（江苏专用）2020版高考数学总复习第十章第二节直线与椭圆的综合问题课时作业苏教版.docx

第二节直线与椭圆的综合问题课时作业练1.过椭圆x24+y23=1的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长是.答案32.设F1,F2分别是椭圆x24+y2=1的左,右焦点,若椭圆上存在一点P,使(OP+OF2)PF2=0(O为坐标原点),则F1PF2的面积是.答案1解析因为(OP+OF2)PF2=(OP+F1O)PF2=F1PPF2=0,所以PF1PF2,F1PF2=90.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,又焦距2c=23,所以m2+n2=12,所以mn=2,所以SF1PF2=12mn=1.3.已知中心在坐标原点的椭圆经过直线x-2y-4=0与坐标轴的两个交点,则该椭圆的离心率为.答案32解析因为直线x-2y-4=0与坐标轴的两个交点分别是(4,0)和(0,-2),所以由椭圆的相关知识可知a=4,b=2,所以c=a2-b2=23,所以该椭圆的离心率为ca=32.4.(2019江苏苏州模拟)已知椭圆x23+y24=1的上焦点为F,下焦点为F1,直线x+y-1=0和x+y+1=0与椭圆相交于点A,B,C,D,则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=.答案8解析因为两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,所以由椭圆的对称性可知,四边形AFDF1为平行四边形,|AF1|=|FD|,连接BF1,CF,同理|BF1|=|CF|,|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|AF1|+|BF|+|BF1|=4a=8.5.已知椭圆x2m+y2n=1(mn0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是以椭圆的短轴为直径的圆上任意一点,则PF1PF2=.答案2n-m解析由题意可知在椭圆x2m+y2n=1(mn0)中,b2=n,c2=m-n,则PF1PF2=(PO+OF1)(PO-OF1)=PO2-OF12=b2-c2=n-(m-n)=2n-m.6.(2017徐州王杰中学高三月考)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,直线l:y=13x与椭圆E相交于A,B两点,|AB|=210,则椭圆E的标准方程为.答案x212+y24=1解析根据离心率不妨设a=3m,b=3m,c=6m(m0),则椭圆方程为x29m2+y23m2=1,与直线y=13x联立可得x2=274m2,x=332m,|x1-x2|=33m,又1+k2=103,所以由弦长公式得33m103=210,解得m=23,据此可得椭圆方程为x212+y24=1.7.已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A、B两点,若椭圆的离心率为22,焦距为2,则线段AB的长是.答案423解析由题意可知c=1,ca=22,则a=2,b=1,则椭圆方程为x22+y2=1,联立直线方程与椭圆方程可得A(0,1),B43,-13,或A43,-13,B(0,1),则|AB|=423.8.已知动点P(x,y)在椭圆x225+y216=1上,若A点的坐标为(3,0),|AM|=1,且PMAM=0,则|PM|的最小值为.答案3解析由|AM|=1,A(3,0),知点M在以A(3,0)为圆心,1为半径的圆上运动,因为PMAM=0,所以PMAM,即PM为A的切线,连接PA(如图),则|PM|=|PA|2-|AM|2=|PA|2-1.因为P在椭圆上运动,所以|PA|min=a-c=5-3=2,所以|PM|min=3.9.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2,过F1且斜率为3的直线交椭圆E于P、Q两点,若PF1F2为直角三角形且|PF1|b0)经过点P3,12,左焦点为F(-3,0).(1)求椭圆E的方程;(2)若A是椭圆E的右顶点,过点F且斜率为12的直线交椭圆E于M,N两点,求AMN的面积.解析(1)由椭圆的定义得(3+3)2+14+12=2aa=2,又c=3,故b2=a2-c2=1,椭圆E的方程为x24+y2=1.(2)过F(-3,0)且斜率为12的直线方程为y=12(x+3),由y=12(x+3),x24+y2=1得8y2-43y-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=32,y1y2=-18|y1-y2|=52,又A(2,0),|AF|=2+3,AMN的面积=12|AF|y1-y2|=12(2+3)52=25+154.11.(2017江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2,离心率为22,椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程;(2)过点D(2,-2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P,Q,求证:直线AP,AQ的斜率之和为定值.解析(1)由题意知c=1,e=ca=22,所以a=2,由a2=b2+c2可得b=1,所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)证明:当直线PQ的斜率不存在时,不符合题意;当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y+2=k(x-2),代入x2+2y2=2中,得(1+2k2)x2-42(k2+k)x+4k2+8k+2=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=42(k2+k)1+2k2,x1x2=4k2+8k+21+2k2,又kAP+kAQ=y1x1-2+y2x2-2=k(x1-2)-2x1-2+k(x2-2)-2x2-2=2k-2(x1+x2)-4x1x2-2(x1+x2)+2=2k-242(k2+k)1+2k24k2+8k+21+2k2-242(k2+k)1+2k2+2=1.所以直线AP,AQ的斜率之和为定值1.12.在平面直角坐标系xOy中,已知点P1,32在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上,P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程;(2)若点M,N是椭圆C上的两点,且四边形POMN是平行四边形,求点M,N的坐标.解析(1)由题意知,1a2+94b2=1,2a=4.所以a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则ON的中点坐标为x22,y22,PM的中点的坐标为1+x12,32+y12.因为四边形POMN是平行四边形,所以1+x12=x22,32+y12=y22,即x1=x2-1,y1=y2-32.又点M,N是椭圆C上的两点,所以3x22+4y22=12,3(x2-1)2+4y2-322=12.解得x2=2,y2=0或x2=-1,y2=32,由x2=2,y2=0得x1=1,y1=-32.由x2=-1,y2=32得x1=-2,y1=0.所以点M1,-32,N(2,0)或点M(-2,0),N-1,32.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.在下列结论中,正确的是.(填序号)若ab,bc,则ac;模相等的两个平行向量是相等的向量;若a=b,则a和b都是单位向量;两个相等向量的模相等;AB+BC+CD+DA=0.答案解析当b=0时,ab,bc,但a与c不一定平行,错误;模相等的两个平行向量是相等的向量或相反的向量,错误;若a=b=1,则a和b都是单位向量,错误;两个相等向量的模相等,正确;AB+BC+CD+DA=0,错误.2.若函数f(x)=f 2sin x+cos x,则f4=.答案0解析f (x)=f 2cos x-sin x,令x=2,则f 2=f 2cos2-sin2, f 2=-1,则f(x)=-sin x+cos x,所以f4=-sin4+cos4=0.3.已知角的终边经过点P(-4,3),则cos2+sin-cos2-sin92+=.答案34解析角的终边经过点P(-4,3),原式=-sinsinsincos=-tan =34.4.(2018江苏如皋高三调研)一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱的交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为.答案94解析因为E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,所以棱柱EFBC-E1F1B1C1的体积V=S四边形EFBC3=34SABC3=94SABC,设图甲中水面的高度为h,则SABCh=94SABC,解得h=94.5.过点P(3,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A、B,则直线AB的方程为.答案2x+y-3=0解析易知圆心C(1,0),其中一个切点为(1,1),kABkPC=-1,且kPC=1-03-1=12,所以kAB=-2,故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.6.(2019江苏南京模拟)已知函数f(x)为定义在2-a,3上的偶函数,在0,3上单调递减,并且f-m2-a5f(-m2+2m-2),则m的取值范围是.答案1-2,12解析由f(x)是定义在2-a,3上的偶函数得2-a=-3,a=5,则 f-m2-a5= f(m2+1), f(-m2+2m-2)=f(m2-2m+2),又f(x)在0,3上单调递减,所以m2+1m2-2m+23,解得1-2m0.由a2-a1=1得a1=1q-10,所以a3=a1q2=q2q-1=(q-1)2+2(q-1)+1q-1=q-1+1q-1+24,当且仅当q=2时,等号成立,即a3取得最小值4,此时a1=1,故an=2n-1.8.(2018江苏兴化三校高三联考)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,AC=BC,M,N分别是棱CC1,AB的中点.(1)求证:CN平面ABB1A1;(2)求证:CN平面AMB1.证明(1)AA1平面ABC,CN平面ABC,AA1CN,AC=BC,N是棱AB的中点,CNA