（基础数学专业论文）几类微分差分方程的定性研究.pdf

摘要 本论文由六章组成，主要讨论几类微分、差分方程的振动性。通 过分析技巧、r i c c a t i 变换、引入参数函数和采用广义平均积分技术， 得到了几类方程解振动的充分条件，其中有些结果是新的，有些是对 相关文献结果的推广和改进。 第一章介绍了本文研究问题的背景及研究进展情况。 第二章讨论了一类二阶非线性时滞微分方程的强迫振动，利用 分析技巧和积分算子得到了方程解振动的几个充分条件，这些结果是 已有文献结果的推广和改进。 第三章讨论了一类具有欧拉形式的中立型微分方程的振动性， 利用不同于已有的相关文献的方法，获得了方程振动的几个条件，并 给出了应用的例子。 第四章利用引入参数函数和平均积分的方法讨论了一类二阶 非线性中立型时滞微分方程的振动性，所得结果是相关文献结果的推 广。 第五章讨论了一类高阶有理型差分方程的全局渐近稳定性，解 决了m r s k u l e n o v i c 和g l a d a s 的一个公开问题，并证明了这类方 程无周期解；然后推广这个结果到更一般的情形。 第六章讨论了一类非线性二阶中立型差分方程解的振动性，利 用分析方法和r i c c a t i 变换研究了方程的振动性，所得结果是相关文 献结果的推广。 关键词：微分方程，差分方程，振动性，中立型方程，有理型差分方 程，周期解 a b s t r a c t t h e t h e s i so fm a s t e r , w h i c hi sc o m p o s e do fs i xc h a p t e r s ，m a i n l y s t u d i e st h eo s c i l l a t i o no fs e v e r a l c l a s s e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n d d i f f e r e n c ee q u a t i o n , a n do b t a i n ss o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h e e x i s t e n c eo fo s c i l l a t o r ys o l u t i o n sb yi n t r o d u c i n ga n a l y s i st e c h n i q u e s , r i c c a t it r a n s f o r m a t i o n , p a r a m e t e ra n dg e n e r a l i z e di n t e g r a la v e r a g i n g t e c h n i q u e s o m eo fo u rr e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e ra r eo r i g i n a lw h i l e o t h e r so n l ye x t e n da n di m p r o v es o m ek n o w nr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ep r o b l e ma n dt h e r e c e n td e v e l o p m e n to ft h er e s e a r c hi nt h i sf i e l d i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s s t h ef o r c e do s c i l l a t i o no ft h es e c o n do r d e rn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n d o b t a i ns o m eg e n e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o n o fs o l u t i o n sb ym a k i n gu s eo fa n a l y s i st e c h n i q u e sa n di n t e g r a lo p e r a t o r s o m eo fr e s u l t sg e n e r a l i z ea n di m p r o v es o m ek n o w nr e s u l t si nt h e l i t e r a t u r e c h a p t e r3d e a l sw i t h t h eo s c i l l a t i o no ft h ef i r s to r d e rn e u t r a l d if f e r e n t i a l e q u a t i o no fe u l e rt y p e t h ek n o w n l i t e r a t u r e p r o v i d e s s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h eo s c i l l a t i o no fa l ls o l u t i o n so fe q u a t i o ni nt h e c a s eo fo _ t o ( 1 2 ) 的振动性，并给出了一些振动性结果。文 7 考虑了方程 ( ，( f ) ，( f ) ) + p ( f ) 厂( 缸r ( f ) ) ) g ( 一( f ) ) = o ，t t o ( 1 3 ) 和 ( ，( f ) ( f ) ) + p ( f ) 厂( 缸f ) ，工( f ( f ) ) ) g ( ，( f ) ) = 0 ，f f o ( 1 4 的振动性。文 8 研究了方程 ，o ) + g ( f ) 厂( 工( f ( f ) ) ) = p ( f ) ，f f o o ( 1 5 ) 几类微分差分方程的定性研究 的振动性。受以上文献启发，我们在第二章利用不同于文【6 】，【7 】的方 法，建立了方程 一 ( 厂( f ) ，( f ) ) + g ( f ) ( j ( r ( f ) ) ) = d f ) ，f f o 邳 ( 1 6 ) 和 ( ，( f ) ，( f ) ) + 留( f ) 厂( 工( f ) ，工( r ( f ) ) ) = d f ) ，t _ t o o ( 1 7 ) 所有解振动的一些充分条件，推广并改进了一些已知结果。 二、一类具有欧拉形式的中立型微分方程的振动性 文 1 2 研究了方程 嘉j ，( f ) + p ( f ) yt - r ) + q ( f ) 少( ) = 0 ，f t o ( 1 8 ) 的振动性。文【1 3 】讨论了下列具有欧拉形式的无界时滞中立型微分方 程的振动性： 丢 z ( f ) 一“( 口f ) + 7 p x ( 肛) = o f 芝t o o ( 1 9 ) 作者利用其相应的“特征方程 ，得到了方程( i 9 ) 所有解振动的一 个充分条件，在第三章，我们利用不同与文【1 3 】的方法研究了方程 丢 工( f ) + 甜( 口f ) + 7 p 工( 肛) = 0 ，f t o o , o t o ( 1 1 1 ) 和 x ( f ) + p ( f ) z ( 万( f ) ) ”+ g ( f ) 厂( 工( z ) ，工( f ( f ) ) ) g ( 工( f ) ) = o ，t _ t o ( 1 1 2 ) 高校在职硕士学位论文 的振动性质，建立了几个振动性定理。本文第四章通过r i c c a t i 变换 讨论了更一般性的二阶非线性微分方程 厂( f ) ( 工( f ) ) 工( ，) + p ( f ) x ( 万( r ) ) + g ( r ) 厂( 工( f ( r ) ) ) g ( ( f ) ) = o , t t o ( 1 1 3 ) ，( r ) ( x ( ，) ) j ( ，) + p ( r ) x ( 艿( f ) ) ，) + g ( ，) 厂( 工( ，) ，工( f ( r ) ) ) g ( x ( ，) ) = o , t t o ( 1 1 4 ) 的解的振动性，所得结果是原有文献结果的推广。 四、一类高阶有理型差分方程的全局渐近稳定性 有理型差分方程是一类典型的非线性差分方程，其定性分析一直 是近来研究的热点，因为许多高于一阶的非线性差分方程定性结果的 原型来源于有理型差分方程的结果。对于三阶有理型差分方程 ，+ t 2=ji：；：；：l：，=o，1，p，!z【o，a。) ( 1 1 5 ) m r s k u l e n o v i c 和g l a d a s 在文 2 8 中提出了一个关于其所有正解 的渐近性与周期性的公开问题。迄今为止未见有文献解决这个问题， 本文第五章首先得到了方程( 1 1 5 ) 解的全局渐近稳定性，并证明其 不存在周期解，解决了这个公开问题，并将这一结果推广到更一般的 情形。 五、一类非线性二阶中立型差分方程解的振动性 文 3 8 给出了方程 ( ，：l 瓴) + 吼( 以一f _ ) = o ，刀= o ，1 2 。 ( 1 1 6 ) 的振动准则。本文第六章研究如下二阶非线性中立型差分方程 ( ( 只+ 只只一。) ) + 吼( 只叶) = o ，刀= o ，1 ，2 ， ( 1 1 7 ) 的振动性，利用分析技巧和引入参数函数的方法，得到了方程( 1 1 7 ) 解振动的若干判别准则，所得结果推广了相关文献的结论。 几类微分差分方程的定性研究 第二章二阶非线性时滞微分方程的强迫振动 2 1 引言 关于二阶时滞微分方程的振动性研究，已有许多成果，参见文献 1 5 及相关参考文献，文 6 考虑了二阶非线性方程 ，o ) + p o ) ( j c ( f ( f ) ) ) g ( ，( f ) ) = o ，t t o ( 2 1 1 ) 和 ，o ) + p ( f ) 厂o ( f ) ，工( r ( f ) ) ) g ( x ( ，”= o ，f f o ( 2 1 2 ) 的振动性，并给出了一些振动性结果文 7 考虑了方程 ( ，( f ) x ( f ) ) + p ( f ) 厂( 工( f ( f ) ) ) g o ) ) = o ，f2 气 ( 2 1 3 ) 和 ( ，( ，) x o ”+ p ( f ) 八工( f ) ，缸f ( f ) ) g ( 工o ) ) = o ，f - t o ( 2 1 4 ) 的振动性。文 8 研究了方程 ，( f ) + g ( f ) 厂( 工( f ( f ) ) ) = d f ) ，t t o o ( 2 1 5 ) 的振动性。受以上文献的启发，本章采用类似文 8 的方法讨论方程 ( ，( f ) z ( f ”+ g ( f ) 厂( 工( r ( f ) ) ) = “，) ，t t o o ( 2 1 6 ) 和 ( ，( f ) ，( f ”+ g ( f ) 厂( 工( f ) ，z ( _ r ( f ) ) ) = p ( f ) ，t t o o ( 2 1 7 ) 的解的振动性。其中f ( f ) f ，f 【乇，) 且j 受ft ) = o o 。 微分方程的一个解称为振动的，如果它具有任意大的零点，否则称之 为非振动的。如果一个方程的所有正常解都是振动的，称它为振动的。 以下我们记，= t o ，佃) 凡= 【0 ，佃) 尺+ = ( o 佃) ，且总假设 高校在职硕士学位论文 ( 4 ) ，c l ( l r ) 当f 寸佃时，有r ( f ) = 志寸佃，且，( r ) 。 2 2 主要结果 为了讨论我们的主要结果，先介绍一个在后面的证明中将要用的 积分算子及冥性质。 假设p e c l ( k ，以) o ， 烈口j ，岛) = 仁c i 【口l ，2 j i 】：o ) 0 ( q ) = ( 岛) = o i = 1 ，2 。对日d ( q ，6 i ) 和 p o ) ，定义积分算子麓如下： a 2 f h ( t ) ，f ) = h 2 0 ) i l o ) p ( f ，口js f 岛，口，f s 包，j = 1 ，2 ( 2 2 1 ) 其中j i l c ( 【f o ，) ) 。容易看出彳2 0 = 1 ，2 ) 是线性的、正的，且满足下列性 质： 鬈似i h , ( t ) + c t 2 h 2 ( t ) ；t ) = c t l 筏( j l l ( f ) ；f ) + 口2 a q b , ( | 1 2 ( f ) ；f ) ； ( 2 2 2 ) 砖( j i l ( f ) ；f ) o 对 ( f ) o ； ( 2 2 3 ) 删咄归一( 2 嚣+ 鬻m 如 ) ， 汜2 4 ) 其中啊，恕c 眠，她j i i c 1 4 , 0 ，) ) ，q ，是实数。 定理2 2 1 假设( 4 ) 成立，h f ( x ) x k o ( xo ) ，假设对于t t o ， 存在常数口。，岛，口2 ，岛使t 口。 o ，工( f ( f ” o 。由假设，可以选 择0 1 , 1 , 1 t o ，使a f ( q ) ，f 2a 。) = 彳( f ( q ) ) f o ，q ( t ) o ， 对于 t e r ( a 。) ，b 。】，p ( f ) o 。从方程( 2 1 6 ) ，容易得9 j ( r ( t ) x ( f ) ) o ，所以 r ( t ) x ( f ) 单调不增。若有r ( t ) x ( f ) o ，t t o 矛盾因此r ( t ) x ( f ) o ，f t o ， 于是由 以愀卅厂( f 肌脚得x 砸净篙工，( f 脚。 现定义国( f ) ：一盟笺2 ，f t o ，那么由方程( 2 1 6 ) 可以得到： 工l t 批) = 志哟吲r ) 警一嚣 ( 2 2 7 ) 由定理条件f ( x ) x _ k o ，得 国v ) 郴1 - - ! - ，c 0 2 ( f ) + 郇) 等一筹 ( 2 2 8 ) 前面已经证明对于f p ( 口。) ，6 l l ，( f ) o ，因此对于f 【f ( 口，) ，b 。】，利用 中值定理有： x ( f ) 一x ( r ( a 1 ) ) = ，0 ) ( f - r ( a i ) ) x ( f ) o r ( d i ) ) ，j e r ( a 1 ) ，鼽】 ( 2 2 9 ) 注意到石( ) o 对- - 于t _ r ( a 。) ，从上式有缸 ) 工( f ) o r ( a 。) ) ，f 【f ( 口。) ，岛】。 即等丽1 加砸恬嘏分，得等譬器以6 l 】o 高校在职硕士学位论文 所以由( 2 2 8 ) 式得 而1 哟+ 幻( r ) 篙导 ( 2 2 1 0 ) 让日( f ) d ( a l ，b t ) 如1 炭砹，在( 2 2 1 0 ) 两边从屯 a i 剑6 l 同取算子 h ，应用( 2 2 4 ) h ( a 。) = ( 6 1 ) = o ，得到 麓哿；r ) 叫( 志协 2 器+ 别删) 却，防哇矧2 ； 一智( 南卅俩k f ，些h ( t ) 畦鬻n ( 2 2 1 1 ， 在( 2 2 1 1 ) 式中让毛专口l ，有 智卜哿叫4 嚣毫甜r 】 ，若x 与y 同号，则八而y ) 与墨夕同号； 厂“j ，) s 印j ，石( j ) 五o ) s 印y ，其峨( 工) ，厶( y ) 满足： 彳( 工) 气 o 工尺，毛为常数；正( 工) x 七2 o o o ) ，屯为常数。 定理2 2 2 假设( 4 ) ，( ) 成立，对于t t o ，存在常数 口。，b 1 ) a 2 ) b 2 l 吏t a 。 r o ，有m ) o ，m o ” o 同定理2 2 1 的证明一样对于t e 【f ( 口) ，2 j i 】，有，( t 矽( d 0 ，( d o 令以f ) ：一坐掣，由方程( 2 1 7 ) 可得 讹) = 去讹m 学一嚣 志毗m 瞅，等一嚣 去嘲m 等 ( 2 2 1 2 ) 从( 2 2 1 2 ) 式类似于定理2 2 1 的证明，司得 a 2 ( k l k 2 荆篙等叫饼嚣畦鬻胁2 ；t 。 与定理假设矛盾。定理证毕。 定理2 2 3 若f c 1 ( ，尺) ，f ( f ) f ，f 7 ( f ) o 且! 受f ( f ) = 佃；f c ( r 只，尺) ， 若x 与y 同号，则，( 工，j ，) 与而y 同号；存在p ( o ，1 ) ，使对每一非减正函数 x ( f ) 有 一砸) ) 哗搿地一 及( 4 ) 成立，则方程( 2 1 7 ) 振动。 证明：若( 2 1 7 ) 存在非振动解，不妨设为最终正解，则存在充分 大的瓦2 气，使得对所有f 瓦，x ( f ) 0 “r ( f ) ) o ，类似于定理2 2 1 的 9 高校在职硕士学位论文 证明，可得对于f 【f ( 口。) ，a 】，有( ，( f ) 工o ”so ，( f ( f ) 0 f f l t o 对方程( 2 1 7 ) 从t 2 蛰| t t 2 积分，得 r ( t 2 ) x ( 乞) ，( f 2 ) ，( f 2 ) 一，( f ) ( f ) = g ( s 矿( 工( s ) ，x ( f ( s ) ) ) 出一e ( s ) 凼 g ( s 矿( 工( s ) ，工( f ( 训凼， 以下完全类似于文献 9 中定理2 的证明，故省略。 例：考虑微分方程 2 3 应用 工”( r ) + m s 访矿( 工( r 一三) = c o s 以r 。 ( 2 3 1 ) 贝l j r ( r ) 9 1 ，g ( ，) = 册s i n 妒( r ) = 卜；，e ( r ) = c o 咄口l = 2 胍+ 等，6 i = 2 一万+ 万 呜= 2 ，历+ 三，6 2 = 2 ，历+ 三，取日( f ) = s i n 2 f c o s 办，p ( f ) = l + s m 2 如，厂( x ) = 2 工 取k = 1 ， 名 有 嗍+ 掰；r n 对充分大的m 有 f 4 ：lg ( r ) ( f ) 一f ( q ) f f ( q ) 1 + s m 2 4 f ：绁 2 4 s i n 24 t c o s 4 t + 2 c 。s 4 t 2d t ；r = 聊p 2 22 r 2 由定2 1 ，那么方程( 2 3 1 ) 的解是振动的。 与， 几类微分差分方程的定性研究 第三章一类具有欧拉形式的中立型微分方程的振动性 3 1 引言 文 1 2 研究了微分方程 导【y o ) + p o ) y o f ) 】+ q ( t ) y ( t o d = o ，f - t o( 3 1 1 ) a t 的振动性。最近文 1 3 1 讨论了下列具有欧拉形式的无界时滞中立型微 分方程： 丢l ( f ) + 戗( 口f ) + 了p 石( 加) = o ，f f o 0 ，o 0 ，0 o 不可能有最终正解。 引理3 2 2 设夕( ，) 是方程( 3 1 2 ) 的一个最终正解，令 z ( f ) = y ( t ) + c y ( a t ) ，那么有： ( a ) z ( f ) 是最终递减函数。 ( b ) 如果c 一1 ，那么z ( f ) of f _ l i i i l z ( f ) = 0 。 f 证明：( a ) 因为 三( f ) = 一旦y ( 肛) s o ( 3 2 1 ) 所以z ( f ) 是最终递减的函数。 ( b ) 如若不然z ( f ) o ，那么j ，( f ) - c y ( a t ) y ( a t ) ，这表明存在一 个正常数m ，使j ，( f ) m ，从( 3 2 1 ) 有 三( f ) s m p( 3 2 2 ) 令l ，i m 。z ( f ) = ，r 。积分( 3 2 2 ) 式有c z ，( j ) 凼一叩c ，得 f _ 7 上 、， j “ l - - z ( t 。) 一m p 1 n s ：，从而有。l i r a zt ) = - - 0 0 ，这与z ( f ) o 矛盾，证毕。 ( c ) 如果z ( f ) o ，此时( 3 2 3 ) ，( 3 2 4 ) 仍然成立，因而有，= 0 ，( c ) 证毕。 l 几类微分差分方程的定性研究 引理3 2 3 假设c l ，州是方程( 3 1 2 ) 的一个最终正解， 令z ( f ) = y ( f ) + 钞( 耐) ，那么下面结论成立。 ( a ) z ( f ) 是递减函数， 烛z ( f ) = 咖 ( 3 2 5 ) a 戥 l 。i m z ( f ) = o ( 3 2 6 ) ( b ) 以下结论是等价的：( i ) ( 3 2 5 ) 成立；( i i ) c 一1 ；( i i i ) 1 一i r a y ( f ) = o 证明：证明类似于文【1 2 】引理6 4 2 的证明，故省略 3 3 主要结果 在这节，我们就c 的不同取值范围建立方程( 3 1 2 ) 的所有解振 动的几个充分条件。主要结果可概述为下面的几个定理。 定理3 3 1 假设c = 一1 ，那么方程 象工( f ) 一石( 口f ) + 7 p 石( 肛) = o ，f - t o o ，o 口， o 是振动的。 证明：此结论从引理3 2 2 或引理3 2 3 可直接得出。 定理3 3 2 假设c 一1 ，o a f l 三，那么方程 ce ( 3 1 2 ) 是振动的。 证明：反设方程( 3 1 2 ) 有一个最终正解j ，( f ) ，令z ( f ) = y ( f ) + 钞( 口f ) ， 那么由引理3 2 2 ，有z ( f ) 。， 嘶，+ ( 一饼唧帕) o 有 ( 3 3 1 ) 注意到叩( f ) 、j泓 y 以 m i l绷 l 一 几类微分差分方程的定性研究 定理3 - 3 3 假设一l s c 。，。 1 e ，那么方 程( 3 1 2 ) 是振动的。 证明：假设方程( 3 1 2 ) 有一个最终正解j ，( f ) ，令z ( f ) = y ( f ) + c y ( a t ) 那么由引理3 2 2 ，有z ( f ) o 因为z ( f ) 三时，不等式( 3 3 2 ) 不可能有最终正解。 p 这就产生了矛盾，从而定理3 3 3 得证。 定理3 - 3 4 假设c 一1 ，且。 西( 耐) c 西( f ) o 矛盾。 定理3 3 4 得证。 3 4 应用 例3 4 1 考虑中立型微分方程 ( j ( r ) 一2 工( 矿钳，2 ，) ) + 詈工e - f r ) = 。，r 2 ( 3 4 1 ) 容易验证方程( 3 4 1 ) 满足定理3 3 2 的条件，因此方程( 3 4 i ) 的所有解振动。易知z ( f ) = s i l l ( 1 i l f ) 就是方程( 3 4 i ) 的一个这样的解。 例3 4 2 考虑中立型微分方程 ( 巾) 一三工( n ) ) + 去工( r ) _ 0 ，啪 ( 3 4 2 ) 容易验证方程( 3 4 2 ) 满足定理3 3 3 的条件，因此方程( 3 4 2 ) 的所有解振动。 几类微分差分方程的定性研究 第四章二阶非线性中立型时滞微分方程的振动准则 4 1 引言 近年来，关于二阶时滞微分方程的研究已得到许多结果 1 9 - 2 3 本章研究如下二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性： 厂o ) 矽( 工o ) ) 【工( f ) + p ( f ) 工( 万( f ) ) ) 】 + g ( f ) 厂( 工( f ( f ) ) ) g ( x o ) ) = o ，t - - t o ( 4 1 1 ) 和 ，o ) 伊( x o ) ) 【x 9 ) + p o ) x ( 万o ) ) ) 】 + 譬( f ) ，( x ( f ) ) ，杖f o ) ) g ( z 。o ) ) = o ，f 气( 4 1 2 ) 以下总假设： i ) p e c ( i ，【o ，l 】) ，i = t o ，) ； i i ) q e c ( t ，r ) ，q ( t ) 不最终恒为零，r = 【0 ，佃) ； i i i ) 厂( f ) c ( 【气，+ ) ，( o + ) ) ，伊( 工) c ( 尺，r ) ，当工o 时，9 ( 工) o ； i v ) g c ( r ，尺) ，且g ( j ，) c o o ) ，c 为一常数： v ) 艿c ( i ，尺) ，万( f ) f ，l i m b ( t ) - - o o ； ) f c ( 1 ，尺) ，卟) o ，f ( f ) 六l ，i m f ( f ) = 4 2 主要结果 定理4 2 1假设i ) 一) 及以下条件成立： ( q ) ，c 1 ( r 尺) ，罢 。( z 。) ，为常数； ( 凰) 存在常数l 0 ，使得当x 0 时，0 s f o d = ( f ，s ) lt s - t 。 ， 存在函数 n ( t ，s ) ，h ( t ，s ) c ( o ，尺) 使得当r 习。时，h ( t ，f ) = o ，当( t , s ) ed o 时，h ( t ，j ) 0 n ( t ，s ) 在d o 上对j 有连续且非正的偏导数， 一掣吡j ) 厕； ( 皿) 存在函数口( f ) c 1 ( 【，o ，佃) ，( 0 佃) ) ，使得 烛却南卜咖蕊州似枷) 一志k 旷器厕广掣 则方程( 4 1 1 ) 振动。 证明：假设工( f ) 是方程( 4 1 1 ) 的一个最终正解。那么存在 f o ，使 得当t - t o 时，x ( f ) o 。再由v ) ，v i ) 知，存在乞 f l ，使得当f f 2 时 工( 万( f ) ) 0 x ( f ( f ) ) o 令 z ( f ) = z ( f ) + p ( f ) 工( 万( f ) ) ( 4 2 1 ) 则z ( ) o ( 4 。2 。2 ) z ( f ) x ( f ) ( 4 2 3 ) 由( 4 i 1 ) 有 ，( f ) 伊( h f ) ) z ( f ) - - - q ( t ) f ( x ( f ( f ) ) g ( 1 0 ) ) 0 f f 2 ，( f ) 缈( 工( f ) 弦( f ) 在k ，佃】上单调递减。下证7 ( f ) o ，t 6 ，毛乞。否则存在f 3 ，使得 z ( f 4 ) _ t 4 时，有 r ( t ) t p ( x ( t ) ) z o ) r ( t 4 ) q ：( x ( t 4 ) ) z 。( f ) 叁一d _ t 6 时， 删 ( 1 训m ) 0 令剐警贮f 7 则 缈。，= 鬻帅巫攀掣侧掣铲 = 鬻盼删t ，等挚名p ，翥然舵岛 由) 知，存在| t 7 ，使得当f 气时，t 7 f ( f ) f 。注意到，( f ) 缈o ( f ) ) z t ) 在k 一) 上单调减少， 因此当f f 。时，有 r ( t ) f p ( x ( t ) ) z ( f ) 厂( f ( f ) ) 烈x ( f ( f ) ) z ( r ( f ) ) 从而 三塑塑 ! 。 r ( t ) c p ( x ( t ) ) z ( f )，( f ( f ) ) 缈( z ( f ( f ) ) ) 因为厂( 工( f ( r ) ) ) 服( r ( r ) ) 1 _ p ( r ( ，) ) z ( f ( r ) ) o ， 所以翱 h ( 币) ) ， 郴器朴叫吣以( f ) ) 一嚣。丽1 州舵r 由( h 2 ) 得： 高校在职硕士学位论文 缈舞邮揶) 【l 啦) 】_ 三意州 所以，设f r 气得 j 扣一缈b 肌，知一 碧胁如) 【l 叫砸) ) 】一嘉州) 凼 由帆) 对上式两边分部积分后移项，并令q ( t ，5 ) = ( ) 一婴以币五得 口i j - c n j t t h ( t , s ) a ( s ) q ( s ) - 删呦】d s s t o h 习，h ( t ，s ) 天丁s 半调减少，双壹t t s t oh 习，伺 f 私柚) 口( 咖【l - 州妫卜而1q 2 瓴s ) 等萨卜 5 击邯，毛) ) i 击即，t o ) l 缈f t , ) 1 注意到当f s f o 时，。 o ，使得当删 o 时， f ( u ，v ) m f ( u ) f ( v ) ，( 制) m f ( u ) f ( v ) ； ( 马) 存在常数口( t ) c 1 ( 【f o ，佃) ，( o ，佃) ) ，使得 烛跏志，“tl 抱沪碧而 2 掣卜 那么方程( 4 1 1 ) 是振动的。 证明：假设x ( f ) 是方程( 4 1 1 ) 的一个非振动解，不失一般性， 设工( f ) 是方程( 4 1 1 ) 的一个最终正解，令z ( f ) 如( 4 2 1 ) 所示，用 与定理4 2 1 的证明中同样的方法可得，存在f 7 ，f 2 ，勺如- t 2 - t o ，使 高校在职硕士学位论文 得下列结论成立： ( 1 ) 兰刍，f 2 时，缸f ) 0 x ( 万( f ” o ，缸r ( f ) ) 0 ； ( 2 ) 当f 乞时，z o ) j ( ，) 0 ； ( 3 ) 当t t s 时，z ( f ) o ( 4 ) 当t 6 时，工o ) ( 1 一p o ) ) z ( f ) o 令缈( d = 砸) 堂黼，晓勺则用与定理4 2 1 类似的方法可得： 国。，= 鬻卅础m r ，等裟俨劬，锈燃贮岛 嚣加) 一妣g ( f 肥p 似f ) ) ) 也嘉矿( f ) 接下来的证法与定理4 2 1 的证明类似，省略。定理4 2 2 证毕。 下面考虑方程( 4 1 2 ) 我们作如下假设： ( 玩) 若x , y 同号，则厂“j ，) 与工，y 同号且 f ( x , y ) s g n y a ( x ) a ( y ) s g n y 其中，石( 曲， ( y ) 满足：z ( 砷k l 0 ，x 足毛为常数； f l ( x ) x 也 o ( x0 ) ，乞为常数。 定理4 2 3 假设i ) 一) 成立，( 皿) ，( 日，) ，( 风) 满足，且 ( ，)存在函数口( f ) c ( 1 。，佃l ( 0 佃) ) 使得 熙脚志许化咖加卅肿，一南卜。一劣而 2 掣卜 鼍斗， 那么方程( 4 1 2 ) 振动。 证明：设川) 是方程( 4 1 2 ) 的非振动解，不妨设为最终正解， 则对充分大的f 有工( f ) 0 ，缸万( f ” 0 ，缸f ( f ) ) o 。令z ( f ) 如( 4 2 1 ) 所示， 几类微分差分方程的定性研究 类似定理4 2 i 可得，( f ) 0 ，z ( f ) ( 1 一p ( f ) ) z ( f ) o 将z ( f ) 代入方程( 4 1 2 ) 得 ，( f ) 烈缸f ) ) z 。o ) = g ( f ) 厂( 缸f ) ) ，r ( f ) ) g o 。( f ) ) 令嘶) - 口帮，则 彩衲= 鬻删叫啪巡铲劬，翥嚣 即 因为勰，( f ( f ) ) 烈x ( r ( t ) d ， 帮瑚渊蝴o - p ) 所以 彩( f ) 鬻删电北) ( 1 叫砸) ) - 嚣丽丽1 嘲， 彩b ) 老砸) 一州咖( 们叫巾) ) ) 一三意 以下证明类似于定理4 2 1 ，故省略，定理证毕。 注：此定理是对文【2 0 】中定理l 的推广和改进。 几类微分差分方程的定性研究 第五章一类高阶有理型差分方程的全局渐近稳定性 5 1 引言 有理型差分方程是一类典型的非线性差分方程，其定性分析一直 是近年来研究的热点，因为许多高于一阶的非线性差分方程定性结果 的原型来源于有理型差分方程的结果。关于这方面的研究，可参见专 著 2 8 2 9 、论文 3 0 一3 7 及相关参考文献，尤其是m r s k u l e n o v i c 和g l a d a s 的专著e 2 8 ，对二阶有理型差分方程进行了系 统的研究和总结。 本章首先考虑下列三阶有理型差分方程 ，c 一t 2：ji：；：；：。：x：。：r；i-；：2；：忑，=：。，l，- ( 5 1 1 ) 其中 p ，g 【0 ) ( 5 2 2 ) 对方程( 5 1 1 ) ，m r s k u l e n o v i c 和g l a d a s 在 2 8 中提出 了一个公开问题：研究方程( 5 1 1 ) 所有正解的渐近性与周期性。 至今，我们未见关于这个问题的任何结果。在本章中我们首先得到了 方程( 5 1 1 ) 的全局渐近稳定性，并证明其不存在周期解，从而解 决了这个公开问题。然后我们将这一结果推广到更一般的情形。 方程( 5 1 1 ) 的平衡点i 满足 孑= ；l ：- = ( 5 1 3 ) 工= 一 0 上) ， 1 + p i + 彝+ i ( 5 1 3 ) 显然存在唯一解i = o 。关于本文中的相关概念，可参见 高校在职硕士学位论文 2 8 - 2 9 或者 3 3 - 3 7 5 2 全局渐近稳定性 在这一节我们将证明方程( 5 1 1 ) 的正平衡点i 是全局渐近稳 定的在给出结果之前，我们需要下面的引理 引理5 2 1假定条件( 5 1 2 ) 成立，那么方程( 5 1 1 ) 的正 平衡点孑是局部渐近稳定的。 证明方程( 5 1 1 ) 关于平衡点i 的线性化方程是 只+ i - o y + 够o i + 够0 2 ，刀= o l ， 由 2 8 ，p 1 2 的注 1 3 1 ，知方程( 5 1 i ) 的正平衡点i 是局 部渐近稳定的。 引理5 2 2 假定条件( 5 1 2 ) 成立，那么方程( 5 1 1 ) 的平衡 点i 是全局及引的。 证明 设 是方程( 5 i i ) 的任一正解。从方程( 5 i 1 ) 有， + 一2i i 丽x n - 2 j i o ，所以，极限! 受，卜。存 在且有限，- 记。l i m x 3 ，。= ，七= 0 ，1 ，2 。对方程( 5 1 1 ) 两边取极限，有 o = l + p + t o ；两， ，2 = 而南雨， ，l ：j l 一 1 + p 乞+ g ，o + 那么 几类微分差分方程的定性研究 ，o ( p + q 1 2 + ，o ) = o ；，i ( p 厶+ g 毛+ ，1 ) = 0 ，易( p ，o + g ，l + ，2 ) = 0 ( 5 2 1 ) 注意到毛，l ，2 ，p ，g o ，o d ) ，从( 5 2 1 ) 有： o = ，i = ，2 = 0 即 墼弓。2 熙焉，i 。溉弓柚2 0 。 m 月 m 所以，l i m x = 0 。 m 由引理5 2 1 ，5 2 2 ，我们得到下列全局渐近稳定性结果。 定理5 2 3 假定条件( 5 1 2 ) 成立，那么方程( 5 1 1 ) 的所有 正解是全局渐近稳定的。 从定理5 2 3 ，我们直接可以得到下面的推论。 推论5 2 4 假定条件( 5 1 2 ) 成立，那么方程( 5 1 1 ) 不存在 正周期解。 显然，定理5 2 3 与推论5 2 1