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文档简介

微积分初步,函数的导数与微分函数的不定积分与定积分,1函数、导数与微分,一、变量、常量与函数变量：在某一过程中取值会不断变化的量。常量：在某一过程中取值始终不变的量。函数：变量y按某种确定的关系随变量x的变化而变化，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量，写作：y=f(x)例：y=3x2+2x,y=5sinx,y=ax,y=e2x复合函数：若y是z的函数y=f(z)，而z又是x的函数z=g(x)，则称y是x的复合函数，记作：y=(x)=fg(x)例：y=sin(ax2+bx+c),y=esin(2x+3),二、函数的导数,函数y=f(x)在x处的导数定义为：,例：求函数y=x2在x=1和x=3时的导数值。,基本函数导数公式,导数的基本运算法则：（设u=u(x),v=v(x)）,例1：求y=x3lnx的导数,解,例2求y=sinx/x的导数,解,二阶导数与高阶导数,前述函数的导数是y对x的一阶导数，若将一阶导数y再次对x求导，则为二阶导数：,同理，将二阶导再对x求导则为三阶导，三阶导的导数则为四阶导等。例求y=x3+3x2的二阶导数,三、函数的极值,极值点处的切线一定是水平的，因而极值点的判定条件是：f(x)=0极大值点的条件是：f(x)=0，f(x)0极小值点的条件是：f(x)=0，f(x)0,例求函数y=4x3-3x2+5的极值点和极值,解：因y=12x2-6x令y=0得x1=0,x2=1/2此为其两个极值点。又y=24x-6，有y(x1)=-60，y(x2)=60因而x1=0是极大值点，对应的极大值为y1=5x2=1/2是极小值点，对应的极小值为y2=19/4,四、函数的微分,例求函数y=5x+sinx的微分,2不定积分,一、原函数前一节学了求函数y=f(x)的导数f(x)，现若已知一函数F(x)的导数为f(x)，要求原函数F(x)例因(x3)=3x2，所以x3为3x2的原函数（sinx)=cosx，sinx是cosx的原函数F(x)=F(x)+c，c为任意常数，函数f(x)的原函数有任意多个：F(x)+c,二、不定积分,定义：函数f(x)的所有原函数F(x)+c叫f(x)的不定积分，记为：,2019/12/15,15,可编辑,不定积分公式：,不定积分运算法则：,例1求,解：令u=1+x,微分得：du=dx，有：,例2求,解：令u=ax+b,微分得：du=adx，有：,例3求,解：令u=x2+1,微分得：du=2xdx，有：,例4求,解：令u=e3x,微分得：du=3e3xdx，有：,3定积分,定积分的主要性质：,定积分的计算（牛顿莱布尼茨公式）,例1求,解：令u=x2+1,微分得：
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