9 = 5 ( ，g ) g + p ( ，九) 9 ； ( 3 ) ( 9 ，h ) 。= ( ，g ) ：，这里的+ 表示共轭转置； ( 4 ) ( h ， ) 。0 ，即( h ，h ) g 是半正定矩阵，这里的o n 表示阶( 数量) 零矩 阵；( h ，h ) 。= o n 当且仅当h = 0 ，这里的0 表示全部元素为形中的零元构成的向量 矩阵： ( 5 ) ( h ，o ) g = ( o ，九) g = o n 证明设，= 向】，h = h 巧 ，g = g i j ，则( a ，+ 励，h ) 9 的第 行第歹列( 其 中1 t ，j ) 元素p t j 为 p t 2 因此( 1 ) 成立同理可证( 2 ) 和( 5 ) 成立 现设( 9 ，h ) 9 = p u 】，( h ，g ) 9 = h 鼻，则有 m m p 巧= ( 七) = 瓣= 弓t ， k - - 1k = l 因此，( 9 ，h ) g = ( h ，9 ) ； 6 、 七 0 七吼 m 腻 臼+ 七b 七 五 m m 口 = 、 七b啦触 + 七 q m m 令z = ( z 1 ，z 2 ，z | ) + c ，则有 ( ( ， ) gz ，z = z + ( h ，九) 9z = ( 蜘h j n nm 七) z 焉 i = 1j = l 七= 1 七= 1 m 七= 1 0 nm ( x i h 洳q 七) j = 1 七= 1 | n ( 咖御 = 1 & h 让 = 1 j = l 2 jt 曩l k ) 因此( ， ) g 是半正定的如果( ， ) 9 = 0 9 ，即( h ，h ) 9 中的元素全为0 ，特别地， ( h ，h ) 9 对角线上的元素全为0 ，即v 1 i n ， m ( 七，丸。) = k = l 0 2 0 ， 七= 1 从而v1 i n ，1 k m ，h 谤= 0 ，也就是九= 0 定理1 3 2v a ，b m p a t k v f ，g ，h 澎m ，有 ( 1 ) ( a ，+ b g ，h ) 9 = a ( ，h ) 9 + b ( g ，h ) g ； ( 2 ) ( ，a g + b h g = ( ，g ) 9 a + + ( ，h ) 9 b + 口 证明由定理1 3 1 的( 3 ) ，只须证明( a ，h ) g = a ( ，九) 9 设a = 【q 从】，= 厶 m ，h = h i j n m ，则( a ，九) g 的第i 行第歹列的元素为 mln ( o 让厶， f = 1、七= 1 mn ff t jt f = 1 船= 1 n o 址( 凡，) = 。谵 七= 1 ( 几，) ， f = 1 上式刚好是a ( ， ) 9 的第i 行第j 列元素，n i i 七( a i ，九) ，= a ( ，九) 9 口 由于维复欧氏空间c 上的全体有界线性算子之集就是m ，对其上的算子 范数而言，( m ，) 是有单位元的c + 一代数【3 3 ，a 4 1 因此，由定理1 3 1 和定理 1 3 2 可知，( 形n x m ( ，) 9 ) 是准h i l b e r tm j v 一模，广义内积( ，) 9 是形m 上 的m 一值内积 定理1 3 3 ( m ) 9 1 1 1 2 在彩n x m 上定义泛函i | | | 叩：形m r ，v h 形 彳，i l h l l 印= ，则印是形n x m 上的范数 7 汹m 证明由定理1 3 1 ，显然有j j | | 0 p 0 ，爿f - _ n i i h i i o p = 0 兮h = 0 v a c ， | | 口九i i 印= l l ( q 九，q ) g l l v 2 = l i q 瓦( h ， ) 。| 1 1 2 = i q ii l h l l l 2 另外，由m j 上算子范数的定义可知，v h = h 巧 形m ， | f 叩= 圳v 2 ( 1 i s 。u i 。；p i z + c ， ，gz 1 ) 1 7 2 = 戤h 讷 其中z = ( z 1 ，z 2 ，z ) c v ，= 厶 ，g = 9 巧 彤m ，有 i i + g l l 乙= l i s + ，+ g ) 9 i i 而 = s u p i i = 1 1 = 1 s u p l l z l l = i z + 姜c 五鬼+ 吼七，乃k + 毋k ， 1 j z z + i ( 厶+ 乃k + 毋k ) i z l 七= l j 1 j z + 姜c 七，乃七， z + z + 姜c 七，毋七) z + z + l 釜k = ic 吼七，七， z + z + | - l 釜k = ic 吼七，毋七， z 耵l ( 七) lz + z + i ( 毋七) i z jj l i s l i 乙+ s u p i i 。l i = l s u p i i z l l = l fm z if i - 台 = s u p i i = 1 1 = 1 同样地，可 z 恤l k = l 蛳，卜 z + l ( 允蛳) i z j f i k , g j k ) j = s u p 忙0 = 1 m nn| ( 甄风q 易七) k = l | i = 1 j = l 2 ) 2 ) 1 2 + s u p i i z l l = lz 阻l k = 1 “七， z i ( 夕洳厶七) l j z ；a i = 1 2 ) 1 2 x i y j 七 j = 1 2 ) l 2 ，h t l 1 1 洲9 i i 印因此， + g l l 2 、 ( o ，i i 印+ i i g i i 叩) 2 ， 8 2 ) 1 2 + i i g i i 乙， 谢胤 n r = 吼叫 毋巧 正 扛 m 随 州 m 七 乃 z 岸 m 随 巾卜趴 毋 z 触 枞 、 五 汹m 胤 、。l m 胤 p = 吼川 ，f- 七 ( 五 玎r 、d 啪 匿 ，卜引叽器 印惮一嘲 从而叩是范数 则 下面在形m 中引入另外一种范数 定理1 3 4 在形m 中定义泛函f ：彤m r ， h l l f ：= 2 1 2 , v h = 形， ( 1 ) i l h i l ；= t r ( 九，h ) 孽，其中t r 表示矩阵的迹； ( 2 ) l | i i f 是形m 上的范数且( 澎m ，f ) 是c 上的b a n a c h 空间 口 证明( 1 ) 是显然的 v h 形，蹴 l l h i l f o ；i l h l l f = 0 兮h = 0 另外，v h = h 巧 ，g = g i j 澎n x m 以及v q c ，有 , 1 h l l f = h j r - g l l f = i q 巧 2 ) 1 7 2 = i q i u “f 1 h 巧+ g i j l i 2 ) 1 2 ( 1 i i + l | l i )2 ) 1 2 姜i i 巧“2 ) 1 2 + ( 粪姜i i 夕巧“2 ) v 2 = i i h l l f - i - i i g l l f 因此，j f 为形m 中的范数设 k ) 茫，= 乎) ) 是形m 中的任一序列，则 由范数f 的定义可知： h n ) 是形m 中的c a u c h y 列当且仅当v 1 i n ，1 j m ， 妒) 二。是形中的c a u c h y 列由彤的完备性知形m 也是完备的。因 此，( 澎m ，b ) 是c 上的b a n a c h 空间 口 对任意的九e 彬m ，由于( ，h ) 9 是c 上的正算子，从而必存在b m ，使 ( h ， ) 9 = b + b ，见 3 3 3 5 】因此，恤f = ( t r ( h ， ) g ) 1 2 = ( t r b b ) 1 2是b 的 9 m 一 m m 触 试 m m 汹 ，ii、 m 崩 曲 谢 n o b e n i u s 范数 3 6 1 ，而l i h l l 印= l | ( h ，九) 9 l l v 2 = i i b + b i | l 2 = i i b l l 由于有限维空间 中的任意范数都等价【3 3 ，3 6 ，因此| i i i f 和印等价，从而存在o c c ，使 ci l h i f i l h l l 印ci l h l l f ，v h 形m i t - , f f , ，由定理1 3 4 的证明可知， h n ) = l 孑l 在”i i 印下收敛当且仅当在i f 下收敛，当且仅当对任意的1 i n ，l j m ， 在形中收敛由形的完 备性可知，形m 关于| 1 i l o n 是完备的因此有下面的结果 定理1 3 5 ( 形m ，( ，) 口) 是h i l b e r tm 一模 定义1 3 2 称澎m ，( ，) 。) 为m 上的广义h i l b e r t 空i ；q 以下把m 上的广义h i l b e r t 空间简称为广义h i l b e r t 空间，它的闭子模简称为 子空间 由m n - 值内积( ，) 9 和印的定义易知，当n = m = 1 时，广义h i l b e r t 空 间澎m 就是h i l b e r t 空l ；- j 形，而( ，) ，就是形上的内积( ，) ，i | 1 | 印是澎上的范 数= ( ，) ，并且这时也有f = 叩同时易知( ，) 。和印，以及| 1 | l f 都具 有连续性如果形取成c ，则澎m 就成为全体n m 阶数量矩阵的集合 m m 在定义1 3 1 所给出的广义内积的意义下，它成为一广义h i l b e r t 空间，特别 地，其上的范数f 用1 1 f 表示，即 nm1 2 a i f = ( 蚓2 ) = ( t a ) v 2 ，v a = 。巧 m 肿 i = lj = l 由定理1 3 5 上面的讨论，当谈到形x m 中的收敛性时，依范数收敛和依范 数f 是一致的 v a = a 巧 l n ，5 t 2 1 1 a i i 。= s u p l i ，j i a 巧i 由 3 4 ，t h e o r e m2 2 5 】可以得到下面的结论 引理1 3 6 若b 是c + 一代数a 中的正元，则对任意的o a ，o + b a 恻ia * a 定理1 3 7 ( c b s 不等式) 设，g 形m ，( ，9 ) g = p = 囟玎 ，则 ( 1 ) i i p l l 。1 1 1 1 1 fi i g l l f ； ( 2 ) ( ，9 ) 9 ( 9 ，) 9 | l ( 9 ，9 ) 9 l l ( ，) 9 ，l i ( ，9 ) g l | l l ，| l 印l l g l l 印 1 0 证明设，= 【几】，g = 】，则有 m m 蚓= f ( 几，毋七) f ，毋七) l i 七= 1知= 1 m m、1 2 m 、1 2 帆叫毋七i i ( 帆川( i 1 1 2 ) k = l ik = l k = l l i f l l f 蚓i f 从而i | p i | o o i i f l l fi l g l l f 为了证明( 2 ) 式，不妨设f f ( g ，g ) g f f = 1 设a m ，由定 理1 3 6 ，可知 o n ( a g 一，a + g ，) 口 = a + ( g ，g ) ga a + ( g ，) 9 一( ，9 ) ga + ( ，) 9 a + a a + 白，) 9 一( ，g ) 9a + ( f ，) 9 ， 在上式中，令4 = ( 夕，) 9 ，则有( ，夕) 9 白，) 9 i ( 夕，夕) 9 i f ( ，) 9 ，进一步有 f l ( ，g ) 9 i i i l ，l | 印i i g l l 印 口 1 4 正交性 在这一节，我们在广义h i l b e r t 空间中引入正交性的概念，并对这种正交性的性 质进行详细的讨论 定义1 4 1 设肘2 ；- 3 ( h i l b e r t 空间，g ，h 形m ，如果( g ，危) 。： 0 | v ，则称g 和 是正交的，记为g _ l _ h 如果a ，bc 形m ，并且v g a ，y h b ，都 有g 上九，则称a 上b 由定义1 3 1 知，f 和g 正交的充要条件是，的行向量和g 的行向量相互正交 命题1 4 1 设g ，h 乡纩m ，贝u f i g i ( ，g ) 9 l l = o 兮( ，g ) 9 的f r o b e l l i u s 范数= o 命题1 4 2 ( 勾股定理) 设，1 ，2 ，。在形n x m 中两两正交，则有 ( 1 ) ( ，1 + + ，。，1 + + ，n ) 9 = ( ，l ，1 ) 9 + + ( ，n ，。) 9 ； ( 2 ) i i ，- + ，2 + + ，n i i ；= | i ，。i 曙+ | | ，。l i ；+ + | | ，n i l ； i e ( 1 ) 是显然的如果，1 上，2 ，则有 ，l + ，2 l | ；= t r f l + ，2 ，l + ，2 ) ， = t r ( ( ，。，。) ；+ ( ，。，2 ) g ) = i i ，l l 刍+ l l ，。| l ； 再由归纳法可证定理成立 命题1 4 3 ( 平行四边形公式) 设，g 形m ，则有 ( 1 ) ( f + g ，+ g ) 口+ ( f g ，f g ) 9 = 2 ( ( f ，) g + ( g ，g ) 9 ) ； ( 2 ) i ，+ g l | ；+ i l f g l l ；= 2 ( i l ，j j ；+ i l g i j ；) 证明v ，f ，g 形m ，有 口 ( ，+ g ，f + 夕) g = ( ，) g + ( ，夕) 9 + ( g ，) 9 + ( g ，夕) 9 ， ( f g ，f g ) g = ( ，) 擘一( ，g ) 窖一( g ，) 9 + ( g ，9 ) 9 ， 从而 ( ，+ g ，f + g ) g + f g ，f g ) g = 2 ( ( f ，) 9 + ( g ，g ) 9 ) ， 进一步有，i i f + g l l ；+ i i f g 幅= 2 ( i | 刘；+ 恬睡) 口 定义1 4 2 设ac 澎m 非空，a 中的所有有限个向量的m n - 值线性和 喜q 七，七：n ，a 七 4 ，七a ) 的闭包称为由a 张成的m 一线性子空间，简记为s - - p 丽a 设ac 澎m ，令a l ：= f 形m ：f _ l g ，v g a ) 由定理1 3 7 和定理 1 3 2 可知，a 上是m 上的闭子模，并且也是一个广义h i l b e r t 空间 与通常的h i l b e r t 空间一样，可以证明下面的结论 定理1 4 4 设形 彳是一广义h i l b e r t 空间，k 是形 f 的一个闭的非空凸 子集，f 形m ，则存在唯一的k o k ，使得 i l 九一k o l l f = d i s t ( h ，k ) = i n f l i b 一忌l l f ：k k ) 定理1 4 5 设是形。x m 的m 线性闭子空间( 闭子模) ，h 形m ， f o 是使得0 九一，o 怯= d i s t ( h ，) 的唯一向量，贝j j h - f o 上反之，如果，o 使得 一，o 上彳彩，贝1 jh h 一，o i i f = d i s t ( h ，彳衫) 1 2 证明令，。使得l | 尼一，。峙= d i s t ( h ，) ，并设h = 【】，。= 舒 ， 则w - i _ 如】，有 h 一，o i i ；i i h 一( ，o + ，) | i ；= i i ( h f o ) 一，i l 刍 = f | 一，。l l ；一t r ( ( h 一，。，) g + ( ，h - f 。) 夕) + i i f l l ； = i i h - 傩一2 ；鼬 + i i f f l ； 凼此，v f 形m ， n