（基础数学专业论文）差分方程的稳定性和边值问题.pdf

摘要 摘要 本硕士论文主要讨论了差分方程的稳定性和边值问题，包含四部分内容 第一章主要介绍了课题的研究背景、现状和本文的主要工作及其意义第二章通过 引入向量函数上拟单调增的概念，建立了个新的比较定理，揭示了两个向量差分系统与 一个纯量差分系统解的关系，并结合向量李雅普诺夫函数，得到了差分系统的两度量稳定 性的判据，最后给出例子加以验证第三章考虑了差分方程的非线性边值问题，首先将非 线性边值问题转化为初值问题，再利用耦合上下解方法，从而得到了一种广义的单调迭代 方法第四章包含两部分内容，第一部分考察了只含有滞后项的差分方程的非线性边值 问题，主要借助了极大值原理和单调迭代方法，并给出例子加以验证；第二部分利用极大 值原理和耦合上下解方法，证明了同时含有滞后和超前项的泛函差分方程解的存在性问 题 关键词差分方程；稳定性；李雅普诺夫函数；上下解；单调迭代 a b s t r a c t ab s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l yd e a l sw i t hs t a b i l i t ya n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rd i f - f e r e n c ee q u a t i o n sa n di sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，t h eh i s t o r yo ft h es t u d ya b o u ts t a b i l i t ya n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s o fd i f f e r e n c ee q u a t i o ni si n t r o d u c e da c c o m p a n i e dw i t hs o m ep r i n t so fp r e s e n tw o r ka sw e l l a st h ep r a c t i c a la n dt h e o r e t i c a lv a l u e so ft h i sp a p e r i nc h a p t e rt w o ，b ye m p l o y i n gt h ec o n c e p to ft h eu p p e rq u a s i m o n o t o n ei n c r e a s i n go f f u n c t i o n s ，w eg e tan e wc o m p a r i s o nt h e o r e m ，w h i c hc o n n e c t st h es o l u t i o n so ft w of i n i t e d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n das c a l a ro n e c o m b i n gv e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o n s ，w ee s t a b l i s h n e ws t a b i l i t yc r i t e r i ai nt e r m so ft w om e a s u r e sf o rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n da ne x a m p l e i sg i v e nt oi l l u s t r a t et h er e s u l t so b t a i n e d i nc h a p t e rt h r e e ，u s i n gc o u p l e du p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，t r a n s l a t i n gn o n l i n e a r f u n c t i o n a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si n t oi n i t i a lv a l u ep r o b l e m s ，g e n e r a l i z e dm o n o t o n e i t e r a t i v em e t h o df o rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rf u n c t i o n a lb o u n d a r yv a l u ec o n - d i t i o n sa r ed i s c u s s e d c h a p t e rf o u ri sc o m p o s e do ft w os e c t i o n s i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w em a i n l yc o n s i d e r n o n l i n e a rf u n c t i o n a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n so n l y w i t hr e t a r d a t i o nt h r o u g ham a x i m u mp r i n c i p l ea n dm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u ea n d a ne x a m p l ei sg i v e nt ov a l i d a t et h er e s u l t s i nt h es e c o n ds e c t i o n ，f o l l o w i n gt h ef i r s t s e c t i o nu s i n gt h em a x i m u mp r i n c i p l ea n dc o u p l e du p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，w ep r o v e e x i s t e n c er e s u l t sf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n si n v o l v i n gr e t a r d a t i o na n da n t i c i p a t i o n v i ac o n s t r u c t i n gm o n o t o n ei t e r a t i v es e q u e n c e s k e yw o r d s d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ；s t a b i l i t y ；l y a p u n o vf u n c t i o n ；u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ；m o n o t o n ei t e r a t i v e i i - 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名： i 趁墩讶! 日期：墨型年月艺一日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密町o ( 请在以上相应方格内打“”) 作者签名： 导师签名： 日期：4 年 一月l 日 p 翌。矿二月卫日 第l 章引言 第1 章引言 1 1 课题的历史背景与发展 随着科学技术的迅速发展，差分方程理论不仅在工程技术、自动控制以及航天卫星 等尖端领域中有重要作用，而且在计算机科学、人口动态学和金融等领域中也成为不可 缺少的数学工具自然界很多数学模型都是用差分方程来描述的，即使是连续的数学模 型，要使其在实际生活中加以实现，一般也要先离散化，然后再进行计算由于差分方程 所表达的离散系统常常与其相应的连续系统具有完全不同的特性，如在离散系统中可能 会产生混沌现象，许多研究者对其产生了兴趣而其中差分方程的稳定性和边值问题理 论是差分方程理论中的一个重要分支，在差分方程理论中占有重要的地位，近年来，已成 为一个十分热门的话题，其研究方法和研究内容也日益丰富，从线性到非线性，从二阶到 高阶，从一般到时滞和超前型等，例如a c a b a d a 1 5 ，1 6 】考虑了一阶差分方程和二阶差 分方程的非线性边值问题 1 差分方程稳定性的研究 众所周知，稳定性理论是差分方程理论研究中一个基本而又重要的研究课题，许多学 者对其进行了深入而广泛地研究，并取得了大量地研究成果 1 1 3 】特别是上世纪末俄国 数学家l y a p u n o v 在运动稳定性领域作出了创世纪性的成就以来，这一领域取得了长足 的进展j a h e i n e n 6 1 应用差分不等式及比较原理对差分方程零解的稳定性进行了研 究，从而把礼维差分方程零解的稳定性化为纯量差分方程零解的稳定性w b m a 7 1 利 用比较原理和向量l y a p u n o v 函数法给出了两个离散系统的稳定性判据随着研究的深 入和研究现象的变化，李雅普诺夫稳定性又引出了许多新的概念，如部分稳定性，条件稳 定性，最终稳定性，l i p s c h i t z 稳定性等，然而我们又希望能把各种稳定性统一在同一个框 架下，于是m o v c h a n 在1 9 6 0 年提出了两度量稳定性的概念，并很快引起了大家的广泛关 注【8 1 0 】x l i u 8 】利用标量l y a p u n o v 函数法给出了两类差分方程两度量稳定性的判 定准则 但在这些研究中涉及到高维差分系统时，要求，具有拟单调的性质，本文在第二章 中引入了函数的上拟单调增的概念，同样得到了差分系统两度量稳定性的判据，从而丰富 了差分方程的研究结果 河北大学理学硕士学位论文 2 差分方程边值问题的研究 微分方程和时滞微分方程边值问题理论在定性理论中占据着十分重要的地位，同样 差分方程的边值问题理论在定性理论中也具有重要意义众多学者应用了不同的方法 和技巧对其进行了深入细致的研究，例如，临界点理论，不动点理论等已被广泛应用到研 究微分方程和差分方程各种边值问题解的存在性问题上而自1 9 8 5 年，v l a k s m i k a n t - h a m 2 2 1 等人出版了专著非线性方程的单调迭代技术，系统介绍了如何利用上下解方 法和单调迭代技巧来解决非线性微分方程( 组) 的一些问题，不仅可以证明解的存在性， 而且还可以构造单调迭代序列，并在一定条件下序列一致收敛，其极限就是原问题的极值 解从而给出了研究边值问题的另一种有趣而且十分有用的重要工具，例如w z h u a n g f 1 4 研究了下面二阶差分方程的边值问题 ， l 一2 秒( 七一1 ) = f ( k ，y ( 忌) ) ， k 1 ，2 ，t ) = i ， 1 可( o ) = 0 = y ( t + 1 ) ， 用上下解方法证明了解的存在性问题而非线性边值问题包含了周期边值问题，d i r i c h - l e t 边值问题，n e u m a n n 边值问题等其他一些边值问题，因此对他的研究尤为重要 a c a b a d a 1 5 】提出了一阶差分方程的非线性边值问题 ， la y ( k 一1 ) = f ( k ，秒( 忍) ) ， k 1 ，2 ，丁) = i ， ib ( y ( o ) ，y ) = 0 ， 首先应用上下解方法证明了解的存在性问题，然后用单调迭代技巧构造了一致收敛到方 程极值解的两种单调序列，并且比较了两种序列的优化程度2 0 0 1 年，a c a b a d a 【1 6 】又 把上述方法应用到了二阶差分方程上 在这些研究中，大多数都要求，单调或者满足单边l i p s c h i t z 条件t g b h a s k a r 1 9 】 引入了两个单调函数和来研究微分方程的初值问题：= f ( t ，锃) 一g ( t ，铭) ， u ( o ) = u o ， 其中，9 都是关于u 单调非减的，包含了上述两种情况但在这些文章中，只讨论了微 分方程的初值问题，还没有应用到边值问题上，在差分方程中也没有见到类似的结果，因 此本文在第三章中考虑了引入两个单调函数和的差分方程的非线性边值问题 随着计算机科学、数值分析、生物数学、自动控制技术及边缘科学白不断发展，八十 年代末，又提出了时滞差分方程模型，在科学研究和社会实践中出现了很多由时滞差分方 第1 章引言 程描述的具体数学模型，因而对时滞差分方程定性理论的研究吸引了大批学者的广泛兴 趣和高度关注【1 7 ，1 8 】y l z h u 【1 7 】考虑了一阶时滞差分方程的周期边值问题 ， ia y ( k ) = y ( k ，y ( 忌) ，可( 忽一下) ) ，k o ，2 ，t 一1 ) = i ， 1 秒( o ) = 可( t ) ， 首先用上下解方法证明了线性时滞差分方程解的存在唯一性问题，再把上述方程线性化 用单调迭代技巧构造了一致收敛到方程极值解的单调序列在第四章中我们把这一结论 做了进一步的推广l l z h a n g 1 8 】用相同的思想研究了二阶时滞差分方程的周期边值 问题t g b h a s k a x 2 0 1 提出了同时具有滞后、超前项的泛函微分方程 ， lz 他) = f ( t ，z ( 亡) ，x t ，) ， i 跏= 妒o ， ，= 讥 运用耦合上下解方法，构造了一致收敛到耦合极值解的单调迭代序列我们可将上述情况 离散化得到同时具有滞后、超前项的泛函差分方程，本文第四章第二节将讨论这类方程 的单调迭代方法 1 2 本文的主要研究内容 本文主要通过向量李雅普诺夫函数研究了差分方程的两度量稳定性，并应用单调迭 代技术和上下解相结合的方法考虑了差分方程与泛函差分方程的边值问题，主要讨论了 三个问题 ( 一) 差分方程的两度量稳定性考虑两个向量差分系统 x n + l = ，( 几，x n ) ， y n + l = g ( n ，) ， r n + l = u ，) ，y ( k - 1 ) = f ( k , y ( 后) ) + 夕( 尼，y ( 尼) ) ，忌 1 ，2 ，t ) = ， 1 b ( 蚋) ，y ) ：o ， 河北大学理学硕士学位论文 其中f ( k ，u ) 关于u 单调非减，g ( k ，u ) 关于u 单调非增，应用耦合上。f 解方法，并将非线 性边值问题转化为初值问题，得到了一种广义的单调迭代方法 ( 三) 泛函差分方程的边值问题首先考虑只含有滞后项的差分方程 | ，a y ( k 一1 ) ：y ( k ，秒( 忌) ，可( 臼( 七) ) ) ，忌 1 ，2 ，t ) ：， i b ( 可( o ) ，芗) = o ， 然后讨论了同时具有滞后、超前项的差分方程 | ，a y ( k 一1 ) ：f ( k ，可( 后) ，可七) ，k 1 川2 一，t ) ：， i 珈： 可t ：讥 利用极大值原理和耦合上下解方法，通过构造单调迭代序列，证明了上述泛函差分方程解 的存在性问题 4 - 第2 章差分方程的两度量稳定性 第2 章差分方程的两度量稳定性 本章主要讨论了差分方程的两度量稳定性，通过引入向量函数上拟单调增的概念，给 出了一个新的比较定理，这一定理揭示了两个向量差分系统与一个纯量差分方程解的关 系，并结合向量李雅普诺夫函数，得到了差分方程两度量稳定性的判据 2 1 预备知识 在本文，彤表示礼维欧式空间，r + = 【0 ，+ o o ) ，向量z y 表示分量甄y i ( i = 1 ，2 ，佗) ，i i x l i m2 m a 。x 仡i x t l ，z = ( z 1 ，z 2 ，z n ) t 舻 为了使用方便，我们给出几个函数类： f = ：z + r d _ r + ，h ( n ，z ) 关于z 是连续的，i n f 。h ( n ，x ) = o ) ； 巾二口 咒= 口c r + ，r + 】：o m ) 是严格单调增的，口( o ) = o ) ； 仇= o ：z + r + 一r + ，口( 佗，u ) 赶对每一个钆z + ) ； 杨= f ( 7 ) ：冗+ _ 霹，f ( ? _ ) 是连续的，2 t ( o ) = 0 ，l i ( r ) o ( r o ) ， 如( 7 ) _ p 一) ) ； 考虑差分方程： x n + l = ，( 几，x n ) ，x ( n o ) = x o ；( 2 1 1 ) + 1 = 夕( n ，) ，y ( n o ) = y o ；( 2 1 2 ) r n + l = u ( 凡，) ，r ( n o ) = r o ( 2 1 3 ) 其中，：z + r d _ r d ，9 ：z + r 车_ 冗罩，d q ，u ：z + 耳一兄+ 对 ( n o ，如) z + r d ，我们定义x 住= x ( n ，n o ，x o ) 是方程( 2 1 1 ) 满足z ( n o ，嘞，x o ) = x o 的 解，类似的定义和 定义2 1 1 设h o ，h f ，系统( 2 1 1 ) 被称为 ( 毋) ( h o ，h ) 稳定的，如果对于任意的e 0 ，伽z + ，存在6 = 6 ( n o ，) 0 使得当 危o ( 亿o ，x o ) 0 ，存在t = t ( n o ，e ) 0 使得当h o ( n o ，x o ) 盯时，必有九( 礼，z n ) e ，n n o + t ； 5 一 河北大学理学硕士学位论文 ( 鼠) ( h o ，h ) 一致渐近的，如果( 昆) 中的6 和丁与n o 无关； ( 既) ( h o ，h ) 渐近稳定的，如果( s 1 ) 和( 岛) 同时成立； ( 鼠)( h o ，h ) 一致渐近稳定的，如果( ) 和( & ) 同时成立 注2 1 1 当h o ，h r 取具体范数时，( h o ，h ) 稳定可表示其它的稳定如： ( 1 ) 零解稳定，如果h ( n ，z ) = h o ( n ，z ) = l i x l l ； ( 2 ) 部分稳定，如果h o ( n ，z ) = 忙i i ，h ( n ，z ) = 忙忆1 s n ； ( 3 ) 不变集稳定，如果h ( n ，z ) = h o ( n ，z ) = d ( x ，a ) ，其中a 是舻中的不变集； ( 4 ) 不变集b 相对a 的条件稳定，如果h ( n ，z ) = d ( x ，b ) ，h o ( n ，z ) = d ( x ，a ) ， 其中b 为不变集，acbc 形； ( 5 ) 轨道稳定，如果h ( n ，z ) = h o ( n ，z ) = d ( x ，7 ) ，其中7 是给定的周期轨道 定义2 1 2 称函数g ( n ，y ) ：z + 磷_ 磷关于y 是上拟单调增的，如果对于 任意的u ，w r 罩，使得当u 1 m 0 和函数仇使得当h o ( n ，z ) 0 和函数b 咒，使得当h ( n ，z ) 0 和函数a 仇使得当h ( n ，z ) 0 和函数a 咒使得当 ( 佗，z ) p 时，有y o o ( ( n ，z ) ) 引理2 1 1 假设： ( 凰) 函数g 是上拟单调增的； 第2 章差分方程的两度量稳定性 则当 ( 日2 ) 存在函数v ：z + _ 霹，使得y 沿( 2 1 1 ) 有 v ( n + 1 ，x n + 1 ) g ( n ，v ( n ，z n ) ) ，n z + ； ( 凰) 存在函数l ( r ) k 使得 时，有 g ( n ，f ( ) ) 1 m t a x q 1 t ( u ( 几，) ) 口 y ( 伽，跏) 1 m s 。a s x g y m 扑1 m 蜓a x g i i ( r o ) 口 v ( n , x n ) l m s 。a s x gy n ，1 m t a x q 如( r n ) 口，仃死o 证明采用数学归纳法当n = 亿。时，显然有 v ( n o ，x o ) 粤眵铷o ， 1 i 口“ 一码a ，x 如( r o ) 可， 1 i 口 。 假设y ( n ，z n ) 1 m s 。a s x 口y n ，一1 m t a x q 如( ) 口，礼珊，成立， 我们考虑死+ 1 的情况：由条件( 凰) 一( 凰) 知 又因为 故 因此 故 v ( n + 1 ，x n + 1 ) g ( n ，v ( n ，x n ) ) 2 2 主要结果 1 m 还a x 口g i ( n ，) 口21 m s 。a s x 口y n + 1 ， 1 m s 。a s x 口y n ，1 m i a 争x ( ) ，几几。， + 12 如v n ) 1 m 处a x qg ( n ，f ( ) ) 口 1 m t a x q 蜘( 礼，) ) 忙。m 蜓a x 口l i ( r n + 1 ) u max+1，t口l 0 使得当0 r o ) 使得当0 r o 如时，有 屯( 2 2 5 ) 令m ( e ) = s u p 竹) ，y ( e ) 2j1 m i n 口 r i ( e ) 0 r 6 3 1 。q 利用2 t ( 7 _ ) 的连续性，存在t o ：0 t o 0 使得 咖( 以) p o ，口( 以) m i n b ( e ) ，7 ( e ) ) & 第2 章差分方程的两度量稳定性 取6 = m i n 6 0 ，见，以) 当h o ( n o ，x o ) 6 时，z n = x ( n ，竹o ，如) 是( 2 1 1 ) 的任意解从而， 由( 2 2 1 ) 一( 2 2 3 ) 推得， b ( h ( n o ，x o ) ) g o ( n o ，x o ) a ( h o ( n o ，x o ) ) 6 ( e ) ， 故h ( n o ，x o ) 疗。使得 h ( n l ，z 竹1 ) ，h ( n ，z n ) e ， n o n n 1 ( 2 2 6 ) 令y o = v ( n o ，z o ) ，则有 1 m s 。a s x 口y o i2 。m s 。a s x 口y , ( n o ，x o ) n ( 危。( n 。，z 。) ) ，y ( e ) 如( 7 o ) 故由引理2 1 1 得， yn , x n ) 1 m s 。a s x 口y , t ，1 m 蛐a xl i ( ) ， n 伽 ( 2 2 7 ) 因此由( 2 2 4 ) 一( 2 2 7 ) 得 6 ( e ) 6 ( ( 礼1 ，x n l ) ) y o ( n 1 ，z n ，) 0l ( r n ) l | m 6 ( e ) ， 矛盾故 h ( n ，z n ) ，n 礼o ， 即证明了( 2 1 1 ) 的零解是( h o ，h ) ( 一致) 稳定的 ( b ) 由( a ) 知( 2 1 1 ) 的零解是( h o ， ) ( 一致) 稳定的因此取e = 譬，6 与( a ) 中的 一样，使得当h o ( n o ，x o ) 0 使得当0 7 6 1 时，有 l lj ( r ) i i m 0 ，t = t ( 6 1 ) 使得 当0 r 0 仃1 时，有 r n 6 1 扎n o + z ( 2 2 9 ) 一m 河北大学理学硕士学位论文 同样，令m ( e ) = s u p o f t ( 7 ) ，7 ( ) = ；四i 9m ( e ) _ r a t i z c q 由l i ( r ) 的连续性，存在t o ：0 r o 0 使得o ( 6 2 ) 7 ( e ) 取叮= r a i n 5 ，6