（电路与系统专业论文）基于提升系统的小波多分辨分析图像增强及其应用研究.pdf

摘要 随着图像处理技术的发展，基于机器视觉的图像处理已成为工业检测和医学诊断辅助治疗的 重要手段之一。图像在形成和传输过程中受到噪声的污染从而降低质量，造成误检和误诊，故有 必要抑制两类图像的噪声并增强图像。本文针对此问题，以对比度改善和高频锐化为目标，对图 像进行增强预处理，这有着重要的意义。 本文依据小波变换和l w t 的基本理论，在研究图像去噪和图像增强的基础上，首先用滤波 器组实现了l w t ，并通过其对同一图像的分解与m a l l a t 算法进行了比较。然后应用小波全局阈 值软函数消噪、小波全局闽值硬函数消噪和提升小波阂值消噪的方法对滚珠缺陷图像一一 l i n e b m p 、p o i n t b m p 、c a b m p 进行了去噪处理并研究它们对去噪效果的影响。最后，在小波域图 像增强的研究过程中，对小波基的选择、图像分解级数以及高频加权系数和低频弱化系数做了详 细的分析与实验；应明s o b e l 算子、l a p l a c i a n 算子、提出的s o b e l 算子和l a p l a c i a n 算子相结合的 混合算法、小波变换、l w t 及小波梯度算法对三类缺陷图像以及医学c t 图像进行了增强处理。 本课题提出的混合算法增强了图像的边缘细节并很好的将图像的主体和背景区分开来，但只 适用于l i n e b m p 类细节信息简单的图像：l 胛不仅在突出细节的基础上增强了图像的层次感， 而且比小波变换更好的保留了原图像的细节，且适用于f l u j e t b m p 类比较复杂的图像，故有很广 阔的廊用前景。 关键词：提升小波变换，图像增强，图像玄噪，滚珠缺陷图像，医学c t 图像 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h ei m a g ep r o c e s s i n gt e c h n o l o g y , m a c h i n ev i s i o n si m a g e r yp r o c e s s i n g h a sb e c o m eo n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm e a n si ni n d u s t r ye x a m i n a t i o na n dd i a g n o s i s s i n c et h en o i s e p r o d u c e di nt h ep r o c e s so ft r a n s m i t t i n ga n df o r m i n gi m a g eh a sd e b a s e dt h eq u a l i t yo fi ta n dh a sa f f e c t e d t h ee x a m i n a t i o na n dd i a g n o s e ，s os u p p r e s sn o i s e sa n de n h a n c ei m a g ei sn e c e s s a r y t h i sa r t i c l ea i m e sa t t h i sq u e s t i o n ，a n da c c o r d i n ga st h en e e do fi m p r o v i m gc o n t r a s ta n ds h a r p i n gt oe n h a n c ei m a g e ，t h i sh a s i m p o r t a n tm e a n i n g t h i sa r t i c l ea c c o r d i n ga st h eb a s i ct h e o r yo fw a v e l e tt r a n s f o r ma n dl w t , a n do nt h eb a s i so f s t u d y i n gi m a g ed e - n o i s i n ga n de n h a n c e m e n t u s e df i l t e r st oi m p l e m e n tl w t , a n dc o m p a r e dw i t hm a l l a t a r i t h m e t i cv i at h ep r o c e s so fi m a g ed e c o p o s i t i o na tf i r s t a f t e r w a r d sa p p l yw a v e l e tf u l lt h r e s h o l ds o f t f u n c t i o n 、w a v e l e tf u l lt h r e s h o l dh a r df u n c t i o na n dl w tt h r e s h d dd e - n o i s i n gt od e n o i s eb a l lb e a r i n g d e f e c t e di m a g f l i l l e b m p 、p o i n t b m p 、c a b m p ，a n ds t u d yt h r e ea r i t h m e t i c st ot h ed 争n o s i n gi n f l u e n c e f i n a l l y ，d u r i n gs t u d yo ni m a g ee n h a n c e m e n ta c r o s sw a v e l e tf i e l d ，w ea n a l y z eh o wt oc h o o s ew a v e l e t f u n c t i o n 、w a v e l e td e c o m p o s e ss e r i e s 、h i g hf r e q u e n c ye n h a n c e sm u l t i p l ea n dl o wf r e q u e n c yr e d u c e s m u l t i p l ed e m i l e d l y ，a tt h es a m et i m ew ea l s oe x p e r i m e n to nt h a t ；w ea p p l ys o b e la r i t h m e t i c 、l a p l a c i a n a r i t h m e t i c 、m i x e da r i t h m e t i c 、w a v e l e tt r a n s f o r m 、u ta n dw a v e l e tg r a d sa r i t h m e t i ct oe n h a n c et h r e e k i n d so fd e f e c t e di m a g ea n dc t i m a g e t h em i x e da r i t h m e t i cp r e s e n t e di n t h i sa r t i c l ee n h a n c e di m a g e se d g ed e t a i la n dd i s t i n g u i s h e d p r i n c i p a lp a r tf r o mb a c k g r o u n dw e l l ，b u tt h i sa r i t h m e t i ca p p l i e st os i m p l yi m a g el i k el i n e b m po n l y ；l w t n o to n l ye x t r u d ed e t a i l sb u ta l s oe n h a n c ei m a g e ss e n s eo fd e p t h ，a n di ti sb e t t e rt h a nw a v e l e tt r a n s f o r m i nk e e po r i g i n a li m a g e sd e t a i l s ，e v e ni ta p p l i e st oc o m p l i c a t e di m a g es u c ha sf l u j e t 。b m p ，s oi th a sw i d e a p p l i e df o r e g r o u n d k e y w o r d s ：l w t , i m a g ee n h a n c e m e n t ，i m a g ed e - n o i s i n g ，b a l lb e a r i n gd e f e c t e di m a g e ，c ti m a g e 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 研究生签名壶- l 铛颤 帆加罗年亏月幻日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位 论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名：舀1 会 导师签名：矽卵午， 。 时间：哆年苫月力日 时间：呷咐胪日 宁夏人学硕i ：学位论文 第一章绪论 1 1 课题研究背景和意义 第一章绪论 随着科技的进步，计算机图像处理技术已经成功的应用于几乎所有的与成像有关的领域。作 为图像处理主要任务之一的图像增强技术旨在改善图像的视觉效果，或将图像转化为另一种形 式，以便根据特定任务为后续处理提供方便。它不以图像保真度为原则，而是通过处理( 包括对 比度增强、直方图修正、去噪、锐化以及彩色增强) 设法有选择地突出便于人或机器分析某些感 兴趣的信息、抑制一些无用的信息，从而提高图像的使用价值为目的；其方法往往有针对性，也 没有通用、客观的标准衡量图像增强的质量。因此不同图像增强的处理方法需根据实际需要有选 择地使用，并结合相关指标和人的主观感觉加以综合评价。然而，基丁二机器视觉的工业零件检测 中滚珠缺陷图像和医学图像信息采集观测中c t 图像的图像增强预处理是检测零件质量和对病人 做出恰当诊断的关键。 随着数字图像处理技术的飞快发展，图像增强技术也在不断的发展进步，随之也伴随着许多 图像增强算法的诞生与应用。小波分析就是近几十年来兴起的一种新的信号分析处理技术，是国 际上一个非常热门的前沿研究领域，是继f o u r i e r 变换的一个突破性发展，它给许多相关领域带 来了崭新的思想，提供强有力的工具，在科技界引来了广泛关注和高度重视。小波变换可同时进 行时域和频域的分析，具有多分辨( 多尺度) 分析的特点( 即具有变焦特性) 当尺度大时对 应于低频情况，时窗大而频窗小，时域分辨率低而频域分辨率高；当尺度小时，对应于高频情况， 时窗小而频窗大，时域分辨率高而频域分辨率低。小波多分辨分析能通过不同尺度来提取信号特 征，并在不同尺度上将信号和噪声分开，所以它在图像去噪和增强方面有很大的优势，本文依据 这一点，针对滚珠缺陷图像，进一步研究基于小波多分辨分析的图像增强方法。 随着小波分析的进一步发展，1 9 9 5 年，w i ms w e l d e n s 和e s c h r o d e r 在文献中正式提出了小 波提升格式及第二代小波的概念。w i ms w e l d e n s 在1 9 9 6 年给出了经典小波中双正交滤波的提升 格式，并证明了它的提升过程。这种提升格式的小波变换不仅继承了小波变换的所有优点，同时 也克服了其依赖于傅立叶变换这一缺点，并且在图像去噪和图像压缩上都有了很好的应用。然而 其在图像增强处理领域的研究还有待发展，所以研究基于提升小波变换的图像增强，也就是当今 热点研究问题之一。 1 2 小波变换及其在图像处理中的应用和研究进展 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师j m o r l e t 在1 9 7 4 年首先提出的。它与 f o u r i e r 变换、窗口f o u r i e r 变换( g a b o r 变换) 相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能 有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析 ( m u l t i s c a l e a n a l y s i s ) ，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难问题，小波变化被誉为“数学显 微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技信息产 业领域取得了令人瞩目的成就。 电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方 宁夏大学硕f j 学位论文第一章绪论 面是图像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的 就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构( 或恢复) 。从数学 的角度来看，信号与图像处理可以统一看作是信号处理( 图像可以看作是二维信号) ，在小波分 析的许多分析应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随时间是稳定不变的信号， 处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用 于非稳定信号的工具就是小波分析。小波分析现在已经广泛应用于图像压缩，边缘检测，图像融 合等图像处理领域，如指纹识别技术，数字水印技术，图像传输等，同时其在图像增强方面也取 得了很大的成果。u 卜4 1 小波变换理论是近几年兴起的时( 空) 频域分析理论，通过对原始图像进行小波变换，可以 将图像信号由时间域( 空间域) 表示变换- 至) p b 波域表示。利用小波变换的正交或双正交变换特性， 解除图像像素间的相关性，消除图像信号在空间的冗余，并集中图像信号的能量，为后面的系数 加权增强或是相对弱化等提供前提，为高效的图像增强奠定基础。传统的卷积小波( 第一代小波) 变换，由于采用卷积运算方法，过程复杂，运算量大，实时性较差，不利于硬件的实现。1 9 9 5 年s w e l d e n s 提出了一种不依赖于傅立叶变换的新的小波构造方法一提升格式( l i f t i n g s c h e m e ) ， 称之为第二代小波变换。这种提升格式不但保持了第一代小波的所有特性，同时又克服了其平移 和伸缩的不变性。许多中外学者对提升格式小波变换进行了广泛研究，取得了丰硕的成果。 小波提升方案为第一代小波变换提供了一种新的更快速的实现方法。第一代小波变换都可以 通过e u c l i d e a n 算法得到其等效的提升结构。提升方法不但是构造第二代小波的基本工具，还使 得第一代小波的构造不再依赖于f o u r i e r 变换，大大降低了构造第一代小波的难度，并且已经证 明提升方案可以实现所有的第一代小波变换，如d a u b e c h i e s 双正交小波和差值双正交小波。同 时，提升方法提供了一个有效的构造非线性小波的方法，构造出的非线性小波同传统小波变换相 比，计算简单快速，而且适合于自适应、非线性、非奇异采样和整数到整数的变换。而且双正交小 波变换因为具有线性而广泛应用于图像增强领域，目前研究证明任何具有f i r 结构的双正交小波 变换都可以由惰性变换经过有限步交替的提升和对偶提升过程得到。 小波提升方案的复杂度只有原来卷积方法的一半左右，而且实时性好，运算简单，由于提升 小波变换的这些优点，使其在边缘检测和图像压缩中都得到了很好的应用。也正因为如此其成为 计算离散小波变换的主流方法。而离散小波变换提升实现的快速算法是最近研究的热点。“卜b 1 正如前面所讲小波变换以及提升小波变换在数字图像处理领域已经有了相当广泛的应用，又 因为图像增强是图像处理的一项重要内容，所以近年来国内外学者将小波分析在图像增强上的应 用大致分为一下两种一1 1 3 1 0 第一种是基于小波的反锐化掩模法。反锐化掩模法在摄影技术中广 为采用，目的是增强图像的轮廓。光学上的操作方法是将聚焦的正像和散焦的负像在底板上叠合。 散焦的负像就好比“模糊”掩模，它与“锐化”正好相反，故此法称为反锐化掩模。基本公式是： g g ，y ) = 厂g ，少) + k l 厂g ，y ) 一歹g ，y ) l ( i 1 ) 其中，( x ，y ) 是原始图像，歹b y ) 使人为模糊后的图像( 在此处是小波变换后的低频图像) 。 灵活选择增强因子k ，可以得到不同的增强效果。 第二种是高频增强法。在小波分解与精确重构的基础上，对分解图像进行线形运算处理，抓 住其中代表纹理的高频成分进行增强，然后通过小波逆变换重构图像。该方法通过突出高频米补 2 宁夏大学硕i 学位论文 第章绪论 偿轮廓，但没有考虑噪声的影响。改进的高频增强法，是在对图像进行小波变换以后，根据变换 后的系数确定一个合适的门限，对于模值小于该门限的小波系数均认为是噪声的影响。应用这种 方法，基于多尺度分析的图像增强研究必须要根据特定的图像选择合适的小波基，才有十分理想 的效果。 1 3 本文研究的内容 正如前面所述，图像增强技术中存在着一个很大的问题，就是在图像增强的过程中出现噪声 过增强的现象，这样就会给检测带来很大的难度。因此，如何将噪声和图像细节信息准确的分离 开来，成为解决问题的关键。 本文的重点是针对基于机器视觉检测系统中的滚珠缺陷图像和医学图像信息采集观测中c t 图像，深入研究基于小波、提升小波多分辨分析的图像增强技术，希望利用小波自身的特性，在 降低噪声影响的同时，尽量保持图像本身的细节和边缘信息。 我们采集到的滚珠缺陷图像大致上含有划痕，擦伤，点迹等，本文针对这三类缺陷图像和 c t 图像所做的工作主要有以下几个方面： ( 1 )介绍了课题研究的背景和意义，阐述了小波变换以及提升小波变换在图像处理中得 到的广泛应用及其原理。 ( 2 )通过m a t l a b 仿真实验证明了使用不同小波基对于不同的缺陷图像增强效果的影响， 确定了选取小波基的几个基本因素：即正交性、紧支撑性、对称性。 ( 3 ) 阐述了基于小波变换和提升小波变换的图像去噪的基本原理，讨论了图像信号和小 波噪声在小波系数上的不同分布，根据这一点恰当的选择阂值，从而准确的将两者分离开来。 ( 4 )本文采用小波全局阂值软函数、小波全局阈值硬函数、提升小波阈值三种去噪算法 对添加了高斯白噪声的缺陷图像进行去噪处理，这里用高斯白噪声模拟粉尘污染缺陷图像。 ( 5 ) 本文分别从空域和频域出发对缺陷图像进行增强处理。其中，空域采用s o b e l 算子， l a p l a c i a n 算子，并提出一种将两者相结合的混合算法；频域中采用小波变换线性增强算法、l w l 以及小波梯度增强算法。从而对比六种算法对三类缺陷图像以及医学c t 图像增强效果的影响， 得出小波变换和提升小波变换应用在细节信息比较丰富的图像中的效果好。 ( 6 ) 总结本文的工作，并对未来的图像增强算法有所展望。 3 宁夏大学硕i ：学位论文第二章摹于小波变换的多分辨分析与m a t l a b 的实现 第二章基于小波变换的多分辨分析与m a t l a b 的实现 近几十年来，小波变换倍受科学界的重视，它不仅在数学上已经形成了一个新的分支，而且 在应用上，如量子物理、信号处理、图像处理、模式识别、语音识别与合成以及众多非线性科学 领域，也取得了许多传统分析方法难以实现的显著应用效果。小波分析在时域和频域都具有良好 的局部化特性，而且由于对高频采取逐渐精细的时域或空域步长，从而可以聚焦到分析对象的细 节，因此具有“数学显微镜”的美誉。它被认为是傅里叶分析理论发表1 7 0 多年来对其最辉煌的 继承、总结和发展，是近年来在分析工具及方法上的重大突破。这种分析技术是一种高新技术， 是高科技的重要内容，它已经把信息技术和信息工业推向了一个新的时代。鉴于小波变换和l w t 的突出有点，本章将深入研究小波变换和提升小波变换的基本思想，并通过滤波器组来实现提升 小波变换；探讨m a l l a t 算法、以及小波多分辨分析的性质，将m a l l a t 算法与l w t 进行比较。这 是研究基于小波分析、l w t 的图像去噪和增强方法的基础。 2 1 小波变换 小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 是一种信号的时间一尺度( 时间一频率) 分析方法，它具有多 分辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 的特点，它克服了传统的傅立叶变换i 司定分辨率的弱点，即 在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可变，时间窗和 频率窗都可变的时频局部化分析方法。 2 1 1 小波变换基本思想 小波变换的基本思想是n 根1 钉：首先寻找一个满足一定条件的基本小波函数，通过对其进行 平移和伸缩构成小波函数族k 础o ) | 口，b 尺 ，其中每个g 啪o ) 在时域和频域上都具有良好的局 部性，然后利用这一小波函数去表示或逼近要研究的信号，以便于分析和处理。 通常，我们把选取的基本小波函数用o ) 来标记，且y ( f ) 是一个平方可积函数，若其傅立 叶变换y 0 ) 满足允许性条件： q ：j ：掣似 ( 2 - 1 ) 则称少o ) 为一个基本小波或小波母函数或小波函数。将基本小波i l f ，( f ) 经过伸缩和平移后就可以 得到一个小波序列。对于连续的情况，小波序列为： 蚪r 佗少( 譬 ( 2 - 2 ) 式中口，b 尺，口0 且连续，口反映了一个特定基函数的伸缩情况，若口 1 函数y o ) 具有 4 宁夏大学硕十学位论文第二章摹于小波变换的多分辨分析与m a t l a b 的实现 对于任意函数o ) r 驭) 的连续小波变换( c o n t i n u o u s w a v e l e t t r a n s f o r m ，简记为c w t ) 为： 帆厂k ，6 ) = ( 厂，= l 口l - l 坨e 厂( f 砂( 字弘 c 2 - 3 ) 对于任意的厂r ) 的连续点f r ，有其连续小波逆变换为： 九) 2 专e e 吉阮厂k ，6 渺础( t ) a a a b c 2 4 ， 连续小波变换与傅立叶变换类似，也具有线性性，时移性和伸缩共变性，用数学语言描述如 下： ( 1 ) 线性性： 设f ( t ) 的连续小波变换为矽，( 口，b ) ，h ( t ) 的连续小波变换为呢( 口，b ) 则 z o ) = 后，厂( f ) + 如j i i o ) 的连续小波变换是七。g ，6 ) + 七：g ，6 ) ，这是线性变换的基本特性。 ( 2 ) 时移性： 设o ) 的连续小波变换为g ，6 ) ，贝0 f ( t - t 。) 的连续小波变换是吩( 口，b - t 。) ，也就是 o ) 的时移对应于连续小波变换的相移。 ( 3 ) 伸缩共变性： 设厂o ) 的连续小波变换为g ，6 ) ，则厂o 五) 的连续小波变换为= 觋( 口力，b , t ) ，此定 理表明，当函数o ) 做某倍数伸缩时，其小波变换将在口，6 两轴上做同一比例的伸缩，但是不 发生失真变形。这是使小波变换成为“数学显微镜”的重要依据。 连续小波变换中的尺度因子和平移因子都是连续变化的实数，在应用中需要计算连续积分， 然而在处理数字信号以及数字图像时很不方便。实际应用中，考虑最多的是离散小波变换，而不 是连续小波变换，这主要是离散小波变换更容易在计算机上实现。离散小波变换相对应傅立叶级 数，正如连续小波变换对应于傅立叶变换。所谓的“离散”即指尺度和位移的离散，而对待分析 信号和分析小波中的时间变量t 并没有被离散化。 在m l 口l 圳2 攻譬) 中，限龇6 都是离散值，这时就得到离散小波。这时，对于固 定的伸缩步长口0 1 及固定值 o ，选取口= 口孑，b = n b o a ： 。这时相应的离散小波序列为： = 赤攻半弦加呐) 5 ， 5 宁夏人学硕l ：学位论文第二章基于小波变换的多分辨分析与m a t l a b 的实现 相应的离散小波变换表示为： ( ，y 舢) = a o ie 厂o 砂籼o 枷= ( 2 0 一ie 厂( f 杪g i ”- - 2 b o ) d t ( z - s ) 特殊地，取a o = 2 ，b o = 1 ，可以得到二进小波( d y a d i c w a v e l e t ) ： y 。( f ) = 2 - m 25 f ，( 2 一”t 一刀) ，m ，捍z ( 2 7 ) 在实际应用中，为了使小波变换的计算更加有效，通常构造的小波函数都具有正交性，即 ( y ，。，沙，t ) 2 上。l ，。，。o ) y ，t ( f ) 出= 吒，瓯，i ( 2 8 从理论上，可以证明将连续小波变换离散成离散小波变换，信号的基本信息并不会丢失，相反由 于小波基函数的正交性，使得小波空间中两点之间因冗余度造成的关联得以消除；同时，因为正 交性，使得计算的误差更小，使得变换结果时频函数更能反映信号本身的性质。 经典小波分析是从傅立叶分析的基础上发展起来的，冈而在一定程度上受到傅立叶分析的限 制。小波分析中的两个核心的概念小波分析和多分辨分析都是建立在二进平移和伸缩思想基 础之上的，这种思想直接来源于信号处理领域。我们称这种经典多分辨分析框架构造的小波为第 一代小波。 2 1 2m a t l a b 提升小波变换( l i f t i n gw a v e l e tt r a n s f o r m ) 1 9 9 5 年，s w e l d e n s 提出了一种不依赖于傅立叶变换的新的小波构造方法一提升格式( l i f t i n g s c h e m e ) ，称之为第二代小波变换。9 1 一、提升小波变换( i m 佃) 的优点 提升格式小波变换保持了第一代小波的特性，同时又克服了其平移和伸缩的不变性，并具有 许多优点，具体表现在三个方面： 第一，能够用于构造第一代小波，可根据需要来设计小波基。例如，可以先选择一个具有特 殊尺度函数的一般多分辨分析，然后利用提升技术来修正该多分辨分析，直到满足要求。这种方 法常用于提升小波的消失矩、构造具有插值性质的小波等。应用提升方法构造第一代小波，虽然 不能构造全新的小波，但是小波的构造能够完全在空间域完成。 第二，能够改进第一代小波变换。表现在它提供了一种快速实现方式，与经典的m a l l a t 算法 相比，运算量减少一半；计算过程不需要申请辅助存储空间，可节省存储单元；逆小波变换的实 现简单、直接、意义明确；很容易实现整数小波变换，可以使小波变换用于信号的无损压缩：很 容易处理边界问题。 第三，可用于第二代小波的构造。 二，i m t 的构造思想 l w t 的基本思想是通过有限步预测和更新来构造小波。它是把一个序列分解为偶数序列和奇 数序列，用奇数序列去预测偶数序列，再用偶数序列的真实值和预测值的偏差去修正( 更新) 奇数 序列。提升小波分解过程包括分裂、预测、更新三个阶段。 假设原始信号为x ，而s 1 - 1 ，d ，- 1 分别是对应原始信号的两个较小的子集。 6 宁夏人学硕 ：学位论文第二章慕于小波变换的多分辨分析与m a t l a b 的实现 第一，分裂过程。对信号进行分裂，目的是将信号分裂成相互关联的两部分，相关性越强， 分裂的效果越好。最简单的分裂方法是将原始信号根据奇偶性分为两组，这种分裂所产生的小 波通常称为t a z y d , 波，分裂过程表示为： ，b ) = g 一一d 。) 其中f 饥) 为分解过程。对于提升格式来说，这种分裂方法充分的利用了信号_ 的局部相关性， 因而为随后的预测和更新过程提供了数据基础。 第二，预测过程。所谓预测就是在原始数据相关性的基础上，用偶数序列s 一的预测值凡h ) 来预测奇数序列s ，一l ，即将滤波器p 对偶数信号作用以后作为奇信号的预测值，奇信号的实际值 与预测值相减得到残差信号。实际中，虽然不能从j 中准确的预测d 川，但 ) 很可能接近 d 川，因此可以使用以一) 和d 一的差来代替原来的d 川，即 d 川= d 一一砖川) 可见产生的d h 比原来的d ，- l 包含更少的信息重复分解和预测过程，经刀步以后原信号集 可用，d ，。，d 。) 。 这种预测过程是一个可逆的过程，在提升格式中，预测有如下两个作用：( 1 ) 可以用紧凑的 形式来表示数据。一般来说，由于信号都是具有局部相关性的，因此，预测误差的数值d j l 总是 要比原始的d ，一l 小得多；( 2 ) 可以在空问域分离出信号的高频分量在预测时，由于总是用 s j 1 ，j j - 1 两点的一条平滑曲线( 即低次插值多项式) 来预测它们的中间点t l ，这里平滑意味着低 频，而预测误差意味着信号，在一个局部区域与自己低频分量的误差，可以看成信号的高频分 量，也常称为信号的小波系数。 第三，更新过程。为了使原信号的某些全局特性在s 产l 中继续保持，必须进行更新。更新的 思想就是要找一个更好的s 川，使得它保持原图像的某一标量嘶) ，即有q g 一) = q g ，) 。可 以利用已经计算的d ，一1 来修正s j l ，以使修理后的s ，一t 只包含信号石的低频成分，即 s 川= s 门+ u p h ) 这里，u ( ) 表示更新算子，但要在空间域完成这个过程，就是要使s 川的包络线成为信号的一条 7 宁夏大学硕十学位论文 第二章幕于小波变换的多分辨分析与m a t l a b 的实现 鼍曼舅量曼鼍詈皇曼蔓曼皇曼! 曼曼曼曼曼曼曼舅舅曼曼曼舅舅i ii。ii _ g i i i 曼曼! 曼曼鼍曼量鼍 平滑拟合曲线。从数学上来说，就是要使s ，一l 和信o s x j 具有相同的低阶消失矩。 以上三个步骤完成了一层的提升分解、重构，过程如图2 - 1 所示。 d 一l f i 9 2 1s t r u c t u r eo f l i f t i n gd e c o m p o s i t i o na n dr e c o n s t r u c t i o n 三、l 、t 的滤波器实现 我们知道，提升方法可以实现原位运算，即该算法不需要除了前级提升步骤的输出之外的数 据，这样在每个点都可以用新的数据流换i b 的数据流。当重复使 j 原位提升滤波器组时，就获得 了交织的提升小波变换系数。 提升格式的一个重要应用就是原始滤波小波变换的另一种实现形式，所以从滤波的角度再来 理解提升格式。 设滤波器组 ! j i ，g ，石，蚕 是双正交的，对信号厂g ) 进行小波分解，可以首先对信号进行滤波再 进行下采样，其中滤波的部分可以表示成： 黝= 黝几， 协9 ， 对滤波器滤波后的信号进行下采样可以表示成： ( 2 - 1 0 ) 麟柑夸蚴懈 f ( - 期z 撩擞燃舞g 然， 蚴 i 助。( z ) = k ( z 沙( z 地= g 。( z k g ) + z 。( z k ( z ) ”一。 令绺嚣蝴僻羔跚 8 |、，一生型 一烈一 塞2 垃碰 p 如 叫 艘 宁夏大学硕二i j 学位论文第二章基于小波变换的多分辨分析与m a t l a b 的实现 矧= 雌m l z - x o 翻 埘 鼽 ) 即为对信号的奇偶分裂，已证明任何一个使腑限滤波器的小波变换的多项矩 阵p i z ) 都可以分解为一个单位上三角矩阵和一个单位下三角矩阵及一个对角标准化矩阵和有限 乘积来表示，一个提升步骤对应一个单元矩阵，单位上三角矩阵对应的对偶提升步骤即相当于提 升格式中的预测步骤，单位下三角矩阵对应的提升步骤相当于提升格式中的更新步骤，即传统的 滤波可以表示成为有限的提升与对偶提升步骤来实现。 根据多相位矩阵分解的原理以及提升小波变换的基本思想，可以得到基于提升格式的正向小 波变换和逆向小波变换的流程图如图2 2 和图2 3 所示。 图2 - 2 基于提升的正向小波变换流程图 f i 9 2 - 2f l o wc h a r to fl i f t i n gt r a n s f o r m 图2 _ 3 基于提升的逆向小波变换流程图 f i 9 2 3r e v e r s ef l o wc h a r to fl i f t i n gt r a n s f o r m 图2 2 和图2 3 中f ( z ) 和d ( z ) 分别表示输入序列的偶序列和奇序列的z 变换，口g ) 和d ( z ) 表 示经过一级小波变换后得到的低频部分和高频部分的z 变换。 多相矩阵的上三角分解和下三角分解分别对应滤波的提升和对偶提升，其中提升和对偶提升 系数分别为上、下三角中上、下三角处元素的负值和复共轭。 下面以d a u b e c h i e s ( 9 7 ) 为例来实现其提升格式，具体做法如下： d a u b e c h i e s ( 9 - 7 ) 小波滤波器为： 茏= h 4 ( z 2q _ z - 2 ) + j i l ：( z 1 - i z - i ) + j j i 。，瓦g ) = h 3 ( z 2 + z 。1 ) + 7 l l ( z + 1 ) 这里选用小波与对偶小波都具有4 阶消失矩的d a u b e c h i e s ( 9 - 7 ) 小波滤波器，滤波器系数见 表2 一l 。 9 宁夏人学硕十学位论文第二章基于小波变换的多分辨分析与m a t l a b 的实现 表2 - 1 小波与对偶小波具有4 阶消失矩的( 9 - 7 ) 小波滤波器系数 t a b l e 2 一lc o e f f i c i e n to f w a v e l e ta n dd a u b e c h i e s ( 9 7 ) f i l t e r 可以求出，p ( z ) 存在以下因子分解： 声g ) = 三口o ：z 一) o l + z ，0 三厂o ：z 。) 万( 1 ：z ) ? 丢品 令r o = h o 一2 h 4 h l h s ，吒= h 2 一h 4 一 4 啊h 3 ，s o = j i l l h 3 一h 3 r o 1 ，t o = r o 一2 ，则， 口= h 4 h 3 一1 5 8 6 1 3 4 3 4 2 = h 3 - - 0 0 5 2 9 8 0 1 1 8 5 4 厂= s o 0 8 8 2 9 1 1 0 7 6 2 万= s o t o 0 4 4 3 5 0 6 8 5 2 2 f = t o = r o 一2 1 1 4 9 6 0 4 3 9 8 于是我们可以得到d a u b e c h i e s ( 9 - 7 ) 正向小波变换的提升实现算法为： s = x 2 ，d f o ) = 屯，+ l d j = d j + 口b j + s 船) s ”= s j o + p j d + d ：j d j 2 = d ；d + 厂b ；d + s 船) j ；2 = s j d + 万0 j 2 + d 等) s ，= f s ；舶，d ，= d ；2 f 从具体的推导和实现提升小波变换的过程可以看出，它的提升和对偶提升步骤都是用奇序列 中的一项来预测偶序列中的一项，或用偶序列中的一项来更新奇序列中的一项。计算过程只是用 简单的乘法运算和加减运算得到，计算复杂度非常低。对于具有线性相位的小波滤波器，所有的 提升步骤都是通过简单单项乘法及加法得到，完全去除了传统提升运算中的卷积运算，更加有利 于软硬件的实现。 四、基于提升方案的小波变换的特性 ( 1 ) 原位计算。提升样式中个很大的特点就是进行变换时在原位计算各个系数。可以看到， 在计算某个特定偶数位置的系数时，使用到的数据仅仅是若干个奇数位置的数据和该位置的原有 数据，而未使用该系数相邻位置上的系数，因此，所得结果可以直接将原有数据覆盖而不影响后 i o 宁夏大学硕十学位论文第二帝基于小波变换的多分辨分析与m a t l a b 的实现 续偶数位置系数的计算。同理，奇数位置和反变换时，也可以实现原位计算。原位计算只是占用 了与输入大小相同的空间，不需要其他辅助空间。 ( 2 ) 整数变换。在传统的小波变换中，采取了输入信号与高通滤波器和低通滤波器相卷积的 方法来实现高频和低频信息的分离。但是，小波滤波器的系数都是小数，中间结果中又一些是小 数，如果对小数进行取整，会丢失很多信息，使得重构和分解是不可逆的，从而无法实现精确重 构。但是，在提升方案中，可以进行整数变换，并且整数变换不影响精确重构。 ( 3 ) 分解结果交织排列。以一维信号为例。当对图像进行第一级分解后，低频信息在奇数位 置，高频信息在偶数位置。当进行第二级小波分解时，是对第一级的低频信息进行分解，而分解 的结果则是奇数序列数据中的奇数位置为第二级分解的低频信息，奇数序列数据中的偶数位置是 高频信息。也就是说，总是将上一级分解结果中的奇数位置系数进行分解，所得结果又分成奇、 偶序列来存储低频和高频信息。 小波变换是一种窗口面积固定但其形状可变，且时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分 析方法。其思想来源于伸缩和平移，是通过小波基函数的伸缩平移来构成一系列分辨率不同的正 交( 或非正交) 投影空间及其对应的基，所以不要求信号的平稳性。第二代小波变换是建立在提 升格式的基础上的。提升原理最初用来构造新的双正交小波的一种方法。提升小波与第一代小波 方法最大的不同点是它不依赖于傅里叶变换，不必通过小波基函数的收缩伸张来实现。提升原理 的基本思想从小波多分辨率分析开始，逐步修正直到实现满足一定特性的多分辨率分析。提升策 略允许用户涉及变换算法需求的实际滤波器。 小波变换的提升实现形式给出了完全的空间解释，得到了更有效的实现形式。它具有许多优 良的性质：结构简单，运算量低，原位运算，节约存储空间，逆变换可以通过结构翻转商接实现。 在高速处理、移动手持设备、低功耗要求的设备具有很大的吸引力。 l w 在s w e l d c n s 提出后，在信号处理领域得到了广泛的应用。在静态图像处理中，l w 已被 选作j p e g 2 0 0 0 的变换核。它提供了多精度的功能，同基于j p e g 2 0 0 0 的标准相比，在很低的比 特率时具有较好的压缩d c t 的j p e g 性能，并且提供了在同一个编码结构内有效的失真和无失真 压缩。在视频领域，使用提升小波方法自适应的对任意形状的物体进行编码，显著地提高了编码 效率。视频物体的主观评价效果更好，减少了数据访问量和数据开销。 2 1 3m a t l a b 常用小波函数应用实例 在基于小波变换的图像处理过程中最重要的就是如何选择最佳的小波基函数。由于小波基的 选择具有很大的灵活性( 只要小波基满足容许性条件即可) ，因此可以根据所讨论的问题的特点 不同来选择不同的小波基，这也就是小波变换比经典f o u r i e r 变换更具有广泛适用性的原因。到 目前为止，人们已经构造了各种各样的小波基函数，常见的小波基函数有h a r r 小波、d a u b e c h i e s 小波、m o r l e t 小波、墨两哥帽( m 斌) 小波、样条小波等。 本文主要研究三种有代表性的小波基函数一h a r t 小波、d a u b e c h i e s 小波、双正交b 样条小 波，并通过m a f l a b 得到它们的函数图像，如图2 - 4 所示。 小波基函数的选择固然重要，然而，在m a t l a b 环境下如何调用小波函数和调用什么小波函数 也是完成整个课题的关键环节。文中调用的小波函数主要有：w a v d e c 2 完成二维图像的小波多层 宁夏大学硕十学位论文第二章基于小波变换的多分辨分析m a t l a b 的实现 lii i i _i_ 分解过程；w a v e r s 2 完成二维图像的小波多层重构过程；a p l o c f 2 提取二维图像的近似分量； d e t c o e f 2 提取二维图像的细节分量；1 w t 2 完成二维图像的提升小波多层分解过程；i l w t 2 完成二维 图像的提升小波重构过程。 图2 4 小波基函数( ( a ) h a a r 小波；( b ) d b 4 小波；( c ) b i o r 4 4 小波；( d ) b i o r 4 4 ) f i 9 2 - 4w a v e l e tf u n c t i o n ( ( a ) h a a rw a v e l e t ；( b ) d b 4w a v e l c t ；( c ) b i o r 4 4w a v e l e t ；( d ) b i o r 4 4w a v e l e t ) 2 2 多分辨分析和m ai la t 算法 多分辨分析( m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ，m r a ) 是由s m a l l a t 引入的，他从空间概念上，形 象地说明了小波的多分辨特性，将在此之前所有小波变换理论统一起来。1 9 8 9 年，m a l l a t 在小波 变换多分辨分析理论与图像处理的应用研究中受到塔式算法的启发，提出了信号的塔式多分辨分 析分解与重构的快速算法，即著名的m a l l a t 算法。m a l l a t 算法在