（应用数学专业论文）低温热传导方程组解对区域扰动的连续依赖性.pdf

c o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo ns p a t i a lg e o m e t r y f o rl o w t e m p e r a t u r eh e a tc o n d u c t i o n l u a nw e n y u n a b s t r a c t ：t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h e s t a b i l i t y f o rt h e g e n e r a l i z e d m a x w e l l c a t t a n e os y s t e mo fh e a tc o n d u c t i o na tl o wt e m p e r a t u r ew ee s t a b l i s h t h ec o n t i m m u s d e p e n d e n c eo nt h e i n i t i a lv a l u e sa n dt h e s p a t i a lg e o m e t r y i na ni n i t i a l b o u n d a r y v a l u e p r o b l e mf o rt h eg e n e r a l i z e dm a x w e l l c a t t a n e o s y s t e mw i t hi l op r e s c r i b e dv a l u ef o rt e m p e r a t u r et o nb o u n d a r y k e yw o r d s ：h e a tc o n d u c t i o n ；m a x w e l l c a t t a n e os y s t e m ； s t a b i l i t y p e r t u r b a t i o no fd o m a i n 低温热传导方程组解对区域扰动的连续依赖性 华南师范大学数学系2 0 0 1 级研究生栾文云 摘要：本文讨论低温状态下的热传导方程组，广义m a x w e l l - c a t t a n e o 方 程组初边值问题的稳定性。证明了解对区域扰动及初边值数据的连续依 赖性。值得注意的是问题只对热流得出了边界上的d i r i c h l e t 条件，对温 度未给出边界值条件，这一点在数学上物理上更合理。 关键词：热传导；m a x w e l l c a t t a n e o 方程组；稳定性；区域扰动 1 综述 众所周知，很多物理的，力学的问题，其数学模型往往归结为偏微分方 程【组) 的初一边直问题。对这些初一边值问题，我们常常会提出如下问题 ( i ) 是否存在按某种意义的解( 古典解，弱解，强解，) ? ( i i ) 若解存在，解是否唯一? ( i i i ) 解是否连续依赖于它的初边值条件，即解是否稳定? 对一个初一边值问题，如果上述三个问题的答案是有的，我们就称该问 题是适定的( w e l l p o s e d ) ，否则，称该问题是不适定的( i l l p o s e d ) 。适定性的 概念是法国数学家阿达玛( h a d a m a r d ) 首先提出来的，对偏微分方程的研究 有着十分重要的指导作用。当然上述提出的问题由于没有提到具体的空间和 测度而显得有些含混不清，但对具体的方程及初一边值问题，由于引入特定 的空间和度量会式使问题变得清晰而精确。 上世纪5 0 年代以前，数学家们只限于关注适定问题，有些人甚至认为 在物理，力学中不会出现不适定问题，或者认为考虑不适定问题没有什么意 义。在过去的4 0 年，数学家们逐渐取得了共识：在气象，地球物理，生物 医药等许多领域，由于我们无法精确地获取或采集到必需的数据，而导致产 生了很多不适定问题。因而，我们有必要去处理研究大量的不适定问题。 纯粹数学家通常关注，并致力于证明方程( 组) 解的存在唯一性。而应用 数学家则倾向于更关注方程( 组) 解的稳定性。应用数学家看来，每个确定 的物理模型在一定的条件下总应该具有确定的状态，因此，相应的微分方程 的定解问题的解应该是存在的，唯一的然而，解的稳定性就不那么确定 一方面，如前所述，在对初一边值数据的实际测量中，误差是不可避免的 如果定解条件的微小误差会引起解的巨大变化，那么，所考察的定解问题就 不能给出所考察的物理模型的那怕是近似的解，因而就不可能正确地模拟描 述所考察的物理模型，而失去任何实际的意义。另方面，在实际应用上，对 每个物理模型，我们需要求出它的解，在大多数情况下，精确的解是无法求 出的，只能退而求其次，求出它的数值近似解，数值解的常用方法是有限元 法，由有限元法求得的逼近解还需要进行误差估计，以观察判断逼近解对区 域的扰动是否产生巨大的摄动。如果误差过大，那么这个解便不可靠，失而 实际意义。因而偏微分方程( 组) 定解问题的稳定性，实际上包括证明解对 初一边值数据及边域扰动的连续依赖性，它不论在理论上及实际上都是具有 重大意义的。 对适定问题，我们期望初一边值数据的微小误差及区域的微小扰动将导 4 致解的微小误差。并力图将解对初始数据及区域扰动的连续依赖加以量化。 对不适定问题，初一边值数据及区域的微小误差将可能导致解的不稳定 性。对具有明确物理背景的不适定问题，解的存在性一般不成问题，问题在 于解的非唯一性及不稳定性。对此，我们常常需要对问题加上某种约束限制 条件( c o n s t r a i n tr e s t r i c t i o nc o n d i t i o n s ) ，当然，这些条件应该是在数学上、 物理上都合理可行的。以稳住那些固有的不稳定因素，排除定解问题多余的 解。然后，在这些约束限制条件之下，证明解对初一边值数据及区域扰动的 连续依赖性，即解的稳定性当问题的解的稳定性一旦获得解决，又可以反 过来寻求问题的逼近解 在过去的几十年，对偏微分方程定解问题不管是适定问题，还是不适定 问题的稳定性研究引起了应用数学家们的极大兴趣。大量的结果和文章见 诸于文献。c r o o k e 和p a y n e 首先研究了不适定问题【3 ，时间向后的热传 导( t i m eb a c k w a r dh e a tc o n d u c t i o n ) 问题解对区域扰动的稳定性，他们开创 的方法一直被后继的文章所引用。此后，p a y n e 等又研究了多种偏微分方 程( 组) 的适定及不适定问题的稳定性( 例见 1 5 ，1 6 ，1 7 1 ) ，特别是时间向后的 n a v i e r - s t o k e s 方程解的稳定性 1 8 】。l i n 和p a y n e 9 ，p a y n e 和s t r a n g h a n 2 1 等分别对热传导方程瞬态的( t r a n s i e n t ) s t o k e s 流方程建立了解对区域扰动的 连续依赖。k n o p sa n dp a y n e 【7 , 8 】对线性热弹性方程的不适定问题建立了 稳定性结果。此外a m e s ，f l a v i na n dp d o n e r o ，q i na n dk a l o n i ，s t r a u g h a n s o n g 等人分别对多种扩散方程及流体力学方程建立了解的稳定性，( 例参见 5 1 ， 2 】， 4 ，【2 2 ， 2 3 】，嘲， 6 及文内提到的参考文献) 。 本文讨论低温状态下热传导方程组解对边界扰动及初一边值数据的连 续依赖性。根据文献 4 ，低温状态下，热流( h e a tf l u x ) 与温度之间的关系 满足如下的广义m a x w e l l c a t t a n e o 方程组 丁讲+ “t + 耳z t 一# k u i v u j ，f ：0 i n d 0 o )( 1 1 ) 这里“。( t = 1 ，2 ，3 ) 是热流的第i 个分量，t 是温度，系数r ，k 越，p 是 正的物理参量，是l a p l a c e 算子，dcr 3 是有界星形区域，带光滑边 界o d 。本文，我们用逗”，”号表示导数，即 o u i o u 4 “。，2 瓦 “。j 2 瓦 同时，我们采用通用的求和记号，即重复的拉丁下标表示从1 到3 求和。 与方程组( 1 1 ) 相伴随的是，能量平衡方程 e 巧= 一啦! t i n d 0 o )( 1 2 ) 这里c 是正的参量。 假设热流u 。满足d i r i c h l e t 边界条件 “t 2 0o n o d t 0 )( 1 3 ) 但对温度t ，未给定边界条件。 同时假设u 。及t 满足如下的初值条件 t q ( x l ，x 2 ，x 3 o ) = ( z l ，x 2 船) i n d f l4 ) ( i5 ) 低温状态下的广义m a x w e l l c a t t a n e o 方程组( 1 1 ) ( 12 ) 收到广泛的关 注。据我们所知，m o r r o 等人 5 1 和f r a n c h i 1 3 等人分别对( 1 1 ) ( 1 2 ) 建立 了增长、衰减及连续依赖性结果。p a y n e 和s o n g 1 5 ，1 6 】对( 1 1 ) ( 1 2 ) 建立了 解对初值数据及区域扰动的稳定性。s o n g 2 4 】对( 1 1 ) ( 1 2 ) 证明了p r a g m e n l i d e l o f 二择一原理。l i n 和p a y n e 1 0 ，1 1 】，林长好和栾文云【1 2 】对( 1 1 ) ( 1 2 ) 的初一边值问题( 初一边值条件不同于( 1 3 ) 一( 1 5 ) ) 建立了解对区域扰动的连 续依赖性 由方程( 1 2 ) 可知，若在边界o d 上给定t ，则自动推出在o d 上u ；，i 0 。这样的问题便成了超定的。因此，仅仅给出边界条件( 1 3 ) 是合理的。 本文结构如下：1 是问题的综述；5 2 阐明所要研究的问题，即比较 分别定义在相邻区域d 1 和d 2 的问题的解。其中d z 可以看成对d - 的扰 动；3 对子域d = d 1 n d 2 上两个解的差建立其能量界；5 4 及5 通过弓 入辅助函数，估计能量界的上界；最后，6 完成解对初始数据及边界扰动 的连续依赖的不等式。 贯穿全文，我们用以下符号表示在时刻t 区域d 上的积分 ff d t ：f t ) a t j d j d t d x 表示体积积分元。我们将只限于讨论问题的古典解，尽管我们的方法对 问题的弱解仍然有效。 7 2 问题的阐述 假设d l 和d 2 是r 3 中的有界域，d 1n d 2 t 西。为简单起见，设d 1d 2 关于d lnd 2 中的一点( 不妨设为原点) 均为强星形域( s t r o n g l ys t a r s h a p e d d o m a i n ) 设( ? ，p ) ( 卢= 1 ，2 ) 分别是以下二个初一边值问题的解 r 磊+ “? + k t ? 一p “? c r f = 一“磊 满足边值 锄d b t o ) ( 2 1 ) “? = 0 o d 口 t 0 )( 2 2 ) t 8 在o d z 上未给定边值 及边界值 象，。0 蠢杞) s 皿s ， 丁4 ( z ，) = 胪( 嚣) j ”1 假设函数劣及胪有二阶导数，且满足相容性毋i a d = 0 ，并假设o d e 具 备所要求的光滑性。 并取 我们希望比较两个解( “? ，t 4 ) = 1 ，2 ) ，为此，引入记号d = d 1 n d 2 二_ 蠹1 二算2 9 二摹一- t 。2 i n dhhhi n d “口 吣 ( za ) 仇= 9 7 一夕? = 1 2 j 、7 从而( w 。，0 ) 是以下初一边值问题的解 t w i 。, c o2 二篡姗厂必觋”。0 冲刈s ，e2 一姚ti 。 、 8 满足 及 w i ( m 0 ) e ( x ，0 )蔷) f 26 1 w i ( x ，t ) = “j ( z ，t ) 一“；( z ，t ) 。n o dx t 0 ) ( 2 7 ) 下文，我们将会用到以下w i r t i n g e r 不等式，为方便起见，引述如下 l e m m a 2 1 【2 5 设妒( z ) 是在区间( 0 ， ) 0 ) 上的光滑函数，且设 妒( z ) 满足妒( o ) = 0 或妒( ) = 0 ，那么 z “蜒( 挈) 2 z “螅如 ( 2 8 ) l e m m a 2 2 【2 5 】设妒( z ) 是在区间( 0 ， ) ( 0 ) 上的光滑函数，且设满 足妒( o ) = 妒( ) = 0 ，那么 z “妒2 ( z ) d x ( ；) 2 z “妒刍( z ) d z ( 2 9 ) 3w i 及口的能量模的界 首先，我们对姚及p 定义一个能量积分 m ) = z “d ( w i w i 耳目2 ) 删 ( 3 1 ) 这里t l 0 是任意的。关于解对初始数据及边界扰动的连续依赖关系有赖 于估计j ( t ，) 的上界。为此，我们引入辅助函数，设( ，垆) 是如下辅助问题 9 的解 满足 及 t t ) i 、一饥+ k 妒，l + p 地+ v v j ，j z c 妒c + ，= 0 md x 0 ，t 1 1( 3 2 ) 仇( 州) = ol a d 0 , t t 妒( z ，t ) = 0j 地( 州) = o 1md 妒( z ，t 1 ) _ 0j 由方程( 2 1 ) 及( 3 2 ) - ( 3 4 ) 应用分部积分及s c h w a r z 不等式，可以得到 ( 3 3 ) ( 3 4 ) = z “小( r 叫+ k p 一心m ，) d x d t r t l ， + k 上d 9 ( g 咖枷) d x d t = 一z “f d v d r 姚，t + ”；+ k o ，t p w l - - v w j d i ) d z 出 一x | ：| d 节( c o , t + w i , i ) d x d t - rf d o v t g i d x - k cb z + 卢f 0 0 t l 秀。伽；码饥。a s m + vz “点d w i n i 码，a s 出 厶掣疵十厶。拙十z “秀。鲫蛾删础 + t l 点o d x k ? 2 k v 孙d t ) r 2 厶蚴如+ 2 g 2 厶胸z + ( 矿+ v 。) z “互。( 啪e ) 一1 邺。删t p ( 35 ) 这里厂d 。表示积分只在t = 0 时在区域d 上实现。啦表示边界o d 上 的向外单位法向量的第i 个分量，c l s 表示c o d 上的曲面积分元。 、fj 下一节，我们对辅助函数u 。及妒的积分推导其上界，并用数据项及j ( t t ) 来表示。 4 对v i 及妒积分的估计 出发 我们首先推导积分项，d 。v i v i d x 的界，为此，从以下的r e l l i c h 型恒等式 z “c ( t v i , t - - v i - _ k c p , i + i 。v i + v 。一w i ) d 础= o( 4 1 ) 对( 4 1 ) 分部积分，并应用算术一几何平均不等式得出 r z “厶t 出出- e l 。蚋如+ d ov i j v i j d x - - i v 厶2 出 警z “知咄卅芸z “肪砒 + 詈z “厶蛳t 如出+ 去z “厶w i w l d x 出 ( 。2 ) 取5 1 = 矗，2 = ，( 4 2 ) 推出估计 r z “厶如，。如以+ 厶。q 如 罕z “厶如出+ ；z “厶毗姚如毗 ( a 3 ) 注意到v i o d = 0 蕴涵v i 在o d 上的切向导数v l j t t 女一v i , k 1 2 j = 0 由分部积 分不难得出 o = o “厶x k t l i , k ( r 。一”；+ 妒。+ “v i + v 。一w 。) d z 如 = t ： d x k v i , k u i ：t d z m + 甍l d u t d z m + k | l j x k v i , k 妒, i d x 汛 i l + 造j ： 8 d z k ”k ”l 。u t 。3 d 8 t t t 七j i d 。1 3 。t j 3 d t t t + ；上“z 。z 肼* 。d 3 d t + ；z “厶；出疵 一e 1 d z k ”t ? k u ，t d z 。n 对( 4 4 ) 应用算术一几何平均不等式，得出 ；z “厶q 让出以+ ；z “z 8 0 x k n k v i , j v i , j d s d t + ；z “z 。巩2 。如 + ；z “五巩，出以+ ；z “厶。磊如出 等“蛐+ 堡2 。1j 厂o “如以 十譬砒蛐+ 筹肌揪 + 嚣如如出+ 丢化呲如出h 。， 这里扩= 1 1 铲( ) 这样，选择适当的矗( i ：1 ，2 ，3 ) ，例如，取。，： 券，e 2 2 接，岛2 ，并应用( 4 3 ) 的结果，由( 4 5 ) 式可以推得 ；z “厶q 吨a 。a t + ；z “。嘞饥，地，幽d 。 p f t l r + j 工兑。n t ”i 。d s d t 墨警肌蛳蛳揪+ 新厶哪蝴 接着，考虑恒等式 z “厶十。o ) d 础：o 由分部积分 应用算术一几何平均不等式及j d 。m 洮f e 不等式并应用( 46 ) 结 1 2 果，由( 4 7 ) 式可以推得 罢厶。妒2 出；z “厶如出+ ；z “厶地址出出 畦f 厶蛳础+ 拼厶黝础 ；( + 击) 上“厶如出+ 3 k “2 a “。f 。“厶怫a z 出 + 警z “d w i w i d x d t + 黔厶黝础 s ， 这里a 是区域d 上的固定薄膜方程的第一个特征值。 由( 4 8 ) 直接得出 厶。扩如g ，z “厶( 毗毗+ 耳a 2 ) a 。出+ 伤z “厶如出 ( a 。) 其中g ，q 表示可计算的常数。 我们仍需要寻找詹1 如妒，t 妒，i d x d t 的上界，并用j ( t 。) 及数据项来表示。 我们将其留待下一节去完成。 5 麝1 ，d c ，o , iq o ， d x d t 的界 将方程( 3 2 ) 1 对魏求导得出 t u i ，“一v i , i + 垆+ ( p + v ) a v i p = w i | i n d o ，t l 】 在( 5 1 ) 中应用方程( 3 2 ) z ，消去热流分量 ；，并得出如下方程 g 丁妒，“+ r 自，c + g 妒一一目十j f 妒一e ( 肛十) 妒t + ( p + v ) a o = w i ，：, i nd f 0 ，t ( 52 ) 将( 52 ) 从t 到t l 积分，得出 且c p 满足 妒+ 菩厂州州肛川妒 ( p + 一) a t ? i d a + 专，t l 眠砌 ( 5 3 ) 妒扛t 1 ) = 0 i nd 【p ( 。，t ) = 0 o n o d ( 0 ，t 1 】 显然，由方程( 5 3 ) ，可以推得 ( 5 4 ) ( 5 5 ) 。= f 厶咖帅一妒+ 菩，“驯州弘川妒 一吾目一百1 ，“卜( p + v ) a s d ”一专z “州牡出 8 = f 5 6 1 下面处理各个 。显然，有 一；厶。 z 以= 一o 。1 妒2 d x d t j d ( 5 7 ) ( 5 8 ) = 菩z “厶妒( z “酬州础 = 菩z “厶妒“，“妒，a ”) d x d t 参厶( 胁础) ( 。d t ) d x _ 。 ( 5 。) 1 4 ，矽二旧 一，上聊g j 4 文- _ rv 1pf 一。# d x d t ，0j d ( 肛+ ) 。1 ，妒蚋如d t j 0j d f 5 1 0 1 = 一厶删础 曼z “厶妒2 出以+ 熹z “厶一2 出出 ( s ，) 由分部积分，并应用h s l d e r 不等式 记 矗= 一；z “厶妒( t i 。咖) 如出 = 一z 厶( z 。删毗出 丢( z “厶( z 妒咖) 2 如 ( z “厶日2 d x d t ) 茎粥厶( 胁们2 揪十厩1z “厶黝翮( s 。) r c x ( 州) 2 上妒咖 注意到当t = 0 时x ( z ，t ) = 0 。应用不等式( 2 8 ) 得出 f x 2 出等fc 象胁= 筹z “妒。出 c s s ， 将( 5 1 3 ) 代入( 5 1 2 ) ，导出 坯2 t 。扛2 “厶【p 2 d x d t + 磊1 o 。1 厶黝础 ( 51 4 ) 界定 的过程稍微复杂一点。方程( 25 ) 。为 t w i ，+ w i + k o t 一, a w i l w j = 0( 5 15 ) i 5 匕式对求导，并应用方程( 2 j ) 2 ，得出 k a o + e ( p + ) 口，= 一下叫c 一讪 i n p 【0 t 1 ( 5 1 6 ) ( 5 1 6 ) 可以重写为 ( a o e 焘气t 2 一赢高e 蠢唧 万圭j 8 菇而t 脚 丽“” 将( 5 1 7 ) 从0 到t 积分，得出 ( 5 1 7 】 龇“一 = 一i t o e c r t 眠；十蛳 + i t c 2 以e 4 ”毗。咖一昙z e 4 ”眠。咖 ( 5 1 8 ) 这里，为了方便，记口= 丽k 。 ( 5 1 8 ) 可以直接导出 a 0 = e “一i t o - 毗，+ 面t d r e a t 蛳 十三( r a 一1 ) z 。e f ( t 一们”。咖( 5 1 9 ) 应用( 5 1 9 ) ，将 重写为 拈每c c a o d r l ) d z m = 等f 厶妒( ：“e 1 ”n 咖) “。班一r ：“厶妒( f t h t o - | # 由) “z 班 + tl ：| d 译l l i e 一。- g 。：d q ) d x d t f 爷( f “( f 1e l ”一x ) “乜。d a ) d ”) d 。d f ，dj t，0 应用算术一几何平均不等式，及( 5 13 ) ，容易得出 f 5 ，2 0 1 以，号z “厶( ：妒豳) 2 如出+ 2 。生2 e 3 o “厶( 矗) 2 d z 如 s 万2 t 2 e 3f 厶妒2 捌h1 2 a 2 。3z “厶( ) 2 删t ( s2 ，) 耶7 2 t 2 s 4f o , i q o , t d x d t + 瓦t 2 ：“ 抚茎7 2 t 2 e 5 f 厶加蚺蓦f 1 w i d x d t ，d | d 最，如d t ( 5 2 2 ) ( 5 2 3 ) 乃。= ( r a 一1 ) z “l ( o 妒。d ”) ( z “e 一口( 一们妣d q ) d x d t 万2 t ；z 6 o “础塑蕞警z “小州础( 5 z a ) 最后，对也分部积分，得出 五= 一孑厶妒( z “雌；d r l ) d 础 = 一砝1 厶( 胁幽) 咄出 2 t 2 r e 7z “厶出出+ 丽1z “厶毒”，d 。出( 5 2 5 ) 结合上面得到的结果( 5 6 ) 一( 5 2 5 ) ，得出下式 ；l o ( f 1 2 蚺【，一j 1 e t 妒2 d 。：d 亡 ，厶 l m 。 十 = ，允 岛 + 3 7 l ， l 如 皤万 + ( p 刊一雾怕怕) 】加删础 篆：) ( ) 2 如+ 等脑蚺上2 c 2r ! e 1 + “1 肛z 出 + c 丢+ 掣+ 去，f 小州础 z s ， 在( 52 6 ) 中，我们可以选择矗足够小确保其左边各项的系数非负这样由 ( 5 2 6 ) 可以导出估计 z “厶忱妒；如出g 厶目：。如+ c 4 f 。( a h ) 2 如 + g 厶( + 彬) d x d t ( 5 2 7 ) 这里岛，q ，岛是可计算正常数，且依赖于t 1 结合有关的结果( 4 3 ) ( 4 6 ) ( 4 9 ) 及( 5 2 7 ) ，代入( 3 , 6 ) ，然后应用算术 几何平均不等式，最终得出 j ( t 1 ) c t ( t t ) 厶b 肌+ h 2 】如+ c 。( t - ) 厶【鳐。十( ) 2 】如 + c 3 ( t - ) z “z 。( z * n e ) 一l ”。毗d s 出 ( 5 2 8 ) 这里c ，( t ) ，c 2 ( t ，) ，c 3 ( t ，) 是可计算常量 6 曲面积分的界 这一节，我们对( 5 2 8 ) 式右端之曲面积分估计其上界 应用c r o o k e 和p a y n e 的方法技巧1 3 】3 ，可以得出 t l ( z n k ) - 1 w i u l i d s d 一u，0 d 1 8 m a j o “f d t 7 1 。1 u j y x d t + f 厶。蜘。2 捌q ( s ，) 这里d 是由原点出发的射线在边界o d ，和o d 2 之间的最大距离，m 是某 个常量。 为了估计( 6 1 ) 右端的上界，我们首先考虑恒等式 z “o “j ( r “i 。+ “j + k z ：一p “一”“；埘) d x d t = o ( 6 2 ) 对( 6 2 ) 分部积分，并应用方程( 2 1 ) 2 得出 z “厶。u “d x d t + i t f o “厶。u ；b 如出十一z “o “1 2 a 。出 ( 6 3 ) 直接导出估计 ( 6 3 ) f “，u i j d x d t _ t ，o ，g ? g l d x + 等小1 ) 2 如 ( 6 a ) 类似地，成立 f 船2 ，u ；, j d x d t 0 ，下面的不等式成立 小。j “；) 十k ( t 1 一t 2 ) 2 d x d t 血 鲫厶孔警 如 畦 q 口 厶厶 。竖。 i | 一 s n - ( ) j 吲 怕( ) 厶慨 9 7 ) ( 毋一目；) + ( 1 一h 2 ) 2 d x 毙) 2 + ( a h l 一h 2 ) 2 】出 十n s ( t ) d 厶。吲1 肌1 + ( 1 ) 2 】出+ 厶：瞬9 7 + ( 2 ) 2 出) ( 6 6 ) 其中o ，( t ) ，o 。( t ) ，a 3 ( t ) 是可计算的函数。这些函数对有限的t 有界。参 数d 是由原点出发的射线在边界a d t 和o d 2 之间的最大距离显然当d 。 趋于d l 时，d 趋于0 。 不等式( 6 6 ) 右端第一、第二项显示解对初边值的连续依赖，第三项 显示解对区域扰动的连续依赖 2 0 参考文献 f 1 kaa m e sa n dl e p a y n e c o n t i n u m l sd e p e n d e n c er e s u l t s f o rap r o b l e m i np e n e t r a t i v ec o n v e n t i o n q u a r t e r l yo fa p p l i e dm a t h e m a t i c s5 5 ( 1 9 9 7 ) 7 6 9 7 9 0 2 k a a m e s a n dlep a y n e ，c o n t i n u o u s d e p e n d e n c e r e s u l t sf o r s o l u t i o n sn fn a v i e r - s t o k e s e q u a t i o n b a c k w a r di nt i m e n o n l i n e a r a n a l t h e o r y ，m e t h s a p p l 2 3 ，( 1 9 9 4 j ，1 0 3 1 1 3 【3 】p s c r o o k ea n dl e p a y n e c o n t i n u o u sd e p e n d e n c e o ng e o m e t r yf o rt h eb a c k w a r dh e a te q u a t i o n m a t h m e t h a p p l s c i 6 ，( 1 9 8 4 ) 4 3 3 4 4 8 【4 j n f l a v i na n ds r i o n e r o ，q u a l i t a t i v ee s t i m a t e sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s c r cp r e s sb o c ar a t o n 、1 9 9 5 【5 5 f f r a n c h ia n db s t r a u g h a n ，e f f e c t so fe r r o r si nt h ei n i t i a l t i m eg e o m e t r yo n t h es o l u t i o no fa ne q u a t i o nf r o md y n a m ot h e o r yi na ne x t e r i o rd o m a i n ， p r o c r o y s o c l o n d o na4 5 0 ( 1 9 9 5 j1 0 9 1 2 1 6 】f f r a n c h ia n db s t r a u g h a n ，c o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo nt h er e l a x a t i o nt i m e a n dm o d e l l i n ga n du n b o u n d e dg r o w t hi nt h e o r i e so fh e a tc o n d u c t i o nw i t h f i n i t ep r o p a g a t i o ns p e e d s j m a t h a n a l a p p l 1 8 5 ( 1 9 9 4 ) ，7 2 6 7 4 6 7 】rj k n o p sa n dl e p a y n e ，c o n t i n u o u sd a t ad e p e n d e n c ef o rt h ee q u a t i o no f c l a s s i c a le l a s t i cd y n a m i c s ，p r o e c a m b p h i l ，s o c ，6 6 ( 1 9 6 9 ) 4 8 1 4 9 1 8 r j k n o p sa n dl e p a y n e ，i m p r o v e de s t i m a t e sf o rc o n t i n u o u sd a t ad e p e n d e n c ei nl i n e a re l a s t i cd y n a m i c s ，p r o c c a m b p h i l s o c ，1 0 3 ( 1 9 8 8 ) ，5 3 5 5 5 9 9 】c h a n g h a o l i na n d l e p a y n e ，t h e i n f l u e n c eo fd o m a i na n dd i f f u s i v i t yp e r t u r b a t i o n s o i lt h e d e c a y o fa n de f f e c t si nh e a t c o n d u e - t i o n ，s i a m j m a t h a n a l 2 5 ( 1 9 9 4 ) ，1 2 4 2 - 1 2 5 8 ， 1 0 c h a n g h a o l i na n d l e p a y n e ，c o n t i n u o u s d e p e n d e m c e o n s p a ， t i a l g e o m e t r y f o rt h e g e n e r a l i z e d m a x w e l l - c a t t a n e o s y s t e m ， m a t h m e t h a p p l s e i 2 4 ( 2 0 0 1 ) 1 1 1 3 1 1 2 4 【1 1 c h a n g h a o l i na n d l _ e p a y n e ，c o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo fh e a tf l u xo ns p a t i a l g e o m e t r yf o rt h eg e n e r a l i z e dm a x w e l l c a t t a n e es y s t e m ( z a m p ) z e i t s c h r i f t f j ra n g e w a n d t em a t h e m a t i ca n d p h y s i c ，5 5 ( 2 0 0 4 ) 1 1 7 【t 2 】林长好，栾文云，广义m a x w e l l c a t t a n e o 方程组对区域扰动的连续依赖 性，华南师范大学学报，n o 3 ( 2 0 0 3 ) i - 9 1 3 am o r r o ，lep a y n ca n dbs t la u g h a t l ：d e c a yg r o w t h c 【) 1 j 1 ，1 0 u s d e p e n d e n c ea n d u n i q u e n e s s r e s u l t s i n g e n e r a l i z e d h e a tc o n d u c t i o nt h e o r i e s ，a p p l a n a l3 8 ( 1 9 9 0 ) 2 3 1 2 4 3 1 4 1 lep a y n ea n dj cs o n g ：p h r a g m e n l i n d e l 6 f a n dc o n t i n u o u sd e p e n d e n c et y p e r e s u l t si ng e n e r a l i z e dh e a tc o n d u c t i o n ( z a m p ) z e i t s c h r i f tf l i ta n g e w a n d t e m a t h e m a t i ca n dp h y s i c ，4 7 ( 1 9 9 6 ) ，5 2 7 - 5 3 8 1 5 1l e p a y n ea n dj cs o n g ，c o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo nt h ei n i t i a lt i m eg e o m e t r yi ng e n e r a l i z e d h e a tc o n d u c t i o n m a t h ，m o d e l s m e t h a p p ls c i ，7 ( 1 9 9 7 ) ，1 2 5 1 3 s 【1 6 】l e p a y n e a n dj cs o n g ，c o n t i n u o u s d e p e n d e n c e o nt h ei n i - t i a lt i m ea n d s p a t i a lg e o m e t r y i n g e n e r a l i z e d h e a tc o n d u c t i o n ，j m a t h a n a la p p t 2 1 4 ( 1 9 9 7 ) ，1 7 3 一l f l 0 17 l e p a y n e a n djc s o n g ，c o n t i n u o u s d e p e n d e n c e r e s u l t s f o r g e n e r a l i z e dh e a tc o n d u c t i o na st h er e l a x a t i o nt i m et e n d st oz e r o j m a t h a n a la p p l 2 5 6 ( 2 0 0 1 ) 1 7 5 1 8 9 【l 蜘l 。e p a y n e 7 c o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo ns p a t i a lg e o m e t r yf o rs o l u t i o no ft h e n a v i e r - s t o k e se q u a t i o nb a c k w a r di nt i m e ，n o n l i n e a ra n a l ，t h e o r y m e t h sa p p l i a n s ，2 1 ( 1 9 9 3 ) 6 5 1 6 6 4 1 9 】le p a y n ea n db s t r a u g h a n ，s t a b i l i t yi nt h ei n i t i a lt i m eg e o m e t r yp r o b l e m f o rt h eb r i n k m a na n d d a r e ye q u a t i o no ff l o wi np o r o u sm e d i a ，j m a t h t p u t sc t a p p l ，7 5 ( 1 9 9 6 ) 2 2 5 2 7 1 20 】l e p a y n ea n db s t r a u g h a n ，a n a l y s i so ft h eb o u n d a r yc o n d i t i o na tt h ei n t e r f a c eb e t w e e nav i s c o u sf l u i da n dp o r o u sm e d i u ma n dr e l a t e dm o d e l l i n g e q u a t i o n s ，jm a t hp u r e se ta p p l7 7 ( 1 9 9 8 ) 3 1 7 - 3 5 4 【2 1 1l e p a y n ea n db s t r a u g h a n ，e f f e c t so fe r r o r s i nt h es p a t i a lg e o m e t r yf o r t e m p e r a t u r ed e p e n d e n ts t o k e sf l o w ，jd em a t h e m a t i q u e sp u r e se ta p p