（基础数学专业论文）自共轭微分算子边界条件的分类及其标准型.pdf

原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得凼墓直太堂及其他教育机构的学位或证h 而使川过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：4 建亳峄 日 期：型旦蹿堕日堑国 指导教师签名：生：丝! ；1 日 期：倒轻叫国 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：丛逝 日 期：2 堕盛轾旦呈多日 指导教师签名： 日 期：趔缱缝璺堑母 内蒙古大学硕士学位论文 自共轭微分算子边界条件的分类及其标准型 摘要 本文主要研究自共轭微分算子边界条件的分类及其标准型。边界条件，作 为微分算子定义的组成部分，对于微分算子的研究具有重要的意义。我们知道 对于实参数解给出的自共轭公式，其自共轭边界条件的系数矩阵满足a e a ： b e b + ，并且自共轭边界条件可分为严格分离型边界条件、完全耦合型边界条 件和混合型边界条件。我们运用矩阵分块运算以及行变换、列变换对边界条 件矩阵a ，b 性质的影响，分别对矩阵秩的不同情况进行了详细的计算，结合 边界条件的三种不同分类给出了n = 4 ，n = 6 的实参数解描述的高阶微分算 子自共轭边界条件的各种标准型。进一步地，我们把上述结果类似地推广到 一般的高阶情况。 关键词：自共轭微分算子，边界条件，标准型 a b s t r a c t t h ec l a s s i f i c a t i o n so fb o u n d a r y c o n d i t i o no ft h es e l f a d j o i n t d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa n d i t sc a n o n i c a lf o r m a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ec l a s s i f i c a t i o n so fb o u n d a r yc o n d i t i o n so ft h es e l f - a d j o i n td i f f e r e n t i a l o p e r a t o r sa n di t sc a n o n i c a lf o r ma x es t u d i e d a sap a r to fd e f i n i t i o no fd i f f e r e n t i a lo p e r a - t o t s ，b o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ev e r yi m p o r t a n tf o rt h er e s e a r c ho fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s w e k n e wt h a tg i v e sr e g a r d i n gt h er e a lp a r a m e t e rs o l u t i o nf r o mt h es e l f - a d j o i n tf o r m i l l a ，f o r i t ss e l f - a d j o i n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h a tt h ec o e f f i c i e n t sm a t r i c e sa r es a t i s f i e de q u a t i o n a e a = b e b 。a n dt h es e l f - a d j o i n tb o u n d a r yc o n d i t i o n sm a yd i v i d ei n t ot w oc l a s s i f i c a - t i o n s ，n a m e l ys e p a r a t e d ，c o u p l e d ，a n dm i x e d w eu t i l i z et h em a t r i xp i e c e m e a lo p e r a t i o n a sw e l la sal i n eo ft r a n s f o r m a t i o n ，t h er o wt r a n s f o r mp a i rb o u n d a r yc o n d i t i o ni n f l u e n c e m a t r i xa ，bn a t u r e ，h a sc a r r i e do nt h ed e t a i l e dc o m p u t a t i o ns e p a r a t e l yt ot h em a t r i x r a n k sd i f f e r e n ts i t u a t i o n ，u n i f i e dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o nt h r e ek i n do fd i f f e r e n tc l a s s i f i - c a t i o n st og i v et h en = 4 ，n = 6r e a lp a r a m e t e rs o l u t i o nd e s c r i p t i o nh i g h e ro r d e rd e r i v a t i v e o p e r a t o rf r o ms e l f - a d j o i n tb o u n d a r yc o n d i t i o ne a c hk i n do fs t a n d a r dt y p e f u r t h e r ，w e s i m i l a r l yp r o m o t ea b o v er e s u l tt ot h eg e n e r a lh i g h e ro r d e rs i t u a t i o n f o r m k e y w o r d s ：s e l f - a d j o i n td i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ，b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，c a n o n i c a l 2 内蒙古大学硕士学位论文 1 1 前言 第一章一引言 设z ( y ) 表示区间( a ，b ) ( 一o o 口 b o 。) 中的自共轭微分表达式，算子l 为其对 应的自共轭算子。在数学物理及各种实际问题中，我们经常遇到的一个重要问题就是研 究方程 ( l a i ) y = 0 ，即求解方程l ( y ) = a y 的特征值问题，其中l 耖是一个n 阶的( 一般是对称的) 微分算式，可满足一定的边界条 件。对于正则的几阶微分算式，其边界条件应当满足下述的c a d d i n g t o n 条件： a q - 1 ( o ) 4 + = b q - 1 ( 厶) b + 其中q ( x ) 为f ( y ) 的契合矩阵，a ，b 是佗xn 的矩阵。但是a ，b 中有众多的系数，很 难从中看出边界条件具体的特征。对于二阶的情况，a z e t t l 教授给出了边界条件的标准 型( 见 5 】) 。同时文 2 4 】的作者也证明了任何自共轭边界条件系数矩阵可以化归到如下与 之等价的两种标准形式之一： 。= a c e e 。i ，e 三耋。1 ；) ，。= ( c o 。8 口s i ：q ：ps ；三p ) 其中a ，b ，c ，d ，口，乜，p 均为实数，且q d b c = 1 ，d 1 代表了非分离( 混合) 边界 条件， d 2 代表了分离型边界条件。在自共轭边界条件标准型的基础上，给出了由 d 1 表示的自共轭边界条件下的s t u r m - l i o u v i l l e 问题的特征值的渐近式，并且证明了 b = c = 0 ，i 占i = i2 c o s e ( a + b ) l 1 ，或当b 与c 至少有一不等于0 时，其充分大的特征 值都是单重的；当6 = c = 0 ，6 = 士1 时，其特征值可以全部是二重的。通过特征值的渐 近式的计算可以发现，在分离型边界条件下，其特征值的分布是“均匀 的，而在混合边 界条件下，其特征值可以呈现另一种形式的“均匀 分布。 但是对于高阶r l , 4 ) 微分算子，其边界条件的系数繁多，尚未有简明的自共轭标准 引言 型给出。2 0 0 6 年文 1 9 】、f 1 】根据微分方程的实参数解，给出了高阶微分算子自共轭的一个 完全的解析的刻画( 见引理1 6 ) ，并在此基础上给出了自共轭边界条件的一个分类，即” 可以分为分离的、完全耦合的以及混合的自共轭边界条件，并开始尝试研究是否可以给 出其标准型。在此基础上本文根据自共轭边界条件的分类，详细研究了当k = 2 ，3 时的 标准型问题。由于实参数解刻画的自共轭公式，其边界条件( 2 ) 中玩，的形式简单。 我们应用矩阵分块运算，以及行变换、列变换对边界条件矩阵a ，b 性质的影响给出了 a ，b 中分块子矩阵a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，b 1 ，岛，岛，风应满足的条件( ( 3 2 ) 式，( 3 3 ) 式) 。 在此基础上，根据引理1 6 中a ，b 应满足条件( 1 ) ，即r a n k ( aob ) = d ，分别对矩阵秩的 不同情况进行了详细的计算，结合边界条件的三种不同分类( 分离、完全耦合、混合型) 给 出了n = 4 ，仃= 6 的实参数解描述的高阶微分算子自共轭边界条件的各种标准型。进 一步地，我们把上述结果类似地推广到一般的高阶的情况。也得到了很好的结果。文章 给出的标准型，说明对于实参数解刻画的自共轭边界条件，也有复的自共轭的边界条件。 本文给出的这些结果将对研究自共轭算子的特征值的分布及其特征值对于边界条件的依 赖关系打下一个重要基础。 本文共分三章，第一章引言；第二章自共轭微分算子边界条件的分类；第三章边界 条件的各种类型的标准型； 1 2 预备知识 下面我们给出本文涉及到的一些基本概念和引理。 对于一般形式的拟导数定义的微分算式，令 z k ( zr ) = ( q = ( q r 。) z 。：l ， 野，+ 1 0 口e ，q r - ，r 1 + 1 l t o c ( j ) ，1 7 n 一1 g r 8 = 0a e o n j , 2 r + 1 s n g r ，。l l ( ，) ，s r + 1 ，1sr n 一1 】 设矩阵q 磊( j ) 。 4 内蒙古大学硕士学位论文 设 对于r = 1 ，2 ，几，我们设 y o = v l j c ，可测) = yy y o k = y w 一1l yc 7 1 】( a c t ( ，) ) 】 y r 1 = g r - ，1 + 1 y 卜一1 】7 一g r 。y 扣一1 1 ) n = 1 k ) ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中，n + 1 = 1 ，且a a ( ，) 表示在j 内所有紧子区间上绝对连续的复值函数全体 定义1 1 m y = m qy = 矿y 【n j( k ) ，( 1 5 ) 其中m = 拖称为与q 有关的拟微分表达式，ye l ( o r n ) 称为y 的r 阶拟导数 定义1 2 令q 磊( zr ) 且m = m q ，设 q = - e 一1 q e ，e = ( ( 一1 ) 露，礼+ 1 一。) z 。：1 ( 1 6 ) 则m = 抱称为一个对称微分表达式。 一般地，我们考虑如下的n 阶对称常微分算式 f ( y ) = r j ( z ) y j = o z j = ( a ，6 ) ，一o o a b ( d o ，( 1 7 ) 其中n = 2 k ，七为正整数，o 为正则点胃1 ) ，p 1 ( z ) ，r ( z ) 是在( o ，+ 。) 上满足适当可 微条件的复值函数设l m ，厶分别表示由算式f 在空间l 2 ( 口，+ o 。) 中生成的最大和最小算 子9 m ，刃。分别为l m ，l o 的定义域设( ，) 表示h i l b e r t 空间l 2 ( ，) 中的通常内积，0 i j 表 示其相应的范数 若在任何自区间( 口，d ) ( d j ) 中，函数石1 ( z ) ，p 1 ( z ) ，r ( z ) 都是可积的，则称 端点。为正则的；否则称为是奇异的相似地，若在任何白区间( d ，6 ) ( d ，) 中，函 数市1 ( z ) ，尸l ( z ) ，r ( z ) 都是可积的，则称端点6 为正则的；否则称为是奇异的 在本文中，z ( y ) 在端点。是正则的，6 点是奇异的设z ( y ) 具有相同的亏指数( d ，d ) ( 下n + l d n ) ，用符号木来表示矩阵的复共轭转置 5 引言 引理1 1 对任意区j 问j l 满足条件! ，( n 一，z m 一1 ) a q d c ( j ) 的函数y ，z ，我们有下 述三叼。叼e 恒等式： f ( 3 ，) 虿一厢= 罢捌( z ) ， 其中 舭= ( 一1 ) 讪y 一l 乏) = 劬l ( z ) 可( h ) - 2 0 _ 1 ) 江1j + l = i 一1 j ，l = 1 对任何区| 1 可【o t ，硎cj ，有下面的g r e e n & 式 f 坳) 乏出一f 厢出曲矧( 舻 删q ) ( 1 8 ) 我们称【， 为与z 相关的l a g r a n g e 双线性型令q ) = ( 劬知( z ) ) ( 歹，k = 1 ，佗) ，则 称q ( x ) 为与f 相关的l a g r a n g e 双线性型矩阵经简单计舅t - j - 得： d e t q ( x ) = p o ( z ) ) n 0 容易验证下述结论： 以) y ，z 】( z ) = - z ，鲥( z ) ； 例对任意y ，z d m ，极限 ( 。) = z l 。i r a 。+ y ( x ) ，y ( a ) = z 1 i m 。+ y 7 ( z ) ，【! ，z 】( 6 ) = 。l i 2 _ k ，名】( 。) z + o z d 上 。 。、 存在且有限； 俐q ( z ) 是非奇s k e w h e r m i t i a n 矩阵，即q ( z ) = 一q ( z ) ； 似j 【q 一1 ( z ) 】= 【q ( z ) 】一1 = 一q 一1 ( z ) 定理1 1 ( g k n ) l 2a ，b ) 内的线性流形d 为f ( ) 的自共轭域，当且仅当存在9 m 内的一组 函数v l ，v 2 ，满足如下三个条件： 门) 对于任何非平凡的复数组c 1 ，c 2 ，有：1c v 毛9 0 ； 俐陬，】( 6 ) 一【v i ，】( o ) = 0 ，i ，j = 1 ，d ； 俐d = 可9 m l v ，吩】( 6 ) 一 y ，】( o ) = 0 ，j = 1 ，2 ，d ) 其中d 是的亏指数，【，】是与f 相关的l a g r a n g e 双线性型 6 内蒙古大学硕士学位论文 引理1 2 任取复数a o ，o c l ，q ( n 一1 ) ，风，伪，风一1 ，则存在习m 中函蜘，满足旷l ( a ) = 乜，y 【r l ( b ) = 屏( r = 0 ，1 ，竹一1 ) 引理1 3l ( y ) = o 的一切解属于l 2 ( o ，6 ) ，则可习。的充要条件是 y ( j 一1 ( o ) = 0 ，【，奶】( 6 ) = 0j = 1 ，2 ，n 引理j 彳设d 为z ( y ) 的亏指数且m = 2 d n 假设存在入r 使得f ( ) = 入y 在l 2a ，b ) 中 有d 个线性无关的实值解，则存在z ( y ) = 入y 的解吻驴【o ，6 ) ，j = 1 ，仇，使得m m 矩 阵 u = ( 【u i ，】( o ) ) ，1 i ，j m( 1 9 ) 非奇异且 d 。眦= d 。i n4 - s p a n z 1 ，z 2 ，) 4 - s p a n ( u l ，u 2 ，u m ) ( 1 1 0 ) 引理j 5 设d 为2 ( 可) 的亏指数且m = 2 d n 设存在入瓜使得f ( y ) = a yz a ，6 ) ， 在l 2a ，6 ) 上有d 个线性无关实值解，则存在f ( ) = 的d 个线性无关的实值解u 1 ，呦， 满足如下三个条件： j m m 矩阵 即为u = ( - 1 ) 七十1 显然是非奇异的 2 对任意的y 9 m 有 u = ( u t ，】( o ) ) ，1 i ，j m 00001 000 1 0 01000 10000 【u j ，引( 6 ) = 0 ，其中歹= m 十1 ，d 7 引言 【u l ，u j l ( a ) = 【u ；，u j l ( b ) = 0 ，其中j = m + 1 ，d 引理j 6 在引理f 名的前提下，习m 内的线性流形囝是f ( ) 的自共轭域，当且仅当存在d n 复矩阵a3 , 7 2 及d m 矩阵b ，满足以下三个条件： f r a n k ( aob ) = d i 2 a e n a = b e m b ； 舅d ( s ) = y 9 m ： y ( a ) y 【n 一1 】( o ) 【y ，珏1 】( + o 。) l + bl ； 其中局是j 阶满足以纠的对称矩阵。 8 y ，】( + o 。) 2 。j u 内蒙古大学硕士学位论文 第二章自共轭微分算子边界条件的分类 2 1严格分离型边界条件 在此论文中，我们假设对一些谱参数入的实值，等式l ( u ) = a y 在日中包含d 个线 性无关的实值解，即u 1 ，u 2 ，锄。换句话说，如果等式l ( y ) = a y 对于一些入r 在 日中有d 个线性无关的解，则其在日中就有d 个线性无关的实值解。 接下来，我们将证明严格分离边界条件的唯一性，首先，给出几个引理。 引理2 i 设m 是任意一个偶数，c 是一个rxm 的矩阵且r a n k ( c ) = r ，假设 c c = 0 ，( 2 1 ) 其中是m 阶满足以砂的辛矩阵。则7 互h 。 证明：假设c = ( q l ，口2 ，o t r ) t ，其中a t 是c 的行向量，则r a n k ( c e m ) = r 。等式 c c = 0 可写成 其中( ，) 表示c ”中的内积。 这表示 q 1 a ； 昕口；三：兰(口2ri)=。 d ，e m ( o q ，o c j ) = 0 ，i ，j = 1 ，2 ，r ， ( 2 2 ) q t q 1 ，q 2 e m ，口r e m ) 上，i = 1 州2一，r ( 2 3 ) i e 1 时的情形，故当端点b 上只有一个分离边 界条件时根据定理偿纠，这种情形只有在d = k + 1 时才会出现。 推论2 j 2 如果引理“纠的条件及假设都成立，且假设d = k + 1 则任意b 点上的复值 自伴边界条件可由等价的实值自伴条件所替代。 证明：在此情况下m = 2 d 一2 k = 2 ，假设矩阵b 的形式为 ， b = ( 。：。) ，9 ，危c 其中 易= 且条件b 易b = 0 表示 g h = y h 1 1 ( 2 1 0 ) 自共轭微分算子边界条件的分类 由于r a n k b = 1 ，故g ，h 中至少有一个不为零。不妨设h 不为零，则 引3 ，u 1 ( b ) + h y ，u 2 】( 6 ) = 0( 2 1 1 ) 由万我们可以假设 是实值的。这表示在等式偿j 砂中g 是实值的。当g 不为零时讨论 与上类似。显然，由于矩阵b 除了g ，h 其他行向量都是零，故由以上讨论可知，推论成 立。证毕。 定理2 2 当n = d = 2 k 则m = 2 d 一2 k = k ，8 = 七可由严格分离的边界条件构造非实 型自伴微分算子。 e l = ( 1 ，0 ，0 ，0 ，o ) 1 2 七 e 2 = ( 0 ，1 ，0 ，0 ，o ) 1 x 2 七 e k = ( 0 ，0 ，0 ，0 ，1 ，0 ，o ) 1 2 k( 2 1 2 ) - e i 尾亍( 0 ，0 ，0 ，0 ，1 ) 1 燃 e 2 r = ( 0 ，1 ，0 ，1 ，o ) 1 2 七 e k 风= ( 0 ，0 ，0 ，0 ，1 ，0 ，o ) 1 燃( 2 1 3 ) _ f 当k 是偶数时，置 a - ( 髦) 其中 a = e 1 + i e 2 - - 1 + i e 2 磊 e 3 + i e 4 - - e 3 + i e 4 r e k 一1 + i e k - - e k 一1 r + i e k b 】2 内蒙古大学硕士学位论文 b = ( 芝) 其中 百：= ( j i 七。七七) 。则r a n k ( aob ) = n 且a 既a = 0 ，b 磊b + = 0 因此a 既a 。= 0 ，b e n b + = 0 由 定理俾砂，有严格分离的非实型自伴边界条件， 2 当k 为奇数时， 令 y ( a ) + i y 1 】( o ) = 0 i y n 一刁( o ) + “一1 1 ( 口) = 0 ( o ) + i y 3 1 ( 口) = 0 y 【眦】( o ) + i y k 一1 】( 口) = 0 ( o ) + 扩+ 1 1 ( o ) = 0 y ，乱1 】( 6 ) = 0 y ，u 2 】( 6 ) = 0 y ，u 七】( 6 ) = 0 一e 1 玩= ( 0 ，0 ，0 ，0 ，1 ) 1 2 七 e 2 玩= ( 0 ，1 ，0 ，1 ，0 ) 1 2 k e k 一1 玩= ( 0 ，1 ，0 ，0 ，1 ，0 ，o ) 1 2 七 ( 2 1 4 ) 一e k 玩= ( 0 ，0 ，0 ，0 ，1 ，0 ，o ) 1 2 南 ( 2 1 5 ) a = 自共轭微分算子边界条件的分类 其中 其中 a = e l + i e 2 - - e i + i e 2 既 e 3 + i e 4 - - e 3 + i e 4 风 e k 一2 + i e k 一1 一e 一2 鼠+ i e k 一1 昂 e 七 b ：卜 x 燃2 k ) 豆= ( 七) 则r a n k ( aob ) = n 且a 晶a = 0 ，b 昂b = 0 因此a b a = 0 ，b 既b + = 0 由 定理俾砂，有严格分离的非实型自伴边界条件， ( o ) + 圳1 1 ( o ) = 0 i y n 一2 1 ( o ) + 扩一1 1 ( o ) = 0 y n ( a ) + i y n ( a ) = 0 扩一3 1 ( o ) + i y 七一2 1 ( o ) = 0 扩+ 1 1 ( o ) + 扩+ 2 1 ( 口) = 0 钞陋一d 1 】( 口) = 0 y ，u 1 】( 6 ) = 0 【y ，u 2 】( 6 ) = 0 【y ，让七】( 6 ) = 0 1 4 ( 2 1 6 ) 内蒙古大学硕士学位论文 注彳：在引理以砂中由严格分离的边界条件构造了非实型自伴微分算子的分类，由实型 极限圆( l c ) 偶数n = 2 k 4 的微分表达式，尽管只由l c 构造的情形下，我们 的结果对于正则和奇异的情况下都成立。其中，k d 2 d 在正则情形下，只用到 可( 6 ) ，( b ) ，( 6 ) ，替换b ，让- 】( b ) ，眦u 2 】( b ) ， 2 2边界条件的分类 在这一段中我们将自伴边界条件分为三类，即严格分离型、耦合型及混合型自伴边 界条件。其中，严格分离的边界条件是由一个端点具体说明的；耦合型边界条件是由两 个端点互相关联的；混合型边界条件则是由以上两种情况共同构成的：既有一些分离型 边界条件又有一些耦合型边界条件。我们将在以下得到，如果所有边界条件都是分离型 的，则端点a 上恰好有k 个边界条件而端点b 上恰好有d k 个边界条件。 定理2 3 如果引理门纠的条件及假设都成立，假设矩阵4 ，b 满足引理p 纠的自伴条 件( 1 ) ，( 2 ) ，贼 j k r a n k ( a ) d ，d k r a n k ( b ) m = 2 ( d k )( 2 1 7 ) 2 假设0 r d k 如果 则 证明： 1 由定理俾) 的证明，我们可得 r a n k ( a 1 = k + 7 r a n k ( b 1 = d k + r 七= 兰 _ r a n k ( a ) d ，d 一七= 竺2 _ r a n k ( b ) m ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 2 当r = 0 时r a n k ( a ) = 尼由定理俾砂我们可得r a n k ( b ) = d k 。在这种情形下，引 理门纠中的等式表示严格分离自伴边界条件。 1 5 自共轭微分算子边界条件的分类 。假设r a n k ( a ) = k + n1 r d k ，且r a n k ( b ) = d k + h ，l h d k 。 则边界条件两边乘以非奇异矩阵并且可以互换行向量，必要时可以假设矩阵a 的前 k + r 行是线性无关的，而其它行都是零。由定理俾_ j 的条件n 我们可以假设矩阵b 的d k + h 行是线性无关的且其它行向量都是零。令8 = d k 设 且设 则计算后可得 a = ( o i l ，o l k ，o l k + 1 ，o l k + r 0 ，0 ，) 丁，( 2 2 1 ) b = ( 0 ，0 ，玩+ ，风+ 1 ，凤，p 1 ，) t( 2 2 2 ) a 晶a = b b + = 由a 既a 4 = b e m b + ，可得 口l b a ； q 1 晟q ；+ r o l k + r e n q ：+ r 8 8 + h e m + h p 1 终h 口1 鼠q ；+ r o + 1 1 ) e n o l ： o l d 一( 8 + h ) e k a ；+ ， 1 6 0 0 0 0 0 0 队e m 髓 0 ( 2 2 3 ) 0 一 o 0 0 一 一 一 一 0 o 0 0 一 一 一 一 一 0 0 0 0 7勘。：。! 叽 吣 一o o 一加 内蒙古大学硕士学位论文 等式俚2 s ) 与 纛p ：) 2 = 。c d 一七一r ，c s + ， ( 2 2 4 ) q t c y l e ，c y 2 e ，q | c + ，r ) 上，i = 1 ，2 ，k h ( 2 2 5 ) 等价，且等式俚2 4 ) - 与 屈 风屁，凤+ _ 1 ) 上，i = 1 川2 一，d k 一，( 2 2 6 ) 等价，因此在c 礼中 d i m c y l 玩，口2 既，q 枷最) 上= k r( 2 2 7 ) 由偿2 5 ) 可得k h k ni e h r 因此在c m 中 d i m z 1 e m ，岛，展+ ) 上= d k h( 2 2 8 ) 由俾2 6 n 得d k r d k h ，i e h r ，所以h = r 这就表明，如果0 r d k 且r a n k ( a ) = k + r ，则r a n k ( b ) = d k + r 证 毕。 推论2 2 1 设引理以纠中的定义和假设都成立。若d = 后，则b = o 此时，b 上没有边界 条件，且所有自伴边界条件的定义域由以下a 上的分离边界条件给出： a y ( a 、= 0 其中4 是复的秩为七的kx2 k 矩阵且满足 a e a 。= 0 证明：当r = 0 号b = 0 证毕。 边界条件的种类的个数由引理p 砂中的参数r 确定，以下我们将坚持这一点。 1 7 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 瓯 伸 风 椁 山 防 仉 风 自共轭微分算子边界条件的分类 定理2 彳边界条件的不同种类的个数为d - k + 1 引理以缈中r 的每一个值确定一种情形 且当所有条件是由对于r = 0 分离的极值情形。其它极值当所有边界条件对偶r = d k 时的情形，此时只能在极限圆中出现，当然就是在正则情形中。则混合型边界条件的个数 是由当l r d k 时给定且正好有2 r 对偶。a 上有k r 分离，b 上有d k r 分 离。 1 8 内蒙古大学硕士学位论文 第三章边界条件的各种标准型 本章讨论自伴微分算子边界条件的标准型是什么样的。由引理门纠可知，自共轭边 界条件满足方程 a e a + = b e b ( 3 1 ) 其中 c al b ，= ( a 1 ；a a 4 2 三b 玩2 ) 以下首先讨论a ，而b 可以类似讨论。假设b 3 = c ，b 2 = 0 ，b 4 = i 且a ，b 符合方 程p 砂则可有 a i e a ；+ a ：e a ：= 0 ( 3 2 ) a 4 e a ：+ a a e a ；= e b ： 以下我们将讨论k = 2 和k = 3 的情形。 3 1边界条件的各种标准型 一、当n = 4 = 2 k ，k = 2 时 - f 当r ( a 1 ) = 2 或r ( a 2 ) = 2 时，由p 缈，p 剀式可知其标准型为： 1 0 r l e 坩1r 2- 4 4一一a 3 4 0o l 01 r 3一r l e 一9 l 一_ 4 3a 3 3 0 o l 0 0 0 3 30 3 4c 1 e 概c 2 10 o 0 0 4 3 a 4 4 c 3一c l e 一口10 1 其中n 和白是实数，一7 r p ，p 7 r 1 9 a 1 2 0 o a 2 3：4 ) ( 3 3 ) 吼 0 ， = 为 a 时 h i | 力 ar 且 i i d 设假 当 绞 边界条件的标准型 由p 矽可得如下关系式： a l l _ 2 4 一a 1 2 石2 3 = 0 以下我们将分别讨论其所有可能性。 ( 3 4 ) 俐若a l l = 0 则由方程p 彳) 可知a 1 2 2 3 = 0 ，而由于a 1 2 0 故a 2 3 = 0 所以 a 2 4 0 ，不妨设a 1 2 = a 2 4 = 1 此时 ，= 1 一_ c 再对换第2 ，彳列可得 涵幽= ( ：；一 再由等式p 彰可知a 4 = b l = 0 此时得到的标准型与满秩时相同。 例若a l l 0 且a 1 2 = 0 时，由等式p 可知a 2 4 = 0 ，不妨设a 1 1 = a 2 3 = 1 此时 ( a 。ia ：) ：f ，1 。0 、 d 01 o j 对换第2 ，洌可得 c m ，= ( 三呈 再由等式p 圳可知a 4 = b l = 0 此时得到的标准型与满秩时相同。 俐若a l l 0 且a 1 2 0 时，由等式p 可知a 2 4 0 且a 2 3 0 ，不妨设a 1 1 = a 2 3 = l 此时 对换第2 ，洌可得 ，1 ( a 1ia 2 ) = l | 0 f 、 ( 五i 五) ：i 上 | 0 2 0 口1 2 0 0 、 1 0 1 a 2 4 00 1 2 0 、 l 10 g 2 4 、l i j ， l 0 0 0 0 l 内蒙古大学硕士学位论文 豆= ( 兰言) = l ；00三110-兰1 由p 纠式可得a 2 4 = a 1 2 而 由p 剀式可得 c 4 3 l i a ，= = ( 三。3 2d 兰。a 孑口4 4 ) 耻仨二习 此时得到的标准型与满秩时不同。 注彳：当a 2 对角线上的不为零的元素为j 时，在做一次列变换的基础上a 2 中反下三角 上的元素符号与满秩时正好相反；b 1 中最后一行中的元素符号与满秩时也都正好相反。 二、当n = 6 = 2 k ，k = 3 时 1 当r ( a 1 ) = 3 或r ( a 2 ) = 3 时，由p 剀，p 剀式可知其标准型为： 10 0 t 1 e 8 1r 2 e 溉i r 4_ 6 6一醌6- 4 6 0 0 0 010 r 3 e 如i r 4r 2 e i 如 一瓦6 5_ 5 5一- 4 5 0 0 0 0 01 i r 6r a e 一如一r l e - i 0 1她一_ 5 4 瓦“00 0 0 0 0 0 4 4q 4 5a 4 6 c l e 卢1 c 2 e 嘞 c 4 10 0 0 0 0 a 5 4a 5 5 a 5 6 c 3 e i 角c 5c 2 e 一蚀010 0 00 口6 4 a 6 5a 6 6c 6c 3 e 一风一c l e 一馈001 其中n 和q 是实数，一7 r 口，卢7 r 边界条件的标准型 2 当r ( a 1 ) = 1 且r ( a 2 ) = 2 或产( a 1 ) = 2 且r ( a 2 ) = 1 时： 假设 a l la 1 2a 1 3 000 a 1ia 2 2 l 兰兰兰口a 弘2 4 兰薹三： 由p 剀式可得如下关系式： a l l - 2 6 一a 1 2 a 2 5 + a 1 3 a 2 420 a l i a 3 6 一a 1 2 一a 3 5 + a 1 3 a 3 420 以下我们将分别讨论其所有可能性。 俐当a l l = 0 ，a 1 2 = 0 时，由p 纠式可知a 2 4 = 0 ，a 3 4 = 0 此时 对换j ，6 和z , 5 n 可得 1 1 ( a 1la 2 ) = l0 i t d 0 0il l 010i 1 0 0 q 0 0 0 0o l 10 0 0 0i 1 010 0 q ( 3 5 ) ( 3 6 ) 再由等式p 纠可知a 4 = b 1 = 0此时得到的标准型与满秩时形式相同。 俐当a l l = 0 ，a 1 3 = 0 时，由p 纠式可知a 2 5 = 0 ，a 3 5 = 0 此时 2 2 、lilii， 0 0 1 0 1 0 0 0 0 l 0 0 0 0 0 0 0 0 ，i-_il、 _ 、liiii 0 眈 5 5 0 眈 0 0 0 3虮 0 0 0 0 0 n u o 0 ，i-_i_il、 = 、l ， 2 a l a 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ，一 _ 、lllll， 0 0 1 0 0 0 o 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ，-i_-iiii、 一 、illlli， 0 眈 0 o 0 4 4 o 眈 船 0 0 0 吼 o 0 0 0 0 ，-i_ii、 = a a 内蒙古大学硕士学位论文 对换j ，彳和舅例可得 1 ( a 1 a ：) = l0 i t d 10o l 1 0 0 0l 1 0 0l ， 0 0 0 0o 1 10 0 0 0l l 010 0 o 再由等式p 砂可知a 4 = b 1 = 0此时得到的标准型与满秩时形式相同。 俐当0 1 1 = 0 ，0 1 2 0 ，a 1 3 0 时： z 当0 2 4 = 0 ，口3 4 = 0 时，由p 6 ，式可知口2 5 = 0 ，0 3 5 = 0 此时 由于r ( a 1ia 2 ) = 3 故此类情形可略去。 娩当z 2 4 = 0 ，0 3 4 0 时，由p 砂式可知0 2 5 = 0 不妨设0 1 2 = 0 2 5 = 0 3 4 = 1 此时 对换f ，彳和s , 6 歹o 可得 o 0 0 0 1 o 0 0 0 ，-_li、 _ o o 0 o 0 0 0 o 3毗 0 0 吼 0 0 0 0 0 ，-_i_ii、 _ 、liliij， 6 6 0 眈 蚴 0 o 0 0 0 0 虮 0 0 吼 0 o 0 0 0 ，一 = aa 、 0 1 0 5 0 0 蚴 0 0 1 吼 0 0 1 o 0 0 0 0 ，一 一r 、lii o 1 o 0 0 0 1 3吼 0 0 1 0 0 0 o 0 ，j-_li、 = aa 、l， 1 0 0 5 o 0 蚴 o 0 1 3 0 0 0 1 0 o 0 0 ，j-_-i、 _ 、llllij， 1 0 0 5 0 0 鲰 3 o 吼 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 ，i。一 = 、i ， 2 a l a 边界条件的标准型 ，= 1 1 00 。4 30 a 4 5 0 ) 耻畦割 c a - ia 。，= ( i 三专3 三兰i 兰) c a l a z ，= ( 三三毫3 三 5 ；) _ i 001 a 2 5 ；) c a si a a ，= 1 1 0a 4 30a 4 5 0 ) b ，= ( 享5 一a 孑5 5 3 专5 ) 若做行对换时将a 2 中的反对角线上的元素对换成非d 即j 时得到的 标准型与满秩时形式相同。 内蒙古大学硕士学位论文 当a 3 5 0 时，不妨设a 3 5 = 1 此时 c a s a t ，= i 0a 4 30 0 0 ) 耻睢0 俐当0 1 1 0 时，不妨设0 1 1 = 1 c a - ia 。，= g 鼍2 3 三三。兰：) e = 0 o00o一1 0 00010 00 0 1 o0 0 010o0 010000 10 0000 2 5 眈 加 0 0 1 1 0 0 3 o 吼 o 0 1 0 0 0 0 ，j-_-_li、 _ 、lillij， 6 6 0 眈 的 0 0 1 0 1 0 3 吼 0 0 1 0 0 o 0 0 ，一 = 2 aa 边界条件的标准型 c a 3i a 4 ，= ( 三三三三i 兰兰三) 耻旺斗 3 2 进一步的结果 我们可以把上述标准型推广到更一般的高阶微分算子的情况。 一、当n = 8 = 2 k ，k = 4 时，有以下彳种情形，我们以下每种情形将只给出其中一 种情况。 j 当r ( a 1 ) = 4 或r ( a 2 ) = 4 时由p 剀，p 剀式可知其标准型为： a = 100 0r l e 9 1 t 2 e 讹r 3 e 溉7 7 010 0t 4 e 0 4 r 5 e 口5r 8r 3 e 一协 0 010r 6 e r 9一r s e i 如r 2 e 一如 0 0 01 7 1 0r 6 e 一r 4 e 一识4 一t i e 一口1 0 0 0 0 a 5 5a 5 6a 5 7 a 5 8 0 0 0 0 a 6 5a 6 6 a 6 7a 6 8 0 0 0 0 a 7 5a 7 6a 7 7a 7 8 0 0 0 0 a 8 5a 8 6a 8 7a 8 8 2 6 内蒙古大学硕士学位论文 b = a 8 8 - a 8 7 a 8 6 0 8 5 c l e t 仇 c 4 e 1 3 4 c 6 e t 风 e 1 0 - - a 7 8 a 7 7 0 7 6 a 7 5 c 2 e t 如 c s e i 风 c 9 a 6 8 一q 6 7 a 6 6 一0 6 5 c 3 e i 愚 c 8 0 5 8 a 5 7 一0 5 6 a 5 5 c 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 l00 0 c 3 e 一风0 10 0 一c 5 e 一风c 2 e 一虎0010 一c 6 e 一风c 4 e 一风 一t i e 一卢l 0 001 其中吩和勺是实数，一7 r 口，p 7 r ，j = 1 ，1 0 2 当r ( a 1 )