（基础数学专业论文）幂等完备化与mv构造的保持问题.pdf

福建师范大学傅怡馨硕士学位论文 a b s t r a c t m o t i v a t e db yt h ef a c t s ：a n ya d d i t i v ec a t e g o r yc a nb ei d e m p o t e n tc o m p l e t e da n d a n yt w oa d d i t i v ec a t e g o r i e sc a ni n d u c ean e w a d d i t i v ec a t e g o r yb ym vc o n s t r u c t i o n w ec o n s i d e ri d e m p o t e n tc o m p l e t i o np r e s e r v i n g sa n dm vc o n s t r u c t i o np r e s e r v i n g s o ns o m ec a t e g o r i e si nt h i st h e s i s i nc h a p t e ro n e ，l e t ( 够，q ，) b eal e f tt r i a n g u l a t e dc a t e g o r y i f ( s ( 劢，瓦，五) d e - n o t e st h ei d e m p o t e n tc o m p l e t i o no ft h es t a b i l i z a t i o no f ( 够，q ，a ) a n d一= 百 ( s ( 够) ，q ，a ) d e n o t e st h es t a b i l i z a t i o no ft h ei d e m p o t e n tc o m p l e t i o no f ( 够，q ，) ，t h e nw eg e t at r i a n g l e - e q u i v a l e n c e ( s ( 字) ，西，五) 竺( 酉丽，孬，五) d u a l i t y , i nc h a p t e rt w o ，i f ( r ( 够) ，q o o ，厶) d e n o t e st h ec o s t a b i l i z a t i o no f ( 钐，q ，) ，t h e nt h e yh a v et h eo t h e r t r i a n g l e - e q u i v a l e n c e( r ( 字) ，瓦，丕) 笺( 丽，q ，厶) i nc h a p t e rt h r e e ，l e t ( 够，移) b ea l le x a c tc a t e g o r y t h eq u o t i e n tc a t e g o r yo f t h ei d e m p o t e n tc o m p l e t e dc a t e g o r y ( 矽，孑) m o d u l o 劢i sp r o v e dt ob ee q u i v a l e n tt o t h ei d e m p o t e n tc o m p l e t e dc a t e g o r yo ft h eq u o t i e n tc a t e g o r y ( 够，8 一z ) ，t h a ti s ( 罾刁，万劢) 兰( 刁才，c z ) ，u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a t i s a ni d e a lo ft h e a d d i t i v ec a t e g o r y 够a n dt h ec o n d i t i o n s ，刁= o re m o r 一够l口) i nt h el a s tc h a p t e r ，w es t u d yt h em vc o n s t r u c t i o np r e s e r v i n go r i g i n a lp r o p e r t i e so ni d e m p o t e n tc o m p l e t e dc a t e g o r i e s ，e x a c tc a t e g o r i e sa n dq u a s i a b e l i a nc a t _ e g o r i e s b yt h ew a y , w ef i n da l le q u i v a l e n c eo i le x a c tc a t e g o r i e sa n dq u a s i a b e l i a n c a t e g o r i e s 1 k e y w o r d s ：i d e m p o t e n tc o m p l e t i o n ； l e f tt r i a n g u l a t e dc a t e g o r y ；( c o - ) s t a b i l i z a t i o n ； e x a c tc a t e g o r y ；q u o t i e n tc a t e g o r y ；q u a s i - a b e l i a nc a t e g o r y ；r e c o l l e m e n t ；m vc o n - s t r u c t i o n i i - v ，l 八 福建师范大学傅怡罂硕士学位论文 中文文摘 加法范畴均可以通过幂等完备化成为幂等完备化范畴，这可以视为是一种范畴 的“扩张”类似的不同的加法范畴也能够进行幂等完备化，我们从保持的角度找 寻这种范畴扩张的性质以及与其他的范畴扩张之间的关系论文的前三章即是研究 范畴的幂等完备化及其关于幂等完备化的保持问题 在绪论中，我们给出幂等完备范畴的概念，并介绍范畴幂等完备化这一范畴扩 张的方式以及对三角范畴进行幂等完备化后仍然是三角范畴的这一保持性质 定义0 1 1 范畴够称为预加法范畴，若满足： 够具有零对象 对汐中任意对象a ，b ，m o r 够( a ，b ) 为a b e l 群( 加法交换群) 对够中任意态射厂，9 ：a _ b 和够中任意态射h ：c _ 4 ，有( 厂+ g ) h = ，危+ g h ；以及对够中任意态射2 ：b d ，有2 ( ，+ 夕) = z f + l g 定义o 1 2 范畴够称为加法范畴，如果够是预加法范畴，并且存在有限直和 命题0 2 1 【5 】设够是一个加法范畴，如果勿是一个幂等完备加法范畴，并且存 在加法函子f ：够_ 珍使得f 是满且忠实的，则存在唯一的加法函子g ：够一9 使得f = g 0z 引理0 2 2 5 】如果( 汐，q ，) 是一个三角范畴，则( 矽，豆，五) 也是三角范畴 第一章、第二章给出单边三角范畴的幂等完备化概念，得出其仍然保持单边三 角范畴的性质并引入单边三角范畴的另外两种扩张：稳定化与余稳定化，分别研 究稳定化与余稳定化关于幂等完备化的保持 定理1 1 2 如果( 够，q ，) 是一个左三角范畴，则( 字，西，五) 也是左三角范畴 推论1 1 3 如果( 够，q ，) 是一个右三角范畴，则( 矽，丽，五) 也是右三角范畴 定理1 1 4 如果( 字，豆，五) 是左三角范畴( 够，q ，) 的一个幂等完备化范畴，则 有如下右三角范畴间的等价：( 矿，酽，酽) 笺( 而，丽，一l x o p ) 对单边三角范畴进行稳定化后可以得到一个三角范畴，这也是一种范畴的扩 i i i v - k i 罐 福建师范大学傅怡馨硕士学位论文 张，比较这种扩张，可以发现它与三角范畴的幂等完备化有类似之处，从而我们得 到如下结论： 定理1 2 1 如果( 够，q ，) 是一个左三角范畴，则有三角等价 ( s ( 够印) ，q 叩，印) 型( s ( 够) 叩，q 印，叩) 定理1 2 2 如果( 够，q ，) 是一个左三角范畴，则( s ( 虿) ，豆，- ) 与( 取丽，五，丕) 是三角等价的 在证明这个定理之前，需用到如下三个引理： 引理1 2 3 设( a ，e ，亿) s ( 字) ，i n = i c n ：a ，弼a ，n ) ，贝 ( 1 ) e 7 ：= i n ( e ) 是幂等态射 ( 2 ) 若k 几，e k = q 七一n ( e ) ：q 七一他( a ) ，q 惫一n ( 4 ) ，贝0i k ( e k ) = e 7 引理1 2 4 对取丽中任意对象( a ，钆，e ，) ，都存在唯一的幂等态射e 够( a ，a ) 使得( e ) = e 7 ，且对k 礼，i 七( q k - n ( e ) ) = e 7 引理1 2 5i k ( 1 q k n ( a ) ) = i ( a ，n ) 同样，对单边三角范畴进行余稳定化，这也是一种范畴扩张，但余稳定化的过 程并不单单是稳定化的对偶概念，因此我们有必要另外进行分析幸运的是，得到 的结果是一样的 定理2 1 1 如果( 够，q ，) 是一个左三角范畴，则有三角等价 ( r ( 够0 p ) ，q 。】，a o p ) 竺( 兄( 够) 印，q 印，叩) 定理2 2 1 如果( 够，q ，) 是一个左三角范畴，则( r ( 虿) ，瓦，五) 与( 瓦丽，q ，厶) 是三角等价的 这其中用到了如下引理： 引理2 2 2 若( a n ，e 札，a n ) 为r ( 字) 中对象，令e = ( e n ) ，则( a 仃，o l ，e ) 为r ( 够) 中对象 第三章研究正合范畴的幂等完备化以及范畴由理想构造的商范畴的幂等完备 化，再结合起来研究正合范畴商范畴关于幂等完备化的保持问题 i v k 缸 福建师范大学傅怡馨硕士学位论文 = = = = = = = = = = 2 = = = = = = ；2 = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = ；：j 正合范畴首先是加法范畴，因而可以对其进行幂等完备化但是正合范畴又要 求有一个核一余核对构成的类，这就要求我们对正合范畴进行幂等完备化时要考虑 这个附加的类是什么情形 b u h l e r 已经找到了这么一个核一余核对构成的类，使 得对正合范畴进行幂等完备化后得到的范畴仍然是正合范畴 命题3 1 2 ( 1 2 设够，矽) 是一个正合范畴，字中的序列( a 1 ，e 1 ) 与( a 2 ，e 2 ) _ p ( a 3 ，e 3 ) 称为短正合列，如果该序列是矽中短正合列的直和项定义万为字中的 短正合列构成的类，则万是矽的一个正合结构，于是( 字，万) 是幂等完备正合范 畴 引理3 1 3 如果( 够，锣) 是一个正合范畴，对任意( a ，e ) 字，则e 是虿中容许 单并且容许满的态射 范畴的商范畴实际上是对原本范畴的一个分类，对商范畴进行幂等完备化扩张 是否会对原本范畴的幂等完备化扩张产生影响呢? 我们在接下来就是讨论在什么情 况下的预加法范畴对其做商范畴的分类是不受幂等完备化这一扩张的影响的，亦既 是关于幂等完备化的保持 定义3 2 1 设够为一个加法范畴，非空态射类，称为范畴够的理想，若满 足： ( 1 ) 对中任意态射厂，g ia b ，有厂一g 也在中 ( 2 ) 对，中任意态射f ：a _ b 和够中任意态射h ：c _ a ，有f h ；以 及对够中任意态射2 ：b d ，有f ， 定义3 2 2 称商范畴够，是幂等可提升的，如果够，中任一个幂等态射 g + 都能提升到够中某个幂等态射e ，使g + = e + 定理3 2 3 设，是加法范畴够上的理想，如果商范畴汐是幂等可提升 的，则有范畴等价够竺够 另一方面，我们找寻正合范畴的一种分类：商范畴同样的，p e t e r 给出了一 个正合范畴商范畴的正合结构： 引理3 3 1 【5 1 1 设( 够，芎) 是一个正合范畴，为加法范畴够的理想，记锣：- - - ( i + ，d + ) ii + 彩，d + 彬m o r ( 汐形) ，( i ，d ) 锣) ，若满足 v k “ 福建师范大学傅怡馨硕士学位论文 ( 1 ) 任意a 够，( a ，一) 与( 一，a ) 均正合，即作用在曾中正合列上可得 到a b e l i a n 范畴上短正合列 ( 2 ) 在够的j 根中，即对任意a 够，y ( a ，a ) ，有1 a + 7 同构 则( 够，乡，) 为正合范畴 受到上一节的启发，我们结合商范畴与幂等完备化对正合范畴进行研究，即得 如下结论： 定理3 3 2 设( 够，彦) 是一个正合范畴，如果够的理想。满足引理3 3 1 中条 件( 1 ) ( 2 ) ，则可的理想刁也满足这些条件 定理3 3 3 设( 够，锣) 是一个正合范畴，够的理想若满足如下条件，则有正 合范畴之间的范畴等价：( 汐，芎) 垡( 吲，乡) ，其中，= ae m o r 汐l q 任意a ，一) 与( 一，4 ) 均正合 在够的j 根中，即对任意a ，7 彬( a ，a ) ，有1 a 十7 同构 商范畴够是幂等可提升的 m ，v 构造法是基于原有的两个a b e l i a n 范畴构造出另一个a b e l i a n 范畴，使之 成为原有两个范畴的r e c o l l e m e n t ，因此，我们可以推广这种构造法，并探讨这种构 造法在各种范畴性质下的保持问题本文第四章即是考察范畴的若干性质在m v 构 造下保持的问题，分别研究了幂等完备范畴、正合范畴、拟a b e l 范畴上r e c o u e m e n t 关于m v 构造的保持 定理4 2 1 若7 ，是两个幂等完备范畴，j ：_ 7 和g ：_ 厦 是两个加法函子，f ：f _ g 是一个自然变换，则m v 构造所得的加法范畴( ) 仍然是幂等完备范畴 定理4 2 2 若( 7 ，) ，( ，) 是两个正合范畴，eg ： _ 7 均为正合 函子，：f _ g 是一个自然变换，则m 。v 构造所得的加法范畴( ) 有正合结 构( ) ，其中( ) ：= 7 ，且若7 中任意态射均有核( k e r ) 和余核( c o k e r ) ， 则存在正合范畴上的r e c o l l e m e n t ： ( 7 ，7 ) 三( ( 荨) ，芎( ) ) 三( ，汐) v i k 。 福建师范大学傅怡馨硕士学位论文 引理4 3 1 【4 1 】范畴是一个任意态射均有核与余核的加法范畴， ( 1 ) 对中任意态射q ，有k e r n m c ，c o k e m p c ( 2 ) 对中任意态射a ，a 尬当且仅当a = i m a ，a p c 当且仅当口= c o i m c r ( 3 ) 对中任意态射a ，a o c 当且仅当口= o l l o t 0 ，其中劬- p c ，o t l m c ， s 0 = c o i m c r ，口1 = i m 口 定义4 3 2 ( 5 2 】范畴称为拟a b e l ( q u a s i a b e l i a n ) 的，如果满足： ( 1 ) 衫是加法范畴； ( 2 ) 中任意态射均有核与余核； ( 3 ) 对中如下推出与拉回交换图 ( 尸d ) 曩， 越譬，b lt 若厂 疋则厂7 m c ，若9 只则9 7 p c ( 即中严格单态射类沿任意态射的 推出是封闭的，严格满态射类沿任意态射的拉回也是封闭的) 在研究拟a b e l 范畴时，我们发现了这个比a b e l i a n 范畴定义更弱的范畴的一 些性质，以及正合范畴与拟a b e l 范畴间的一个等价关系 定理4 3 3 【1 2 】对任意态射均有核与余核的加法范畴，是拟a b e l 范畴，当 且仅当中核类态射沿任意态射的推出是封闭的，并且任意余核类态射沿任意态 射的拉回也是封闭的 命题4 。3 4 【1 2 l 对于拟a b e l 范畴，记中所有核一余核对构成的类为晶啪， 则( ，晶啪) 为一个正合范畴 定理4 3 5 若( ，晶瑚) 为正合范畴，并且中任意态射均存在核与余核，则 是拟a b e l 范畴 定理4 3 6 设是拟a b e l i a n 范畴，是其中的一个态射那么，作为正合 范畴( 衫，搿) 中的态射是容许单( 满) 的，当且仅当厂作为拟a b e l i a n 范畴 v i i l a 南 福建师范大学傅怡馨硕士学位论文 中的态射是严格单( 满) 的 定理4 3 7 设7 ，是两个拟a b e l 范畴，f ：_ 7 是右正合函子， g ：一7 是左正合函子，：f g 是一个自然变换，则m - v 构造所得的加法 范畴( 亭) 仍是拟a b e l 的，且有拟a b e l 范畴上的r e c o l l e m e n t 7 三( ) 兰 v i i i 目录 目录 中文摘要 i a b s t r a c t i i 中文文摘 。i i i 绪论 1 o 1 范畴基本概念1 0 2 范畴的幂等完备化研究背景2 0 3 论文结构3 第1 章 左三角范畴的幂等完备化和稳定化 5 1 1 单边三角范畴及其幂等完备化5 1 2 左三角范畴的稳定化。 8 1 3 主要定理证明1 2 第2 章幂等完备化与余稳定化。1 6 2 1 左三角范畴的余稳定化1 6 2 2 主要定理及记号说明。1 7 2 3 主要定理证明2 0 第3 章正合范畴的幂等完备化2 4 3 1 正合范畴及其幂等完备化2 4 3 2 商范畴关于幂等完备化的保持2 5 3 3 正合范畴的商范畴关于幂等完备化的保持。2 9 第4 章m v 构造下的保持问题3 2 4 1r e c o l l e m e n t 概念以及m v 构造3 2 4 2 幂等完备范畴与正合范畴关于m - v 构造的保持3 3 4 3 拟a b e l 范畴关于m v 构造的保持3 8 i x 福建师范大学傅怡馨硕士学位论文 第5 章结论，4 3 参考文献。4 4 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果 5 0 致谢 5 1 个人简历 5 2 x ， 绪论 0 1 范畴基本概念 范畴理论是现代数学的一个重要的分支数学有许许多多的研究对象，但这些 研究对象之间具有一定的共性，譬如集合之间的映射，群( 环) 之间的同态，模之间 的同态等，将有共性的数学对象及其之间的联系按一定原则进行归类，并从整体上 把握研究，范畴的概念与理论正是采用这种分类研究方法的很好反映范畴论是由 e i l e n b e r g 与m a c l a n e 在1 9 4 5 年的文章【1 8 】提出的e i l e n b e r g 在研究群的上同调 时发现拓扑空间上的同调理论也同样适用于代数的研究( 1 4 1 ) ，这些思想带来了同 调代数的诞生后来，e i l e n b e r g 又与s t e e n r o d 针对同调论的各种不同说法在【1 9 中用范畴论进行了统一现在，范畴论的思想和方法已经渗透到数学研究的众多领 域并成为现代数学的重要研究工具 与范畴相关的概念以及符号可参照【2 1 ，6 6 】加法范畴是一个很基本的范畴，例 如群范畴、环范畴、模范畴或更一般的a b e l i a n 范畴都是加法范畴，非a b e l i a n 范 畴如三角范畴也都是加法范畴我们下面给出的预加法范畴定义，在一些参考文献 上如【6 6 】等，也称为伪加法范畴 定义0 1 1 8 6 l 范畴够称为预加法范畴，若满足： 够具有零对象 对够中任意对象a ，b ，m o r ，c ( a ，b ) 为a b e l 群( 加法交换群) 对够中任意态射厂，g ：a _ b 和够中任意态射h ：c a ，有( ，+ g ) h = ，九+ g h ；以及对够中任意态射f ：b d ，有l ( f + g ) = i f + i g 定义0 1 2 范畴够称为加法范畴，如果够是预加法范畴，并且存在有限直和 本文约定，设够是一个范畴，如果a ，j e 7 是够的对象，用m o r 够( a ，b ) 表示够 中从a 到b 的所有态射构成的集合，但有时为了简便，也用w ( a ，b ) 表示 1 福建师范大学傅怡馨硕士学位论文 0 2 范畴的幂等完备化研究背景 设够为一个加法范畴，对任意a 够，a 上的幂等态射e e n d ( a ) 称为可裂 的，若存在态射组b 马4 ob 使得q p = 1 b 和p q = e 加法范畴够称为幂等 完备范畴，若对够中任意对象a 上的幂等态射e 都是可裂的( 参阅 2 0 ，3 7 ，5 4 】) 加 法范畴够是幂等完备的当且仅当对任意对象a 够和任意幂等态射e e n d ( a ) ， 有a - - - - - i m ( e ) k e r ( e ) ，( 可参阅 5 】) 幂等完备有时也称幂等可裂或k a r o u b i a l m e s s 根据 5 】，任意一个加法范畴都可以进行幂等完备化这就是下面介绍的方法 设够为一个加法范畴，构造新的范畴够如下： ( 1 ) o b ( 钐) ：( a ，e ) ，其中a 为汐中对象，e ：a _ a 为够中幂等态射 ( 2 ) 对汐中任意两个对象( a z ，e 1 ) 和( 4 2 ，e 2 ) ，令够中的态射o l ：( a 1 ，e 1 ) _ ( a 2 ，e 2 ) 是够中的态射及：a 1 一a 2 使得o t e l = e 2 0 t = 0 1 5 ，p r o p 1 3 指出，对任意一个加法范畴够，经过上述方法得到的范畴字是幂 等完备范畴称谚为够的幂等完备化范畴设z ：够_ 字使得l ( a ) = ( a ，1 a ) ，则 f 是满且忠实函子因此我们可以将够与z ( 够) 认为相同，即将够认为是虿的一 个满子范畴 命题0 2 1 5 , p r o p 工3 】设够是一个加法范畴，如果9 是一个幂等完备加法范畴， 并且存在加法函子f ：够_ 勿使得f 是满且忠实的，则存在唯一的加法函子 g ：罾_ 勿使得f = g of a b e l i a n 范畴是幂等完备范畴幂等完备范畴是一类近似于a b e l i a n 范畴的范 畴，因此也被称为伪a b e l i a n 范畴对给定的a b e l i a n 范畴，建立复形范畴g ( ) ， 通过拟同构局部类进行局部化，可得出导出范畴d ( ) ，这是三角范畴最基本的例 子尽管三角范畴也保留了a b e l i a n 的许多性质，但也确实将a b e l i a n 范畴的一些 性质丢失，如幂等完备性等在导出范畴d ( ) 中不再成立 b a l m e r 等于2 0 0 1 年在 5 】中证明了三角范畴的幂等完备化之后仍然是三角范 畴具体作法如下： 设( 汐，q ，) 为一个三角范畴，对够作幂等完备化得到幂等完备的加法范畴 字再在字中定义三角设自函子西：可_ 可，对任意可中对象( a ，e ) ，一n ( a ，e ) = 2 ， 绪论 ( q ) ，q ( e ) ) ，对任意的字中态射q ：( a 1 ，e 1 ) _ ( a 2 ，e 2 ) ，西( 盘) = q ( q ) 虿中的 态射图 孬( a 1 ，e 1 ) ( a 2 ，e 2 ) 上( a 3 ，e 3 ) 上( a 1 ，e 1 ) 称为三角，如果存在虿中态射图 西( b 1 ，d 1 ) 型一( j e 7 2 ，d 2 ) 型一( 岛，如) i 一( b 1 ，d 0 使得这两个态射图的直和 西( ( a ，e 1 ) 。( b 1 ，d 1 ) 脚2 ，| e 2 ) 。( 岛，c f 2 趟丸，e 3 ) 。( 岛，如脚l ，e 1 ) 。( b 1 ，d o 同构于汐中的一个三角( 注意这时将够与2 ( 够) 看作一致) 将谚中所有三角构成 的类记为 引理o 2 2 【5 ，骱工1 2 j 如果( 够，q ，) 是一个三角范畴，则( 谚，豆，丕) 也是三角范畴 因此三角范畴澎，q ，) 在幂等完备化下是保持的注意到，三角范畴的幂等 完备化事实上是三角范畴的一种扩张形式三角范畴一般情况下不是幂等完备范 畴，因此研究三角范畴幂等完备化是有意义的n e e m a n 证明了如果范畴够是满 足口r 5 ( k ) 】条件的三角范畴( 即够是任意可数个对象的上积都存在的三角范畴) ， 则够是幂等完备范畴，见【4 7 】因此这时汐垡字b a l m e r 证明了a b e l i a n 范畴上。y 的有界导出范畴，幂等完备正合范畴的有界导出范畴【5 】都是幂等完备范畴，王证 明了具有有界t 一结构的三角范畴也是幂等完备范畴【6 7 1 幂等完备范畴往往具有许 多很好的性质，例如，一个加法范畴是k r u l l s c h m i d t 的当且仅当它是幂等完备的 且对每个对象x ，e n d ( x ) 是半完全环f 6 3 】；在幂等完备的三角范畴中，任一三角满 子范畴是e p a i s s e 的【3 6 1 等 0 3 论文结构 本文的前三章即是研究范畴的幂等完备化及其关于幂等完备化的保持问题 利用对三角范畴进行幂等完备化后仍然是三角范畴的这一保持性质，本文在第 一章、第二章给出单边三角范畴的幂等完备化概念，得出其仍然保持单边三角范畴 3 福建师范大学傅怡馨硕士学位论文 的性质对单边三角范畴进行稳定化后可以得到一个三角范畴，这也是一种范畴的 扩张，比较这种扩张，可以发现它与三角范畴的幂等完备化有类似之处，从而我们 得到稳定化关于幂等完备化的保持的结论同样，对单边三角范畴进行余稳定化， 这也是一种范畴扩张，但余稳定化的过程并不单单是稳定化的对偶概念，因此我们 有必要另外进行分析幸运的是，得到的结果是一样的，即余稳定化关于幂等完备 化也保持的结论 第三章研究正合范畴的幂等完备化以及商范畴的幂等完备化，再结合起来研究 正合范畴的商范畴关于幂等完备化的保持问题 正合范畴首先是加法范畴，因而可以对其进行幂等完备化但是正合范畴又要 求有一个核一余核对构成的类，这就要求我们对正合范畴进行幂等完备化时要考虑 这个附加的类是什么情形b u h l e r 已经找到了这么一个核一余核对构成的类，这 个类也为我们得以证明正合范畴进行幂等完备化后得到的范畴仍然是正合范畴的结 果在这一章中，我们还考虑范畴的商范畴问题证明了预加法范畴的商范畴幂等 完备化的保持问题 m - v 构造法是基于已有两个a b e l i a n 范畴构造出另一个a b e l i a n 范畴，使之成 为原有两个范畴的r e c o l l e m e n t 因此，我们可以推广这种构造法，并探讨这种构造 法在各种范畴性质下的保持问题本文第四章将考察范畴的若干性质在m v 构造 下保持的问题，即分别研究幂等完备范畴、正合范畴、拟a b e l 范畴上r e c o l l e m e n t 关于m v 构造的保持 4 第1 章左三角范畴的幂等完备化和稳定化 第1 章左三角范畴的幂等完备化和稳定化 1 1 单边三角范畴及其幂等完备化 单边三角范畴( 包括左三角范畴和右三角范畴) 是三角范畴的自然推广这一 方面的研究已有许多漂亮的结果，如 8 ，4 2 】一个三元组( 够，q ，) 称为左三角范畴 【7 一，如果够是加法范畴，q ：够_ 够是自函子，左三角构成的类是够中满足 三角范畴定义中除了加法自函子q 未必可逆的条件之外的其余所有的三角条件 下面给出左三角范畴的定义( 见【8 】) 定义1 1 1 【8 l 设够是一个加法范畴，q ：够一汐是一个加法函子，是够中 称为左三角的如下形式 q ( b ) kc 上a l b 薹薹eee 并且取左三角同构封闭 ( l t l ) v s 够，a 包含如下左三角 0 4 三- a 一0 并且对任意够中态射7 ：a _ b ，存在左三角 q ( b ) c a j l b ( l t 2 ) 如果q ( b ) l ，c 旦一a l b 是左三角，则 5 福建师范大学傅怡馨硕士学位论文 a ( a ) _ = 盟，la ( b 卜旦一e l a 也是左三角 ( l t 3 ) 如果下图是行为左三角的交换图( 即行属于a 的交换图) lb ba ! ! 7 则存在态射钆：g _ c 7 使上图继续为交换图 ( l t 4 ) 对任意两个左三角 q ( e ) 墨一4 l b la 和 存在左三角 和两个态射：a f 及1 1 ：f _ e ，使得下图交换并且行为左三角和左边第2 列 也是左三角： a ( o 卜- 么一 l q q ( 口) q ( e ) 称如上的三元组( 够，q ，a ) 为左三角范畴，简称够为左三角范畴 6 1 1 , 一 _ 一奶 三 q 三 vojlk m ，d ，d l ，一 一 第1 章左三角范畴的幂等完备化和稳定化 类似于三角范畴幂等完备化，我们也可以对左三角范畴作幂等完备化，这就是 下面定理 定理1 1 2 如果( 够，q ，) 是一个左三角范畴，则( 字，豆，五) 也是左三角范畴 由于证明中无需用到加法自函子q ：钐_ 够可逆这一性质，因此该定理的证 明完全与引理o 2 2 的证明一致对偶的，对右三角范畴来说，也有如下结论： 推论1 1 3 如果( 够，q ，) 是一个右三角范畴，则( 字，丽，五) 也是右三角范畴 设( 够，q ，) 是一个三角范畴，则其反范畴( 泸，q 叩，叩) 也是三角范畴，其 中o b c c o p = o b c c ，对任意4 ，be o b c d o p ，y o p ( a ，b ) = 汐( b ，a ) ，f l o p = q 显然 a - b kc kq 印( a ) 是印中三角当且仅当 q ( 以) j 一e l 呻b k a 是中三角右三角范畴与左三角范畴是对偶的，因此，( 汐，q ，) 是左三角范畴 当且仅当( 够叩，q ? ，叩) 是右三角范畴 对任意左三角范畴( 够，q ，) ，既可先幂等完备化再进行反范畴，也可先作反范 畴再进行幂等完备化，因此存在二个右三角范畴：( 字叩，i p ，z 严) 与( 琵丽，一f l o p ，2 沛) 如果 ( 4 l ，e 1 ) 旦一( a 2 ，e 2 ) 卫一( a s ，e 3 ) 工+ 豆( a 1 ，e 1 ) ( 1 1 1 ) 是秽的右三角，则 一1 2 ( a 1 ，e 1 ) 上( a 3 ，e 3 ) l ( a 2 ，e 2 ) 上( a 1 ，e 1 ) ( 1 1 2 ) 是够的左三角反之亦然 设d i = 1 a e i ，i = 1 ，2 ，3 由【5 4 ，l e m m a1 2 ，在虿中有( a i ，e i ) o ( a ，也) 垡 ( a ，1 a ) ，i = 1 ，2 ，3 ，因此存在字中六元组 一f l ( a 1 ，d 1 ) ! l 一( a 3 ，c f 3 ) k ( a 2 ，如) - ( a 1 ，d 1 )( 1 1 3 ) 7j 福建师范大学傅怡馨硕士学位论文 使得( 1 1 2 ) 与( 1 1 3 ) 的直和同构于够中左三角 q ( a 1 ) l 4 3 _ 翌一a 2 工一4 1 ( 1 1 4 ) 龇垡0 卜卜( o 。c 玲籼m 为而帐 角，则存在而中六元组 ( a i ，d 1 ) 上( a 2 ，d 2 ) ( a 3 ，d 3 ) 瓦( a 1 ，d 1 ) ( 1 1 5 ) 使得( 1 1 1 ) 与( 1 1 5 ) 的直和同构于汐印中右三角 a 1 j o a 2 - 丑一a 3 至一q ( a 1 ) ( 1 1 6 ) 即够中左三角( 1 1 4 ) 因此，2 严 左- - z j 与z 而中左三角是一一对应的从而 不难得到如下反范畴关于幂等完备化的保持的结论； 定理1 1 4 如果( 字，丽，一a ) 是左三角范畴( 汐，q ，a ) 的一个幂等完备化范畴，则有 如下右三角范畴i 司的等价； ( 酽，酽，酽) 竺( 丽，丽，丽) 1 2 左三角范畴的稳定化 b e l i g i a n n i s 在 7 中利用h e l l e r 3 3 】中提供的方法( 也可以从 2 2 ，3 8 ，5 9 中找到) ， 构造了个左三角范畴的稳定化范畴或三角化范畴，即对任意左三角范畴够，q ，) ， 存在三角范畴( s ( 够) ，q ，a ) 和左三角正合函子s ：够_ s ( 汐) 并且有如下的泛性： 对任意左三角正合函子f ：够_ 勿，其中勿是三角范畴，都存在唯一的正合函子 f + ：s ( 够) _ 勿使得f + 0s = f 设( 够，q ，) 是一个左三角范畴，按h e l l e r 的方法 3 3 ，构造三角范畴( s ( 够) ，孬，丕) 如下： 对任意两个整数礼，m ，令厶，m = _ 惫z 陋见，k m ) 现在设 ( 1 ) o b ( s ( 汐) ) ：( a ，) ，其中a 为汐中对象，仃为整数 ( 2 ) 对s ( 汐) 中任意两个对象( a ，n ) 和( b ，m ) ，令 s ( 够) ( ( a ，礼) ，( b ，m ) ) = l i r a 够( q 七一n ( a ) ，q 知一m ( b ) ) 七k “ 8 第1 章左三角范畴的幂等完备化和稳定化 不难知道，s ( 汐) 是一个加法范畴 ( 3 ) 现令q ：s ( 汐) _ s ( 够) 使得对任意( a ，n ) s ( 够) ，n ( a ，亿) = ( a ，钆一1 ) 对 s ( 够) 中任意态射o t ：( a ，n ) _ ( b ，m ) ，如果记讯a 烈b ，m ) ：够( q k - n ( a ) ，m m ( b ) ) _ l i m 够( q 肛n ( 4 ) ，q 肛m ( b ) ) 是典范的态射，则q ( 口) = i ( k _ 1 a ，n l ；b , m - 1 ) ( a k 一1 ) ，其 血厶” 中o t k ：q k - n ( a ) 叶q 枉m ( b ) 使得i ( 知：a “b ，m ) ( q 惫) = o t 于是有o t k 一1 = o t k ： q ( 惫一1 ) 一( n 一1 ) ( a ) _ q ( k - i ) 一( m - - 1 ) ( b ) 所以孬：s 彤) _ s ( 够) 是可逆自函子且 q 一1 ( a ，钆) = ( a ，几十1 ) ，q 一1 ( 口) = 云 十1 ：a ，n + 1 ；b ，m + 1 ) ( o t k + 1 ) 对任意z k ，令 厶l = q 卜愚( 一) ：够( q k - n ( a ) ，q 七一m ( b ) ) _ 够( q k n ( a ) ，f z z - m ( b ) ) 使得t ( 知：a 川b ，仇) = i ( z ：a ，他；b ，m ) f k l 若0 t k ：舻一n ) _ q 一m ( b ) ，仇：q 庇一m ( b ) _ q 七一( g ) ，则2 ( 庇：a 川c , 0 ( b k a k ) = i ( k ：b 朋c ，z ) ( 仇) i ( 庇：a n b ，m ) ( 口庇) 为简便也记i l , = i ( k ：一，一h 寸 ( 4 ) 对左三角范畴( 够，q ，) 中的任意对象a 够和任意态射o t ：a 一b ，令 s ( a ) = ( a ，0 ) 以及s ( a ) = i o ( o r ) ：( a ，0 ) _ ( b ，o ) ，于是有自然函子s ：够_ s ( 够) 此时n s ( a ) = ( a ，- 1 ) 型( q ( a ) ，0 ) = s a ( a ) ，其中同构态射为i 0 ( 1 n ( a ) ) 同样也有一_ n s ( a ) = q t o ( a ) 竺i o q ( a ) = s q ( a ) 因此， f l s = s q ( 5 ) s ( 够) 中的六元组5 ( c ，2 ) 生( a ，n ) l ( b ，m ) l ( g ，2 ) 称为 三角，如果存在k 2 z ( 偶数) 以及k 2 ，礼，m ，使 q ( q 凫一。( c ) ) 堡k q 血一n ( a ) j 盈- q 七一m ( b ) 2 _ 一q 惫一。( c ) 为够中左三角，其中a = t 七( 口惫) ，p = l 七( 风) ，y = t 血( 饥) 记s ( 够) 中所有这种三角 构成的类为，由 7 或 3 3 ，t h 9 2 ，( s ( 够) ，q ，a ) 是一个三角范畴，s ：够_ s ( 够) 是其稳定化函子，即左三角正合函子 按上述构造，不难证明：如果彤，q ，) 是左三角范畴，则( s ( 够印) ，q 印，叩) 与( s ( 留) 印，孬叩，丕叩) 均为三角范畴，并且有如下反范畴在稳定化下的保持结论： 定理1 2 1 如果( 够，q ，) 是一个左三角范畴，则有三角等价 ( s ( 汐叩) ，q 印，印) 笺( s ( 够) 叩，q 叩，印) 设( 够，q ，) 是一个左三角范畴，( 谚，孬，五) 是够的幂等完备化范畴( s ( 够) ，q ，a ) 是够的稳定化三角范畴我们有下面的主要定理 9 福建师范大学傅怡馨硕士学位论文 定理1 2 2 如果( 够，q ，) 是一个左三角范畴，则( s ( 字) ，西，五) 与( 丽，孬，z x ) 是 三角等价的 在证明定理1 2 2 之前，我们先作如下一些准备，主要是给出一些记号号隆质 ( 1 ) s ( 够) 中对象形如( ( a ，e ) ，竹) ，其中a 为够中对象，e ：a _ a 为够中幂 等态射，礼为整数，我们不妨简记为( a ，e ，几) ( 2 ) s ( 矽) ( ( 4 - ，e t ，竹t ) ，( 4 z ，e z ，礼2 ) ) = 幽虿( 对一m ( a 1 , e 1 ) ，豆惫一n 2 ( 4 2 ，e ：) ) ，记 惫厶1 1 。n 2 血为典范态射字( 萨哪! ( a ，e 。) ，斧一付2 ( a 2 ，e 2 ) ) _ s ( 字) ( 似，e 。，竹。) ，( a 2 ，e 2 ，佗2 ) ) 并 且如果f k ，肌z ：矽( 对哪! ( a 。，e 。) ，萨一n 2 ( 4 2 ，e 2 ) ) _ 谚( 霄一竹1 ( a l ，e 1 ) ，霄一n 2 ( a 2 ，e 2 ) ) 使得靠= j l g 胁实际上，蚴= _ f 一惫( 一) ：q 。一七( 一) 对s ( 够) 中任意一个态射o l ：( a 1 ，e l ，礼1 ) _ ( a 2 ，e 2 ，礼2 ) ，由正向极限定义，存 在忌n l , 见2 以及字中态射七：带一n 1 ( a l ，e 1 ) _ 对一n 2 ( a 2 ，e 2 ) 使a ( 瓯) ：乜，即 够中态射口七：f 2 k - n l ( a 1 ) _ q k - n 2 ( a 2 ) 且a 七钟咄1 ( e 1 ) = f 驴- n 2 ( e 2 ) 口七= 口知 对以=